复变函数的积分 柯西定理
复变函数的积分及柯西公式
f z dz u iv dx idy
c c
udx vdy i vdx udy
c c
f x t iy t z t dt
2
三、复变函数积分的性质
(1) f ( z )dz
C Cdz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
3
2.2 柯西定理
单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域 中解析，则沿着中任何一个分段光滑的闭合围道c的积 分为：
2.1 复变函数的积分 一、积分的定义
y
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
1
二、复变函数积分公式
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
复连通区域的柯西定理：如果函数f(z)是复连通区域中 的单值解析函数，则有：
4
2.3 不定积分
5
2.4 柯西公式
a,改记作z，积分变数用������表示，也可写作
推论： 1、模数原理：设f（z）在某闭区域上解析，则|f（z）|只 能在边界线 l 上取极大值。 2、刘维尔定理：如f（z）在全平面解析且有界，则f（z） 必为常数。
复变函数第3章
z 1 2 所以
z 1 2 2 2 f ( z) 2, z 1 2 由估值不等式有
z 1 C z 1 dz 8 .
3.1.3 复变函数的积分的计算问题
定理3.1 设C为光滑曲线， 若 f z ux, y ivx, y
沿曲线C连续,则 f ( z )沿C可积,且
1 1 f ( z) ＝ 1. Re z 1＋3t
而L之长为3，故
dz L Re z 3.
例4
计算积分
其中积分路径为
C
z dz
2
(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 连接0到1的直线段及连接1到1+i的直 线段所成的折线. 解 方程为 (1) 连接0到1+i的直线段的参数
z (1 i)t (0 t 1).
y
B
那么B到A就是曲线L的负向,
记为 L .
o
A
x
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线L的正向是 P 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 o 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
0 0 1 1
1
1
1 tdt i dt i. 0 0 2
(此例说明:积分路径不同, 积分结果可能不 同)
作业:P45.T1;T3.
1. 柯西积分定理 2. 复合闭路定理 3. 解析函数的原函数
由定理3.1,复积分可转化为实二元函数 的第二型曲线积分.那么,复积分在什么情况 下与路径无关? 1 2 比较 f ( z ) z , f ( z ) Re z , f ( z ) za 可能与被积函数的解析性及解析区域有关
第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理
第三章复变函数的积分(Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：1-10作业布置：7576板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：§3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of theintegral definition ）定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式))((11-=-∑k n k k k z z f ς（1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作=⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k nk k k z z f ςλ当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-C z z f d )(当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C⎰ 定理(Theorem)3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰（2） 证明：))((11-=-∑k n k k k z z f ς)]())][(,(),([111k k nk k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ],))(,())(,([))(,())(,(1111111111∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有0|}{|max 11→--≤≤k k n k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k nk y y 于是上式右端的极限存在，且有,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰ 二、复变函数积分的计算(Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有[()()()()()()()()]dtt y t y t x v t x t y t x u y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C '-'=++-=⎰⎰⎰⎰βα,,),(),(),(),()(d d d d d [()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰βα,,即()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3) 或 ()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C⎰，其中C 是 （1） 从点1到i 的直线段1C ；（2） 从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连接成的折线段32C C C +=.解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：⎰⎰⎰⎰=+-=+---=101010)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c （2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=10100)1(32tdt dt t dz z dz z dz z c c c例2 计算dz z ii I ⎰-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆(3)连接i i 到-的单位圆的右半圆解： i t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰1221201211,11,)1( 于是程为：到i的直线段的参数方 ie de idt e e dz z i i I ，t e z it it it it it 2232232223,)2(223===⋅=-==⎰⎰⎰ππππππππ于是到从方程为单位圆的左半圆的参数 i e e d e dz z I ，t e z it it it i i it 2)(20,)3(2222=====---⎰⎰πππππ到从方程为单位圆的右半圆的参数上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例3()0n Cdz z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.