2013年高考数学仿真模拟试卷6(理科)
苏州市2013届高考数学模拟试卷及答案
苏州市2013届高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若{1,3}A B =I ，则b a +的值是 ．2．若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z 的虚部为 ．3．右图是一个算法流程图．若输入5n =，则输出k 的值为 ．4．设函数2()log 12f x x =-的单调减区间是 ．5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为 ．6．在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 ．7．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ，若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程是220x y --=，则a = ．8．设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013项的和=2013S ．元9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在一个周期内的部分图象如图所示， 则()12f π的值是 .10．三棱锥S ABC -中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将 三棱锥S ABC -分成两部分BGH AFE V -与SEH CFG V -的体积之比为 .11．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，若P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.12．已知实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值是 .13．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的n N +∈，2,,n n n a S a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2(ln )nn n x b a =，若对任意的实数(]1,x e ∈（e 是自然对数的底）和任意正整数n ，总有n T r <()r N +∈．则r 的最小值为 .14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S = .（第10题图）SACEHGF（第9题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2=a ，13-=b ，且b 是c 2与A cos 的等比中项．（1）求A ，B ，C ；（2）若函数()sin(2)f x x ϕ=+（4ϕπ<）满足2)2(c C f =，求函数)(x f 的解析式及单调递减区间．16．（本小题满分14分）在等腰梯形PDCB (见图1）中，//DC PB ，33PB DC ==，DA PB ⊥，垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得PA AB ⊥，得到四棱锥P ABCD -（见图2）．在图2中完成下面问题： （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）在线段PB 上是否存在一点M ，使//PD 平面AMC .若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设2CD x =．（1）若用一种金属线条对梯形部件ABCD 镶边，求最少需要准备该金属线条多少米； （2）求梯形部件ABCD 面积的最大值．A B DP 图1ABDCPM图2B ACD O •18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，P 为椭圆上的一点，Q 为上顶点，M 在1PF 上，12F M MP =，2PO F M ⊥.（1）求当离心率12e =时的椭圆方程； （2）求满足题设要求的椭圆离心率范围； （3）当椭圆离心率最小时，若过(0,的直线l 与椭圆交于,A B （异于Q ），试问：AQB ∠是否为定值并给出证明. 19．（本小题满分16分）若在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k ∈N ，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若2k q =（*k ∈N ），求13521k a a a a -++++ .（2）若对任意的*k ∈N ，22122,,k k k a a a ++成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：{}n b 成等差数列；②若12d =，试求数列{}k d 的前k 项和k D .20．（本小题满分16分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,e xf x a x xg x xe a -=---=∈R 为自然对数的底数） （1）若函数1()(0,)2f x 在上无零点，求a 的最小值；（2）若对任意给定的(](]00,e ,0,e (1,2)i x x i ∈=在上总存在两个不同的，使得0()(),i f x g x a=成立求的取值范围.参考答案一、填空题1.42.35-3.34.1(,)2-∞5.1006.127.2 8.20139.10.1∶1 11.[9,9]-13.214.22二、解答题15．（1）根据题意得2222cos 22b c a b c A c bc+-=⋅=⋅，即2222b b c a =+-，解得c a =.∴cos B ==.∴6B π=，∴512A C π==. （2）∵()sin(2)f x x ϕ=+，2)2(c Cf =，512C π=，∴5sin()12ϕπ+=又∵4ϕπ<，∴5124ϕππ+=，6ϕπ=-，∴()sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k ππ3ππ+<-<π+∈Z ，可得单调递减区间为,,36k k k π5π⎛⎫π+π+∈ ⎪⎝⎭Z16．证明：（1）∵在图1的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，∴所以在四棱锥ABCD P -中，AB DA ⊥，又PA AB ⊥，且AB DC //，∴PA DC ⊥，DA DC ⊥， 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ， ∴⊥DC 平面PAD .∵⊂DC 平面PCD ， ∴平面⊥PAD 平面PCD .（2）当21=MB PM 时，有PD //平面AMC ． 证明：在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . 又21=MB PM ，所以MB PM OB DO =，所以在平面PBD 中，有MO PD //． 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC .17．如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，过点C 作AB CE ⊥于E ，则(01)OE x x =<<，∴1EB x =-（1）∵221x y +=，∴CB =设ABCD 的周长为l ，则221)l x x =++<<. 下面只需要求l 的最大值.令t ，则222(0x t t =-<，A BD OPMB A CDO•E∴2242(1)55l t t t =-+=--+≤，即当1t =时，l 有最大值5. （2）11()()(22)(1)22S x AB CD CE x y x x =+⋅=+=+<< （方法1）()S x ==，令43221t x x x =--++，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，令'0t =，12x =，当102x <<时，'0t >，当112x <<时，'0t <，所以当12x =时，t 有最大值2716，)(x S（方法2）21'()(1)2S x x =++=，令'()0S x =，∴2210x x +-=，(21)(1)0x x -+=，12x =.且当102x <<时，0)(>'x S ，当112x <<时，0)(<'x S ，所以当12x =时，()S x. （方法3）设COE θ∠=（02θπ<<），过点C 作CE AB ⊥于E ，则cos ,sin OE CE θθ==，11()()(22cos )sin (1cos )sin 22S AB CD CE θθθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<，'()[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'S θθθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-， 令'()0S θ=，得1co s 2θ=，即3θπ=，cos 1θ=-（舍），且当03θπ<<时，'()0S θ>，当32θππ<<时，'()0S θ<，所以当3θπ=时，()S θ18．（1）由题意11,2c c e a ===，得2a =，2223b a c ∴=-=,∴椭圆方程为22143x y +=. （2）（方法1）设00(,),(,)M M P x y M x y ，12(1,0),(1,0)F F -1(1,)M M F M x y ∴=+ ，00(,)M M MP x x y y =--．010122,2,22,M M M M x x x F M MP y y y +=-⎧=∴⎨=-⎩ 0021,332,3M M x x y y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴200242(,)333F M x y =- ．20F M OP ⋅= ,2000242()0333x x y ∴-+=,2200020x x y ∴-+=2222200022(1)(1)(1)x x y b a a a=-=-- ,22001210x x a a ∴-+-=在(,]a a -上有解，22001210y x x a a =-+-= 对称轴是2x a =，2()0,()0,f a a a f a ->⎧>∴⎨≤⎩ ()0,()0,f a f a ->⎧∴⎨≤⎩02a ∴<≤112c e a a ∴==≥，01e << ,112e ∴≤<． （方法2）12221211(),23PO PF PF F M PM PF PF PF =+=-=-，由2PO F M ⊥得20PO F M ⋅=，121211()()023PF PF PF PF ∴+⋅-=，化简得：221122230PF PF PF PF -⋅-= ， 22112122||2||||cos 3||0PF PF PF F PF PF ∴-∠-= ,①在12F PF ∆中，由余弦定理,有222121212||||2||||cos 4PF PF PF PF F PF c ∴+-∠= ,②②-①得：2224||4PF c = ，即2||PF c = ,2||a c PF a c -≤≤+，2a c ∴≤，即12c e a =≥， 又01e <<，1[,1)2e ∴∈.（3）AQB ∠恒为直角．事实上，当e 最小时，即12e =，由（1）知椭圆方程为22143x y +=， 依题意可设AB所在直线方程为y kx =，代入椭圆方程得22576(34)049k x +--=， 设1122(,),(,),A x y B x y则12122576,49(34)x x x x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩Q ，1122(,,QA QB x y x y ∴⋅==1122(,,x kx x kx -=2121212192()49x x k x x x x +++=21212192(1)()49k x x x x +++=22576192(1)49(34)49k k -+++=2222576576192576768049(34)k k k k ---++=+， AQB ∴∠恒为直角.19．（1）2k q = ，21214k k a a +-∴=，∴13521,,k a a a a - 是首项为1，公比为4的等比数列， ∴13521141(41)143k kk a a a a --++++==-- . （2）① 2,2122,k k k a a a ++成等差数列，212222k k k a a a ++∴=+，又21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅ ，112k k q q +∴+=，则1111k kq q +-=-，得1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +∴-=--，即11n n b b +-=， {}n b ∴是公差为1的等差数列.②1322,2d a a =∴=+ ，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-. （ⅰ）当22a =时，12q =，11b ∴=，则1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-， 得1k k q k +=，所以221221(1)k k a k a k +-+=， 则2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 2222222(1)21(1)(1)1k k k k k +=⋅⋅⋅⋅=+- ， ∴2212(1)(1)1k k k a k a k k k q k++===++，则212(3)1,;2k k k k k k d a a k D ++=-=+∴= （ⅱ）当21a =-时，11,q =-112b ∴=-，则13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-， ∴2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 222222131()()()2221()()()222k k k k --=⋅⋅⋅⋅--- =214()2k -则212(21)(23)k k ka a k k q +==--，21242k k k d a a k +∴=-=-，从而22k D k =. 综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． 20．（1）因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221xx a x ∈>--恒成立. 令2ln 1()2,(0,),12x l x x x =-∈-则2222(1)2ln 2ln 2()(1)(1)x x x x x l x x x --+-=-=--，再令 21()2ln 2,(0,)2m x x x x =+-∈，则22222(1)()0x m x x x x --'=-+=<，故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=->，从而()0l x >，于是()l x 在1(0,)2上为增函数，综上，若函数1()(0,)2f x 在上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．（2）111()e e (1)e ,x x x g x x x ---'=-=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又因为1e (0)0,(1)1,(e)e e 0g g g -===⋅>，所以，函数(](]()0,e 0,1.g x 在上的值域为当2a =时，不合题意；当2a ≠时，2(2)()2(2)22()2a x a x a f x a x xx-----'=--==，(]0,x e ∈，令()0f x '=，得22x a =-，由题意得，()f x 在(]0,e 不单调，故220e,22ea a <<<--即①此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：又因为，当0x →时，()f x →+∞，()2ln 22f a a a=---， ()(2)(e 1)2f e a =---，所以，对任意给定的(]00,e x ∈，在(]0,e e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件：23222ln 0,()0,22(2)(1)2 1.()1,a f a aa e f e ⎧⎧-≤≤⎪⎪--⎨⎨⎪⎪---≥≥⎩⎩即 令22()2ln,(,2)2eh a a a a =-∈-∞--，则 2()12[ln 2ln(2)]122ah a a a a ''=---=-=--，()0h a '=令得02a a ==或，故当(,0)a ∈-∞时，()0h a '>，函数()h a 单调递增；当2(0,2)ea ∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以对任意的2(,2)e a ∈-∞-有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2(,2)ea ∈-∞-恒成立.由③式解得：32.e 1a ≤--④ 综合①④可知，当(]03,2,0,e ,e 1a x ⎛⎤∈-∞-∈ ⎥-⎝⎦时对任意给定的在(]0,e (1,2),i x i =上总存在两个不同的使0()()i f x g x =成立.。
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (4)
