2010届二模闵行区高考数学理
2011年闵行区数学高三二模(文理合卷)
闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合{}11M x x =+≤，{}1,0,1N =-，那么M N = .2．线性方程组的{32521x y x y +=+=-增广矩阵为 . 3．已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+= . 4．2221lim 1n n n n →∞-=++ . 5．若13z a i =+，234z i =+，且12z z 为纯虚数，则实数a = . 6．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm ，则该圆锥的体积为 3cm .7．经过点(2,0)A 且与极轴夹角为2π的直线l 的极坐标方程为 . 8．已知数列{}n a 是以15-为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第 项.9则ξ的方差D ξ= .10．若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则12a b+的最小值为 . 11．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=,[]0απ∈，,()f OM ON α=+，则()αf 的范围为 .12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 .13．已知双曲线22221x y a b-=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双 曲线的两条渐近线方程为 .14．已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：53222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=，53201020102010(4)(4)(4)6f a a a -=-+-=-，n S 是其前n 项和，则2011S = .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的 [答]（ ） (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.16．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 [答]（ ）(A)16. (B)18. (C)27. (D)36.17．设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4xf x x =-的零点分别为12x x 、，则[答]（ ）EBCDA 1P B 1C 1D 1.A(A) 1201x x <<. (B) 121x x =. (C) 1212x x <<. (D) 122x x ≥.18．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数22()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，都使12()()f x f x <成立的条件序号是[答]（ ）(A) ①③. (B) ②④. (C) ③④. (D) ④.三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=o ，14AD =，点P 是1AD 的中点，求 异面直线1AA 与1B P 所成的角（结果用反三角函数表示）．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表:污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()204(1)f x x x =-≥，220()(4)(1)3g x x x =-≥，224017()log (1)114h x x x x =--≥，其中x 表示月数，()()()f x g x h x 、、分别表示污染度.（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =.（1）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA △、12OA A △及2OA B △的重心依次为123G G G 、、，试用向量a 、b 表示123OG OG OG ++；（2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题满分7分．已知椭圆2214x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值； （2）若65t =，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=o； （3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（3）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由． ○我 ○爱 △李○春 ◇衡闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试EPD 1C 1B 1A 1DC BA数学试卷参考答案与评分标准一.填空题 1.{}1,0-； 2.325121⎛⎫⎪-⎝⎭； 3.13； 4.2； 5. 4-； 6.3π； 7.理cos 2ρθ=，文220x y --=；8.8； 9. 理4.3,文 10.理3+，文4； 11. 理[]1,2，文215； 12. 32；13.0y ±=，文29arccos35； 14. 6033. 二.选择题 15. A ； 16.B ； 17.A ； 18.D.三.解答题 19.解：（1）解法一：过点P 作11PE A D ⊥，垂足为E ，连结1B E （如图），则1PE AA ∥，1B PE ∴∠是异面直线1AA 与1B P 所成的角． （3分）在11Rt AA D △中 ∵1160AD A ∠= ∴1130A AD ∠=11111122A B A D AD ===,111112A E A D ==，1B E ∴==112PE AA ==（8分） ∴在1Rt B PE △中，11tan B E B PE PE ∠===（10分） ∴异面直线1AA 与1B P所成的角为arctan3． （12分） 解法二：以1A 为原点，11A B 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标 系如图所示，则1(000)A ，，，(00A ，，1(200)B ，，，P （4分）1(00A A ∴=，，1(B P =-（8分）∴111111cos ||||AA B P A A BP A A B P ⋅<>=⋅，==．（10分）∴异面直线1AA 与1B P所成的角为 （12分） 20.解：（理）（1）(2)40,(2)26.7,(2)27.3f g h =≈≈ （3分） (3)20,(3) 6.7,(3)10.9f g h =≈≈ （6分）由此可得()h x 更接近实际值，所以用()h x 模拟比较合理. （7分）（2）因224017()log (1)114h x x x x =--≥在4x ≥上是增函数， 又因为(23)59.6,(24)60.9h h ≈≈ （12分） 故整治后有23个月的污染度不超过60. （14分） （文）（1）(2)40,(2)26.7,(2)30f g h =≈= （3分） (3)20,(3) 6.7,(3)12.5f g h =≈≈ （6分）由此可得()h x 更接近实际值，所以用()h x 模拟比较合理. （7分） （2）因2()30log 2h x x =-在4x ≥上是增函数，又因为(16)60h = （12分）故整治后有16个月的污染度不超过60. （14分）21. 解：（理）（1）如图：点1A 、2A 是线段AB 的三等分点， 111211()()323OG OA OA OA OA ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，同理可得：2121()3OG OA OA =+，321()3OG OA OB =+，（2分）则1231212()()33OG OG OG a b OA OA ++=+++1212()()()3333a b a b a a b a ⎡⎤=+++-++-⎢⎥⎣⎦()a b =+（4分） （2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12a bOA +=；122()3OG OG a b +=+；设123A A A 、、是AB 的四等分点，则()12332a b OA OA OA +++=；或设121,,,n A A A -是AB的n 等分点，则OA OA OA OB k n k +=+-等等（结论2分，证明2分） 层次2：设12,,,n A A A-是AB的n等分点，12321()2n n n a b OA OA OA OA OA --++++++=（结论2分，证明4分） 层次3：设121,,,n A A A -是AB 的n 等分点，则12321()3n n n a b OG OG OG OG OG --++++++=； （结论3分，证明7分） 证：12112112()()33n n OG OG OG a b OA OA OA --+++=+++++12121()()()()33n a b a b a a b a a b a n n n -⎡⎤=+++-++-+++-⎢⎥⎣⎦12121121()(1)()()33n n a b n a b a n nn n nn --⎡⎤=++-++++-+++⎢⎥⎣⎦12(1)()()()3323n na b a b a b -=++⋅+=+ （文）（1）如图：点P 、Q 是线段AB 的三等分点OP OA AP =+1()3OA OB OA =+-，则2133OP a b =+，同理1233OQ a b =+， （2分）所以 OP OQ a b +=+ （4分）（2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12a bOA +=设123A A A 、、是AB 的四等分点，则 ()12332a b OA OA OA +++=等等（结论2分,证明2层次2：设121,,,n A A A -是AB 的n 等分点，则OA OA OA OB k n k +=+-等；（结论2分，证明4分） 层次3：设121,,,n A A A -是AB 的n 等分点，则1211()2n n OA OA OA a b --∴+++=+； （结论3分，证明7分） 证：121,,,n A A A -是线段AB 的)3(≥n n 等分点，先证明这样一个基本结论:k n k OA OA OA OB -+=+*(11,)k n n k ≤≤-∈N 、.[来源:学科网ZXXK]由=k k OA OA AA +,=n k n k OA OB BA --+,因为k AA 和n k BA -是相反向量， 则0k n k AA BA -+=, 所以 k n k OA OA OA OB -+=+. 记12321n n S OA OA OA OA OA --=+++++，1221n n S OA OA OA OA --=++++相加得1122112()()()(1)()n n n S OA OA OA OA OA OA n OA OB ---=++++++=-+[来源:学.科.网]1211()2n n OA OA OA a b --∴+++=+ 22.解：设直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,)(,)A x yB x y 、.（1）把x t =代入2214x y +=可得：y = （2分）则112OAB S OD AD t ∆=⋅=⋅≤，当且仅当t = （4分） （2）由226514y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2125240440x x -+=，1244125x x =，124825x x +=（6分）所以 ()()()()1212121266552222AM BMx x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==----()()1212121263652524x x x x x x x x -++=-++ 4464836125525254448241255-⋅+=-⋅+64164-==-⇒90AMB ∠=o （9分）[来源:学科网ZXXK][来源:学#科#网]（3）（理）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-，由22()14y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222(41)8440k x k tx k t +-+-= 则21222212208414441k t x x k k t x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① 又 1122()()y k x t y k x t =-⎧⎨=-⎩ ② 若存在定点(,0)E m 符合题意，且则为非零常数),(s s k k BE AE =⨯221212122121212(())()()()AE BEy y k x x t x x t k k s x m x m x x m x x m -++===---++ （11分） 把①、②式代入上式整理得22224()(4)(4)0k s t m t s m ---+-=⎡⎤⎣⎦(其中m t s 、、都是常数) 要使得上式对变量(0)k k ≠恒成立，当且仅当2224()(4)0(4)0(0)s t m t s m s ⎧---=⎪⎨-=≠⎪⎩，解得2±=m （13分） 当2=m 时，定点E 就是椭圆的右顶点(2,0)，此时，24(2)t s t +=-；当2m =-时，定点E 就是椭圆的左顶点(-2,0)，此时，24(2)t s t -=+； （15分）当直线l 与x 轴垂直时，由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得两交点坐标为((,A t B t ，可验证：24(2)AE BE t k k t +=-或24(2)t t -+ 所以，存在一点E (2,0)（或(-2,0)），使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数24(2)t t +-（或24(2)t t -+）. （16分）（文）直线AM 和BM 的斜率的乘积是一个非零常数. （11分）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-， 由22()14y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222(41)8440k x k tx k t +-+-= 则21222212208414441k t x x k k t x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① 又 1122()()y k x t y k x t =-⎧⎨=-⎩ ② （13分） 所以22121212121212(())2()(2)(2)2()44(2)AM BM y y k x x t x x t t k k x x x x x x t -+++===---++-常数（15分） 当直线l 与x 轴垂直时，由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得两交点((,A t B t ，[来源:学科网ZXXK] 显然24(2)AM BM t k k t +=-.所以直线AM 和BM 的斜率的乘积是一个非零常数.（16分） 23. 理：(1) 由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n 所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. （2分） 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20. 综上，数列{}n a 是T 数列. （4分）(2)因为11331350(1)50502222n n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以当1350022n ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增（6分） 当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（9分） （3）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤， 即当615p <≤时符合122++≤+n n n c c c 条件. （11分） 若2n ≥，则1≤n p ,此时1n p c n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p p c c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n=-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； （13分） ②当23p <≤时， [来源:学科网ZXXK]取1n =则：1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由0322231>-=-+p c c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列. （15分） ③当3p >时，取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206p c c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. （17分） 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列.（18分） （文）：(1) 由2n a n =-得222212(2)2(1)20n n n a a a n n n +++-=--+++=-< 所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. （2分） 2n a n =-(*n ∈N )单调递减,所以当n =1时，n a 取得最大值-1，即1n a ≤-. 所以，数列{}n a 是T 数列. （4分）(2) 由243n n b n =-得()1124132432423n n n n n b b n n ++-=+--+=-⋅，当24230n -⋅≥,即2n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增； （6分） 而当3n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；因此数列{}n b 中的最大项是3b ，所以，M 的取值范围是 3494M b ≥=. （9分） （3）假设数列{}n c 是T 数列，依题意有： 2111222(2)(1)()(1)(2)n n n c c c p n p n p n p n p n p n +++-=+-=--+-+-----(11分） 因为*n ∈N ,所以当且仅当p 小于n 的最小值时,2102n n n c c c +++-≤对任意n 恒成立， 即可得1p <. （14分） 又当1p <时，0n p ->,1n c q q n p=-<-，故M q ≥ （16分） 综上所述：当1p <且M q ≥时，数列{}n c 是T 数列． （18分）我 爱 李 春 衡❤薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
