任意角的三角函数讲义
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= . 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:角α的弧度数的绝对值 |α|=lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°=π180 rad ,②1 rad=180π°弧长公式 弧长l= 扇形面积公式 S=12lr=12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),则sin α= ,cos α= ,tan α=yx (x ≠0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM ,MP ,AT 分别称为角α的 、 和 .图3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.[教材改编]终边在射线y=-√3x(x<0)上的角的集合是.2.[教材改编](1)67°30'=rad;(2)π= °.123.[教材改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是.4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tanα=.题组二常错题◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.,则A=.5.在△ABC中,若sin A=√226.已知点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是 .7.已知角α的终边落在直线y=-3x 上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα= .8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm ,则扇形的面积为 cm 2.课堂考点探究探究点一 角的集合表示及象限角的判定1 (1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k ∈Z ,N=x x=k4·180°+45°,k ∈Z ,那么 ( ) A.M=N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N=⌀(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是 .图3-16-2[总结反思] 把角表示成2kπ+α(k ∈Z ,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题 (1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .(2)若角α的终边在x 轴的上方,则α2是第 象限角.探究点二 扇形的弧长、面积公式2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是 .(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .[总结反思] 应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3 B.π6 C.-π3 D .-π6(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为 . 探究点三 三角函数的定义考向1 三角函数定义的应用3 (1)函数y=log a (x-3)+2(a>0且a ≠1)的图像过定点P ,且角α的终边过点P ,则sin α+cos α的值为( )A.75 B.65 C.√55 D.35√5 (2)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= .[总结反思] 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2 三角函数值的符号判定4 (1)使lg (sin θ·cos θ)+√-cosθ有意义的θ为 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角(2)若角α的终边落在直线y=-x 上,则sinα|cosα|+|sinα|cosα= .[总结反思] 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3 三角函数线的应用5 函数f (x )=√1−2cosx +ln sin x-√22的定义域为 .[总结反思] 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x ≥b ,cos x ≥a ,只需作直线y=b ,x=a 与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围. 强化演练1.【考向1】点P 从点√22,-√22出发,沿单位圆按逆时针方向运动3π4后到达Q 点,若α的始边在x 轴的正方向上,终边在射线OQ 上,则sin α= ( )A.1B.-1C.√22 D.-√222.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P (1-2a ,2+3a )是其终边上的一点,若cos α>sinα,则实数a 的取值范围是 .3.【考向3】满足cos α≤-12的角α的集合为 .课时作业一、 填空题1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是________. 2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. (填序号)①sin α＋cos α<0 ②tan α－sin α<0 ③cos α－tan α<0 ④tan αsin α<03．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.4．将－300°化为弧度为________.5．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________.6．已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin α等于________. 7．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝________.8．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________.9．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m ，3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.10．若角α的终边经过点P (1,2)，则sin2α的值是________．11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.二、解答题12．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P (x ，－5)，且cos α＝24x ，求sin α和tan α.13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形的圆心角的弧度数和弦长AB .。
任意角的三角函数课件
• 弧度制与角度制 • 三角函数的基本性质
任意角的三角函数
在这一部分，我们将深入研究弧度制下和角度制下的任意角三角函数，包括它们的定义、图像和周期性。
实际应用
三角函数在几何、物理和工程等领域有广泛的应用，我们将探讨它们在不同领域中的具体应用。 • 三角函数在几何中的应用 பைடு நூலகம் 三角函数在物理中的应用 • 三角函数在工程中的应用
总结
