01概率论基础知识

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案例：美国某警察局问题
• 共有警察1200人，男性960人，女性240人，过去 两年中，男性提升288人，女性提升36人（共提升 324人） 判断：是否有性别歧视。
升职信息表 提升人数
未提升人数
合计
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男性（M） 288 672 960
Leabharlann Baidu
女性(W) 36 204 240

二等奖中奖概率
1 1 1 C6 C6 C6 6 6 6 216 27 P( B) 1 1 1 C20 C20 C20 20 20 20 8000 1000

三等奖中奖概率
1 1 1 C10 C10 C10 10 10 10 1000 1 P(C ) 1 1 1 C20 C20 C20 20 20 20 8000 8
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②从这批产品中随机地取出的一件为合格品的概率
P( A ) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 ) P( B1 )[1 P( A | B1 )] P( B2 )[1 P( A | B2 )] P( B3 )[1 P( A | B3 )] 0.25 0.95 0.35 0.96 0.40 0.98 0.9655

三等奖中奖概率
1 1 1 C10 C9 C8 10 9 8 2 P(C ) 1 1 1 C20 C19 C18 20 19 18 19
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解：放回的情形

一等奖中奖概率
1 1 1 C4 C4 C4 4 4 4 64 1 P( A) 1 1 1 C20 C20 C20 20 20 20 8000 125
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随机试验举例
试 验 试验结果
抛硬币
抽取一个零件检查 足球比赛
正面，反面
合格，不合格 赢，输，平局
问题：写出上述试验的基本事件和样本空间
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2.随机事件（事件）
在某个随机试验中，对一次试验而言，可能 出现（发生）也可能不出现（发生）的事件。 l基本事件是随机试验中最简单的随机事件； l 随机事件由若干个基本事件组成，是样本空 间的子集； l 必然事件（Ω） l不可能事件（）
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3.事件的关系与运算
l 事件的包含： AB（AB）或B A（B A ） 事件A出现必然导致事件 B出现，称事件B包含事 件A，记为 AB或B A l事件的相等：A=B
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l 事件的并（和）：A∪B l 事件的交（积）：A∩B 或AB
i 1 n
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l
贝叶斯公式：
若Ai A j (i j ), P( Ai ) 0, A1 A2 An , P( B) 0 P( Ai B) P( Ai ) P( B | Ai ) 则P( Ai | B) n P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
男性（M） 0.24 0.56 0.80
女性(W) 0.03 0.17 0.20
合计 0.27 0.73 1.00
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计算及结论：
P(Y|M)=288/960=0.30 即：P(Y|M)=P(MY)/P(M)=0.24/0.8=0.30 同理： P(Y|W)=P(YW)/P(W)=0.03/0.2=0.15
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(3)供货商已知1000件某产品中有5件次品， 进货商从中随机抽取10件，若发现1件次 品则拒绝接受这批货物。问这批货物被拒 绝的概率是多大？并对计算结果加以理解。
“这批货物被拒绝”， 0 10 则 C5 C995 P( A) 1 P( A ) 1 10 1 0.9509 0.0491 C1000
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两种情形下结果比较
一等奖 中奖概率 1/285 1/125 二等奖 中奖概率 1/57 27/1000 三等奖 中奖概率 2/19 1/8
不放回 放 回
结论：商家采用“不放回”方式。
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(6)甲、乙、丙三个机床生产一批产品，它 们的产量分别占总产量的25%，35%， 40%，甲、乙、丙三机床产品中的废品率 分别为0.05，0.04，0.02。 ①从这批产品中随机地取出的一件为废品， 求所取的废品是甲机床生产的概率． ② 求从这批产品中随机地取出的一件为合格 品的概率。
由贝叶斯公式
P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 ) 0.25 0.05 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0125 0.0345 0.3623
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P(B|A1)=0.02 P(B|A2)=0.05


P(A1,G)=P(A1)P(G|A1)=0.650.98=0.6370
P(A2|B)=0.5738
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5.例题
（1）求满足条件的概率 掷1颗骰子，点数大于3的概率； 掷2颗骰子，点数之和等于5的概率；
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l 互不相容（互斥）事件：AB= l 对立事件：A∪B =Ω且AB= ，则称B为 A的对立事件，记B= A 问题：对立事件与互斥事件 的关系？ l事件的差：A-B
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4.事件的概率
l 频数、频率 m 事件A包含的基本事件数 P( A) l 概率的古典定义： n 基本事件总数 l 概率的公理化定义： 问题：频率与概率的关系 ①非负性：0P(A)1 ② 规范性：P(Ω )=1，P(φ )=0 若 ③完全可加性： Ai A j (i j )则P( Ai ) P( Ai )
3 1 C32 C 72 C3 C 7 3 1 P( A1 ) , P( A2 ) 4 4 10 30 C10 C10
A A1 A 2 , A1 A2 1 P( A) P( A1 A 2 ) P( A1 ) P( A2 ) 3 2013-7-8
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解：不放回的情形

