上海市华东师范大学第二附属中学2019年高三下学期5月数学三模试题含答案 (1)
2019届高三数学下学期三模试题理(含解析)
2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）由已知中位数100，确定的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出；（2）随机变量X可能值为，根据每组车“正点运行”概率求出X可能值为的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度.【详解】（1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，B组中不小于100的有4个数，所以；（2）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，“正点运行”概率分别为，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，X可能值为，，，，X的分布列为：，X期望为；（3）对比两组数据，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，，，，，.（1）求证：平面PDC.（2）请在图中所给五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）详见解答；（2），证明见解答；（3）.【解析】【分析】（1）由已知，即可证明结论；（2）根据已知条件排除，只有可能与垂直，根据已知可证；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出坐标和平面PAB的法向量，即可求解.【详解】（1）平面平面，平面；（2），证明如下：取中点，连，，，，平面平面，平面，；（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，.四边形ABCD是直角梯形，，，，，，以为坐标原点，以，过点与平行的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，，令，则，平面一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成角为，，直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y 轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．【答案】（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，可得直线AM的方程y（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出kBM﹣kAQ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率kAM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴kAM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得•=0，∴（-，）•（-，y1）=0，即2+•y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵kBM=，kAQ=-，∴kBM-kAQ=+=0，故kBM=kAQ，即AQ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.已知函数.（1）已知函数在点处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明：，，使得.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求的导函数，令，即可求解；（2）求出在单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数，与直线恒有交点，即可证明结论.【详解】（1），在点处的切线与x轴平行，，；（2）由（1）得，当时，，，递减区间是，的增区间是，当时，取得极小值，也是最小值为，函数在区间上的最小值；（3）由（2）得递减区间是，，令，当时，函数图像与直线有唯一的交点，且交点的横坐标，，，使得.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中且两两不相等．(I)若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2(Ⅱ)记．若，证明：；(Ⅲ)若，求的最小值.【答案】(Ⅰ)②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当时，都在数列中出现，可以证明至少出现4次，2至少出现2次，这样．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则，我们再构造数列：，证明该数列满足题设条件，从而的最小值为．解析：（Ⅰ）对于①，，对于，或，不满足要求；对于②，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到②或只得到③给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．①假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．②假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以.综上：，，，所以．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则．取得到的数列为：下面证明满足题目要求．对，不妨令，①如果或，由于，所以符合条件；②如果或，由于，所以也成立；③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且两两不相等；④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.。
华东师范大学附属中学2019届高三第三次模拟考试数学试卷
华东师范大学附属中学2019届高三第三次模拟考试数学试卷本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题1.设函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=3x+x，则当x＞0时，f（x）=______【答案】【解析】【分析】设时，则，根据题意利用函数的奇偶性求得函数的解析式【详解】设时，则，当时，，函数是奇函数则故答案为【点睛】本题主要考查了解析式法表示函数，函数的奇偶性知识，转化的解题方法，属于基础题。
2.已知函数，其反函数图像经过点（3,1），则实数m的值为______ 【答案】1【解析】【分析】由反函数知识代入点坐标计算结果【详解】其反函数图像经过点，函数经过点，解得故答案为【点睛】本题主要考查的知识点是反函数，只需代入点坐标即可求出结果，属于基础题。
3.设集合A=，B=，则“A B=R”是“a=1”的______条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）【答案】必要不充分条件【解析】【分析】做出两个集合的并集是全体实数时，看出与之间的关系，得到的取值范围，比较两个条件对应的范围，看出两个范围的大小，得到不能推出，但可以推出【详解】，，当时，不一定得到当时一定可以得到是“”的必要不充分条件【点睛】本题主要考查了集合关系中的参数取值问题以及必要条件，充分条件和充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解题的关键，属于基础题。
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月高考模拟测试数学试卷含详解
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.2.方程33log 1log (2)x x =-+的解集为_________.3.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =_________.4.已知cos 5cos(2),sin 32θππθθθ=-<，则sin 2θ=_________.5.若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是_________.6.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.7.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_________.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，若254a a +=，则8a 的值为_________.9.已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，若A 和B 的球面距离、A 和C 的球面距离都是4π，B 和C 的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是_________.10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(10)z y ax a =+-<<最大值为8，则a 的值为_________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A ，,E F 为圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为_________.12.已知0,0a b ≠>，若222()2f x b ax b a x b b =+-+-有两零点12,x x ，且120x x +<，则ab的取值范围上_________.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.关于“若4a b +=，则,a b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（）A.原命题为真，逆命题为假B.原命题为假，逆命题为真C.原命题为真，逆命题为真D.原命题为假，逆命题为假14.设34:02x xp x-≤，22:(21)0q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.[]2,1- B.[]31-， C.[)(]2,00,1- D.[)(]2,10,1-- 15.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定16.已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当AB 上一点F 满足(01)AF AB λλ=<<时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（）A.12B.23C.35D.45三、解答题（本题共5小题，满分76分）17.（7分+7分）已知关于x 得二次方程：2(2)4(2)0(,)x i x ab a b i a b R ++++-=∈.（1）当方程有实数根时，求点(,)a b 的轨迹方程；（2）求方程实数根的取值范围.18.（7分+7分）已知函数23()sin 3sin cos (,,0)2f x a x a x x a b a b a =+-+<,（1）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.19.（3分+4分+7分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且>0k ），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+；③()xQ x ab =；④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.20.（4分+6分+6分）如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ= .（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.21.已知数列{}n a ：1，2-，2-，3，3，3，4-，4-，4-，4-，⋅⋅⋅，11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个，即当1)(122k k k k n -+<≤（）（*k ∈N ）时，1(1)k n a k -=-，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ）.（1）求2020S 的值；（2）求当(1)(1)(2)22k k k k n +++<≤（*k ∈N ），试用n 、k 的代数式表示n S （*n ∈N ）；（3）对于*t ∈N ，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n ∈N ，且1}n t ≤≤，求集合2020P 中元素的个数.上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.【答案】{0,1,2}【解析】:13A x -<<，{}0,1,2A Z ∴= 。
上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模数学试题
Tn1 n
1
1 2
1 3
1 n
an
n
2
，证明：数列bn 的前 n
项和 Sn
满
足 Sn 2 2ln n ．
试卷第 5 页，共 5 页
门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐
过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？
(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假
设？
(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.
20．在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 E : x2 4
试卷第 4 页，共 5 页
（3）设点 M 在椭圆 E 上，记VOAB 与△ MAB 的面积分别是 S1 ，S2 ，若 S2 3S1 ，求点 M
的坐标.
