济南市长清中学(2019届)春季高考班一轮复习讲义(集合与逻辑用语)
高考数学一轮复习讲义： 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.简单的逻辑联结词1.含简单的逻辑联结词的命题真假的判断2.由含逻辑联结词的命题的真假求参数范围A 填空题★☆☆2.全称量词与存在量词1.全称命题和存在性命题真假的判断2.全称命题和存在性命题的否定A 填空题★☆☆分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(2014湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(2015课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(2015山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(2013重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(2013四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ ;④p且q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是.答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(2018江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)5.(2017江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(2017江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p:.答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(2017江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(2016江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(2017江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p或q”“ ”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ”是假命题;③命题“ ∨q”是真命题;④命题“ ∧ ”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(2018江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,s in x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(2018江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m 的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。
2019届高考文科数学一轮复习讲义：第1章 集合与常用逻辑用语 全套打包可编辑
第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.3.集合的基本运算知识拓展1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)题组二教材改编2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________. 答案{x|x是直角}3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一 集合的含义1．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 1解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 经检验，a ＝1符合题意．2．若A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }＝{6,8,12}．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二集合的基本关系典例(1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是() A．5 B．4 C．3 D．2答案 B解析∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．答案[2 018，＋∞)解析由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2 018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、维恩(Venn)图等来直观解决这类问题．跟踪训练(1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为()A.13或－12B．－13或12C.13或－12或0 D．－13或12或0答案 D解析由题意知，A＝{2，－3}．当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上可知，a 的值为－13或12或0.(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，4]解析 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算典例 (1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1} D ．A ∩B ＝∅答案 A解析 ∵B ＝{x |3x <1}，∴B ＝{x |x <0}．又A ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}． 故选A.(2)(2018届广东珠海二中月考)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∪B ＝R 答案 D解析 ∵A ＝{x |x >2或x <0}，∴A ∪B ＝R . 命题点2 利用集合的运算求参数典例 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1 答案 D解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 D解析 由题意可得{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用维恩(Venn)图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}．又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}， 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2)B ．[－1,3]C ．[2，＋∞)D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型四 集合的新定义问题典例 若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4,0≤q <s ≤4,0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )等于( )A ．200B ．150C ．100D ．50 答案 A解析 在集合E 中，当s ＝1时，p ＝q ＝r ＝0，此时只有1个元素；当s ＝2时，p ，q ，r ∈{0,1}，此时有2×2×2＝8(个)元素；当s ＝3时，p ，q ，r ∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27(个)元素；当s ＝4时，p ，q ，r ∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64(个)元素，故card(E )＝1＋8＋27＋64＝100.在集合F 中，(t ，u )的取值可能是(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10种可能．同理，(v ，w )也有10种可能，故card(F )＝10×10＝100，∴card(E )＋card(F )＝200. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练 定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3<x ≤4} B ．{x |3≤x ≤4} C ．{x |3<x <4} D ．{x |2≤x ≤4}答案 B解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知，B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}．1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C．A B D．B A答案 D2．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)答案 A解析∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．故选A.3．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 4．(2017·吉林大学附中模拟)若集合A＝{x∈N|5＋4x－x2>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于() A．∅B．{1,2}C．[0,3) D．{0,1,2}答案 D解析由A中不等式变形，得(x－5)(x＋1)<0，x∈N，解得－1<x<5，x∈N，即A＝{0,1,2,3,4}，∵B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{0,1,2}．5．(2017·潍坊调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}答案 B解析因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．6．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为()A．8 B．4 C．3 D．2答案 B解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)答案 B解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝________.答案 (1,2)解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}．10．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝______. 答案 1解析 由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1.11．(2018·衡水模拟)若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝________. 答案 [0，＋∞)解析 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ， B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则集合A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．(2017·黄山二模)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －1x ＋2≥0，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{0,1,2}答案 C解析 ∵集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －1x ＋2≥0＝{x |x <－2或x ≥1}， ∴B ＝{x |－2≤x <1}，则A ∩B ＝{－2，－1,0}．14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1， 则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为______． 答案 8 解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， ∴4是方程x 2－2x －m ＝0的根， 即42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意， 故实数m 的值为8.§1.2命题与量词、基本逻辑联结词1．命题的概念能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．3．存在量词与存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题：含有存在量词的命题．(3)存在性命题的符号表示：形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．(4)全称命题与存在性命题的否定4.基本逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题真值表知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为() A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三 易错自纠4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( ) A ．全等三角形的面积不一定都相等 B ．不全等三角形的面积不一定都相等 C ．存在两个不全等三角形的面积相等 D ．存在两个全等三角形的面积不相等 答案 D解析 命题是省略量词的全称命题，易知选D. 5．下列命题中， 为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0 B ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0 答案 A6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．p ∧(綈q ) D ．綈q答案 B解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题． 由3x >0，得0<13x＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B. 2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．其中正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、存在性命题的真假典例(2017·韶关二模)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2答案 B解析当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0答案 D解析 全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x ∈R,1＜f (x )≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R,1＜f (x )≤2 B ．