2010闵行区数学二模(含答案)
2010年闵行区九年级数学质量调研考试一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．2010年上海世博会预测参观总人次超过70 200 000人次，将70 200 000用科学计数法表示正确的是（ ） （A ）702×105； （B ）7.02×107； （C ）7.02×108；（D ）0.702×108．2．点P （1，-3）关于原点对称的点的坐标是（ ） （A ）（-1，-3）； （B ）（1，3）； （C ）（-1，3）； （D ）（3，-1）． 3．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，如果AC = m ，∠A =β，那么AB 的长为（ ） （A ）βsin ⋅m ； （B ）βcos ⋅m ； （C ）βsin m； （D ）βcos m．4．在直角坐标平面内，如果抛物线223y x =-经过平移后与抛物线22y x =重合，那 么平移的要求是（ ）（A ）沿y 轴向上平移3个单位； （B ）沿y 轴向下平移3个单位；（C ）沿x 轴向左平移3个单位； （D ）沿x 轴向右平移3个单位． 5．已知两圆的半径分别是1 cm 和5 cm ，圆心距为3 cm ，那么这两圆的位置关系是（ ） （A ）内切； （B ）内含； （C ）外切； （D ）相交．6．如果一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多 边形（ ）（A ）是轴对称图形，但不是中心对称图形； （B ）是中心对称图形，但不是轴对称图形； （C ）既是轴对称图形，又是中心对称图形； （D ）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：32(3)a = ____________.8．不等式320x -<的解集是________________．93=的解是________________． 10．已知函数2()x f x x-=，那么(2)f -=_______________．11．已知点A （2，-1）在反比例函数k y x=（k ≠ 0）的图像上，那么k =________．12．一次函数25y x =-的图像在y 轴上的截距是_________．13．抛物线222y x x =-+在对称轴的左侧部分是_______．（填“上升”或“下降”） 14．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，那么掷出的点数小于3的概率为____________．15．已知AB a = ，AC b = ，那么BC =_____________．（用向量a 、b的式子表示）16．已知⊙O 的直径AB = 26，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，且OE = 5，那么CD =____．17．在四边形ABCD 中，AD // BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．（只要填写一种情况） 18．如图，在△ABC 中，AB = AC ，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，那么tan ∠ABC =___________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．先化简，再求值：2121)a a a aa-+-÷（，其中a =20．解方程组：2225,210.x y x x y y +=⎧⎨-+-=⎩21．（本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分，满分10分）今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，参加植树学生植树情况的部分统计结果如图所示．请根据统计图形所提供的有关信息，完成下列问题： （1）求参加植树的学生人数； （2）求学生植树棵数的平均数；（精确到1）（3）请将该条形统计图补充完整．4植树棵数ABCDE（第18题图）①②22．如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，BC = 5，点M 是边CD 的中点，联结AM 、BM ．求：（1）△ABM 的面积； （2）∠MBC 的正弦值．23．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是对角线BD 上，且BE = EF = FD ，联结AE 、AF 、CE 、CF ．求证：（1）AF = CF ；（2）四边形AECF 菱形．24．如图，已知抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数；（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得 △PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（第24题图）A BC（第22题图）MD F（第23题图） DCB A E25．如图，在△ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，BO ⊥AC ，垂足为点O ．过点A 作射线AE // BC ，点P 是边BC 上任意一点，联结PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B 、P 两点间的距离为x ．（1）如图1，如果四边形ABPQ 是平行四边形，求x 的值；（2）过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为点R ，当x 为何值时，△PQR ∽△CBO ？ （3）设△AOQ 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域．闵行区2009学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷 参考答案以及评分标准一、选择题：（共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．C ．COBAE（备用图）COPBQAE（第25题图1）C O BAE（第25题图）QP二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分）7．；8．；9．x = 4；10．2；11．-2；12．-5；13．下降；14．；15．；16．24；17．AD = BC或AB // CD或∠A =∠C等，正确即可；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式= ……………………………………………………（3分）．…………………………………………………………………（3分）当时，原式= ．………………………………………（4分）20．解：由②得，．………………………………………（3分）原方程组可化为………………………………………………（3分）分别解这两个方程组，得原方程组的解是……………………………………………………………（4分）说明：学生如果利用代入消元法求解，参照给分。
2010闵行高三高考二模理科数学
闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若2ia bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b += . 2．A 、B 是两个随机事件，()0.34P A =，()0.32P B =，()0.31P AB =，则()P A B = .3．方程1111900193x x=-的解为 . 4．6(21)x +展开式中2x 的系数为 .5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 （精确到0.01）. 6．已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4π，球心 O 的体积等于 . 7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： . 8．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ， 则k = .9．设等差数列n a 的前n 项之和n S 满足40510=-S S ， 那么 =8a .10．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==t y tx 2（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+，则圆C 的圆心到直线l 的距离是 .11．定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式成 绩人 数 40 1 1 50 60 2 2 1 3 70 80 90ABC D E F012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ .12．已知5是方程()f x x k +=（k 是实常数）的一个根，1()f x -是()f x 的反函数，则方程1()f x x k -+=必有一根是 .13．函数()x bf x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分非必要条件是 .14．对于自然数n (2)n ≥的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：23423417251372,2,2,,33,39,327,35951129⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 231355,579⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩仿此，3k *(,2)k k ∈≥N 的分解中的最大数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是 [答]（ ）(A) AB AC ⋅.(B) AB AD ⋅ .(C) AB AE ⋅ .(D) AB AF ⋅ .16．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 [答]（ ）(A),63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (C) ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (D) 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 17．数列{}n a 中，已知12a =-，21a =-，31a =，若对任意正整数n ，有321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，且1321≠+++n n n a a a ，则该数列的前2010项和2010S = [答]（ ） (A) 2010. (B) 2011-. (C) 2010-. (D) 2008-.18．设点()y x P ,是曲线11692522=+y x 上的点，又点)12,0(),12,0(21F F -，下列结 论正确的是 [答]（ ） (A) 2621=+PF PF . (B) 2621<+PF PF .(C) 2621≤+PF PF . (D) 2621>+PF PF .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图,在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M N 、分别为PC PB 、的中点. （1）求证：AM PB ⊥； （2）求BD 与平面ADMN 所成的角.21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(1)n -米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？A B C DN M P22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“⊗”：21212()x x x x ⊗=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y，定义()d AB =(1)若0x ≥，求动点(,P x 的轨迹C ； (2)已知直线11:1l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，若=a 的值；(3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求|()||()||()||()|dST d ST d SP d SQ +的取值范围．23.（本题满分18分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()31122log ,(,),(,)1f x M x y N x y x=-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+ （O 为坐标原点）. （1）求证：12y y +为定值；（2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ *(2)n n ∈≥N ，， 求1149lim 49n n n n S S SS n ++→∞-+的值；（3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++ ； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29. 二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x =-= （8分）（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2 ，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分） 文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分） 故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分） 所以AM PB ⊥. （7分）（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥，故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分）设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =- ,设BD 与PB夹角为α，则1sin cos 2BD PB BD PBθα⋅====⋅ ， （12分） 又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分）解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥ 平面ADMN ，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分） 在Rt ABD ∆中，BD == 在Rt PAB ∆中，PB ==，故12BN PB ==， 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， （12分） 故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分） 第1225米位于第25区， （4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩， （13分） 解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分）22.（本题满分16分）（理）(1)设y =,则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y =≥0可得P (x)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 （4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分）=====（8分） 解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分）(3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P QOT OT c c PP QQ x x +=+．由28y x x my c ⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==． （14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立 ∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）． （16分） （文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=． （2分） 因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P 则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y x x x =-<<≠-） （4分）（2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =．此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分）又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h = （8分）122ABC S AB h =⋅=△． （10分） （3）由（1）得1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-= （12分）又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =． （14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． （16分） 23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON =+，所以P 是MN 的中点，有121x x +=,12123312log log 11y y x x ∴+=+--12312123log 11()x x x x x x ==-++（4分） （2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+=121()()()n n S f f f n n n -=++ ① 121()()()n n S f f f n n n-=+++ ②①+②得12n n S -= （6分） 111149231lim lim 49233n n n n S S n n S S n n n n ++--→∞→∞--==-++ （10分） （3）当2n ≥时， 111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⋅又当1n =时，11,6a =所以1112n a n n =-++ （12分） 故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++ （14分） 1(1)n n T m S +<+ 对一切*n ∈N 都成立，即211(2)n n T nm S n +>=++恒成立（16分） 又2114(2)84n n n n=≤+++，所以m的取值范围是1(,)8+∞ （18分） （文）（1）122nn n a a +=+，11122n n n n a a +-=+， （2分） 11n n b b +=+， 故{}n b 为等差数列，11b =，n b n =. （4分）（2）由（1）可得12n n a n -=（6分） 12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得n n n n n n n S 21222222121⋅--=⋅-+++=-- ，即12)1(+-=nn n S （8分） 11(1)211lim lim 222n n n n n n S n n n ++→∞→∞-+∴==⋅⋅ （10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n nn n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++ 单调递增，即123113n d d d d d ++++≥= ， （14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+ 对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分）∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾. ∴满足条件的实数t 不存在. （18分）。
闵行区高考数学调研理卷
闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M x x =+≤，{}1,0,1N =-，那么M N =I . 2．线性方程组的{32521x y x y +=+=-增广矩阵为 .3．已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+= . 4．2221lim 1n n n n →∞-=++. 5．若13z a i =+，234z i =+，且12zz 为纯虚数，则实数a = .6．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm cm ，则该圆锥的体积为 3cm .7．经过点(2,0)A 且与极轴夹角为2π的直线l 的极坐标方程为 . 8．已知数列{}n a 是以15-为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第 项.9．如果随机变量ξ的概率分布律由下表给出：则ξ的方差D ξ= .10．若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则12a b+的最小值为 .11．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=,[]0απ∈，,()f OM ON α=+u u u u r u u u r，则()αf 的范围为 .12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的最大值为 .13．已知双曲线22221x y a b-=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双 曲线的两条渐近线方程为 .14．已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：53222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=，53201020102010(4)(4)(4)6f a a a -=-+-=-，n S 是其前n 项和，则2011S = .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的 [答]（ ） (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.16．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 [答]（ ） (A)16. (B)18. (C)27. (D)36.17．设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4xf x x =-的零点分别为12x x 、，则[答]（ ）(A) 1201x x <<. (B) 121x x =. (C) 1212x x <<. (D) 122x x ≥.18．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数22()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，都使12()()f x f x <成立的条件序号是 [答]（ ） (A) ①③. (B) ②④. (C) ③④. (D) ④.EBCDA 1P B 1C 1D 1 .A三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=o，14AD =，点P 是1AD 的中点，求异面直线1AA 与1B P 所成的角（结果用反三角函数表示）．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表:从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()204(1)f x x x =-≥，220()(4)(1)3g x x x =-≥，224017()log (1)114h x x x x =--≥，其中x 表示月数，()()()f x g x h x 、、分别表示污染度.（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知O 是线段AB 外一点，若OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r.（1）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA △、12OA A △及2OA B △的重心依次为123G G G 、、，试用向量a r 、b r 表示123OG OG OG ++u u u u r u u u u r u u u u r；（2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题满分7分．已知椭圆2214x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值；（2）若65t =，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=o； （3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．。
2010上海二模数学—嘉定、黄浦(理)
一、填空题
1、 3 2、[3，2]
3、 0.53
4、 y x2 (x 0)
5、 2 3i
6、 7、T4 70x10
二、选择题： 15、B
16、A
新课标教育中心
8、 2
9、 7 5
10、 5
11、 64 3 3
12、1
9 13、 2 14、8
数学期望 Ex =
．
14．已知函数 y = f (x) 的定义域和值域都是[−1 , 1] （其图像如下图所示），
函 数 g(x) = sin x, x ∈[−π , π ] ． 定 义 ： 当 f (x1) = 0(x1 ∈[−1,1]) 且
新课标：高考的风向标！
g(x2 ) = x1(x2 ∈[−π ,π ])
一．填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分．
{ } { } 1．已知直线 l1 ： 3x − y + 2 = 0 ，l2 ：3x + 3y − 5 = 0 ，则直线 l1 与 l2 的夹角是
．
2．已知全集U = R ，若集合 A = x x2 − x − 2 > 0 , x ∈ R ， B = x | x + 1 |≤ 2 , x ∈ R ，
．
12．已知无穷等比数列{an} 的前 n 项和 Sn
=
1 3n
+ a(n ∈ N * ) ，且 a 是常数，则此无穷等比
数列各项的和等于
(用数值作答)．
13．一只不透明的布袋中装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大小形状完全一样的小球，现从
上海市部分重点中学2010届高三第二次联考(数学文)
上海市部分重点中学2010届高三第二次联考文科数学试卷一、填空题（每小题4分,共计56分） 1、()i i ⋅-21=______________2、已知,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a b+=______3、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =_________4、圆心为(2,1)且与直线1x y +=相切的圆的方程为___________________5、若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为6、已知函数12)(+=xx f 的图象与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则方程()2g x =的解为_______7、若圆柱的底面半径为1，高为3，则该圆 柱的全面积为_________8、数列{}n a 中，若()1525nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数（是偶数）设n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则2lim n n S →∞=______9、方程22log ||2x x =-的实根个数为10、阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 ______11、锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为______(用分数表示)12、右表给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为()*,,ij a i j i j N ≥∈，则85_____a =13、已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB AC =,3A π∠=,ABC S ∆=若球的表面积为16π则,A B 两点的 球面距离是____ 14、设n a (n ＝2,3,4…)是(3n +的展开式中x 的一次项的系数,则2342010234201020103333()2009a a a a ++++的值是________ 二、选择题（每小题4分,共计16分）15、与命题“若M a ∈则M b ∉”的等价的命题是（ ） A ．若M a ∉，则M b ∉ B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉ 16、设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D 17、一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 2π+D. 4π+18、已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体： 当[]1,1,21-∈x x 时，都有|)()(|21x f x f -||421x x -⋅≤，在以下函数①5)(=x f ；②34)(-=x x f ；③x x x f 2)(2+=；④21)(+=x x f 中 可以是集合M 中的元素的序号为（ ）（A ）①②③④； （B ）①②④； （C ）②③； （D ）①②③。
闵行区高考数学二模试卷含答案
2017年闵行区高考数学二模试卷含答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是 ．2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a =．4. 直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩t 为参数）对应的普通方程是 ．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N L ，且4b c =，则a 的值为 ．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=u u u r u u u r，O 是坐标原点，则PQ u u u r 的取值范围是 ．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b r r 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b r r 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则( )(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) 2t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) t =s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； （3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，BBAB CPQ D第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形， AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =． （1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中ο120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立．(1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2) 设1()()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++L ，求1lim n n nT T +→∞的值．闵行区2016-2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16； 6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 1011．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ． 三. 解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-r……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 5n BA n BA θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ……………12分所以arc θ= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥Q ，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===……………………12分所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+ ……………………2分223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x=， ……………………4分 所以2x = ……………………6分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥ ……………………8分2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分 19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅o y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==．由2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r…………………………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r22919494AC AC AB AB +⋅+=…………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=u u u r， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中，ο120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500(οοC ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =u u u r u u u r ，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1(,)22a ±………2分所以214,22a a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky b y ky b y x=+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-=Q 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===Q()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈U 时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=-⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分 令1111222233x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分 （2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n =--+，………………6分 即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n*+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分 故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=---L ………………10分 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++L 得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅L ……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦L 101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C C C n n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--L ……16分 12!nn T n +⇒=则12limlim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。