一等奖中奖概率
1 1 1 C4 C3 C2 4 3 2 1 P( A) 1 1 1 C20 C19 C18 20 19 18 285

二等奖中奖概率
1 1 1 C6 C5 C4 6 5 4 1 P( B) 1 1 1 C20 C19 C18 20 19 18 57
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解：设A表示事件
（4）华夏公司研发部成立两个独立工作组 以攻克某技术难关，若两个组独立攻克该 技术难关的概率分别为40%与30%，问 该公司能攻克该技术难关的可能性有多大？
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解：设B表示“该公司攻克该技术难关”,设A1表
示“第一组攻克该技术难关” ，设A2表示“第 二组攻克该技术难关” P( B) P( A1 A2 )
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解：设X、Y为点数
P(x>3)=P(x=4)+P(x=5)+p(x=6) =1/6+1/6+1/6 =1/2 P(x+y=5) =P(x=1，y=4)+P(x=2，y=3)+P(x=3，y=2) +P(x=4，y=1) =P(x=1)P(y=4)+P(x=2)P(y=3) +P(x=3)P(y=2)+P(x=4)P(y=1) =1/36+1/36+1/36+1/36 =1/9
第1章 《概率论》基础知识
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一、随机事件及其概率
1.随机试验（试验）
在相同条件下可重复进行；每次试验的可能 结果不只一个且试验前知道所有可能的结果； 每次试验只出现一个可能结果但试验前不知 道出现哪个结果。 l基本事件（样本点）：随机试验的每一个可 能结果； l样本空间（Ω）：全体基本事件组成的集合。
i 1 i 1
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图解完全可加性：
A1 A3
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Ai Aj P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
A2
l 概率的性质 ① P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) ② P( A) 1 P( A) ③ 若AB 则P(B-A)=P(B)-P(A)
P(A1B)=P(A1)P(B/A1) P(A2G)=P(A2)P(G/A2)
(0.65)
A2 G(0.95) B(0.05)
(0.35)
P(A2B)=P(A2)P(B/A2)
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注释：G表示零件质量优良；B表示零件质量糟糕
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两家供货商(A1,A2)质量等级分析：
P(G|A1)=0.98 P(G|A2)=0.95 P(A1,B)=0.0130 P(A2,G)=P(A2)P(G|A2)=0.35 0.95=0.3325 P(A2,B)=0.0175 购买零件后发现质量问题，来自A1或A2的概率为 P(A1|B)=0.4262
1 P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 ) 1 P( A1 ) P( A2 ) 1 [1 P( A1 )][1 P( A2 )] 1 0.6 0.7 0.58
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(5)某商场黄金周举办摸奖促销活动，一个木箱里 放有4个红球，6个黄球和10个白球。规定： a.在本商场购物满100元者均可摸奖； b. 一次摸一个球，连续摸3次； c.如果摸得的3个球同为红色获一等奖；同为 黄色获二等奖；同为白色获三等奖。 问：①放回与不放回有区别吗？ ②一、二、三等奖的中奖概率有多大？ ③你认为商家会采用哪种方案？
i 1
l
事 件 的 独 立 ： 若 P(B|A)=P(B) ， 其 中 P(A)>0 ； 或 P(AB)=P(A)P(B) ； 则 称 事 件B与事件A独立。
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案例：两家供货商（A1,A2)质量等级问题描述
图示：
A1 G(0.98) B(0.02)
P(A1G)=P(A1)P(G/A1)

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(2)已知10个灯泡中有3个次品，现随机抽 取4个，求至少有2个次品的概率。
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m Cn
n! m!(n m)!
解：设A表示事件“取4个灯泡至少有2个次品”
A1表示事件“取4个灯泡恰有2个次品” A2表示事件“取4个灯泡恰有3个次品”
A
A
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条件概率： P( B | A) P( AB) P( A) l 概率的乘法公式： P(AB)= P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) l 全概率公式：
l
若Ai A j (i j ), P( Ai ) 0, A1 A2 An 则P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
合计 324 876 1200
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由上表得出概率信息 P(MY)=288/1200=0.24 P(MN)=672/1200=0.56
P(WY)=36/1200=0.03
P(WN)=204/1200=0.17 联合概率分布及边缘概率为 提升（Y） 未提升(N) 合计
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解：
① 设A表示事件“取出的一件产品为废品”， B1表示事件“取出的产品是甲机床生产的”， B2表示事件“取出的产品是乙机床生产的”， B3 表示事件“取出的产品是丙机床生产的”， 则 B1UB2UB3=Ω，且B1，B2，B3两两互不相容， A=AB1UAB2UAB3 由题设 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.40 2013-7-8 27/80 P(A|B1)=0.05，P(A|B2)＝0.04，P(A|B3)=0.02