本课程介绍了任意角的三角函数的基本知识和实际应用，希望能够帮助大家 深入理解和应用三角函数。
• 本课程的主要内容 • 三角函数的重要性 • 继续学习三角函数的建议
任意角的三角函数ppt课件
这是一份关于任意角的三角函数的PPT课件，通过图文并茂的方式介绍任意角 的三角函数的基本知识和实际应用。
引言
任意角是指不限制在标准位置的角度，研究任意角的三角函数可以帮助我们 深入理解三角函数的性质和应用。
• 什么是任意角？ • 为什么需要研究任意角的三角函数？
基础知识
高一数学任意角的三角函数知识精讲.doc
高一数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数（三角函数的定义、单位圆与三角函数线）【知识掌握】 【知识点精析】1. 任意角的三角函数的定义：设P （x ，y ）是角α的终边上任意一点，|OP|＝r （r ＞0），则sin cos αα==y r xr， tan cot αα==y x x y ， sec csc αα==r x r y， 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。
注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P 点的选取无关。
②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为P 点的理想位置。
2. 三角函数的定义域、值域确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标轴上时，点P 的坐标中必有一个为0。
3. 三角函数值符号记忆口诀为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。
（注：余割和正弦互为倒数关系，正割和余弦互为倒数关系。
） 4. 诱导公式（一）：根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等。
即：sin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()k k Z k k Z k k Z ²°²°²°诱导公式一360360360+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪ααααααsin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()()222k k Z k k Z k k Z πααπααπαα+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪诱导公式一弧度制用途：使用诱导公式（一），可以把求任意角的三角函数值问题化为0～2π间三角函数值，具体求法是将任意角化为2k π＋α，()k Z ∈，其中0≤α＜2π，然后利用诱导公式（一）化简，再求值。
任意角三角函数定义
01
在三角形中，已知两边长，可用正弦、余弦定理求解未知角。
求解边长
02
在三角形中，已知两角及一边，或已知两边及夹角，可用正弦、
余弦定理求解未知边长。
判断三角形形状
03
通过比较三角形内角的大小关系，可以判断三角形的形状（如
锐角、直角、钝角三角形）。
物理学中应用举例
简谐振动
描述物体在平衡位置附近的往复运动，其运动规律可 用三角函数表示。
弧度制
以弧长与半径之比来度量角的大小， 是国际单位制中的角度单位，常用于 微积分等高级数学领域。
三角函数定义域与值域
定义域
三角函数中的自变量，即角度或弧度，其取值范围通常是实数集或其子集。
值域
三角函数中的因变量，即函数值，其取值范围依赖于具体的三角函数。例如，正弦函数和余弦函数的值域为[1,1]，而正切函数的值域为全体实数。
04
正切、余切函数性质与图 像
正切函数性质及图像特点
定义域
正切函数的定义域为所有不等于直角的角 度。
图像特点
正切函数的图像是一条连续的、无穷无尽 的曲线，以π为周期，在每个周期内，图像 从负无穷大增加到正无穷大。
值域
正切函数的值域为全体实数。
奇偶性
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x) 。
THANKS
感谢观看
正切、余切关系式推导
正切与余切的关系式
tan(x) = 1/cot(x)，cot(x) = 1/tan(x)。
VS
推导过程
根据三角函数的定义，正切函数和余切函 数可以表示为对边与邻边之比和邻边与对 边之比。因此，正切函数和余切函数互为 倒数关系。
05
三角函数在各领域应用举 例
专题1.2 任意角的三角函数-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)
第一章三角函数1.2任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义（1）设角α终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则sin α=___________，cos α=___________，tan α=___________（x≠0）．（2）三角函数值在各象限内的符号上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．（3）利用单位圆定义三角函数若点P（x，y）为角α的终边与单位圆的交点，如图，则sin α=___________，cos α=___________，tan α=___________（x≠0）．2．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin（α+2kπ）=___________，cos（α+2kπ）=___________，tan（α+2kπ）=___________，其中k∈Z．3．三角函数线设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于点P ．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线（或反向延长线）于T 点，则有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的___________、___________、___________．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限图形第一象限第二象限第三象限第四象限4．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin 2α+cos 2α=1． （2）商的关系：tan α=sin cos αα． （3）公式常见变形：①sin 2α=1-cos 2α；②cos 2α=1-sin 2α；③sin α=±21cos α-； ④cos α=±21sin α-；⑤sin α=cos αtan α；⑥cos α=sin tan αα；⑦sin 2α=222sin sin cos ααα+=22tan tan 1αα+；⑧cos 2α=222cos sin cos ααα+=21tan 1α+．K 知识参考答案：1．（1）y r ，x r ，y x ．（3）y ，x ，y x． 2．sin α，cos α，tan α． 3．正弦线、余弦线、正切线K —重点1．理解任意角的正弦、余弦和正切的定义，并会利用定义求值；2．结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号； 3．掌握握三角函数诱导公式一． 4．掌握同角三角函数的基本关系式．K —难点1．会使用三角函数线表示三角函数值，理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律．2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明． K —易错三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P （x ，y ）在终边上的位置无关，只由角a 的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．