拉普拉斯变换和反变换

F (s)s(s2s 2 1 s 5 )1 5 [1 ss2 s 2 s3 5 ]
L 1 [(s 1 s ) 2 3 4 ] L 1 [(s ( 1 s ) 2 1 )4 ] L 1 [(s 1 4 )2 4 ]
0
s
t
L[ 0
t 0
f(t)dnt]s1nF(s)
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（7）初值定理
lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
f(0)lim sF(s) s
（8）终值定理
lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
f()lim sF(s)
Fssp1
Ns sp2 .......spn
k1 k2 .........kn
sp1 sp2
spn
其中 k i [F s(s p i)s ]p i
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例
F(s)s2
s1 5s6
解：（1）F（s）的极点
s25s60 s1 2 s2 3
Fs 的原函数；L是表示进行拉氏变换的
符号。
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F(s)L[f(t)]
f(t)L1[F(s)]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数
f t 变换为一个在复数域内与之等价的
复变函数 Fs。
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1）、 典型函数的拉氏变换
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
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2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
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应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一 般步骤 ：
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（3）抛物函数（又称加速度函数）
f(t)1 2k2t1(t) 1 20k2t
（k =const）
t0 t0
f (t)
f (t)
k
t 0
t 0
（a） 阶跃函数 （b） 斜坡函数
f (t)
t 0 （c） 抛物函数
r(t)
Ra t0
t
0 t0
（d） 脉冲函数
(t)
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例
F(s)s(s2s21s5)
解： F (s)s(s2s 2 1 s5 )c s1s2 c2 s2 sc 35
两边同乘以
s22s5 ss21j2
得
乘共轭
1 1 j2j2 1c2(1j2)c3
(-1-j2)
0tf()g(t)d
L [ f( t ) * g ( t ) F ] ( s ) G ( s ) G ( s ) F ( s )
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二、 拉氏反变换及其计算方法
1、拉氏反变换
f(t)L1(F(s))1 cj F(s)esd t s 2j cj
单位斜坡函数
f(t)t1(t) 0t
t0 t0
f (t)
f (t)
k
t 0
t 0
（a） 阶跃函数 （b） 斜坡函数
f (t)
t 0 （c） 抛物函数
r(t)
Ra t0
t
0 t0
（d） 脉冲函数
(t)
t
0
（e） 单位脉冲函数
r(t)
1
t
0
（f） 正弦函数
F(s)

1 s2
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t
0
（e） 单位脉冲函数
r(t)
1
t
0
（f） 正弦函数
F (s)L [f(t) ]0 1 2k2e t sd t ts k 3
单位抛物函数
f(t)12t21(t)120t2
t0 t0
1 F(s) s3
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（4）单位脉冲函数
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(t)
F ( s ) ( s b r p 1 ) r ( s b r p 1 1 ) r 1 ( s b 1 p 1 ) ( s a r p r 1 1 ) ( s a n p n )
其中 b r [F s(s p 1 )r]s p 1
f(t)L 1[s 22]L 1[(s 22)2]L 1[(s 1 2)3]L 1[s 23](22t1 2t2)e2t2e3t
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F (s)s(s2s 2 1 s5 )c s1s2 c2 s2 sc 35
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开
成部分分式
F (s ) s2 s5 s 1 6 (s s 2 ) s 1 ( 3 ) sc 1 2 sc 2 3
c1(s2)(ss 2)s 1 (3)
1
s2
s1
c2(s3)(s2)s(3)
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拉普拉斯变 换和反变换
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式中，s是复变数，sj（ 、
均为实数）， e st 称为拉普拉斯积分；Fs 0
是函数 f t 的拉氏变化，它是一个复变函数，
通常称 Fs 为 f t 的象函数，而称 f t 为
解： F ( s ) ( s 2 s ) 3 ( 1 s 3 ) s c 1 2 ( s c 2 2 ) 2 ( s c 3 2 ) 3 s c 4 3
c4(s3)(s2 s) 3(1 s3)
2
s3
c3