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x∈N|x+1>0},B={x|x2+2x-3≤0},则A∩B=A.{0,1}B.(0,1]C.(-1,1]D.[-1,1]2．设i为虚数单位,则复数z=1+2ii的虚部为A.-2B.-iC.iD.-13．已知a>1,则“log a x<log a y”是“x2<xy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知|a|=1,|b|=√2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π35．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=−x f′(x)的图象可能是A. B. C. D.6．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为A.13B.56C.16D.237．已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.-√33B.2-√3C.-2-√3D.√39．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b 2−y 2a 2-2b 2=1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√311．已知函数f (x )= A sin(x +π3)+b (A >0)的最大值、最小值分别为3和-1,关于函数f (x )有如下四个结论:①A =2,b =1;②函数f (x )的图象C 关于直线x =-5π6对称;③函数f (x )的图象C 关于点(2π3,0)对称;④函数f (x )在区间(π6,5π6)内是减函数.其中,正确结论的个数是A.1B.2C.3D.412．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是___.A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +π2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知在等比数列{a n }中,a n >0且a 3+a 4=a 1+a 2+3,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 6-S 4的最小值为 .15．某统计调查组从A ,B 两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A 市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B 市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x -y = .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为BC 的中点,AB =AC ,BC 1⊥B 1D.求证:(1)A 1C ∥平面ADB 1; (2)平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.19．(本题12分)某车床生产某种零件的不合格率为p (0<p <1),要求这部车床生产的一组5个零件中,有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润,现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件),得到的条形统计图如下.现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率. (1)设平均每天可以生产n 个零件,求n 的值; (2)求p 的最大值p 0;(3)设每个零件的不合格率是p 0,生产1个零件的成本是20元,每个合格零件的出厂价为120元,不合格的零件不得出厂,不计其他成本.假设每天该机床生产的零件数为n ,X 表示这部车床每天生产零件的利润,求X 的数学期望E (X ). (参考数据:0.924×1.32的取值为0.95)20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
浙江省2013年高考数学仿真模拟试卷6(理科)
浙江省2013年高考模拟试卷数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试事间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
注意事项：参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 V S h =()()()P A B P A P B +=+ 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 如果事件A ，B 相互独立，那么 棱锥的体积公式 13V S h =()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高在n 次独立重复试验中事件A 恰好 棱台的体积公式 ()112213V h S S S S =++发生k 次的概率是()1n kk knC p k --， 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中p 表示在一次试验中事件A 发生的概率 h 表示棱台的高球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一．选择题（本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．【原创】．已知集合M=⎩⎨⎧∈++==-=},1)42sin(2|{},3|2R x x y y N x y x π，且M 、N 都是全集R 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x|-33≤≤x } B ． {y|-31≤≤y }C ．{x|33≤<x }D ．Φ（命题意图：考查函数定义域、值域、集合运算）2. 【原创】已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“21=a ”是“点M 在第四象限”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （命题意图：考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件）3. 【原创】设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+22142y x y x y x ，则z ＝x ＋y ： ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 （命题意图：考查线性规划）MNR1题5题4．[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（ ）. （A ）103 （B ）102 （C ）101 （D ）31（命题意图：考查古典概型的计算）5．【改编教材必修3】如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于( )A ．1m nC - B. 1m nA - C. m n C D. mn A（命题意图：考查排列数、组合数，算法中的循环结构）6．[原创] 已知：l m ,是直线，βα,是平面，给出下列四个命题： ①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2013高考数学模拟试题(2).许兴华
试卷第1页，总6页绝密★启用前2013年高考数学模拟试卷(2)考试范围：高中数学；考试时间：100分钟；命题人：许兴华1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知⎩⎨⎧≥-<+--=),0)(1(),0(2)(2x x f x a x x x f x x f y-=)(恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．[)2,-+∞D ．()0,+∞ 2．只要将函数sin 2y x =的图象（ ） A C3．若定义在R 上的偶函数()f x 对任意12,[0,)∈+∞x x 12()≠x x ，有A ．(3)(2)(1)<-<f f fB ．(1)(2)(3)<-<f f fC ．(1)(3)(2)<<-f f fD ．(2)(3)(1)-<<f f f4．定义在R 上的偶函数f （x ）的一个单调递增区间为（3，5），则y=f （x-1） A. 图象的对称轴为x=-1，且在（2，4）内递增 B. 图象的对称轴为x=-1，且在（2，4）内递减试卷第2页，总6页C. 图象的对称轴为x=1，且在（4，6）内递增D. 图象的对称轴为x=1，且在（4，6）内递减5．若函数)(x f 的图像在点P （1，m m 的值为( )A ．B ．6．若函数)0(c o s s i n )(≠+=ωωωx x x f 对任意实数x 都有 ） A ．1- B ．1 C D 7．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点,点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = 且OQ AB ⋅=1，则点P 的轨迹方程是（ ） AC 8．已知等差数列{an}满足a2=3，n n 3S S －－=51(n>3) ，n S = 100，则n 的值为A. 8B. 9C. 10D. 119．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的对边长分别为a 、b 、c ，sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，且c= 2a ，则cosB 的值为10．若实数,,a b c 满足log 2log 2log 2a b c <<，则下列关系中不可能成立．．．．．的是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ． c b a <<D ．a c b <<11．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )试卷第3页，总6页12．已知F 1、F 2＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16 ）D试卷第4页，总6页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释）13．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++则a 3= 。
高考数学二轮复习专练六仿真模拟题(一)
仿真模拟题(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 为虚数单位，则复数z ＝2i 31＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( ) A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x |C ．y ＝e x－e－x 2D ．y ＝x 34．(2013·高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x5．(2013·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A.16 B.2524 C.34 D.11126．给出下列命题：①如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ②如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m ∥n ；④如果平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β.则真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞) D ．(1，＋∞)8．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．[0，1]D ．[－1，0)∪(0，1] 9．(2013·高考山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．110．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1)二、填空题(本大题5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．) (一)必做题(11～13题)11．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．12．已知a n ＝cos n π6＋161＋2cos 2n π12(n ∈N *)，则数列{a n }的最小值是________．13．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．(二)选做题(14～15，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则圆心到直线l 的距离为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，⊙O 的弦PN 切⊙A 于点M ，PN ＝8，则⊙A 的半径为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．17．(本小题满分12分)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：(1)(2)如果采用分层抽样的方法从爱好该项运动的大学生中选取6人，组成一个兴趣小组，求被选取的男女生的人数各是多少？(3)在上述6人小组中，随机选定2人去做某件事，求这2人中有女生被选中的概率． 数据：公式：K 2＝n ×（ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）18．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0(n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式．19．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2. (1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)求三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高．20．(本小题满分14分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP →＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－e x(a∈R)．(1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性并给予证明；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)．①求实数a的取值范围；②证明：－e2<f(x1)<－1.(注：e是自然对数的底数)答案：1．【解析】选C.因为z ＝2i 31＋i ＝－2i1＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－i(1－i)＝－1－i ，所以复数z ＝2i 31＋i 在复平面内对应的点位于第三象限，故应选C. 2．【解析】选A.由频率分布直方图可得，大于或等于80 km/h 的汽车的频率为0.01×10＝0.1，所以其频数为0.1×200＝20，即被处罚的汽车大约有20辆． 3．【解析】选B.由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1，2)内是增函数排除A.故选B.4．【解析】选B.∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x .5．【解析】选D.s ＝0，n ＝2，2<8，s ＝0＋12＝12；n ＝2＋2＝4，4<8，s ＝12＋14＝34；n ＝4＋2＝6，6<8，s ＝34＋16＝1112；n ＝6＋2＝8，8<8不成立，输出s 的值为1112.6．【解析】选C.当不同直线m 、n 都平行于平面α时，m 、n 的位置不能确定，因此命题①不是真命题；根据直线与平面垂直的性质定理可得命题②是真命题；命题③中m 、n 的位置关系不能确定，因此命题③不是真命题；命题④中的直线n 与平面β的位置关系不确定，因此命题④也不是真命题．故选C. 7．【解析】选B.A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤09－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34a <43，即34≤a <43，故选B.8．【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.9．【解析】选B.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴1sin A ＝32sin A cos A. ∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0.∴cos A ＝32.又0<A <π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋（3）2＝2.10．【解析】选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以f (x )的图象如图所示，因f (1)＝－2，f (－2)＝－2，若函数f (x )在(a ，6－a 2)上有最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <16－a 2>1，解得－2≤a <1. 11．【解析】在x －y ＋1＝0中，令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)，即圆C 的圆心为(－1，0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】(x ＋1)2＋y 2＝212．【解析】设t ＝2＋cos n π6，有1≤t ≤3，则a n ＝cos n π6＋162＋cosn π6＝t ＋16t －2.用导数可以证明，函数f (t )＝t ＋16t在1≤t ≤3上是单调递减的，所以当t ＝3，即n ＝12k (k ∈N *)时，a n 取最小值193.【答案】19313．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12.【答案】(0，12)∪(8，＋∞)14．【解析】圆C 的直角方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2)；由参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t 消去t 后，得直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线l 的距离为|0＋2－6|12＋12＝22；【答案】2 215．【解析】设⊙A 的半径为R ，连接NQ 、MA ，∵∠PNQ ＝90°，∠PMA ＝90°，∴PMPN＝P A PQ ＝34， 又PN ＝8，∴PM ＝6，而PM 2＝PO ·PQ ，∴36＝2R ·4R ，∴OA ＝R ＝322.【答案】32216．【解】(1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．17．【解】(1)K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，即，认为“爱好该项运动与性别没有关系”的概率是1%，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．(2)应抽取男生人数为660×40＝4人，应抽取女生人数为660×20＝2人．(3)设6人中2个女生分别为A ，B ，4个男生分别为c ，d ，e ，f ， 则从6人中随机选定2人去做某件事的基本事件为：AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15个基本事件，其中，有女生被选中的事件为AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，共9个，∴有女生被选中的概率为P ＝915＝35.18．【解】(1)设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1)(n ≥2)， ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －13a n －1＝3n －1，①a n －3a n －1＝13n －1，②由①②得a n ＝38(3n －13n )．经验证，n ＝1时也成立，∴a n ＝38(3n －13n )．19．【解】(1)证明：取AB 1的中点G ，连接EG ，FG ， ∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点，∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1.