上海市闵行区2015届高三下学期质量调研考试(二模)数学理试题
(推荐)上海市闵行区高三下学期质量调研考试数学理含答案
上海市闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意： 编辑：刘彦利 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若2ia bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b += . 2．A 、B 是两个随机事件，()0.34P A =，()0.32P B =，()0.31P AB =，则()P A B = .3．方程1111900193xx=-的解为 . 4．6(21)x +展开式中2x 的系数为 .5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：）.6．已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4π，球心 O 的体积等于 . 7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： . 8．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ， 则k = .9．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足40510=-S S ， 那么 =8a .ABCD EF10．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==ty tx 2（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+，则圆C 的圆心到直线l 的距离是 .11．定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ .12．已知5是方程()f x x k +=（k 是实常数）的一个根，1()fx -是()f x 的反函数，则方程1()f x x k -+=必有一根是 .13．函数()x bf x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分非必要条件是 . 14．对于自然数n (2)n ≥的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：23423417251372,2,2,,33,39,327,35951129⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩231355,579⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩仿此，3k *(,2)k k ∈≥N 的分解中的最大数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是 [答]（ ）(A) AB AC ⋅.(B) AB AD ⋅. (C) AB AE ⋅. (D) AB AF ⋅.16．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 [答]（ ）(A),63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (C) ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (D) 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 17．数列{}n a 中，已知12a =-，21a =-，31a =，若对任意正整数n ，有321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，且1321≠+++n n n a a a ，则该数列的前2010 项和2010S = [答]（ ）(A) 2010. (B) 2011-. (C) 2010-. (D) 2008-.18．设点()y x P ,是曲线11692522=+y x 上的点，又点)12,0(),12,0(21F F -，下列结论正确的是 [答]（ ） (A) 2621=+PF PF . (B) 2621<+PF PF . (C) 2621≤+PF PF . (D) 2621>+PF PF .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图,在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M N 、分别为PC PB 、的中点. （1）求证：AM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.A BC DN MP21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(1)n -米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“⊗”：21212()x x x x ⊗=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义()d AB =(1)若0x ≥，求动点(,P x 的轨迹C ； (2)已知直线11:12l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，若，试求a 的值；(3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围．23.（本题满分18分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()31122log ,(,),(,)1f x M x y N x y x =-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+（O 为坐标原点）. （1）求证：12y y +为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，，求1149lim 49n n n n S S S S n ++→∞-+的值； （3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29.二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x xx x f cos 2cos21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x -= （8分） （2）⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分） 文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分） 故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分） 所以AM PB ⊥. （7分） （2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥， 故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分） 设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-,设BD 与PB 夹角为α， 则1sin cos 28BD PB BD PBθα⋅-====⋅， （12分） 又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分） 解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥平面ADMN，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分）在Rt ABD ∆中，BD==， 在Rt PAB ∆中，PB ==12BN PB == 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， （12分） 故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分） 第1225米位于第25区， （4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩， （13分）解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设y ,则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y ≥0可得P (x)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 （4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分）=====（8分） 解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分） (3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P QOT OT c c PP QQ x x +=+．由28y x x my c⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==． （14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立 ∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）． （16分）（文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=． （2分） 因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P 则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y x x x =-<<≠-）（4分） （2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =． 此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分） 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h =（8分）122ABC S AB h =⋅=△． （10分） （3）由（1）得1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=． （12分）又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =（14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． （16分） 23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON =+，所以P 是MN 的中点，有 121x x +=,12123312log log 11y y x x ∴+=+--12312123log 11()x x x x x x ==-++（4分） （2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+= 121()()()n n S f f f n nn -=++① 121()()()n n S f f f n n n-=+++ ②①+②得12n n S -=（6分） 111149231lim lim 49233n n n n S S n n S S n n n n ++--→∞→∞--==-++ （10分）（3）当2n ≥时， 111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⋅又当1n =时，11,6a =所以1112n a n n =-++ （12分） 故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++ （14分） 1(1)n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，即211(2)n n T nm S n +>=++恒成立（16分）又2114(2)84n n n n=≤+++，所以m 的取值范围是1(,)8+∞ （18分） （文）（1）122nn n a a +=+，11122n nn n a a +-=+， （2分） 11n n b b +=+， 故{}n b 为等差数列，11b =，n b n =. （4分）（2）由（1）可得12n n a n -=（6分） 12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得nn n n n n n S 212222221210⋅--=⋅-+++=-- ，即12)1(+-=nn n S （8分） 11(1)211lim lim 222n n n n n n S n n n ++→∞→∞-+∴==⋅⋅ （10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n n n n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++单调递增，即123113n d d d d d ++++≥=， （14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分） ∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾.∴满足条件的实数t 不存在. （18分）（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
上海市闵行区2015学年第二学期高三质量调研考试综述
闵行区2015学年第二学期高三质量调研考试物 理 试 卷考生注意：1．第I 卷（1—20题）由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题纸上。
考生应将代表正确答案的小方格用2B 铅笔涂黑。
注意试题题号和答题纸上编号一一对应，不能错位。
答案涂写在试卷上一律不给分。
2．第II 卷（21—33题）由人工网上阅卷。
考生应用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔将第II 卷所有试题的答案写在答题纸上，（作图可用铅笔）。
3．第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。
有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
4．全卷共10页。
满分150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（共56分）一．单项选择题（共16分，每小题2分。
每小题只有一个正确选项。
答案涂写在答题纸上。
） 1．人类关于物质结构的认识，下列说法中正确的是 （A ）电子的发现使人们认识到原子具有核式结构 （B ）天然放射现象说明原子核是有结构的（C ）α粒子散射实验的结果表明原子核是由质子和中子构成 （D ）密立根油滴实验表明电子是有结构的2．如图所示的光电管电路中，用紫光照射光电管，灵敏电流计G 指针未发生偏转，为使指针发生偏转，可以 （A ）改用紫外线照射 （B ）增加光照射时间 （C ）改用红外线照射（D ）增大照射光强度3．下列核反应方程中，属于α衰变的是 （A ）1441717281N He O H +→+ （B ）238234492902U Th He →+（C ）23411120H H He n +→+ （D ）234234090911Th Pa e -→+4．C 14鉴年法是利用C 14衰变规律对古生物进行年代测定的方法。
若以横坐标表示时间t ，纵坐标表示任意时刻C 14的质量m ，m 0为t ＝0时C 14的质量。
下面图像中能正确反映C 14衰变规律的是G（A ）（B ）（C ）（D ）t5．奥斯特深信电和磁有某种联系。
上海市十三校2015届高三数学第二次联考试题 理(含解析)
2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=0．【考点】：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：根据幂函数的性质，可得m2+2m﹣3＜0，解不等式求得自然数解，即可得到m=0．【解析】：解：由幂函数y=xm2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，则m2+2m﹣3＜0，解得﹣3＜m＜1．由于m∈N，则m=0．故答案为：0．【点评】：本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是（0，1]．【考点】：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】：计算题．【分析】：令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解析】：解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]【点评】：求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．【考点】：余弦定理的应用．【专题】：计算题．【分析】：先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．【解析】：解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，∴•BC•ACsinC=12∴sinC=∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×=故答案为：【点评】：本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用．属基础题．4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．【考点】：复数相等的充要条件．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把n代入方程，利用复数相等的条件，求出m，n，即可．【解析】：解：关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，可得n2﹣（2+i）n+1+mi=0所以，所以m=n=1，故答案为：1．【点评】：本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．【解析】：解：①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案为：4或8．【点评】：本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c 的关系式，及相关的运算问题．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【解析】：解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=2π，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴此圆锥的表面积=π×（1）2+π×1×3=4π．故答案为：4π．【点评】：本题考查扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法．7．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为﹣3≤a≤9．【考点】：函数的零点．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，可得a=﹣x在x∈[1，5]上有解，利用a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，即可求出实数a的取值范围．【解析】：解：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，所以a=﹣x在x∈[1，5]上有解，因为a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，所以﹣3≤a≤9，故答案为：﹣3≤a≤9．【点评】：本题主要考查方程的根与函数之间的关系，考查由单调性求函数的值域，比较基础．8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：推理和证明．【分析】：根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解析】：解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．【点评】：本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．[可以原文理解为：三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三．二十三用五去除余数又恰好是三]9．（4分）（2015•上海二模）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开并利用即可得出直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解析】：解：由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开为，化为x+y﹣1=0，∴极点O到这条直线的距离d==．故答案为：．【点评】：本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（4分）（2015•上海二模）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为3．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，由Eξ=，得×，由此能求出口袋中白球的个数．【解析】：解：设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∵Eξ=，∴×，解得x=3．∴口袋中白球的个数为3．故答案为：3．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．【考点】：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的数量积公式分别判断x，y，z的符号，得到大小关系．【解析】：解：由题意，x=•=AB×ACcos∠BAC＞0，y=•=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD，又∠BAD＞∠BAC所以cos∠BAD＜cos∠BAC，所以x＞y＞0z=•=AB×AEcos∠BAE＜0，所以x＞y＞z．故答案为：x＞y＞z．【点评】：本题考查了向量的数量积的公式；属于基础题．12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．【考点】：映射．【专题】：函数的性质及应用；集合．【分析】：分别求出sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）即可．【解析】：解：∵函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，∴它的对应法则为f：x→sin x，f（x）的值域为{0，﹣，1}，sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=这样的函数共有：（C+C）（）（）=31×15×3=1395故答案为：1395【点评】：本题考查了映射，函数的概念，排列组合的知识，难度不大，但是综合性较强．13．（4分）（2015•上海二模）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=0．【考点】：二项式定理的应用．【专题】：二项式定理．【分析】：根据等式，确定a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，即可得出结论．【解析】：解：根据（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，可得a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，所以a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0，故答案为：0．【点评】：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；转化思想；推理和证明．【分析】：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．可得|AM|+|BN|=+，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和，即可得出结论．【解析】：解：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．∴|AM|+|BN|=+设2a=x，则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x，0）与（﹣5，）和（﹣1，）的距离和，∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣5，）和（﹣1，﹣）的距离，即2．故答案为：2．【点评】：本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：集合；简易逻辑．【分析】：可举个例子来判断：比如A={1}，B={1，2}，α：x＞0，β：x＜3，容易说明此时命题α是命题β的既非充分又非必要条件．【解析】：解：命题α是命题β的既非充分又非必要条件；比如A={1}，α：x＞0；B={1，2}，β：x＜3；显然α成立得不到β成立，β成立得不到α成立；∴此时，α是β的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】：考查真子集的概念，以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法．16．（5分）（2015•上海二模）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D． a 不能被5 整除【考点】：反证法．【专题】：推理和证明．【分析】：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解析】：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．【点评】：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．17．（5分）（2015•上海二模）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】：基本不等式．【专题】：三角函数的求值．【分析】：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．【解析】：解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，∴x﹣y．故选：C．【点评】：本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）（2015•上海模拟）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，] B．[2﹣2，2+2] C．[，] D．[3﹣2，3+2]【考点】：点、线、面间的距离计算．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，最小距离为AD到球心的距离﹣半径．【解析】：解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2．最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）﹣半径=2+2．∴点O到直线AD的距离的取值范围是：[2﹣2，2+2]．故选：B．【点评】：本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q ⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP 两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．【解析】：（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B1C1=，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q、QR、QP两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{bn}满足b1=1，且bn+1=16bn（n∈N），设数列{}的前n项和是Tn．（1）比较Tn+12与Tn•Tn+2的大小；（2）若数列{an} 的前n项和Sn=2n2+2n，数列{cn}=an﹣logdbn（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{cn}是递增数列．【考点】：数列递推式；数列的函数特性．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由数列递推式可得数列{bn}为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得Tn，再由作差法证明Tn+12＞Tn•Tn+2；（2）由Sn=2n2+2n求出首项，进一步得到n≥2时的通项公式，再把数列{an}，{bn}的通项公式代入cn=an﹣logdbn=4n+（4﹣4n）logd2=（4﹣4logd2）n+4logd2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围．【解析】：解：（1）由bn+1=16bn，得数列{bn}为公比是16的等比数列，又b1=1，∴，因此，则=，∵Tn+12﹣Tn•Tn+2 =．于是Tn+12＞Tn•Tn+2；（2）由Sn=2n2+2n，当n=1时求得a1=S1=4；当n≥2时，=4n．a1=4满足上式，∴an=4n．可得cn=an﹣logdbn=4n+（4﹣4n）logd2=（4﹣4logd2）n+4logd2，要使数列{cn}是递增数列，则4﹣4logd2＞0，即logd2＜1．当0＜d＜1时，有logd2＜0恒成立，当d＞1时，有d＞2．综上，d∈（0，1）∪（2，+∞）．【点评】：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题．21．（14分）（2015•上海二模）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．【考点】：两角和与差的正弦函数；归纳推理．【专题】：综合题；三角函数的图像与性质；推理和证明．【分析】：（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，则振幅是=，由=1，即可求得φ1﹣φ1的值．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得cosφ1=﹣，可取φ2=（或φ2=﹣等），证明f1（x）+f2（x）+f3（x）=0．（3）由题意可得f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，从而可求fn（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【解析】：解：（1）f1（x）+f2（x）=sin（x+φ1）+sin（x+φ2）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，振幅是=则=1，即cos（φ1﹣φ2）=﹣，所以φ1﹣φ2=2kπ±，k∈Z．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=Asinx+Asin（x+φ1）+Asin（x+φ2）=Asinx（1+cosφ1+cosφ2）+Acosx（sinφ1+sinφ2）=0恒成立，则1+cosφ1+cosφ2=0且sinφ1+sinφ2=0，即有：cosφ2=﹣cosφ1﹣1且sinφ2=﹣sinφ1，消去φ2可解得cosφ1=﹣，若取φ1=，可取φ2=（或φ2=﹣等），此时，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+）（或f3（x）=Asin（x﹣）等），则：f1（x）+f2（x）+f3（x）=A[sinx+（sinx+cosx）+（﹣sinx﹣cosx）]=0，所以是平波．（3）f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，fn（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题．22．（16分）（2015•上海二模）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b 的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．