2010届二模闸北区高考数学理
上海市闸北区2010届高三数学（理）学科模拟考试卷（2010.4）一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.若在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是 .2. 已知a 是实数，1a i i -+是纯虚数，则=a . 3．在极坐标系中，点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πP 到圆θρcos 2=的圆心的距离是________． 4. 函数])2,0[(2cos 2sin π∈+=x x x y 的值域为 .5．若无穷等比数列{}n a 的各项和等于21a ，则1a 的取值范围是 .6. 在C 2.20，细菌受到%5的消毒溶液消毒，每小时细菌的死亡率为%11．在此环境在对一批消毒对象进行消毒，要使细菌的存活率低于原来的%5，消毒时间最少为 小时.（结果四舍五入精确到1小时）7．如图所示，AOB Rt ∆绕直角边AO 所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系xyz O -中，点)0,0,2(和点)1,2,0(-均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 .8．设曲线C 定义为到点)1,1(--和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转 45，则此时曲线C 的方程为_____________．9．已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．设ξ为取出的2个球中红球的个数，则ξ的数学期望=ξE _________．10.已知向量≠，1||≠，对任意R t ∈，恒有≥-||t ||-.现给出下列四个结论： ①//；②⊥；③)(-⊥，④)(-⊥.则正确的结论序号为_____________．（写出你认为所有正确的结论序号）11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ．已知原点到直线l ：ab ay bx =+的距离等于141+c ，则c 的最小值为_________． 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f的值为 【 】 A ．0 B ．1 C ．10D ．不存在 13．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3c os(c os πx x 【 】 A ．m 2 B ．m 2± C ．m 3D ．m 3± 14．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为 【 】15．已知方程)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b 的根大于a ，则实数k 满足【 】A ．a b k >||B ．a b k <||C ．b a k >||D ．ba k <|| 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16.（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．设R x ∈，||)21()(x x f =. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数)(x f 的大致图像；（2）若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.17．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，1=AD ，2=CD ，⊥D A 1平面ABCD ，1AA 与底面ABCD 所成角为θ，θ2=∠ADC ．（1）若 45=θ，求直线C A 1与该平行六面体各侧面所成角的最大值；（2）求平行六面体1111D C B A ABCD -的体积V 的取值范围．18．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．（1）若9=a ，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？19．（满分16分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分．如图，平面上定点F 到定直线l 的距离2||=FM ，P 为该平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且2||21=⋅． （1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程； （2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点N ，已知1λ=，2λ=，求证：21λλ+为定值．20．（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题9分．已知定义在R 上的函数)(x f 和数列{}n a 满足下列条件：a a =1，12a a ≠，当*∈N n 且2≥n 时，)(1-=n n a f a 且)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ．其中a 、k 均为非零常数．（1）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令n n n a a b -=+1)(*∈N n ，若11=b ，求数列{}n b 的通项公式；（3）试研究数列{}n a 为等比数列的条件，并证明你的结论．说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分。
闵行区2010年高考模拟考数学试卷(文理科答案)
闵行区2010年高考模拟试卷数学试卷（文理科）答案一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++ ； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29. 二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x =-= （8分） （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2 ，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分）文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分） 故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分） 所以AM PB ⊥. （7分）（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥，故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分）设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-,设BD 与PB 夹角为α，则1sin cos 2BD PB BD PBθα⋅====⋅ ， （12分） 又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分） 解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥ 平面ADMN ，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分）在Rt ABD ∆中，BD = 在Rt PAB ∆中，PB ==12BN PB == 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， （12分） 故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分） 文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分） 第1225米位于第25区， （4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩， （13分） 解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设y =则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y ≥0可得P (x)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 （4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分）∴====（8分）解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分） (3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P Q OT OT c c PP QQ x x +=+． 由28y x x my c⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==． （14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）． （16分）（文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=． （2分） 因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y x x x =-<≠-） （4分）（2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =． 此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分）又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h =（8分）122ABC S AB h =⋅=△． （10分）（3）由（1）得123 2 mx x+=-，212344mx x-=，所以12AB x=-=（12分）又因为BC的长等于点(0)m，到直线l的距离，即BC=．（14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m=+=--+=-++．所以当1m=-时，AC边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB所在直线的方程为1y x=-．（16分）23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON=+，所以P是MN的中点，有121x x+=,123312log logy y∴+=+12312123log11()x xx x x x==-++（4分）（2）由（1）知当121x x+=时，1212()() 1.y y f x f x+=+=121()()()nnS f f fn n n-=++①121()()()nnS f f fn n n-=+++②①+②得12nnS-=（6分）111149231lim lim49233n nn nS S n nS S n nn n++--→∞→∞--==-++（10分）（3）当2n≥时，111.1212422nan n n n==-++++⨯⋅又当1n=时，11,6a=所以1112nan n=-++（12分）故111111()()()2334122(2)nnTn n n=-+-++-=+++（14分）1(1)n nT m S+<+对一切*n∈N都成立，即211(2)nnT nmS n+>=++恒成立（16分）又2114(2)84nn nn=≤+++，所以m的取值范围是1(,)8+∞（18分）（文）（1）122nn na a+=+，11122n nn na a+-=+，（2分）11n nb b+=+，故{}n b为等差数列，11b=，nb n=. （4分）（2）由（1）可得12nna n-=（6分）12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=nnnSnnnnnS22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得nnnnnnnS212222221210⋅--=⋅-+++=--，即12)1(+-=nnnS（8分）11(1)211lim lim222nnn nn nS nn n++→∞→∞-+∴==⋅⋅（10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n n n n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++ 单调递增，即123113n d d d d d ++++≥= ， （14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+ 对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分）∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾.∴满足条件的实数t 不存在. （18分）闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试。
届上海闵行区高三二模数学理试题及答案
届上海闵行区高三二模数学理试题及答案The document was finally revised on 2021上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数 学 试 卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题1．2135(21)lim331n n n n →∞++++-=++ ． 2．关于方程211323x x=-的解为 ． 3．已知全集U =R ，集合1|,01P y y x x ⎧⎫==<<⎨⎬⎩⎭，则U P = ．4．设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则||a b += ．5．在ABC △中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC = ． 6．在极坐标系中，21(02)ρθθπ=+≤<与=2πθ的交点的极坐标为 ．7．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.8．复数i z a b =+(a b ∈R 、，且0b ≠)，若24z bz -有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）9．已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R 数a 的取值范围 ．10．设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为221x y +=．已知时间0t =时，观光箱A 的坐标为1(,22，则当024t ≤≤时（单位：分），动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递减区间是 ．11．若不等式4()()16a x y x y++≥对任意正实数x y 、恒成立,则正实数a 的最小值为 ．12．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为4253、，在操作考试中“合格”的概率依次为1526、，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率 ．13．已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．第7题图14．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．二. 选择题15．下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行16．已知集合2{320}A x x x =-+≤，0,02x a B xa x -⎧⎫=>>⎨⎬+⎩⎭,若“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，则a 的取值范围是（ ）．（A ）01a << （B ）2a ≥ （C ） 12a << （D ）1a ≥17．