∵E 为侧棱CC 1的中点， ∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，∴四边形FGEC 是平形四边形， ∴CF ∥EG ，∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ， ∴CF ∥平面AB 1E . (2)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1. ∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EB 1C ，∴AC ⊥CB 1，∴VA EB 1C ＝13S △EB 1C ·AC ＝13×(12×1×1)×1＝16.∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32.∵VC AB 1E ＝VA EB 1C ，∴三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高为3VC －AB 1E S △AB 1E＝33.20．【解】(1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点， 即a ＝2. 又c a ＝12，故c ＝1，b ＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3.将P (－8km 4k 2＋3，6m4k 2＋3)代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24（4k 2＋3）2＋36m 23（4k 2＋3）2＝1. 整理，得4m 2＝4k 2＋3.设T (t ，0)，Q (－4，m －4k )．∴TQ →＝(－4－t ，m －4k )，OP →＝(－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3)．即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m （m －4k ）4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k （1＋t ）m.要使OP →·TQ →为定值，只需[2k （1＋t ）m ]2＝4k 2（1＋t ）2m 2＝（4m 2－3）（1＋t ）2m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1，∴在x 轴上存在一点T (－1，0)，使得OP →·TQ →为定值32. 21．【解】(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减．f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可，设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0，当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0，故f ′(x )<0恒成立，∴f (x )在R 上单调递减．(2)①若f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，故方程2ax －e x ＝0有两个根x 1，x 2，又x ＝0显然不是该方程的根，∴方程2a ＝e x x有两个根． 设φ(x )＝e x x ，得φ′(x )＝e x （x －1）x 2， 当x <0时，φ(x )<0且φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >0时，φ(x )>0，当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 要使方程2a ＝e x x有两个根，需2a >φ(1)＝e ， 故a >e 2且0<x 1<1<x 2， 故a 的取值范围为(e 2，＋∞)． ②证明：由f ′(x 1)＝0，得2ax 1－e x 1＝0，故a ＝e x 12x 1，x 1 ∈(0，1)， f (x 1)＝ax 21－e x 1＝e x 12x 1·x 21－e x 1＝e x 1(x 12－1)，x 1∈(0，1)， 设φ(t )＝e t (t 2－1)(0<t <1)，则φ′(t )＝e t ·t －12<0， φ(t )在0<t <1上单调递减，故φ(1)<φ(t )<φ(0)，即－e 2<f (x 1)<－1.。
考点26 线线、线面、面面的位置关系(教师版) 新课标
2013年新课标数学40个考点总动员考点26 线线、线面、面面的位置关系（教师版）【高考再现】热点一平行关系1.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2. (2012年高考山东卷文科19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD-是四棱锥，△ABD为正三角形，CB CD EC BD=⊥.,(Ⅰ)求证：BE DE=；(Ⅱ)若∠120BCD=︒，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【方法总结】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行. 热点二 垂直关系3．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC 将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直4.(2012年高考安徽卷理科6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）()A充分不必要条件()B必要不充分条件D即不充分不必要条件()C充要条件()5.(2012年高考北京卷文科16)（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。
新课改高三高考数学小题专项仿真模拟训练(共40套)含答案
新课改高三高考数学小题专项仿真模拟训练一(含答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是（ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ）A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B 二、13.（21，1） 14.6 15. 21新课改高考数学小题专项仿真模拟训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2－312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203 B ． 103C ．201 D ． 101EFDOC BA5．抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（）A.（3，0）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a，b），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（）A.（a，－b）B.（－a，b）C.（b，－a）D.（－b，－a）7. 如果S=｛x｜x=2n+1,n∈Z｝,T=｛x｜x=4n±1,n∈Z｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种 B．48种 C．72种 D．96种9．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则α∥β;(3)若α⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)。
【解析版】江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷
江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．（5分）（2013•建邺区模拟）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1考点：映射．专题：计算题．分析：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值．解答：解：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根∴△=（﹣2）2﹣4•（2﹣k）＜0，1﹣2+k＜0∴k＜1，故选B点评：本题考查映射的意义，本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符合题意的不等式．2．（5分）（2013•建邺区模拟）（1﹣x）5•（1+x）3的展开式中x3的系数为（）A．﹣6 B．6C．﹣9 D．9考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先把（1﹣x）5•（1+x）3等价转化为（1﹣x）2•[（1﹣x）（1+x）]3，进一步等价转化为（x2﹣2x+1）•（1﹣3x2+3x4﹣x6），由此可求出展开式中x3的系数．解答：解：（1﹣x）5•（1+x）3=（1﹣x）2•[（1﹣x）（1+x）]3=（x2﹣2x+1）•（1﹣3x2+3x4﹣x6）∴展开式中x3的系数为（﹣2）•（﹣3）=6．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，解题时要认真审题，根据多项式的运算法则合理地进行等价转化．3．（5分）（2013•建邺区模拟）等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9﹣的值是（）A．14 B．15 C．16 D．17考点：等差数列的性质．分析：先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解．解答：解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9﹣=（3a9﹣a11）=（a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）==16故选C点评：本题主要考查等差数列的性质．4．（5分）（2013•建邺区模拟）已知，则sin2x的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．解答：解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选D点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•建邺区模拟）设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬度75°东经120°，则甲、乙两地球面距离为（）A．R B．R C．RD．R考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．解答：解：由于甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120°，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：故选D．点评：本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．6．（5分）（2013•建邺区模拟）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：压轴题．分析：要判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”什么条件，我们要先假设“a＞0且b2﹣4ac＜0”成立，然后判断“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”是否成立，然后再假设“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”成立，再判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是否成立，然后根据结论，结合充要充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：若a＞0且b2﹣4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，则不一定成立．如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0．故“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的充分不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7．（5分）（2013•建邺区模拟）双曲线x2﹣y2=2012的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上一点，且∠A1PA2=4∠PA1A2，则∠PA1A2等于（）A．无法确定B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则可得，利用∠A1PA2=4∠PA1A2，即可求∠PA1A2的值．解答：解：设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则，（其中a2=2012）∴∴，。
江苏省2013年高考南通学科基地数学秘卷 模拟试卷3
2013年江苏高考数学模拟试卷（三）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合{}{}1,1,2,1,0,2A B =-=-，则A B = . 2. 若复数z 满足(2)z z i =-（i 是虚数单位），则z = .3. 在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+| y | ≤ 2的概率为 .4. 已知43sin()sin ,0352ππααα++=--<<，则cos α= . 5. 已知直线y t =与函数()3x f x =及函数()43x g x =⋅的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为 .6. 已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 已知函数2()1f x x ax =++，若(,),(sin )(cos )42f f ππθθθ∃∈=，则实数a 的取值范围为 .9. 在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC = ，BA BC BA BC + 3BDBD=，则四边形ABCD 的面积是 .10. 在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反 数,若样本容量为1600, 则中间一组（即第五组）的频数为 . 11. 已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 .12. 已知()(2)(1)f x m x m x m =-++,()21x g x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则实数m 的取值范围是 .13.设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f (x )的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y =f (x )-sin x在[-2π，2π] 上的零点个数为 .样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图14. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 .二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题满分14分）已知ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，面积为ABC S ∆，且222(,2)m b c a =+-- ， (sin ,)ABC n A S ∆= ，m n ⊥ .(1)求函数()4sin()cos 2A f x x x =-在区间[0,]2π上的值域；(2)若a =3，且1sin()33B π+=，求b ．16. （本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2， 60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11的中点． （1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11；（2）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．ABCEF P1A 1B 1C17．(本小题满分14分)已知椭圆:C22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为22，一条准线:2l x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于,P Q两点．①若6PQ=，求圆D的方程；②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程．18.（本题满分16分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠= ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【解析版】江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷
江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．（5分）（2013•建邺区模拟）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x25333．（5分）（2013•建邺区模拟）等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9﹣的﹣（（（=164．（5分）（2013•建邺区模拟）已知，则sin2x的值为（）B：令的值为，把两边平方得，求得：令，则．5．（5分）（2013•建邺区模拟）设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于R BR R R，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：6．（5分）（2013•建邺区模拟）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，27．（5分）（2013•建邺区模拟）双曲线x2﹣y2=2012的左、右顶点分别为A1、A2，P为其，（∴∴，∴，∴8．（5分）（2013•建邺区模拟）已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公9．（5分）（2013•建邺区模拟）从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按B××10．（2013•建邺区模拟）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）d=87（﹣11．（2013•建邺区模拟）+=（）解：∵+=12．（5分）（2013•建邺区模拟）如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（﹣x）+x的解集为（）＜或＜﹣或或）＜，把包含这两段弧的椭圆方程y=）＜．由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为y=联立得+±＜14．（5分（2013•建邺区模拟））半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD．二、填空题：本大题共5小题，每小题0分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．15．（2013•建邺区模拟）=．，所以，由此能够求出的值．=．16．（4分）（2013•建邺区模拟）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．17．（4分）（2013•建邺区模拟）函数y=lg的定义域是（lg2，+∞）．18．（4分）（2013•建邺区模拟）定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：（1）2*2006=1；（2）（2n+2）*2006=3•[（2n）*2006]，则2008*2006的值是31003．19．（4分）（2013•建邺区模拟）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N 两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．，又圆心在直线∴原不等式组变为，）×|=．故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20．（12分）（2013•建邺区模拟）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；（3）判断f﹣1（x）的奇偶性．=））由，得==21．（12分）（2013•建邺区模拟）某港口水的深度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米．如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．=，得振幅∴∴∴，解得，22．（12分）（2013•建邺区模拟）已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．（1）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；（2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．．每一种情况的概率为：因此所求的概率为23．（2013•建邺区模拟）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2﹣3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．））因为所以函数24．（12分）（2013•建邺区模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点．E是线段BC1上一点，且BE=BC1．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小．BE=BE=BC三点共线，且=，∴H==TH=arctan25．（14分）（2013•建邺区模拟）设函数f（x）=ax3﹣2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．（1）求a、b、c、d的值；（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x1，x2∈[﹣1，1]时，求证：．，，∴，知两点处的切线斜率分别为，∴，∴上，26．（12分）（2013•建邺区模拟）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线l：x=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．的斜率为的斜率为的斜率为∴=的斜率为，。
数学_2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷6(理科)(含答案)
2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷6（理科）一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知集合M ={x|y =√3−x 2}，N ={y|y =2sin(2x +π4)+1，x ∈R}，且M 、N 都是全集R 的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A {x|−√3≤x ≤√3}B {y|−1≤y ≤3}C {x|√3<x ≤3}D Φ2. 已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a −2i)(1+i)在复平面内对应的点为M ，则“a =12”是“点M 在第四象限”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z ＝x +y( )A 有最小值2，最大值3B 有最小值2，无最大值C 有最大值3，无最小值D 既无最小值，也无最大值4. 某甲上大学前把手机号码抄给同学乙．后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复．则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（ ） A 310B 210C 110D 135. 如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ）A C n m−1B A n m−1C C n mD A n m6. 已知：m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列5个命题： ①若l 垂直于a 内的两条直线，则l ⊥α； ②若l // α，则l 行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β且α // β，则m // l ． 其中正确命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 37. 设函数f(x)=xsinx,x ∈[−π2，π2]，若f(x 1)>f(x 2)，则下列不等式一定成立的是（ ）A x 1+x 2>0B x 12>x 22C x 1>x 2D x 12<x 228. 已知双曲线x 22−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y =x ，点P(√3，y 0)在双曲线上、则PF 1→⋅PF 2→=( ) A −12 B −2 C 0 D 4 9. 在等差数列{a n }中，若a 11a 10<−1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n =( )A 18B 19C 20D 2110. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（ ）A 4+2√2B 2√2+2C 4D 4√3二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11. 已知sin(π4−x)=35，则sin2x 的值为________．12. 设a →=(2,4)，b →=(1,1)，若b →⊥(a →+m ⋅b →)，则实数m =________． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14. 已知随机变量X 的分布列如下表所示，X 的期望EX =1.5，则DX 的值等于________．√x)展开式中x 项系数为________．16. 若函数f(x)=log t |x +1|在区间(−2, −1)上恒有f(x)>0，则关于t 的不等式f(8t −1)>f(1)的解集为________．17.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，CA =CB =2，若AB →⋅AE →+AC →⋅AF →=2，则EF →与BC →的夹角等于________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cosB cosC=−b 2a+c.(1)求角B 的大小；(2)若b =√13，a +c =4，求△ABC 的面积．19. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，1成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n 2=2−b n ，设C n =b n a n求数列{C n }的前项和T n ．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB // CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点． (Ⅰ)试证：AB ⊥平面BEF ；(Ⅱ)设PA ＝k ⋅AB ，且二面角E −BD −C 的平面角大于45∘，求k 的取值范围．21. 已知：圆x 2+y 2=1过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y =kx +m 与圆x 2+y 2=1相切，与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于A ，B 两点记λ=OA →⋅OB →，且23≤λ≤34．（1）求椭圆的方程； （2）求k 的取值范围；（3）求△OAB 的面积S 的取值范围．22. 已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2lnx ，g(x)=xe 1−x ．（a ∈R ，e 为自然对数的底数） （1）当a =1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0,12)上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意给定的x 0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i (i =1, 2)，使得f(x i )=g(x 0)成立，求a 的取值范围．2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷6（理科）答案1. C2. A3. B4. A5. D6. B7. B8. C9. C10. A11. 72512. −313. 314. 0.8515. 1616. (0, 13)17. π318. 解：(1)由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知cosBcosC =−b2a+c得:cosB cosC =−sinB2sinA+sinC，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin(B+C)=0，∵ A+B+C=π，∴ sin(B+C)=sinA，∴ 2sinAcosB+sinA=0，即sinA(2cosB+1)=0，∵ sinA≠0，∴ cosB=−12，∵ B为三角形的内角，∴ B=23π.(2)将b=√13，a+c=4，B=23π，代入余弦定理b2=a2+c2−2accosB得：b 2=(a +c)2−2ac −2accosB ， 即13=16−2ac(1−12)，∴ ac =3，∴ S △ABC =12acsinB =34√3．19. 解：（1）由题意2a n =S n +1，a n >0 当n =1时2a 1=a 1+1∴ a 1=1n ≥2时，s n =2a n −1，s n−1=2a n−1−1 两式相减a n =2a n −2a n−1(n ≥2) 整理得a nan−1=2(n ≥2)∴ 数列{a n }1为首项，2为公比的等比数列． ∴ a n =a 1⋅2n−1=1×2n−1=2n−1（2）a n 2=2−b n =22n−2 ∴ b n =2−2n C n =b n a n=2−2n 2n−1=4−4n 2nT n =02+−422+−823+⋯+8−4n 2n−1+4−4n 2n①12T n =022+−423+⋯+8−4n 2n +4−4n 2n+1②①-②12T n =−4(122+123+⋯12n )−4−4n 2n+1=−4⋅122(1−12n−1)1−12−4−4n 2n+1=−2(1−12n−1)−4−4n 2n+1=n +12n−1−2∴ T n =n+12n−2−420. （1）证：由已知DF // AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． 又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ， 所以AB ⊥PD ，在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF // PD ，所以AB ⊥EF ． 由此得AB ⊥平面BEF ．（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系， 设AB 的长为1，则BD →=(−1, 2, 0)，BE →=(0, 1k2)设平面CDB 的法向量为m 1¯=(0,0,1)，平面EDB 的法向量为m 2¯=(x,y,z)， 则{m 2¯⋅BD ¯=0m 2¯⋅BE ¯=0∴ {−x +2y =0y +kz 2=0，取y ＝1，可得m 2=(2,1,−2k )设二面角E −BD −C 的大小为θ， 则cosθ＝|cos <m 1，m 2>|=2k√22+1+4k 2<√22化简得k 2>45，则k >2√55．21. 解；（1）由题意知，椭圆的焦距2c =2∴ c =1又∵ 圆x 2+y 2=1与椭圆有且仅有两个公共点，∴ b =1，∴ a =√2 ∴ 圆的方程为x 22+y 2=1（2）∵ 直线y =kx +m 与圆x 2+y 2=1相切，∴ 原点O 到直线的距离√1+k 2=1，即m 2=k 2+1把直线y =kx +m 代入椭圆x 22+y 2=1，可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2(m 2−1)2k 2+1λ=OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)2(m 2−1)2k 2+1−4k 2m 22k 2+1+m 2 ∵ 23≤λ≤34，∴ 23≤k 2+12k 2+1≤34，解得，12≤k 2≤1 ∴ k 的取值范围是[−1, −√22]∪[√22, 1]；（3）|AB|2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=(1+k 2)(x 1−x 2)2=(1+k 2)[(−4km 2k 2+1)2−42(m 2−1)2k 2+1]=(1+k 2)[16k 2(k 2+1)(2k 2+1)2−8k22k 2+1] =(1+k 2)8k 2(2k 2+1)2=2−2(2k 2+1)2S △OAB 2=14|AB|2×1=14(2−2(2k 2+1)2)∵ 12≤k 2≤1，∴ 29≤2(2k 2+1)2≤12 ∴ 32≤2−2(2k 2+1)2≤169，∴ 38≤14(2−2(2k 2+1)2)≤49即38≤S △OAB 2=≤49∴ √64≤S △OAB ≤23∴ △OAB 的面积S 的取值范围为[√64, 23] 22. 解：（1）当a =1时，f(x)=x −1−2lnx ，则f′(x)=1−2x，由f′(x)>0，得x >2； 由f′(x)<0，得0<x <2．故f(x)的单调减区间为(0, 2]，单调增区间为[2, +∞)； （2）因为f(x)<0在区间(0,12)上恒成立不可能，故要使函数f(x)在(0,12)上无零点，只要对任意的x ∈(0,12)，f(x)>0恒成立，即对x ∈(0,12)，a >2−2lnxx−1恒成立． 令l(x)=2−2lnxx−1，x ∈(0,12)，则l(x)=−2x(x−1)−2lnx (x−1)2=2lnx+2x−2(x−1)2，再令m(x)=2lnx +2x−2，x ∈(0,12)，则m′(x)=−2x 2+2x =−2(1−x)x 2<0，故m(x)在(0,12)上为减函数，于是m(x)>m(12)=2−2ln2>0，从而，l(x)>0，于是l(x)在(0,12)上为增函数，所以l(x)<l(12)=2−4ln2， 故要使a >2−2lnx x−1恒成立，只要a ∈[2−4ln2, +∞)，综上，若函数f(x)在(0,12)上无零点，则a 的最小值为2−4ln2； （3）g′(x)=e 1−x −xe 1−x =(1−x)e 1−x ，当x ∈(0, 1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； 当x ∈(1, e]时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减． 又因为g(0)=0，g(1)=1，g(e)=e ⋅e 1−e >0， 所以，函数g(x)在(0, e]上的值域为(0, 1]． 当a =2时，不合题意； 当a ≠2时，f′(x)=2−a −2x =(2−a)x−2x=(2−a)(x−22−a)x，x ∈(0, e]当x =22−a 时，f′(x)=0．由题意得，f(x)在(0, e]上不单调，故0<22−a <e ，即a <2−2e ① 此时，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：又因为，当x→0时，2−a>0，f(x)→+∞，f(22−a )=a−2ln22−a，f(e)=(2−a)(e−1)−2，所以，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使得f(x i)=g(x0)成立，当且仅当a满足下列条件：{f(22−a)≤0f(e)≥1即{a−2ln22−a≤0②(2−a)(e−1)−2≥1③令ℎ(a)=a−2ln22−a ，a∈(−∞,2−2e)，则ℎ′(a)=1−2[ln2−ln(2−a)]′=1−22−a =aa−2，令ℎ′(a)=0，得a=0或a=2，故当a∈(−∞, 0)时，ℎ′(a)>0，函数ℎ(a)单调递增；当a∈(0,2−2e)时，ℎ′(a)<0，函数ℎ(a)单调递减．所以，对任意a∈(−∞,2−2e)，有ℎ(a)≤ℎ(0)=0，即②对任意a∈(−∞,2−2e)恒成立．由③式解得：a≤2−3e−1．④综合①④可知，当a∈(−∞,2−3e−1]时，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使f(x i)=g(x0)成立．。
高考数学(理科)模拟试卷