21．数列an满足 a1
2a2
L
nan
4
n2 2n1
n N*
，
(1)求 a3 的值；
(2)求数列an 前 n 项和Tn ；
(3)令 b1
a1 ， bn
小组 7 名学生中随机选取 2 名，得到数据 xi , xj (1 i, j 7,i j) ，定义随机变量 X ，Y 如
0, 下： X 1,
2,
0,
0 3
xi x j xi x j
3, 6,Y
1,
2,
xi x j 6，
3,
0 xi x j ＜2, 2 xi x j ＜4, 4 xi x j ＜6,
5．已知双曲线 C 经过点 (2,0) ，渐近线方程为 y 2 x ，则 C 的标准方程为___________． 2
6．设等比数列 an 的前
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题(解析版)
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的极限是A ,如果数列{}n b 满足66210310n n n a n b a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞那么数列{}n b 的极限是（ ） A ．3A B ．2AC ．AD ．不存在【答案】A【解析】利用数列的递推关系式，求解数列的极限即可． 【详解】解：数列{a n }的极限是A ，如果数列{b n }满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞， 那么数列{b n }的极限是：3A ． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力． 2．已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】通过反例可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若2x y +>，则1x >或1y >为真，验证出“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件，从而可得结果. 【详解】 若32x =，0y =，则322x y +=<，可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；若2x y +>，则1x >或1y >的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则2x y +≤；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件； 则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要非充分条件本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立.3．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2． 【详解】解：当顶点为A 时，三棱锥A ﹣EHG ，A ﹣EFG ，A ﹣DCG ，A ﹣DHG ，A ﹣BCG ，A ﹣BFG ，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个． 故选：B ．【点睛】本题考查线面位置关系，属于中档题．4．函数()()0y f x x R m =∈，＞，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，则称()()y f x x D =∈“有界”，设()()1y f x x R =∈是增函数，()()2y f x x R =∈是周期函数，且对所有()()1200x R f x f x ∈，＞，＞，已知()()()12h x f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A ．若()h x 是周期函数,则()1f x “有界”B ．若()h x 是周期函数,则()2f x “有界”C ．若()1f x “有界”,则()h x 不是周期函数D ．若()2f x “有界”,则()h x 不是周期函数 【答案】D【解析】根据有界性、周期性与单调性的概念逐一分析判断即可. 【详解】解： 设()2y f x =的周期为2T ，()h x 的周期为1T ，()22x max f M =，()11x max f M =，若()h x 是周期函数,则()()()()()1112112T T T h x n f x n f x n f x f x +=++=， ∵()()1y f x x R =∈是增函数，即()()111T f x n f x +>, ∴()()212T f x n f x +＜，若21T T =，则()()2121T T f x n f x n ++＜，显然不成立， 若21T T ＜，给定S ，则存在S N +∈使得()()()()21222122T T T f x n f x n f x n f x n s T ⎧++⎪⎨⎡⎤+++⎪⎣⎦⎩＜＜, ∵()2f x 为周期函数，∴()()2222T f x n f x n s T ⎡⎤+++⎣⎦＜，又∵()()1f x x R ∈是增函数，∴()21T f x n +的值越来越小，无法判定； 对于C ，D 选项，()()()()()21222122T T T T h x n f x n f x n f x n f x +=++=+ 若()1f x “有界”,即()()212T h x n M f x +≤ ∵()2f x 为周期函数，∴()h x 也是周期函数， 若()2f x “有界”,则()2m f x M ≤≤，()()()()()()21222122212T T T T T h x n f x n f x n f x n f x M f x n +=++=+≤+，又()()1y f x x R =∈是增函数， ∴()h x 不是周期函数故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查函数的性质，涉及到函数的周期性、单调性及有界性，属难题．二、填空题 5．行列式1598的值为________.【答案】﹣37【解析】按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可． 【详解】 解：1598＝1×8﹣9×5＝﹣37． 故答案为：﹣37 【点睛】本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．6．设集合{}{}1234202A B ==-，，，，，，，则AB =________.【答案】{}2【解析】利用交集概念及运算即可得到结果. 【详解】∵{}{}1234202A B ==-，，，，，，，∴{}2A B ⋂= 故答案为：{}2 【点睛】本题考查交集概念及其运算，属于基础题.7．已知向量()()157215a b =-=，，，，，，则a b +=_______.【答案】13【解析】利用向量加法坐标公式可得a b +的坐标，进而求模即可. 【详解】∵()()157215a b =-=，，，，，，∴()3412a b +=-，， ∴91613a b +=+=， 故答案为：13 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长的计算，考查运算能力，属于简单题. 8．如果复数z 满足2220z z-+=，那么z =______. 【解析】设z ＝a +bi ，利用待定系数法建立方程组求出a ，b 的值，再由复数的模长公式进行计算即可． 【详解】 解：设z ＝a +bi ，则由z 2﹣2z +2＝0得（a +bi ）2﹣2（a +bi ）+2＝0， 即a 2﹣b 2﹣2a +2+（2ab ﹣2b ）i ＝0， 则a 2﹣b 2﹣2a +2＝0①且2ab ﹣2b ＝0②， 由2ab ﹣2b ＝0得ab ﹣b ＝0， 即b ＝0或a ＝1，若b ＝0，由①得a 2﹣2a +2＝0此时a 无解， 若a ＝1由①得b 2＝1，即b ＝1或b ＝﹣1， 即z ＝1+i 或z ＝1﹣i ， 则|z |， 【点睛】本题主要考查复数的模长的计算，利用待定系数法求出复数是解决本题的关键． 9．椭圆2221x y +=的焦距是______. 【解析】把椭圆x 2+2y 2＝1转化为标准方程，然后求出其焦距． 【详解】解：把椭圆x 2+2y 2＝1转化为：22112y x +=，a ＝1，b ＝2得c=∴2c．椭圆x2+2y2＝1．．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．10．掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).【答案】1 2【解析】掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，根据概率公式即可求出【详解】解：掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，故所得点数为质数的概率是31 62 =，故答案为：1 2【点睛】本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．11．若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.【答案】30°【解析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l＝2R，进而解三角形得到答案．【详解】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积＝πR2，其侧面积：S侧面积＝12×2πRl＝πRl，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴l＝2R，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有cosθ＝12， ∴θ＝60°，∴该圆锥的轴与母线的夹角大小为30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键． 12．从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________. 【答案】120【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算从5名男教师和4名女教师选出4人的选法，再计算其中只有男教师和女教师的选法数目，进而分析可得答案． 【详解】解：根据题意，从5名男教师和4名女教师选出4人，有C 94＝126种， 其中只有男教师的选法有C 54＝5种， 只有女教师的选法有C 44＝1种，则男女教师都有的选法有126﹣5﹣1＝120种； 故答案为：120． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 13．若两直线12:2:24l y kx k l y x =++=-+，的交点在第一象限,则正整数k =______.【答案】1【解析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可． 【详解】解：两直线l 1：y ＝kx +k +2，l 2：y ＝﹣2x +4，则224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩，k ≠﹣2，22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又两直线的交点在第一象限，则2026402kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得﹣23＜k ＜2， 所以正整数k ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题．14．若321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______. 【答案】6【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．再根据常数项为正数，求得正整数n 的最小值． 【详解】解：∵321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式的通项公式为T r +1＝rn C •（﹣1）r •x 3n ﹣5r ，令3n ﹣5r＝0，因为常数项为正数 求得最小的r ＝6，故常数项为6n C ,为正数，则正整数n 的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知()122x x ay a b R b++=∈+，既是奇函数,又是减函数,则a b +=_______.【答案】1-【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x ab --++＝﹣122x xab+++，分析可得a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2，将a 、b 的值代入函数的解析式，分析其单调性可得a 、b 的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()122x x ay a b R b ++=∈+，是奇函数，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x a b --++＝﹣122x x ab+++，变形可得：a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2；当a ＝﹣1，b ＝2时，f （x ）＝12122x x +-+＝11221x --，为增函数，不符合题意；当a ＝1，b ＝﹣2时，f （x ）＝12122x x ++-＝11221x +-，为减函数，符合题意；故a ＝1，b ＝﹣2，则a +b ＝﹣1； 故答案为：﹣1 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．