解 C 的参数方程为0,02i z z re θθπ=+≤≤，由公式得()22(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0, 1.i i n n n in n Cn n dz ire i d e d r e r z z i i n d n d r ri n n θππθθππθθθθθθπ-----==-=-+-=⎧=⎨≠⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4 计算Czdz ⎰，其中C 为从原点到点34i +的直线段. 解： 此直线方程可写作3,4,01x t y t t ==≤≤ 或 34,01z t i t t =+≤≤. 在C 上，(34),(34)z i t dz i dt =+=+，于是()()()112220013434342C zdz i tdt i tdt i =+=+=+⎰⎰⎰. 因()()C CC C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy =++=-++⎰⎰⎰⎰易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，所以C zdz ⎰的值，不论是对怎样的连接原点到34i +的曲线，都等于()21342i +. 例5 设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，则按逆时针方向所取的积分i z dz C πα2=-⎰ 证明：令 θραi e z =-，于是 θρθd d i ie z =，从而 i id z dz Cπθαπ220⎰⎰==- 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)设)(z f 及)(z g 在简单曲线C 上连续，则有（1）是一个复常数其中k z z f k z z kf C C,d )(d )(⎰⎰= （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±C C C z z g z z f z z g z f（3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21其中曲线C 是有光滑的曲线n C C C ,...,,21连接而成；（4）⎰⎰-=-C C z z f z z f d )(d )( 定理3.2（积分估值） 如果在曲线C 上，()M z f ≤，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(|， （5） 证明：因为ML z z M z z f k n k k k n k k k ≤-≤-∑∑-=+-=+|||))((|111111ζ两边取极限即可得：()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(| 例6 试证：⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 证:不妨设1<r ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在r z =上，⎰⎰==-≤+≤+r z r z r r dz z z dz z z 24232312||1|1π上式右端当0→r 时极限为0，故左端极限也为0，所以⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质§3.2 柯西积分定理（Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则)(z f 在D 内沿任意一条闭曲线C 的积分0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy 给出的.1851年Riemann 在)(z f '连续的假设下给出了简单证明如下 证明：已知)(z f 在单连通区域D 内解析，所以)(z f '存在，设)(z f '在区域D 内连续，可知u 、v 的一阶偏导数在区域D 内连续，有0d )(=⎰Cz z f ⎰⎰⎰++-=⊂∀C C c udyvdx i vdy udx dz )z (f D C ,，又⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=--=-Dy x c D y x c dxdy v u udy vdx dxdy u v vdy udx Green 0)(,0)(公式由注1: 此定理证明假设“)(z f '在区域D 内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat ）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2: 若C 是区域D 的边界，)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 上连续，则定理仍成立.定理(Theorem)3.4若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，1C 、1C 是在D 内连接0z 及z 两点的任意两条简单曲线，则=⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f证明：由柯西积分定理-⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f ()021==⎰+dz z f C C将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n +1条简单闭曲线,,...,,n C C C 1曲线n C C ,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C 内区域，n C C C ,...,,1围成一个有界多连通区域D ，D 及其边界构成一个闭区域D .设f (z )在D 上解析，那么令Γ表示D 的全部边界，我们有0=⎰Γdz z f )(其中积分是沿Γ按关于区域D 的正向取的.即沿C 按逆时针方向，沿n C C ,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C 按所选定取积分的方向一同运动时，区域D 总在它的左侧.因此0 1=+++=⎰⎰⎰⎰--ΓnC C Cdz z f dz z f dz z f dz z f )()()()(即 ⎰⎰⎰++=nC C Cdz z f dz z f dz z f )(...)()(1例7 计算dz z z e zz ⎰-=)1(23,其中C 是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dz z z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ由柯西积分定理可知：若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则沿着区域D 内的简单闭曲线C 的积分⎰Cd f ςς)(与路径无关，只与起点0z 及终点z 有关，此时也可写成⎰zz d f 0)(ζζ在单连通区域D 内固定0z ，当z 在区域D 内变动时，⎰zz d f 0)(ζζ确定了上限z 的一个函数，记作⎰=z z d f z F 0)()(ζζ定理(Theorem)3.6 设)(z f 是单连通区域D 的解析函数，则⎰=zz d f z F 0)()(ζζ也是区域D 内的解析函数，且)()('z f z F =证明： D z z ∈∆+∀，得⎰zz d f 0)(ζζ与路径无关，则⎰⎰-=-∆+∆+z z zz z d f d f z F z z F 0)()()()(ζζζζ=⎰∆+zz zd f ζζ)(其中积分路径取z 到z z ∆+得直线段，有()()()zz f z z F z z F ∆=-∆-∆+1(())⎰∆+-zz zd x f f ζζ)(因)(z f 在D 内连续，δδε<∆>∃>∀z ,0,0，有()()()ε<-∆-∆+z f zz F z z F即)()('z f z F =定义(Definition)3.2设在是单连通区域D 内，有)()('z f z F =，则称()z F 是)(z f 的原函数.