1．对三角函数定义的理解（1）三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个实数集合的对应；（2）三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围；（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P （x ，y ）在终边上的位置无关，只由角a 的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．【例1】已知角α的终边上一点P （-3，m ）（m ≠0），且sin α=24m，求cos α，tan α的值．【答案】当m=5时，cos α=-64，tan α=-153；当m=-5时，cos α=-64，tan α=153．【例2】已知角α的终边经过点（-8，-6），则cos α的值为A．34B．43C．45-D．35-【答案】C【解析】由题设知x=-8，y=-6，所以r=228610+=，所以cos α=84105xr-==-，故选C.【名师点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．学-科网2．三角函数值的正负判断为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．【例3】确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6.【答案】（1）负号；（2）负号.【解析】（1）因为103°、220°分别是第二、第三象限的角， 所以sin 103°>0，cos 220°<0， 所以sin 103°·cos 220°<0； （2）因为3622π<<π，所以6是第四象限的角， 所以cos 6>0，tan 6<0， 所以cos 6°·tan 6<0.【名师点睛】准确记忆各三角函数值在各象限内的符号：3．三角函数线（1）位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；（2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与a 的终边（或其延长线）的交点；（3）正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； （4）书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后． 【例4】角5π和角56π有相同的 A ．正弦线 B ．余弦线 C ．正切线 D ．不能确定【答案】C【解析】在同一坐标系内作出角5π和角56π的三角函数线可知，它们的的正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．故选C ．【名师点睛】对三角函数定义的考查有以下三种形式：（1）给定角的终边上一点，求某个三角函数值，直接利用定义即可；（2）给定角的某个三角函数值，求角的终边上一点的坐标，根据定义，列方程（组）求解；（3）给定角的终边所在直线，求三角函数值，在终边上取点，利用定义求解，当终边不定时，要分类讨论． 4．同角三角函数的基本关系通过三角函数的定义探究同一个角a 的正弦、余弦、正切值之间的关系，即同角三角函数的基本关系式，这些公式是三角函数化简、求值、证明的基础． 【例5】已知sin α+cos α=–15，α∈（0，π），则tan α的值为A ．–43或–34B ．–43C ．–34D ．34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选C ． 【名师点睛】（1）平方关系：sin 2α+cos 2α=1． （2）商的关系：tan α=sin cos αα． （3）公式常见变形：①sin 2α=1-cos 2α；②cos 2α=1-sin 2α；③sin α=±21cos α-；④cos α=±21sin α-； ⑤sin α=cos αtan α；⑥cos α=sin tan αα； ⑦sin 2α=222sin sin cos ααα+=22tan tan 1αα+；⑧cos 2α=222cos sin cos ααα+=21tan 1α+． 5．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin （2k π+α）=sin α （k ∈Z ）；cos （2k π+α）=cos α （k ∈Z ）；tan （2k π+α）=tan α （k ∈Z ）． 【例6】sin780°=A ．32B ．32-C ．12D ．12-【答案】A【解析】∵sin780°=sin （720°+60°）=sin60°=32，∴sin780°=32．故选A ． 【名师点睛】sin （α+2k π）=sin α，cos （α+2k π）=cos α，tan （α+2k π）=tan α，其中k ∈Z ．1．已知sin α<0，且tan α>0，则α的终边所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若α为第二象限的角，且tan α=–512，则cos α= A ．513B ．–513C ．1213D ．–12133．若角α的终边经过点P （4，–3），则cos α= A ．±35B ．–35 C ．45 D ．±454．已知sin α，cos α是方程3x 2–2x +a =0的两根，则实数a 的值为 A ．65B ．56-C ．43D ．34-5．若角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点（1，–2），则tan α的值为 A ．55B ．–2C ．–255D ．12-6．若角α的终边与单位圆的交点为P （35，–45），则tan α= A ．43B ．–45C ．34D ．–437．如果角θ的终边经过点()23，，那么tan θ的值是A ．32B ．233C ．3D ．28．已知角α的终边经过点P （–1，2），则sin α= A ．55-B ．255C ．–2D ．12-9．已知tan α=1，则sin 2cos sin ααα+=A ．1B ．2C ．3D ．410．已知角α的终边过点P （t ，–3），且4cos 5α=，则t 的值是 A ．4B ．–4C．3 D．–311．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点P（1，–2），则tanα的值为A．55B．255-C．–2 D．1 2 -12．若tanα=2，则2sin3cossin cosαααα+-=A．5 B．6C．7 D．±7 13．若角α的终边落在直线x+y=0上，则sinα的值为A．–1 B．1C．±22D．2214．已知角的终边过点（1，–2），则sinθcosθ=A．–25B．25C．–23D．2315．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．若角α终边经过点P（sin 2π2πcos33，），则sinα=A．12B．32C．12-D．32-17．点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为A．1322⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，B．3122⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，C．1322⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，D．3122⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，18．适合条件|sinα|=–sinα的角α是__________．19．已知23cos4axa-=-，x是第二、三象限角，则a的取值范围是__________．20．