16．已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中：arcsin y x =①；3y x =②；2111y y x x x==-+③；④，没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号). 【答案】②④【解析】根据函数的图像与性质分析即可得到结果. 【详解】作出arcsin y x =的图象，显然y 2π=适合题意；作出3y x =的图象，显然不存在基线；函数211y x =+为偶函数，在x 0=处取到最大值1， 所以y 1=适合题意； 作出1y x x=-的图象，显然不存在基线；综上可知：②④不存在基线. 故答案为：②④ 【点睛】本题考查命题的真假，函数的图象与性质，新定义的理解与应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题17．如图,正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3.(1)求正三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)求异面直线1A C 与AB 所成角的大小. 【答案】（1）23（2）24【解析】（1）由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解； （2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． 【详解】解：（1）∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1底面三角形的周长为6，∴边长为2， 则AB 边上的高为3， ∴12332ABCS=⨯⨯=， 又侧棱长AA 1长为3，则正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝123ABCSAA ⋅=；（2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A()31,0-，，B()310，，，A 1()312-，，，()()10,2,031,2AB CA ==-，，，∴cos 1CA AB ，＝11CA AB CA AB⋅⋅＝224222-=-⨯． ∴异面直线A 1C 与AB 所成角的大小为24．【点睛】本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18．已知函数()2sin cos sin .f x x x x =-(1)求()f x 的最小正周期；(2)设ABC ∆为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）π（2【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）根据f （A ）＝0，求得A 的值，再利用正弦定理求得B ，可得C 的值，利用△ABC 的面积为 12•ab •sin C ，计算求得结果． 【详解】解：（1）函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x ＝12sin2x ﹣122cos x -＝2sin （2x +4π）﹣12， 故它的最小正周期为22π＝π．（2）∵△ABC 为锐角三角形，角A B若f （A ）＝2sin （2A +4π）﹣12＝0，∴sin （2A +4π）＝2，∴2A +4π＝34π，∴A ＝4π．再由正弦定理可得4sinBsinπ=，∴sin B ＝2， ∴B ＝3π，∴C ＝π﹣A ﹣B ＝512π，∴sin C ＝sin （6π+4π）＝sin 6πcos 4π+cos 6πsin 4π故△ABC 的面积为 12•ab •sin C ＝124＝34+． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．19．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()0.65544502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()0t P t =，的单位是干人，设()P t 的反函数为()T x ，求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.【答案】（1）见解析，（2）T （2400）＝5.5，见解析.【解析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019人后增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的， （2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可． 【详解】解：（1）2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385﹣2082＝303千人， 3135﹣2082＝53，2203﹣2135＝68，2276﹣2203＝73，2339﹣2276＝63，2385﹣2339＝46，由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势， （2）由()0.65544502000 4.48781tP t e -=++， ∵P （t ）的反函数为T （x ），∴2400＝20000.66544504.48781t e -++，∴4.4878e ﹣0.6554t +1450400=，∴4.4878e ﹣0.6554t 18=，两边取对数可得ln 4.4878﹣0.6554t ＝﹣ln 8， ∴t 4.4878835.90240.65540.6554ln ln ln +==≈5.5，∴T （2400）＝5.5．其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人．【点睛】本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了反函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题20．设常数m≥在平面直角坐标系xOy中,已知点(0F，直线:l y m=，曲线)x y m lΓ=≤≤：，与y轴交于点A与Γ交于点,,B P Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用m表示点B到点F的距离；(2)若0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，求m的值；(3)设m=且存在点P、Q,使得FPQ∆是等边三角形,求FPQ∆的边长.【答案】（1）1BF=-（2）m1=（3）3【解析】（1）运用平面内两点间距离公式求解；（2）由条件可知四边形AFPQ为正方形，转化为边长相等，即可得到m的解；（3）设出P，Q坐标利用|PF|＝|FQ|求出t，即可求出两点坐标，进而求出边长．【详解】解：（1）由y mx=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得Bm），又F（0，∴|BF|===﹣1，（2）由0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，则四边形AFPQ为正方形，∵F（0，A（0，m），P（1），∴|AF|＝m，|FP|＝1，∴m=1，即m=1，（3）由yx⎧=⎪⎨=⎪⎩可得B，），设点Q （t ，22），则||FQ |22t =+，（0≤t 7≤）， 设P （x 0，y 0），则|PF |021y =-，∵△FPQ 是等边三角形，∴|PF |＝|FQ |，即20212y t -=+，即20212t y ++=，代入曲线方程得22200(21)112t x y ++=+=-， ∵|QF |2＝|QP |2，t 2+2＝（22(21)12t t ++--）2+（221222t ++-）2， 解得t 2＝7， |FQ |72=+=3△FPQ 的边长为3．【点睛】考查了两点之间的距离公式，向量运算带来的几何意义，以及特殊三角形的性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．已知*n N ∈和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋯≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成,且下列条件同时成立：① 3n 个数()11211k k k n k k n k a a a a a a k n +++++---≤≤，，两两不同；②当1k n ≤≤时，2111k n k k n k k k a a a a a a +++++---＞＞都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个“友数列”.(1)若12341123n x x x x =====，，，，写出的{}k x 全部“友数列”；(2)已知{}k a 是通项公式为()131k x k k n =≤≤+的数列{}k x 的一个“友数列”，且131n a x +=，求31n a +(用n 表示)；(3)设2n ≥，求所有使得通项公式为()131kk a q k n =≤≤+的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的“友数列”的正实数q 的个数(用n 表示). 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）对1a 分类讨论即可得到结果；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，分类讨论即可得到结果；（3）根据“友数列”的定义，分析即可得到结果. 【详解】解：（1）若11,a ≠ 则234,,a a a 中存在两个1，不妨设(),24i j a a i j ≤<≤， 则有11i j a a a a -=- 与②矛盾， 故有11,a =则234111a a a -<-<-， ∴234111,a a a -<-<- ∴2341,2,3a a a ===即好数列{}{}1234,,,1,1,2,3a a a a = ；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，而令k 取1时，由131a n =+，2222313131n n n a n a n a +++-<+-<+- ，若221n a +≠，则22313n n a n ++-<，而1k ≠时，1121k k k k n k k n a a a a a a +++++-<-<- 故只可能为某个j 且1j ≠ 使213j j n a a n ++-=， 则{}2121max ,3j j n j j n a a a a n ++++-<<，矛盾， ∴必有1k =则有22313n n a n ++-=，即221n a += ， 其次，若1231,n a a n +-≠+则此时差值中31n -除3n 外最大，则有2131j j n a a n ++-=-，1j ≠，又2122,j j n n a a a +++≠， ∴21,2j j n a a ++≥，而21,3j j n a a n ++≤， 则213231j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1231,n a a n +-=-即22n a += 同理，若1232,a a n -≠-则有1j ≠使2132j j n a a n ++-=-，且21,3j j n a a ++≥，且21,3j j n a a n ++≤，∴213332j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1232,n a a n +-=-即23a =，接着考虑：223n a a +- ，2323,n a a a a +--， 若22333n a a n +-≠-，则有()1,2j j ≠，使得2333j j n a a n ++-=-， 又234,4j j n a a ++≥≥ ，23,3j j n a a n ++≤矛盾， ∴22333n a a n +-=- 依次类推即可.故对于21n k =+ ()0,1,2,n =时，313,n n a a +-=且122323a a n a -=-⇒=，3233532a a n a n -=-⇒=-，11n n a a --=，联立，得322n n a +=， ∴31352n n a ++=，对于2n k = ()0,1,2,n =时，1232a a n -=-，()3235a a n -=--，11n n a a --=-， 联立，得32n n a =， ∴31362n n a ++=，（3）233112331,,,,n n a q a q a q a q ++==== ，若()0131kk a q k n =≤≤+ 为一个数列{}k x 的“友数列”，则()01131kk a k n q ⎛⎫=≤≤+ ⎪⎝⎭亦为一个数列{}k x '的友数列，故不妨设1q ≥ ，则所有差排列如下：01 ：1q =时，易知与条件①②矛盾； 02 ：1q >时，()()2121121111n n n n q q q q q ++-+-<-<<- ， ()()1111111n n n n q q q q q ++-+-<-<<-，()()1111n q q q q q --<-<<-观察上面式子，若不存在{}k x ，则先比较：211n q+-与()111n n qq-+-()()21221111n n n q q q q q +--=-++++，()()()1111111n n n n n q q q q q q q -+---=-++++()()212212111n n n n q q q q q ---+=-+++<-，在比较11n q+-与()11n qq --大小，()()11111n n n q q q q q +--=-++++()1111n n q q q -+-<-，综上，不存在满足题意的q 值. 【点睛】本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．。