联考数学(理)试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：1、复数2(2)(1)12i i i+--的值是 （ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i - 2、若log a (3a －1)>0，则a 的取值范围是（ ） A ．a<31 B ．31<a<32 C ．a>1 D ．31<a<32或a>1 ３．设α、β、γ是三个互不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α ③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β ④若α∥β，l ∥α，l ⊄β,则l ∥β 其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④４．已知一个半径为7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（ ） A ．18B ．16C ．12D ．8５．已知函数)(x f y =图象如图甲，则x x f y sin )2(-=π在区间[0，π]上大致图象是（ ）６．两个向量集合A={a /a =(cos α，4-cos 2α)，α∈R}，B={b /b =(cos β,λ+sin β), β∈R}，若A ∩B ≠φ，则实数λ的取值范围为（ ）A 、[2，5]B 、[411，5]C 、[411，+∞) D 、(-∞，5]７．设0,1a a >≠，函数()2log a f x ax x =-在[]3,4上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.1164a ≤<或1a > B. 1184a ≤≤或1a > C. 1a >. D.1154a ≤≤或1a > 8．设函数y=f(x)在x 0处可导，f '(x 0)=a ，若点（x 0，0）即为y=f(x)的图象与x 轴的交点，则lim ∞→n [nf(x 0-n1)]等于（ ） A 、+∞ B 、a C 、-a D 、以上都不对9.已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，点P 为这两条曲线的一个交点，若e|2pF |=|1|，则e 的值为( ) A 、22 B 、21 C 、33D 、不能确定1０．已知抛物线22,y px O =是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得POF ∆是直角三角形，则这样的点P 共有( )A 、0个B 、2个C 、4个D 、6个 １１．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．561２．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6人排成一排合影，要求同校任两名学生不能相邻，那么不同的排法有（ ） A 、36种 B 、72种 C 、108种 D 、120种 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)及答案
全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）已知集合A={x| - x2+4x> 0},片&|占<3玄丈歼} , C=（x|x=2n, n€81N}，贝U（A U B）n C=（）A. {2，4}B. {0，2}C. {0，2，4}D. {x|x=2n, n € N}2. （5分）设i是虚数单位，若-- ' ― ，x，y€ R，则复数x+yi的共轭复数2^1是（）A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i3. （5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S h，且％+a5+a6+a z=18，贝U下列命题正确的是（）A. a5是常数B. S5是常数C. a i0是常数D. Si o是常数4. （5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为东方魔板”它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，贝吐匕点取自黑色部分的概率是（）BCD2 25. （5分）已知点F为双曲线C: = 一一（a>0，b>0）的右焦点，直线x=aa b与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上，贝U双曲线的离心率为（）A. "B. I ■:C. I」订D. - % -6. （5分）已知函数f&）二sinx, K E [-冗50]诋(0t i]A . 7 .nJTD.——-74 一（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）2+ n B. C.盒2*出£产〔筠棗）*>201A.二7B. 「」C.. - 厂D. +-8 （5分）已知函数f仗）二sin 3葢X^\/3C^OS23(3> 0) 的相邻两个零点差的绝对值为二，则函数f （x）的图象（4A . 可由函数（X）=cos4x的图象向左平移个单位而得B. 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移C. 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移D . 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移丄个单位而得24丄个单位而得245兀个单位而得9. （5 分）（羽-3）（1的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（A . —73 B.—61 C.—55 D.—6310. （5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（nanA . 317£~6~B.31兀C.481K D丑価兀. ■:6411. （5分）已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线l i , I 2，直 线l i 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线12与抛物线C 交于D 、E 两点，若l i 与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为（ ）A . 16 B. 20 C. 24 D . 3212. （5分）若函数y=f （x ）, x € M ，对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af （x ） =f （x+T ）恒成立，此时T 为f （x ） 的类周期，函数y=f （x ）是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f （x ）是定义在 区间[0 , + %）内的2级类周期函数，且T=2,当x € [0 , 2 ）时，zg ■-2,，1 ©卄比）二戈函数.若？ X 1€ [6, 8] , ?X 2€L<Y <2’二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13 . （ 5分）已知向量, ^占口），-1），且旦丄1,则1)-=为 ______ .15. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*，则数列｛b n ｝的前2n 项和为 ______ .16.（5分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄BC, AD // BC,一二亍「二，点14. （ 5分）已知x , y 满足约束条件（0, +x ）,使g （X 2）- f （X 1）w 0成立，则实数m 的取值范围是（ 的最小值E是线段CD上异于点C, D的动点，EF丄AD于点^将厶DEF沿EF折起到△ PEF 的位置，并使PF丄AF,则五棱锥P-ABCEF勺体积的取值范围为________ .三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点D 满足■ /（1）求a及角A的大小;18. （12分）在四棱柱ABCD- A i B i C i D i中，底面ABCD是正方形，且匚-:-，/ A1AB=Z A1AD=6C°.（1）求证：BD丄CG;（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB所成角的正弦值为I .19. （12分）过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数「(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (卩,d2),利用该正态分布，求Z落在(14.55, 38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为^=V142. 75^11-95;②若〜N — b 2 )，贝U P (卩―crV Z< p+ o)=0.6826，P (卩―2 o< Z< (J+2 C)=0.9544.0e030 ・-0-025 ・*0.020 - 0.0150.01010 2030 4050各水饺质量指标丄一，且以两焦点为直20. (12分)已知椭圆C: 亏〔呂0)的离心率为径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线I: y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由.21. (12分)已知函数f (x) =e x- 2 (a- 1) x- b，其中e为自然对数的底数.(1)若函数f (x)在区间［0,1］上是单调函数，试求实数a的取值范围；(2)已知函数g (x) =e x-(a- 1) x2- bx- 1,且g (1) =0,若函数g (x)在区间［0,1］上恰有3个零点，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，圆C i的参数方程为\ K-_Uacos® ( 0ty=-l+asin9为参数，a是大于0的常数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为p =2^2^05 ( .(1)求圆C i的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线I： ^吕，P€ R与圆C i、圆C2的异于原点的焦点为A，B,若圆C i与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) =|2x+1| .(1)求不等式f (x)< 10-| x-3|的解集；(2)若正数m，n 满足m+2n=mn，求证：f (m) +f (- 2n)》16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）已知集合A={x| - x2+4x> 0}, B二丘|丄<罗<27} , C={x|x=2n, n€31N}，贝U（A U B）n C=（）A. {2，4}B. {0，2}C. {0，2，4}D. {x|x=2n, n € N}【解答】解：A={x| - x2+4x> 0} ={x| 0< x< 4}，駐〔兀I去V3y 27} ={x| 3-4v 3x v 33}={x| - 4<x< 3}，oJL则A U B={x| - 4< x<4}，C={x| x=2n, n € N}，可得（A U B）n C={0, 2, 4},故选C.2. （5分）设i是虚数单位，若' ,x, y€ R,则复数x+yi的共轭复数2-1是（）A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i【解答】解：由一「2-1得x+yi= — -i —-! ■=2+i得x+yi= =2+i，•••复数x+yi的共轭复数是2 -i.3（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S，且a4+a5+a e+a7=18,则下列命题正确的是（）A. a5是常数B. S5是常数C. a10是常数D. Si0是常数故选：A.【解答】解：•••等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ,且a 4+a 5+a 6+a 7=18, 二 a 4+a 5+a 6+a 7=2 (a i +a io ) =18, --a i +a io =9, …Sg 二乎(有十^10)=45- 故选：D .4. （5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为 东方魔板”它是由五块等腰 直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、- 块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，贝吐匕点取自黑色部分的概率是（）【解答】解：设AB=2,则BC=CD=DE=EF=1V B —订,S 平行四边形EFG 阳2S BC =2 X — , •••所求的概率为口 +S 平行四边形EPGH g 正方形AB5 =2x7故选：A .2 25. （5分）已知点F 为双曲线C : 云丄尹1 （a >0, b >0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A ,若AF 的中点在双曲线上，贝U 双曲线 的离心率为（）16BCDA. . 1B. I ■:C.「'.打D. I 口2 2【解答】解：设双曲线C:青冬二1的右焦点F （c, 双曲线的渐近线方程为y丄x,a由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（誓，寺b）,代入双曲线的方程可得卄J -丄=1，可得4a2- 2ac- c2=0，由e*，可得e2+2e- 4=0，a解得e= !.- 1 （- 1 —汀舍去），故选：D. 0)，6. （5分）已知函数f&）二则.A. 2+ nB. JT T-2J Ql-/dK=/ cOSdt= J 1 址齐t芒1 2+'，J 2开£(只),xE [-TT , 0]2,址© 1]^rcsinx *兀4+ (- COSX：=(2. 故选：D.7. （5分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（）A ...工7B .C.. -厂 D . m【解答】解：第1次循环后，S=-,不满足退出循环的条件，k=2; 第2次循环后，S= -;，不满足退出循环的条件，k=3; 第3次循环后，S= =2，不满足退出循环的条件，k=4；第n 次循环后，S= ，不满足退出循环的条件，k=n+1 ； 第2018次循环后，S=,3.「儿 不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2「|「，满足退出循环的条件， 故输出的S 值为2厂「， 故选：C& （5分）已知函数f （瓷）sin® xug®負7勺（3> 0）的相邻两个 零点差的绝对值为「则函数f （x ）的图象（）A. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向左平移卑匚个单位而得B. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移2二个单位而得24C. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移丄?个单位而得D. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移一个单位而得O【解答】 解：函数 f （7） =sinseesxVsccs5 工=寺 sin7T=sin （2^）-—）（3>0）的相邻两个零点差的绝对值为才?爲=：，二①=2 f (x ) =sin (4x -中=cos[(2 3X )]=cos (4x普）.故把函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移竺个单位，可得f （X ）的图象，24 故选：B.9・（5分）©-3）（代/的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A .- 73B .- 61C.- 55D .- 63【解答】解：丄广展开式中所有各项系数和为（2- 3） （1+1） 6=- 64; ⑵-3）（1 丄）社（2x -3） （1忑碍+•••）,工工/其展开式中的常数项为-3+12=9,• ••所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 -64 - 9=- 73.故选：A . 6【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥 P -ABCDEF 底面是正六边形，有一 PAF 侧面垂直底面，且P 在底面的投影为AF 中点，过底面中心N 作底面垂线, 过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心 0, 设厶PAF 的外接圆半径为r ，/二（2P ）牛（寺严，解得r #，•価二0昨茅6 （5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为 1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A .B .312Z8 C.鋁1叽64D.48MAS11. (5分)已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线11, 12，直 线11与抛物线C 交于A 、B 两点，直线12与抛物线C 交于D 、E 两点，若11与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为()A . 16 B. 20 C. 24 D . 32【解答】解：抛物线C: y 2=4x 的焦点F (1, 0),设直线11: y=k i (x- 1),直线 12： y=k 2 (x - 1),由题意可知，贝U 叭Jk 『二1,设 A (X 1 , y 1), B (X 2 , y 2),贝 U X 1+X 2= -------k l 4设 D (X 3 , y 3), E (X 4 , y 4),同理可得：X 3+X 4=2+ ° ,k2由抛物线的性质可得：丨AB | =X 1+x 2+p=4+则该几何体的外接球的半径•••表面积是则该几何体的外接球的表面积是7 V4M+1 FS=4冗 R =°*l 兀.64联立丿y=k] (i-lj,整理得：k 12x 2-( 2k 12+4) x+k 12=0,R= I :. 故选：C.C,| DE | =X 3+X 4+pk l=84 ,当且仅当k®目时，上式“我立• ••• | AB|+| DE 的最小值 24, 故选：C.12. (5分)若函数y=f (x ), x € M ，对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af (x )=f (x+T )恒成立，此时T 为f (x ) 的类周期，函数y=f (x )是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f (x )是定义在区间［0 , + %)内的2级类周期函数，且T=2,当x € ［0 , 2 )时，f(2-Kb 1<X<2(0 , +x),使g (x 2)- f (X 1)w 0成立，贝U 实数m 的取值范围是(【解答】解：根据题意,对于函数f(x ),当x € ［0 , 2)时,f k)弓2fCE-s), Kx<2-2,有最大值f (0)二，最小值f (1)2，当1v x v 2时，f (x ) =f (2 -x ),函数f (x )的图象关于直线x=1对称,则此时 有-一v f (x )v又由函数y=f (x )是定义在区间[0, +7 内的2级类周期函数，且T=2; 则在€ [6, 8) 上, f (x ) =23?f (x -6),则有—12<f (x )w 4,则 f (8) =2f (6) =4f (4) =8f (2) =16f (0) =8,则函数f (x )在区间［6 , 8］上的最大值为8,最小值为-12;A .—] B. (a, 13 ] C. 〔a,32 J2」2」D .[普g| AB|+| DE =8+1 k 24(ki 2+k 2Z ) 8P4、412 J一 _ _ •若？ xi € [ 6, 8] , ? X 2 €函数 =-21nx分析可得：当O w x < 1时，f (x) --=84 ,对于函数山)二-加4^5切,有g'(x) =-Z +X+1」®之-炉1)3切L x x x分析可得：在(0 , 1)上,g (x)v0,函数g (x)为减函数，在(1 , +x)上,g r (x)>0,函数g (x)为增函数，则函数g （x ）在（0, +x ）上，由最小值f （1） =_ +m ,2若？ x i € [6, 8] , ? X 2 €(0, +x ),使 g (X 2)— f (x i )< 0 成立, ，即一+m < 8, ，即m 的取值范围为(-x,必有 g (x ) min < f (x ) max 故选：B. 