实验班讲座第四讲 函数迭代和函数方程
函数迭代和函数方程课件
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函数方程的基本概念 函数方程是指包含未知函数的方程。例如，$f(x) + f(2x) = 3x$是一个函数方程。
解函数方程的方法 解函数方程的方法包括代换法、迭代法、微分法 等。这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的 函数。
函数方程的应用 函数方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应 用。例如，在物理学中，牛顿第二定律就是一个 典型的函数方程。
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函数方程的应用场景
数学建模
在解决实际问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方
程求解。
物理问题
在研究物理现象或规律时，有 时需要通过建立和解决函数方 程来得出结论。
工程问题
在解决工程问题时，常常需要 建立数学模型，其中涉及到的 未知数或符号可以通过函数方 程求解。
经济问题
迭代函数的性质
迭代函数通常具有封闭性、递归性、可计算性和复杂性等性质。这些性质决定了迭代函数 的性质和行为。
迭代函数的收敛性
对于某些迭代函数，当迭代次数趋于无穷时，函数的值会趋于某个固定值，这种性质称为 收敛性。例如，$f(x) = x/2$的迭代序列${f^n(x)}$会收敛到0。
具体函数方程的解析
在数学研究中，迭代函数和函数 方程经常结合使用，以相互补充
和加强。
通过将迭代函数的动态变化过程 与函数方程的等式关系相结合， 可以更全面地研究函数的性质和
行为。
在解决一些复杂的数学问题时， 迭代函数和函数方程的结合应用 可以提供更有效的方法和思路。
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例解析
具体迭代函数的解析
迭代函数的基本概念
迭代函数是指通过将函数作用于自身而得到的函数。例如，$f(x) = x^2$是一个迭代函数， 因为$f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4$。
函数迭代和函数方程
2.5函数迭代和函数方程一、基本知识简述 1． 函数迭代设f 是D →D 的函数，对任意D x ∈，记x x f=)()0(，定义))(()()()1(x f f x f n n =+，*N n ∈，则称函数)()(x fn 为)(x f 的n 次迭代.一些简单函数的n 次迭代如下： （1） 若a x x f +＝)(，则)()(x f n na x +＝；（2） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn x a n ＝； （3） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn na x ＝；（4） 若axx x f +1)(＝，则)()(x f n nax x +1＝；（5） 若)1()(≠+a b ax x f ＝，则)()(x fn ab a b n x a --+-11)(＝； )()(x f n 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(x fn 的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.2． 函数方程含有未知函数的方程称为函数方程，如果一个函数)(x f 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称)(x f 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求鞭解的过程就是解函数方程. 一般用以下方法：（1） 代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数.（2） 赋值法：根据所给的条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.（3） 待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法经比较系数而求解.（4） 递推法：设)(x f 是定义在整数集＊N 是的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件1)1(a f ＝，当知道了)1(f ，,),2( f ，)(n f 的值，由S 可以惟一地确定)1(+n f 的值，递推法主要用于解决递归函数问题.二、例题1.求函数迭代后的表达式例1设11)(+-=x x x f 记fn n x f f f x f 个)])([()(=，求)(1999x f例2已知函数3)(+=x x g ，)](5[)(1x g g x f -=.记)]([)(2x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，)]([)(1x f f x f n n -= ，则函数)(),(2x f x f ，)(3x f 的表达式依次为＿＿＿，＿＿＿＿，＿＿＿；而)(x f n 的表达式为＿＿＿＿. 2.求迭代后的函数值例3自然数k 的各位数字和的平方记为已知函数)(1x f ，且)]([)(1k f f k f n n -=，求 )11(n f （*N n ∈）的值域.例4已知函数k n f =)(，k 是循环小数0.918273645的小数点后的第n 位数字，则))]([( x f f f 的值为＿＿＿＿.例5设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)2(1)2(+-=n n n f f a ，求99a例6.在自然数集N 上定义的函数⎩⎨⎧+-=)]7([3)(n f f n n f ),1000(),1000(<≥n n 求)90(f 的值.3.