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）． （A ）210x y +-= （B）10x = （C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量,nSOP n n⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,m S OP m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2,k S OP k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()*n m k ∈N 、、，且12OP OP OP λμ=⋅+⋅，则用n m k 、、表 示μ= （ ）． （A ）k m k n -- （B ）k n k m -- （C ）n m k m -- （D ）n mn k-- 三.解答题BAED第19题图第20题图第21题图19．BCD A -中，BD 长为E 为棱BC 的中点，求（1）异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥BCD A -的表面积．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．如图，点A 、B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB . （1）若点A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求1sin 21cos 2αα++的值；（2）用α表示BC ，并求BC 的取值范围.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA =海里，且==βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.第22题图x32- 4y-04-2-23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n 的直线与曲线C 相交，另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）． （1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1314n n b S =+，求所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和．B AC ED 第19题图O F数学试卷（理科）参考答案与评分标准一. 填空题1．13； 2．2； 3．(],1-∞； 45． 6．（理）(1,)2ππ+、7．(理) 323π 8． ()2,1或满足2a b =的任意一对非零实数对； 9．（理）8,05⎛⎤-⎥⎝⎦； 10．（理）[2,14]； 11．4； 12．（理）2345； 13．39366（923⋅） 14．（理）①③、．二. 选择题 15． B ； 16． A ； 17．C ； 18． C三.解答题19. 解：（1）过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O，则O 为BCD △的中心，由212334AO ⋅⋅⋅1AO =（理1分文2分） 又在正三角形BCD 中得=1OE ，所以AE =……………………………（理2分文4分） 取BD 中点F ，连结AF 、EF ，故EF ∥CD ，所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD所成的角．（理4分文6分） 在△AEF中，AE AF ==EF =5分文8分）所以222cos 24AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅⋅．…………………（理6分文10分）所以，异面直线AE 与CD 所成的角的大小为7分文12分）（2）由AE=BCD A -的侧面积为13322S BC AE =⋅⋅⋅=⋅=…………………（理10分）所以正三棱锥BCD A-的表面积为24S BC =⋅= …………………………（理12分） 20.解：（1）由已知， 34cos ,sin .55αα==………（2分）24sin 22sin cos ,25ααα∴==227cos 2cos sin .25ααα=-=-………（4分）1sin 21cos 2αα++=24149257181()25+=+-.………………………………………………（6分） （2）1,3OC OB COB πα==∠=+由单位圆可知:，……………………（8分） 222+-2cos BC OC OB OC OB COB=∠由余弦定理得：112cos 22cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………（10分）第21题图02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，5336πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，，1cos ,322πα⎛⎫⎛⎫∴+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……（12分） (21,2,.BC BC ⎛∴∈∴∈ ⎝⎭……………………（14分） 21.（1）以O 点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分） 则直线OZ 的方程为3y x =，设点A （x 0，y 0），则0900x β==，0600y β==，即A （900，600）， …………………（3分）又B （m ，0），则直线AB 的方程为：600()900y x m m=--，…………（4分）由此得到C 点坐标为：200600(,)700700m mm m --，…（6 21300()||||(700)2700C m S m OB y m m ∴=⨯=>- …（8（2）由（1）知22300300()7001700m S m m m m ==--+ …10分） 223003007001111700()14002800m m m =-+--+………（12分） 所以当111400m =，即1400m =时，()S m 最小，（或令700t m =-，则222300300(700)700()300(1400)700m t S m t m t t+===++- 840000≥，当且仅当1400m =时，()S m 最小）∴征调1400m =海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分）22．解：（1）()-2,02⎭，在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分） （2）(理)0F l 设到直线的距离为d, 00F AB F CD S S △△=1212d AB ABCDd CD ⋅=. F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线l 的斜率存在时， 设l ：(1)y k x =-,1122A(x ,(x ,y B y 设），），3344(x ,(x ,y y C ），D ）联立方程24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k-++=，0k ≠时0∆>恒成立.()2241k AB k +===（也可用焦半径公式得：()2122412kAB x xk+=++=）………………（5分）联立方程22143(1)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(3+4)84120k x k x k-+-=，0∆>恒成立.()2212134kCDk+===+, ……（6分）∴0F ABF CDSS△△=()()2222222413414433312134kkkk kkk++==+>++. ………………（8分）②当直线l的斜率不存在时，l：1x=，此时，4AB=，3CD=，0F ABF CDSS△△=43.……………………………（9分）所以，0F ABF CDSS△△的最小值为43. ……………………………（10分）（3）（理）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则2211OP OQ+=712.（11分）②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，设1:;:.OP y kx OQ y xk==-那么(x,(x,P P Q Qy yP），Q）联立方程22143x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P Pkx yk k==++；……………（12分）同理，联立方程221431x yy xk⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222221212,3434Q Qkx yk k==++；222222222211117771212121212121234343434kk k kOP OQk k k k+∴+=+==+++++++（13分）反之，对于1Γ上的任意两点P Q、，当2211712OP OQ+=时，设1:OP y k x=，2:OQ y k x=，易得222122111212,4343P Pkx yk k==++；222222221212,4343Q Qkx yk k==++，由2211712OP OQ +=得22122212434371212121212k k k k +++=++， 即222222221212121287767(1)k k k k k k k k +++=+++，亦即121k k =±，…（15分） 所以当2211OPOQ+为定值712时，OP OQ ⊥不成立 ……………（16分） “反之”的方法二：如果有OP OQ ⊥，且OQ 不在坐标轴上，作OQ 关于坐标轴对称的射线与1Γ交于'Q ，'OQ OQ =，显然，OP OQ ⊥与'OP OQ ⊥不可能同时成立 …………………………………（16分）23. 解：（1）14y =． …………………………………………………………（1分）设(,)n n n P x y ，111(,)n n n P x y +++，由题意得 221111442n nn n n n n n ny xy x y yx x ++++⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-⎪=-⎪⎩． …………（2分）114()2n n n y y +⇒+=⋅ …………………（4分）（2）分别用23n -、22n -代换上式中的n 得23222322212214()214()2n n n n n n y y y y ------⎧+=⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩2322123112()=()24n n n n y y ----⇒-=-⋅- (2n ≥) ………………（6分）又14y =，121841()()334n n y n --∴=+∈*N ， …………………（8分）因218lim 3n n y -→+∞=，所以点列1P ，3P ，…，12+n P ，…向点168(,)93无限接近（10分） （3）（理）121211()4n n n n a y y -+-=-=-，411()34n n S ⎡⎤∴=-⋅-⎢⎥⎣⎦． ……（11分）4n n b =，4i j i j b b +⋅=(1)i j n ≤≤≤. …………………（12分） 将所得的积排成如下矩阵：1112131222323334444444444n n n n n A ++++++++++⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎪⎪=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭，设矩阵A 的各项和为S .在矩阵的左下方补上相应的数可得1112131212223231323331234444444444444444n n n n n n n n B ++++++++++++++++⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭矩阵B 中第一行的各数和231116444(41)3n n s +=+++=-， 矩阵B 中第二行的各数和342264444(41)3n n s +=+++=-， ………矩阵B 中第n 行的各数和1124444(41)3n n n n n n n s ++++=+++=-，………（15分）从而矩阵B 中的所有数之和为21216(41)9n n s s s +++=-. ………………（16分）所有可能的乘积(1)i j b b i j n ⋅≤≤≤的和()()()22422421164144444429n n n s ⎡⎤=--+++++++⎢⎥⎣⎦232454+1645n n ++-⋅=． ………………………………………………（18分）。
2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编：立体几何
2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题：15．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科）如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（15、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π,则线段AB 的长度为（ C ） （A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （D ） 2316、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科) 四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面P A D 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ B ）A ．俯视主视左视俯视主视左视俯视主视B ．C ．D ．第17题图17. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 （ B ）A．4； B．4；C ．12； D．3.17．(上海市松江区2010年4月高考模拟文科)三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相 垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( A ) A ．4B ．6C ．8D ． 1014．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为 【 A 】[15．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的 （ C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15. （2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）“直线l 垂直于ABC ∆的边A B ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（ B ）. (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 二、填空题：AB C D C.AB C D A.AB CD B.AB CD D.6．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留π）．10．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留π）． 128π7[10、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________________。
2010年上海市闵行区高三下学期质量调研考试(数学理含答案)
上海市闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷(理科)编辑：刘彦利1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚. 2 .本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.填空题(本大题满分 56分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1 •若2_- a bi (i 为虚数单位，a 、b R )，则a b _______________i2 . A 、B 是两个随机事件，P(A) 0.34 , P(B) 0.32 ,P(AB) 0.31，贝U P(AUB) .11 1 3. 方程190 0的解为 ___________ : _________1 9x3x4. _____________________________________ (2x 1)6展开式中x 2的系数为 :5•某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：6 .已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4 ，球心到该截面的距离为5，则球O 的体积等于 . 7.根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： .&已知函数 f(x) 20 0.618 x 的零点 X 0k, k 1 , k Z ,则k.9.设等差数列 a n 的前n 项之和S n 满足S 10 S 5 40 ,成绩40 50 60 70 80 90 人数112213则总体标准差的点估计值是 ____________________ (精确到0.01)考生注意:开始那么a8.10.已知直线I 的参数方程是 (t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴y 2 t1 111.定义：关于x 的两个不等式f x 0和g x 0的解集分别为 a,b 和 ，一，则称 b a这两个不等式为对偶不等式•如果不等式x 24... 3xcos2 2x 2 4xsi n2 1 0为对偶不等式，且，，则212•已知5是方程f(x) x k ( k 是实常数)的一个根,程f tx) x k 必有一根是 _______________ .x b13•函数f x在 2,上是增函数的一个充分非必要条件是 .x a14 .对于自然数 n (n 2)的正整数次幕，可以如下分解为n 个自然数的和的形式:1 —1725 3— 22 1,23 3,247,L ,323,33 9 ,34 27,L L52 5,53—丄3 59511297 —9——仿此，k 3 (k N *,k 2)的分解中的最大数为二.选择题(本大题满分 16分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得 4分, 答案代号必须填在答题纸上•注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位.15.如图，已知正六边形 ABCDEF 下列向量的数量积中最大的是［答］()uu uULT E 一 ——D(A) A B AC •/ \uu u uULT F 'C(B) A BAD .