已知tanα=–43，求：（1）6sin cos3sin2cosαααα+-的值；（2）2sinαcosα+cos2α的值．21．已知tanα=–12，求2212sin cossin cosαααα+-的值．22．（1）已知cos b=–35，且b为第二象限角，求sin b的值；（2）已知tanα=2，计算4sin2cos5cos3sinαααα-+的值．23．已知tαnα=3，计算：（1）4sin2cos5cos3sinαααα-+；（2）sinα•cosα．24．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且tanα=–34，则sinα+cosα=A．–75B．–34C．–15D．1525．（2018•北京）在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是A．AB B．CD C．EF D．GH1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C B B D A B C A 11 12 13 14 15 16 17 24 25 CCCABCCCC3．【答案】C【解析】∵知角a 的终边经过点P （4，–3），∴cos a =224454(3)=+-，故选C ． 4．【答案】B【解析】由题意，根据韦达定理得：sin α+cos α=23，sin αcos α=3a，∵sin 2α+cos 2α=1，∴sin 2α+cos 2α=（sin α+cos α）2–2sin αcos α=42193a -=，解得a =–56，把a =–56，代入原方程得3x 2–2x –56=0，∵∆=504>0，∴a =–56符合题意．故选B ．5．【答案】B【解析】由题意可得x =1，y =–2，tan α=yx=–2，故选B ． 6．【答案】D【解析】角α的终边与单位圆的交点为P （35，–45），则tan α=4535y x -==–43．故选D ．7．【答案】A【解析】∵角θ的终边经过点()23，，则x =2，y =3，tan θ=32y x =，故选A ． 8．【答案】B【解析】角α的终边经过点P （–1，2），则sin α=()22225512=-+，故选B ． 9．【答案】C【解析】由tan α=1，得sin 2cos tan 2123sin tan 1ααααα+++===．故选C ．12．【答案】C【解析】∵tan α=2，∴2sin 3cos 2tan 32237sin cos tan 121αααααα++⨯+===---．故选C ．学-科网13．【答案】C【解析】角α的终边落在直线x +y =0上，取x =1，得y =–1，222r x y =+=，∴sin α=12y r -==–22．取x =–1，得y =1，222r x y =+=，∴sin α=1222y r ==．综上，sin α=22±．故选C ． 14．【答案】A【解析】∵角的终边过点（1，–2），∴x =1，y =–2，r =145+=，则cos θ=55x r =，sin θ=y r=–255，∴sin θcos θ=–255×55=–25，故选A ． 15．【答案】B【解析】∵点P （sin θ，cos θ）位于第四象限，∴sin 0cos 0θθ>⎧⎨<⎩，∴角θ所在的象限是第二象限．故选B ．16．【答案】C【解析】∵角α终边经过点P （sin2π2πcos33，），即点P （32，–12），∴x =32，y =–12，r =|OP |=1，则sinα=yr=y=–12，故选C．17．【答案】C【解析】点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动4π3弧长到达Q点，所以∠QOx=4π3，所以Q（cos 4π3，sin4π3），所以Q1322⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，．故选C．20．【答案】（1）76；（2）–35．【解析】（1）∵tanα=–43，∴4616sin cos6tan17343sin2cos3tan26323αααααα⎛⎫⨯-+⎪++⎝⎭=== --⎛⎫⨯--⎪⎝⎭．（2）由tanα=–43，于是2sinαcosα+cos2α=22222sin cos cos2tan1sin cos tan1ααααααα++=++=–35．21．【答案】–13．【解析】∵tanα=–12，∴()22222sin cos12sin cos sin cossin cos sin cos sin cosαααααααααααα+++==---=tan1tan1αα+-=–13．22．【答案】（1）45；（2）611．【解析】（1）∵cos b =–35，且b 为第二象限角，∴sin b =241cos 5b -=． （2）∵已知tan α=2，∴4sin 2cos 4tan 242265cos 3sin 53tan 53211αααααα--⋅-===+++⋅．23．【答案】（1）57；（2）310．【解析】（1）∵tαn α=3，∴4sin 2cos 4tan 255cos 3sin 53tan 7αααααα--==++．（2）∵tαn α=3，∴sin α•cos α=222sin cos tan 3sin cos tan 110αααααα⋅==++． 24．【答案】C【解析】tan α=sin cos αα=–34，①，sin 2α+cos 2α=1，②，又α为第二象限的角，∴sin α>0，cos α<0，联立①②，解得3sin 5α=，4cos 5α=-，则sin α+cos α=15-．故选C ．25．【答案】C【解析】A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α<sin α不成立，故A 不满足条件．B ．在CD 段正切线最大，则cos α<sin α<tan α，故B 不满足条件．C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tan α<cos α<sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cos α<sin α<tan α不满足tan α<cos α<sin α．故选C ．。
高一数学必修4三角函数的定义讲义
三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。
任意角的三角函数 课件
定
y
__x_____叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝
义 正切
y
____x___(x≠0)
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位 三角
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函 函数
数，将它们统称为三角函数
● 2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 sin α cos α
tan α
题型二 三角函数在各象限的符号问题
● 【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
●
A．第一象限 B．第二象限
●
C．第三象限 D．第四象限
●
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的正半轴重
合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．故选
解 由题意，设点 A 的坐标为(x，35)，所以 x2＋(35)2＝1，
解得 x＝45或－45．
3 当 x＝45时，角 α 在第一象限，tan α＝54＝34；
5
3 当 x＝－45时，角 α 在第二象限，tan α＝－545＝－34．
● 方向2 含参数的三角函数定义问题 ● 【例1-2】 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
同一
sinα＋k·2π＝__s_in__α__， 2．式子表示：cosα＋k·2π＝_c_o_s__α__，其中k∈Z.