解函数方程例7.已知),0,(-∞∈x 函数)(x f 满足xx f x f 51)(3)(2=-，求)(x f 的最小值及相应的x 值.［同类变式］函数)(x f 满足xx f x f 5)(3)(2=--，求)(x f例8.已知xx xx x f f +-++=-12111)(2)(，求)(x f 的表达式.例9.实数集R 上的函数)(x f y =满足：（1）22121212sin 42cos )(2)()(x a x x f x x f x x f +=-++),,(21是常数a R x x ∈ （2）1)()0(4==πf f （3）当],0[4π∈x 时，2)(≤x f 试求：（1）函数)(x f y =的解析式 （2）常数a 取值范围.4.由函数方程函数值例10.如果)()()(y f x f y x f =+，并且2)1(=f ，求)1999()2000()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++的值例11.定义在R 上的函数)(x f ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，若4)16(=f ，求)2003(f . 例12.若)(x f 是定义域为R 的函数，并且)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+，32)1(+=f ，求)1997(f 的值. 三、习题 1. 若⎩⎨⎧=为无理数为有理数，x x x f ,01)( 则)]([x f f 的值 ( )(A)等于1 (B)等于0(C)可能为1，也可能为0 (D)可能是0,1以外的数2.已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f ＝ （ ） (A) x 2 (B) 12+x (C) 22+x (D) 32+x3. 已知43)(2+-=x x x f ，486950183))((234++++=x x x x x g f ,那么)(x g 的各项系数和为（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 114. 若函数)(x f ，满足)()()(y f x f y x f +=+R y x ∈,，则下列各式中不恒成立的是（ ） (A) 0)0(=f (B) )1(3)3(f f = (C) )1()(2121f f = (D) 0)()(<-x f x f5.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--=101)(x x f 000>=<x x x 定义)]([)()2(x f f x f =，)]([)()1()(x ff x f n n -=，*),2(N n n ∈≥，且)()()1(x f x f =，那么关于n 的方程0)2001()(=n f的最小下整数解为 （ ）(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (二)填空题6.已知函数,)(2q px x x f ++= R x q p ∈、、,又集合{}x x f x A ==)(|，{}x x f f x B ==)]([|.{}3,1-=A ，则B ＝＿＿＿＿7.已知11)(+-=x x x f ，12)(-+=bx a x x g ，且xx g f 21))((=，则a=______,b=_________.8.设函数2)1()(2+-=x x f （x ≤0）,函数)(x g 适合x x g f =)]([，则)(x g _______.9. 已知函数22)(+--=+x x a x f ，且3)]([=a f f ，则a=________.10.已知)(x f 是一次函数，且10231024)()10(+=x x f，则)(x f ＝＿＿＿＿＿11.若函数)(x f 满足条件x f x f x=-)(4)(1，则)(x f 的最小值是＿＿＿＿. 12.设)(x f y =是定义在R 上的函数，且对于任意实数a,b,有ab b af f =)]([，则)1999(f 13. 设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)0(1)0(+-=n n n f f a ，求100a(三)解答题14. 设],0[2πα∈，函数)(x f y =的定义域为[0,1],且0)0(=f ，1)1(=f ，当y x ≥时，有)()sin 1(sin )()(2y f x f f y x αα-+=+，求 （1）)(),(4121f f ； （2）α的值；（3）函数)2sin()(x x g -=α的单调递增区间.。
imo中的函数迭代与函数方程
imo中的函数迭代与函数方程
IMO（International Mathematical Olympiad）是全球最高水平的数学竞赛之一，在其中会使用到各种数学方法和技巧，包括函数迭代和函数方程。
函数迭代是指对一个函数进行多次运算的过程，常见的迭代函数有阶乘函数和斐波那契数列。
函数方程是指表示函数关系的方程式，在IMO中可能会使用到各种函数方程，包括二次函数方程、三次函数方程等。
当然，函数迭代是一种重要的数学工具，在很多领域都有着广泛的应用。
例如，在概率论和统计学中，随机过程可以用迭代函数来描述。
在计算机科学和工程学中，迭代函数可以用来求解各种数值问题。
函数方程是一种基本的数学概念，是描述函数关系的方程式。
在IMO中，函数方程主要包括二次函数方程、三次函数方程、及更高次函数方程，还有各种复杂的极值问题等。
在IMO中，函数方程和函数迭代的题目可能会涉及到各种数学方法和技巧，包括代数方法、几何方法、微积分方法、复杂数学理论等。
参赛选手需要综合运用这些方法来解决问题。
函数迭代和函数方程
2.函数方程
1.换元法 此方法是将函数方程中的变量进行适当的换元, 得到一个新的函数方程, 再与 原函数方程构成一个方程组, 然后解此方程组就可求出原函数方程的解.但要注意 在换元时也许使函数的定义域发生了变化,需通过验证来证实.