(C) uu uABuur AE . ABuu u UULT(D) AAF .16•已知△ ABC 中，AC ^2 , BC 2，则角A 的取值范围是［答］( )建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 距离是2、、2COS ( )，则圆C 的圆心到直线I 的42 0与不等式f 1(x)是f (x)的论正确的是对应的区域内写出必要的步骤.(2)求函数f (x)的值域.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，每小题满分各 7 分.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，AD//BC, BAD 90 , PA 垂直于底面ABCD , PA AD AB 2BC 2 , M 、N 分别为PC 、PB 的中点.(1) 求证：PB AM ;(2) 求BD 与平面ADMN 所成的角21. (本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10 分.(A) 6’ 3 - (B)(C)(D)17 .数列a n 中，已知a 1 a 2a 3 1 ,若对任意正整数n ,有a n a n 1a n 2a n 3 a n a n 1a n 2a n 3，且 a n1a n2a n 31，则该数列的前 2010项和 S 2010 ［答］((A)2010.(B) 2011.(C)2010.(D)2008.18.设点 P x, y是曲线楼1上的点，又点只(0,12), F 2(0,12)，(A) PF 1 (C) PF 1PF 2 26.PF 2 26.解答题(本大题满分 78分)(B)(D)本大题共有 PF1PF1PF 2 26. PF 226.5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数f(x) 2sin2cos x , x ,2(1 )若 sin x 45，求函数f (x)的值; DC某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(n 1)米至50n米的圆环面为第n区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：(1 )离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？(2)第几区内的火山灰总重量最大？22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3 小题满分6分.设x1> x2R，常数a 0,定义运算" ”：x1 x2 (x1 x2)2，定义运算" ”：X1 冷(X1 X2)2；对于两点A(X1,yJ、B(X2,y2)，定义d(AB) 如y?.(1)若x 0,求动点P x, (x a) (x a)的轨迹C ；、1⑵已知直线h ： y x 1与(1)中轨迹C交于A(N, yj、B(X2, y?)两点，若2(为X2) (y1 y2) 8 15，试求a 的值；⑶在⑵ 中条件下，若直线|2不过原点且与y轴交于点S,与x轴交于点T,并且与(1)中轨迹C交于不同两点P、Q,试求|d(ST)| |d(ST)|的取值范围.|d(SP)| |d(SQ)|55(10 分)623. （本题满分18分）（理）本题共有 3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分.log 3 3x, M (x 1,y 1), N(x 2, y 2)是f x 图像上的两点，横坐标为1 x数学试卷参考答案与评分标准一、填空题 :（每题4分）1 ・-1 ； 2.0.35 ；3.2 ； 4. 60；5.17.64 ；6. 36 ；7. 1 32 52L20092； 8.3 ；9.8 ； 10.理 2 2 ;文(0,2)11. 5 ；612. 理k 5 ;文(-2，4 )； 13. 理符合 a b0且a2的一个特例均可;文符合a4的一个特例均可;14. 理 k 2 k 1 ；文29.二、选择题 :（每题4分）15. A ； 16. D；17. B ； 18. C三、解答题::19.（本题满分14分） 理： (1) Qsin x 4 ,x53 ,cosx (2 分)2已知函数f x的点 uuuP 满足2 OPuuuu uuir OM ON （O 为坐标原(1) 求证: y 1 y 2为定值;(2)(n Nn 2)，(3) 求lim n4^ 9Sn4 S n 19 S n 1的值;在⑵ 的条件下，若 a n16 1n 1,2,n 项和，若 T n m S n 1 闵行区（n N ），T n 为数列a n 对一切n N 都成立，试求实数 m 的取值范围. 2009学年第二学期高三年级质量调研考试 的前f(x) 2 仝sinx2Icosx 2 cosx 2(4分)■ 3s inx COSX(8 分)(2) f(x) 2sin x(12 分)55(10 分)61文（同理19题）-si n x ；1 , 函数 f(x)的值域为[1, 2].(14 分)2 6文：设z abi (a, b R ）（2分）因为（2i)z (2a b) (a2b ）i 为纯虚数(5 分）2ab 042b 0a —4 8.zi所以a（9分）解得5（12分）故复数（14 分）(a 2)2 b 24b855 520. （本题满分 14分）理:解法一：（1） 以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz (图略)，由 PA AD AB 2BC 2 得A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0),1M(1-,1) D(0,2,0)2(2 分)因为 uu u PB uuu u AM (2,0, 1 2) (1-,1)0 (5分)2 所以PB AM . （7分） (2) 因为 uurr PBuuirAD (2,0, 2) (0,2,0) 0 所以PB AD ，又PB AM ,故 PB 平面 uurr ADMN ，即 PB（2, 0, 2）是平面ADMN 的法向量• （9分）uuu uuuuu设BD 与平面ADMN 所成的角为 ，又BD （ 2,2,0）,设BD 与PB 夹角为解法二：（1）证明：因为 N 是PB 的中点，PA AB ,所以AN PB （2 分）贝V sin cos-u B DP B(12 分)，故BD 与(14 分)由PA 底面ABCD ,得PA AD ，又BAD 90 ,即 BA AD ,AD 平面PAB ,AD PB (4 分)PB 面 ADMN , PB AM(7 分)(2) 联结DN ,Q BP平面ADMN , 故 BDN 为BD 与面ADMN 所成角（9分）Rt ABD 中, BDBA 2 AD 2 Rt PAB 中, PB “ PA 2 AB 2BN 」PB2RtBDN 中,sinBNBDN BDBDN(12 分) 故BD 与平面ADMN 所成的角是 一6(14 分)umr uur BD PB121.（本题满分16分）（1）设第n区每平方米的重量为a n千克，则文（同理19题）n 1n 1a n 1000(1 2%) 1000 0.98(2 分) 第 1225 米位于第 25 区， (4 分)a 25 1000 0.9824 616 (千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克(6分)(2)设第n 区内的面积为b n 平方米，则b n502 n 2502(n 1)2 2500 (2n 1)则第5n 1n 区内火山灰的总重量为 C n a n b n 25 10 (2n 1) 0.98(千克)(9分)设第n 区火山灰总重量最大，5n 15n 2nt 25 10 (2n 1) 0.9825 10(2n 3) 0.98八 则5 15 ，( 13 分)25 105(2n 1) 0.98 25 1 05(2n 1) 0.98n解得49.5 n 50.5，即得第50区火山灰的总重量最大. (16分)22.(本题满分 16 分)(理)(1)设 y(x —a)—(x —a),则 y 2 (x a) (x a)(x a)2 (x a)2 4ax (2 分) 又由 y . (x a) (x a)》0 可得Rx ,(x a) (x a))的轨迹方程为y 2 4ax(y 0)，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(a,0)的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 (4分)⑵由已知可得4ax1 -x 1 2整理得x 2 (4 16a)x4 0,由 (4 16a)2 160,.・.a舟(6分)X 2) (y 1 y 2)、(X 1 X 2)2(y 1 y 2)2任 X 2)2(为 X 2 )22绑 4 16a)216 8,15 ,(8 分)3解得a 2或a(舍)2(10 分)(3 厂.d(AB) 『2,爲|d(ST)| |ST| |d(SQ)| |SP|旦(12分)|SQ|设直线l 2 : xmy c ,依题意0, c 0,则T(c,0),分别过P 、Q 作PP I y 轴，QQ 丄yx 1 x 2)2 4x )x 2轴，垂足分别为P、Q,则型曲述d上1上1|SP| |SQ| |PR| |QQ1| |X p| |X Q|8 x消去y得x2（2cmy c8m2）x2|c||ST| |ST||SP| |SQ|L）2c2|c| c12 2 •（14分）T X p、X Q取不相等的正数，.••取等的条件不成立••込回也的取值范围是（2, +|d（SP）| |d（SQ）| ）•（16分）（文）解：（1）设AB所在直线的方程为y由x 3y 4得4x2 6mx 3m2 y x m （2分）因为A、B在椭圆上，所以设A B两点坐标分别为则x-i x23m212m2640 •（X1,%）、（X,y2）,中点为44-X0, y°X0x0i x （4、334,33所以中点轨迹方程为P（x o, y o）13X0（4分）（2）QAB// l，且AB边通过点（0,0），故AB所在直线的方程为此时m 0，由（1）可得x1，所以AB （6分）又因为AB边上的高h等于原点到直线I的距离，所以h（8分）S A ABC 2AB h（10分）（3）由（1）得x-i x23m2X]X23m2 44，所以AB >/2|x1X2 .32 6m2（12分）2 m、2（14分）又因为BC的长等于点（0, m）到直线I的距离，即BC所以AC AB BC 2 2m 2m 10 (m 1)211 .所以当m 1时，AC边最长, （这时12 64此时AB所在直线的方程为y(16 分) 23.（本题满分18 分）uuu （理）（1）证明：由已知可得，OP 1 uuuu2(OMuuurON)，所以P是MN的中点，有X1 X2 1, y1 y2 log3-3X11 X2空X— 1 (4 分)X2) X-|X2（2 ）由（1）知当X-I x2 1 时，y1 y2f(xj f(X2) 1.S n )L n f(U①n心)nf(2)n1f(-)②n(6分)4S nn im4q 1 9S9Sn1limn3n(10 分)(3)当n 2时, 1n"~2又当n 1时, a, J所以a n6 (12 分)1 1 1 1 故T n (2 才(3 4)（宀") n2( n 2)(14 分)QT n m(S n 1 1)对一切n 都成立，即2)2恒成立(16 分)(文)b n 1(2)2S n1 18，所以m的取值范围是（8,(18 分)(1) a n 1 2a n 2n,(2 分)b n 1，由（1）可得故b n为等差数列,n 1a n n21 212 223 23(6分)(n 1)b1S n1，b n1 20n 2n2 2122(4分)2* 1两式相减，得S20 21222* 1 n 2n2n 1 n 2n，limn(n 1)2" 1 12(10 分)S n (n 1)2n 11（3）由（1）可得 T n n 2, （12 分）••• d nT n 4 a ： T n 1 4^（d 1 d 2 d 3 L d n d n 1） （d 1 d ? d ? L d n ）• {d 1 d 2 d 3 L d n ｝单调递增，即d 1 d 2 d 3 L d nid 1 3 0（14分）要使 d 1 d 2 d 3 L d n log 8（2m t)对任意正整数n 成立, 1 必须且只需—log 8(2m t)，即0 3 2m t 2对任意m [1,2]恒成立• （16 分）•••［21，41］（o , 2］，即 4t2 t 2矛盾• 2•••满足条件的实数t 不存在.（18分）。
数学_2010年上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2010年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，满分56分） 1. 已知集合A ={x|−1<x <2}，集合B ={x|x 2<2}，则A ∪B =________． 2. 函数y ＝sinxcosx 的最小正周期是________．3. 函数y =log a (x −1)+2(a >0, a ≠1)的图象恒过一定点是________．4. 若复数z 满足|1z−2zi|=3−2i （i 是虚数单位），则z =________．5. 直线y =−√3x +1的方向向量与x 轴的正方向上的单位向量i →的夹角是________． 6. 已知一个关于x ，y 的二元线性方程组的增广矩阵是[1−12012]，则x +y =________．7. 若(1+2x)n 的二项展开式中含x 4项的系数与含x 5项的系数之比是512，则n =________． 8. 某程序框图，该程序执行后输出的W ＝________．9. 一质地均匀的小正方体，有三面标有0，两面标有1，另一面标有2，将这小正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次中出现向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=________．10. 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________．（用反三角值表示） 11. P 是函数y =x +1x 上的图象上任意一点，则P 到y 轴的距离与P 到y =x 的距离之积是________．12. 不等式|x|≥a(x +1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．13. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −2|−a ，若对任意实数x 都有f(x)>0成立，则实数a 的取值范围为________．14. 已知实数a ，b ，c 成等差数列，点P(−1, 0)在直线ax +by +c =0上的射影是Q ，则Q 的轨迹方程是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为2π3，则线段AB 的长度为（ ）A 1B √3C 2D 2√3 16. 下列4个命题中：(1)存在x ∈(0, +∞)使不等式2x <3x 成立(2)不存在x ∈(0, 1)使不等式log 2x <log 3x 成立 (3)任意的x ∈(0, +∞)，使不等式log 2x <2x 成立 (4)任意的x ∈(0, +∞)，使不等式log 2x <1x 成立 真命题的是（ ）A (1)、(3)B (1)、(4)C (2)、(3)D (2)、(4) 17. 若limn →∞(1−2x)n 存在，则实数x 的取值范围为（ ）A (0, 1]B [0, 1)C (0, 1)D [0,12)∪(12,1)18. 已知圆x 2+y 2=1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则PA →⋅PB →的取值范围为（ ）A (0,12] B [−12，0) C (−12，0) D [−1, 0)三、解答题（共5小题，满分74分）19.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∠ACB =π2，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10(L)，高为4(dm)，盛水时发现在D 、E 两处有泄露，且D 、E 分别在棱AA 1和CC 1上，DA 1=3(dm)，EC 1=2(dm)．试问现在此容器最多能盛水多少？20. 已知函数f(x)=2−x x+1；（1）证明：函数f(x)在(−1, +∞)上为减函数；（2）是否存在负数x 0，使得f(x 0)=3x 0成立，若存在求出x 0；若不存在，请说明理由． 21. （1）已知α,β∈(0,π2)，且tanα⋅tanβ<1，比较α+β与π2的大小；（2）试确定一个区间D ，D ⊆(−π2，π2)，对任意的α、β∈D ，当α+β<π2时，恒有sinα<cosβ；并说明理由．说明：对于第（2）题，将根据写出区间D 所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．22. 已知椭圆C 的长轴长与短轴长之比为√5，焦点坐标分别为F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A(−3, 0)，B(3, 0)，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，求OM →⋅ON →的值；（3）在（2）的条件下，若G(s, 0)，H(k, 0)，且GM →⊥HN →，(s <k)，分别以OG 、OH 为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G 、H 点坐标． 23. 已知数列{a n }满足：a 1=6，a n+1=n+2na n +(n +1)(n +2)．（1）若d n =a n n(n+1)，求数列{d n }的通项公式；（2）若a n =kC n+23，（其中C n m表示组合数），求数列{a n }的前n 项和S n ；（3）若b n =a n (n+2)2⋅2n+1，记数列{1b n }的前n 项和为T n ，求limn →+∞T n；2010年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）答案1. {x|−√2<x <2}2. π3. (2, 2)4.4−7i 55. 120∘或60∘6. 67. 108. 229. 4910. arccos 2311. √2212. [−1, 0] 13. (−∞, 3)14. x 2+(y +1)2=2 15. C 16. A 17. B 18. B19. 解：由三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∠ACB =π2 V ABC−A1B1C1=S △ABC ⋅AA 1=12⋅AC ⋅BC ⋅4=10，得：AC ⋅BC =5V B−ADEC=13S△ADEC⋅BC=13⋅12(AD+CE)⋅AC⋅BC=2.5此容器最多能盛水：V ABC−A1B1C1−V B−ADEC=7.5(L)．20. 解：（1）任取x1，x2∈(−1, +∞)，且x1<x2∵ f(x1)−f(x2)=2−x1x1+1−2−x2x2+1=3x2−3x1(x1+1)(x2+1)>0∴ 函数f(x)在(−1, +∞)上为减函数（2）不存在假设存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，则∵ x0<0，∴ 0<3x0<1即0<f(x0)<1∴ 0<2−x0x0+1<1{−1<x0<2−2x0+1 x0+1<0=>{−1<x0<2x0<−1或x0>12=>12<x0<2与x0<0矛盾，所以不存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立．