tanα＋k·2π＝__ta_n__α__，
方向 1 三角函数定义的直接应用 【例 1-1】 在平面直角坐标系中，角 α 的终边与单位 α．
名师讲义 必修四：任意角的三角函数
任意角的三角函数目的1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.内容（一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
（二）单位圆与三角函数线：1.三角函数线的定义：当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足221x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
2.有向线段：带有方向的线段。
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
三角函数基础内容讲解-任意角的三角函数
任意角的三角函数一、任意角的三角函数1、任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 则比值r y叫做α的正弦 记作： sin α= 比值r x叫做α的余弦 记作： cos α=比值xy叫做α的正切 记作： tan α=2、例题讲解例1．已知角α的终边经过点P (2，－3)(如图)，求α的三个三角函数值.例2．求下列各角的三个三角函数值.(1)0 (2)π (3)23π (4) 2π例3.例4. ⑴ 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值⑵ 已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0)求2sin α+cos α的值基础练习1．已知角α的终边经过点p(—1,3),则ααcos sin +的值是（ ）A.213+ B.213- C.231- D.213+- 2．已知角θ的终边在直线y x =-上，则sin θ= ，cos θ= 。
3. 05sin902cos03sin 27010cos180+-+= 。
4. 若点()3,P y -是角α终边上一点，且2sin 3α=-，则y 的值是 。
二、三角函数的符号1、三角函数在各个象限的符号()0r >r y =αsin r x =αcos x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.2、终边相同的角的同一三角函数值相等公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k3、例题讲解例1. 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π例2. 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ例3. 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950°．基础练习1.已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在 （ ） A ．第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 若三角形的两内角,αβ满足sin cos 0αβ<，则此三角形必为 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.斜三角形 3．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的值域是 （ ）A ．{1}B ．{1，3}C ．{-1}D ．{-1，3}4．0sin 600=______________，()0cos 1050-= 。
任意角三角函数(实用)
周期性
正切函数是周期函数，其最 小正周期为 $pi$。
奇偶性
正切函数是奇函数，即 $tan(-x) = -tan(x)$。
值域
间断点
正切函数的值域为全体实数， 即 $R$。
正切函数在 $x = (k + frac{1}{2})pi$（$k$ 为整数） 处有间断点，即在这些点上 函数值不存在。
03
任意角三角函数运算规则
可以得出最终结果。
乘除运算规则及示例
乘除运算规则
对于任意角度α，其三角函数的乘除运算主 要涉及到倍角公式、半角公式等。例如， sin2α、cos2α等可以通过倍角公式进行计 算，而sinα/2、cosα/2等则可以通过半角 公式求解。
VS
示例
计算sin60°cos60°时，可以使用倍角公式 sin2α=2sinαcosα，将原式转化为 1/2sin120°，从而得出结果。同样地，对 于cos^2(45°)，可以使用半角公式进行求 解。
余弦函数图像与性质
周期性
振幅与相位
余弦函数也是周期函数，其最小正周期为 $2pi$。
余弦函数的振幅为 1，相位为 $pi/2$。与正 弦函数相比，余弦函数在相位上滞后了 $pi/2$。
奇偶性
值域
余弦函数是偶函数，即 $cos(-x) = cos(x)$ 。
余弦函数的值域为 $[-1, 1]$。
正切函数图像与性质
测量与定位
01
在工程测量中，三角函数常用于计算两点之间的距离、角度等
参数，以及进行定位和定向。
建筑设计
02
在建筑设计中，三角函数可以帮助设计师计算建筑物的角度、
高度、宽度等参数，以及进行日照和阴影分析等。
第三章 任意角的三角函数第一节 任意角的概念、弧度制
k360 60(kZ)
我们把具有共同的始边和终边的角,称为终边相同的角.若
角 的终边绕着其顶点按逆时针方向旋转 n 圈时,就形成了 n360 的角,按顺时针方向旋转 n 圈,就形成-n360 的角,所 有这些角都具有相同的终边.因此,所有与角 终边相同的角,包
括角 在内,有无穷多个,可用统一的式子表示:k 360 (kZ) ,若
第三章 任意角的三角函数
三角函数是基本初等函数之一．在中学，我们已经学过锐 角的三角函数，并且应用它们来解直角三角形和进行有关的计 算．但在科学技术领域和实际问题中，还经常用到任意大小的 角．因此我们需要将角的概念进行推广，然后进一步研究任意 角的三角函数．
•第一节 任意角的概念、弧度制
•第二节 任意角的三角函数
(2) 一般规定,正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零 角的弧度数为零.
用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数集之间建 立了一种一一对应的关系:每一个角都有惟一确定的一个实数 (即这个角的弧度数)与它相对应,反之,每一实数也都有惟一的 一个角与它相对应.其对应关系如图3-6所示.
正角 零角 负角
由弧度的定义可知：
1周角=360 = 2 rad
1平角=180 = rad
1直角= 90
=
rad
2
由上面三个式子可以推导出角度制与弧度制之间的换算公式:
1 180rad 0.01745rad 1rad 180 57.3 57 18
(?1 弧度的角与1 的角相比较,哪个角大?)
由换算公式,我们可以把任意大小的角进行角度制与弧度 制之间的互化.下面是常用的一些特殊角的角度与弧度数的对 应(表3-1).
(4) 因为1080 3360 0, 所以 1080 的角与 0 的角具有相同的终边.