例3. 已知实值函数F ( x)满足F ( x) + F ( x −1 ) = 1 + x(∗)( x ∈ R, 且x ≠ 0,1), 求F ( x). x
证 : 先证明对于任意自然数k , 只要n ≥ k , 则f (n) ≥ k .我们用数学归纳法证 : 当k = 1时, 显然,1是f (n)的值域中的最小数, 所以命题成立. 假设命题对于自然数k成立, 则当n ≥ k + 1时, n − 1 ≥ k ,由假设f (n − 1) ≥ k ,当然 f ( f (n − 1)) ≥ k . 由已知f (n) > f ( f (n − 1))得f (n) > k .于是有f (n) ≥ k + 1.即当n ≥ k + 1时, 命题也成立.从 而不等式f (n) ≥ k对于任意自然数k和任何不小于k的自然数n成立.取k = n, 则f (n) ≥ n. 再令n = f (k ), 则f ( f (k )) ≥ f (k ).又f (k + 1) > f ( f (k )), 故f (k + 1) > f (k ), 即函数f (k )是 严格递增函数. 因对于任意的n, f (n + 1) > f ( f (n)), 又f (k )严格递增, 故有n + 1 > f (n), 即f (n) ≤ n, 但已 证明f (n) ≥ n, 从而只能有f (n) = n成立.
函数迭代和函数方程
函数的变换与迭代
函数的变换与迭代一、函数变换1.函数平移：–水平平移：f(x + a)–垂直平移：f(x) + b2.函数缩放：–水平缩放：f(ax + b)–垂直缩放：f(x) * c3.函数反射：–y = f(-x) 为关于y轴的对称–y = -f(x) 为关于x轴的对称–y = f(x) 为关于原点的对称二、函数迭代1.迭代概念：–函数迭代：将函数的结果作为输入再次输入函数中，得到新的输出。
–迭代序列：a_n = f(a_(n-1))，其中a_0为初始值。
2.迭代规律：–收敛迭代：lim(n→∞) a_n 存在，称为收敛。
–发散迭代：lim(n→∞) a_n 不存在，称为发散。
3.迭代举例：–平方迭代：a_n = a_(n-1)^2–立方迭代：a_n = a_(n-1)^3三、函数变换与迭代的应用1.几何变换：–缩放和平移在几何图形中的应用，如图形放大、缩小、平移等。
2.物理应用：–振动方程的迭代求解，如简谐振动、非线性振动等。
–电磁场的迭代计算，如麦克斯韦方程组的求解。
3.计算机科学：–迭代算法：如斐波那契数列、矩阵幂的计算等。
–分形生成：如分形树、雪花曲线等的生成。
四、中小学生的学习内容和身心发展1.学习内容：–函数的基本概念和性质。
–函数的图像和几何变换。
–函数的迭代规律和应用。
2.身心发展：–培养学生的逻辑思维能力。
–提高学生的创新意识和实践能力。
–增强学生的数学美感和审美能力。
五、教学策略和方法1.教学策略：–结合实例讲解函数变换和迭代。
–通过问题驱动，引导学生探索函数变换和迭代规律。
–注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
2.教学方法：–讲授法：讲解函数变换和迭代的基本概念和性质。
–实践法：让学生动手实践，绘制函数图像，观察迭代规律。
–讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
习题及方法：1.习题一：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)向左平移2个单位后的函数表达式。
答案：f(x + 2) = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7解题思路：根据函数平移的规则，将函数f(x)中的x替换为x + 2，得到新的函数表达式。
迭代法求解方程
迭代法求解方程1 什么是迭代法？迭代法是一种求解方程的方法，通常用于在数值计算中。
迭代法的基本思想是通过不断重复一个固定的计算过程来逼近目标解，直到精度满足要求为止。
迭代法在理论研究和实际应用中都有广泛应用，例如在数学、物理、工程学等领域。
2 迭代法的例子在数学中，迭代法最常用于求解方程。
例如，我们有一个方程f(x) = 0，我们希望找到它的一个解x。
迭代法的一般形式是从一个初始值x0开始，通过重复应用某个公式，得到序列{x0, x1, x2, …, xn}，使得xn逐步逼近解。
具体而言，每一次迭代都利用前一次的计算结果，求出新的解，即：xn+1 = g(xn)其中g(x)是某个函数，也被称为迭代函数。
当序列{x0, x1,x2, …, xn}满足一定条件时，我们称其为收敛序列，此时xn就是方程f(x) = 0的解。
3 迭代法的实现迭代法需要满足一定的收敛条件，才能有效地找到解。
在迭代函数的选择中，一般应满足以下要求：1. 迭代函数必须是连续的。
2. 选取的初值必须接近解。
3. 迭代函数的值域必须包含自变量的定义域。
4. 迭代函数的导数要通常利于计算。
基于以上原则，我们可以通过编写程序来实现迭代法求解方程。
