2015-2016年重庆市沙坪坝区南开中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期末数学试
卷（理科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知命题p为真命题，命题q为假命题，则以下命题为真命题的是（）A．￢p或q B．p且q C．p或q D．￢p且￢q
2．（5分）椭圆的焦点坐标为（）
A．（±1，0）B．C．（0，±1）D．
3．（5分）若复数的实部与虚部互为相反数，则b=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
4．（5分）抛物线y2=2x上两点A，B，已知AB的中点在直线x=2上，F为抛物线焦点，则|AF|+|BF|=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设
=，则=（）
A．B．C．D．
6．（5分）椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为（）
A．2 B．C．D．不存在最大值
7．（5分）命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”的否定形式是（）A．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）≥h（x0）B．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）或g （x0）≥h（x0）
C．∀x∈R，f（x）≥g（x）≥h（x）D．∀x∈R，f（x）≥g（x）或g（x）≥h（x）
8．（5分）由函数y=e x，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（）
A．e e﹣e B．e e﹣2e C．2e﹣1 D．1
9．（5分）已知函数f（x）=e x[lnx+（x﹣m）2]，若对于∀x∈（0，+∞），f′（x）﹣f（x）＞0成立，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．（5分）如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，则折起后cos∠DOB为（）
A．B．C．D．
11．（5分）过双曲线右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）F1，F2分别为椭圆+=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|最大时，S为（）
A．2 B．C．D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）f（x）=cos3x，则=．
14．（5分）z=a+2i（a∈R），若z2+8i为纯虚数，则a=．
15．（5分）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是．
16．（5分）若存在实数m，n，k（m＜n＜k）使得关于x的不等式e x﹣a（x2﹣x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），则实数a的取值范围是．
三、解答题（共70分）
17．（12分）已知函数f（x）=x2+ax与g（x）=ln（x+1）在原点处有公共的切线．（1）求实数a的值；
（2）求h（x）=f（x）﹣g（x）的极植．
18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．
19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为﹣1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线的斜率k．
20．（12分）如图，直线PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC与BD相交于点O，E在线段PD上且CE∥平面PBQ
（1）求证：OP⊥平面QBD；
（2）求二面角E﹣BQ﹣P的平面角的余弦值．
21．（12分）如图，已知点A（﹣1，0）是抛物线的准线与x轴的交点，M，N 两点在抛物线上且直线MN过A点，过M点及B（1，﹣1）的直线交抛物线于Q 点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线QN过一定点，并求出该点坐标．
22．（10分）已知函数f（x）=xlnx．
（1）不等式f（x）＞kx﹣对于任意正实数x均成立，求实数k的取值范围；（2）是否存在整数m，使得对于任意正实数x，不等式f（m+x）＜f（m）e x恒成立？若存在，求出最小的整数m，若不存在，说明理由．
2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期末
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知命题p为真命题，命题q为假命题，则以下命题为真命题的是（）A．￢p或q B．p且q C．p或q D．￢p且￢q
【解答】解：∵命题p为真命题，命题q为假命题，
∴￢p或q，p且q，￢p且￢q为假命题．
只有p或q为真命题．
故选：C．
2．（5分）椭圆的焦点坐标为（）
A．（±1，0）B．C．（0，±1）D．
【解答】解：∵椭圆，
∴c==1，
∴椭圆焦点坐标为（±1，0）．
故选：A．
3．（5分）若复数的实部与虚部互为相反数，则b=（）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【解答】解：=，
又复数的实部与虚部互为相反数，
∴．
解得b=1．
故选：B．
4．（5分）抛物线y2=2x上两点A，B，已知AB的中点在直线x=2上，F为抛物线焦点，则|AF|+|BF|=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程为x=﹣，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+1
∵AB的中点在直线x=2上，∴x1+x2=4，
∴|AF|+|BF|=5，
故选：C．
5．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设
=，则=（）
A．B．C．D．
【解答】解：=+，，，
∴=+
=，
故选：D．
6．（5分）椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为（）
A．2 B．C．D．不存在最大值
【解答】解：设椭圆=1上的点P（2cosθ，sinθ），
上顶点B（0，1），
|PB|=
=
=≤=．
∴椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为．
故选：C．