另：f(x)=−1+3x+1，由x0<0得：f(x0)<−1或f(x0)>2但0<3x0<1，所以不存在．21. （1）若取D=(−π2，0)或取D=[−π3，−π6]等固定区间且D是(−π2，0)的子集并说明理由者给，（2）若取D=[γ1, γ2]，−π2<γ1<γ2<0，并说明理由者给理由：若取D=(−π2，0)，α+β<π2，则−1<sinα<0，0<cosβ<1，即sinα<cosβ；第二类解答：（1）若取D=(0,π2)或取D=[π6，π3]等固定区间且D是(0,π2)的子集，且解答完整得（2）若取D是(0,π2)的子集且区间的一端是变动者．且解答完整得（3）若取D=[γ1, γ2]，0<γ1<γ2<π2，且解答完整得取D=[γ1, γ2]，0<γ1<γ2<π2证明如下，设α，β∈[γ1, γ2]，0<γ1<γ2<π2，又α+β<π2，则α<π2−β，因为−γ2≤−β≤γ1，π2−γ2≤π2−β≤π2−γ1， 而π2−γ2>0，π2−γ1<π2，即：π2−β∈(0,π2)，于是由α，β∈[γ1, γ2]，0<γ1<γ2<π2，且α<π2−β以及正弦函数的单调性得：0<sinα<sin(π2−β)，即：0<sinα<cosβ 第三类解答：（1）若取D =(−π4，π4)或取D =[−π6，π6]等固定区间且D 是(−π4，π4)的子集（两端需异号），且解答完整得（2）若取D 是(−π4，π4)的子集且区间的一端是变动者（两端需异号）．且解答完整得（3）若取取D =[γ1, γ2]，−π4<γ1<γ2<π4，（γ1与γ2需异号）且解答完整得若取D =(−π4，π4)，因为：−π4<α<π4，−π4<β<π4， 则−π4<−β<π4 亦有：π4<π2−β<3π4，这时，−√22<sinα<√22，√22<sin(π2−β)≤1，而√22<sin(π2−β)≤1为√22<cosβ≤1，所以有sinα<cosβ．（如出现其它合理情况，可斟酌情形给分，但最高不超过8分）．22. 解：（1）由题意设椭圆C 的标准方程是x 2a 2+y 2b 2=1， 由题意知ab =√5c =2，又因a 2=b 2+c 2，解得a 2=9，b 2=5， ∴ 椭圆C 的标准方程为x 29+y 25=1．（2）设P(x 0, y 0)，∵ A(−3, 0)，B(3, 0)， ∴ 直线PA ：y =y 0x+3(x +3)，PB ：y =y 0x0−3(x −3)令x =0，分别代入上面的直线方程得：M(0, 3y 0x 0+3)，N(0, −3y 0x 0−3)，∴ OM →=(0,3y 0x 0+3)，ON →=(0,−3y 0x 0−3)，∴ OM →⋅ON →=3y 0x+3⋅−3y 0x0−3=5．（3）∵ GM →=(−s,3y 0x 0+3)，HN →=(−k,−3y 0x 0−3)又∵ GM →⊥HN →，∴ GM →⋅HN →=sk +5=0， ∴ 两正方形的面积和为s 2+k 2=s 2+25s 2≥10 当且仅当s 2=k 2=5时，等式成立，∴ 两正方形的面积和的最小值为10，此时G(−√5，0)、H(√5，0)． 23. 解：（1）a n+1=n+2n a n +(n +1)(n +2) 变为：a n+1(n+2)(n+1)=a n n(n+1)+1=>d n+1−d n =1所以{d n }是等差数列，d 1=a 11⋅2=3，所以d n =3+(n −1)=n +2（2）由（1）得a n =n(n +1)(n +2)a n =kC n+23=k ⋅n(n+1)(n+2)6，k =6即：a n =n(n +1)(n +2)=6C n+23所以，S n =a 1+a 2+a 3+...+a n =6(C 33+C 43+C 53++C n+23)=6C n+34=n(n +1)(n +2)(n +3)4（3）b n =n(n+1)n+2⋅2n+11b n =n +2n(n +1)⋅2n+1=1n ⋅2n −1(n +1)⋅2n+1 利用裂项法得：T n =1b 1+1b 2+1b 3++1b n=12−1(n+1)⋅2n+1∴limn →+∞T n =12。
数学_2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)
2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1. 设集合A={x|−12<x<2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=________．2. 已知△ABC中，cotA=−34，则cosA=________．3. 若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n(n∈N∗)，则前6项的和S6=________．（用数字作答）4. (x+2)6的展开式中x3的系数是________（用具体数字作答）．5. 若球O1、O2表面积之比S1S2=9，则它们的半径之比R1R2=________．6. 函数f(x)=√2x−4(x≥4)的反函数为________．7. 行列式|42k−354−11−2|中第2行第1列元素的代数余子式的值为−10，则k=________．8. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2的大小为________．9. △ABC中，已知AB=2，AC=2√2，则∠ACB的最大值为________．10. 有5只苹果，它们的质量分别为125a121b127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s=________（用数字作答）11. 在极坐标系中，若过点A(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．12. 某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为23．规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是________．（用数值表示）13. 已知a≤1时，集合[a, 2−a]有且只有3个整数，则a的取值范围是________．14. 设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[−1.5]=−2．若函数f(x)=a x1+a x(a>0, a≠1)，则g(x)=[f(x)−12]+[f(−x)−12]的值域为________．二、选择题：（本题满分16分，每小题4分）15. 复数3−i1−i等于（）A 1+2iB 1−2iC 2+iD 2−i16. 下列函数中，与函数y=√x有相同定义域的是（）A f(x)=log 2xB f(x)=1xC f(x)=|x|D f(x)=2x17. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →=2BP →，则( )A PA →+PB →=0→B PC →+PA →=0→C PB →+PC →=0→D PA →+PB →+PC →=0→18. 已知AC ，BD 为圆O:x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，AC ，BD 交于点M(1, √2)，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD 的面积的最大值等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 7三、解答题：（本大题共5题，满分78分） 19. 在△ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知∠B =45∘，∠C =60∘，a =2(√3+1)，求△ABC 的面积S △ABC ．20.如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为1，M 为棱A 1B 1上的点，N 为棱BB 1的中点，异面直线AM 与CN 所成角的大小为arccos 25，求|A 1M||MB 1|的值．21. 已知函数f(x)=x−a ax(a >0)（1）判断并证明y =f(x)在x ∈(0, +∞)上的单调性；（2）若存在x 0，使f(x 0)=x 0，则称x 0为函数f(x)的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点x 0；（3）若f(x)<2x 在x ∈(0, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．22. 设P(a, b)(a ⋅b ≠0)、R(a, 2)为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线y 2=4ab x 交于点Q （异于O ）．（1）若对任意ab ≠0，点Q 在抛物线y =mx 2+1(m ≠0)上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点P(a, b)(ab ≠0)在椭圆x 2+4y 2=1上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足|OA|⋅|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切．23. 设数列{a n }(n =1, 2,…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）若a 1=4，d =2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d =1，a 1>0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim n →∞(1S 1+1S 2+⋯+1S n )=119；若存在，求{a n }的通项公式，若不存在，说明理由； （3）试问：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）答案1. {x|−1≤x <2}2. −35 3. 63 4. 160 5. 36. f −1(x)=12x 2+2(x ≥2) 7. −14 8. 2,120∘ 9. π4 10. 2 11. 2√3 12. 4913. −1<a ≤0 14. {0, −1} 15. C 16. A 17. B 18. B19. 解：∵ A =180∘−(B +C)=75∘， ∴ sinA =sin750=sin(450+300)=√6+√24由正弦定理a sinA =b sinB⇒√3+1)√6+√24=√22⇒b =4，∴ S △ABC =12absinC =12⋅2(√3+1)⋅4⋅√32=6+2√3．20.解：如图建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，M(1, a, 1)，N(1,1,12)AM →=(0, a, 1)，CN →=(1, 0, 12)（其中a >0） 设向量AM →、CN →的夹角为θ，则cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=25，⇒1+a 2=54，∴ a =12或cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=−25，无解；所以当a =12时，|A 1M||MB 1|=1 21. 解：（1）f(x)=1a −1x对任意的x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1>x 2f(x 1)−f(x 2)=(1a −1x 1)−(1a −1x 2)=x 1−x 2x 1x 2∵ x 1>x 2>0∴ x 1−x 2>0，x 1x 2>0∴ f(x 1)−f(x 2)>0，函数y =f(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增． （2）解：令x =x−a ax⇒ax 2−x +a =0，令△=1−4a 2=0⇒a =12（负值舍去）将a =12代入ax 2−x +a =0得12x 2−x +12=0⇒x 2−2x +1=0∴ x 0=1（3）∵ f(x)<2x ∴ 1a<2x +1x∵ x >0∴ 2x +1x ≥2√2（等号成立当x =√22） ∴ 1a <(2x +1x )min =2√2⇒a >√24∴ a 的取值范围是(√24，+∞)22. 解：（1）∵ {y =2a xy 2=4ab x⇒Q(a b ,2b )， 代入y =mx 2+1∴ 2b=m(ab)2+1⇒ma 2+b 2−2b =0当m =1时，点P(a, b)在圆M:x 2+(y −1)2=1上（2）∵ P(a, b)在椭圆x 2+4y 2=1上，即a 2+(2b)2=1 ∴ 可设a =cosθ,b =12sinθ 又∵ Q(ab ，2b )，∴ {x Q =a b y Q =2b⇒y Q2−mx Q2=(2b)2−m(a b)2=(4sinθ)2−m(2cosθsinθ)2=16sin 2θ−4mcos 2θsin 2θ=16（令m =4）∴ 点Q 在双曲线y 2−4x 2=16上（3）∵ 圆M 的方程为x 2+(y −1)2=1设AB:x =ky +λ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由|OA|⋅|OB|=1√x 12+y 12⋅√x 22+y 22=√1−(y 1−1)2+y 12⋅√1−(y 2−1)2+y 22=√2y 1⋅√2y 2=1⇒y 1y 2=14又∵ {x 2+(y −1)2=1x =ky +λ⇒(k 2+1)y 2+2(kλ−1)y +λ2=0，∴ y 1y 2=λ2k 2+1=14⇒√k 2+1=12又原点O 到直线AB 距离d =√1+k 2∴ d =12，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴ 直线AB 恒与圆S ：x 2+y 2=14相切．23. 解：（1）数列{a n }是“封闭数列”，因为：a n =4+(n −1)⋅2=2n +2， 对任意的m ，n ∈N ∗，有a m +a n =(2m +2)+(2n +2)=2(m +n +1)+2， ∵ m +n +1∈N ∗于是，令p =m +n +1，则有a p =2p +2∈{a n }（2）解：由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+(n −1)+a 1+(m −1)=a 1+(p −1)成立， 于是有a 1=p −m −n +1为整数， 又∵ a 1>0∴ a 1是正整数． 若a 1=1则S n =n(n+1)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)=2>119，若a 1=2，则S n =n(n+3)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n )=119，若a 1≥3，则S n =n(2a 1+n−1)2>n(n+3)2，于是1S n <2n(n+3)，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)<119，综上所述，a 1=2，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)，显然，该数列是“封闭数列”．（3）结论：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是存在整数m ≥−1，使a 1=md ． 证明：（必要性）任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，若存在a k 使a s +a t =a k ，则2a 1+(s +t −2)d =a 1+(k −1)d ⇒a 1=(k −s −t +1)d 故存在m =k −s −t +1∈Z ，使a 1=md ， 下面证明m ≥−1．当d =0时，显然成立．对d ≠0，若m <−1，则取p =−m ≥2，对不同的两项a 1，a p ， 存在a q 使a 1+a p =a q ，即2md +(−m −1)d =md +(q −1)d ⇒qd =0， 这与q >0，d ≠0矛盾，故存在整数m≥−1，使a1=md．（充分性）若存在整数m≥−1使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t(s≠t)，于是a s+a t=a1+(s−1)d+md+(t−1)d=a1+(s+m+t−2)d=a s+m+t−1由于s+t≥3，m≥−1∴ s+t+m−1为正整数，∴ a s+m+t−1∈{a n}证毕．。
闵行区高考数学二模试卷含答案