∃x ∈R,1＜f (x )≤2 C ．∃x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析 存在性命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全称(存在性)命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0， 即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x ∈R ，e x －x －1≥0B ．∃x ∈R ，e x －x －1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C.题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.常用逻辑用语考点分析 有关命题及其真假判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析 (1)因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题，故选B. (2)若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题， ∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题， ∴(綈p )∧q 是真命题． 答案 (1)B (2)B 二、求参数的取值范围典例2 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题． 当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ； 当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4， 所以a ∈[e,4]．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (1)[e,4] (2)(－∞，0]1．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真 B ．p ∧q 为真 C ．p 真q 假 D ．p ∨q 为假答案 D解析∵p假，q假，∴p∨q为假．2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称，则下列判断正确的是()A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案 C解析函数y＝sin 2x的最小正周期为2π2＝π，故命题p为假命题；x＝π2不是y＝cos x的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.3．(2018·唐山一模)已知命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x －1)的图象过点(2,0)，则下列判断正确的是()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真答案 A解析对∀x∈N，x3≥x2，∴p假，又当x＝2时，f(2)＝log a1＝0，∴f(x)的图象过点(2,0)，∴q真．4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是()A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)C．∃x∈R，f(－x)≠f(x)D．∃x∈R，f(－x)＝－f(x)答案 C解析由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，∃x∈R，f(－x)≠f(x)是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p：∃x∈(0，＋∞)，x＋1x＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是()A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q 答案 A解析对于命题p，当x＝4时，x＋1x＝174＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x∈(2，＋∞)，使得2x＝x2成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.6．已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则下列结论正确的是( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∧q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 A解析 对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 是真命题；对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 是真命题． 由此可得p ∧q 是真命题． 7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，e x ≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“ab＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是________________． 答案 ∀n ∈N ，n 2≤2n10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞.13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．答案 [－1,6]解析 p ：－4<x －a <4等价于a －4<x <a ＋4；q ：(x －2)(3－x )>0等价于2<x <3.又綈p 是綈q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4>3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4<2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 14．下列结论：①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧(綈q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案①③解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p：∃x∈R，e x－mx＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．答案[0,2]解析若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．由e x－mx＝0，可得m＝e xx，x≠0，设f(x)＝e xx，x≠0，则f′(x)＝x e x－e xx2＝(x－1)e xx2，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)＝e xx在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x<1或x<0时，f′(x)<0，函数f(x)＝e xx在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝e xx的值域是(－∞，0)∪[e，＋∞)，由p是假命题，可得0≤m<e.当命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.16．已知函数f(x)＝x2－x＋1x－1(x≥2)，g(x)＝a x(a>1，x≥2)．(1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．答案(1)[3，＋∞)(2)(1，3]解析(1)因为f(x)＝x2－x＋1x－1＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若∃x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1．充分条件、必要条件与充要条件 (1)“如果p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件． p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(3)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(4)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题组二教材改编2．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题答案 A3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．5．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析x＞y⇏x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，但当x＞|y|时，能有x＞y.∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．6．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2＜x＜3} {x|x＞a}，∴a≤2.题型一命题及其关系1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福答案 D2．原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．真，假，假答案 B解析若cos A<0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cos A>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.3．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分必要条件的判定典例(1)“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析方法一若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，∴cos x＝1－m有解．要使函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A.方法二函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，则|m－1|≤1，解得0≤m≤2，∵{m|0≤m≤1} {m|0≤m≤2}．∴“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1”有零点的充分不必要条件．(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练(1)(2018届莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件答案 D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．(2)设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若“(a －b )a 2＜0”，则“a ＜b ”，是真命题；而若“a ＜b ”，则“(a －b )a 2＜0”当a ＝0时不成立，是假命题．故选A.题型三 充分必要条件的应用典例 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练 (1)(2017·山西五校联考)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知，B A ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.(2)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N ＋，则n ＝1,2,3,4.当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4.等价转化思想在充要条件中的应用典例 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．思想方法指导 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．解析 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．又由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．答案 [9，＋∞)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B。
(新课标)19届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算课件文
真子集
________或 ________ ∅⊆A，∅ B (B≠∅)
空集
结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有________个， 非空真子集有________个．
4．两个集合 A 与 B 之间的运算 集合的并 集 集合的交 集 集合的补 集 若全集为 U， 则集合 A 的补集 记为 ________
自 查 自 纠： 1．(1)元素 集合 (2)确定性 (3)列举法 描述法 互异性 无序性
2．N N*(N＋) Z Q R C 3．(1)属于 a∈A 不属于 a∉A (2)A⊆B 且 B⊆A A⊆B B⊇A A B 非空集合 2n 2n－1 2n－2
B A
4．A∪B A∩B ∁UA {x|x∈A 或 x∈B} {x|x∈A 且 x∈B} {x|x∈U 且 x∉A} 5．(1)①⊆ ②⊆ ③A ④∅ ⑤＝ (2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤＝ (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A⊆B ②A＝B (5)card(A)＋card(B)－card(A∩B) card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)
符号 表示
Venn 图表 示(阴影部 分) 意义
5.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B________A； ②A∩B________B； ③A∩A＝________； ④A∩∅＝________； ⑤A∩B________B∩A. (2)①A∪B________A; ②A∪B________B； ③A∪A＝________； ④A∪∅＝________； ⑤A∪B________B∪A. (3)①∁U(∁UA)＝________； ②∁UU＝________； ③∁U∅＝________； ④A∩(∁UA)＝________； ⑤A∪(∁UA)＝________.