解可得m 13 2 、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. （5 分）已知向重.I _ d •二二「，，| 丄---,且-一、，则！ . I I ]【解答】解：根据题意，向重 丁（2営cgd ），b=（l, -1）， 若；丄卞，则 ^?b=2sin a cos a =0 则有 tan a又由 sin 2 a +COS 2 a=1 则有 则 则 |..|-: 2^5sina=^ a" COS Cl - !_ 亍),或 = sin a 二芈^ 5 n _砸 C0S 或（— 5则崙丄）2=3品2- 21?工半 5故答案为: 14. （5分）已知x , y 满足约束条件 的最小值为L_. 【解答】解：由约束条件作出可行域如图,X = — 22n -4,联立fxWQ ，解得A （2, 4）, J 23<2，令t=5x -3y ,化为y 专富诗,由图可知,当直线宾耳过A 时, 」 J "J 直线在y 轴上的截距最大，t 有最小值为-2. •••目标函数 玄二彳； 的最小值为2~^-^. 故答案为：丄.15. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a i ,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*，则数列｛b n ｝的前2n 项和为—亠〕/" _.丄ka【解答】解：等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a i ，且a 4与2a 7的等差中项为17, 设首项为a 1,公比为q , 则：整理得:+血］<1 二 34解得: 则: 所以：b n =a 2n -1 — a 2n =屯一」116. （5分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄BC, AD // BC,上-二一二-_，点 E 是线段CD 上异于点C , D 的动点，EF 丄AD 于点^将厶DEF 沿 EF 折起到△ PEF 的位置，并使PF 丄AF ,则五棱锥P -ABCEF 的体积的取值范围为【解答】 解：T PF 丄AF , PF 丄EF, AF G EF=F 二PF 丄平面ABCD 设 PF=x 贝U O v x v 1, 且 EF=DF=x•五棱锥P-ABCEF 的体积V 丄 丄(3-x 2) x 设 f (x ) (3x - x 3),贝U f ' (x) — (3 - 3x 2)6 6•••当 O v x v 1 时，f'(x )>0,则：T 2n = I' 1-4 故答案为: 討护）. (0,丄) •五边形ABCEF 的面积为S=S 弟形ABCD - x( 1+2)x 1-—X 2丄(3-x 2). (3x — x 3), (1-x 2),••• f（x）在（0, 1）上单调递增，又f （0）=0, •五棱锥P-ABCEF的体积的范围是（0,丄）.故答案为:三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点 D 满足 【解答】 解：(1)由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得-2sinBcosA=sinAcos&osAsinC 即—2si nBcosA=si n( A+C ) =s inB, 在厶 ABC 中，sinB >0,所以一”二二. 在厶 ABC 中，c=2b=2,由余弦定理得 a 2=b 2+c 2 - 2bccosA=k J +c 2+bc=7, 18. (12分)在四棱柱ABCD — A i B i C i D i 中，底面ABCD 是正方形，且匚-■-,/ A 1AB=Z A 1AD=6C °.(1) 求证：BD 丄CG ;(2) 若动点E 在棱C 1D 1上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面BDB 所成 角的正弦值为….又A €(0, n),所以(1)求a 及角A 的大小; C所以一 I【解答】解：（1）连接A i B, A i D, AC,因为AB=AA=AD,/ A i AB=Z A i AD=60,所以△ A i AB和厶A i AD均为正三角形，于是A i B=A i D.设AC与BD的交点为0,连接A i O,则A i O丄BD,又四边形ABCD是正方形，所以AC丄BD, 而A i O n AC=O,所以BD丄平面A i AC.又AA i?平面A i AC,所以BD丄AA i, 又CG // AA i,所以BD丄CG.（2）由，及BDW2AB=2，知A i B丄A i D,结合A i O丄BD, AO n AC=O 得A i O丄底面ABCD, 所以OA、OB、OA i两两垂直.如图，以点O为坐标原点，| &的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系 -xyz 则A (i, 0, 0), B (0 , i , 0), D (0 , - i , 0), A i (0 , 0 , i) , C(- i , 0 , DB=(O, 2, 0),瓦二瓯二(一1・ 0, 1), D]C[二磋(T, 1；",由i 丨，得Di (- i, - i , i).设：,I- ■：.：'(疋[0 , i]),则(X E+i , y E+i , Z E- i)=入(-i , i , 0),即 E (-入—i,入—i , i), 所以；「―■•亠.设平面B i BD的一个法向量为|• • •'!,O 0),B,从而A i O丄AO,设直线DE 与平面BDB 所成角为9, 则血*k^＜运，（—'—D+oy m 丨申, V2XV X 2+（-1-\）£+1 14 解得二二或•，二丄（舍去）,2 3所以当E 为D i C i 的中点时，直线DE 与平面BDBi 所成角的正弦值为「.19. （ 12分）过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节 前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量 指标，（1） 求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数■:（同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表）；（2） ①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布N（卩, ；），利用该正态分布，求Z 落在（14.55, 38.45）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于（10, 30）内的包数为X ,求X 的分布列和数 学期望. 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为②若（卩，^ ）,贝U P （卩―eV Z w p+ o ） =0.6826, P （卩―2 eV Z w （J +2 o ） =0.9544.得n=(l, 0, 1)，n ・ E6=0 ｛十…… n • &B-i =0 L得 产。
高考数学模拟试卷附答案解析
高考数学模拟试卷附答案解析请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足f(x)=f(2一x)，当x e[0,1]时，f(x)=x，则函数F(x)=f(x)+x+4在区间[一9,10]上零点的个数为() 1一2xA．9B．10C．18D．202．如图，ABC中经A=2经B=60。
，点D在BC上，经BAD=30。
，将△ABD沿AD旋转得到三棱锥B,一ADC，分别记B,A，B,D与平面ADC所成角为C，β,则C，β的大小关系是()A．C<β<2C B．2C<β<3CC.β<2C，2C<β<3C两种情况都存在D．存在某一位置使得β>3a3．为计算S=1一2x2+3x22一4x23+...+100x(一2)99，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入()A．i<100B．i>100C．i<100D．i之1004．已知定义在[1,+伪)上的函数f(x)满足f(3x)=3f(x)，且当1<x<3时，f(x)=1一x一2，则方程f (x )=f (2019)的最小实根的值为()A ．168B ．249C ．411D ．5615．已知抛物线C :x 2=4y ,过抛物线C 上两点A ,B 分别作抛物线的两条切线PA ,PB ,P 为两切线的交点O 为坐标原点若PA .PB =0,则直线OA 与OB 的斜率之积为()11A ．—-B ．—3C ．—-486．在复平面内，复数z =a +bi （a ，b e R ）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ =r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ,则z =r (cos θ+isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z 1=r (cos θ+isin θ)，111z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1z 2=r 2cos r (cos θ+isin θ)n =r n (cos n θ+isinn θ)(θ+θ)+isin (θ+121,已知z =(3+i )4θ2)，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：,则z =()A ．23B ．4C ．83D ．167．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18C ．240，208．直角坐标系xOy 中，双曲线边三角形，则该双曲线的离心率x 2y 2—a 2b 2e =()A .43B .54B ．200，20D ．200，18=1（a ，b >0）与抛物线y 2=2bx?相交于A 、B 两点，若ΔOAB 是等C .65D .76119．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =2,AP =AB,AQ =AD,若CP .CQ =12,则经ADC =()32A .5π6B .3π4C .2π3D .π210．在ABC 中，角A ,B,C 的对边分别为a ,b,c ，若c —a cos B =(2a —b)cos A ，则ABC 的形状为()D ．—4A ．直角三角形C ．等腰或直角三角形B ．等腰非等边三角形D ．钝角三角形11．若复数z =21+i,其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是()A ．z 的虚部为-iB ．z =2C ．z 的共轭复数为-1-iD ．z 2为纯虚数12．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为()A .C .3336B .D .63336二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(六)答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（六）注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}210A x x =-≤，{}20B x x a =-≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,-+∞C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】求出{}11A x x =-≤≤，{}2B x x a =≥，根据A B B ⋃=，得到A B ⊆，从而得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】{}{}21011A x x x x =-≤=-≤≤，{}{}202B x x a x x a =-≥=≥，因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，故21a ≤-，解得：12a ≤-，故选：C2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()i 3i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（）A.-1B.0C.3D.-3【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法法则得到3i z a =+，从而得到3a =.【详解】()2i 3i i 3i 3i z a a a =-=-+=+，故3a =.故选：C3.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，且过点()2,2A ，则双曲线方程为（）A.2212y x -= B.22124x y -=C.22142x y -= D.22136x y -=【答案】B 【解析】【分析】通过已知得出a 与b 的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答案.【详解】 双曲线()222210,0x ya b a b-=>>ca∴=，222a b c += ，2223a b a+∴=，即222a b =， 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()2,2A ，22441a b∴-=，则由222a b =与22441a b -=联立解得：a =，2b =，∴双曲线的方程为：22124x y -=，故选：B.4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x 为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断0x 所在区间，最后根据高斯函数的定义计算可得.【详解】解：因为3log y x =与31y x =-+在()0,∞+上单调递增，所以()33log 1f x x x =-+在()0,∞+上单调递增，又()33313log 3103144f =-=-=>+，()3332log 2log 21021f =-=-<+，所以()f x 在()2,3上存在唯一零点0x ，即()02,3x ∈，所以[]02x =.故选：A5.已知点P 是圆(()22:34C x y -+-=上一点，若点P 到直线2y =-的距离为1，则满足条件的点P 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.【详解】由题意可知圆心为)C,所以)C到2y =-的距离为1d ==，故与直线2y =-平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P ，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与2y =-垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.故选:C6.已知ππ,42α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且25cos 10sin 29αα+=，则tan α=（）A.29B.2C.12D.92【答案】B 【解析】【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系22sin cos 1αα+=代换，可得25209t ta an 1n αα+=+，根据α的范围即可求解.【详解】由25cos 10sin 29αα+=，得25cos 20sin cos 9ααα+=，则2225cos 20sin cos 9sin cos ααααα+=+，即25209t ta an 1n αα+=+，得29tan 20tan 40αα-+=，则()()9tan 2tan 20αα--=，得2tan 9α=或tan 2α=，又ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以tan 1α>，故tan 2α=.故选：B7.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（）A.14B.12C.13 D.16【答案】C 【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法的所有排法，再求甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法，根据古典概型概率公式求概率.【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法有44A =24种，甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法有22222A A =8种，由古典概型的概率公式可得甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率：81243P ==，故选：C .8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BD 上运动（包含端点），则直线1B P 与1C D 所成角的取值范围是（）A.ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以1111B P B B BP B B BD λ=+=+ (,,1)λλλ=---+（01λ≤≤），又1(0,1,1)DC =，设则直线1B P 与1C D 所成角为θ，则11cos cos ,B P DC θ=，结合λ的范围即可得解.【详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,1,1)C ，1(1,1,1)B ，所以1111B P B B BP B B BD λ=+=+(0,0,1)(1,1,1)(,,1)λλλλ=-+--=---+（01λ≤≤）1(0,1,1)DC =，则设直线1B P 与1C D 所成角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则111111cos cos ,B P DC B P DC B P DC θ⋅===⋅ ，由01λ≤≤，所以221223213,2333λλλ⎛⎫⎡⎤-+=-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，13cos ,22θ⎡∈⎢⎣⎦，所以ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）A.38πcmB.38cm πC.316cm πD.34cm π【答案】BD 【解析】【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm ，高为2cm 的和圆柱的底面周长为2cm ，高为4cm ，两种情况分别由体积公式即可求解.【详解】 侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，若圆柱的底面周长为4cm ，则底面半径2cm πR =，2cm h =，此时圆柱的体积238πcm πV R h ==若圆柱的底面周长为2cm ，则底面半径1cm πR =，4cm h =，此时圆柱的体积23πcm π4V R h ==故选：BD10.已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其方差()1D X =，随机变量Y 服从正态分布(),4N p ，且()()21P X P Y a =+<=，则（）A.12p =B.()328P X ==C .()38P Y a <=D.()118P Y a >-=【答案】AB 【解析】【分析】根据二项分布的方差公式得到方程求出p ，再根据独立重复试验的概率公式求出()2P X =，即可判断A 、B 、C ，最后根据正态分布的性质判断D.