定理(Theorem)3.7若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，()z F 是)(z f 的一个原函数.则⎰=zz dz z f 0)(()z F -()0z F其中D z D z ∈∈,0注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分)) 试证明:⎩⎨⎧Z ∈≠==-⎰n n n i a z dzc n ,1012)(π 这里 C 表示绕行a 一周的简单闭曲线.证明: 作圆周 1C : |z-a | = ρ, 使得 C 在 1C 的内区域中. 则有=-⎰c n a z dz )(⎰-1)(c n a z dz由例5结果即得证.例9 计算⎰+cdz z )1ln(，其中C 是从-i 到i 的直线段解 因为)1ln(z +是在全平面除去负实轴上一段1-≤x 的区域D 内为（单值）解析，又因为区域D 是单连通的，在D 内有[]ii i i i i i i z z i i i i dzzi i i i dzzzz z dz z iii i ii ii c )22ln 2()1ln()1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()111()1ln()1ln(1|)1ln()1ln(π++-=--++--++=+---++=+---++=+-+=+----⎰⎰⎰本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广 内容小结：1、复变函数的积分的定义2、复变函数积分的计算问题()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα3、复变函数积分的基本性质4、柯西积分定理5、柯西积分定理的推广2 1§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理柯西积分公式解析函数的无穷可微性讲授法多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：11-157576一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑第二讲授课题目：§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.学时安排：2学时教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理教学重点：柯西积分公式教学难点：解析函数的无穷可微性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题三：11-15板书设计：一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）.4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社.课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑教学过程：§3.3 柯西积分公式 （Cauchy integral formula ）柯西积分公式（Cauchy integral formula ）设)(z f 在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，由柯西积分定理0d )(=⎰Cz z f 考虑⎰-C d z f ζζζ)(设D z ∈，显然函数在zf -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析. 以z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC .在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD .在ρD 上，函数)(ζf 以及zf -ζζ)(解析，所以有 ⎰⎰-=-ρζζζζζζC C d z f d z f )()(于是又如下定理定理(Theorem)3.8设)(z f 在在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析在C D D ⋃=上连续，0z 是区域D 内任一点，则有dzz z z f i z f C ⎰-=0)(21)(π （1）其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具. 说明：1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.推论1（平均值公式）设)(z f 在)(z f R z z C <-|:|0内解析，在R z z C =-|:|0上连续，则π21)(0=z f ⎰+πθθ200)Re (d z f i推论 2 设)(z f 在由简单闭曲线1C 、2C 围成的二连通区域D 内解析，并在曲线1C 、2C 上连续，2C 在1C 的内部，0z 为区域D 内一点，则⎰-=100)(21)(C dz z z z f i z f π⎰--20)(21C dz z z z f i π例1 求下列积分的值（1）()⎰⎰==+-222.))(9(2;sin z z dz i z z zdz zz 解：(1)0|sin 2sin 02====⎰z z z i dz zzπ (2)⎰⎰=-===-=---=+-2122225|92)(9))(9(z z z z z i dz i z z z dz i z z z ππ 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数.定理(Theorem)3.9(最大模原理) 设)(z f 在区域D 内解析，)(z f 不是常数，则在区域D 内()z f 没有最大值. 推论1在区域D 内的解析函数，若其模在区域D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数推论2设)(z f 在有界区域D 内解析，在D 上连续，则()z f 必在区域D 的边界上达到最大值.证明：若)(z f 在区域D 内为常数，显然成立，若)(z f 在区域D 内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证. 本节重点掌握：柯西积分公式§3.4 解析函数的高阶导数(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions ofinfinitely differentiable)定理(Theorem)3.10 设函数)(z f 在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析，在D 上连续，则)(z f 的各阶导数均在区域D 内解析，对区域D 内任一点z ，有,...)3,2,1( )()(2!)(1)(=-=⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ,证明：先证明1=n 时的情形.对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.⎰---=Cd z h z f ih ζζζζπ2))(()(2 现在估计上式右边的积分.设以z 为心，以δ2为半径的圆盘完全在D 内，并且在这个圆盘内取h z +，使得δ<<h 0，那么当D ∈ζ时，,||,||δζδζ>-->-h z z设()z f 在C 上的最大值是M ，并且设C 的长度是L ，于是由积分估值定理有,2|||))(()(2|22δπζζζζπMLh d z h z f i hC ⋅≤---⎰ ])()(2)(21)(21[1)()(21)()(22⎰⎰⎰⎰------=---+C C C C d z f i h d z f i d h z f i h d z f i h z f h z f ζζζπζζζπζζζπζζζπ这就证明了当h 趋近于0时，积分⎰---Cd z h z f i hζζζζπ2))(()(2趋于0.