济南市长清中学(2019届)春季高考班一轮复习讲义(集合与逻辑用语)
济南市长清中学春季高考班一轮复习讲义——（第一章、集合与逻辑用语）例1、(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( )A 、 1B 、3C 、5D 、9(2)已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2019a 的值为________、变式训练1、设集合A ＝{xx －1|<2}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )A 、[0，2]B 、(1，3)C 、[1，3)D 、(1，4)2、已知集合M ＝{a 2，a ＋1，－3}，N ＝{a －3，2a －1，a 2＋1}，若M ∩N ＝{－3}，则a 的值是( )A 、 －1B 、 0C 、 1D 、 2例2、(1)已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4(2)已知集合A ＝{x|1≤x<5}，C ＝{x|－a<x ≤a ＋3}、若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A 、 －32<a ≤－1B 、 a ≤－32C 、 a ≤－1D 、 a>－32变式训练3、已知集合A ＝{2，3}，B ＝{x|mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 等于( )A 、 3B 、 2C 、 2或3D 、 0或2或3例3、(1)已知全集U ＝R ，A ＝{x|x ≤0}，B ＝{x|x ≥1}，则集合∁U (A ∪B)＝( )A 、 {x|x ≥0}B 、 {x|x ≤1}C 、 {x|0≤x ≤1}D 、 {x|0<x<1}(2)已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且A ∪(∁R B)＝R ，则实数a 的取值范围是( )A 、 a ≤1B 、 a<1C 、 a ≥2D 、 a>2变式训练4、设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x|x 2>4，x ∈N}，B ＝{0，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A 、 {x|x>2，x ∈N} B 、 {x|x ≤2，x ∈N} C 、 {0，2} D 、 {1，2}例4、下列四个命题中：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形相似”的逆命题； ③“若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x 3＝2，则x 是无理数”的逆否命题、其中是真命题的是( )A 、 ①②③④ B 、 ①③④ C 、 ②③④ D 、 ①④变式训练5、有以下命题：③ 若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题。
济南市长清中学(2019届)春季高考班一轮复习测试题(集合与逻辑用语)
济南市长清中学春季高考班一轮复习测试题-----（集合与逻辑用语）一、选择题：1、若集合{0}M =，则下列关系中正确的是（ ）A 、M =∅ B 、0M ∈ C 、0M ∉ D 、0∈∅2、集合{|23}A x x =-≤<用区间表示为（ ）A 、(2,3)-B 、[2,3]-C 、[2,3)-D 、(2,3]-3、已知集合{,,}U a b c =，集合{,}M a b =，集合{,}N b c =，则()U M N C M ⋂⋃等于（ ）A 、{,}a bB 、{,}a cC 、{,}b cD 、{,,}a b c4、下列命题是真命题的是（ ）A 、3x >是5x >的充分条件B 、21x =是1x =的充分条件C 、a b >是22ac bc >的必要条件D 、2πα=是sin 1α=的充要条件5、如果p ⌝是真命题，p q ∨也是真命题，则下列说法正确的是（ ）A 、,p q 都是真命题B 、p 是真命题，q 是假命题C 、,p q 都是假命题D 、p 是假命题，q 是真命题6、若设,M N 表示集合，则M N M ⋂=是M N ⊆的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7、若集合{1,2,3,4},{1,2,3}M N ==，则下列关系式正确的是（ ）A 、M N M ⋂=B 、M N N ⋃=C 、M N ⊂≠D 、N M ⊂≠8、如果p 是假命题，q 是真命题，则下列命题是真命题的是（ ）A 、p ⌝B 、p q ⌝∧⌝C 、()p q ⌝∨D 、p q ∧9、"2"a c b +=是",,"a b c 成等差数列的（ ）条件A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10、若集合{|10},{1,2}M x x M =-==，则M N ⋃等于（ ）A 、{1} B 、{2} C 、{1,2} D 、{1,1,2}-11、设命题:p 对2,0x R x ∀∈>，则p ⌝是（ ）A 、2,0x R x ∃∈<B 、2,0x R x ∃∈≤C 、2,0x R x ∀∈<D 、2,0x R x ∀∈≤12、"0"a >是2"0"a >的（ ） A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件13、集合{1,2,3},{1,3}A B ==，则A B ⋂等于（ ）A 、{1,2,3} B 、{1,3} C 、{1,2} D 、{2}14、“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件15、对于命题,p q ，若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ）A 、,p q 都是真命题B 、,p q 都是假命题C 、,p q 一个是真命题，一个是假命题D 、无法判断16、已知集合{(,)|21},{(,)|34}A x y x y B x y x y =+=-=-=，那么集合A B ⋂=（ ）A 、{1,1}-B 、{1,1}-C 、{(1,1)}-D 、{(1,1)}-17、满足{1}{1,2,3,4}A ⊂⊆≠的集合A 有（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、818、已知{||1|2},{|0}A x x B x x a =-<=->，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ）A 、0a ≤B 、1a ≤-C 、1a <D 、1a >19、设,a b 是实数，则220a b +≠的充要条件是（ ）A 、0a ≠B 、0b ≠C 、0a ≠且0b ≠D 、0a ≠或0b ≠20、下列命题是命题是（ ）A 、a b =是33a b =的充要条件B 、240x -=是20x -=的充分条件C 、sin sin αβ=是αβ=的必要条件D 、5x <是3x <必要条件二、填空题：21、设集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a =22、设集合22{|320},{|2310}A x x x B x x x =-+==-+=，则A B ⋂=23、设命题2:,90p x R x ∃∈-=，则:p ⌝24、集合{,,}A a b c =的非空真子集的个数为 个。
山东省春季高考数学复习要点——集合与数理逻辑用语
山东省春季高考数学复习要点——集合与数理逻辑用语集合及其运算一、集合的概念（一） 集合元素的性质：确定性与互异性（二） 部分常用数集：*,,,,,N Z Q R N N +等．二、集合的表示方法（一）列举法（二）性质描述法特征性质：三、元素与集合、集合与集合间的关系（三） 子集的概念，真子集的概念，集合相等的概念（四） 相关的符号：∈∉⊆⊇⊂⊃∅、、、、=、、、、⊂≠、⊃≠（五） 写出某一集合的所有子集与真子集，如{},,,a b c d ．并能计算出子集的个数与真子集的个数．例：已知集合M 满足条件{}{}2,32,3,5,6,8,9M ⊆⊆，则集合M 共有 个． 已知集合M 满足条件{}{}2,32,3,5,6,8,9M ⊂⊆≠，则集合M 共有 个．四、集合的相关运算（一）相关概念：交集、并集、补集（二）运算：例1：已知{}1,2,3,4,5,6,7A =，{}2,4,6,8,9B =，{}|010,U x x x N =≤≤∈，求U U U U U C A C B C A B C A C B ，，，等．例2：已知集合{}2|240A x x x =--≤，{}|B x x a =>，且A B ⊂，求a 的取值范围． 逻辑联结词一、“且”与“或”（一）且或的真值表（二）p q ∨的含义：例：命题“明天刮风或明天下雨”在“明天刮风不下雨”、“明天下雨不刮风”、“明天既下雨又刮风”三种情况下，出现一种情况均为真命题．（三）例：判断真假：1．集合A 是A B 的子集或是A B 的子集． 2．集合A 是A B 的子集且是A B 的子集．3．对于∀集合A 、B ，A B 都是A B 的子集． 三、“非”与“如果…那么…”（一）写出命题的非1．简单命题的非例：A ．某班所有学生都是寿光人．B ．某班学生不都是寿光人 C ．某班学生至少有一人是寿光人D ．某班学生至少一人不是寿光人．2．含量词∀、∃的非例A ．对∀实数x ，都是方程350x -=的根．B ．∃一个实数x ，是方程2320x x -+=的根．3．且或联结的命题的非德摩根定律：例：A ．方程2160x -=的解是4x =或是4x =-B ．牛顿是数学家又是物理学家C ．有些三角形是直角三角形（二）如果……那么……真值表 四、充分条件与必要条件例1．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么，① s 是q 的什么条件 ②r 是q 的什么条件 ③p 是q 的什么条件．例2．0ab =是0a =的什么条件，0a ≠是0ab ≠的什么条件？集合与数理逻辑用语的关系一、子集与推出的关系A B ⊆与()()p x q x ⇒等价若()()p x q x ⇒且()()q x p x ⇒则A B =例1：已知{}|3A x x =>，{}|3B x x =>，则集合A 与集合B 的关系是什么？例2：已知,x y R ∈，命题甲55x -<：命题乙：55x -<，那么命题甲是命题乙的 条件． 二、集合运算与逻辑联结词的关系重新定义：交集：()(){}A B x p x q x =∧ 并集：()(){}A B x p x q x =∨ 补集：()(){}U C A x u x p x =∧⌝例1：某班共有40人，参加了语文和数学两个兴趣小组，其中参加了语文小组的有18人，参加了数学小组的有27人，如果每个同学至少参加一个课外小组，求同时参加语文和数学小组的学生共有多少人？。
2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲
触类旁通 全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法 ①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立． ②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)不成立即可． (2)特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题 就是假命题．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”)
(1)命题 p∧q 为假命题，则命题 p，q 都是假命题．( × ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题．( √ )
(3)若命题 p，q 至少有一个是真命题，则 p∨q 是真命 题．( √ )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个
∴p 为真命题，綈 p 为假命题． ∵当 a＝－1，b＝－2 时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈 q 为真命题．
根据真值表可知 p∧(綈 q)为真命题，p∧q，(綈 p)∧q，
(綈 p)∧(綈 q)为假命题．故选 B.
触类旁通 “p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤
题，则綈 q 是真命题，p∧(綈 q)是真命题，故选 D.