【考点】：函数的最值及其几何意义；函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：（1）求出a=0的解析式，再由一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f （x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1），运用函数的定义即可得到结论；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0，即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．【解析】：解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x﹣2，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，则f（）≥0且f（1）≥0，即b﹣≥0且2b﹣1≥0，解得b≥；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y1）（y1≠﹣3）和B（﹣1，y2）（y2≠﹣1）；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．令g（t）=，t∈[3，4]设u=t﹣2，u∈[1，2]，则g（t）=f（u）==∴u=1，即t=3时，g（t）取最小值，∴t=3时，a2+b2的最小值为．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．23．（18分）（2015•上海二模）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线г：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上г，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线г与x轴的交点是M、N，抛物线г′：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线г′交于点P，直线NG 与曲线г′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线г与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线г在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Yi（i=1，2，…，255），将Yi中的所有元素相加（若i Y 中只有一个元素，则其是其自身）得到255 个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n 的值，使得y1n+y2n+…+y255n 是与变数a及变数xi（i=1，2，…8）均无关的常数．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，由于f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出面积S．（2）：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．分别与抛物线方程联立可得P，Q．直线PQ的方程为：，令x=0，可得y=3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=0．恒表示平行线x﹣y=，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Yi=1，2，…，255），取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Yp，Yq），Yp∪Yq=X，Yp∩Yq=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0．可以利用扇形归纳法证明：对于Yp的元素和yp与Yq的元素和yq，当n为奇数时，=0．即可得出．【解析】：解：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，∴f（x，y）=0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S=4．（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．联立，解得P，同理可得Q．∴直线PQ的方程为：令x=0，则y===3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1=0．恒表示平行线x﹣y=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，则=，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Yi，取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Yp，Yq），Yp∪Yq=X，Yp∩Yq=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0．以下证明：对于Yp的元素和yp与Yq的元素和yq，当n为奇数时，=0．先证明：n为奇数时，x+y能够整除xn+yn，用数学归纳法证明．1°当n=1时，成立；2°假设当n=k（奇数）时，x+y能够整除xk+yk，则当n=k+2时，xk+2+yk+2=xk+2﹣xky2+xky2+yk+2=xk（x2﹣y2）+y2（xk+yk），因此上式可被x+y整除．由1°，2°可知：n为奇数时，x+y能够整除xn+yn．又∵当n为奇数时，=（yp+yq）M，其中M是关于yp，yq的整式，∵Yp∪Yq=X，Yp∩Yq=∅，∴每一个集合“对”（Yp，Yq）都满足yp+yq=0．则一定有=（x+y）M=0，M∈N*，于是可得y1n+y2n+…+y255n=0是常数．【点评】：本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性、扇形归纳法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2015年上海市闵行区中考数学二模试卷
2015 年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24）1．（4分）（2015•闵行区二模）下列各题中是无理数的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2015•闵行区二模）二次根式a+的有理化因式是（）A．（a+）2B．（a﹣）2C．a﹣D．a+3．（4分）（2015•闵行区二模）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+3=0 B．=﹣1C．= D．=﹣x4．（4分）（2015•闸北区模拟）如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20 人，骑车的学生有12 人，那么下列说法正确的是（）A.九（1）班外出的学生共有42 人B.九（1）班外出步行的学生有8 人C.在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D.如果该中学九年级外出的学生共有500 人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140 人5．（4分）（2015•闵行区二模）下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形6．（4分）（2015•闵行区二模）下列命题中假命题是（）A.平分弦的半径垂直于弦B.垂直平分弦的直线必经过圆心C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）7．（4分）（2015•闵行区二模）计算：= ．8．（4分）（2015•闵行区二模）计算：a3•a﹣1= ．9．（4分）（2015•闵行区二模）在实数范围内分解因式：x3﹣4x2= ．10．（4分）（2015•闵行区二模）不等式组的解集是．11．（4分）（2015•闵行区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．12．（4分）（2015•闵行区二模）将直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式是．13．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，设=，= ，那么（用，的式子表示）14．（4分）（2015•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r 为半径的圆与直线AC 相切，那么r= ．15．（4分）（2015•闵行区二模）从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率是．16．（4分）（2015•闵行区二模）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200 元，后来又有2 位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30 元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x 位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为．17．（4分）（2015•闵行区二模）小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度A=h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC= 米（用α的三角比和h 的式子表示）18．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点D在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB 的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF= ．三．解答题19．（10分）（2015•闵行区二模）计算：+（﹣）+．20．（10分）（2015•闵行区二模）解方程：．21．（10分）（2015•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=2，sin∠B=，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DE的长；（2）∠CAE 的正切值．22．（10分）（2015•闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360 千米的B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y （升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）01234余油量y（升）150 120 90 60 30（1）（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4 小时后到达C 处，C 的前方12 千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回会D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10 升）23．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E 在边AB 上，且DE⊥CD，DF 平分∠EDC，交BC 于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．24．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（﹣3．，0），点D在线段AB 上，AD=AC．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求的值．25．（14分）（2015•闵行区二模）如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N 分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN，点E、F 分别在线段AN、DN 上，且ME∥DN，MF∥AN，联结EF．（1）如图2，如果EF∥BC，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的，求AM 的长；（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．2015 年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24）1．（4分）（2015•闵行区二模）下列各题中是无理数的是（）A．B．C．D．【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：=3，=2，是无理数．故选B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．（4分）（2015•闵行区二模）二次根式a+的有理化因式是（）A．（a+）2B．（a﹣）2C．a﹣D．a+【考点】分母有理化．【分析】根据平方差公式，可分母有理化．【解答】解：（a+）（a﹣）=a2﹣b，故选：C．【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键．3．（4分）（2015•闵行区二模）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+3=0 B．=﹣1C．= D．=﹣x【考点】无理方程；分式方程的解．【分析】根据非负数的性质判断A 和B 选项；解分式方程判断C 选项；两边平方，解无理方程判断D 选项．【解答】解：A、x4+3=0，方程无解，此选项错误；B、=﹣1，方程无解，此选项错误；C、= ，解得x=1，是方程的增根，此选项错误；D、=﹣x，解得x= ，此选项正确；故选D．【点评】本题主要考查了无理方程与分式方程的知识，解答本题的关键是掌握解答无理方程的步骤，此题比较简单．4．（4分）（2015•闸北区模拟）如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20 人，骑车的学生有12 人，那么下列说法正确的是（）A.九（1）班外出的学生共有42 人B.九（1）班外出步行的学生有8 人C.在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°D.如果该中学九年级外出的学生共有500 人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140 人【考点】扇形统计图．【专题】数形结合．【分析】先求出九（1）班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，最后即可作出判断．【解答】解：由扇形图知乘车的人数是20 人，占总人数的50%，所以九（1）班有20÷50%=40 人，所以骑车的占12÷40=30%，步行人数=40﹣12﹣20=8 人，所占的圆心角度数为360°×20%=72°，如果该中学九年级外出的学生共有500 人，那么估计全年级外出骑车的学生约有150 人．故选：B．【点评】本题主要考查扇形统计图及用样本估计总体等知识．统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体的知识．5．（4分）（2015•闵行区二模）下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．6．（4分）（2015•闵行区二模）下列命题中假命题是（）A.平分弦的半径垂直于弦B.垂直平分弦的直线必经过圆心C.垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【考点】命题与定理．【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．【解答】解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A 为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B 选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C 选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D 选项为真命题．故选A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）7．（4分）（2015•闵行区二模）计算：= 2．【考点】算术平方根．【专题】计算题．【分析】根据算术平方根的定义，如果一个正数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，解答出即可；【解答】解：根据算术平方根的定义，得，= =2．故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．8．（4分）（2015•闵行区二模）计算：a3•a﹣1=a2．【考点】负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：原式=a3+（﹣1）=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用同底数幂的乘法计算是解题关键．9．（4分）（2015•闵行区二模）在实数范围内分解因式：x3﹣4x2=x2（x﹣4）．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式=x2（x﹣4）．故答案为：x2（x﹣4）．【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（4分）（2015•闵行区二模）不等式组的解集是≤x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥，∴不等式组的解集为≤x＜2，故答案为：≤x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．11．（4分）（2015•闵行区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x 的方程x2﹣2x﹣m=0 没有实数根，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1．【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0 是解此题的关键．12．（4分）（2015•闵行区二模）将直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式是y=x﹣1 ．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据平移k 值不变及上移加，下移减可得出答案．【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y= x+1﹣2，即y= x﹣1．故答案为：y= x﹣1．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．13．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，设=，= ，那么+ （用，的式子表示）【考点】*平面向量．【分析】由AB∥CD，且AB=3CD，可求得，然后利用三角形法则求得，再由AB∥CD，证得△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵AB∥CD，且AB=3CD，∴= = ，∴= + = + ，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∴= = ×（+ ）= +．故答案为：+ ．【点评】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用．14．（4分）（2015•闵行区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r 为半径的圆与直线AC 相切，那么r= ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求出AB 的长，⊙C 与AB 相切，则圆心C 到AB 的距离就是半径的长，根据面积公式求出点C 到AB 的距离即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，设圆心C 到AB 的距离为d，则×3×4= ×5×d，d= ，根据⊙C 与AB 相切，则圆心C 到AB 的距离就是半径的长，r=，故答案为：．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成．15．（4分）（2015•闵行区二模）从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出选中小敏和小杰的情况数，即可求出所求的概率．1231﹣﹣﹣（1，2）（1，3）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）3（3，1）（1，3）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6 种，其中选中小敏和小杰情况有2 种，则P== ，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（4分）（2015•闵行区二模）某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200 元，后来又有2 位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30 元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x 位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为﹣=30 ．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设共有x 位同学准备去周庄旅游，则后来有（x+2）位同学准备去周庄旅游，根据题意可得，加入2 名同学之后每人可少分担30 元，列方程即可．【解答】解：设共有x 位同学准备去周庄旅游，则后来有（x+2）位同学准备去周庄旅游，由题意得，﹣=30．故答案为：﹣=30．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．17．（4分）（2015•闵行区二模）小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度A=h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC= 米（用α的三角比和h 的式子表示）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可得，∠ACB=α，AB=h，然后利用三角函数求出BC 的长度．【解答】解：在Rt△ABC 中，∵∠ACB=α，AB=h，∴BC=．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．18．（4分）（2015•闵行区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点D在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB 的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF= ﹣1 ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，得到∠CAB=∠ABC=45°，由△ADC′是将△ABC 沿直线AD 翻折得到的，求出∠CAD=∠C′AD，于是得到∠ABF=135°，求得∠F=30°，根据直角三角形的性质即可得到结果．【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵△ADC′是将△ABC 沿直线AD 翻折得到的，∴∠CAD=∠C′AD，∵∠DAB=∠BAF，∴∠BAD= ∠DAC= ∠BAC=15°，∵∠ABF=135°，∴∠F=30°，∴CF= = ，∴BF=CF﹣BC= ﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解题的关键．三．解答题19．（10分）（2015•闵行区二模）计算：+（﹣）+．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．【解答】解：原式= +1+3﹣3 +=4﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．20．（10分）（2015•闵行区二模）解方程：．【考点】高次方程．【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．【解答】解：，由②得，x﹣y=0，x﹣2y=0，把这两个方程与①组成方程组得，，，解得，．故方程组的解为：，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，解答时，用代入法比较简单，如果其中的二元二次方程可以因式分解化为两个二元一次方程，与另一个方程组成两个二元一次方程组，解答更简单．21．（10分）（2015•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=2，sin∠B=，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE=BC．联结AE，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DE的长；（2）∠CAE 的正切值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形性质求出∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出BD 和CD，即可得出答案；（2）过C 作CM⊥AE 于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE 中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2，求出AM，求出CM，即可求出答案．【解答】解：（1）如图，连接AD，∵AB=AC，D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AB=AC=2 ，sin∠B= ，∴= ，∴AD=4，由勾股定理得：BD=2，∴DC=BD=2，BC=4，∵CE=BC，∴CE=4，∴DE=2+4=6；（2）过C 作CM⊥AE 于M，则∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE 中，由勾股定理得；AE== =2 ，∵由勾股定理得；CM2=AC2﹣AM2=CE2﹣EM2，∴（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2，解得：AM= ，CM= = = ，∴∠CAE 的正切值是= = ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定的难度．22．（10分）（2015•闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360 千米的B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y行驶时间x（时）01234余油量y（升）150 120 90 60 30（1）如果y 关于x 的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4 小时后到达C 处，C 的前方12 千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回会D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10 升）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设x 与y 之间的函数关系式为y=kx+b，将点（0，150）和（1，120）代入求k 和b 值；（2）利用路程关系建立在D 处加油的一元一次不等式，求在D 处至少加油量．【解答】解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系，设y=kx+b，（k≠0）则，解得：，∴y=﹣30x+150．（2）设在 D 处至少加W 升油，根据题意得：150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10 （3 分）即：150﹣120﹣6+W≥118解得W≥94，答：D 处至少加94 升油，才能使货车到达灾区B 地卸物后能顺利返回D 处加油．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是用待定系数法求函数解析式，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．23．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E 在边AB 上，且DE⊥CD，DF 平分∠EDC，交BC 于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）过D 作DG⊥BC 于G，构造成矩形，然后通过三角形全等得到结论．（2）根据等腰三角形的性质三线合一，证得线段的垂直平分线，由等边对等角得到∠FEC=∠FCE，通过三角形相似得到∠BEF=∠FCE，于是得出∠BEF=∠CEF．【解答】（1）证明：过D 作DG⊥BC 于G，∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∴四边形ABGD 是矩形，∴∠ADG=90°，DG=AB，∵∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△AED 与△GCD 中，，∴△AED≌△GCD，∴DE=CD；（2）由（1）知：DE=CD，∵DF 平分∠EDC，∴DF⊥CE，∴EF=CF，∴∠FEC=∠FCE，∵BE2=BF•BC，∴= ，∵∠B=∠B，∴△EFB∽△CEB，∴∠BEF=∠FCE，∴∠BEF=∠CEF．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，辅助线的作法是解题的关键．24．（12分）（2015•闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点A的坐标为（﹣3．，0），点D在线段AB 上，AD=AC．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A 的坐标代入函数解析式，利用方程求得a 的值；然后利用抛物线解析式来求对称轴方程；（2）根据抛物线解析式可以求得点B、C 的坐标，结合已知条件“AD=AC”可以得到点D 的坐标，由点的坐标与图形的性质来求圆C 的半径；（3）利用等腰△ACD、线段垂直平分线的性质得到∠AMC=∠BND，然后由三角形内角和推知∠180°﹣∠ACM﹣∠AMC=180°﹣∠B﹣∠BND，则∠A=∠BDN，易得DN∥AC，所以，根据平行线分线段成比例求得= = ．【解答】解：（1）把（﹣3，0）代入y=ax2﹣2ax﹣4得：9a+6a﹣4=0，解得：a= ，则抛物线的解析式是：y= x2﹣x﹣4，对称轴是x=﹣=1，即x=1；（2）在y=x2﹣x﹣4 中，令y=0，得x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3 或5．则B的坐标是（5，0）．在y=x2﹣x﹣4 中令x=0，解得：y=﹣4，则C的坐标是（0，﹣4）．AC= = =5，则D的坐标是（2，0），∴CD=2 ，BD=3．当两圆外切时，R C+BD=CD，R C=2 ﹣3．则圆C 的半径是：2﹣3；（3）∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD，又∵线段MN 被直线CD 垂直平分，∴∠DCB=∠DCM，∴∠ACM=∠B．又∵∠DNC=∠DMC，∴∠AMC=∠BND，∴∠180°﹣∠ACM﹣∠AMC=180°﹣∠B﹣∠BND，∴∠A=∠BDN，∴DN∥AC，∴= = ．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形判定和性质、点的坐标与图形的性质以及线段垂直平分线的性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（3）中弄清DN∥AC是解题的关键．25．（14分）（2015•闵行区二模）如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N 分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN，点E、F 分别在线段AN、DN 上，且ME∥DN，MF∥AN，联结EF．（1）如图2，如果EF∥BC，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的，求AM 的长；（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到EF 是△AND 的中位线，利用三角形中位线定理进行解答即可；（2）设AM=x．利用（1）中相似三角形的性质得到= = ，= = ，利用图中相关图形的面积间的数量关系和已知条件列出关于x 的方程[1﹣﹣]S△AND= S△AND．由此求得x 的值；（3）如答图2，过点A 作AP⊥BC 于P，过点D 作DQ⊥BC 于Q．需要分类讨论：当△ABN∽△DCN、△ABN∽△NCD 两种情况，利用相似三角形的对应边成比例求得BN=CN=5，然后利用勾股定理计算AM 的长度．【解答】解：（1）如答图1，∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD，又∵ME∥DN，MF∥AN，∴= = = ，∴AE=EN．同理，NF=FD，∴EF 是△AND 的中位线，∴EF= AD=2；（2）设AM=x．则= = ，= = ，∴S=[1﹣﹣]S△AND=四边形MENFS△AND．解得x1=1，x2=3，∴AM 的长度是1 或3；（3）如答图2，过点A 作AP⊥BC 于P，过点D 作DQ⊥BC 于Q，则PQ=AD=4，BP=CQ=3．当△ABN∽△DCN 时，= =1，∴BN=CN=5．∴DN=AN= =5 ．又= = = ，∴△NAD∽△BAN∽△CDN．当△ABN∽△NCD 时，= ，解得BN=CN=5，∴DN=AN= =5 ．综上所述，当△ABN、△AND、△DNC 两两相似时，AN=5．【点评】本题考查了相似综合题．该题综合性比较强，涉及到了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题时，运用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；2300680618；733599；lbz；gsls；wangjc3；sks；zjx111；HJJ；zcx；1286697702；sjzx；王学峰；sdwdmahongye；dbz1018（排名不分先后）菁优网2015 年12 月7 日考点卡片1.算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．记为a．（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．2.无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2 的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2 是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．3.实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x2﹣2 在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解x2﹣2=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）4.负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p 为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．5.分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a﹣b（a+b）（a﹣b）=a﹣ba﹣b．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．6.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7.根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．8.高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2 次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5 次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．9.无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配。