2018-2019年上海市上师大附中高三下第三次月考数学试卷及答案
上海师范大学附属中学2019年高三第三次质量检测数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1. 设集合{2,3,4,12}A =，{0,1,2,3}B =，则A B = {}2,32.不等式11x<的解集为 ()(),01,-∞+∞3．已知tan 2θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos θ=___4．已知球主视图的面积等于9π，则该球的体积为__36π ___.5. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法_____780____.（用数字作答）6. 定义(),,,a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是____（2）（3）（4）____（写出所有真命题的序号）①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数 ②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数 ③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数 ④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数7.已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为128.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量OA 、OB 、OC 满足11()(1)n n n OC a a OA a OB -+=++-，2n ≥，*n N ∈，若A 、B 、C 在同一直线上，则2018S = 29. 已知点,C D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD λ=MC ，则实数λ的取值范围为__1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦____.10.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅12. 11.已知点A (–3,–2)和圆C ：(x–4)2+(y–8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 712.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和()()114f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立，若当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，则当[]100,100x ∈-时，函数()f x 的值域为100100[2,2]- .二、选择题（每题5分，共20分）13. 若非空集合A 、B 、C 满足AB C =，且B 不是A 的子集，则（ B ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件14.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ B ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 815.已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ C ）A. 2n 个B. 22n 个C. 2n个 D. 2(21)n-个16.关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（ C ）．A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =+. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.解：（1）()21cos 2cos 2x f x x +==，其对称轴为2,,2k x k x k Z ππ==∈，因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()1222g x x =+，所以()()()112sin 2=222g a g k k ππ==+ 即()122g a =. (2)由（1）得()()()1cos 2212sin 216h x f x g x x x x π=+=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()221x f x a =-+（常数a R ∈） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[]2,3x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值.【答案】：（1）若当1a =时，()f x 为奇函数。
上海市华师大二附中2019届高三综合练习数学10试题
上海市华师大二附中高三年级综合练习[10]数学一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合A={(x ，y)|y=sinx ，∈x (0，2π)}，B={(x ，y)|y=a ，∈a R}，则集合A∩B 的子集个数量多有 个.2、若函数)(x f =x 21log 2的值域是[-1，1]，则函数)(1x f-的值域为 .3、(文)若⎩⎨⎧≥+≤≤222y x y x ， ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是 . (理)将曲线 )(sin cos R y x ∈⎩⎨⎧==θθθ，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的21倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .4、在等差数列{}n a 中，中若01<a ，n S 为前n 项之和，且177S S =，则n S 为最小时的n 的值为 .5、函数x x x x f cos sin 42sin )(3-=的图象上相邻二条对称轴之间的距离是 . 6、设1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且212143,23e e b e e a +-=+=，则b a ⋅= .7、若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 .8、在正三棱锥S －ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成角为︒45，则SD 与底面所成角的正弦值为 .9、一动圆与两圆(x+4)2+y 2=25和(x-4)2+y 2=4都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .10、)(x f 是偶函数，且)(x f 在(0，+∞)上是增函数，若∈x [21,1]时，不等式)2()1(-≤+x f ax f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如402，745等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有 个.12、对于正整数n 和m(m<n)定义!m n =(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n -km)其中k 是满足n>km 的最大整数,则!20!1864=________.二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
上海市华二附中高三三模数学学科考试试卷(含答案)(2019.05)
华二附中高三三模数学试卷2019.05一. 填空题1. 已知集合{||1|3}A x x =-≤，{|1}B x x =≤-，则()AB =R ð2. 若615n C =，则n =3. 抛物线2y x =的准线方程是4. 已知方程220x x b -+=的一个根是2i a +（其中a ∈R ，i 是虚数单位），则实数b =5. 已知数列{}n b 的通项公式是211()2n n b -=，则12lim()n n b b b →∞++⋅⋅⋅+= 6. 线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组无解，则实数m =7. 18(x 的展开式中含15x 的项的系数为 （结果用数值表示）8. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+的最小正周期为π，则()f x 在区间[0,]2π上单调 递减区间是 9. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是 “每大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+，在不超过30的素数中， 随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是11. 已知函数31()x x f x x e e=+-，其中e 是自然对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤， 则实数a 的取值范围是12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中第一项是02，接下来的两项是02、12，再接下来的三项是02、12、22，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是二. 选择题13. 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，则“1k =”是“△OAB 的 面积为12”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的 原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ） A. 3310 B. 5310 C. 7310 D. 931015. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而已， 所得开立方除之，即立圆经，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的3.14159π≈⋅⋅⋅判断，下列 近似公式中最精确的一个是（ ）A. d ≈B. d ≈C. d ≈D. d ≈16. 若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关三. 解答题17. 如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PB AC ====， O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 是棱BC 的中点，求PC 与平面PAM所成角的大小.（用反三角函数表示）18. 已知函数()lg(1)f x x =+.（1）若0(12)()1f x f x <--<，求实数x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =（[1,2]x ∈）的反函数.19. 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG 、11E G 的长分别为14cm 和62cm ，分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ，现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm .（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.20. 椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦距是长轴长是短轴长3倍，任作斜率为13的直线l 与椭圆C 交于A 、B两点（如图所示），且点P 在直线l 的左上方.（1）求椭圆C 的方程；（2）若||AB =PAB 的面积；（3）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.21. 若无穷数列{}n x 满足1211n n n n n n x x x x x x +++-+=+对所有正整数2n ≥成立，则称{}n x 为“Q 数列”， 现已知数列{}n a 是“Q 数列”.（1）若12a =，23a =，418a =，求3a 的值；（2）若0n a >对所有*n ∈N 成立，且存在*k ∈N 使得1k a =，12k a +=，23k a +=，求k 的 所有可能值，并求出相应的{}n a 的通项公式；（3）数列{}n q 满足1n n na q a +=（1n ≥），证明：{}n a 是等比数列当且仅当{}n q 是等差数列.参考答案一. 填空题1. (1,4]-2. 2或43. 14y =-4. 55. 236. 2±7. 178. [,]82ππ 9. 4 10.115 11. 1[1,]2- 12. 440二. 选择题 13. A 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）证明略；（2）18.（1）2133x -<<；（2）310x y =-，[0,lg 2]x ∈. 19.（1）16cm ；（2）20cm .20.（1）221364x y +=；（2）123y x =-，6PAB S =；（3）证明略. 21.（1）37a =或9-；（2）1k =，n a n =；（3）证明略.。