5．[课本改编]命题“任意 x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命
题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
解析 命题“任意 x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充
要条件是 a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子
命题角度 2 全称命题、特称命题真假的判断
2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算精选教案理
第1讲 集合的概念与运算1．元素与集合(1)集合元素的特性：__确定性__、__互异性__、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作__a ∈A __；若b 不属于集合A ，记作__b∉A __.(3)集合的表示方法：__列举法__、__描述法___、图示法． (4)常见数集及其符号表示2．集合间的基本关系 __A B __或__B A __∅B 且B ≠∅3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示(2)三种运算的常见性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . ②A ∩A ＝__A __，A ∩∅＝__∅__. ③A ∪A ＝__A __，A ∪∅＝__A __.④A ∩∁U A ＝__∅__，A ∪∁U A ＝__U __，∁U (∁U A )＝__A __. ⑤A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)集合{x 2＋x,0}中，实数x 可取任意值．( × ) (2)任何集合都至少有两个子集．( × )(3)集合{x |y ＝x －1}与集合{y |y ＝x －1}是同一个集合．( × ) (4)若A ＝{0,1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ⊆B .( × ) 解析 (1)错误．由元素的互异性知x 2＋x ≠0，即x ≠0且x ≠－1． (2)错误．∅只有一个子集．(3)错误．{x |y ＝x －1}＝{x |x ≥1}，{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}． (4)错误．集合A 是数集，集合B 是点集．2．(2017·浙江卷)已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝( A ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析 集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A ．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－22，则A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，有2个元素．5．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则∁R (A ∪B )＝__{x |x ≤2或x ≥10}__. 解析 ∵A ∪B ＝{x |2<x <10}，∴∁R (A∪B)＝{x |x ≤2或x ≥10}．一 集合的基本概念集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( C )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D ) A ．92 B ．98 C ．0D ．0或98解析 (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.二 集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】 (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( C ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为__(－∞，3]__.解析 (1)因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C ．(2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．三 集合的基本运算集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． 【例3】 (1)(2018·广东汕头期末)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( C )A ．(－∞，0)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 (2)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}(3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( B ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3解析 (1)因为A ＝{x |y ＝ln (1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，B ＝{x |x (x －1)≤0}＝[0,1]，所以U ＝A ∪B ＝(－∞，1]，又A ∩B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，所以∁U (A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选C ．(2)∵2x (x －2)<1，∴x (x －2)<0，∴0<x <2，即A ＝{x |0<x <2}．又∵y ＝ln (1－x )， ∴1－x >0，∴x <1，即B ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}． 图中阴影部分表示∁A (A ∩B )， ∴∁A (A ∩B )＝{x |1≤x <2}，故选B ． (3)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴m ∈A ，∴m＝3或m＝m，解得m＝0或3，故选B．四集合中的创新题集合定义新情景的解决方法解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【例4】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( C)A．77 B．49C．45 D．30解析A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(－1，0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( C)A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C．2．(2017·北京卷)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( A) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}，故选A．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∵A ⊆C ⊆B ，∴满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个，故选D ．4．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝__{0}∪[2，＋∞)__.解析 A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}， 则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．易错点1 不注意检验集合元素的互异性错因分析：对于含字母参数的集合，根据条件求出字母的值后，容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件．【例1】 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，求实数a 的值． 解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ， ∴①当2a 2＋5a ＝－3时，2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32，其中a ＝－1时，2a 2＋5a ＝6a －1＝－3，与集合元素的互异性矛盾，舍去；a ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，－125满足题意．②当6a －1＝－3时，a ＝－1，由①知应舍去． 综上，a 的值为－32.【跟踪训练1】 已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解析 由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B (－3，－2,1)，A ∩B ＝(1，－3)，故a ＝0舍去．②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝(－4，－3,2)，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}． 易错点2 忽略空集错因分析：空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B 是空集的情形：①B ⊆A ；②BA (A 非空)；③B ∩A ＝B ；④B ∪A ＝A .【例2】 设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1． 综上所述，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ＝1}． 答案 (－∞，－1]∪{1}【跟踪训练2】 (2018·江西临川一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合． 解析 (1)∵3≤32≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3， ∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，当C 为空集时，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1<a ≤3. 综上所述，a ≤3.课时达标 第1讲[解密考纲]本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算(一般以不等式、函数、方程为载体)，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在靠前的位置，题目难度不大．一、选择题1．(2018·河南郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝( A)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A．2．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C ＝( B)A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析A∪B＝{1,2,4,6}，(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故选B．3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( A)A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A．4．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( A) A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B解析由题知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C．5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( C)A．5 B．4C．3 D．2解析当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z ＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}中的元素个数为3，故选C．6．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( B) A．1 B．2C．3 D．4解析由题意可知a1，a2∈M且a3∉M，所以M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选B．二、填空题7．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <12，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.解析 因为N ＝[0,1]，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12. 8．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝__1__.解析 由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1．9．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6<0}，B ＝{x |y ＝lg (x －a )}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__(－∞，－3]__.解析 因为A ＝(－3,2)，B ＝(a ，＋∞)，A ⊆B ，所以a ≤－3. 三、解答题10．(2018·湖北武汉模拟)设集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x <3}成立？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．解析 A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≥a }． (1)如图，若A ∩B ＝∅，则a ≥3，所以a 的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在，如图，a ＝0时，A ∩B ＝{x |0≤x <3}， 此时A ∪B ＝{x |x >－2}．11．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解析 (1)m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．①当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A .②当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，m >3，解得m >3.综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x －1<8，C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}(m ∈R )． (1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B )⊆C ，求实数m 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧ x |12<2x －1<8＝{x |0＜x <4}，则A ∪B ＝(－1,4)．(2)C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}＝{x |(2x －m )(x ＋m )<0}．①当m >0时，C ＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2， 由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m 2≥4，解得m ≥8；②当m ＝0时，C ＝∅，不合题意；③当m <0时，C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m ，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥4，m 2≤－1 解得m ≤－4；综上所述，m ∈(－∞，－4]∪[8，＋∞)．。
2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一讲集合课件理
若 b＝5，则 x＝7，由集合中元素的特性知 P＝{4,5,6,7}，则 P
中的元素共有 4 个． 答案：B
3．若集合 A＝{x∈R |ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a
等于
()
9 A.2
9 B.8
C．0
D．0 或98
解析：若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只
有一个实根或有两个相等实根．
A．{1,2,3,4}
B．{1,2,3}
()
C．{2,3,4}
D．{1,3,4}
解析：由题意得 A∪B＝{1,2,3,4}．
答案：A
3．(2017·北京高考)若集合 A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或 x>3}，
则 A∩B＝
()
A．{x|－2<x<－1}
B．{x|－2<x<3}
C．{x|－1<x<1}
集合的补集
若全集为U，则集 合A的补集为∁UA
{x|x ∈ A ， {x|x∈U，且 x∉A} 且 x∈B}
4．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝
A⇔B_⊆__A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝
A⇔ A⊆B . (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝_U__；A∩(∁UA)＝_∅__；
当 a＝0 时，x＝23，符合题意．
当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝98，
所以 a 的值为 0 或98. 答案：D
4．设 a，b∈R ，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则 b－a＝(
)
A．1
2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.2命
经典题型冲关
题型 1 四种命题的关系及真假判断
典例1 已知：命题“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋ ∞)上是增函数，则 m≤1”，则下列结论正确的是( )
A．否命题是“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是减 函数，则 m>1”，是真命题
B．逆命题是“若 m≤1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋ ∞)上是增函数”，是假命题
解析 若命题为“若 p，则 q”，命题的逆否命题为“若 非 q，则非 p”，所以原命题的逆否命题是“若 x＋y 不是偶 数，则 x 与 y 不都是偶数”．故选 C.