任意角的三角函数讲义
任意角的三角函数讲义1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同(的终边在终边所在射线上) ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
终边共线(的终边在终边所在直线上) 终边关于轴对称终边关于轴对称终边在轴上的角可表示为：终边在轴上的角可表示为：的终边关于直线对称，则的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则5.弧长公式：，扇形面积公式：如已知扇形AOB 的周长是6cm，该扇形的中心角是1 弧度，求该扇形的面积。
6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P 的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的取值范围是_______细节决定成败，态度决定命运，勤奋改变未来，智慧缔造神话。
，试判断的符号7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
如为锐角，则的大小关系为_______ （3）函数的定义域是_______8.特殊角的三角函数值：30 45 60 90180 270 15 75 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot（3）商数关系：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。
1.2任意角的三角函数讲义
1.2任意角的三角函数（一）、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ， 那么: （1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； （3）yx叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；可以看出：当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标0x =，所以tan yxα=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。
正弦，余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
注：取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ，则对应的角α的正弦值sin α=，余弦值cos α=tan baα=。
注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。
例1、有下列命题:①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,，则α是第一、二象限的角;④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点，则cos α=(其中正确的命题的个数是) .A 、1B 、2C 、3D 、4 例2、若sin 0θ<且tan 0θ>，则θ是第__________象限角。
例3、若sin cos 0θθ>，则θ在（）A 、第一或第二象限B 、第一或第三象限C 、第一或第四象限D 、第二或四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-⋅≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在第几象限。
例5、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值例6、有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin 0α>，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且(,)P x y是其终边上的任一点，则cos α=其中正确命题的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、4 例7、已知角θ的终边上有一点(,3)(0)P x x ≠，且cos θ=，求sin ,tan θθ的值例8、已知1sin sin 01tan tan ααα+<+，求α是第几象限角（三）、三角函数的定义域 各种三角函数的定义域 例9：求函数sin cos tan x xy x+=的定义域（五）、诱导公式一根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一种三角函数的值相等，由此得到公式一例14、求值（1）0sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+ （2）1112sin()cos tan 465πππ-+⋅例15、（1）计算1112cos()sin tan 665πππ-+⋅；（2）比较0sin1155与0sin(1654)-的大小例16、确定0tan(672)-的符号例17、求00000sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-⋅+-⋅-+的值例18、化简下列各式（1）22sin(1350)tan 4052cos(1080)a b ab -+-- （2）1112sin()cos tan 465πππ-+⋅（六）、同角三角函数的基本关系 一、同角三角函数的基本关系 1、平方关系：22sin cos 1αα+= 2、商数关系：sin tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 他们还有如下等价形式：2222sin sin 1cos ,cos 1sin ,sin cos tan ,cos tan αααααααααα=-=-==222(sin cos )sin cos 2sin cos 1+2sin cos αααααααα+=++=222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα-=+-=- 22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=例19、已知tan 2α=-，求sin ,cos αα的值例20 例21、化简44661cos sin 1cos sin αααα----例22、已知sin 3cos 0αα+=，求sin ,cos αα的值例23、已知11sin ,cos ,333k k k k k αα+-==≠--，求tan 1tan 1αα-+的值例24、已知tan 3α=，求下列各式的值（1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ （2）2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα--- （3）2231sin cos 42αα+例25、已知1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，求33sin cos ,sin cos θθθθ-+例27、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值（1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++例33、已知sin ,cos αα是方程236210x kx k +++=的两根，求实数k 的值练习：1、 若且tan 0α>，则α是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、已知点Q(3,4)是α终边上的一点，则sin cos tan ααα++等于（ ） A.1 B.4115 C. 253D.12 3、已知cos tan 0θθ⋅<,那么角θ是( )A.第一或第三象限角B.第二或第四象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角4、已知33cos =-,(2,2)(),52k k k Z πααπππ∈++∈则tan α等于( ) A. 43 B. -43 C. 34 D. 3-45、当α为第二象限角时,|sin ||cos |sin cos αααα-的值是( ) A.1 B.0 C. 2 D.-26cos x =-,则x 的范围是_____________________. 知能提升突破1. 已知角α的终边在射线3(0)y x x =-≥上,则sin cos αα等于( )A. 310-B. C. 310 D.2. 在[0,2]π上满足1sin 2α≥的α的取值范围是( ) A. [0,]6π B. 5[,]66ππ C. 2[,]63ππ D. 5[,]6ππ3. 已知sin 3αα=为锐角,则cos α等于( )A.79B. C. D. 34. 已知α=,则22sin cos αα+等于( )B.0C. 1D.无法确定5. 若α为第三象限角,( )A.3B.-3C. 1D.-1 6. 若sin 2cos θθ=,则22sin sin cos 2cos θθθθ+⋅-=( )A. 43-B. 54C. 34- D. 457. 若1sin cos 5αα+=-,且0απ<<,则tan α的值是( )A.3-4或-43 B. 43 C. -43 D.3-48. 在(0,2)π内使cos sin tan x x x >>成立的x 的取值范围是( ) A. 3(,)44ππB. 53(,)42ππ C. 3[,2)2ππ D. 37[,]24ππ 9. 若3(,)4πθπ∈,则下列各式错误的是_________ ①sin cos 0θθ+<②sin cos 0θθ->③sin cos θθ<④sin cos 0θθ+>10.11. 已知1sin cos 8αα⋅=,且42ππα<<,则sin cos θθ-=___________________ 12. 已知tan 3α=,求22sin 4sin cos 2cos αααα+-的值. 13. 已知tan 2α=,求sin α和cos α的值.14. 利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合. (1)1sin 2α=②tan 1α=- ③1sin 2α<-④cos 2α≥15. 化简16. 已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin x θ=或cos ,(0,2)x θθπ=∈,求sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值.。
三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数讲义理-高考数学一轮复习资料