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三年级第二学期开学考数学试卷(简略答案)
华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷2019.03时间：120分钟；满分150分一、填空题： 1. 行列式1958的值为 2. 设集合{1,2,3,4}A =，{2,0,2}B =-，则AB =3. 已知向量{1,5,7}a =-，{2,1,5}b =，则||a b +=4. 如果复数z 满足2220z z -+=，那么||z = 5. 椭圆2221x y +=的焦距是6. 掷一颗均匀的骰子，所得点数为质数的概率是 （结果用最简分数表示）7. 若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为8. 从5名男教师和4名女教师中选出4人参加“组团式援疆”工作，且要求选出的4人中 男女教师都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）9. 若两直线1:2l y kx k =++，2:24l y x =-+的交点在第一象限，则正整数k =10. 若321()nx x -的二项式展开式中，常数项为正数，则正整数n 的最小值是 11. 已知122x x ay b++=+（,a b ∈R ）既是奇函数，又是减函数，则a b +=12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ,称l 为Γ的一条“基线”，若l 与Γ有且仅有一个公 共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，则下列曲线中：①arcsin y x =；②y =③211y x =+；④1y x x=-；没有“基线”的是 （写出所有符合要求的曲线编号） 二、选择题：13. 已知数列{}n a 的极限是A ，如果数列{}n b 满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨>⎩，那么数列{}n b 的 极限是（ ）A. 3A B. 2A C. A D. 不存在14. 已知,x y ∈R ，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分也非必要 15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的鳖臑的个数为（ ）A. 12 B. 24 C. 48 D. 5816. 称()y f x =（x D ∈）“有界”，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，设1()y f x =（x ∈R ）是增函数，2()y f x =（x ∈R ）是周期函数，且对所有x ∈R ，1()0f x >，2()0f x >，已知12()()h f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A. 若()h x 是周期函数，则1()f x 有界B. 若()h x 是周期函数，则2()f x 有界C. 若1()f x 有界，则()h x 不是周期函数D. 若2()f x 有界，则()h x 不是周期函数 三、 解答题：17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6，侧棱长1AA 长为3. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小.18. 已知函数2()sin cos sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A B 的对边长()0f A =，求△ABC 的面积.19. 某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示.（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数 量的变化趋势；（2）研究人员用函数0.6544450()2000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，设()P t 的反函数为()T x ，求(2400)T的值（精确到0.1），并解释其实际意义.20. 设常数m ≥xOy 中，已知点F ，直线:l y m =，曲线:x Γ=0y m ≤≤），l 与y 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ 与线段AB 上的动点.（1）用m 表示点B 到点F 的距离；（2）若0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=，求m 的值；（3）设m =P 、Q ，使得△FPQ 是等边三角形，求△FPQ 的边长.21. 已知*n ∈N 和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋅⋅⋅≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成，且下列条件同时成立：① 3n 个数1||k k a a +-，1||k n k a a ++-，21||k n k a a ++-（1k n ≤≤）两两不同；② 当1k n ≤≤时，2111||||||k n k k n k k k a a a a a a +++++->->-都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个 “友数列”.（1）若1n =，121x x ==，32x =，43x =，写出{}k x 的全部友数列；（2）已知{}k a 是通项公式为k x k =（131k n ≤≤+）的数列{}k x 的一个友数列，且131n a x +=，求31n a +（用n 表示）；（3）设2n ≥，求所有使得通项公式为kk a q =（131k n ≤≤+）的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的友数列的正实数q 的个数（用n 表示）.华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷参考答案2019.03 一. 填空题1. 37-2. {2}3. 134.5.6.12 7. 6π 8. 20219. 1 10. 10 11. 1- 12. ②④ 二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. C 三. 解答题17.（1）（2）1318.（1）T π=；（2）S =19.（1）2015201453f f -=，2016201568f f -=，2017201673f f -=，2018201763f f -=，2019201846f f -=，2014年至2018年每年该地人口的增长数量呈先增后减的趋势，每一年 人口总数呈逐渐递增的趋势；（2）(2400) 5.5T =，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，即经过半年时间，该地人口数量总人数即增长到2400人.20.（1）||1BF =-；（2）1m =；（3.21.（1）1、1、2、3；（2）31121n a n +≤≤-，31n a +∈*N ；（3）略.。
2019上海市华师大二附中高考数学三模试卷 (答案)
．
1 ������ ������
7．（3分）（x− 31√������）18的展开式中含x15的项的系数为
．（结果用数值表示）
8．（3分）已如ω＞0，函数������(������) = ������������������(������������ + ���4���)的最小正周期为π，则f（x）在区间[0， ���2���]上单调递
（3）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上．
-7-
21．若无穷数列{xn}满足���������������������+���1
=
������������+2+������������ ������������+1+������������−1
对所有正整数n≥2成立，则称{xn}为“Q数列”，现已知数
列{an}是“Q数列”：
．
10．（3分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“任
何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同
的数，其和等于30的概率是
．
11．（3分）已知函数������(������) = ������3 + ������������ − ���1���������，其中e是自然对数的底数，若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，则
-6-
20．椭圆������：
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������＞������＞0)的焦距是8√2，长轴长是短轴长的3倍，任作斜率为13的直线l与椭
圆C交于A、B两点（如图所示），且点P(3√2，√2)在直线l的左上方．
2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期质量检测数学试题(解析版)
2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期质量检测数学试题一、单选题1．已知函数()()f x x R ∈满足()f x =()4f x -,若函数y =241x x -+与()y f x =图象的交点为()()()()112233,,,,,,,,,n n x y x y x y x y 则1ni i x ==∑A ．0B ．nC ．2nD ．4n【答案】C【解析】由()f x =()4f x -知函数()y f x =的图象关于直线x =2对称,且函数y =241x x -+的图象也关于直线x=2对称,则两个函数图象的交点两两关于直线x=2对称,故12nii xn ==∑.故答案为：C.2．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（ ） A ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行 B ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平 C ．12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行D ．12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平行【答案】C【解析】由方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，即可求解． 【详解】由题意，关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，若方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，又由1122,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得向量a 和b 不平行，即12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及二元一次方程组的增广矩阵的应用，其中解答中熟记二元一次方程组唯一解的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．在R t A B C ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．18【答案】C【解析】取MN 中点D ，由极化恒等式得，22PM PN PD DM ⋅=-， 所以当DP BC ⊥，PM PN ⋅最小，则14PC BC =，即14k =。