代码示例如下：```python定义迭代函数def g(x):return (x**2 + 2) / 3定义初始值x0 = 1设置迭代次数n = 20进行迭代for i in range(n):x1 = g(x0)print("x{} = {}".format(i+1, x1))x0 = x1```这段代码中，我们定义了一个迭代函数g(x) = (x² + 2) / 3，初始值为x0 = 1，迭代次数为20次。
通过重复调用迭代函数g(x)，我们依次求得了序列{x1, x2, …, x20}，并输出每一次迭代的结果。
4 迭代法的优缺点迭代法的优点主要包括：1. 迭代法适用于求解各种类型的方程，具有较高的通用性。
第四讲函数的迭代
第四讲 函数迭代一、函数迭代的定义函数迭代：对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x ff x f x f f x f x f x f n n -=== ),2(N n n ∈≥，我 们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代。
思考：设)()(x f a n n =，则)(1-=n n a f a ，x a =0，)(1x f a =，转化为数列递推。
若()f x x c =+，则()n f x =若3()f x x =，则()()n f x =若()f x ax b =+，则()()n fx = 例1 已知()f x 为一次函数，且 (10)10241023f x x =+，求()f x 的解析式例2 ()f n 是定义在N +上的函数，并且满足（1）(())49f f n n =+,n N +∈;（2）{}1(2)23,0k k f k N ++=+∈⋃求(1789)f 的值例3 ()32,f x x =+证明：存在m N +∈，使(100)()fm 也能被2005整除例4 设n 是不小于3的正整数，以()f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如(12)5f =）.如果()3,f n ≥又可作(())f f n ，类似的如果(())3f f n ≥，又可作((()))f f f n 等等.如果()()2k f n =,就将k 称为n 的“长度”，记为n l .试对任意,3,n N n +∈≥求n l ，并证明二、()()n f x 的求法（1）数学归纳法步骤：①当0n n =时，命题成立；②设0()n k k n =≥时命题成立，可推出1n k =+命题仍然成立，则对于一切 0n n ≥的任何整数，都有命题成立例5 若()f x ax b =+，用数学归纳法求()()n f x例6 已知(),x f x a bx=+求()()n f x（2）递归法递归法：设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知且0,a D ∈1(),1n n a f a n -=≥.一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)12()()n n n a f a f a --===…()0()n f a =，即{}n a 的通项公式；另一方面，如果如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0,(),n a x a g x ==而1()n n a f a -==…()()0()()n n f a f x =，从而()()(),n f x g x =即()()n f x 的表达式由上述原理知，可通过构造数列的方法求函数的n 次迭代，其步骤为①设()0,();n n a x a f x ==②由()1()(),n n n a f x f a -==求出0()n a g a =；③()0()()()n f x g a g x ==尝试用递归法解答例1、例2例7设()1)1f x x =++，求()()n f x（3）相似法若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得 1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 与()g x 相似，记~f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数.相似关系是一个等价关系，满足①~f f (自身性)；②若~f g ，则~g f （对称性）；③若~,~f g g h ，则~f h若1()((()))f x g x ϕϕ-=，则()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=（自己证明）例8若()f x ax b =+，用相似法求()()n f x例9设()1x f x ax=+，求()()n f x例10 设2()21,[1,1]f x x x =-∈-求()()n f x （提示：2cos 22cos 1x x =-，且cos y x =的反函数为arccos y x =）例11 求一个函数()p x ，使得82()2p x x x =+.