(2)(选修 A2－1P10T4)x2－3x＋2≠0 是 x≠1 的 _____充__分__不__必__要_____条件．
解析 若 x2－3x＋2≠0，则 x≠1 且 x≠2，此时充分性 成立，当 x＝2 时，满足 x≠1，但此时 x2－3x＋2＝0 成立， 即必要性不成立，即 x2－3x＋2≠0 是 x≠1 的充分不必要条 件．
解 法 二 ： ∵ S4 ＋ S6>2S5 ⇔ S4 ＋ S4 ＋ a5 ＋ a6>2(S4 ＋ a5) ⇔ a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必 要条件．故选 C.
(2)(2017·山东潍坊高三期末)命题“若 x＝5，则 x2－8x ＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命 题中，真命题有( )
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)“x2＋2x－3<0”是命题．( × )
(2) 命 题 “ 若 p ， 则 q” 的 否 定 是 “ 若 綈 p ， 则 綈
q”．( × ) (3)若命题“若 p，则 q”为真命题，则这个命题的否命
2019届高考数学大一轮复习讲义：第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词.3
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲考情考向分析1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词和存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q .4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q 綈p 綈q p 或q p 且q 真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．(2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．( √ )(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )(5)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．( × )题组二 教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．3．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________．答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三 易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p 且q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由綈p 为真知，p 为假，可得p 且q 为假；反之，若p 且q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p 且q 为假”的充分不必要条件，故选A.5．下列命题中，为真命题的是( )A ．任意x ∈R ，－x 2－1<0B ．存在x ∈R ，x 2＋x ＝－1C ．任意x ∈R ，x 2－x ＋>014D ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0答案 A6．若“任意x ∈，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．[0，π4]答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在上是增函数，[0，π4]∴y max ＝tan ＝1.π4依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝的值13x ＋1域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( )A ．p 且q B ．p 或q C ．p 且(綈q )D ．綈q答案 B解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的递增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x >0，得0<<1，13x ＋1所以函数y ＝的值域为(0,1)，13x ＋1故命题q 为真命题．所以p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，p 且(綈q )为假命题，綈q 为假命题．故选B.2．(2017·山东)已知命题p ：任意x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p 且q B ．p 且(綈q )C ．(綈p )且q D ．(綈p )且(綈q )答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0.∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p 且q 为假命题，p 且(綈q )为真命题，(綈p )且q 为假命题，(綈p )且(綈q )为假命题．故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题：①p 且q 为真；②p 或q 为假；③p 或q 为真；④(綈p )或(綈q )为假．其中，正确的是________．(填序号)答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( )A ．任意x ∈R,2x －1>0 B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0C ．存在x ∈R ，lg x <1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2答案 B解析 当x ∈N ＋时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“任意x ∈R ，x ＞0”的否定是( )(13)A ．存在x ∈R ，x ＜0B ．任意x ∈R ，x ≤0(13)(13)C ．任意x ∈R ，x＜0D ．存在x ∈R ，x≤0(13)(13)答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“存在x ∈R,1＜f (x )≤2”的否定形式是( )A ．任意x ∈R,1＜f (x )≤2B ．存在x ∈R,1＜f (x )≤2C ．存在x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2D ．任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2答案 D解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( )A ．存在x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．任意x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．存在x ∈(－∞，0)，2x <3x D ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cosx ＝sin≤<，故A 错误；设f (x )＝e x－x －1，则f ′(x )2(x ＋π4)232＝e x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0，∴任意x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图像在y ＝3x 的图像上方，故C 错误；∵当x ∈时，sin x <cos x ，(0，π4)故D 错误．故选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“存在x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为( )A ．存在x ∈R ，e x －x －1≥0B ．存在x ∈R ，e x －x －1>0C ．任意x ∈R ，e x －x －1>0D ．任意x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“任意x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C.题型三 含参命题中参数的取值范围典例(1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－≤3，即a ≥－12.a4∵p 且q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝x －m ，若对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)(12)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 [14，＋∞)解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，14得0≥－m ，所以m ≥.1414引申探究本例(2)中，若将“存在x 2∈[1,2]”改为“任意x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝－m ，12由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥－m ，12∴m ≥.12思维升华(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练(1)已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋≤0”是假命题，则实数a 的取值12范围是( )A ．(－∞，－1) B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)答案 B解析 原命题的否定为任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋＞0，由题意知，其为真命题，即12Δ＝(a －1)2－4×2×＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.12(2)已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得Error!即m ≥2.