上海市静安、青浦、宝山区2015届高三下学期教学质量检测(二模)数学(理)试题 Word版含答案
静安、青浦、宝山区2015届高三第二学期教学质量检测（二模）数学试卷（理科） 2015.04.（满分150分，考试时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p = ．2．已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ． 3．复数34ii-（i 为虚数单位）的模为 ． 4．函数2y x =的值域为 ． 5．若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，31x 的系数是 ．7．方程)cos (lg )sin 3(lg x x -=的解集为 ．8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为45，则他得分的数学期望是 分． 9．过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 10．在极坐标系中，点P (2，6π11)到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离等于 ． 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．12．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是 ． 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且53427A A B B -=-，则5353a ab b +=+．14．已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（ ） （A ）0AE FC ⋅= （B ）0AE DF ⋅> （C ）FC FD FB =+ （D ）0FD FB ⋅<16.已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ⋅（C ）)(sin )(x f x f ⋅（D ）2)](sin [x f 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.定义：最高次项的系数为1的多项式1110n n n p (x)x a x a x a --=++鬃?+（*∈n N ）的其余系数(0,1,,1)=⋅⋅⋅-i a i n 均是整数，则方程()0=p x 的根叫代数整数． 下列各数不是代数整数的是（ ）三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -的体积；F（2）求二面角111C C A B --的大小．20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数)(),(x g x f 满足关系)()()(α+⋅=x f x f x g ，其中α是常数. （1）若x x x f sin cos )(+=，且2πα=，求)(x g 的解析式，并写出)(x g 的递增区间；（2）设1()22x x f x =+，若)(x g 的最小值为6，求常数α的值．21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某公园有个池塘，其形状为直角ABC ∆，090C ∠=，AB 的长为2百米，BC 的长为1百米．（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(1)，使得EF//AB ，EF ED ⊥，在DEF ∆内喂食，求当DEF ∆的面积取最大值时EF 的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图(2)，建造DEF ∆连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF ∆为正三角形，记FEC α∠=，求DEF ∆边长的最小值及此时α的值．(精确到1米和0.1度)22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．图(2)图(1)A C BC A F E FE A 1A 1在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不 重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列，若{}n a 中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{}n a 是封闭数列. （1）若123a q ==，，判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）证明{}n a 为封闭数列的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1m a q =；（3）记n ∏是数列{}n a 的前n 项之积，2log nn b =∏，若首项为正整数，公比2q =，试问：是否存在这样的封闭数列{}n a ，使1211111lim 9n n b b b →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，若存在，求{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由．1． 4； 2．5； 3．5； 4．[)1,+∞； 5． 2； 6． 126； 7．（文）{|,}6x x k k Z ππ=+∈ 8.（文）13；（理） 5{|2,}6x x k k Z ππ=+∈ （理）12.8；9. （文）1； 10． ；（理）210x y -+= ； 1； 11． 9.6； 12. 4；13. （文）2-； 14. 916-.（理）45-二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. A ；16. B ； 17． D ；18. A .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分.19．解：（文科）(1) 因为三棱柱的体积为16AA =，从而2ABC S ∆== 因此BC =………………………2分该三棱柱的表面积为2+ABC S S S ∆=⋅=全侧………4分(2)由（1）可知BC =因为1CC //1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………8分在Rt 1BC C ∆中，1tan 63BC C ∠==， 所以1BC C ∠=6π.异面直线1BC 与1AA 所成的角6π……………………………………………12分 解：（理科）(1)因为AB ⊥BC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以11AB BCC B ⊥，从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高. ……………………………………2分 四棱锥111A BCC B -的体积为1822233V =⨯⨯⨯=…………………………4分 （2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2），B 1（0，0，2），C 1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴BM C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x n =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A …8分,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x A x B A令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴， …………………………………………9分 设法向量与BM 的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．||1cos |cos |,.23||||n BM n BM πθφθ⋅====⋅解得111.3B AC C π∴--二面角的大小为………………………………………………12分20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.20.解：（1） x x x f sin cos )(+=，2πα=∴x x x f sin cos )(-=+α；∴x x g 2cos )(=………………………………………………………………4分递增区间为1,2k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k Z ∈）（注：开区间或半开区间均正确） ……………………………………………………………………………6分（2）（文）()()1g x x x α=⋅+≥，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，1x xα≥-………8分令1()h x x x=-，则函数()y h x =在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上递减………………10分所以max 13()()22h x h ==………………………12分因而，当32α≥时，()1g x ≥在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立………………………14分（理） 1111()2222222222x x x xx x x x g x αααα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………8分 ()()22111()2222262222x x g x αααααα=⋅+++≥++=⋅…………………10分解得22α=… ……………………………………………………………12分所以(2log 2α=………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.21.解：(1)设EF x =，则2x CE =，故12xBE =-，所以12x DE ⎫=-⎪⎝⎭，……2分1,(0,2)2DEF x S x x ∆⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，……………………………………………………4分因为211122422DEFx x x x S ∆⎛⎫⎛⎫=-≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当1x =时等号成立， 即()max DEF S ∆=．………………………………………………………6分 (2)在Rt ABC ∆中，030A ∠=，设FEC α∠=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则090EFC α∠=-，000018060(90)30AFD αα∠=---=+，…………………………8分所以000018030(30)120ADF αα∠=--+=- 设CF x =，则AF x =，在ADF ∆中，0sin 30DF =10分 又由于sin sin x EF DF αα==，所以0sin 30DF =11分化简得0.65DF =≥≈百米=65米………………………………13分此时tan ϕ=，040.9ϕ≈,049.1α≈…………………………………………………14分 解法2：设等边三角形边长为EF ED DF y ===，在△EBD 中，60B ∠=，EDB α∠=，…………………………………………8分 由题意可知cos CE y α=，…………………………………………………………9分 则1cos EB y α=-，所以1cos sin 60sin y y αα-=，……………………………………11分即0.65y =≈，………………………………………………13分此时tan ϕ=，040.9ϕ≈,049.1α≈…………………………………………………14分22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.22.解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分（2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………………………………………………………………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………………………………………………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（文）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分 解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y ………………………………… 16分 （3）（理）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>． 解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．………………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分（方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.23.解：（1）{}n a 不是封闭数列，因为123n n a -=⋅，…………………………………… 1分 对任意的,m n N *∈，有243m n n m a a +-⋅=⋅，…………………………………… 2分 若存在p ，使得n m p a a a ⋅=，即132p m n --+=，31log 2p m n --+=，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分 （2）证明：（必要性）任取等比数列的两项(),s t a a s t ≠，若存在k a 使s t k a a a =，则211s t k a q q +--⋅=，解得11k s t a q --+=.故存在1m k s t Z =--+∈，使1m a q =，…… 6分下面证明整数1m ≥-．对1q ≠，若1m <-，则取2p m =-≥，对1,p a a ，存在u a 使1p u a a a =， 即11m p u q q q --⋅=，11u q q --=，所以0u =，矛盾，故存在整数1m ≥-，使1m a q =．…………………………………… 8分 （充分性）若存在整数1m ≥-，使1m a q =，则1n m n a q +-=， 对任意*,s t N ∈，因为(1)11s t m m s t s t m a a q a ++-+-++-==， 所以{}n a 是封闭数列. …………………………………… 10分 （3）由于(n 1)21212n nn n a a a a -∏=⋅⋅⋅⋅=⋅，所以21(n 1)log 2n n b n a -=+，……………11分 因为{}n a 是封闭数列且1a 为正整数,所以，存在整数0m ≥，使12ma =，若11a =，则(1)2n n n b -=，此时11b 不存在．所以12111lim()n n b b b →∞+++没有意义…12分若12a =，则(1)2n n n b +=，所以1211111lim()29n n b b b →∞+++=>，………………… 13分- 11 - 若14a =，则(3)2n n n b +=，于是12(3)n b n n =+， 所以1211111lim()9n n b b b →∞+++=，…………………………………… 16分 若14a >，则(3)2n n n b +>，于是12(3)n b n n <+， 所以1211111lim()9n n b b b →∞+++<，…………………………………… 17分 综上讨论可知：14a =，1*42,()n n a n N -=⋅∈，该数列是封闭数列．……… 18分。
2015年上海高考二模数学闵行区(文)
…………………………………14 分
21．[解](1)由条件得 20
2 p 4 2 p 100 ，所以 y 10 x (1 x 16, x N* ) 2 分
…………………………………6 分
M mx x 10 x 10 ，（ 1 x 16, x N* ）．
x2 y2 1 的两条渐近线的夹角的弧度数为 4 12
4．若 cos
4 ，且 0, ，则 tg 5 2
5
． . ．
5．二项式 (2 x 1) 的展开式中， x 项的系数为
2
n
6．已知等比数列 an 满足 a2 2, a3 1 ，则 lim ( a1 a2 an )
23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 7 分，第(3)小题满 分 7 分． 各项均为正数的数列 bn 的前 n 项和为 S n ，且对任意正整数 n ，都有 2 S n bn (bn 1) ． （1）求数列 bn 的通项公式； （2） 如果等比数列 an 共有 2015 项， 其首项与公比均为 2 ， 在数列 an 的每相邻两项 ak 与 ak 1 之 间插入 k 个 ( 1) bk (k N ) 后，得到一个新的数列 cn ．求数列 cn 中所有项的和；
2 px ( p 0,1 x 16, x N* ) ，并且前 4 个月，区域外的需求量为 20 万吨．
（1）试写出第 x 个月石油调出后，油库内储油量 M （万吨）与 x 的函数关系式； （2）要使 16 个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油 调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定 m 的取值范围．
上海市闵行区2015届高考模拟二模试题
上海市闵行区2015届高考模拟二模试题高三2013-05-07 10:08闵行区2012学年第二学期高三年级质量调研考试语文试卷考生注意：1．答题前，考生务必在答题纸上将自己的姓名、准考证号、所在学校及班级等填写清楚。
2．所有试题的答案必须全部涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，写在试卷上一律不给分。
答题时应注意试题题号和答题纸题号一一对应，不能错位。
3．本试卷共6页。
满分150分。
考试时间150分钟。
一阅读 80分（一）阅读下文，完成第1—6题。
（16分）①仅仅在刚刚过去的2012年，我们便听到了众多老牌纸媒的噩耗。
拥有79年历史的美国老牌杂志《新闻周刊》宣布，最后一期印刷版杂志发行后停刊，全面转向数字杂志。
德国《纽伦堡晚报》、《法拉克福论坛报》、《德国金融时报》相继停刊，法国第二大经济类报纸《论坛报》也寿终正寝。
这股“纸媒之死”的洪流当然也淹没了图像类新闻杂志。
②早在1972年美国《LIFE》第一次停刊之时，专栏作家沙纳·亚历山大当时还不肯相信：“摄影杂志没有死，人们既未停止阅读，也没有丧失对周围世界的兴趣。
”这话说得固然不错，然而他没有料到脱离了纸这种介质，人们依然可以通过电子屏幕观看图像，亦能够畅游网络，保持着对周围世界更浓厚的兴趣。
我们可以通过Google Books阅读自《LIFE》创刊至1972年的所有文章，也能够看到它所有的精彩版面。
像纸张扼杀竹简一样，数字化把成吨的纸张简化到一张光盘上。
今天这个时代并没有失去任何新闻和惊心动魄的照片。
相反的，图像类纸质媒体和新闻摄影师们却正感到自己失去了一个时代。
③然而旧的死去并不一定是件坏事。
正如法国VU图片社创始人Christian说道：“我们已经有了获取新闻和图片的新渠道。
纸张可以算的上是一种奢侈行为。
我们为什么还要砍伐大量树木，污染大片水源？”况且，新形式的报道并不亚于传统媒体。
轰动一时的“维基解密”就是新式媒体的代表。
2010年7月，维基联合《卫报》发布“阿富汗战争日记”专题，内容包含超过几万份关于阿富汗战争的文档。
上海市闵行区高三数学质量调研考试(二模)试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 理试 卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2．本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。
3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。
4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3log (1)y x =-的定义域是 . 2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则A B 等于 .3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f-= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍. 6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，1a =，(3,0)b =，则2a b += . 7．已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为 .8．若6x ⎛ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比， 则1234limnn na a a a a a →∞+++=+++ . 9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．若以x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆2220x y x +-=的参数方程为 .1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 ．12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:cos C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|nS n a n（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .14． (理科）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）.ABC DPPABCD P ABCD（A ）π3 (B) π6 （C ）π3或2π3 (D) π6或5π6三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=． （1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-． （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2；4．9； 5．3； 6 7．1； 8．1； 9．4； 10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）、 11．8； 12．113．12016 14．,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、PA BCD二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分． 15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C 三、解答题（第19题至23题） 19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：理:（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-,(1,2,0)BD =- ……3分 设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BDPC BD α⋅=⋅= ………………5分故异面直线PC 与BD 所成角为…7分（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分 163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅，sin 2θ∴= ……………………12分 4πθ∴=或34π． ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）（理）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 解：（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅可得222111d OC OD =+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解： （1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =()0k f x =两根x = 为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<，所以{|23}AB x x =-<<，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】9【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】因为(3,0)b =，所以||3b =，又因为||1a =，||a 与||b 的夹角为60°，所以3||||cos602a b a b ⋅=⋅=.因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=，所以|2|19a b +=，7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1【试题分析】因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r 项为3662166C C rr r r r r T x x--+=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a x a x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11nn x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt mm n t t m n m n m n+=++=+++++≥ nt m m n=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n+的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos ,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤. 11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1，因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y ==，又因为当0x =时，122,4y y ==， 所以128OA OB y y ==，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标: 数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1;34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==.13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a+-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】 【试题分析】函数y =[22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得2234210y ay a -+-=，y =,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得[22），设1122(,),(,)A x yB x y ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩即222320,323133a a a ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫-⎪ +>⎪⎪⎪ ⎭⎝⎩,解得33a <<,所以a的取值范围为(33，故答案为. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22ab ＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D DAE AP DP=,因为E 为1A A 的中点，所以2DPAP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DPAP=，所以2222(1)2(1)x y x y ++=-+，化简得22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C.三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x =, ……………………3分解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-,(1,2,0)BD =- ……3分 设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅3010=………………5分 故异面直线PC 与BD 所成角为30arccos10．…7分MHLD1第19题图（1）（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分2163PAB S DA ∴=⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，2sin 2θ∴= ……………………12分 π4θ∴=或3π4． ……………………………14分MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. （2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -………7分 ∴2222200021111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅可得222111d OC OD =+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++ 2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分..DOC 版. (3)由解方程得：x =由条件，()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a m x -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++ ∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+== k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分 所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。
