知识点三 三角形面积公式 (1) S ＝12ah a ＝12bh b ＝1
2
ch c ；
(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ca sin B .
类型一利用正弦、余弦定理解三角形
例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD 的长度．
反思与感悟解三角形的一般方法：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
跟踪训练1
如图，在△ABC中，∠B＝π
3，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝
1
7.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
类型二 三角变换与解三角形的综合问题
命题角度1 三角形形状的判断
例2 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)· sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．
命题角度2 三角形边、角、面积的求解
例3 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．
反思与感悟 该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．
跟踪训练2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝
25
5，求△ABC 的面积S .
类型三正弦、余弦定理在实际中的应用
例4某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC
＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚2
17秒．在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
反思与感悟应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
跟踪训练3甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
1．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实根，则A 为( ) A ．锐角 B ．直角 C ．钝角
D ．不存在
2．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32
D ．3 3
3．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 处测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．
1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B 等价于a >b 等价于sin A >sin B . 2．对所给条件进行变形，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