即当1=n 时定理成立.设k n =时定理成立.当1+=k n 时，对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.仿1=n 时的证明方法，可推得定理成立.证毕例2 计算下列各积分)())()()⎰⎰⎰>==>=-+-1223221511121cos 1r z z zr z dzz z dzze dzz zπ解：)()()()()⎰>=-==-=-1545121cos !1521cos 1r z i z z i dz z zππππ)()()()()()⎰⎰⎰+-+-+=+>=12222212212CCzzr z zdz i z i z e dz i z i z e dz z e()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41sin 2222πππi i z i z e i z i z e i z z3）被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 和12=z ，都在2=z 内，2)1(1-z 在31=z 内解析，21z在311=-z 内解析，作圆周3113121=-=z c z c ：，：，利用复合围线积分定理， ⎰⎰⎰⎰⎰=-==-==-+--=-+-=-311233132311233123223)1(1)0()1(1)1()1()1(z z z z z dz z z dz z z z z dz z z dz z z dz由高阶导数公式，得()0661!1211!22)1(1302223=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⎰i i z i z i z z dzz z z ππππ应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性定理(Theorem)3.11 设函数)(z f 在区域D 内解析，那么)(z f 在D 内有任意阶导数.并且它们也在区域D 内解析注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouville's theorem)柯西不等式（Cauchy inequality ） 设函数)(z f 在以R z z <-||0内解析，在以R z z <-||0内()M z f ≤,则,...)2,1,0(!!|)(|0)(=≤n RMn n z fn n 证明：令1R C 是圆)0(||110R R R z z <<=-，)(z f 在以10||R z z ≤-上解析，由高阶导数公式，有,2,1,0!22|)()(2!||)(|1111100)(1==⋅⋅≤-=++⎰n R M n R R M n!dz z z z f in z fnn C n n R πππ令R R →1,得 ,2,1,0!|)(|10)(=≤n R Mn z fn n上述的不等式称为柯西不等式.如果函数)(z f 在整个复平面上解析，那么就称)(z f 为一个整函数，例如z e z z ,cos ,sin 都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：定理3.12（刘维尔Liouvlle 定理） 有界整函数一定恒等常数.证明：设)(z f 是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得M z f z <∈∀|)(|C,.),0(,C 0+∞∈∀∈∀R z ，)(z f 在R z z <-||0内解析.由柯西公式，有RM z f ≤|)('|0， 令+∞→R ， 0)(',C 00=∈∀z f z ，由此可知)(z f 在C 上恒等于常数.三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.定理(Theorem)3.13如果函数)(z f 在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有0)(=⎰Cdz z f那么)(z f 在区域D 内解析.本节重点掌握：（1） 解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式 内容小结： 1、柯西积分公式 2、解析函数的无穷可微性3、柯西不等式与刘维尔定理4、莫勒拉定理5、柯西定理的逆定理。
§1 复变函数的积分§2 柯西定理及其推广
第二章 复变函数的积分§1. 复变函数的积分设l 为复平面上以0z 为起点，而以z为终点的光滑曲线（()y y x =有连续导数），在l 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z-= 把l 分为n 段，在每一小段1k k z z -上任取一点k ξ作和数()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑,1k k k z z z -∆=-当n →∞，且每一小段的长度趋于零时，若lim n n S →∞存在，则称()f z 沿l 可积，lim n n S →∞称为()f z 沿l 的路径积分。
l 为积分路径，记为()l f z dz ⎰【若l 为围线（闭的曲线），则记为()l f z dz ⎰ 】。
()()1lim lim nnk k ln n k f z dz Sf z ξ→∞→∞===∆∑⎰（()f z 在l 上取值，即z 在l 上变化）。
积分的计算z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,llf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ()()()(),,,,llu x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-++⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
复变函数积分的参数表示：设曲线l 的参数方程为()()()z z t x t iy t ==+，或表为()x x t =，()y y t =，t αβ≤≤，()0z z α=，()zz β= ，记 ()()(),u x t y t u t =⎡⎤⎣⎦，()()(),v x t y t v t =⎡⎤⎣⎦，于是()dx x t dt '=，()dy y t dt '=，()dz z t dt '=，()()()z t x t iy t '''=+，则()()()()()()()()()cf z dz u t x t v t y t dt i v t x t u t y t dt ββαα''''=-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()()()u t iv t x t iy t dt f z t z t dt ββαα'''=++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰。
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
复变函数课件：3_3柯西积分公式
使以Lρ 为边界的闭圆盘包含在D内(如图).
记 D ρ 为D挖去以Lρ 为边界的 开圆盘所得到的闭区域.
f (ξ ) 于是f (ξ )及 在 D ρ 上连续,在区域Dρ内解析. ξ −z
所以由定理3.2.7有,
f (ξ ) f (ξ ) ∫L ξ − z dξ = ∫Lρ ξ − z dξ .
证 作以z0心，以ρ (0 < ρ < ρ 0 )为半径的圆Lρ，
根据多连通区域上的柯西积分定理得
f ( z) f ( z) ∫L z − z0 dz = ∫Lρ z − z0 dz.