（4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.性质：（1）若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点;（2）设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=.若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，0()x ϕ是()g x 的不动点小提示：利用不动点，把一些简单的函数先变形再迭代，最后用数学归纳法证之.例12 设()f x =()()n f x利用不动点寻找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映射成g 的不动点0()x ϕ.通常为了求()()n g x ，()g x 通常取23,,,ax x a ax ax +等，这时()g x 的不动点为0或∞，此时若()f x 只有唯一不动点α，则可考虑取()x x ϕα=-或1x α-，这时()0(ϕα=或∞)；若()f x 有两个不动点α、β，则可考虑取()x x x αϕβ-=-，此时()0ϕα=，()ϕβ=∞. 例13 设2()21x f x x =-，求()()n f x .三、函数迭代在竞赛中的应用例14 M 是形如()(,)f x ax b a b R =+∈的实变量x 的非零函数集，且具有下列相纸：（1）若(),(),f x g x M ∈则(())g f x M ∈；（2）若,f M ∈则1(0)f M a -∈≠；（3）对M 中每一个f ，存在一个,i x R ∈使()i i f x x =；求证：总存在一个k ∈R ，对所有的,f M ∈均有()f k k =例15 设:f N N ++→，且对每个n N +∈，均有(1)(())f n f f n +>求证：每个正整数均为f 的不动点.。
函数 方程
函数方程函数方程，是指包含一个或多个未知函数的方程式。
在数学中，函数方程的学习是函数论中的重要内容之一，一直以来都在数学领域中扮演着重要的角色。
本文将从以下几个角度来给大家讲解函数方程。
一、函数方程的基本概念函数方程是关于函数的一个方程，形式上可以是一个或多个未知函数的方程式。
与一般的方程不同，函数方程的解不是数的解，而是一个函数或一组函数。
函数方程是函数论中的研究方向之一，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
二、常见的函数方程1. 函数递推方程函数递推方程指满足某一递推条件的函数关系式。
通常以递归的方法来定义一个新的函数，它可以通过前面的函数值来确定。
这里可以给大家提供一个简单的例子：f(0) = 1f(n) = f(n-1) + 1我们可以得出 f(n) = n+1。
2. 函数迭代方程函数迭代方程是指通过反复迭代某个函数得到的方程。
通常迭代的方式是将函数的输出结果作为输入，再次输入到函数中，以此不断迭代。
这里给大家提供一个简单的例子：f(x) = 2xf(f(x)) = 2f(x) = 4x3. 函数积分方程函数积分方程通常是通过对函数进行积分得到的，它可以帮助我们求解复杂的计算问题。
我们可以给大家举个例子：f(x) = 1 + ∫[0,x]f(t)dt我们可以通过求解 f(x) 来得到满足该方程的函数。
三、函数方程的解法解析法是求解函数方程的最常用方法，它通过对方程中的函数进行代数变形求解。
解析法解题时通常要根据方程中的条件来进行转换，具体方法有以下几种：1. 点带入法点带入法是指将方程中的一个或几个未知量带入到方程式中，从而使得方程中的未知量逐渐减少，最终求得解。
2. 比较法比较法是通过比较多个方程的解来求得函数方程的解。
3. 变异法变异法是指通过对方程式中的某些项进行变形，从而引出新的方程式来求得函数方程的解。
四、函数方程的应用函数方程在实际应用中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些实际问题。
函数方程与迭代(PPT)3-1
f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x) 为单调递增函数
Q f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3x x2) 4 f (2),3x x2 2 1 x 2
∴不等式的解集为{x | 1 x 2} （4） f (3) f (1 2) f (1) f (2) 8
方程[ f ( x)]2 1 f ( x 3) f (2) 1 可化为[ f ( x)]2 1 f (3) f ( x) 5,
2
2
即[ f ( x)]2 4 f ( x) 5 0, 解得f ( x) 1或f ( x) 5 （舍），
由（1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.