s1 (s3)
s2
1
c2
d s1 ds(s3)
2
s3
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F (s)s2 s5 s1 6s 12s 23
（3）进行拉氏反变换
f (t) L1[F(s)]
L1[ 1 ] L1[ 2 ]
s2
s3
e2t 2e3t
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2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
特别在零初始条件下
f(0 )f(0 ) f(n 1 )(0 ) 0
L[f(n)(t)]snF(s)
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（6）积分定理
L[tf(t)d] t 1F(s)1tf(t)d t
0
s
s0
t 0
当初始条件为零时，则
L[ tf(t)d]t1F(s)
（1）计算有理分式函数F（s）的极点；
（2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式；
（3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进
行拉氏逆变换。
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1）当解出 s pi (i1,2,.....n.), 为单
根时，对 F(s) 作因式分解：
s 0
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（9）象函数的微分性质tf (t ) 的拉氏变换
Ltftd Fs
ds
（10）象函数的积分性质 f ( t ) 的拉氏变换
t
Lft11）卷积定理
f(t)*g(t) f()g(t)d
L [cto ] 1 2 s0 (ej t e j t)e sd t s t2 s2 第9页
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2、拉氏变换的运算法则 （1）线性定理
L [a(t) f b(t) g ]a(s F ) b(s G )
F ( s ) ( s 2 s ) 3 ( 1 s 3 ) s 2 2 ( s 2 2 ) 2 ( s 1 2 ) 3 s 2 3
f( t ) L 1 [ s 2 2 ] L 1 [ ( s 2 2 ) 2 ] L 1 [ ( s 1 2 ) 3 ] L 1 [ s 2 3 ] ( 2 2 t 1 2 t2 ) e 2 t 2 e 3 t
0
s
指数衰减函数
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（6）正弦函数
f(t)si nt1(t)
(t)
et
f (t)
f (t)
1
1
e t
t
0
0
t
t
0
L [sti] n 2 1 j0 (ej t e j t)e sd t ts22
（7）余弦函数
f(t)cots1(t)
（1）阶跃函数（位置函数）
0 f(t)k
t 0 t 0
（k =const）
f (t)
f (t)
k
t 0
t 0
（a） 阶跃函数 （b） 斜坡函数
r(t)
Ra t0
t
0 t0
（d） 脉冲函数
(t)
t
0
（e） 单位脉冲函数
f (t)
t 0 （c） 抛物函数
r(t)
1
t
0
（f） 正弦函数
F(s)L[f(t)]k esd t tk
0

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（5）指数函数
et 1(t)
f (t) 0指数增长函数(t) t e 1(t) 指数衰减函数0 t
et
f (t)
1
e t
0
t
f (t)
1
0
t
L[et]etestd t 1
0
s
指数增长函数
L[et]etesd t t 1
第13页
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（4）相似定理
L[f(a)t]1F(s) aa
（5）微分定理
L [f(t) ]s(F s) f(0 )
第14页
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微分定理推论
L[f(n)(t) ]snF(s)sn1f(0)sn2f(0) s(fn2)(0)f(n1)(0)
2
s2
c112dd22s(ss 13)
2
s2
第27页
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3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因 式分解：
F (s) a 1 s a 2 a 3 a n (s p 1 )s( p 2 ) s p 3 s p n
[ a 1 s a 2 ] s p 1 [ F s ( s p 1 ) s ( p 2 ) s p 1 ]
c2


1 5
c3

3 5
c1ss(s2s 21 s5)
1 s0 5
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F ( s ) ( s 2 s ) 3 ( 1 s 3 ) s c 1 2 ( s c 2 2 ) 2 ( s c 3 2 ) 3 s c 4 3
（2）延迟定理
L [f(t) ]esF(s) (t)
t
0
f (t) f (t )
0
t
t
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（3）位移定理
控制工程基础
L[etf(t)]F(s)
L[et f (t)] et f (t)estdt 0
f (t)e(s)tdtF(s) 0
0
s
单位阶跃函数，记作1( t )
1(t) 10
t 0 t 0
L[1(t)] 1 s
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（2）斜坡函数（又称速度函数）
0 f(t)kt1(t) kt
（k =const）
t0 t0
F(s)L[f(t) ] 0 k tse d t tsk2
… br1{d d[sFs(sp1)r]s}p1
brj 1 j!{ddjjs[Fs(sp1)r]} sp1
b1(r 11){ !d drr 1 s1[Fs(sp1)r]s} p1
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例
F(s)(s2s)3(1s3)
控制工程基础

0
t 0 t 0
(t)
et
f (t)
f (t)
1
1
e t
t
0
0
t
t
0
重要性质
(t)f(t)dtf(0)
(t)d t 0(t)d t1

0
L [(t) ](t)e sd t t(t)e sd t 1 t