闵行区高考数学二模试卷含答案The document was finally revised on 20212017年闵行区高考数学二模试卷含答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1. 方程()3log 212x +=的解是 ．2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i是虚数单位），且12z z为纯虚数，则实数a = ．4. 直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是 ．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则 ( )(A) 12t=，s 的最小值为6π (B) 2t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) t =，s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：AB CPQD（1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形， AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．（1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2x f x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中 120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道BAD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2) 设1()()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．闵行区2016-2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16；6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 10．2； 11．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ． 三.解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分 由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h 解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分 设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =- ……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅ ……………12分 所以sinarc θ= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sin arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin5A MA BMA B∠===……………………12分所以1arcsin5A BM∠=所以直线1BA与平面ABM所成的角为sinarc………………14分18．[解]（1）由()4()3f xg x=+得2423x x-=⋅+……………………2分223240x x⇒-⋅-=所以21x=-（舍）或24x=，……………………4分所以2x=……………………6分（2）由()(2)3f a xg x+--≥得2223a x x+-≥……………………8分2223a x x+≥+2232a x x-⇒≥+⋅……………………10分而232x x-+⋅≥，当且仅当[]4232,log30,4x x x-=⋅=∈即时取等号…12分所以2a≥211log32a≥+．………………………………14分19．[解]（1）设AB长为x米，AC长为y米，依题意得8004001200000x y+=，即23000x y+=，………………………………2分1sin1202ABCS x y∆=⋅⋅yx⋅⋅=43…………………………4分yx⋅⋅=28322283⎪⎭⎫⎝⎛+≤yx=2m当且仅当yx=2，即750,1500x y==时等号成立，所以当ABC△的面积最大时，AB和AC的长度分别为750米和1500米 (6)分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m==．由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494AC AC AB AB +⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x， 所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±………2分所以214,2a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分 222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM kk k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分 21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分令1111222233x f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分（2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n=--+，………………6分即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n*+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分 故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=--- ………………10分 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分 （3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C CCn n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--……16分12!nn T n +⇒=则12lim lim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。
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闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若2ia bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b += . 2．A 、B 是两个随机事件，()0.34P A =，()0.32P B =，()0.31P AB =，则()P A B = .3．方程1111900193xx=-的解为 . 4．6(21)x +展开式中2x 的系数为 .5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 （精确到0.01）. 6．已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4π，球心 5O 的体积等于 . 7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： . 8．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ， 则k = .9．设等差数列n a 的前n 项之和n S 满足40510=-S S ， 那么 =8a .10．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==ty tx 2（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22)4πρθ=+，则圆C 的圆心到直线l 的距离是 .11．定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式成 绩人 数 40 1 1 50 60 2 2 1 3 70 80 90ABC D E F012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ .12．已知5是方程()f x x k +=（k 是实常数）的一个根，1()f x -是()f x 的反函数，则方程1()f x x k -+=必有一根是 .13．函数()x bf x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分非必要条件是 . 14．对于自然数n (2)n ≥的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：23423417251372,2,2,,33,39,327,35951129⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 231355,579⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩仿此，3k *(,2)k k ∈≥N 的分解中的最大数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是 [答]（ ）(A) AB AC ⋅.(B) AB AD ⋅ .(C) AB AE ⋅ .(D) AB AF ⋅ .16．已知ABC △中，22AC =2BC =，则角A 的取值范围是 [答]（ ）(A),63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (C) ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (D) 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 17．数列{}n a 中，已知12a =-，21a =-，31a =，若对任意正整数n ，有321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，且1321≠+++n n n a a a ，则该数列的前2010项和2010S = [答]（ ） (A) 2010. (B) 2011-. (C) 2010-. (D) 2008-.18．设点()y x P ,是曲线11692522=+y x 上的点，又点)12,0(),12,0(21F F -，下列结论正确的是 [答]（ ） (A) 2621=+PF PF . (B) 2621<+PF PF .(C) 2621≤+PF PF . (D) 2621>+PF PF .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图,在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M N 、分别为PC PB 、的中点. （1）求证：AM PB ⊥； （2）求BD 与平面ADMN 所成的角.21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(1)n -米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？A B C DN M P22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“⊗”：21212()x x x x ⊗=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y，定义()d AB (1)若0x ≥，求动点(,()()P x x a x a ⊕-⊗的轨迹C ； (2)已知直线11:1l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，若1212()()815x x y y ⊗+⊗=a 的值；(3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围．23.（本题满分18分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()311223log ,(,),(,)1xf x M x y N x y x=-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+ （O 为坐标原点）. （1）求证：12y y +为定值；（2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ *(2)n n ∈≥N ，， 求1149lim 49n n n n S S SS n ++→∞-+的值；（3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++ ； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29. 二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）433cos 355x x =-= （8分） （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2 ，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分）文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分) 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分） 故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分） 所以AM PB ⊥. （7分）（2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥，故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分）设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-,设BD 与PB 夹角为α，则1sin cos 2BD PB BD PBθα⋅====⋅ ， （12分） 又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分） 解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥ 平面ADMN ，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分） 在Rt ABD ∆中，BD ==， 在Rt PAB ∆中，PB =，故12BN PB ==， 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， （12分） 故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分） 第1225米位于第25区， （4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩， （13分） 解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设()()y x a x a ⊕-⊗,则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分） 又由()()y x a x a =⊕-⊗0可得P (x ()()x a x a ⊕-⊗)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 （4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分） ∴2222121212121212()()()()()()2x x x x y y x x y y x x -⊗+⊗=-+-=-+22121255()4(416)1681522x x x x a =+-=--=（8分） 解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分）(3)∵12()||d AB y y =-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P QOT OT c c PP QQ x x +=+．由28y x x my c⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==． （14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立 ∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）． （16分） （文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=． （2分） 因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(3332y x x x =-<<≠-，且） （4分）（2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =． 此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12222AB x =-=（6分）又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以2h =（8分）122ABC S AB h =⋅=△． （10分） （3）由（1）得1232m x x +=-，212344m x x -=，所以2123262m AB x -=-=． （12分）又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即22mBC -= （14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． （16分） 23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON =+，所以P 是MN 的中点，有121x x +=,123312log log y y ∴+=+12312123log 11()x x x x x x ==-++（4分） （2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+=121()()()n n S f f f n n n -=++ ① 121()()()n n S f f f n n n -=+++ ② ①+②得12n n S -= （6分） 111149231lim lim 49233n n n n S S n n SS n n n n ++--→∞→∞--==-++ （10分）（3）当2n ≥时， 111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⋅又当1n =时，11,6a =所以1112n a n n =-++ （12分）故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++ （14分） 1(1)n n T m S +<+ 对一切*n ∈N 都成立，即211(2)n n T nm S n +>=++恒成立（16分） 又2114(2)84n n n n=≤+++，所以m的取值范围是1(,)8+∞ （18分） （文）（1）122n n n a a +=+，11122n n n n a a+-=+， （2分） 11n n b b +=+， 故{}n b 为等差数列，11b =，n b n =. （4分）（2）由（1）可得12n n a n -=（6分） 12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得n n n n n n n S 212222221210⋅--=⋅-+++=-- ，即12)1(+-=nn n S （8分） 11(1)211lim lim 222n n n n n n S n n n ++→∞→∞-+∴==⋅⋅ （10分） （3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n nn n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++ 单调递增，即123113n d d d d d ++++≥= ， （14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+ 对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[12]m ∈，恒成立. （16分） ∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾.∴满足条件的实数t 不存在. （18分）。