第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念01端点从一个位置旋转到另一个位置所成(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着□的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式01半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一(1)定义：把长度等于□个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝□01y ，cos α＝□02x ，tan α＝□03y x. (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的□04正弦线、□05余弦线和□06正切线．1．概念辨析(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)不相等的角终边一定不相同．( )(4)借助三角函数线可知，若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ；因为9π4＝2π＋π4，所以与9π4终边相同的角可表示为k ·360°＋45°(k ∈Z )或k ·360°－315°等，故选C.(2)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 因为sin θ<0，所以θ的终边位于x 轴的下方，因为tan θ<0，所以θ的终边在第二、四象限，所以角θ的终边一定落在第四象限．(3)已知扇形的圆心角为120°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 答案 3π解析 设此扇形的半径为r ，由题意得2π3r ＝2π，所以r ＝3，所以此扇形的面积为12×2π×3＝3π.(4)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________. 答案115解析 因为r ＝|OP |＝42＋－2＝5，所以cos θ＝45，sin θ＝－35，所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝115.题型 一 象限角与终边相同的角1．(2018·长春一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π－π3，k ∈ZB ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋2π3，k ∈ZC ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－2π3，k ∈Z D ．{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π3，k ∈Z 答案 D解析 因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π－π3，k ∈Z ，故选D. 2．与2019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 答案 219°解析 因为2019°＝5×360°＋219°，所以与2019°终边相同的角可表示为k ·360°＋219°(k ∈Z )．其中在0°～360°内的角是219°.3．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．答案 一或三解析 因为角α是第二象限角， 所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .所以α2是第一或第三象限角．1．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．如举例说明3中角α的表示方法.1.已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 答案 一解析 α的终边与－α的终边关于x 轴对称，－α的终边逆时针旋转180°得180°－α的终边，所以由α是第二象限角可知，180°－α是第一象限角.2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 答案 －675°或－315°解析 与45°终边相同的角可表示为α＝k ·360°＋45°(k ∈Z )，当k ＝－1时，α＝－360°＋45°＝－315°；当k ＝－2时，α＝－720°＋45°＝－675°，所以在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为－675°或－315°.3.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．答案 {α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4<α<2k π＋5π6，k ∈Z解析 在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π6，所以所求角的集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4<α<2k π＋5π6，k ∈Z .题型 二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用1.已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( ) A.2 B ．1 C.12 D ．3答案 A解析 解法一：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大， 这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.解法二：设扇形圆心角的弧度数为α， 弧长为l ，则l ＋2lα＝4.故l ＝41＋2α.又S ＝12lr ＝l 22α＝41＋2α212α＝8α＋4α＋4≤84＋4＝1. 当且仅当α＝4α，即α＝2时，S 取最大值.2.(2018·成都模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是________．答案1sin1解析如图所示，设半径为R ，则12R ＝sin1，所以R ＝12sin1， 弧长l ＝αR ＝2R ＝1sin1.条件探究1 若举例说明1改为扇形的圆心角为6，面积为13，求扇形的弧长．解 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝6，12lr ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝13.条件探究2 若举例说明1条件改为扇形的面积是4 cm 2，当扇形周长最小时，求扇形的圆心角的弧度数．解 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则扇形的面积S ＝12lr ＝12αr ·r ＝12αr 2＝4，所以αr ＝8r，设扇形的周长为L ，则L ＝2r ＋αr ＝2r ＋8r，r ∈(0，＋∞)，由L ′＝2－8r 2＝2r 2－8r2＝r ＋r －r 2＝0，得r ＝2，当r ∈(0,2)时，L ′<0，L ＝2r ＋8r单调递减， 当r ∈(2，＋∞)时，L ′>0，L ＝2r ＋8r单调递增，所以当r ＝2时，扇形的周长L 取得最小值， 此时扇形的圆心角α＝8r 2＝84＝2.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.1.扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________ cm 2. 答案360π解析 由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.2.如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案 3解析 设这个扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，变化后半径为r ′，弧长为l ′，圆心角为α′，则α′＝l ′r ′＝32l 12r ＝3α，所以该弧所对的圆心角是原来的3倍.题型 三 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数的定义求值1.(2018·济南二模)已知角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则sin α＋cos α等于( )A.－55 B ．±55 C ．－35 D ．±35答案 B解析 ∵角α的终边经过点(m ，－2m )，其中m ≠0，则当m >0时，x ＝m ，y ＝－2m ，r＝5|m |＝5m ，sin α＝y r ＝－2m 5m ＝－255，cos α＝x r ＝m 5m ＝55，sin α＋cos α＝－55.当m <0时，x ＝m ，y ＝－2m ，r ＝5|m |＝－5m ，sin α＝y r ＝－2m －5m ＝255，cos α＝x r ＝m－5m＝－55，sin α＋cos α＝55.综上可得，sin α＋cos α＝±55.角度2 三角函数值符号的判定2.(2018·怀化模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A.小于0 B ．大于0 C.等于0 D ．不存在答案 A解析 因为π2<2<3<π<4<3π2，所以2 rad 和3 rad 的角是第二象限角，4 rad 的角是第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.角度3 三角函数线的应用3.函数y ＝2sin x －1的定义域为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .1.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．2．三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦，三正切、四余弦． 3．三角函数线的两个主要应用 (1)三角式比较大小； (2)解三角不等式(方程).1.若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( )A.第一象限角 B ．第二象限角 C.第三象限角 D ．第四象限角答案 D解析 由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，cos θ>0，又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角，选D.2.满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 {α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z解析 由三角函数线画出满足条件的x 的终边范围(如图阴影所示)．所以α∈{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .3.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x ＝________.答案 52解析r＝|OP|＝－x2＋－2＝x2＋36，因为cosα＝－513，所以－xx2＋36＝－513，显然x＞0，解得x＝52.。
1.2.1任意角的三角函数第1课时任意角的三角