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题(含解析)
上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三数学5月模拟试题（含解析）一.填空题1.若复数z满足1zi i=--1+2i，则z等于_____．【答案】1+i【解析】【分析】由题得iz+i＝﹣1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】∵1zi i=-iz+i∴iz+i＝﹣1+2i∴z＝1+i故答案为：1+i．【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题2.计算：3381nnClimn→∞=+_____【答案】1 48【解析】分析】由二项式定理得()()323123266nn n n n n nC---+==，再求极限即可【详解】()()323123266nn n n n n nC---+==；∴33223333213216814864848nn n nC n n n n nlim lim limn nn→∞→∞→∞-+-+===+++．故答案为：148． 【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题3.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2+y 2＝_____．【答案】4【解析】 试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x 、y 的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t ，y=10-t ，求解即可。
解：由题意可得： x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t ，y=10-t ，则2t 2=8，解得t=±2，∴|x -y|=2|t|=4，故答案为4.考点：平均值点评：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．4.关于x ，y 的二元一次方程的增广矩阵为32111m ⎛⎫ ⎪⎝⎭．若D x ＝5，则实数m ＝_____． 【答案】-2【解析】【分析】 由题意，D x 1232m -==-5，即可求出m 的值． 【详解】由题意，D x 1232m -==-5，∴m ＝-2， 故答案为-2．【点睛】本题考查x ，y 的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．5.已知实数x、y满足不等式组220x yx yy--≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则11ywx-=+的取值范围是_____【答案】1,12⎡-⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．11ywx-=+的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴AP的斜率k12=-又OB的斜率k＝1∴12-≤w<1．则11ywx-=+的取值范围是：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6.在101()2xx展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_____项．【答案】4【解析】。
上海市华东师范大学第二附属中学2019年5月高三模拟数学试卷(解析版)
2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一.填空题1．（3分）若复数z满足1+2i，则z等于．2．（3分）计算：3．（3分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2＝．4．（3分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x＝5，则实数m＝．5．（3分）已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是6．（3分）在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有项．7．（3分）一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为．8．（3分）连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是．9．（3分）已知集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B ≠∅，则实数a的取值范围为．10．（3分）在△ABC中，BC，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为．11．（3分）如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且，．有以下结论：①当x＝0时，y∈[2，3]；②当P是线段CE的中点时，，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x﹣y的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为．12．（3分）对任意实数x和任意，，恒有，则实数a的取值范围为．二.选择题13．（3分）设集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（）A．可能是等差数列，也可能是等比数列B．可能是等差数列，但不可能是等比数列C．不可能是等差数列，但可能是等比数列D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列15．（3分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝（）A．1 B．C．2 D．316．（3分）若函数f（x）满足：f（|x|）＝|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：①定义域为R的“对等函数”，其图象一定过原点；②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，则{y|y＝f（x），x∈D}⊆{y|y≥0}；在上述命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝4，•8．（1）求a2+c2的值；（2）求函数f（B）sin B cos B+cos2B的值域．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．19．某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？20．已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．（I）求抛物线G的方程；（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+（y﹣1）2＝1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；（III）过A、B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．21．已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，{b n}数列是以q为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列的前n项和为S n，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整数q的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；（Ⅲ）若b1＝a r，b2＝a s≠a r，b3＝a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与解析一.填空题1．【解答】解：∵iz+i∴iz+i＝﹣1+2i∴z＝1+i故答案为：1+i．2．【解答】解：；∴．故答案为：．3．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，解得则x2+y2＝208，故答案为：208．4．【解答】解：由题意，D x5，∴m＝﹣2，故答案为﹣2．5．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴OB的斜率k＝1AP的斜率k，∴w≤1．则的取值范围是：，．故答案为：，．6．【解答】解：展开式的通项为其中r＝0，1，2 (10)要使x的指数为负整数有r＝4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：47．【解答】解：设圆柱的高为：2，由题意圆柱的侧面积为：2×2π＝4π圆柱的体积为：2π12＝2π球的表面积为：4π，球的半径为：1；球的体积为：所以这个圆柱的体积与这个球的体积之比为：故答案为：8．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴（m，n）与（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，]•0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m＝6时，n＝6，5，4，3，2，1；当m＝5时，n＝5，4，3，2，1；当m＝4时，n＝4，3，2，1；当m＝3时，n＝3，2，1；当m＝2时，n＝2，1；当m＝1时，n＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P．故答案为：9．【解答】解：分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．如图所示．其中A（a+1，1），B（a﹣1，1），欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得：﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．10．【解答】解：如右图：∵AB＝BD，∴在△ABC中，由正弦定理得，∴BD sin∠ABC＝sin∠ACB，在△BCD中，CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC cos（90°+∠ABC）＝AB2+2+2BD sin∠ABC＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos∠ACB+2+2sin∠ACB＝5﹣2cos∠ACB+2sin∠ACB＝5+4sin（∠ACB﹣45°），∴当∠ACB＝135°时CD2最大为9，CD最大值为3，故答案为：3．11．【解答】解：对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当当P是线段CE的中点时，故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对故答案为②③④12．【解答】解：原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣a sinθ﹣a cosθ）2，θ∈[0，]①，由①得a②，或a③，在②中，，（sinθ+cosθ），显然当1≤x时，f（x）＝x为减函数，从而上式最大值为f（1）＝1，由此可得a；在③中，（sinθ+cosθ），当且仅当sinθ+cosθ时取等号，所以的最小值为，由此可得a，综上，a或a．故答案为：a或a．二.选择题13．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}＝{x|1＜x＜4}＝（1，4），B＝{x||x﹣a|＜1}＝（a﹣1，a+1），若“a∈（2，3）”，可得1＜a﹣1＜2，3＜a+1＜4，必有“B⊆A”，若“B⊆A”，则有，解可得2≤a≤3，“a∈（2，3）”不一定成立；则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的充分不必要条件；故选：A．14．【解答】解：（1）若a＞b＞0则有a＞＞＞b若能构成等差数列，则a+b，得2，解得a＝b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b•，得2，解得a＝b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有＞a＞＞b若能构成等差数列，则b＝a，得23a﹣b4ab＝9a2﹣6ab+b2得b＝9a，或b＝a（舍）当b＝9a时这四个数为﹣3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b＝9a＜0，满足题意但此时•b＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等数列故选：B．15．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y＝±，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p＝2．