上海市闵行区高三数学下学期质量调研考试试题 理(含解析)
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）（2015•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁UA=[﹣1，4]．【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．【解析】：解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U=R，∴∁UA=[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2015•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z=﹣1+i．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由（z+2）（1+i）=2i，得，∴z=﹣1+i．故答案为：﹣1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（4分）（2015•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）=﹣．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．【解析】：解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，∴f（a）=acosa=，∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．故答案为：﹣．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（4分）（2015•闵行区一模）计算=．【考点】：极限及其运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用极限的运算法则即可得出．【解析】：解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．【点评】：本题考查了极限的运算法则，属于基础题．5．（4分）（2015•闵行区一模）设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=1．【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系得到4x﹣2x+1=0，求解x的值得答案．【解析】：解：由4x﹣2x+1=0，得（2x）2﹣2•2x=0，即2x=0（舍）或2x=2，解得x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域间的关系，是基础题．6．（4分）（2015•闵行区一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】：二倍角的余弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解析】：解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．7．（4分）（2011•上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解析】：解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．8．（4分）（2015•闵行区一模）已知集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，由此能求出“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率．【解析】：解：集合M={1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n=23=8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p=．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（4分）（2015•闵行区一模）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：画出图形，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径，则当且同向时，则取得最大值．【解析】：解：如图，==3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O 的半径为3×=，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM=3（+OM）=；故答案为：．【点评】：本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（4分）（2015•闵行区一模）函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：y=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．对x分类讨论：当x≥1时，f（x）=1+2log2x；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x；当时，f（x）=1，即可得出．【解析】：解：y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f（x）．当x≥1时，f（x）=1+2log2x≥1，当且仅当x=1时取等号；当0＜x1时，f（x）=﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x=时取等号；当时，f（x）=1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了绝对值函数、对数函数的单调性、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5﹣x的交点，结合图求解即可．【解析】：解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y=5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，12．（4分）（2015•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．【考点】：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】：解三角形；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设|PF1|=s，|PF2|=t，求出焦点，可得c=2，由余弦定理可得s，t的方程，再由椭圆和双曲线的定义可得m，n的关系，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可求得最大值．【解析】：解：设|PF1|=s，|PF2|=t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c=2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°即s2+t2﹣st=16，由椭圆的定义可得s+t=2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t=2n（n＞0），解得s=m+n，t=m﹣n．即有16=（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）=m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m=n，取得最大值．故答案为：．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查椭圆和双曲线的定义，同时考查三角形的余弦定理和重要不等式的运用，属于中档题．13．（4分）（2015•闵行区一模）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜（•）sinB，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是①②④．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：解三角形．【分析】：由题意可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又bsinA=asinB＞0，可得cosB＞sinA＞0，可得A、B均是锐角，从而可得A+B＜90°，∠C＞90°，由余弦定理及两角和的余弦公式结合三角函数值的符合即可判断得解．【解析】：解：∵2SsinA＜（•）sinB，∴2×bcsinA×sinA＜cacosBsinB，∴可得：bcsinAsinA＜acsinBcosB，又由正弦定理可得：bsinA=asinB＞0，则cosB＞sinA＞0，可得：A、B均是锐角，而cosB=sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sinA，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C=＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A=＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=﹣cosA＜0，故③不正确；故答案为：①②④．【点评】：本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的余弦公式等知识的应用，借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，属于中档题．14．（4分）（2015•闵行区一模）已知数列f（2x）=af（x）+b满足：对任意n∈N*均有an+1=pan+3p ﹣3（p为常数，p≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣29}．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：从{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}中任取两值作为a2，a3的值，求出p．从而求出a4，a5，由此能求出a1所有可能值的集合．【解析】：解：（1）取a2=﹣19，a3=﹣7时，﹣7=﹣19p+3p﹣3，解得p=，=﹣4，不成立；（2）取a2=﹣19，a3=﹣3时，﹣3=﹣19p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（3）取a2=﹣19，a3=5时，5=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=5×=﹣7，a5=﹣7×=﹣1，不成立；（4）取a2=﹣19，a3=10时，10=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=10×=﹣，不成立；（5）取a2=﹣19，a3=29时，29=﹣19p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（6）取a2=﹣7，a3=﹣3时，﹣3=﹣7p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（7）取a2=﹣7，a3=5，得5=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣2，∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19，a5=﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3=29，∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1=﹣1；（8）取a2=﹣7，a3=10时，10=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣，=，不成立；（9）取a2=﹣7，a3=29时，29=﹣7p+3p﹣3，解得p=﹣8，a4=29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3=﹣259，不成立；（10）取a2=﹣7，a3=﹣19时，﹣19=﹣7p+3p﹣3，解得p=4，a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67，不成立；（11）取a2=﹣3，a3=﹣19时，﹣19=﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2=﹣3，a3=﹣7时，﹣7=﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2=﹣3，a3=5时，5=﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2=﹣3，a3=10时，10=﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2=﹣5，a3=29时，29=﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2=5，a3=﹣19时，﹣19=5p+3p﹣3，解得p=﹣2，a4=﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=29，a5=29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3=﹣67，不成立；（17）取a2=5，a3=﹣7时，﹣7=5p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣1，不成立；（18）取a2=5，a3=﹣3时，﹣3=5p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（19）取a2=5，a3=10时，10=5p+3p﹣3，解得p=，=，不成立；（20）取a2=5，a3=29时，29=5p+3p﹣3，解得p=4，a4=29×4+3×4﹣3=125，不成立；（21）取a2=10，a3=﹣19时，﹣19=10p+3p﹣3，解得p=﹣，=﹣，不成立；（22）取a2=10，a3=﹣7时，﹣7=10p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×=﹣，不成立；（23）取a2=10，a3=﹣3时，﹣3=10p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3；（24）取a2=10，a3=5时，5=10p+3p﹣3，解得p=，a4=5×﹣3=，不成立；（25）取a2=10，a3=29时，29=10p+3p﹣3，解得p=，a4=29×+3×=，不成立；（26）取a2=29，a3=﹣19时，﹣19=29p+3p﹣3，解得p=﹣，=5，，29=﹣﹣3×，解得a1=﹣67；（27）取a2=29，a3=﹣7时，﹣7=29p+3p﹣3，解得p=﹣，a4=﹣7×﹣3=﹣，不成立；（28）取a2=29，a3=5时，5=29p+3p﹣3，解得p=，a4==1，不成立；（29）取a2=29，a3=10时，10=29p+3p﹣3，解得p=，a4=10×=，不成立；（30）取a2=29，a3=﹣3时，﹣3=29p+3p﹣3，解得p=0，a4=﹣3，此时a1=﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）（2015•闵行区一模）已知圆O：x2+y2=1和直线l：y=kx+，则k=1是圆O与直线l相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆；简易逻辑．【分析】：圆O与直线l相切，可得圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出结论．【解析】：解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=±1，∴k=1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查充要条件的判断，正确运用点到直线的距离公式是关键．16．（5分）（2015•闵行区一模）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1 B．1 C．256 D．﹣256【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：给二项式中的x赋值1，得到展开式中各项的系数的和．【解析】：解：令二项式（2﹣）8中的x=1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8=1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．【点评】：求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察给二项式中的x赋值求得．17．（5分）（2015•闵行区一模）已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．【解析】：解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C 不正确．所以ABC不正确，故选；D【点评】：本题主要考查函数零点的定义，函数零点的判定定理，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题18．（5分）（2015•闵行区一模）数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k=．则（）A．k=4．B．k=2．C．k=1．D．k的值与公差d的大小有关．【考点】：等差数列的性质．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：分别计算平均数与方差，即可得出结论．【解析】：解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为=a1008，所以λ1=[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]=•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2=[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]=•（12+22+…+10072）．所以k==2，故选：B．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2015•闵行区一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：解法一：利用线面垂直的判定定理可得：A1C1⊥平面BB1C1C，因此∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．利用tan∠A1BC1=即可得出．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，利用线面角公式：即可得出．【解析】：解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C=C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1=y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1=y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的向量计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）（2015•闵行区一模）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x；（Ⅱ）4360﹣﹣16x≥2760，由此得到年产量x的取值范围．【解析】：解：（1）当10＜x＜100时，W=xR（x）﹣（40+16x）=4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x=50．【点评】：本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．属于中档题．21．（14分）（2015•闵行区一模）椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•=0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）代入点P，求得a2=2，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，b，c的关系，解方程即可得到c，即有椭圆方程；（2）方法一、运用点差法，设出C，D的坐标，代入椭圆方程，作差再由中点坐标公式，求得CD的斜率，得到直线CD的方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；方法二、运用对称的方法，设出C，D的坐标，再作差，可得直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．【解析】：解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2=2，又•=0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2=a2﹣c2=2﹣c2，所以c2﹣2c+1=0得c=1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2=2，y1+y2=1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2=2得，即有x1+x2=2，x1x2=．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2=2得，则有．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和点差法、弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（16分）（2015•闵行区一模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）=1成立，请说明理由．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的取值范围．（3）利用函数的单调性求出函数的值域，进一步说明函数的单调性问题．【解析】：解：（1）=，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）=1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）=1成立．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，函数的存在性问题的应用．23．（18分）（2015•闵行区一模）已知数列{an}为等差数列，a1=2，其前n和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣bq=2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】：数列与不等式的综合．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：（1）法1、求数列{an}、{bn}的通项公式，在于求等差数列的公差和等比数列的首项和公比，设出等差数列{an}的公差d和等比数列{bn}的公比为q．在已知数列递推式中令n=1，2，3分别得到关于待求量的关系式，然后求解公差和公比，则等差数列的公差和等比数列的公比可求；法2：由已知数列递推式取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后得到，由数列{an}为等差数列，可令an=kn+b，得，由，得（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，由系数为0求得q，b，k的值得数列{an}、{bn}的通项公式；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，由（4p+4）2﹣2q=2020，得4p2+8p﹣501为奇数，进一步得到2q﹣2为奇数，求得q=2，进一步求出，这与p∈N*矛盾；（3）把数列{an}的通项公式代入λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos整理，设，可得数列{bn}单调递增．则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜bn，然后假设存在实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，分n为奇数和n为偶数求得，结合λ是非零整数可求得满足条件的λ．【解析】：解（1）法1：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得：或．经检验d=2，q=2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1=4，也符合上式，∴，由于{an}为等差数列，令an=kn+b，则，∵{bn}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb=0恒成立，∴q=2，b=0，又a1=2，∴k=2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q=2020，化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q=2．得4p2+8p﹣501=1，即2p2+4p﹣251=0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由an=2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜bn.，∵bn＞0，∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化、分类讨论、分离参数等数学思想方法，属难题．。
高三英语月考试题及答案-上海市闵行区2015届高三下学期质量调研考试(二模)
上海市闵行区2015届高三下学期质量调研考试英语试卷考生注意：1．考试时间120分钟，试卷满分150分。
2．本考试设试卷和答题纸两部分。
试卷分为第I卷（第1-11页）和第II卷（第12页），全卷共12页。
所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
3．答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名。
