立体几何学习要注重入门训练 王川

立体几何学习要注重入门训练王川

从平面几何的学习到立体几何的学习，是一次认识思维上的飞跃。在已有的平面图知识的基

础上，建立空间观念，实现从平几到立几的观念提升和飞跃不是一蹴而就的，要有一个循序

渐进，逐步提高的过程。从一开始就应严格要求，不敷衍了事，养成一丝不苟的良好学风。一、从平面概念理解入手、培养提升空间观念

从平几到立几的学习，对空间图形的认识，空间想象能力的培养，“平面概念”的建立和理解

显得尤为重要。

1、从我们熟悉的事例入手：桌面、黑板面、平静的水面，都给我们以“平面的局部形象”，

揭示平面的本质：无限延展、无大小、不可度量；无厚薄之分。

2、借助平几，运用对比、引伸入手：平面图形是有大小、可度量的；而空间中的平面具有

无限延展的特征，可借助平面中的直线来加深印象。

3、通过画图加深理解：（1）平面可借助“平行四边形、三角形、梯形、园”等来表示，但当

平面水平放置时，就只能借助平行四边形，且锐角要画成450,横边是邻边的2倍。（2）对

两相交平面的画法，注意三线（表示两平面的平行四边形相交的两边、两平面的交线）是画

图的关键，强调：在几体几何中，看的见画实线，看不见画虚线或不画的原则。注意作图过

程中的变式与拓展，如：

4、通过动手比划、启迪空间观念：

问题：一个平面将空间分成2部分；两个平面将空间分成3或4部分；、叁个平面呢？

解决方案：利用书或本子，按位置关系先分类，再按交线之间的关系，不难得到答案：4、6、7、8几种结果。最后，将各种情况下的图形画出。通过此题的解答，无论是对逻辑思维能力

的培养与提高，还是对立体图形的画法及空间想象能力的形成都大有裨益。

5、寓情于景：即读问题想实物，如：说到长方体，你就想到教室，这也不失为一种好的空

间观念建立的训练。

二、从“三种语言”的相互转化入手，达到融会贯通

文字语言、图形语言、符号语言的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径、有利于我们理解能力、识图水平、联想广度的培养与提升。

文字语言：它比较自然、生动，能将问题所研究的对象含义明白、清楚地表述出来，具有高

度概括、抽象的功能。

图形语言：它能将问题的条件、结论、定理的本质及相互联系，形象直观地表达出来，对问

题的解决起着导向和桥梁作用，给人明白、清晰的印象。

符号语言：它具体简洁、逻辑强的特征。

因此，加强三种语言的互化训练，能够将问题中的隐蔽条件找出，形成整体认识，有利于恰

当运用所学概念、定理与公理，进行合理的论证与计算，使问题得以圆满解决，达到融与贯

的目标。

三、适当练习、螺旋提升

在初步接触了立体几何的平面、公理及三个推论后，进行适当的有梯度的练习，才会在练习中深化理解，逐步掌握，发现错误，及时更正，最终达到熟练、思维敏捷的目标。如：一条直线不在平面内，它包含几种类型，还有哪些等价说法，图形如何画，符号语言又是什么？在证明中，公理3的推论1、推论2.存在性都是采用“不在同一直线上的三点，确定一个平面”，但对于推论3，就不能用三点确定一个平面，找出原因，加深理解，这对问题的深入理解是大有帮助的。又如：空间图形在平面内的表示方法：其一、要弄清“斜二测”的关键与含义：关键是掌握水平放置的空间图形的底面图形的直观图画法；“斜”是指直观图中的坐标轴x、y轴的夹角为450,“二测”是指“纵减半，横不变”，而“平行性不改变”。其二：是动手画好“立方体、三棱锥”，每画一步、叙述好画法。这有利于对空间图形的辨识，是培养空间想象能力的重要组成部分。

四、类比感悟、区分异同

对立体几何的学习要从图形、语言、概念及定理三方面进行对比，感悟，促进思维能力由“平面”过渡到“空间”。

1、图形：通过识图和画图培养自己的空间想象能力。掌握正确的观察方法、分析方法在解题中起着关键。如：三垂线定理的应用。

例1：在四面体A-BCD中，若点A在面BCD内的射影为△BCD的垂心，则：点B在面ACD 内的射形为△ACD的垂心。

证明：作AO⊥平面BCD垂足为O，则DO为AD在平面BCD内的射形。

说明：（1）恰当地选择平面及该平面的垂线，是定理应用的关键；

（2）抓住定理中的“一面、三垂直”的具体位置，非水平放置时图形的识别。

其次正确画出常见立体图形的直观图，关键是掌握领会“斜二测画图法”。原理及虚、实线的应用、增强图形的立体效果。再次，养成动脑、动手多比划的习惯，如：空间中的异面直线位置关系、线在平面外、平行线的传递性等。

2、符号语言：很多问题能够一看就清楚、一想就明白，但要落在纸上，就不像样了。只要记住：几何语言要言之有理、言之有据、体现层次。

3、定义、定理的“沿袭”与“拓展”：从二维平面过渡到三维空间时，抓住其特征，形成对比，加深对“空间图形”的理解、促进空间想象能力的形成。

如：（1）在平面：一线将平面分成两部分；在空间：一个平面把空间分成两部分；

（2）在平面：两线垂直必有交点；在空间：两线垂直不一定有交点；

（3）向量：空间中三向量共面沿用平面向量基本定理；空间中三向量不共面则以它为基底表示任意向量。

（4）转化思想：立体几何问题→转化为平面问题（空间中线线、线面、面面角归结为△中求解）。