2018届河北省普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研考试数学(文)试题

2018届河北省普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研
考试数学（文）试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}212=12A x x B x x A B ⎧⎫
=-
<<≤⋃=⎨⎬⎩⎭
，，则 A. {}
12x x -≤<
B. 112x x ⎧
⎫
-
<≤⎨⎬⎩⎭
C. {}2x x <
D. {}
12x x ≤<
2.已知()12i i a bi +=+（i 是虚数单位，,a b R ∈），则a b += A. 3-
B.3
C.1
D. 1-
3.已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是 A.若//,,//l m l m αα⊂则 B. 若//,//,//l m l m αα则 C.若,,l m m l αα⊥⊂⊥则
D. 若,//,l l m m αα⊥⊥则
4.在下列双曲线方程中，表示焦点在y 轴上且渐近线方程为3y x =±的是
A. 2
219
y x -= B. 2
219x y -= C. 2
219y x -= D. 2
2
19
x y -= 5.某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：
根据表中数据得()2
2277520450530015.96810.82825750320455
K K ⨯⨯-⨯=
≈≥⨯⨯⨯，由，
断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为
A.0.1
B.0.05
C.0.01
D.0.001 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是
A. 1-
B.
23
C.
32
D.4
7.已知函数()()sin ,336f x A x f x f x f x πππωϕ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=++=--+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，且 6f x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则实数ω的值可能是 A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是
A.9
B.
272
C.18
D.27
9.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个,x y 都小于1的正实数对
(),x y ，再统计其中,x y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π
的值.如果统计结果是m 34=，那么可以估计π的值为
A.
227
B.
4715
C.
5116
D.
5317
10.已知函数()()2
0,0f x ax bx a b =+>>的图像在点()()
1,1f 处的切线的斜率为2，则8a b
ab
+的最小值是
A.10
B.9
C.8
D.
11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1212,1e e e e +，则的取值范围是 A. ()1,+∞
B. 4,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C. 6,5⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D. 10,9⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
12.已知定义在R 上的函数()()()1
112f x f f x '=>满足，且恒成立，则不等式()22122
x f x <
+的解集为 A. (),1-∞-
B. ()1,+∞
C. ()(),11,-∞-⋃+∞
D. ()1,1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 满足(
)2,0,1,a b a b ==+=
，则向量,a b 所成的角为__________.
14.已知实数,x y 满足约束条件4,
2,311,x y x y z x y x +=⎧⎪
≤=-+⎨⎪≥⎩
若，则实数z 的最大值是_________.
15.已知P 是抛物线2
4y x =上的动点，点Q 在圆()()2
2
:331C x y ++-=上，点R 是点P 在y 轴上的射
影，则PQ PR +的最小值是___________.
16.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为2
1
,,sin
sin sin ,24
B C a b c B C -+=，且 2b c +=，则实数a 的取值范围是____________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有()1
0,1n n a S λλ
-=≠.
（1）求证：{}n a 为等比数列. （2）若441
11
2log log n n n b a a λ+=
=
，且，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.（12分）
炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y （从炉料熔化完毕到出钢的时间）的一组数据，如下表所示：
（1）据统计表明，y x 与之间具有线性相关关系，请用相关系数r 加以说明（r 若0.75≥，则认为y 与x 有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系，r 精确到0.001）； （2）建立y 关于x 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；
（3）根据（2）中的结论，预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.
参考公式：回归方程=y bx a +中斜率和截距的最小二乘估计分别为1
2
21
n
i i
i n
i
i x y
nx y
b
x
nx
==-=-∑∑ ，
a
y bx =-
，相关系数n
i i
x y
nx y
r -=∑
参考数据：10
10
10
2
21
1
1
159.8,172,
265448,312350,287640i
i i i i i i x y x
y x y ========∑∑∑，
12905=.
19.（12分）
如图，四边形ABCD 为梯形，AB//CD ，PD ⊥平面ABCD ，90,BAD ADC DC ∠=∠==
22,,AB a DA E ==为BC 的中点.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE.
（2）在线段PC 上是否存在一点F ，使得PA//平面BDF ？若存在，指出点F 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
20.（12分）
在平面直角坐标系中，点(),A x y 到点()()121,010F F -与点，的距离之和为4. （1）试求点A 的M 的方程
.
（2）若斜率为
12的直线l 与轨迹M 交于C,D 两点，312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，为轨迹M 上不同于C ，D 的一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.
21.（12分）
已知函数()()2
ln 2
a f x x x x a R =-
∈. （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；
（2）若函数()()()11g x f x a x x =+-=在处取得极大值，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()2
4cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半
轴建立平面直角坐标系.
（1）求圆C 的一个参数方程；
（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a .
（1）求a 的值；
（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14
233y m n m n
=+++的最小值.。