上式对满足0 < ρ < ρ 0的任何ρ 成立，于是
f ( z) f ( z) ∫L z − z0 dz = lim0 ∫Lρ z − z0 dz. ρ→ f ( z) 下证 lim ∫ dz＝2π if ( z0 ). ρ →0 Lρ z − z 0 f ( z0 ) dz 由于2π if ( z0 ) = f ( z0 ) ∫ =∫ dz , 则 Lρ z − z Lρ z − z 0 0
π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
∫
z +1 =
π sin z 4 dz + 2 1 z −1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 dz z2 − 1 1
2
2 2 = πi + πi = 2πi . 2 2
3z − 1 dz. 例3 计算I = ∫ | z | = 2 ( z + 1)( z − 3) 3z − 1 解 显然f ( z ) = 只有一个奇点z = −1在 | z |< 2 ( z + 1)( z − 3) 3z − 1 内, 且函数g ( z ) = 在 | z |< 2内解析,在 | z |≤ 2内连续. z −3
复变函数和积分变换第二版本-3.3 柯西积分公式-文档资料
推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 5
§3.3 柯西积分公式
cos z 第 例 计算 I d z, 其中 C 为： C z 三 章 : | z 2 | 1 . (1) C :|z | 1 ; (2) C 2 1
7
§3.3 柯西积分公式 第 三 章
C P67 例3.10 部分
3 复 变 解 I | z| 2 函 数 z π 的 2πi . 2 9 z zi 积 5 分 试考虑积分路径为 | z| 4 的情况。
z ( ) 2 9 z dz . z (i)
0
2
3
i
8
§3.3 柯西积分公式
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。 4
§3.3 柯西积分公式 第 一、柯西积分公式 z 三 注意 柯西积分公式中的区域 D 可以 D 章 C2 P67 是多连域。比如对于二连域 D , C1 推论 z0 复 2 C C 其边界为 C 变 1 2，则 函 1 f( z ) 数 f( z ) d z 0 C 2 π i z z 0 的 积 1 f ( z ) 1 f ( z ) d z d z , ( z D ) . 分 0 C C 2 π i1 z z 2 π i 2 z z 0 0 应用
§3.3 柯西积分公式 第 例 三 章 解 复 变 函 数 的 积 分 计算 I
C
2 z1 d z, 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2 z1 2z 1 , 令 f (z) 2 , 则 f (z) z(z1 ) z z
§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
复变函数柯西定理
复变函数柯西定理
柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理，其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。
柯西定理说：解析函数在复平面解析区域里的积分是路径独立的。
另一种表达是解析函数在其解析区域里的环路积分为零。
(I) 柯西定理的证明一般是结合联系面积分与线积分的格林定理(Green's Theorem):
[注：格林定理可以直接证明，亦可由联系面-线积分的旋度(Curl)公式给出。
]
以及解析函数的柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):
具体而言：
现在：1. 利用(1),对于实部和虚部分别取(P,Q)=(u,-v)和(P,Q)=(v,u); 2. 利用（2），环路积分为零得证。
(II) 另一个角度，可证明如下：
对于解析函数，由柯西-黎曼方程可知：(3)中的实部：udx-vdy 和虚部：vdx+udy 分别是全微分形式，可写作某实函数的全微分:
而实函数全微分的环路积分为零。
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
第二章 柯西定理公式
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
复变函数的柯西积分定理
复变函数的柯西积分定理
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它表明一个函数在一条围线内的曲线积分等于围线内的区域上的函数值相关的积分。
具体而言，柯西积分定理可以表示为：
设函数f(z)在区域D上解析，围线C完全位于D内，如果z0是D内部的一个点，那么对于围线C上的点z，有以下等式成立：
∮C f(z)dz = 0
这意味着如果一个解析函数在区域D内除去有限个孤立奇点外是解析的，那么沿着围线C的曲线积分等于零。
柯西积分定理的一个重要的推论是柯西公式，它可以表示为：
设函数f(z)在区域D上解析，围线C完全位于D内，如果z0是D内部的一个点，那么对于围线C上的点z，有以下等式成立：
f(z0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z0}dz
这个公式表明，解析函数在围线C上的积分值完全由函数在围线内部点z0附近的取值决定。
柯西积分定理和柯西公式在复变函数理论中具有重要的应用，可以用来计算复变函数的曲线积分、求解边值问题等。
复变函数与积分变换3.2柯西积分定理
C
1 dz dz dz 2 C z C z 1 z z
（由闭路变形原理） dz dz C2 z 1 C1 z 2 i 2 i 0
C
C1
0
1
C2
(2) (由复合闭路定理)
C
1 dz dz dz 2 2 C2 z 2 z C1 z z z z
问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连 通区域D内沿闭路径的积分为零?
要使 只要
f ( z) d z 0.
C
C
udx vdy 0且 vdx udy 0.
C
这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy, uy=-vx. Cauchy： 若f(z)在单连通区域D内解析,且f'(z)连续, 则对D内任意闭曲线C有
c
z0 z1 。 其中C：
固定z0,z1=z在D内变化,于是 C 于z的单值函数:
z C C z0
f ( z )dz
在D内确定了关
f z dz f d f d : F ( z )
F z f d
z0 z
变上限积分。
解析函数的原函数仍为解析函数
1 例题1 求 C 2 dz , C 如图所示： z 解：存在 f (z)的解析单连通域D包含
i
i
3 i
曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起
点和终点有关。
0,i 0,i
从而
C
1 1 4 1 1 1 dz d i 2 z z 0,3i i 3i 3 0, 3i z
复变函数(3.4.1)--柯西积分公式与高阶导数公式
dz
,
f
( z )
2 2p
1 i
C(zf
(z ) z)3
Hale Waihona Puke dz,LLL
f
(n)(z)
n! 2p i
C
(z
f (z ) z)n+1
dz
.
(1) 解析函数是否存在各阶导数 ? (2) 导数运算可否在积分号下进 行?
数学学院
定理 3.11 （高阶导数公式） 解析函数 f (z) 的导 数仍为解析函数，它的 n 阶导数可表示为
go
x
F
(
z)
C
3z
3 + 7z 2 (z z)2
+
1
dz
,求
F ( 1+
i)
.