【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布()4,B p ，且其方差()1D X =，所以()()411D X p p =-=，解得12p =，故A 正确；所以()22241132C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()21P X P Y a =+<=，所以()58P Y a <=，所以B 正确，C 错误；所以1,42Y N ⎛⎫⎪⎝⎭，则正态曲线关于12x =对称，因为()11122a a -=--，所以()()518P Y a P Y a >-=<=，故D 错误.故选：AB11.已知直线1y x =+交椭圆22:163x yC +=于A ，B 两点，P 是直线AB 上一点，O 为坐标原点，则（）A.椭圆C 的离心率为22B.423AB =C.2OA OB ⋅=-D.若1F ，2F 是椭圆C 的左，右焦点，则21PF PF -≤【答案】AD 【解析】【分析】根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可求出离心率，即可判断A ，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式判断B ，求出()()121211y y x x =++，根据数量积的坐标表示判断C，设()1F 关于直线AB 的对称点为(,)E e f ，求出对称点的坐标，再根据221P P F F F E -≤，即可判断D.【详解】解：因为椭圆22:163x y C +=，所以26a =，23b =，则a =，c ==所以离心率22c e a ===，故A 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，由221163y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得23440+-=x x ，显然0∆>，所以1243x x +=-，1243x x =-，所以12823AB x =-==，故B 错误；又()()1212121251113y y x x x x x x =++=+++=-，所以12123OA OB x x y y ⋅=+=-，故C 错误；设()1F 关于直线AB 的对称点为(,)E e f ，则13122f e =-+⎪=+⎪⎩，解得11e f =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即(1,1E --，则1PF PE =，2221PF P P F E F E P F =--≤，当且仅当P ，E ，2F 三点共线时取等号，所以21PF PF -的最大值为2EF =，即21PF PF -≤，故D 正确，故选：AD12.已知函数()()3e xf x x =-，若经过点()0,a 且与曲线()y f x =相切的直线有两条，则实数a 的值为（）A.3-B.2- C.e- D.2e -【答案】AC【解析】【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根据条件得出答案.【详解】设切点为()(),3e tt t -，由()()3e xf x x =-，得()()()e 3e 2e xxxf x x x ='+-=-，则过切点的切线方程为：()()()3e 2etty t t x t --=--，把()0,a 代入，得()()()3e 2e 0tta t t t --=--，即()2e 33ta t t -=-+，令()()2e33xg x x x =-+，则()()2e xg x x x ='-，则当()(),01,x ∞∞∈-⋃+时，()0g x '>，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x ∴的增区间为(),0∞-与()1,+∞，减区间为()0,1，做出草图如下：因为过点()0,a 且与曲线()y f x =相切的直线有两条，则e a -=或3a -=，则3a =-或e a =-，故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(a = ，(b =-，则a b b ⋅-= ______．【答案】0【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模长公式，直接进行计算即可.【详解】((4,1,4620a b b ⋅-=⋅---+-=，故答案为：014.写出一个同时满足下列条件的非常数函数______．①在[)0,∞+单调递增②值域[)1,+∞③()()=f x f x -【答案】()21f x x =+（不唯一）【解析】【分析】结合函数的性质选择合适函数即可.【详解】由()()=f x f x -得函数为偶函数，关于y 轴对称，结合单调性及值域，可以为()21f x x =+.故答案为：()21f x x =+（不唯一）.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为______．【答案】169【解析】【分析】根据题意可知所求数为能被12除余1，得出数列{}n a 的通项公式，然后再求解项数即可.【详解】解：因为能被3除余1且被4除余1的数即为能被12除余1的数，故1211,(N )n a n n *=-∈，又2022n a ≤，即12112022n -≤，解得203312n ≤，又*N n ∈，所以1169n ≤≤且*N n ∈.故答案为：169.16.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，A ，C 为()f x 的图象与x 轴交点，且1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，M ，N 是()f x 的图象与圆心为C 的圆（虚线所示）的交点，且点M 在y 轴上，N 点的横坐标为23，则圆C 的半径为______．【答案】3【解析】【分析】根据函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性可得函数的周期，结合1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得π()2sin(2π3f x x =+，进而求解M 的坐标，由勾股定理即可求解半径.【详解】根据函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心(,0)C c 对称，所以13c =，于是11π12π2622T c ωω=+=⇒=⇒=，由2πω=及1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得ππ0π,Z π,Z 33k k k k ϕϕ-+=+∈⇒=+∈，由于π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以π()2sin(2π)3f x x =+，(0)f =，从而M ，故半径为3CM ==,故答案为：273四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足11a =，()()1102n n n a na n ---=≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =（2）()1122n n S n +=-⋅+【解析】【分析】（1）由题意得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，可数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法求数列前n 项和.【小问1详解】由()()1102n n n a na n ---=≥，得()121n n a a n n n -=≥-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，有111n a a n ==，∴n a n =【小问2详解】22n n n n b a n =⋅=⋅，()123122232122n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ，()2341222232122n n n S n n +=+⨯+⨯++-+⋅ ，两式相减，()()12311121222222212212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，所以()1122n n S n +=-⋅+18.如图，在ABC 中，4AB =，2AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且cos 7ADB ∠=-．（1）求BD ；（2）求ABC 的面积．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）由cos 7ADB ∠=-求出sin ADB ∠，再由正弦定理即可求出BD（2）根据余弦定理可求出BC ，进而求出ABC 的面积.【小问1详解】在ADB中，cos 7ADB ∠=-，则sin 7ADB ∠=，π6B =，所以1sin sin 6272714BAD ADB π⎛⎫⎛⎫∠=+∠=⨯-+⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理可得：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠2127147BD =⇒=.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得：23164cos30224BC BC +-︒==⋅，解得：BC =.所以ABC的面积11422S =⨯⨯=.19.近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参加高考的100位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性4515男性2020假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．（1）根据表中数据，能否有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？（2）若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随机选择8位女生，试估计选择师范专业作为首选志愿的人数．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；（2）6.【解析】【分析】（1）首先利用数据求得()2210045201520 6.593 6.63560406535K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，对照表格数据即可得解；（2）根据人数可得女生中首选志愿为师范专业的概率0.75P =，设该校考生中随机选择8位女生中选择师范专业作为首选志愿的人数为x ，所以(8,0.75)x B ，利用二项分布即可得解.【小问1详解】根据所给数据求得()2210045201520 6.593 6.63560406535K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.【小问2详解】100名高考考生中有60名女生，首选志愿为师范专业有45人，故首选志愿为师范专业的概率0.75P =，设该校考生中随机选择8位女生，选择师范专业作为首选志愿的人数为x ，所以(8,0.75)x B ，所以()80.756E x =⨯=，所以随机选择8位女生计选择师范专业作为首选志愿的人数为6.20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，1PA =，2BC CD ==，3AB =，点E 在棱PC 上．（1）证明：平面AED ⊥平面PAB ；（2）已知点E 是棱PC 上靠近点P 的三等分点，求二面角C AE D --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）由题意可证得PA AD ⊥，又AB AD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PAB ,再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面CAE 和平面AED 的法向量，再由二面角公式即可得出答案.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，PA AB A = ，PA AB Ì，平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ，所以平面AED ⊥平面PAB .【小问2详解】以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，过C 作//CG AD ，交AB 于点G ，则易知四边形ADCG 是矩形，所以AD CG ===，则(0,0,0)A ,(3,0,0)B ,(0,0,1)P,(2C,D ,E 是棱PC 上靠近点P 的三等分点，所以设(),,E x y z ，则13PE PC = ，所以()()1,,113x y z -=-，则232,,333x y z ===，则232,,333E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,,333AE AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z = ,则0n AD ⋅= 且0n AE ⋅= ,0=且2320333x y z ++=,∴0y =,令1x =,则1z =-,∴平面ADE 的一个法向量()1,0,1n =-,设平面ACE 的法向量为111(,,)m x y z =,()()0,0,1,AP AC == 则0m AC ⋅= 且0m AP ⋅=,∴10z =且1120x =,∴令x ==2y -,∴平面ACE的一个法向量)2,0m =-,∴cos ,14m n m n m n⋅===,二面角C AE D --的余弦值为14.21.已知直线220x y +-=过抛物线()2:20C x py p =>的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）动点A 在抛物线C 的准线上，过点A 作抛物线C 的两条切线分别交x 轴于M ，N 两点，当AMN 的面积是时，求点A 的坐标．【答案】（1）24x y =（2）()1,1A -或()1,1--【解析】【分析】（1）求出焦点坐标为()0,1，从而得到2p =，求出抛物线方程；（2）设出(),1A m -，过点A 的抛物线的切线方程设为()1y k x m =-+-，与抛物线方程联立，根据Δ0=得到21616160k mk --=，设过点A 的抛物线的两条切线方程的斜率分别为12,k k ，求出1212,1k k m k k +==-，表达出1221MN x x k k =-=-，AMN S =52=，求出1m =±，得到点A 的坐标.【小问1详解】220x y +-=中令0x =得：1y =，故焦点坐标为()0,1，故12p=，解得：2p =，故抛物线方程为24x y =；【小问2详解】抛物线准线方程为：1y =-，设(),1A m -，过点A 的抛物线的切线方程设为()1y k x m =-+-，联立24x y =得：24440x kx km -++=，由21616160k mk ∆=--=，设过点A 的抛物线的两条切线方程的斜率分别为12,k k ，故1212,1k k m k k +==-，令()1y k x m =-+-中，令0y =得：1x m k=+，不妨设121211,x m x m k k =+=+，故211221121211k k MN x x k k k k k k -=-=-==-，则211151222AMN S MN k k =⨯=-===，解得：1m =±，故点A 的坐标为()1,1A -或()1,1--.【点睛】已知抛物线方程22y px =，点()00,A x y 为抛物线上一点，则过点()00,A x y 的抛物线切线方程为()00y y p x x =+，若点()00,A x y 在抛物线外一点，过点()00,A x y 作抛物线的两条切线，切点弦方程为()00y y p x x =+.22.已知函数()e xf x x =，()2ln22xg x =+．（1）求函数()f x 的最值；（2）若关于x 的不等式()()f x g x kx -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小值为1(1)f e-=-，无最大值.（2）2k ≤【解析】【分析】(1)利用导函数讨论函数的单调性即可求最值；(2)分离参变量，构造函数22()e ln 2x x g x x x=--，利用导数结合单调性讨论其最小值即可求解.【小问1详解】因为()e xf x x =，所以()e e (1)e xxxf x x x '=+=+，令()(1)e 0xf x x '=+>解得1x >-，令()(1)e 0xf x x '=+<解得1x <-，所以()e xf x x =在(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，所以当=1x -时，()f x 有最小值为1(1)f e-=-，无最大值.【小问2详解】由()2ln22xg x =+的定义域可得()0,x ∈+∞，()()f x g x kx -≥即e 2ln 22x xx kx --≥，等价于22e ln (0)2xx k x x x≤-->恒成立，令22()e ln 2x x h x x x=--，所以222222e 2ln22222()e ln e ln 22x x x x x x xh x x x xx x +⎡⎤⎛⎫'=--++=+=⎪⎢⎝⎭⎣⎦，令2()e 2ln,02xxF x x x =+>，所以()2()2e 02xxF x x x '=++>在()0,x ∈+∞恒成立，所以2()e 2ln,2xxF x x =+单调递增，1e(1)e ln 40,()ln16024F F =->=->，所以存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0()0F x =，即0200e 2ln 02x x x +=，所以当()000,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，()00,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以00min 00022()()e ln ,2x x h x h x x x ==--由0200e 2ln 02x x x +=得00002e ln02x x x x +=，也即002ln 002e ln e x x x x =，即002()(ln )f x f x =，由(1)知()f x 在()1,-+∞单调递增，所以002lnx x =，00002e ,ln 2x x x x =-=，所以000min 00000022222()()e ln ln 222xx x g x g x x x x x x ==--=-=，所以2k ≤.【点睛】方法点睛：分离参变量是求参数取值范围常用的方法，本题第二问对不等式等价变形为22e ln (0)2xx k x x x ≤-->,从而min 22e ln 2x x k x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭，构造函数讨论单调性及最值是常用的方法，解决的关键在于利用零点的存在性定理得0200e 2ln02xx x +=，再根据（1）得()e xf x x =的单调性，进一步得到002lnx x =，00002e ,ln 2x x x x =-=，等量代换求出最小值.。
高考数学模拟试卷的命制
高考数学模拟试卷的命制为了帮助学生更好地应对高考数学考试，模拟试卷成为了一种重要的辅助工具。
本文将探讨高考数学模拟试卷的命制，包括试卷结构、题型设计以及难度控制等方面。
一、试卷结构设计1.整体结构高考数学模拟试卷的整体结构应该与真实的高考数学试卷保持一致，包括选择题、填空题、解答题等部分。
这样可以更好地帮助考生熟悉真实考试情景，提高应考能力。
2.题目数量模拟试卷的题目数量应该与真实考试相当，例如选择题可以设置30道，填空题可以设置10道，解答题可以设置6道。