常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“＞”是“ln a ＞ln b ”的( )a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：任意x ∈R ，3x <5x ；命题q ：存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p 且q B ．(綈p )且q C ．p 且(綈q ) D ．(綈p )且(綈q )解析 (1)由lna ＞lnb ⇒a ＞b ＞0⇒＞，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a b ＞，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．a b (2)若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题，∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题，∴(綈p )且q 是真命题．答案 (1)B (2)B 二、充要条件的判断典例(1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“Error!”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( )A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，又不是乙的必要条件(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 (1)≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，x 2＋xx －1解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－<x ≤0.12∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝＝2.3|1－3×0＋3|2当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C.答案 (1)B (2)C 三、求参数的取值范围典例(1)已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈，存在x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，4x [12，3]则实数a 的取值范围是________．解析 (1)命题“p 且q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)∵x ∈，∴f (x )≥2＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )[12，3]x ·4x min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.答案 (1)[e,4] (2)(－∞，0]1．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真B ．p 且q 为真C ．p 真q 假D ．p 或q 为假答案 D解析 ∵p 假，q 假，∴p 或q 为假．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )π2A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真答案 C解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为＝π，故命题p 为假命题；x ＝不是y ＝cos x 的对2π2π2称轴，故命题q 为假命题，故p 且q 为假．故选C.3．(2017·唐山一模)已知命题p ：存在x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：任意a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2,0)，则下列判断正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真答案 A解析 对任意x ∈N ，x 3≥x 2，∴p 假，又当x ＝2时，f (2)＝log a 1＝0，∴f (x )的图像过点(2,0)，∴q 真．4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．任意x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．任意x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )D ．存在x ∈R ，f (－x )＝－f (x )答案 C解析 由题意知任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，存在x ∈R ，f (－x )≠f (x )是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：存在x ∈(0，＋∞)，x ＋＞3；命题q ：任意x ∈(2，＋∞)，1x x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p 且(綈q )B ．(綈p )且qC ．p 且qD ．(綈p )或q 答案 A解析 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋＝＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当1x 0174x ＝4时，24＝42＝16，即存在x ∈(2，＋∞)，使得2x ＝x 2成立，故命题q 为假命题，所以p 且(綈q )为真命题，故选A.6．已知命题p ：存在α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：任意x ∈R ，x 2＋1＞0，则下列结论正确的是( )A ．p 且q 是真命题B ．p 且q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题答案 A解析 对于p ：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，π2所以命题p 是真命题；对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 是真命题．由此可得p 且q 是真命题．7．下列命题中，真命题是( )A ．存在x ∈R ，e x ≤0B ．任意x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是＝－1a b D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件答案 D解析 因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；a b 当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是()A ．(0,4] B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以綈p ：存在x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＜0，则a ＜0或Error!解得a ＜0或a ＞4.9．命题“存在n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是________________．答案 任意n ∈N ，n 2≤2n10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x ∈Q ，x 2＝2；③存在x ∈R ，x 2＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±时，x 2＝2，2∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对任意x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是152____________．答案 (56，＋∞)解析 由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不152等式x 2－5x ＋a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋a ，则其图像恒在x 轴的上方，152152故Δ＝25－4×a <0，152解得a >，即实数a 的取值范围为.56(56，＋∞)13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．答案 [－1,6]解析 p ：－4<x －a <4等价于a －4<x <a ＋4；q ：(x －2)(3－x )>0等价于2<x <3.又綈p 是綈q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，所以Error!或Error!解得－1≤a ≤6.14．下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是＝－3；a b ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：存在x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p 或(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 若p 或(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝，x ≠0，e x x 设f (x )＝，x ≠0，则e x xf ′(x )＝＝，x e x －e xx 2(x －1)e x x 2当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝在(1，＋∞)上是递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )e x x <0，函数f (x )＝在(0,1)和(－∞，0)上是递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)e x x ＝e ，所以函数f (x )＝的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.e x x 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p 或(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．x 2－x ＋1x －1(1)若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2,＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为_______________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，]3解析 (1)因为f (x )＝＝x ＋＝x －1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号x 2－x ＋1x －11x －11x －1成立，所以若存在x ∈[2，＋∞)，使f (x )＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若任意x 1∈[2，＋∞)，存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则Error! 解得a ∈(1，]．3。