8
数学学院
例 7 求积分 例 8 求积分
z
1
e
z
cos z2
z
dz
.
z
2
z3 + 1 (z + 1)4
dz.
例 9 计算下列积分 , 其中 C 是正向圆z r > 1 :
周
( ) � � (1)
2
4 1
dz
其中
C:
（z1+ 1）
1 2
;
（
2
）z 1
1 2
.
（ 3 ）z 2
数学学院
4.2 高阶导数与解析函数的无限可微性
如
果各阶导数
f (z)
存在
,
1 2p i
并
且Czf导(z z)数dz运.
第三章(1)复变函数
=0
（ 设 单 通 区 D上 柯 − 黎 方 成 ） 假 在 连 闭 域 ， 西 曼 程 立
假 设
（单连通闭区域 D上，柯西 − 黎曼方程成立）
∂u ∂x
∂u , ∂y
∂v , ∂x
∂v , 在闭区域 D 上连续； ∂y
⇒ f (z)在单连通闭区域D上处处可导。
∂u ∂u ∂v ∂v , , , 在闭区域 D 上连续； ∂x ∂y ∂x ∂y
c
c c
假设
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )连续
⇒ u ( x , y ), v ( x , y )连续的 设 ξ k = ϕ k + iψ k , z k − z k −1 = ∆z k = ∆xk + i∆yk
n→ ∞
lim ∑ f (ξ k )( z k − z k −1 )
c
c c
= ∫ f [z(t)]z′(t)dt
α
β
∴ ∫c f (z)dz = ∫α
β
f [z(t)]z′(t)dt
因为积分是沿曲线 C的，变量 z的取值应限制在曲线 C上， 即z = z (t ), f ( z ) = f ( z (t )). 因为 z = z ( t ) = x ( t ) + iy ( t ), 计算微分 dz = z ' ( t ) dt = ( x ' ( t ) + iy ' ( t )) dt
z = z (θ ) = z 0 + re z ' (θ ) = rie iθ dz 2π rie ∫c ( z − z0 ) n+1 = 0 n+1 i ( n+1)θ dθ r e
3.1.2 柯西定理
第三章 复变函数的积分第一节 柯西定理3、柯西定理：定理3.1 设f (z )是单连通区域D 的解析函数，（1）设C 是D 内任一条简单闭曲线，那么0)(=⎰C dz z f ,其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的。
（2） C 是在D 内连接0z及z 两点的任一条简单曲线，那么沿C 从0z 到z 的积分值由0z 及z 所确定，而不依赖于曲线C ，这时，积分记为⎰z z d f 0)(ζζ. 定理3.1’ 设C 是一条简单闭曲线，函数f (z )在以C 为边界的有界闭区域D 上解析，那么 0)(=⎰C dz z f 。
定理3.2 设f (z )是单连通区域D 的解析函数，那么f (z )在D 内有原函数。
证明：取定D z D ∈∈任取,α，由定理3.1，得⎰=zd f z F αζζ)()( 是在D 内确定得一个函数。
取00,z D z D z 与并取∈∈充分接近，把⎰⎰-=-0)()()()(0z z d f d f z F z F ααζζζζ D 中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接0z及z 的线段的并集。
于是有⎰-=---z z d z f f z f z z z F z F 0)]()([)()()()(0000ζζ这里积分是沿0z 及z 的联线取的，同样可证，有)()('00z f z F =。
例1、 设D 是不含a 的一个单连通区域，并且D z z ∈,0，那么])(1)(1[11)(1010------=-⎰m m zz m a z a z m a d ζζ 其中m 是不等于1的整数。
另外，还设D 在复平面上沿从a 出发的任何射线割开而得的区域内，我们有),ln()ln(00a z a z a d zz ---=-⎰ζζ 其中对数应理解为Ln(z-a )在D 内的一个解析分支在z 及0z 的值。
注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分；注解2、区域的单连通性不能直接取掉。
02第二章 解析函数积分
将 L 分割为 n 个弧段。 取 ζk ∈ zk−1zk ，作求和
n
∑ Sn = f (ζk ) ⋅ ∆zk , ∆zk = zk − zk−1 k =1
δ = max{| ∆ z1 |,| ∆ z2 |,...,| ∆ zn |}
∫ 定义
L
f
( z )d z
=
lim
n→∞
Sn
δ→0
ζ n−1
B zn
|z−a| = r
(连续性)
21
例1：计算
Q
=
∫C
dz z2 −1
，其中
C
为：
(1) 圆周 |z+2|=2； (2) 圆周 |z|=2
解：(1) 柯西积分公式的前提条件：
被积函数在围线内部只有一个奇点
∫ ∫ C
dz z2 −1
=
(z − 1)−1dz C z − (−1)
| z + 2 |= 2
= 2π i (z − 1)−1 |z=−1 = −π i
∫ ∫ F(z) ≡
∆
f (ζ ) dζ =
z
f (ζ ) dζ
(积分只依赖起点、终点)
Cz
z0
则 F(z) 在 D 内解析，且 F′(z) = f (z)
推论 (Newton-Leibniz 公式)：在单连通区域 D 内 解析函数 f(z) 存在原函数Ф(z) 。对A, B ∈ D，
∫B
f (z) dz = Φ(B) − Φ(A) 积分值可能与 D 有关！
(2) a 在 L 的内部区域 D ：
⋅a
γ
存在 a 的邻域 N2R (a) ⊆ D
取 γ为圆周 | z −a |= R
柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理
柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理，又称为柯西-施瓦茨不等式，是数学分析中的一条重要定理，它描述了复数函数的积分性质。
柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理的内容如下：柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理是指，对于任意可积函数f和g，以及任意可积的曲线C，有如下不等式成立：|∫(C) f(z)g(z) dz| ≤ √(∫(C) |f(z)|^2 dz) √(∫(C) |g(z)|^2 dz)其中，∫(C)表示对曲线C上的点进行积分，f(z)和g(z)分别是函数f 和g在曲线C上的取值，而dz表示积分元素。
柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理实际上是一个关于复数函数积分的不等式，它说明了两个函数的积分乘积的绝对值不大于它们各自模的乘积的积分。
这个定理在复变函数论、积分学和数学分析中都有重要的应用。
柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理的证明方法有多种，其中一种是利用柯西不等式和施瓦茨不等式的结合。
柯西不等式是指，对于任意可积函数f和g，以及任意可积的曲线C，有如下不等式成立：|∫(C) f(z)g(z) dz| ≤ ∫(C) |f(z)||g(z)| dz施瓦茨不等式是指，对于任意可积函数f和g，以及任意可积的曲线C，有如下不等式成立：|∫(C) f(z)g(z) dz| ≤ (∫(C) |f(z)|^2 dz)^0.5 (∫(C) |g(z)|^2 dz)^0.5利用柯西不等式和施瓦茨不等式，可以推导出柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理。
证明的思路是先利用柯西不等式得到一个中间结果，再利用施瓦茨不等式对该中间结果进行进一步的估计，最终得到柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理。
柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理在数学分析中有广泛的应用。
例如，在复变函数论中，它用于证明了柯西积分公式和柯西定理，这些定理是复变函数中的重要工具。
在积分学中，柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理用于证明了积分的收敛性和绝对收敛性。
在数学分析中，柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理用于证明了一些重要的不等式，如霍尔德不等式和明可夫斯基不等式。
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第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
（2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰，1a 、2a 为复常数。
（3）()()()12C C C f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接而成。
（4）()()C C f z dz f z dz -=-⎰⎰, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。
4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ⎰时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()CCfz dz fz dz -=-⎰⎰ ）。
以后凡遇围道积分，如不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。
( C 为逆时钟方向，C -代表顺时钟方向)例： 试证()21)0(1)nli n dzn n z a π=⎧=⎨≠-⎩⎰（为的整数，l 为以z a =为圆心，ρ 为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。
证：l 的参数方程为i z a e θρ-= ()πθπ-≤≤，在l 上，i dz i e d θρθ=。
当1n =时，2i i ldzi e d i d i z ae θππθππρθθπρ--===-⎰⎰⎰。
当n 为1n ≠的整数时，()()11i i n nn in n ldzi e d i e d e z a θππθθππρθθρρ-----==-⎰⎰⎰ ()()1111i n n e n πθπρ----=--()()()11111101n n n n ρ---⎡⎤=----=⎣⎦-。
§3-2 柯西定理及其推广【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 31-36】柯西定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系，与涉及的区域有关。
单连通区域内任一闭曲线可连续收缩为一点，简而言之区域内没“空洞”。
复连通区域（或称多连通区域）内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点，简而言之区域内有“空洞”。
(一) 单连通区域中的柯西定理若()f z 在单连通区域D 内解析，l 是D 内的任一围线（闭合曲线），则:()0lf z dz =⎰。
证明： 由于()f z 在D 上解析， 意味着()f z '在D 上各点均存在，实部u 、虚部v 有连续偏导数（即u x ∂∂、vx∂∂、u y ∂∂、v y ∂∂在D 上连续）并满足C-R 条件。