第I卷(共103分)I. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. At 4:15. B. At 4:45. C. At 5:00. D. At 6:00.2. A. A painter. B. A mechanic. C. A porter. D. A carpenter.3. A. Using cameras creatively. B. Setting cameras to portrait mode.C. Painting pictures.D. Taking pictures of people.4. A. Talk to more soldiers. B. Organize the information.C. Collect more information.D. Add his experience to the book.5. A. Delighted. B. Surprised. C. Doubtful. D. Unconcerned.6. A. He is rather disappointed. B. He doesn’t care for a promotion.C. He can’t accept the result.D. He knows his own limitation.7. A. She wants to get some sleep. B. She needs time to write a paper.C. She has a physics class to attend.D. She is troubled by her sleep problem.8. A. Get more food and drinks. B. Invite more people.C. Tidy up the place.D. Prepare for a party.9. A. It’s interesting. B. It turned out to be easy.C. It’s hard to judge.D. It’s quite difficult.10. A. She must have paid a lot for the course.B. Her effort has brought about good results.C. She is unlikely to keep good figure.D. Her try is obviously a waste of money.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. By sounding a warning. B. By pressing the driving wheel.C. By checking the driving time.D. By touching the wrist band.12. A. Moves more regularly. B. Stops working properly.C. Opens the window for the driver.D. Sounds more frequently and loudly.13. A. A new device to reduce tiredness-related accidents.B. A new device to limit car speed.C. An invention to make driving more comfortable.D. A new regulation to punish dangerous driving.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. Girls may give negative influence to boys.B. Girls always influence boys effectively.C. Boys are always as good as girls.D. Boys don’t perform well in certain schools.15. A. Boys should always study with fewer girls.B. Single-sex classes are available for maths.C. Mixed gender is preferred in science classes.D. Girls have better performance than boys.16. A. Boys are too shy to study with the opposite gender.B. Teachers like girls more than boys in English class.C. Boys prefer to interrupt the class more than girls.D. Teaching styles are more suitable for girls.Section CDirections: In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation.Complete the form. Write ONE WORD for each answer.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.Complete the form. Write no more than THREE WORDS for each answer.II. Grammar and VocabularySection ADirections:After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)The year was 1932. Amelia Earhart was flying alone from North America to England in a small single-engined airplane. At midnight, several hours after she had left Newfoundland, she ran into bad weather. To make things worse, her altimeter (高度表) failed and she didn’t know how high she (25) ______ (fly). At night, and in a storm, a pilot was in great difficulty without an altimeter. At times, her plane nearly plunged into the sea.Just before dawn, there was further trouble. Amelia noticed flames coming from the engine. With all the difficulties, Amelia Earhart wasn’t sure if she (26) ______ reach land. There was nothing to do but keep (27) ______ (go).In the end, Amelia Earhart did reach Ireland. It was with the great courage (28) ______ she made the safe landing. And for the courage she had shown, she was warmly welcomed in England and Europe. When she returned to the United States, she (29) ______ (honor) by President Hoover at a special dinner in the White House. From that time on, Amelia Earhart was famous.What was so important about her flight? Amelia Earhart was the first woman (30) ______ (fly) the Atlantic Ocean alone, and she had set a record of fourteen hours and fifty-six minutes.In the years that followed, Amelia Earhart made several flights across the United States, and on each occasion she set a new record for flying time and was (31) _____ (skillful) than herprevious flight. Amelia Earhart made these flights to show that women had a place in aviation (航空) and that air travel was useful. Her passion for flight lasted in her remaining life (32) ______ she mysteriously disappeared from public in the year 1937.(B)It has become acceptable for people to say that women work less than men and therefore deserve less! It may have been true in the past when women were expected to stay at home and look after children, but women have changed over the years. They have “come out”! Gone (33) ______ (be) the days when they toiled (辛苦) the kitchen stove all day long; they are now aware of their needs and are willing to fight for them. They expect to be given the respect they deserve, both at home and at work. They have realized (34) ______ intellectual potential and have determined to do something about it!Women on two wheels have become (35) ______ familiar sight on the roads of most Asian countries during the past few years. It is common to find a woman (36) ______ (take) her children on her bicycle to school and then reaching her office in time.“Super woman”(37) ______ she is, it is rather difficult to combine a career and a decent home life. She needs to feel (38) ______ (support). She may arrive at work feeling as if she has already done a full day’s job. (39) ______ colleagues doubt her passion to her job, she will feel sad. At the same time, women of today expect their partners to contribute towards childcare and household chores.Today’s women are learning to avoid situations that make them feel more stressed and it is a hard struggle. (40) ______ ______ ______all this, the new woman, “the superpower” has arrived. She still believes in the power and value of a family unit and she holds it in high esteem (尊重). Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.Public image doesn’t make money directly, nor is it anything visible. However, excellent public image is such an important thing that it is 41 desired by every company, enterprise, institution, etc. Public image refers to how a company is 42 by its customers, suppliers, and stockholders (股东), by the financial community, by the communities where it operates, and by federal and local governments. Public image is controllable to 43extent, just as the product, price, place, and promotional efforts are.A firm’s public image plays a vital role in the 44 of the firm and its products to employees, customers, and to such outsiders as stockholders, suppliers, creditors (贷款方), government officials, as well as different special groups. With some things it is impossible to 45 all the different publics: for example, a new highly automated plant may meet the 46 of creditors and stockholders. However, it will 47 find resistance from employees who see their jobs threatened. On the other hand, high quality products and service standards should bring almost complete approval, while low quality products and false claims would be widely looked down upon.A firm’s public image, if it is good, should be 48 . It is a valuable strength that usually is built up over a long and satisfying relationship of a firm with publics. If a firm has49 a quality image, this is not easily imitated by competitors. Such an image may enable a firm to charge higher prices, to win the best distributors and dealers, to attract the best employees, to expect the most favorable creditor relationships and lowest borrowing costs. It should also allow the firm’s stock to 50 higher price-earnings ratio (比例) than other firms in the same industry with such a good reputation and public image.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Just as the stock market rises and falls in response to what people are willing to put their money behind, we have inside ourselves an inner economy that rises and falls in response to our beliefs about what is possible. Sometimes the degree to which we are willing to 51our belief systems determines the success of our inner economy. For example, imagine that yourfamily of origin had a belief that musical talent was not something they 52 . As a member of that group, you would likely 53 that same belief about yourself. As a result, even if you had a great desire to create music, you might be 54 to really get behind yourself. Because you might fear that your 55 would not pay off. Even if you had the courage to follow your passion, your inner belief that you are not 56 would probably stop your trying. And that would be a major 57 to invest your energy in your dream.On the other hand, belief isn’t anything 58 . If you found a way to 59 that negative belief, a great flood of energy would pour forth, greatly increasing the possibility of your success. How much energy we are willing to invest in the various ideas and dreams is like the money people are, or are not, willing to invest in the various products available for trade on the stock market. And in both cases, 60 plays a key role in determining how willing we are to get behind something. One way to open up the possibility for greater success in our inner economies is to understand that belief is not the reliable 61 we sometimes think. There are other more reliable things of success that we can put our 62 in, such as passion, feeling, and sense. Some of the most successful investors in the stock market are the ones that go against the grain, trusting their sense over the 63 opinion held by ordinary people about what will work.In the same way, we can learn to trust our heart’s desires and our sense to guide us,64 any beliefs that stand in the way of our ability to fully invest in ourselves. As we take out energy from limiting ideas about what is possible, we 65 the resources that have the power to make our inner economy prosper.51. A. simplify B. challenge C. eliminate D. maintain52. A. possessed B. trusted C. objected D. missed53. A. reject B. preserve C. deny D. share54. A. willing B. sorry C. reluctant D. ready55 A. success B. knowledge C. profession D. investment56. A. devoted B. talented C. concerned D. interested57. A. obstacle B. excuse C. chance D. principle58. A. important B. fixed C. changeable D. stimulating59. A. enhance B. reserve C. release D. follow60. A. energy B. hobby C. expense D. belief61. A. guide B. ability C. goal D. policy62. A. aim B. faith C. task D. dream63. A. unacceptable B. strange C. unbelievable D. common64. A. questioning B. understanding C. interpreting D. believing65. A. stick to B. lead to C. free up D. leave outSection BDirections: Read the following passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)The vast jungles of the Amazon rainforest are home to tribes (部落) mostly isolated from the outside world, whose way of life, largely unchanged for hundreds of years, is now increasingly threatened by modern civilization.Now, scientists discover they can monitor these “uncontacted tribes” using satellites, which would allow inexpensive and safe tracking of these tribes in order to protect them from outside threats.In order to help preserve these uncontacted Indians, researchers need accurate estimates of their populations. One way to collect this data involves flying over their villages, but such over-flights are both expensive and could fill these native peoples with fear. Another strategy involves meeting individuals on the ground, but among other risks, scientists could accidentally spread disease to members of the tribes.Instead, scientists investigated whether satellite images could monitor uncontacted tribes. The result was inspiring. They confirmed their locations and measured the sizes of their village, houses and gardens. “We can find isolated villages with remote sensing and study them over time.” Walker told Live Science. “We can ask: Are they growing? Do they move?”Surprisingly, based on the sizes of the houses and villages, the scientists find the population densities of these isolated villages are about 10 times greater, on average, than other villages of native Brazilian peoples. This may be due to the fact that they have to live closer together becausethey are not as good at clearing the forest, since they lack modern devices like chainsaws and tractors, the researchers said. The tribes may also be afraid of spreading out due to fear of being attacked by outsiders, Walker said.The researchers now plan to focus on 29 more isolated villages to “look at their ecology—that is, distance from rivers and roads—and use this to model where else we can find more isolated villages,” Walker said.66. Scientists don’t want to meet the Indians on the ground due to the fear that ______.A. they can’t get accurate dataB. they could pass disease to the IndiansC. they will be attacked by the IndiansD. they will catch disease from the Indians67. According to the passage, which of the following about the Indian tribes is NOT true?A. They lack modern tools to cut forests.B. Their life styles remain unchanged.C. They live closer together for defense.D. They are contacting the outside world.68. What can we learn from the last paragraph?A. More isolated tribes are yet to be discovered.B. Scientists are able to find 29 Amazon tribes in total.C. It’s easy for scientists to find isolated villages.D. More roads should be built for the tribes.69. Which of the following might be the best title for the passage?A. The Disappearing of the Ancient Amazon Tribes.B. Discovery of Indian Tribes in Remote Mountains.C. The Threatening of Modern Civilization to Tribes.D. Research of Isolated Tribes with Modern Devices.(B)The Zebra Finch: An Owner’s Guide to a Happy Healthy Pet The zebra finch, a native of Australia, is a popular domestic pet in the United States. The bird has many attributes (特性) which allow it to be kept at home, though there are also a few negative aspects. The attributes are nest-building, breeding and a lively attitude. The potential negatives are over-breeding and the wildness of the birds.One of the main attributes of zebra finches is their ability to breed. They are the rabbits of the domestic bird world. Once you have two birds, male and female, you will soon have six, as they breed quite easily and have strong babies, usually four at a time. An added attribute is their ability to build their own nests. You can place branch in their place along with some kind of structure, and they will create a nest on their own. It’s very pleasant to see the ways males and females divide some labors and share others, and the babies grow up quickly. Overall, zebra finches are energetic birds, and they can make every place where they live delightful lives.On the negative side, they will breed and in-breed. Often, in-breeding does little harm and does not cause genetic defects (缺陷), as happens more often in other species. However, no one can tolerate just any population level. One has to either remove their nests altogether, which basically removes their personal living place, or check for eggs regularly once a week (the gestation period is 13 days, so even a one-week neglect can lead to births). Eggs can be replaced with false plastic eggs, and this prevents females from laying too many. If they do lay too many, they will die from mineral loss. Since these birds do not tame well, removing eggs can be an unpleasant process of repeatedly invading their personal space.Overall, it is unfortunate that zebra finches are inexpensive birds due to their high level of breeding. They require considerable care to live happy lives. The best care-takers are true avian fanciers —people who have appropriate space for the nests and enough time to allow them to nest-build and breed without over-breeding.70. What is the passage mainly about?A. Zebra finches over-breed by nature and its consequent ill effects.B. Only people who love birds can take care of Zebra finches.C. Domestic zebra finches require a lot of care to live happy lives.D. Zebra finches never become completely tame.71. By saying “They are the rabbits of the domestic bird world”, the writer means that bothrabbits and Zebra finches ______.A. have good ability to breedB. are difficult to be raisedC. live delightful livesD. share responsibilities72. In paragraph 3, the word “gestation” probably means ______.A. the period when eggs remain freshB. the time when finches build up their nest and lay eggsC. the time required for the parents to create a nestD. the time required for baby birds to develop and to be born73. According to the passage, attributes of domestic zebra finches include ______.A. their rareness and easiness to be tamedB. their nest-building, sharing of responsibilities and delightful personalitiesC. their in-breeding, which does not cause as much genetic harm as in other speciesD. the fact that they are from Australia and have difficulty in adapting themselves(C)“Does my smile look big in this?” Future fitting-room mirrors in clothing stores could subtly adjust your reflection to make you look ─ and hence feel ─ happier, encouraging you to like what you see.That’s the idea behind the Emotion Evoking System developed by Shigeo Yoshida and colleagues at the University of Tokyo in Japan. The system can manipulate, or in other word, control your emotions and personal preferences by presenting you with an image of your own smiling or frowning face.The principle that physiological changes can drive emotional ones ─ that laughter comes before happiness, rather than the other way around ─ is a well-established idea.The researchers wanted to see if this idea could be used to build a computer system that manipulates how you feel. The system works by presenting the user with a web-camera image of his or her face ─as if they were looking in a mirror. The image is then subtly altered with software, turning the corners of the mouth up or down and changing the area around the eyes, so that the person appears to smile or frown (皱眉).Without telling them the aim of the study, the team recruited (招募) 21 volunteers and asked them to sit in front of the screen while performing an unrelated task. When the task was complete the participants rated how they felt. When the faces on screen appeared to smile, people reported that they felt happier. On the other hand, when the image was given a sad expression, they reported feeling less happy.Yoshida and his colleagues tested whether manipulating the volunteers’ emotional state would influence their preferences. Each person was given a scarf to wear and again presented with the altered webcam image. The volunteers that saw themselves smiling while wearing the scarf were more likely to report that they liked it, and those that saw themselves not smiling were less likely. The system could be used to manipulate consumers’impressions of products, say the researchers. For example, mirrors in clothing-store fitting rooms could be replaced with screens showing altered reflections. They also suggest people may be more likely to find clothes attractive if they see themselves looking happy while trying them on.