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济南市长清中学春季高考班一轮复习讲义——（第一章、集合与逻辑用语）例1、(1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( )A 、 1B 、3C 、5D 、9(2)已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2015a 的值为________、变式训练1、设集合A ＝{x||x －1|<2}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A 、[0,2]B 、(1,3)C 、[1,3)D 、(1,4)2、已知集合M ＝{a 2，a ＋1，－3}，N ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，若M ∩N ＝{－3}，则a 的值是( )A 、 －1B 、 0C 、 1D 、 2例2、(1)已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、 4(2)已知集合A ＝{x|1≤x<5}，C ＝{x|－a<x ≤a ＋3}、若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A 、 －32<a ≤－1B 、 a ≤－32C 、 a ≤－1D 、 a>－32变式训练3、已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x|mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 等于( )A 、 3B 、 2C 、 2或3D 、 0或2或3例3、(1)已知全集U ＝R ，A ＝{x|x ≤0}，B ＝{x|x ≥1}，则集合∁U (A ∪B)＝( )A 、 {x|x ≥0}B 、 {x|x ≤1}C 、 {x|0≤x ≤1}D 、 {x|0<x<1}(2)已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且A ∪(∁R B)＝R ，则实数a 的取值范围是( )A 、 a ≤1B 、 a<1C 、 a ≥2D 、 a>2变式训练4、设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x|x 2>4，x ∈N}，B ＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A 、{x|x>2，x ∈N} B 、 {x|x ≤2，x ∈N} C 、 {0,2} D 、 {1,2}例4、下列四个命题中：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形相似”的逆命题；③“若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x 3＝2，则x 是无理数”的逆否命题、其中是真命题的是( )A 、 ①②③④ B 、 ①③④ C 、 ②③④ D 、 ①④变式训练5、有以下命题：③ 若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题。
其中真命题为( )A 、 ①② B 、 ②③ C 、 ④ D 、 ①②③例5、设{a n }是公比为q 的等比数列、则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( )A 、 充分而不必要条件B 、 必要而不充分条件C 、 充分必要条件D 、 既不充分也不必要条件变式训练6、设a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a <”的( )A 、 充分不必要条件B 、 必要不充分条件C 、 充要条件D 、 既不充分也不必要条件例6、若“x 2－2x －8>0”是x<m 的必要不充分条件，则m 的最大值为________、变式训练7、已知不等式|x －m|<1成立的充分不必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是( ) A 、 41[,]32- B 、 14[,]23- C 、1(,)2-∞- D 、 4[,)3+∞8、若x<m －1或x>m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________、例7、(1)已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2、在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(非q)；④(非p)∨q 中，真命题是( )A 、 ①③ B 、 ①④ C 、 ②③ D 、 ②④(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次、设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A 、 (非p)∨(非q)B 、 p ∨(非q)C 、 (非p)∧(非q)D 、 p ∨q变式训练9、如果命题“p 且q ”是假命题，“非q ”也是假命题，则( ) A 、 命题“非p 或q ”是假命题B 、 命题“p 或q ”是假命题C 、 命题“非p 且q ”是真命题D 、 命题“p 且非q ”是真命题10、已知命题p ：∃x ∈R ，使sinx ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0、给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(非q)”是假命题；③命题“(非p)∨q ”是真命题；④命题“(非p)∨(非q)”是假命题，其中正确的是( )A 、 ②④ B 、 ②③ C 、 ③④ D 、 ①②③例8、(1)下列命题中的假命题是( )A 、 ∀x ∈R,2x －1>0B 、 ∀x ∈N *，(x －1)2>0C 、 ∃x ∈R ，lgx<1D 、 ∃x ∈R ，tanx ＝2(2)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”、若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________、变式训练11、下列命题中为真命题的是( ) A 、 ∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0B 、 ∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C 、 ∃x 0∈R ，使sinx 0＋cosx 0＝2D 、 ∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥04、若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m<0”是假命题，则实数m 的取值范围是________、例9、(1)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A 、 ∀x ∉R ，x 2≠xB 、 ∀x ∈R ，x 2＝xC 、 ∃x ∉R ，x 2≠xD 、 ∃x ∈R ，x 2＝x(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A 、 任意一个有理数，它的平方是有理数B 、 任意一个无理数，它的平方不是有理数C 、 存在一个有理数，它的平方是有理数D 、 存在一个无理数，它的平方不是有理数变式训练12、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A 、 所有不能被2整除的整数都是偶数B 、 所有能被2整除的整数都不是偶数C 、 存在一个不能被2整除的整数是偶数D 、 存在一个能被2整除的整数不是偶数13、已知命题p ：∀x>0，总有(x ＋1)e x >1，则非p 为( ) A 、 ∃x 0≤0，使得(x 0＋1)0x e ≤1B 、 ∃x 0>0，使得(x 0＋1)0x e ≤1C 、 ∀x>0，总有(x ＋1)e x ≤1D 、 ∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1 巩固练习：1、方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集可表示为（ ）A 、{1,1} B 、{1,1}x y == C 、{1} D 、{(1,1)}2、集合{|(1)(1)0}x x x x -+=中元素的个数为（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、若已知{,}{,,,}a b A a b c d ⊂⊆≠，写出集合A 的所有情况。
4、"2x =且3"y =是22"(2)(3)0"x y -+-=的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、3πα=是1cos 2α=的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件6、2b ac =是,,a b c 成等比数列的（ ） A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7、22,,,a b c R ac bc ∈>是a b >的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8、已知全集U R =，集合2{|40}M x x =-≤，则U C M =（ ）A 、(2,2)-B 、[2,2]-C 、(,2)(2,)-∞-⋃+∞D 、(,2][2,)-∞-⋃+∞9、已知命题:1p x >，命题2:1q x >，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10、已知,,a b c 为非零实数，代数式||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成集合为M ，则下列判断正确的是（ ） A 、0M ∉B 、4M -∈C 、2M ∈D 、4M ∉11、方程260x x +-=的解集为（ ）A 、{2,3}-B 、{(2,3)}-C 、{3,2}-D 、{(3,2)}-。