()()(),,f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+，()()()lllf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰。
由于实部u 、虚部v 满足C-R 条件，u v x y∂∂=∂∂， u vy x ∂∂=-∂∂, 而由实变函数线积分的格林定理：()0l D v u udx vdy dxdy x y '⎛⎫∂∂-=-+= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件） ()0l D u v vdx udy dxdy x y '⎛⎫∂∂+=-=⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件） ()0lf z dz ∴=⎰。
定义：函数()f z 在闭区域-D 内解析, 是指()f z 在区域D 内以及它的边界l上的每一点都是解析的. ( 闭区域-D : D D l -=+) 。
一种等价的说法： 如果函数()f z 在包括区域D 和它的边界在内的更大一些 的区域内解析，就称它为在闭区域-D 内解析。
单连通区域中柯西定理的另外一种表述：如果函数()f z 在闭曲线l 所围的闭单连通区域内解析，则函数()f z 沿 闭曲线l 的积分等于零: ()0lf z dz =⎰。
柯西定理的几个推论：（1） 在()f z 解析的单连通区域内，()f z 沿任一曲线l 的积分，只依赖于l 的起点和终点，而与l 的具体形状无关。
即若()f z 在单连通区域D 内解析，1l 、2l 是D 内有相同端点的任意两条曲线，则:()()12l l f z dz f z dz =⎰⎰。
证明：因为1l 、2l 的端点相同，所以1l 与2l -组成一围线。
由柯西定理：()120l l f z dz -+=⇒⎰()()()122l l l f z dz f z dz f z dz -=-=⎰⎰⎰。
（2）当积分的端点不动，而积分路线在()f z 解析的区域内连续地变形时，积分之值不变；（3）沿闭合回路的积分，当积分回路在()f z 解析的区域内连续地变形时，积分之值不变。
（ 连续变形 — 闭合回路变形时不能跨过()f z 不解析的区域。
）(二) 复连通区域中的柯西定理对于复连通区域， 可以作一条或多条辅助线（割线）使之变成一个单连通区域， 然后再应用单连通区域中的柯西定理， 就可以得到复连通区域中的柯西定理。
复连通区域中的柯西定理两种表述：(1) 在闭复连通区域中解析的函数， 沿所有边界线的正方向的积分之和为零：()01...0n C C C fz dz--+++=⎰(2) 在闭复连通区域中解析的函数，按逆时钟方向沿外边界线的积分等于按逆时钟方向沿所有内边界线的积分之和：()()01inC C i f z dz f z dz ==∑⎰⎰说明：当沿某一方向沿边界线环行时，如果所包围的区域始终在边界线的左边，则该方向称为边界线的正方向；相反的方向则称为边界线的逆方向。
例1： 计算()nldzz a -⎰ ，l 为不通过z a =点的围线。
解：z a =是()()1nf z z a =-的一个奇点，(1) 若l 没有包围点z a =，则()()1nf z z a =-在l 所包围的区域上是解析的,从而()0nldzz a =-⎰（l 不包围z a =）。
(2) 若l 包围z a = 【z a =是()1nz a -的奇点】，作以z a =为圆心的圆周1l 包围a ，则由上述的公式得：()()1nnll dzdzz a z a =--⎰⎰。
由前面的例子可得:()12101nl i n dzn n z a π=⎧=⎨≠-⎩⎰，，为的整数， ()2,10,1nli l z a n dzn n l z a z a π==⎧∴=⎨≠=-⎩⎰，当包围且当为的整数，或不包围。
例2 ：计算()2dzz z Γ-⎰的值，Γ为包含圆周1z =在内的任何一条正向简单闭曲线。
解：在圆周1z =内分别以=0z 和=1z 为圆心、画出半径充分小的两个辅助小园，它们完全包含于圆周1z =.根据复连通区域的柯西定理，有：()()()12222c c dz dzdz z z z z z z Γ=+---⎰⎰⎰11221111102200c c c c dzdz dz dz dz z zz zi i ππ=-+---=-+-=⎰⎰⎰⎰例3．设C 为单位圆周1z =，计算下列积分：（1）2Cdz z +⎰； （2）cos C dz z ⎰； （3）12C dz z +⎰； （4）2252C dzz z ++⎰。
解： （1）20,z += 奇点2z =-在C 外，积分 = 0； （2）cos 0, 2, 12z z k z ππ==±>， 奇点在C 外，积分 = 0；（3）110, 122z z +==<，奇点在C 内，积分 = 2i π； （4）被积函数有两个奇点：2252(21)(2)0z z z z ++=++=，1210, 1, 20, 212z z z z +==<+==>， 一个奇点在C 内，另一个奇点在C 外2252(21)(1)CCdzdzz z z z =++++⎰⎰111()1322C dz z z =-++⎰ 123i π=(三) 原函数的概念若'()()F z f z =，则称F (z )是f (z )的原函数，其中z ∈B ，B 是单连通区域。
设 f (z )是单连通区域B 内的解析函数，由Cauchy 定理知：沿B 内任一路径的积分()lf z dz ⎰只与起点、终点有关，而与积分路径无关，因此当起点0z B ∈固定时，该积分就定义了一个关于终点z 的单值函数：0()()zz F z f d ξξ=⎰. 则F (z )就是 f (z )的原函数: '()()F z f z =。
由于()F z 是f (z )的一个原函数，所以()F z C +（C 是任意常数）构成原函数族，则有：()()zz f d F z C ξξ=+⎰在上公式中令0z z =，则有0()0F z C +=，0()C F z =-， 从而：0()()()zz f d F z F z ξξ=-⎰（ 解析函数的定积分公式，形式上与牛顿—莱布尼兹公式相似。