“It’s certainly an interesting area,” says Chris Creed at the University of Birmingham, UK. But he notes that using such technology in a shop would be harder than in the lab, because people will use a wide range of expressions. “Attempting to make slight differences to these and ensuring that the reflected image looks believable would be much more challenging,” he says.Of course, there are also important moral questions surrounding such subtly manipulative technology. “You could argue that if it makes people happy what harm is it doing?” says Creed. “But I can imagine that many people may feel manipulated, uncomfortable and cheated if they found out.”74. What’s the main purpose of the Emotion Evoking System?A. To see whether one’s feeling can be unconsciously affected.B. To see whether one’s facial expressions can be altered.C. To see whether laughter comes before happiness.D. To replace the mirrors in future clothing-store fitting rooms.75. What can we learn about the web-camera image in the study?A. It recorded the volunteers’ performance in the task.B. It gave the volunteers a false image.C. It attempted to make the volunteers feel happier.D. It beautified the volunteers’ appearance in the mirror.76. What does Creed mention as a limitation of the technology?A. It only changes the areas around the mouth and the eyes.B. It only works in clothing stores.C. It only makes subtle changes to people’s expressions.D. It only deals with a limited number of facial expressions.77. What does Creed’s comment on the moral issues with this technology imply?A. Nothing is more important than happiness.B. Technology is unable to manipulate people.C. People should make their decisions independently.D. People should neglect the harm of the technology.Section CDirections: Read the passage carefully. Then answer the questions or complete the statements in the fewest possible words.When e-mail first came into general use about twenty years ago, there was a lot of talk about the arrival of the paperless office. However, it seems that e-mail has yet to revolutionize office communication. According to communications analyst Richard Metcalf, some offices have actually seen an increase in paper as a result of e-mail. “Information in the form of e-mail messages now floods our computer screens. These messages can be sent so quickly that memos tend to be distributed in the hundreds. For those secretaries whose bosses ask them to print out alltheir e-mails and leave them in their in-trays, this means using up a great deal of paper every month,” Metcalf says.Metcalf has found that because some e-mails get lost in cyberspace, important documents are increasingly likely to be asked by clients and colleagues to send all important documents both by e-mail and by fax. This highlights a further potential problem with e-mail in today’s offices ─ it is taking up time rather than saving it. “With e-mail, communication is much easier, but there is also more room for misunderstandings,” says psychologist Dr David Lewis. Generally, much less care is taken with e-mails than with letters or faxes and the sender will probably print the document and reread it before putting it in an envelope or sending it by fax.More worrying is still the increasing misuse of e-mail for sending “flame-mail”─inappropriate e-mail messages. Recent research in several companies suggests that aggressive communications like this are on the increase. E-mail has become the perfect medium for conveying workplace dissatisfaction because it is so instant.E-mail can also be a problem in other ways. Staffs all too often make the mistake of thinking that the contents of the e-mail, like things said over the phone, are private and not permanent. But it is not only possible for an employer to read all your e-mails, it is also perfectly legal. E-mail messages can be traced back to their origin for a period of at least two years, so you might want to rethink e-mailing your dissatisfaction about your boss to your friends. The advice is to keep personal e-mails out of the office.(Note: Answer the questions or complete the statements in NO MORE THAN 12 WORDS)78. The promise of paperless office has not come true in many offices mainly because manysecretaries are asked to _____________.79. Why has e-mailing taken up time rather than saved it?80. There is an increasing concern that e-mails are misused by some employees to express_____________.81. It is advised that employees should not use company e-mails as a way of ___________.第II 卷(共47分)I. TranslationDirections: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.82. 昨晚我很累，没做完作业就睡了。
2015届上海市高考数学·二模汇编 解析几何
2015届高中数学·二模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·二模汇编 解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.7. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.8.（2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.9．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ．11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ．xy2F 1F A BO13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON ⋅的取值范围为 ．15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 ．16.（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 ．17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为 ． 18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________．20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为 （ ）A.3B.4C.6D.9βαP BA DCABDy xCP NMO3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或24．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)(第22题图）F 2F1y xPQ O 3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=， O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时， 求直线AB 的方程．7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；（3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标．11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k， 当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．22465NMPyxAOBS RPQDC BAO12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-， 求N 点坐标.14.（2015年闸北二模文17理16）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2015长宁二模文22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离 之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．16.（2015长宁二模理22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
届上海闵行区高三二模数学理试题及答案
届上海闵行区高三二模数学理试题及答案The document was finally revised on 2021上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数 学 试 卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题1．2135(21)lim331n n n n →∞++++-=++ ． 2．关于方程211323x x=-的解为 ． 3．已知全集U =R ，集合1|,01P y y x x ⎧⎫==<<⎨⎬⎩⎭，则U P = ．4．设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则||a b += ．5．在ABC △中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC = ． 6．在极坐标系中，21(02)ρθθπ=+≤<与=2πθ的交点的极坐标为 ．7．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.8．复数i z a b =+(a b ∈R 、，且0b ≠)，若24z bz -有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）9．已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R 数a 的取值范围 ．10．设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为221x y +=．已知时间0t =时，观光箱A 的坐标为1(,22，则当024t ≤≤时（单位：分），动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递减区间是 ．11．若不等式4()()16a x y x y++≥对任意正实数x y 、恒成立,则正实数a 的最小值为 ．12．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为4253、，在操作考试中“合格”的概率依次为1526、，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率 ．13．已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．第7题图14．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．二. 选择题15．下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行16．已知集合2{320}A x x x =-+≤，0,02x a B xa x -⎧⎫=>>⎨⎬+⎩⎭,若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，则a 的取值范围是（ ）．（A ）01a << （B ）2a ≥ （C ） 12a << （D ）1a ≥17．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）． （A ）210x y +-= （B）10x = （C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量,nSOP n n⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,m S OP m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2,k S OP k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()*n m k ∈N 、、，且12OP OP OP λμ=⋅+⋅，则用n m k 、、表 示μ= （ ）． （A ）k m k n -- （B ）k n k m -- （C ）n m k m -- （D ）n mn k-- 三.解答题BAED第19题图第20题图第21题图19．BCD A -中，BD 长为E 为棱BC 的中点，求（1）异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥BCD A -的表面积．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．如图，点A 、B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB . （1）若点A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求1sin 21cos 2αα++的值；（2）用α表示BC ，并求BC 的取值范围.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.第22题图x32- 4y-04-2-23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n 的直线与曲线C 相交，另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）． （1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1314n n b S =+，求所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和．B AC ED 第19题图O F数学试卷（理科）参考答案与评分标准一. 填空题1．13； 2．2； 3．(],1-∞； 45． 6．（理）(1,)2ππ+、7．(理) 323π 8． ()2,1或满足2a b =的任意一对非零实数对； 9．（理）8,05⎛⎤-⎥⎝⎦； 10．（理）[2,14]； 11．4； 12．（理）2345； 13．39366（923⋅） 14．（理）①③、．二. 选择题 15． B ； 16． A ； 17．C ； 18． C三.解答题19. 解：（1）过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O，则O 为BCD △的中心，由212334AO ⋅⋅⋅1AO =（理1分文2分） 又在正三角形BCD 中得=1OE ，所以AE =……………………………（理2分文4分） 取BD 中点F ，连结AF 、EF ，故EF ∥CD ，所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD所成的角．（理4分文6分） 在△AEF中，AE AF ==EF =5分文8分）所以222cos 24AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅⋅．…………………（理6分文10分）所以，异面直线AE 与CD 所成的角的大小为7分文12分）（2）由AE=BCD A -的侧面积为13322S BC AE =⋅⋅⋅=⋅=…………………（理10分）所以正三棱锥BCD A-的表面积为24S BC =⋅= …………………………（理12分） 20.解：（1）由已知， 34cos ,sin .55αα==………（2分）24sin 22sin cos ,25ααα∴==227cos 2cos sin .25ααα=-=-………（4分）1sin 21cos 2αα++=24149257181()25+=+-.………………………………………………（6分） （2）1,3OC OB COB πα==∠=+由单位圆可知:，……………………（8分） 222+-2cos BC OC OB OC OB COB=∠由余弦定理得：112cos 22cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………（10分）第21题图02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，5336πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，，1cos ,322πα⎛⎫⎛⎫∴+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……（12分） (21,2,.BC BC ⎛∴∈∴∈ ⎝⎭……………………（14分） 21.（1）以O 点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分） 则直线OZ 的方程为3y x =，设点A （x 0，y 0），则0900x β==，0600y β==，即A （900，600）， …………………（3分）又B （m ，0），则直线AB 的方程为：600()900y x m m=--，…………（4分）由此得到C 点坐标为：200600(,)700700m mm m --，…（6 21300()||||(700)2700C m S m OB y m m ∴=⨯=>- …（8（2）由（1）知22300300()7001700m S m m m m ==--+ …10分） 223003007001111700()14002800m m m =-+--+………（12分） 所以当111400m =，即1400m =时，()S m 最小，（或令700t m =-，则222300300(700)700()300(1400)700m t S m t m t t+===++- 840000≥，当且仅当1400m =时，()S m 最小）∴征调1400m =海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分）22．解：（1）()-2,02⎭，在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分） （2）(理)0F l 设到直线的距离为d, 00F AB F CD S S △△=1212d AB ABCDd CD ⋅=. F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线l 的斜率存在时， 设l ：(1)y k x =-,1122A(x ,(x ,y B y 设），），3344(x ,(x ,y y C ），D ）联立方程24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k-++=，0k ≠时0∆>恒成立.()2241k AB k +===（也可用焦半径公式得：()2122412kAB x xk+=++=）………………（5分）联立方程22143(1)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(3+4)84120k x k x k-+-=，0∆>恒成立.()2212134kCDk+===+, ……（6分）∴0F ABF CDSS△△=()()2222222413414433312134kkkk kkk++==+>++. ………………（8分）②当直线l的斜率不存在时，l：1x=，此时，4AB=，3CD=，0F ABF CDSS△△=43.……………………………（9分）所以，0F ABF CDSS△△的最小值为43. ……………………………（10分）（3）（理）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则2211OP OQ+=712.（11分）②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，设1:;:.OP y kx OQ y xk==-那么(x,(x,P P Q Qy yP），Q）联立方程22143x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P Pkx yk k==++；……………（12分）同理，联立方程221431x yy xk⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222221212,3434Q Qkx yk k==++；222222222211117771212121212121234343434kk k kOP OQk k k k+∴+=+==+++++++（13分）反之，对于1Γ上的任意两点P Q、，当2211712OP OQ+=时，设1:OP y k x=，2:OQ y k x=，易得222122111212,4343P Pkx yk k==++；222222221212,4343Q Qkx yk k==++，由2211712OP OQ +=得22122212434371212121212k k k k +++=++， 即222222221212121287767(1)k k k k k k k k +++=+++，亦即121k k =±，…（15分） 所以当2211OPOQ+为定值712时，OP OQ ⊥不成立 ……………（16分） “反之”的方法二：如果有OP OQ ⊥，且OQ 不在坐标轴上，作OQ 关于坐标轴对称的射线与1Γ交于'Q ，'OQ OQ =，显然，OP OQ ⊥与'OP OQ ⊥不可能同时成立 …………………………………（16分）23. 解：（1）14y =． …………………………………………………………（1分）设(,)n n n P x y ，111(,)n n n P x y +++，由题意得 221111442n nn n n n n n ny xy x y yx x ++++⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-⎪=-⎪⎩． …………（2分）114()2n n n y y +⇒+=⋅ …………………（4分）（2）分别用23n -、22n -代换上式中的n 得23222322212214()214()2n n n n n n y y y y ------⎧+=⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩2322123112()=()24n n n n y y ----⇒-=-⋅- (2n ≥) ………………（6分）又14y =，121841()()334n n y n --∴=+∈*N ， …………………（8分）因218lim 3n n y -→+∞=，所以点列1P ，3P ，…，12+n P ，…向点168(,)93无限接近（10分） （3）（理）121211()4n n n n a y y -+-=-=-，411()34n n S ⎡⎤∴=-⋅-⎢⎥⎣⎦． ……（11分）4n n b =，4i j i j b b +⋅=(1)i j n ≤≤≤. …………………（12分） 将所得的积排成如下矩阵：1112131222323334444444444n n n n n A ++++++++++⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎪⎪=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭，设矩阵A 的各项和为S .在矩阵的左下方补上相应的数可得1112131212223231323331234444444444444444n n n n n n n n B ++++++++++++++++⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭矩阵B 中第一行的各数和231116444(41)3n n s +=+++=-， 矩阵B 中第二行的各数和342264444(41)3n n s +=+++=-， ………矩阵B 中第n 行的各数和1124444(41)3n n n n n n n s ++++=+++=-，………（15分）从而矩阵B 中的所有数之和为21216(41)9n n s s s +++=-. ………………（16分）所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和()()()22422421164144444429n n n s ⎡⎤=--+++++++⎢⎥⎣⎦232454+1645n n ++-⋅=． ………………………………………………（18分）。
