2017届高考数学大一轮复习 专题6 概率与统计综合题的解答课件 理 北师大版

－
－
∴
x
甲＝
x
乙，s
2
甲
>s
2
乙
.由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的
平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
【反思】 (1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的 平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用 样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方 差．
(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了 一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的分 散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越 小，越稳定．
个热点．
在解答题中常与统计综合，考查基本概念和基本运算，解答
时对数学符号的运用要加以重视．对于较为复杂的基本事件空
间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．
[例2] 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级 别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且 其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝 后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优 秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B两种饮料没有鉴别能力．
乙：33,29,38,34,28,36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
【审题】 判断谁更优秀——根据哪些数字特征进行判断？
－
【转化】 根据统计知识可知，需要计算两组数据的x 与s2，
然后加以比较，最后作出判断． 【求解】 ∵－x甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
－x乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，
【求解】 (1)频率分布表如下表所示，频率分布直方图如图
所示：
分组 频数 频率
[1.30,1.34) 4 0.04 [1.34,1.38) 25 0.25 [1.38,1.42) 30 0.30 [1.42,1.46) 29 0.29 [1.46,1.50) 10 0.10 [1.50,1.54] 2 0.02
2 3
，乙机投弹一次命中目标的概率为 12
，
两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．
(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧
毁的概率；
(2)记目标被命中的次数为随机变量X，求X的分布列和数学
期望．
【审题】 关键点：①两机投弹互不影响；②两次投弹之间 互不影响．
【转化】 对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试 验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意 运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第(2)问，根据 题意，随机变量X＝0,1,2,3,4，根据独立重复试验概型及事件之间 的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算 公式求解数学期望．
[1.38,1.42) 30
[1.42,1.46) 29
[1.46,1.50) 10
[1.50,1.54] 2 合计 100
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图； (2)估计部件半径落在[1.38,1.50)中的概率及半径小于1.40的概 率是多少？ (3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区 间[1.30,1.34)的中点值是1.32)作为代表．据此，估计部件半径的 平均值． 【审题】 关键点：抽取100个部件． 【转化】 用频率估计概率．
该部分的命题点多、命题背景广阔，命题具有很大的灵活 性，但基本的态势还是相对固定的，即统计以考查抽样方式、样 本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为 主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之 和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
探究一
பைடு நூலகம்
频率分布表与频率分布直方图
【求解】 设三门考试课程考试合格的事件分别为A，B，
C，相应的概率为a，b，c.
－
－
(1)考试三门课程，至少有两门合格的事件可表示为ABC＋AB
－
C＋ A BC＋ABC，设其概率为P1，则P1＝ab(1－c)＋a(1－b)c＋(1
－a)bc＋abc＝ab＋bc＋ac－2abc.
设在三门课程中，随机选取两门，这两门都合格的概率为
【求解】 设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙 机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立，由独立重复试验中事件 发生的概率公式有
P(Ak)＝C2k23k132－k，P(Bl)＝Cl212l122－l. 据此算得P(A0)＝19，P(A1)＝49，P(A2)＝49. P(B0)＝14，P(B1)＝12，P(B2)＝14.
【反思】 频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分 布，从直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频 率分布直方图估计样本平均值时，一般采取各组中值乘以各组的 频率的方法．
探究二
古典概型
古典概型是一种最基本的概率模型，在概率部分占有相当重
要的地位．从近年各省市的概率考题来看，古典概型是高考的一
P(X＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝49×14＋49×12＝13，
P(X＝4)＝P(A2B2)＝49×14＝19.
综上知，X的分布列如下：
X0 1 2 34
P
1 36
1 6
13 36
1 3
1 9
从而X的期望为EX＝0×316＋1×16＋2×1336＋3×13＋4×19＝73.
【反思】 概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的 概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计 算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．若本题第(2) 问是单纯求随机变量X的数学期望，则可以直接根据二项分布的 数学期望公式和数学期望的性质解答：令X1，X2分别表示甲、乙 两机命中的次数，则X1～B 2，23 ，X2～B 2，12 ，故有E(X1)＝ 2×23＝43，EX2＝2×12＝1，而知EX＝EX1＋EX2＝73.
合计 100 1.00
(2)部件半径落在[1.38,1.50)中的概率约为0.30＋0.29＋0.10＝ 0.69，部件半径小于1.40的概率约为0.04＋0.25＋12×0.30＝0.44.
(3)部件半径的平均值约为 1．32×0.04＋1.36×0.25＋1.40×0.30＋1.44×0.29＋ 1.48×0.10＋1.52×0.02＝1.408 8.
(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝ 1－19×14＋19×12＋49×14＝1－376＝2396. (2)X的所有可能值为0,1,2,3,4，且 P(X＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝19×14＝316. P(X＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝19×12＋49×14＝16， P(X＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝19×14＋49×12＋49×14＝1336.
(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．
【审题】 从5杯饮料中选出3杯． 【转化】 列举出事件的所有可能情况．将评为良好及以上 的概率转化为评为良好的概率和评为优秀的概率之和．
【求解】 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮 料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况 为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)， (245)，(345)，可见共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件， E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事 件，则
(1)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大 小．(说明理由) 【审题】 关键词：三门课程考试是否合格相互之间没有影 响． 【转化】 本题第(1)问第一种方案是三个相互独立事件至少 有两个同时发生的概率，根据互斥事件概率计算公式和相互独立 事件同时发生的概率计算公式进行计算，第二种方案是随机选取 两门和选取的两门都合格的概率，同样根据以上公式解决．
探究五
随机变量期望与方差的计算
期望和方差是离散型随机变量的两个重要的数字特征，期望
反映了随机变量取值的平均程度，方差反映了随机变量偏离平均
值的程度，这个部分是随机变量及其分布的重点内容，高考中的
概率解答题一般都会考查有关期望、方差的计算．
[例5] 甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投
弹一次命中目标的概率为
s
2
甲
＝
1 6
×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－
33)2＋(31－33)2]＝16×94＝1523.
s
2
乙
＝
1 6
[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－
33)2＋(36－33)2]＝16×76＝1223.
二通过考试的概率．
【反思】 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是 直接求解决，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概 率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求解法，先求
－
此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向 思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求 解法就显得较简便．
探究四
有关样本的数字特征的考查
考查样本的数字特征的计算．中位数、众数、平均数、标准
差(方差)是进行统计分析的重要数字特征，是高考的常考点．我
们不但要熟练掌握公式进行计算，还要理解公式的本质及联系．
[例4] 对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次
测试，测得他们最大速度的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31；