山东省泰安一中2013届高三12月阶段测试 数学(理)试题

高三数学（理科）阶段检测题2012.12本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数21iz i =-，则复数z 的共轭复数为 A .1i + B .1i -+ C .1i - D .1i --2. 已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U A B ð等于A .{|20}x x x ><或B .{|12}x x <<C . {|12}x x <≤D .{|12}≤≤x x3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A .2log y x =B . 1y x =C .1()2xy =- D .13y x =4. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5.已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，则tan 2α的值为（ ） A.45B.43C.34D.236.某几何体的三视图如右图所示，已知其正视图的周长为6，则该几何体的体积的最大值为（ ）A.2π B.π C.32πD.2π 7.已知向量(,1)a x z =- ，(2,)b y z =+，且a b ⊥ ，若变量x ，y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.48. 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线MP 不过点O )，则20S 等于A .15B .10C .40D .209.若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b的最小值为( )A ．8B ．12C ．16D ．2010. 已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5 11. 定义运算：12142334aa a a a a a a =-，将函数sin ()cos xf x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是A .6π B .3π C .56π D .23π 12.若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．14．曲线22y x x =与轴及直线1x =所围成图形的面积为 .15. 正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为 16．已知下列四个命题： ①若4tan 2,sin 25θθ==则；②函数()lg(f x x =是奇函数；③“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件；④在△ABC 中，若sin cos sin A B C =，则△ABC 是直角三角形. 其中所有真命题的序号是 .三、解答题：(本大题共6小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(2,cos )m b c C =- ，(,cos )n a A =，且m ∥n . （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数22sin cos(2)3y B B π=+-的值域.18．（本小题满分12分） 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠= ，E 是棱1CC 上的动点，F 是AB 的中点，2AC BC ==，14AA =.（Ⅰ）当E 是棱1CC 的中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45 ，若存在，求CE 的长；若不存在，请说明理由.19、某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？20．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）.（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 21．(本小题满分14分)已知圆C 经过点A (1,3)、B (2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆C .(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N .(ⅰ)求实数k 的取值范围；(ⅱ)若OM →·ON →＝12，求k 的值．22．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ． （1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小；（3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）参考答案及评分标准一、选择题： ACBBB BCABC AB12解析：由题意知，圆心到直线的距离d 应满足0≤d ≤2，d ＝|2a ＋2b |a 2＋b2≤2⇒a 2＋b 2＋4ab ≤0.显然b ≠0，两边同除以b 2，得⎝⎛⎭⎫a b 2＋4⎝⎛⎭⎫a b ＋1≤0，解得－2－3≤a b≤－2＋ 3.k ＝－ab，k ∈[2－3，2＋3]，θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12，故选B.13解析：1r =≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π 14。

【答案】23 15 ．5416 ①②④17【解析】：（Ⅰ）由m ∥n得(2)cos cos 0b c A a C --= …………………………2分∴(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A C A A C A C B =+=+= …………………4分 ∵sin 0B ≠∴1cos 2A =∴3A π= …………………………………………………6分 （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，3A π=∴62B ππ<<……………………………………7分∴212sin cos(2)1cos 2cos 22322y B B B B B π=+-=-++112cos 21sin(2)26B B B π=-=+- …………………………………9分 ∵62B ππ<<∴52666B πππ<-<∴1sin(2)26B π<-≤1∴3sin(2)26B π<1+-≤2∴函数22sin cos(2)3y B B π=+-的值域为3(,22]. ……………………………12分 18【解析】：（Ⅰ）取1AB 的中点G ，连接EG ，FG ∵,F G 分别是棱AB ，1AB 的中点，∴FG ∥1BB ， 又∵1BB ∥1CC ，1BB =1CC ∴FG ∥EC ，FG =EC ∴四边形FGEC 是平行四边形 ………………………3分 ∴CF ∥EG ，∵CF ⊄平面1AEB ，EG ⊂平面1AEB ∴CF ∥平面1AEB ………………………5分（Ⅱ）以C 为坐标原点，射线CA ，CB ，1CC 为,,x y z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系则(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1(0,2,4)B ………………………7分设(0,0,)E m ，平面1AEB 的法向量(,,)n x y z =则1(2,2,4)AB =- ，(2,0,)AE m =- 且1AB n ⊥ ，AE n ⊥1224020AB n x y z AE n x mz ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩∴242mz x mz zy ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 令2z =，则(,4,2)n m m =-…………………………………………………………9分 ∵直三棱柱111ABC A B C -且90ACB ∠=∴平面1EBB 的法向量为(2,0,0)CA =∵二面角1A EB B --的大小是45∴cos 452CA n CA n ⋅===⋅解得52m = ………………11分 ∴存在点E ，使二面角1A EB B --为45，此时52CE =………………………12分 19解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000 ＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x ＝50⎝⎛⎭⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低20.解：（Ⅰ）设1151,222n n n a b b --===………………………………………………1分 []11111111(2)1222n n n n n n n n n a a b b a a +++++---=-=-+=111(21)112n n ++⎡⎤-+=⎣⎦………………4分 所以数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2公差是1的等差数列.…………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，111(1)1,22n n a a n --=+-⨯ (1)21n n a n ∴=+⋅+…………………………………………………… 7分 121(221)(321)(21)[(1)21]n n n S n n -=⋅++⋅+++⋅+++⋅+12122322(1)2n n n S n n n -∴=⋅+⋅++⋅++⋅+ ……………………………………8分设12122322(1)2n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅ ① 231222322(1)2.n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅ ②②-①，得1231122(222)(1)22n n n n T n n ++=-⋅-+++++⋅=⋅ …………………………………………11分所以112(21)n n n S n n n ++=⋅+=⋅+ (1)21[解析] (1)线段AB 的中点E ⎝⎛⎭⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0.因为圆C 经过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上． 又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆C ，所以直线m 经过圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝03x －2y ＝0解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，即圆心的坐标为C (2,3)，而圆的半径r ＝|CB |＝(2－2)2＋(2－3)2＝1，所以圆C 的方程为：(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋1.圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|1＋k 2，(ⅰ)由题意得d ＝|2k －3＋1|1＋k2<1，两边平方整理得：3k 2－8k ＋3<0， 解之得：4－73<k <4＋73.(ⅱ)将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1 ①(x －2)2＋(y －3)2＝1 ② 将①代入②得：(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则由根与系数的关系可得：x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， 而y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(1＋k 2)·71＋k 2＋k ·4(1＋k )1＋k 2＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8， 故有4k (1＋k )1＋k2＋8＝12，整理k (1＋k )＝1＋k 2，解得k ＝1.经检验知，此时有Δ>0，所以k ＝1. 22解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ……………12分 ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． ……………………………………14分 (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=> ，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++ ．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++ ． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++，则有1111ln(2)352123k k k +>++++++ ，即1n k =+时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<n dx x 1121．……11)12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x n n]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n ， ∴121715131+++++n )12151(31++++=n ⎰++<n dx x 112131 ]3ln )12[ln(2131-++=n ． ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+= 223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++， 又3ln 332<< ，)12ln()12ln(2++<+n n n ，)1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ． )1ln(1215131+<++++∴n n ． …………………………………14分。