2015年上海市闵行区高考物理二模试卷
2015年上海市闵行区高考物理二模试卷一．单项选择题（共16分，每小题2分．每小题只有一个正确选项．）1．(★★★★)下列物理学习或研究中用到的方法与“曹冲称象”的方法相同的是（）A．“质点”的概念B．“瞬时速度”的概念C．合力与分力的关系D．研究加速度与合力、质量的关系2．(★★★)下列哪些物理量与检验电荷无关（）A．电场强度、电势、电功B．电场力、电势差、电势能C．电场力、电势能、电功D．电势差、电场强度、电势3．(★★★★)下列射线中，来自于原子核内部，且穿透能力最强的射线是（）A．γ射线B．α射线C．阴极射线D．X射线4．(★★★★)关于能量，下列叙述中正确的是（）A．每个分子的内能等于它的势能和动能的总和B．自然界中每种物质的运动形式都有其相对应的能C．能量发生转移或转化时，一定伴有做功的过程D．物体的内能变化时，它的温度一定发生变化5．(★★★)关于卢瑟福的α粒子散射实验，下列叙述中与得到的实验结果相符的是（）A．所有α粒子穿过金箔后偏转角度都很小B．大多数α粒子发生较大角度的偏转C．向各个方向运动的α粒子数目基本相等D．极少数α粒子产生超过90o的大角度偏转6．(★★★★)下列关于太阳及太阳系的说法中正确的是（）A．太阳向外辐射能量主要来自太阳内部的核裂变反应B．太阳系中距离太阳越近的行星绕太阳公转速度越大C．太阳系中内行星都没有坚硬的外壳，外行星都有坚硬的外壳D．太阳系虽然是银河系中很小很小的一部分，但它位于银河系的中心7．(★★★★)根据爱因斯坦光子说，光子能量E等于（h为普朗克常量，c、λ为真空中的光速和波长）（）A．B．C．hλD．8．(★★★)某辆汽车以相同功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k 1和k 2倍，最大速率分别为v 1和v 2，则（）A．v2=k1v1B．v2=k2v1C．v2=v1D．v2=v1二．单项选择题（共24分，每小题3分．每小题只有一个正确选项．）9．(★★★★)如图，各实线分别表示一定质量的理想气体经历的不同状态变化过程，其中气体体积减小的过程为（）A．a→bB．b→aC．b→cD．d→b10．(★★★★)如图所示，甲、乙、丙、丁四个物体质量相同，与地面动摩擦因数相同，均受到大小相同的作用力F，它们受到摩擦力大小的关系是（）A．丁最大B．乙最大C．丙最大D．已知条件不够，无法判断谁最大11．(★★★★)如图，质量为m、长为L的直导线用两绝缘细线悬挂于O、Oʹ，并处于匀强磁场中．当导线中通以沿x正方向的电流I，且导线保持静止时，悬线与竖直方向夹角为θ．则磁感应强度方向和大小可能为（）A．x正向，B．y正向，cosθC．z负向，tanθD．y负向，sinθ12．(★★★)如图所示，AB、AC两光滑细杆组成的直角支架固定在竖直平面内，AB与水平面的夹角为30o，两细杆上分别套有带孔的a、b两小球，在细线作用下处于静止状态，细线恰好水平．某时刻剪断细线，在两球下滑到底端的过程中，下列结论中正确的是（）A．a、b两球到底端时速度相同B．a、b两球重力做功相同C．小球a下滑的时间大于小球b下滑的时间D．小球a受到的弹力小于小球b受到的弹力13．(★★★★)如图所示，一端封闭的玻璃管，开口向下插入水银槽中，上端封闭一定量的气体．用弹簧测力计拉着玻璃管，此时管内外水银面高度差为h 1，弹簧测力计示数为F 1．若周围环境温度升高，待稳定后管内外水银面高度差为h 2，弹簧测力计示数为F 2，则（）A．h2＞h1，F2＜F1B．h2＜h1，F2＜F1C．h2＜h1，F2＞F1D．h2＞h1，F2＞F114．(★★★)如图所示装置用来提重物的“差动滑轮”．它的上半部分是由固定在一起半径分为r和R的两个齿轮组成，能绕中心轴O转动，下半部分是一个动滑轮．封闭的链条如图串绕在几个滑轮上，动滑轮下悬挂着质量为M的重物．已知r：R=1：3．悬挂动滑轮的链条处于竖直状态，假设滑轮与链条的重力及轴O处的摩擦均忽略不计．现用大小为F 的力以速率v匀速拉动链条，则下列叙述正确的是（）A．力F的大小为MgB．力F的大小为MgC．重物上升的速率为vD．重物上升的速率为v15．(★★★)一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v；若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为3v．对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则（）A．W F2＞9W F1，W f2＞3W f1B．W F2＜9W F1，W f2=3W f1C．W F2=9W F1，W f2=2W f1D．W F2＞9W F1，W f2＜3W f116．(★★★)如图所示，两根平行放置、长度很长的直导线A和B，放置在与导线所在平面垂直的匀强磁场中，A导线通有电流I、B导线通有电流2I，且电流方向相反，研究两导线中正相对的长度均为L的两小段导线a、b．导线a受到磁场力大小为F 1，导线b受到的磁场力大小为F 2，则A通电导线的电流在b导线处产生的磁感应强度大小为（）A．B．C．D．三．多项选择题（共16分，每小题4分｡每小题有二个或三个正确选项｡全选对的，得4分；选对但不全的，得2分；有选错或不答的，得0分｡）17．(★★★★)如图所示，灯泡L标有“3V 3W”字样，其电阻不变，R 1=5Ω，R 2阻值未知，R 3是最大电阻为6Ω的滑动变阻器，P为滑动片，电流表内阻不计．当P滑到A端时，灯泡L正常发光；当P滑到B端时，电源的输出功率为20W．则（）A．可求得电源电动势为3VB．当P滑到变阻器中点G时，电源内电路损耗功率为2.56WC．当P由A滑到B时电流表示数增大D．当P由A滑到B时灯泡L变亮18．(★★★★)如图所示，质量为m的小球（可视为质点）用长为L的细线悬挂于O点，自由静止在A位置．现用水平力F缓慢地将小球从A拉到B位置而静止，细线与竖直方向夹角为θ=60o，此时细线的拉力为T 1，然后撤去水平力F，小球从B返回到A点时细线的拉力为T 2，则（）A．T1=T2=2mgB．从A到B，拉力F做功为mgLC．从B到A的过程中，小球受到的合外力大小不变D．从B到A的过程中，小球重力的瞬时功率一直增大19．(★★★★)在两种介质中分别有A、B两列简谐横波均沿x轴正向传播，在某时刻它们的波形分别如图甲、乙所示，经过时间t（T A＜t＜2T A），这两列简谐横波的波形分别变为图丙、丁所示，则A、B两列波的波速v A、v B之比可能是（）A．1：1B．3：2C．3：4D．4：320．(★★)如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面轨道CD平滑连接在一起（轨道为光滑凹槽），斜面轨道足够长．在圆弧轨道上静止着N个半径为r（r≪R）的完全相同小球，小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点6CA到最低点B依次标记为1、2、3…N．现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是（）A．N个小球在运动过程中始终不会散开B．第N个小球在斜面上能达到的最大高度为RC．如果斜面倾角为45o，小球不可以全部到达斜面上D．第1个小球到达最低点的速度v＜四．填空题（共20分，每小题4分｡）本大题中第22题和第23题为交叉题，第22A为第22题，22B位第23题，考生可任选一类答题｡若两类试题均做，一律按A类题计分｡21．(★★★★)如图1是在水槽中看到的水波的干涉现象；图2是用激光束照射一个不透明的小圆盘时，在像屏上观察到的图样，这是光的衍射现象．22．(★★★)质量为50kg的人从岸上以10m/s的水平速度跳上一只迎面驶来的质量为100kg、速度为2m/s的小船．人跳上船后，船、人一起运动的速度大小为 2 m/s，此过程中损失的机械能是 2400 J．23．(★★★)航天员王亚平在”天宫一号”飞船舱内对地面授课．设王亚平的质量为m，用R表示地球的半径，用r表示飞船的轨道半径，g表示地球表面处的重力加速度，则飞船绕地球飞行的向心加速度为，飞船舱内王亚平受到地球的引力F为．24．(★★★)如图所示，光滑绝缘的水平桌面上，固定着一个带电量为+Q的小球P，带电量分别为-q和+2q的小球M和N由绝缘细杆相连，静止在桌面上，P与M相距L，P、M和N均视为点电荷，则M与N的距离为（ -1）L ，若将M与N绕绝缘杆的中点在水平面内缓慢转动180o，外力克服电场力做功△E，则+Q的电场在绝缘杆两端的电势差U MN为．25．(★★)如图所示，置于竖直平面内的AB为光滑细杆轨道，它是以初速为v 0、水平射程为s的平抛运动轨迹制成的，A端为抛出点，B端为落地点．则A、B两端点的竖直高度差为．现将小环a套在AB轨道的最上端，它由静止开始从轨道顶端滑下，则小环a从轨道末端出来的水平速度大小为．（重力加速度为g）26．(★★)如图所示，在水平面上有两条长度均为4L、间距为L的平行直轨道，处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B．横置于轨道上长为L的滑杆向右运动，轨道与滑杆单位长度的电阻均为，两者无摩擦且接触良好．轨道两侧分别连接理想电压表和电流表．若将滑杆从轨道最左侧匀速移动到最右侧，当滑竿到达轨道正中间时电压表示数为U，则滑竿匀速移动的速度为，在滑动过程中两电表读数的乘积的最大值为．五．实验题（共24分）27．(★★★)图甲所示是演示振动图象的沙摆实验装置，沙摆可视为摆长L=1.0m的单摆，其摆动可看作简谐运动．实验中，细沙从摆动着的漏斗底部均匀漏出，用手沿与摆动方向垂直的方向匀速拉动纸板，漏在纸板上的细沙形成了图乙所示的粗细变化有规律的一条曲线．（1）曲线之所以粗细不均匀，主要是因为沙摆摆动过程中速度（选填“位移”、“速度”或“加速度”）大小在变化；（2）若图乙中AB间距离x=4.0m，当地重力加速度g=10m/s 2，则纸板匀速运动的速度大小为1 m/s．28．(★★★)如图所示是探究电源电动势和电源内、外电压关系的实验装置，下部是可调高内阻电池．提高或降低挡板，可改变A、B两电极间电解液通道的横截面积，从而改变电池内阻．电池的两极A、B与电压传感器2相连，位于两个电极内侧的探针a、b与电压传感器1相连，R是滑动变阻器．（实验前已给电源充足了电）（1）闭合开关S，在将挡板向上提的过程中，电压传感器2的读数将变大；（填“变大”，“变小”，“不变”）（2）（多选题）下列说法中正确的是 AD（A）当S断开时，传感器1的示数为零，传感器2的示数等于电源电动势（B）闭合S，当把电阻R的滑臂向左移动到阻值为零时，传感器1的示数为零，传感器2的示数等于电源电动势；（C）闭合S，无论R的滑臂移动到哪里，传感器1的示数总小于传感器2的示数（D）闭合S，无论R的滑臂移动到哪里，传感器1和传感器2的示数之和总不变．29．(★★★)某研究性学习小组用如图1所示装置来测定当地重力加速度，主要操作如下：①由静止释放小铁球，用光电计时器记录小铁球在两个光电门间的运动时间t；②用刻度尺测量出两个光电门之间的高度h，并计算出小铁球通过两光电门间的平均速度；③保持光电门1的位置不变，改变光电门2的位置，重复①的操作．测出多组（h，t），计算出对应的平均速度；④在如图2中画出-t图象．请根据实验，回答如下问题：（1）设小铁球到达光电门1时的速度为v 0，当地的重力加速度为g．则小铁球通过两光电门间平均速度的表达式为 =v 0+ gt ；（用v 0、g和t表示）（2）实验测得的数据如表：请在坐标纸上画出-t图象；（3）根据-t图象，可以求得当地重力加速度g= 9.7 m/s 2，试管夹到光电门1的距离约为 6.2 cm．t（s）0.069（m/s）1.45 1.68 1.89 2.05 2.21 2.3530．(★★★)某同学利用图a装置探究轻质弹簧的弹性势能与弹簧形变量之间的关系．一轻质弹簧放置在光滑水平桌面上，弹簧左端固定，右端与一小球接触而不固连：弹簧处于原长时，小球恰好在桌面边缘，如图（a）所示．向左推小球，使弹簧压缩一段距离后由静止释放．小球离开桌面后落到水平地面上．通过测量和计算，可求得弹簧被压缩后的弹性势能．（1）本实验中可认为，弹簧被压缩后的弹性势能E p与小球抛出时的动能E k相等．已知重力加速度大小为g．为求得E k，至少需要测量下列物理量中的 ABC （填正确答案标号）．A．小球的质量mB．小球抛出点到落地点的水平距离sC．桌面到地面的高度hD．弹簧的压缩量△xE．弹簧原长l 0（2）用所选取的测量量和已知量表示E k，得E k= ．（3）图（b）中的直线是实验测量得到的s-△x图线．从理论上可推出：如果h不变，m增加，s-△x图线的斜率会减小（填“增大”、“减小”或“不变”）；（4）设图（b）s-△x图线的斜率为k，用测量量和已知量表示出E p与△x的函数关系式 E 2．p= （△x）2p六．计算题（共50分）31．(★★★)如图所示，均匀薄壁U型管竖直放置，左管竖直部分高度大于30cm且上端封闭，右管上端开口且足够长，用两段水银封闭了A、B两部分理想气体，下方水银左右液面等高，右管上方的水银柱高h=4cm，初状态温度为27℃，A气体长度l 1=15cm，大气压强p 0=76cmHg．现使整个装置缓慢升温，当下方水银的左右液面高度相差△l=10cm时，保持温度不变，再向右管中缓慢注入水银，使A中气柱长度回到15cm．求：（1）升温后保持不变的温度是多少摄氏度？（2）右管中再注入的水银高度是多少？32．(★★★)如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳长为L，一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动（不计空气阻力）．（1）若小球通过最高点A时的速度为v，求v的最小值和此时绳对小球拉力F的大小；（2）若小球恰好通过最高点A且悬点距地面的高度h=2L，小球经过B点或D点时绳突然断开，求两种情况下小球从抛出到落地所用时间之差△t；（3）若小球运动到最低点C或最高点A时，绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等，则O点距离地面高度h与绳长L之间应满足怎样的关系？33．(★★★)如图（a）所示，一光滑绝缘细杆竖直放置，距细杆右侧d=0.3m的A点处有一固定的点电荷．细杆上套有一带电量q=1X10 -6C，质量m=0.05kg的小环．设小环与点电荷的竖直高度差为h．将小环无初速释放后，其动能E k随h的变化曲线如图（b）所示．（1）试估算点电荷所带电量Q；（2）小环位于h 1=0.40m时的加速度a；（3）小环从h 2=0.3m下落到h 3=0.12m的过程中其电势能的改变量．（静电力常量k=9.0X109N•m 2/C 2，g=10m/s 2）34．(★★)图（甲）是磁悬浮实验车与轨道示意图，图（乙）是固定在车底部金属框abcd（车厢与金属框绝缘）与轨道上运动磁场的示意图．水平地面上有两根很长的平行直导轨PQ和MN，导轨间有竖直（垂直纸面）方向等间距的匀强磁场B l和B 2，二者方向相反．车底部金属框的ad边宽度与磁场间隔相等，当匀强磁场B l和B 2同时以恒定速度v 0沿导轨方向向右运动时，金属框会受到磁场力，带动实验车沿导轨运动．设金属框垂直导轨的ab边长L=0.20m、总电阻R=l.6Ω，实验车与线框的总质量m=2.0kg，磁场B l=B 2=1.0T，磁场运动速度v0=10m/s．已知悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力f=0.20N，求：（1）设t=0时刻，实验车的速度为零，求金属框受到的磁场力的大小和方向；（2）求实验车的最大速率v m；（3）实验车以最大速度做匀速运动时，为维持实验车运动，外界在单位时间内需提供的总能量？（4）假设两磁场由静止开始向右做匀加速运动来起动实验车，当两磁场运动的时间为t=30s时，实验车正在向右做匀加速直线运动，此时实验车的速度为v=4m/s，求由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间t 0．。
上海市闵行区2015届高三下学期质量调研考试(二模)化学试卷.pdf
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试 化学试卷 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号填写清楚，并在规定的区域填涂相关信息。
答题时客观题用2B铅笔涂写，主观题用黑色水笔填写。
2．本试卷共有5题，共页。
满分150分，考试时间120分钟。
3．请将答案写在答题纸上，考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留。
相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Al-27 一、选择题（本题共10分，每小题2分，每题只有一个正确选项） 1．化学与人类生活密切相关。
下列说法正确的是 A．矿物油和植物油都可以通过石油分馏来获取 B．硫酸亚铁可作补血剂组成成分 C．蛋白质的水解产物都是α-氨基酸D．造成PM2.5的直接原因是土壤沙漠化 2．下列化学用语使用正确是 A．氧原子能量最高的电子的电子云图： B．35Cl与 37Cl互为同素异形体 C．CH4分子的比例模型： D．的命名：1,3,4-三甲苯 3．与溴水反应不会产生沉淀的是 A．乙烯 B．AgNO3溶液 C．H2S D．苯酚 4．结构片段为…CH2CH=CHCH2…的高分子化合物的单体是 A．乙烯 B．乙炔 C．正丁烯 D．1,3-丁二烯 5．2015年2月，科学家首次观测到化学键的形成。
化学键不存在于 A．原子与原子之间 B．分子与分子之间 C．离子与离子之间 D．离子与电子之间 二、选择题（本题共36分，每小题3分，每题只有一个正确选项） 6．下列事实能用元素周期律解释的是 A．沸点：H2O>H2Se>H2S B．酸性：H2SO4>H2CO3>HClO C．硬度：I2>Br2>Cl2 D．碱性：KOH>NaOH>Al(OH)3 7．右图可设计成多种用途的电化学装置。
下列分析正确的是 A．当a和b用导线连接时，溶液中的SO42向铜片附近移动 B．将a与电源正极相连可以保护锌片，这叫牺牲阳极的阴极保护法 C．当a和b用导线连接时，铜片上发生的反应为：2H++2e →H2↑ D．a和b用导线连接后，电路中通过0.02mol电子时，产生0.02mol气体 8．常温下，往饱和石灰水中加入一定量的生石灰，一段时间后恢复到原温度，以下叙述错误的是 A．有溶质析出B．溶液中Ca2+的数目不变 C．溶剂的质量减小D．溶液的pH不变 9．液态氨中可电离出极少量的NH2－和NH4+。
上海市闵行区2015届高三数学下学期质量调研考试(一模)试卷 理
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试卷〔理科〕〔总分为150分，时间120分钟〕 考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、某某号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题〔本大题总分为56分〕本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否如此一律得0分．1．集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，如此UA =．2．假设复数z 满足(2)(1)2z i i ++=〔i 为虚数单位〕，如此z = ．3．函数()cos f x x x =,假设1()2f a =，如此()f a -=．4．计算22lim 2nn C n n →∞=+．5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,如此=-)0(1f .6．2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sincos22θθ-=，如此cos θ= ．7. 假设圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，如此该圆锥的体积为 . 8．集合{1,3}M =，在M 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，如此“以,,a b c 为边长恰好构成三角形〞的概率是．9．等边ABC △的边长为3，M 是ABC △的外接圆上的动点，如此AB AM ⋅的最大值为 ．10．函数1122log log y =+取最小值时x 的取值范围是 ．11．函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，如此函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为 .12．12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，如此mn 的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，设S 是ABC △的面积，假设2sin ()sin S A BA BC B <⋅，如此如下结论中： ①222a b c <+； ②222c a b >+；③cos cos sin sin B C B C >； ④ABC △是钝角三角形． 其中正确结论的序号是 ． 14．数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-〔p 为常数，0p ≠且1p ≠〕，假设{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，如此1a 所有可能值的集合为 ．二．选择题〔本大题总分为20分〕本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否如此一律得0分．15．圆22:1O x y +=和直线:l y kx =+1k =是圆O 与直线l 相切的〔 〕 (A)充要条件. (B)充分不必要条件. (C)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要条件.16．8(2-展开式中各项系数的和为 ( )(A)1-. (B)1. (C)256. (D)256-.17．)(x f y =是定义在R 上的函数，如下命题正确的答案是 ( )(A)假设()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，如此有()()0f a f b ⋅<.(B)假设()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，如此其在(),a b 内没有零点.(C)假设()f x 在(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，如此其在(),a b 内有零点.(D)假设()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，如此其在(),a b 内有且只有一个零点.18．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为nS ，假设记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ，12k λλ=.如此 ( ) (A)4k =. (B)2k =. (C) 1k =. (D) k 的值与公差d 的大小有关.三．解答题〔本大题总分为74分〕本大题共有5题，解答如下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．〔此题总分为12分〕如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===，直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan．求三棱锥11C A BC -的体积.20．〔此题总分为14分〕此题共有2个小题，第(1)小题总分为6分，第(2)小题总分为8分． 某公司生产电饭煲，每年需投入固定本钱40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动CB1C 1B1AA本钱．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元).〔注：利润=销售收入-本钱〕(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．〔此题总分为14分〕此题共有2个小题，每一小题总分为各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，椭圆Γ过点4(,)33bP ，且220F A F P ⋅=．〔1〕求椭圆Γ的方程；〔2〕假设椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求||CD ．22．〔此题总分为16分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分为4分，第(2)小题总分为6分，第(3) 小题总分为6分．函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.〔1〕求函数()f x 的最小正周期；〔2〕假设存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m -->，求实数的取值范围； 〔3〕对任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立，请说明理由.23．〔此题总分为18分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分为4分，第(2)小题总分为6分，第(3)小题总分为8分． 数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔2〕是否存在,p q *∈N ，使得222()2020p q a b +-=成立，假设存在，求出所有满足条件的,p q ；假设不存在，说明理由. 〔3〕是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．〔理〕1，〔文〕32； 6．54-；7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理，(文)4； 10．(理)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文)1； 11．〔理〕5，(文)14x =；12． ； 13．(文理)④；14．〔理〕{}1,3,67---，〔文〕1-或3-或67-二. 选择题15． B ； 16．B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题19．〔文〕11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒=………………………………4分11//BB CC ， 11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角……6分11111tan A B A BB BB ∴∠===………………………10分11arctan2A BB ∴∠=所以直线B A 1与1CC所成的角为arctan2………………12分19．〔理〕法一：1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分设1CC y =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 如此1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ， 如此，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BCC BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分20． (1)40000()(1640)164360W xR x x x x =-+=--+……6分(2) 解400001643602760W x x =--+≥………………12分得2(50)0x -≤时，所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =.…………………14分 21．〔文〕〔1〕2a a =⇒=3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b +=⇒21b =………6分 所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分〔2〕法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、如此2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+………………9分将1(1)2y k x =-+代入2222x y +=得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--=由212242221k kx x k -+==+得1k =-………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分21．〔理〕(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a +=,解得22a =……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅=又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-，24(,)33bF P c =-，所以24()033b c c --+=而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c =………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分〔2〕法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，如此2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-===………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分如此2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-=两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||3CD x x =-===．……14分22．〔1〕〔文理〕221()cos 2sin 2sin cos 22f x x x x x =++-1πcos 2sin 2cos 2sin 2226x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，……………2分函数()f x 的最小正周期T π=………………………………4分〔2〕当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈--…………………8分〔理〕存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数的取值范围为(),1-∞-.……10分 〔文〕存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数的取值范围为[]2,1--.……10分 〔3〕〔理〕存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分 〔文理〕当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==-+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭………………14分设11()a f x =，如此[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a⎛⎫- ⎪⎝⎭得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分 23．〔文〕 〔1〕法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+=所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n =……………………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立 如此1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+〔2n ≥〕 ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b =……………………………4分法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N 所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n =………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立 如此1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+〔2n ≥〕 ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥ 又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b =……………………………4分〔2〕假设存在,p q *∈N 满足条件，如此244)2392q p +-=（ 化简得2324472q p p -+-=……………………………6分由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q = 得22244712240p p p p +-=⇒+-=……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分〔3〕易得2n S n n =+，如此22n n n S n n b +=， ……………………12分 下面考察数列2()2n n n f n +=的单调性， 因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f =21(6),32f =……………………………16分因为M 中的元素个数为5，所以不等式,n n S n b λ*≥∈N 解的个数为5，故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………18分23．〔理〕 〔1〕法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。