第1课时 任意角的三角函数的定义1．任意角的三角函数的定义的正弦，记作sin α，即的余弦，记作cos α，即3.(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．诱导公式一思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？ 提示：一定相等．1．若角α的终边经过点P (2，3)，则有( ) A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝232．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角3．sin 253π＝ ．[探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x ，3)(x ＞0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值为 ；(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． ∵x ＞0，∴x ＝1，∴r ＝10..2．将本例(1)中“P (x ，3)”改为“P (x ，3x )”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？3．将本例(2)的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变，结果又如何？【例2】 (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ．2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．(2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝ ．4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°； (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4.。
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教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：高一 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：课 题 任意角的三角函数及诱导公式授课日期及时段教学目的1、学习并掌握任意角度的三角函数的定义；2、理解并掌握同角三角函数的关系及诱导公式；3、能利用三角函数的关系及诱导公式进行分析问题。
教学内容一、上次作业检查与讲解；二、学习要求及方法的培养：三、知识点分析、讲解与训练：一、任意角：(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为________、________、________。
②按终边位置不同分为________和________． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成_______________________________________________。
(3)弧度制①1弧度的角：_______________________________________________叫做1弧度的角。
②规定：正角的弧度数为______，负角的弧度数为________，零角的弧度数为______，|α|＝______，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
比值lr 与所取的r 的大小________，仅与___________有关。
④弧度与角度的换算：360°＝______弧度；180°＝______弧度。
⑤弧长公式：________，扇形面积公式：S 扇形＝________＝__________。
二、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0yx xα=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
三角函数线：设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的__________．由三角函数的定义知，点P 的坐标为________________，即知识回顾______________，其中cos α＝______，sin α＝______，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝______.我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的__________、__________、__________。
三角函数线(Ⅰ) (Ⅱ)(Ⅲ) (Ⅳ)有向线段______为正弦线；有向线段______为余弦线；有向线段______为正切线。
三、同角三角函数的关系：（1）平方关系： xx x x 2222cos 11tan 1cos sin =+=+及变形式 （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。
在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。
三、三角函数诱导公式： 三角函数诱导公式（2kπα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限。
()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．例一、（1）（10全国I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k -C. 21k k -D. -21k k-（2）（10全国1卷文1）cos300︒=（ ）A.32-B.-12C.12D.32（3）α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = ；)25cos(απ+= 。
（4）（07重庆）下列各式中，值为23的是 ( ) A.2sin15cos15︒︒ B.︒-︒15sin 15cos 22 C.115sin 22-︒ D.︒+︒15cos 15sin 22例二、（1）已知角θ的终边经过点P 2(3,)(0),sin 4m m m θ-≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值。
（2）已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值。
（3）求函数xxxx y tan tan cos cos +=的值域。
（4）求函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域。
例三、（1）若21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x的值是_________________。
（2）若α是第四象限的角，且2cos2sin212cos2sinαααα-=-，则2α是_________________。
（3）若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于_________________。
（4）化简： cos 4α－sin 4α＋2sin 2α=_________________。
典例精讲例四、（1）已知2tan =α，求下列各式的值： (1)ααααsin cos 3sin 3cos 2++； (2)2cos sin 2sin 2+-ααα；（2）已知2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ⋅的值。
例五、求证：()xx x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。
例六、设f(x )=)(])12[(cos )(sin )(cos 222Z n x n x n x n ∈-+-⋅+πππ， 求f (6π)的值。
1、若02,sin 3cos απαα≤≤>，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭2、已知41tan =a ，),2,23(ππ∈a 则a sin 等于 （ ） A ．1717B ．1717-C ．17174- D ．415 巩固练习3、若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为 ( )A ．2k π＋β (k ∈Z )B ．2k π－β (k ∈Z )C ．k π＋β (k ∈Z )D ．k π－β (k ∈Z )4、已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．85、有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2. 其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46、（1）97costan()sin 2146πππ+-+的值为________； （2）已知54)540sin(-=+α，则=-)270cos( α 。
7、若α为第二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα________。
8、若α为第二象限角，那么αααα2cos ,2tan ,2cos,2sin 中，其值必为正的有 。
9、已知α的终边过点)2,93(+-x x ，且αcos ≤0，0sin >α，则∈x ____________。
10、已知α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m ) (m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________。
11、若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝__________，tan β＝________。
12、一扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________。
13、如果5sin tan )(3-+=x b x a x f ，并且2)1(=f ，那么)1(-f = 。
14、求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）15、已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a，若θ是第二象限角，求实数a 的值。
16、角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值。
17、已知sin α·cos α＝81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少?18、)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证：。
19、求证：Z k k k k k ∈-=α+π+α+π+α+πα-π,1])1cos[(])1sin[()cos()cos(。
20、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为 。
21、已知1sin sin 2=+θθ，求1sin 2cos cos 342+-+θθθ的值。
22、sin α与cos α是方程0)13(22=++-m x x 的两个根，求实数m 。