故选：C．16．【解答】解：①定义域为R的“对等函数”，可令x＝0，即f（0）＝|f（0）|，解得f（0）＝0，或f（0）＝1，故①错误；②两个定义域相同的“对等函数”，设y＝f（x）和y＝g（x）均为“对等函数”，可得f（|x|）＝|f（x）|，g（|x|）＝|g（x）|，设F（x）＝f（x）g（x），即有F（|x|）＝f（|x|）g（|x|）＝|f（x）g（x）|＝|F（x）|，则乘积一定是“对等函数，故②正确”；③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，可得f（|x|）＝|f（x）|，可取f（x）＝x|x|，x∈R，可得x≥0时，f（x）≥0；x＜0时，f（x）＜0，故③错误．故选：B．三.解答题17．【解答】解：（1）∵•8，∴ac cos B＝8，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣16，∴a2+c2＝32；（2）∵a2+c2≥2ac，∴ac≤16，∵ac cos B＝8，∴cos B，∵B∈（0，π），∴0＜B，∵f（B）sin B cos B+cos2B sin2B（1+cos2B）＝sin（2B），∵＜2B，∴sin（2B）∈[，1]，则f（B）的值域为[1，]．18．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB．（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．∵PC＝AC＝2，∴C0⊥PA，CO，∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB＝BC，AC＝2，求得BCPB，CD∴∠cos∠COD．19．【解答】解：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得∴v≥20∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18﹣x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则，∴∴∴∵x∈N+，∴x＝10∴当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟．20．【解答】解：（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1＝0， 1所以抛物线C的方程为x2＝4y．（2）当直线AB的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，故直线AB的斜率一定存在，设直线AB方y＝kx+1交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1，所以|AC|＝y1，|BD|＝y2，由得x2﹣4kx﹣4＝0，显然△＞0，则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，所以y1•y21，所以|AC|•|BD|为定值1．（3）解：由x2＝4y，y x2，y x，得直线AM方程y x1（x﹣x1）（1），直线BM方程y x2（x﹣x2）（2），由（2）﹣（1）得（x1﹣x2）x，所以x（x1+x2）＝2k，∴y＝﹣1所以点M坐标为（2k，﹣1），点M到直线AB距离d2，弦AB长为|AB|4（1+k2），△ACM与△BDM面积之和，S（|AB|﹣2）•d（2+4k2）×22（1+2k2），当k＝0时，即AB方程为y＝1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a n＝2n，b n＝2•q n﹣1，所以由S3＜a1003+5b2﹣2010，可得到b1+b2+b3＜a1003+5b2﹣2010⇒b1﹣4b2+b3＜2006﹣2010⇒q2﹣4q+3＜0．解得1＜q＜3，又q为整数，所以q＝2；故答案为2．（Ⅱ）假设数列{b n}中存在一项b k，满足b k＝b m+b m+1+b m+2++b m+p﹣1，因为b n＝2n，∴b k＞b m+p﹣1⇒2k＞2m+p﹣1⇒k＞m+p﹣1⇒k≥m+p（*）又＝2m+p﹣2m＜2m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．所以，这样的项b k不存在；故答案为不存在．（Ⅲ）由b1＝a r，得b2＝b1q＝a r q＝a s＝a r+（s﹣r）d，则又⇒，从而，因为a s≠a r⇒b1≠b2，所以q≠1，又a r≠0，故．又t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，所以q是整数，且q≥2，对于数列中任一项b i（这里只要讨论i＞3的情形），有b i＝a r q i﹣1＝a r+a r（q i﹣1﹣1）＝a r+a r（q﹣1）（1+q+q2++q i﹣2）＝a r+d（s﹣r）（1+q+q2++q i﹣2）＝a r+[（（s﹣r）（1+q+q2++q i﹣2）+1）﹣1]•d，由于（s﹣r）（1+q+q2++q i﹣2）+1是正整数，所以b i一定是数列{a n}的项．故得证．。
上海师范大学附属中学2019年高三下第二次质量检数学卷
上海师范大学附属中学2019年高三第二次质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1、已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = {}1 ．2、设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = －1 ．3、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= 1.54、若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于20 ．5、某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 18 ．6、向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =____-0.5___7、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝2425．(用数值表示) 8、已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = 916-9、已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 1 .10、已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为 12π11、定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为22112、已知双曲线C ：22198x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =__2______．二、选择题（每题5分，共20分） 13、用反证法证明命题：“已知a 、b，如果ab 可被 5 整除，那么a 、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为___B_______.A. a 、b 都能被5 整除B. a 、b 都不能被5 整除C. a 、b 不都能被5 整除D. a 不能被5 整除14、若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足：11122122,,,{0,1},a a a a ∈且111221220a a a a ＝ ，则这样的互不相等的矩阵共有 D.A 2个 .B 6个 .C 8个 .D 10个15、已知函数2()sin f x x x =⋅，各项均不相等的数列{}n x 满足2i x π≤(1,2,3,,)i n =．令[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅++∈．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12nn x n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则(2)0F k >对*k N ∈恒成立；(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*n N ∈恒成立． 其中真命题的序号是（ D ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3) 16、已知函数()x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件：① 对任意的[]84,21，∈x x ，当21x x <时，都有()()02121>--x x x f x f 恒成立；② ()()x f x f -=+4； ③ ()4+=x f y 是偶函数；若()()()2017116f c f b f a ===，，，则c b a ,,的大小关系正确的是( B ) A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. a b c << 三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A b a BC a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积. （1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-；……………2分 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；……………2分 （2）由4sin 5A =，c =sin sin a c A C =，∴85a =；…………2分由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,…………2分∴()4sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C =+=+=；…………2分∴11883sin 225ABC S ca B ∆-==…………2分18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分 在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分 由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分 所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分 （2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD = ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围； （2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．(1)由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）． …………………………………6分（２）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩N 恒成立 ………………………8分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立 ………………………10分设t =，则：114t ≤≤ 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立，由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） ………………………12分 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤． ………………………14分20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分，已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a所以椭圆方程为1222=+y x （2）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k 222212221212,214k k x x k k x x +=⋅+=+-计算得：),(),,(2211y m x MQ y m x MP -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ MQ MP =计算得421x x m += 即2221214k k x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m21．（本题满分18分）第1小题满分分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）*12,N n b n n =-∈ (2)由tan 2tan 2n nn n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n n n S θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==， 因为tan 2n n n a θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02nπθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数.当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴=== ⎪⎝⎭所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为 11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞.。