闵行区高三二模数学试卷(理)有答案
第6题图频率/ 组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.05096 98 100 102 104 106闵行区2012第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程组25038x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 ．2．已知集合{}2|4,M x x x =<∈R ，{}2|log 0N x x =>，则集合M N = ．3. 若12122,23i Z ai Z ，且21z z 为实数，则实数a 的值为 ． 4. 用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数 1 … 4 5 6 …解的范围(0,0.5) … (0.3125,0.375) (0.3125,0.34375) (0.3125,0.328125) …若精确到0.1，至少运算n 次，则0n x +的值为 ． 5．已知12e e 、是夹角为2π的两个单位向量，向量12122,,a e e b ke e =-=+若//a b ， 则实数k 的值为 ．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品 净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示， 已知产品净重的范围是区间[]96,106，样本中净重在区间[)96100，的产品个数是24，则样本中净重在区间[)100,104 的产品个数是 ．7. 一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为3π，则该圆锥的侧面积为 ．8. 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=，曲线Γ与C 相交于 两点A 、B ，则弦长AB 等于 .9. 设双曲线226x y -=的左右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限， 直线1PA 、2PA 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅的值为 ．10. 设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．11. 已知随机变量ξ所有的取值为1,2,3，对应的概率依次为121,,p p p ，若随机变量ξ的方差12ξ=D ， 则12+p p 的值是 ．12. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于 ．13. 已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅= ． 14．设()f x 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的x ∈R ，满足 (2)()3,(4)()103x x f x f x f x f x +-≤+-≥⨯,则)2014(f = ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．二项式61()x x-展开式中4x 的系数为 ( ) （A ）15． （B ）15-． （C ）6． （D ）6-．16．在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆是钝角三角形”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 17．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是 ( ) （A ）1-． （B ）0． （C ）12． （D ）98． 18．给出下列四个命题：① 如果复数z 满足||||2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．② 设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的∈R x ，|()||()|f x f x =-恒成立，则()f x 是R 上的奇函数或偶函数．C D O A BCE C 1A 1B 1F ③ 已知曲线221916x y C =和两定点()()5,05,0E F -、，若()y x P ,是C 上的动点，则6PE PF -<．④ 设定义在R 上的两个函数()f x 、()g x 都有最小值，且对任意的x ∈R ，命题“()0f x >或()0g x >”正确，则()f x 的最小值为正数或()g x 的最小值为正数．上述命题中错误的个数是 （ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围． ②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围． （2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求四棱锥B AEFC -的体积；（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过(2,1)2,0)M N 、两点，P 是E 上的动点．（1）求OP 的最大值；（2）若平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)b b <，直线l 交椭圆E 于两个不同点A B 、，求证：直线MA 与直线MB 的倾斜角互补．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．（1）当1,0a b ==时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当1,1a b ==时，若5(2)4xf =，求x 的值； （3）若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．xy O P 1P 2P 3Q 1Q 3Q 2P 423．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．如图，过坐标原点O 作倾斜角为60的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q -，，，，，的长分别为123,,,,,n a a a a ，11122OPQ Q P Q ∆∆，， 2331n n n Q PQ Q P Q -∆∆，，，的面积分别为123,,,,,,n G G G G 数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ； （2）求n a ，limnn nG S →∞；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T ，对于正整数,,,p q r s ，若p q r s <<<，且p s q r +=+， 试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．yA B CE C 1 A 1B 1Fzx闵行区2012第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、（第1题至第14题）1．125318-⎛⎫⎪⎝⎭； 2．()1,2； 3．32-； 4．5.3； 5．12-； 6．44； 7．8π； 8．8； 9． 1； 10． 4； 11．34； 12．18； 13．14-； 14．832014．二、（第15题至第18题） 15．D ； 16．A ； 17．B ； 18．D ． 三、（第19题至第23题）19. [解]①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅== 即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………4分 ②连接OC ，则2400OB x =-(020)x << ……………………2分 所以2()2400S f x AB BC x ==⋅=-(020)x <<即2()2400f x x x =-(020)x <<． ……………………4分 （2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．…… 4分此时20sin102cm 4BC π==，当BC 取102cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．… 2分②22222()24002(400)(400)400f x x x x x x x =-=-+-=， 当且仅当22400x x =-，即102x =S 取最大值2400cm ．……4分，当BC 取102cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．… 2分20.[解]（1）B AEFCV -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………2分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得，所以(1,1,1)n =- ……………………………2分 平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则1113cos 33n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值为33．…3分 21. [解]（1）设椭圆E 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠将(2,1),(22,0)M N 代入椭圆E 的方程，得4181m n m +=⎧⎨=⎩ ………2分解得11,82m n ==，所以椭圆E 的方程为22182x y += …………2分 设点P 的坐标为00,)x y （，则22200OP x y =+． 又00(,)P x y 是E 上的动点，所以2200182x y +=，得220084x y =-，代入上式得222200083OP x y y =+=-，02,2y ⎡∈-⎣ 故00y =时，max OP =22．OP 的最大值为22 ………………2分 （2）因为直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又12OM k =，所以直线l 的方程为12y x b =+． 由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= ………………2分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则212122,24x x b x x b +=-=-．又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--．……… 2分 又112211,22y x b y x b =+=+，所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++-- ………2分 21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----= 故120k k +=．所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补．…………………………………2分22. [解]（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= ……………………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分 解得121212222xx x +-===（舍），或 所以2212log log (12)1x +==+-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||b x a x--< 即b bx a x x x +<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1bx h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分 ②当10b -≤<，在(]0,1上，()2bh x x b x=-≥- 当x b =-min ()2bx b x-=-a 存在，必须有1210b bb ⎧+<-⎪⎨-≤<⎪⎩即1223b -≤<，此时a 的取值范围是(1,)b b +-综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当1223b -≤<时，a 的取值范围是(1,)b b +-；当2230b ≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分23. [解] （1）如图，由11OQ P ∆是边长为1a 的等边三角形，得点1P的坐标为113(,)22a a ，又1P 113(2a a 在抛物线2y x =上，所以211342a a =，得123a = ………………2分同理2P 2232(,)322a a +-在抛物线2y x =上，得243a = ………………2分 （2）如图，法1：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以直线1n n Q P -的方程为13()n y x S -=-或13()n y x S -=--，因此，点n P 的坐标满足213()n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 21330n y S --= ， 所以1111223n S y -++=又3sin 602n n y a =⋅=，故131112n n a S -=++从而21324n n n a a S --= ……① ……………………………………………2分 由①有211324n n n a a S ++-= ……②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，于是123n n a a +-= 所以{}n a 是以23为首项、23为公差的等差数，12(1)3n a a n d n =+-= …………2分 1()1(1)23n n a a n S n n +==+223349n n G a n ==，233lim n n n nG n S →∞→∞==……………………2分法2：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+，即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，， 所以直线1n n Q P -的方程为13()n y x S -=-或13()n y x S -=--因此，点(,)n P x y 的坐标满足213()n y x y x S -⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得213()n x S x --=，又12n n a x S -=+，所以213()22n n n a a S -=+，从而21324n n n a a S --= …① ……2分以下各步同法1法3：点1n Q -的坐标为1231(,0)n a a a a -+++⋅⋅⋅+， 即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，，所以13(2n nn n a a P S -+， 又13(,)22n n n n a a P S -+在抛物线2y x =上，得21342n n n a a S -=+,即21324nn n a a S --=……………2分 以下各步同法1（3）因为2(1)231323n n n n b aa b a++==，所以数列{}n b 是正项等比数列，且公比2301q a =≠，首项2310b a q ==，则100(1)1p p b q T q -=-，100(1)1q q b q T q -=-，100(1)1r r b q T q -=-，100(1)1ss b q T q -=- …… 2分p s T T ⋅q r T T -⋅=21000020(1)(1)(1)(1)(1)p s q rb q q q q q ⎡⎤⋅-----⎣⎦-（注意00p s q r q q ++=） 21000020()()(1)q r p sb q q q q q ⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- ………………………… 2分 而00000000()()()()q r p s q p s r q q q q q q q q +-+=---0000000(1)(1)(1)()p q p r s r q p p rq q q q q q q ---=---=--（注意q p s r -=-） 000000(1)(1)(1)(1)q p p r p p q p r p q q q q q q ----=--=--- ……………………… 2分因为01a a >≠且，所以230001q a q =>≠且,又,q p r p --均为正整数，所以0(1)q p q --与0(1)r pq --同号，故000(1)(1)0p q p r pq q q -----<，所以，p s T T ⋅q r T T <⋅．………………… 2分（第（3）问只写出正确结论的，给1分）11 / 11。
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闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为 ． 2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z += ．3．双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 .4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ．5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++ = .7. 设二项式(31)n x +的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且1264p q +=，则n 的值为 .8． m 是从集合{}1,0,1,2,3-中随机抽取的一个元素,记随机变量ξcos()3m π=⋅,则ξ的数学期望E ξ= .9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是 ．10．已知数列{}n a 满足21221()n n n a a a n *+=-++∈N ，则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的集合为 ．11．斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………ABDy xCP NMO12．函数2()log (1)8a f x x a x =++-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是 . 13．如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 ．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)()1xg x a x a x =++∈+R ，若对任意的{}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种. 17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A) π. (B) 34π. (C) 35π. (D) π2.18． 如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △ 中，2,2,22BC AC AB ===，点P 是边AC 上的动点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为 ( ) (A) 2. (B) 22. (C) 15+. (D)10.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域ABl CαPOPSAQOB内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧 AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1) 角C 的范围；(2)2ac的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*2(0,116,)y px p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨． （1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．(1) 求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM △面积S 的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有(2,)m m m *≥∈N 项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在n *∈N ，使不等式 1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+成立，求实数λ的范围．闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准（文理）一. 填空题 1．{}1； 2．5； 3．3π； 4．13； 5．（理）23，（文）40-； 6．（理）323 ，（文）8； 7．（理）4，（文）3-；8．(理) 110，(文) 3；9．④；10．(理) {}|2015,n n n *≥∈N ，(文) 2015等； 11．2； 12．(文理) (]1,2；13．（理）2,2⎡⎤-⎣⎦，（文）[]4,4-；14．（文理）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．二. 选择题 15． B ； 16． D ； 17．B ； 18． C ． 三. 解答题19．[解] 取OA 的中点M ,连接PM ,又点P 为母线SA 的中点所以//PM OS ，故MPQ ∠为PQ 与SO 所成的角．………………………2分 在Rt MPQ △中，4MPQ π∠=，PM QM =，………………………4分由点Q 为半圆弧AB 的中点知 OQ AB ⊥， 在Rt MOQ △中，10,555OQ OM MQ ==⇒=PSAQO BM故55PM =，所以105OS =，=106SA ． ………………………8分 所以2S 100r ππ==底，101061006S r SA πππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分1001006100(16)S S S πππ=+=+=+全底侧．…………………………………12分20．[解] （1）因为23A C π+=，23A C π=- …………………………………2分 由0,022C A ππ<≤<≤得：62C ππ≤≤…………………………………4分（2）24sin sin 2sin sin a R A A c R C C== …………………………………6分 2sin()sin 3cos 3cos 1sin sin sin B C C C C C C C++===+（62C ππ≤≤）……………10分 当2C π=时，23cos 11sin a Cc C=+= 当62C ππ≤<时，(]2311,4tan a c C=+∈ …………………………………12分 所以2a c []311,4tan C=+∈. …………………………………14分21．[解](1)由条件得20242100p p =⋅⇒=，所以*10(116,)y x x x =≤≤∈N 2分1010M mx x x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． …………………………………6分（２）因为030M ≤≤，所以()*10100116,101030mx x x x x mx x x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立 ………………………8分()*10101116,20101m x x x x m x x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立 ………………………10分 设1t x=，则：114t ≤≤ 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立，由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得 72m ≥（4x =时取等号） ………………………12分 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号） 所以71924m ≤≤． ………………………14分22．[解]（1）（文理）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2214x y +=．…4分（2）（理）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0M AM B ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N - ………………………6分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=， 221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分 证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ；取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++ 2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分 （文）由条件0MA MB ⋅= ，知道1MA MB k k =-, (0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分 解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分 310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -． ……………………………10分（3）（理）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -=212124()45x x x x +-⋅ 由第(2)小题的③④代入，整理得：22322542514k S k +=⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设22542t k =+≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ……………………………14分 92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)． 所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分（注：文科第（3）小题的评分标准参照理科第（2）小题） 23． [解] （1）（文理）当1n =时，由1112(1)S b b =+得11b = …………1分 当2n ≥时，由2(1)n n n S b b =+，1112(1)n n n S b b ---=+得111()()n n n n n n b b b b b b ---+-=+因数列{}n b 的各项均为正数，所以11n n b b --= ………………………………3分 所以数列{}n b 是首相与公差均为1等差数列所以数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………………………………4分 （2）（理）数列{}n a 的通项公式为2n n a = ……………………5分 当21(2,)m k k k *=-≥∈N 时，数列{}n c 共有(21)12(22)(21)k k k k -++++-=- 项，其所有项的和为22122222(21)(222)[1234(23)(22)]k k k S k k --=++++-+-+---+- 2122(21)[37(45)]22(21)(1)k k k k k -=-++++-=-+--11(1)222m m m +=-+- ………………………………8分 当2()m k k *=∈N 时，数列{}n c 共有212(21)(21)k k k k ++++-=+ 项，其所有项的和为22(21)(21)2(21)k k k k k S S k +-=+--2222122(21)(1)2(21)2(21)2k k k k k k k k +=-+--+--=---11(1)222m m m +=--+- ……………………………11分（文）数列{}n a 的通项公式为2n n a = …………………………5分 数列{}n c 中一共有2015123201410082015+++++=⨯ 项，其所有项的和为220152222210082015(222)[123420132014]S ⨯=++++-+-+--+ ……8分20152016340272(21)(37114027)2210072+=-+++++=-+⋅ 20162016220151007222029103=+⨯-=+ ……………………………11分（3）（理）由1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+得 2111,1,2,3,1(1)n n n n n λ+≤≤+=++ ……………………………13分记211,1,1,2,3,1(1)n n n n A B n n n +==+=++ 由12,(1)(2)n n nA A n n n +--=++211(1)n B n =++递减（或12223(1)(2)n n n B B n n ++-=++）………………………15分 得123,A A A >= 345A A A <<< ，123B B B >>>所以实数λ的范围为[]21,A B ,即55,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………………18分 (文) 由11820(1)(1)n n nn n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭得 28201,1,2,3,(1)n n n n λ+≤≤+=+ ……………………………13分 记2820,1,1,2,3,(1)n n A n B n n n =+=+=+ 因为842n A n n =+≥，当22n =取等号，所以8n A n n=+取不到42 当3n =时，8n A n n=+的最小值为3253A =2201(1)n B n =++（n *∈N ）递减，2201(1)n B n =++的最大值为16B =…………15分所以如果存在n *∈N ，使不等式 11820(1)(1)n n nn n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立 实数λ应满足31A B λ≤≤，即实数λ的范围应为17,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………18分。