7．（5分）命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”的否定形式是（）A．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）≥h（x0）B．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）或g （x0）≥h（x0）
C．∀x∈R，f（x）≥g（x）≥h（x）D．∀x∈R，f（x）≥g（x）或g（x）≥h（x）
【解答】解：命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”可化为：“∀x∈R，f（x）＜g（x），且g（x）＜h（x）”
故命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”的否定是“∃x∈R，f（x）≥g（x），或g（x）≥h（x）”，
故选：B．
8．（5分）由函数y=e x，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（）
A．e e﹣e B．e e﹣2e C．2e﹣1 D．1
【解答】解：由e x=，可得x=1，
∴由函数y=e x，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（e x﹣）dx=（e x+）=e e﹣2e．
故选：B．
9．（5分）已知函数f（x）=e x[lnx+（x﹣m）2]，若对于∀x∈（0，+∞），f′（x）﹣f（x）＞0成立，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f′（x）﹣f（x）=e x[+2（x﹣m）]＞0，
∴m＜+x在x∈（0，+∞）恒成立，
而+x≥2=，当且仅当x=时“=”成立，
故m＜，
故选：A．
10．（5分）如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，则折起后cos∠DOB为（）
A．B．C．D．
【解答】解∵矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，
现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，
∴BO=DO==，
如图，以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（，1，0），D（0，），
|BD|==，
∴cos∠DOB===，
∴折起后cos∠DOB=．
故选：C．
11．（5分）过双曲线右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，
设两条渐近线的夹角为θ，
则tanθ=tan∠AOB==，
设右焦点为F，FB⊥OB，则F到渐近线y=x的距离为d==b，
即有|OB|==a，
则△OAB的面积可以表示为•a•atanθ==，
即为6a2﹣5ab﹣6b2=0，
解得b=a，即有c==a，
则e==．
故选：D．
12．（5分）F1，F2分别为椭圆+=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF 1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|最大时，S为（）
A．2 B．C．D．
【解答】解：由+=1，得a2=4，b2=2，则c2=a2﹣b2=2，
∴，
连接PM，PN，
∵|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a，
∴当P，M，N共线时，|MN|最大，
此时∠MPF1=∠F1PF2，∠F1PF2=∠F2PN，
由∠MPF1+∠F1PF2+F2PN=180°，
得∠F1PF2=60°，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：
，
∴，
即．
∴S=．
故选：C．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）f（x）=cos3x，则=﹣．
【解答】解：∵f（x）=cos3x，
∴f′（x）=﹣3sin3x，
∴=﹣3sin=﹣，
故答案为：﹣．
14．（5分）z=a+2i（a∈R），若z2+8i为纯虚数，则a=2．
【解答】解：∵z=a+2i（a∈R），
∴z2+8i=（a+2i）2+8i=（a2﹣4）+（4a+8）i，
又z2+8i为纯虚数，
则，解得a=2．
故答案为：2．
15．（5分）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是3．
【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是
米，（）
则该长方体的体积V（x）=，
由V′（x）=0，得到x=1，且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值．
所以该长方体体积最大值是3．
故答案为：3．
16．（5分）若存在实数m，n，k（m＜n＜k）使得关于x的不等式e x﹣a（x2﹣x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），则实数a的取值范围是（，e）．【解答】解：∵e x﹣a（x2﹣x+1）≥0，
∴a（x2﹣x+1）≤e x，
∴a≤，
令f（x）=，
则f′（x）=，
故f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；
故f max（x）=e，f min（x）=；
∵关于x的不等式e x﹣a（x2﹣x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），
∴＜a＜e，
故答案为（，e）．
三、解答题（共70分）
17．（12分）已知函数f（x）=x2+ax与g（x）=ln（x+1）在原点处有公共的切线．
（1）求实数a的值；
（2）求h（x）=f（x）﹣g（x）的极植．
【解答】解：（1）f′（x）=2x+a，g′（x）=，
由题意得：f′（0）=g′（0），解得：a=1；
（2）h（x）=f（x）﹣g（x），
h′（x）=2x+1﹣=，（x＞﹣1），
令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，
∴h（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，
=h（0）=0．
∴h（x）
极小值
18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．
【解答】（1）证明：取AC的中点D，连结SD、DB，
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD，AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