这样既能保证试卷的综合性，又不会给考生过大的压力。
3.难易程度分布模拟试卷的难易程度分布应该与真实考试相似，包括简单、中等和难题的比例。
这样可以更好地检测学生的数学水平，帮助他们合理安排备考时间，有针对性地提高自己的薄弱点。
二、题型设计1.选择题选择题是高考数学试卷的重要组成部分，涉及的知识点广泛。
在模拟试卷中，应该充分考察学生对考点的理解和应用能力。
可以设计一些综合性的选择题，考察学生对多个知识点的综合应用。
2.填空题填空题是考察学生计算和推理能力的重要题型。
在模拟试卷中，可以设置一些需要进行逻辑推理或者推算的填空题，加深学生对数学知识的理解和掌握程度。
3.解答题解答题是考察学生分析和解决问题能力的主要题型。
在模拟试卷中，可以设计一些与日常生活相关的问题，引导学生将数学知识运用到实际问题的解决中，培养他们的创新思维和实际应用能力。
三、难度控制在制定高考数学模拟试卷时，难度的控制非常重要。
试卷难度应该适中，既不宽松到失去参考价值，也不过于困难导致学生信心丧失。
可以参考历年的真题和模拟试卷，结合实际情况，合理设置试题难度。
四、试卷评分与解析高考数学模拟试卷的命制工作不仅仅包括试题的设计，还需要做好试卷的评分与解析工作。
评分应该遵循高考评分标准，确保评卷准确公正。
同时，提供试卷的详细解析，帮助学生理解和掌握知识点，查漏补缺。
结语高考数学模拟试卷的命制对学生备考有着重要的指导意义。
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2013年高考数学模拟试卷六数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试事间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
注意事项：参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 V Sh =()()()P A B P A P B +=+ 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 如果事件A ，B 相互独立，那么 棱锥的体积公式 13V Sh =()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 在n 次独立重复试验中事件A 恰好 棱台的体积公式 ()112213V h S S S S =发生k 次的概率是()1n kk knC p k --， 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中p 表示在一次试验中事件A 发生的概率 h 表示棱台的高球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一．选择题（本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．【原创】．已知集合M=⎩⎨⎧∈++==-=},1)42sin(2|{},3|2R x x y y N x y x π，且M 、N 都是全集R 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x|-33≤≤x } B ． {y|-31≤≤y }C ．{x|33≤<x }D ．Φ（命题意图：考查函数定义域、值域、集合运算）2. 【原创】已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“21=a ”是“点M 在第四象限”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （命题意图：考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件）3. 【原创】设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+22142y x y x y x ，则z ＝x ＋y ： ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 （命题意图：考查线性规划）MNR1题5题4．[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（ ）. （A ）103 （B ）102 （C ）101 （D ）31（命题意图：考查古典概型的计算）5．【改编教材必修3】如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于( )A ．1m nC - B. 1m n A - C. m n C D. mn A（命题意图：考查排列数、组合数，算法中的循环结构）6．[原创] 已知：l m ,是直线，βα,是平面，给出下列四个命题：①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //。
其中正确命题的个数是( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 （命题意图：考查空间位置关系）7．[原创] 函数()sin ,[,],22f x x x x ππ=∈-12()()f x f x >若，则下列不等式一定成立的是( )A ．021>+x xB ．2221x x > C ．21x x > D ．2221x x <（命题意图：考查函数奇偶性、单调性、三角函数）8．【2010年福建高考题改编】已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则21PF PF •＝( ) A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 （命题意图：考查双曲线的性质、向量的数量积）9．【原创】在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21 （命题意图：考查等差数列的概念、性质）正视图侧视图12311310．【2012温州市高三第一次适应性测试】如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为 （ ）A ．422+B ．222C ．4D ．43（命题意图：考查空间想象力、创新思维）第II 卷(共100分)二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．【由2012浙江省高考考试说明样卷改编】已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 ． （命题意图：考查同角三角函数关系、两倍角关系、两角和与差）12．【原创】设(2,4),(1,1)a b ==，若()b a mb ⊥+，则实数m =________。
（命题意图：考查向量的坐标运算） 13. 【原创】 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 . （命题意图：考查三视图、几何体积） 14．【2012年浙江省高考样卷改编】已知随机变量X 的分布列如下表所示，X 的期望EX=1.5，则DX 的值等于 。
X 0 1 2 3 P0．1ab0.2（命题意图：考查期望、方差的计算） 15．【原创】6(1)(1)x x +-展开式中3x 项系数为 ．(命题意图：考查二项式定理）16．若函数|1|log )(+=x t x f 在区间(-2，-1)上恒有,0)(>x f ，则关于t 的不等式)1()18(f f t >-的解集为____________(命题意图：考查对数函数、指数函数、不等式)αlODCB A（第10题）俯视图17．【2011徐州高三第三次质量检测】如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角等于__________________。
(命题意图：向量的运算)三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(18)．【根据2011年全国高考山东卷改编】（本题满分14分） 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．（命题意图：考查正弦定理的运用、三角函数的性质）(19)．【2009浙江省高考命题解析改编】（本题满分14分） 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1,,2n n S a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若22nb n a -=，设nn nb c a =求数列{}n c 的前项和n T . （命题意图：考查数列的性质和应用）(20)．【2012浙江省高考样卷20改编】（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =24B,E 、F 分别为PC 、CD 的中点. （Ⅰ）试证：CD ⊥平面BEF;（Ⅱ）设PA ＝k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于︒30,求k 的取值范围.（命题意图：考查立体几何中的位置关系、空间角的计算）(21)．【2011届宁波十校联考改编】（本题满分15分）已知：圆221x y +=过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，与椭圆有且仅有两个公（第20题）（第17题）共点：直线y kx m =+与圆221x y +=相切 ，与椭圆22221x y a b+=相交于A ，B 两点记23,.34OA OB λλ=⋅≤≤且（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求k 的取值范围；（Ⅲ）求OAB ∆的面积S 的取值范围.（命题意图：考查求曲线的轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系）(22)．【2009年浙江省高卷22题改编】（本题满分15分） 已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,)xf x a x xg x xe a e -=---=∈R 为自然对数的底数（I ）当1,()a f x =时求的单调区间；（II ）若函数1()(0,),2f x a 在上无零点求的最小值；（III ）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得 0()(),i f x g x a =成立求的取值范围。
（命题意图：考查函数、导数、不等式的应用及分类讨论问题。
）2013年高考模拟试卷 数学（理科）六参考答案及评分标准一、选择题: 每小题5分，共50分．(1)C (2)A (3)B (4 )A (5) D (6) B (7)B (8)C (9) C (10) A 二、二、填空题：每小题4分，满分28分。
(11).257. (12).-3 (13).3 (14) 0.85 (15) .16 (16) (0,31) (17) 3π 三、本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． (18)．（本题满分14分）（Ⅰ）由正弦定理，可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，将上式代入已知的cos B cos C ＝－b2a ＋c，得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C ，…………………………（3分） 即2sin Acos B ＋sin Ccos B ＋cos Csin B ＝0， 即2sin Acos B ＋s in(B ＋C)＝0. A B C π++=，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，故2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为sin A ≠0，故cos B ＝－12，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝23π. …………………………………… （7分）方法二 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c，得a 2＋c 2－b 22ac ×2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，因为B 为三角形内角，所以B ＝23π.（Ⅱ）将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 的变形式：b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B . ………………（9分）所以13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，即得ac ＝3， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝343.……………………（14分）. (19)．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知0,212>+=n n n a S a 当1n =时，21212111=∴+=a a a当212,212211-=-=≥--n n n n a S a S n 时，两式相减得122--=n n n a a a （2n ≥）整理得：21=-n na a （2n ≥） ………………………………………………4分 ∴数列{}n a 是21为首项，2为公比的等比数列. 211122212---=⨯=⋅=n n n n a a ……………………………………6分 （Ⅱ）42222--==n b n na nb n 24-=∴ ………………………………7分24216822n n n n n b n n c a ---=== nn n nn T 28162824...282028132-+-++-++=- …… ① 13228162824...202821+-+-+++=n n n n n T …… ② ①－②得1322816)21...2121(8421+--+++-=n n n nT ……………9分nn n n n n nn 242816)211(442816211)211(218411112=----=----⋅-=+-+-…12分nn nT 28=∴ ……14分（第20题）1图(20)．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD ⊥BF . 又PA ⊥底面ABCD,故PA ⊥CD ，而CD ⊥AD ， 从面CD ⊥平面PAD .CD ⊥PD . ………………………………………………3分在△PDC 中，E 、F 分别PC 、CD 的中点，故EF ∥PD ,从而CD ⊥EF ,由此得CD ⊥面BEF . ………………………………………………6分（Ⅱ）连结AC 交BF 于G .易知G 为AC 的中点.连接EG ,则在△PAC 中易知EG ∥PA .又因PA ⊥底面ABCD ,故BC ⊥底面ABCD . 在底面ABCD 中，过C 作GH ⊥BD ,垂足为H ,连接EH . 由线面垂直知EH ⊥BD .从而∠EHG 为二面角E -BD -C 的平面角. ………8分设AB=a ,则在△PAC 中，有 BG =21PA =21ka . 以下计算GH ，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD . 因S △CBD =21BD ·GH=21GB ·OF. 故GH =BDDFGB •.在△ABD 中，因为AB ＝a,AD =2A ,得BD =5a 而GB =21FB =21AD -a.DF-AB ,从而得 GH =BD DFGB •= aa a 5•＝.55a 因此tan EHG=GH EG =.255521k a ka= 由k ＞0知EHG ∠是锐角，故要使EHG ∠＞︒30，必须k 25＞tan ︒30=,33 解之得，k 的取值范围为k ＞.15152………………………………………………14分 （第20题）2图解法二：（Ⅰ）如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a ,则易知点A,B,C,D,F 的坐标分别为 A (0,0,0),B (a ,0,0),C (2a ,2a ,0),D (0,2a ,0), F (a ,2a ,0).从而DC =(2a ,0,0), BF =(0,2a ,0),DC ·BF =0,故DC ⊥BF .设PA =b ,则P (0,0,b ),而E 为PC 中点.故 E ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,b a a .从而BE =⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,0b a . DC ·BE =0,故DC ⊥BE .由此得CD ⊥面BEF .（Ⅱ）设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH ⊥BD 垂足为H,知EH ⊥BD. 从而∠EHG 为二面角E-BD-C 的平面角. 由PA ＝k ·AB 得P(0,0,ka),E ⎪⎭⎫⎝⎛2,,ka a a ,G(a,a,0). 设H(x,y,0)，则GH =(x-a,y-a,0), BD =(-a,2a,0), 由GH ·BD =0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①又因BH =(x,a,y,0),且BH 与BD 的方向相同，故a a x -＝ay2，即 2x+y=2a ② 由①②解得x =53a,y=54a,从而GH ＝⎪⎭⎫⎝⎛--0,51,52a a ，｜GH ｜＝55a.tan EHG =GHEC=a Ka552=k 25. 由k ＞0知，EHC 是锐角，由∠EHC ＞,30︒得tanEHG ＞tan ,30︒即k 25＞.33 故k 的取值范围为k ＞15152 （第20题）3图(21)．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）由题意知2c=2,c=1因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a=2所求椭圆方程为1222=+y x ………………………………………………4分 （Ⅱ）因为直线l:y=kx+m 与圆122=+y x 相切 所以原点O 到直线l 的距离21||k m +＝1,即：m 122+=k ……………………………6分又由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x mkx y ，（221k +）022422=-++m kmx x设A （11,y x ），B （22,y x ），则22212212122,214km x x k km x x +-=+-=+………8分 =•=OB OA λ2212122121)()1(m x x km x x k y y x x ++++=+＝22211k k ++，由4332≤≤λ，故1212≤≤k ，即]1,22[]22,1[⋃--的范围为k ………10分（III ）]4))[(1()()(||2122122212212x x x x k y y x x AB -++=-+-= ＝22)12(22+-k ，由1212≤≤k ，得：34||26≤≤AB ………14分 ||21||21AB d AB S ==，所以：3246≤≤S ………15分 (22)．（本小题满分15分）解：（I ）当21,()12ln ,()1,a f x x x f x x'==--=-时则 …………1分 由()0,2;f x x '>>得由()0,0 2.f x x '<<<得…………3分故(][)()0,2,2,.f x +∞的单调减区间为单调增区间为 …………4分 （II ）因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221xx a x ∈>--恒成立。