2019年上海华东师范大学第二附属中学高三数学文模拟试题含解析
2019年上海华东师范大学第二附属中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列满足,则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B略2. 已知集合M={x|x+1≥0}，N={x|﹣2＜x＜2}，则M∩N=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（2，+∞）C．（﹣1，2] D．[﹣1，2）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求解一元一次不等式化简M，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x+1≥0}=[﹣1，+∞），N={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），则M∩N=[﹣1，+∞）∩（﹣2，2）=[﹣1，2）．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元一次不等式的解法，是基础题．3. 已知向量=（1，λ），=（2，1），若2+与=（1，﹣2）共线，则在方向上的投影是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量共线求出λ，再代入平面向量的投影公式计算．【解答】解：2+=（4，2λ+1），∵2+与=（1，﹣2）共线，∴﹣8﹣（2λ+1）=0，解得λ=﹣．∴， =2﹣=﹣．∴在方向上的投影为||×==﹣．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量共线与数量积的关系，属于基础题．4. 过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（）（A）（B）（C）或（D）或参考答案：D若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即。
若直线不经过原点，在设直线方程为，即。
把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.5. 设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i参考答案：【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C6. 设集合，若，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：C7. “2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】解：2a＞2b?a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选B．8. cos（﹣300°）的值是( )A．﹣B．C．﹣D．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用诱导公式可得cos（﹣300°）=cos（﹣300°+360°）=cos60°．【解答】解：cos（﹣300°）=cos（﹣300°+360°）=cos60°=，故选 B．【点评】本题考查应用诱导公式化简三角函数式，把要求的式子化为cos（﹣300°+360°），是解题的关键．9. 奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是（）A． B．C． D．参考答案：B10. 已知函数是奇函数，当时，则的值等于（）A． C． D ．-参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足则的最大值为。
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期三模(5月)数学试题(解析版)
2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期三模（5月）数学试题一、单选题1．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以11222OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.2．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式,根据 3.14159π≈判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）A ．d ≈B ．d ≈C ．d ≈D ．d ≈【答案】B【解析】利用球体的体积公式得333443326d d V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，得出d 的表达式，再将π的近似值代入可得出d 的最精确的表达式. 【详解】由球体的体积公式得333443326d d V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，36V d π=，6 1.9099π≈，16 1.77789≈，21 1.909111≈，300 1.9082157≈，2111与6π最为接近，故选：C.【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题。
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华东师大二附中2018-2019学年度高三下 (三模)数学试卷
一、填空题
1.已知集合{}
{}，
，1|31|-≤=≤-=x x B x x A 则()=B C A R _______. 2.若，156=n C 则=n _______. 3.抛物线2
x y =的淮线方程是________. 4.已知方程022=+-b x x 的一个根是i a 2+(其中i R a ，∈是虚数单位)，则实数=b ___.
5.已知数列{}n b 的通顶公式是，1221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b 则()=+⋯++∞
→n n b b b 21lim _______. 6.某线性方程组对应的增广矩阵是 ⎝⎛1m m 4 ⎪⎪⎭
⎫m 2，且此方程组无解，则实数=m ______. 7.1831⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的展开式中含15x 的项的系数为________(结果用数值表示). 8.已如0＞ω，函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=4sin πx x f ω的最小正周期为π，则()x f 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减区间是__________. 9.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y
x y x 2220给定，若M ()y x ，为D
上的动点，点A 的坐标为()，，12则OM z ⋅=的最大值为________.
10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的硏究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________.
11.已知函数()，x x e
e x x
f 13-+=其中e 是自然对数的底数，若()()0212≤+-a f a f ，则实数a 的取值范围是_________.
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题荻取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案:已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一项是02，接下来的两项是1022、，再接下来的三项是，
、、210222……，以此类推，求满足如下条件的最小整数100:＞N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是________.
二、选择题
13.直线1:+=kx y l 与圆1:22=+y x O 相交于A 、B 两点，则“1=k ”是“△OAB 的面积为2
1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.必要充分条件
D.既不充分也不必要条件
14.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与N
M 最接近的是 A.3310 B.5310 C.7310 D.9310
15.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数，以十六乘之，九而已，所得开立方除之，即立圆径。
“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个 近假公式39
16V ，人们还用过一些类似的近视公式，根据π≈3.14159……，判断，下列近似公式中最精确的一个是 A.3916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.311
21V d ≈ 16.若函数()b ax x x f ++=2在区间[]10，上的最大值是M ，最小值是，m 则m M -
A.与a 有关，且与b 有关
B.与a 有关，但与b 无关
C.与a 无关，且与b 无关
D.与a 无关，但与b 有关
三、解答题
17.如题所示，在三棱锥ABC P -中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点.
(1)证明:PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 是棱BC 的中点，求PC 与平面PAM 所成角的大小(用反三角函数表示)。
18.已知函数()().1lg +=x x f
(1)若()()1210＜
＜x f x f --，求实数x 的取值范围； (2)若()x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有()()x f x g =，求函数 ()[]()21，∈=x x g y 的反函数。
19.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32充满，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm 710，容器Ⅱ的两底面对角线EG 、11G E 的长分别为14cm 和62cm ，分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ，现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计).
(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部的长度；
(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度。
20.椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+的焦距是28，长轴长是短轴长的3倍，任作斜率为3
1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点(如图所示)，且点P ()
223，在直线l 的左上方。
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若，102=AB 求△PAB 的面积；
(3)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上。
21.若无穷数列{}n x 满足1
121-+++++=n n n n n n x x x x x x 对所有正整数2≥n 成立，则称{}n x 为“Q 数列”， 现已知数列{}n a 是“Q 数列”：
(1)若，，，1832421===a a a 求3a 的值；
(2)若0＞n a 对所有*N n ∈成立，且存在*N k ∈使得321
21===++k k k a a a ，，，求k 的所 有可能值，并求出相应的{}n a 的通项公式；
(3)数列{}n q 满足()11≥=+n a a q n
n n ，证明:{}n a 是等比数列当且仅当{}n q 是等差数列。