∵SB⊂平面SDB，
∴AC⊥SB；
（2）解：∵AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC，
过N点作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E点作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM，∴∠NFE为二面角N﹣CM﹣B的平面角，
∵NE=SD=，EF=MB=，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=，∴
（3）解：在Rt△NEF中，NF=，
，，
设B到平面CMN的距离为h，由V B
=V N﹣BCM得=，
﹣CMN
∴h=．
19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为﹣1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线的斜率k．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
由题意可得a+c=1+，a﹣c=﹣1，
解得a=，c=1，b==1，
即有椭圆方程为+y2=1；
（2）设直线l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
x1+x2=，x1x2=，
由以AB为直径的圆过原点，可得OA⊥OB，
即有•=0，即为x1x2+y1y2=0，
即有（1+k2）x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=0，
代入韦达定理，可得=0，
化简即为k2=2，解得k=±．
20．（12分）如图，直线PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC与BD相交于点O，E在线段PD上且CE∥平面PBQ
（1）求证：OP⊥平面QBD；
（2）求二面角E﹣BQ﹣P的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：连结OQ，由题意知PA∥QC，∴P，A，Q，C共面，
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PACQ，∴BD⊥OP，
由题意得PA=2，AO=OC=，OP=，QC=1，OQ=，
∴△PAO∽△OCQ，∴∠POA=∠OQC，
∵∠POA+∠OPA=90°，∴∠POA+∠COQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∵OP⊥BD，OP⊥OQ，BD∩OQ=O，
∴OP⊥平面QBD．
（2）解：以A为原点，AB为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），Q（2，2，1），P（0，0，2），
=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1），
设平面PBQ的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，﹣1，2），
设=，则=（1+λ）=（0，2，﹣2），
=，，
∵CE∥平面PBQ，与平面PBQ的法向量=（2，﹣1，2）垂直，∴=﹣4++=0，解得，∴E（0，，），
，=（0，2，1），
设平面BEQ的法向量=（a，b，c），
则，取b=1，得=（﹣1，1，﹣2），
设二面角E﹣BQ﹣P的平面角为θ，
∵=（2，﹣1，2），=（﹣1，1，﹣2），
cosθ=|＜＞|=||=．
∴二面角E﹣BQ﹣P的余弦值为．
21．（12分）如图，已知点A（﹣1，0）是抛物线的准线与x轴的交点，M，N 两点在抛物线上且直线MN过A点，过M点及B（1，﹣1）的直线交抛物线于Q 点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线QN过一定点，并求出该点坐标．
【解答】（1）解：由题意，抛物线的准线方程为x=﹣1，
∴抛物线的方程为y2=4x；
（2）证明：设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky2﹣4y+4k=0设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2=4，
由k MQ==，
直线MB的方程为y+1=（x﹣1），
∴y1+1=（x1﹣1），
可得y1=﹣，
∴=﹣，
∴y2y3+4（y2+y3）+4=0
直线QN的方程为y﹣y2=（x﹣x2）
可得y2y3﹣y（y2+y3）+4x=0，
∴x=1，y=﹣4，
∴直线QN过定点（1，﹣4）．
22．（10分）已知函数f（x）=xlnx．
（1）不等式f（x）＞kx﹣对于任意正实数x均成立，求实数k的取值范围；（2）是否存在整数m，使得对于任意正实数x，不等式f（m+x）＜f（m）e x恒成立？若存在，求出最小的整数m，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，
即为k＜lnx+，x＞0，
令g（x）=lnx+，x＞0，则g′（x）=﹣=，
在（0，）上，g′（x）＜0，g（x）递减，
在（，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）递增，
即有g（x）在x=处取得极小值，且为最小值1﹣ln2，
则k＜1﹣ln2，
故实数k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）；
（2）∵f（m+x）＜f（m）e x恒成立，
∴（m+x）ln（m+x）＜mlnm•e x，
即＜恒成立，
令g（x）=，g′（x）=，
设p（x）=1+（1﹣x）lnx，p′（x）=﹣1﹣lnx，而p′（1）=0且p′（x）递减，∴x∈（0，1）时，p′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，p′（x）＜0，
故p（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
又x→0，p（x）→﹣∞，p（1）=1＞0，x→+∞时，p（x）→﹣∞，
由零点的存在定理，p（x）=0在（0，1），（1，+∞）内各有一根x1＜1＜x2，
∴x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，x2），g′（x）＞0，x∈（x2，+∞），g′（x）
＜0，
∴g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增，
∵p（2）=1﹣ln2＞0，p（3）=1﹣2ln3＜0，故x2∈（2，3），
∴m=3时，g（x）在（3，+∞）递减，此时，g（3+x）＜g（3）恒成立，若m=1，2，则g（x2）＞g（m），矛盾，
综上，存在最小正整数m=3．。