3.⑴ f (x) f (x 0) f (x) f (0), x 0 时, f (x) 1, f (0) 1
⑵
f (x)
f(x 2
x ) [ f ( x )]2 ≥ 0 .假设存在某个
使f ( x0 )
0，
则对任何 x 0,有f (x) f [(x x0 ) x0] f (x x0 ) f (x0 ) 0 与已知矛盾，
5.函数方程的解法: 代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数
的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数 待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得
球，是土星上和木星大红斑类似的长时间维持的大型风暴圈。土星环年，意大利天文学家伽利略观测到在土星的球状本体旁有奇怪的附属物。9 年，荷兰学者惠更斯证实这是离开本体的光环。7年意大利天文学家卡西尼，发现土星光环中间有一条暗缝（后称卡西尼环缝），他还猜测光环 是由无数小颗粒构成。两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测，但在这二百年间，土星环通常被看做是一个或几个扁平的固体物质盘。直到8 年，英国物理学家麦克斯韦从理论上论证了土星环是无数个小卫星在土星赤道面上绕土星旋转的物质系统。土星环位于土星的赤道面上。在空间 探测前，从地面观测得知土星环有五个，其中包括三个主环（A环、B环、C环）和两个暗环（D环、E环）。B环宽又亮，它的内侧是C环，外侧 是A环。A、B两环之间为宽约8公里的卡西尼缝，是；泰国试管婴儿/ ；天文学家卡西尼在7年发现的，产生环缝的 原因是因为光环中有卫星运行，卫星的引力造成的。B环的内半径9,公里，外半径,公里，宽度,公里，可以并排安放两个地球。A环的内半径,公里， 外半径7,公里，宽度,公里。C环很暗，它从B环的内边缘一直延伸到离土星表面只有,公里处，宽度约9,公里。99年在C环内侧发现了更暗的D环， 它几乎触及土星表面。在A环外侧还有一个E环，由非常稀疏的物质碎片构成，延伸在五、六个土星半径以外。979年9月“先驱者”号探测到两 个新环──F环和G环。F环很窄，宽度不到8公里离土星中心的距离为.个土星半径，正好在A环的外侧。G环离土星很远展布在离土星中心大约～ 个土星半径间的广阔地带。“先驱者”号还测定了A环、B环、C环和卡西尼缝的位置、宽度，其结果同地面观测相差不大“先驱者”号的紫外辉 光观测发现，在土星的可见环周围有巨大的氢云环本身是氢云的源。除了A环、B环、C环以外的其他环都很暗弱。土星的赤道面与轨道面的倾角 较大，从地球上看，土星呈现出南北方向的摆动，这就造成了土星环形状的周期变化。仔细观测发现，土星环内除卡西尼缝以外，还有若干条旅 行者号98年拍摄的土星照片旅行者号98年拍摄的土星照片(张)缝，它们是质点密度较小的区域，但大多不完整且具有暂时性。只有A环中的恩克 缝为永久性，不过，环缝也不完整。科学家认为这些环缝都是土星卫星的引力共振造成的，犹如木星的巨大引力摄动造成小行星带中的柯克伍德 缝一样。“先驱者”号在A环与F环之间发现一个新的环缝，称为“先驱者缝”，还测得恩克缝宽度为9公里。由观测阐明土星环的本质要归功于 美国天文学家基勒，他在8
函数迭代
2011年1月数学学校专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。
一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。
如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x 2n.若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+aan--11b(a ≠).函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。
然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。
⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。
例2、 设).(.12)()(2x f x x x f n 计算-=⑵不动点求函数迭代：如果x 0是)(x f 的不动点，则x 0也是)()(x f n 的不动点。
这一点用数学归纳法是容易证明的。
例3、若9319)(2+=x x f 求，)()(x fn 。
③函数迭代应用：在国内外数学竞赛中，不断出现一些要用到各种技巧的函数迭代和函数方程问题。
主要有三个方面：（1）研究函数的性质；（2）求函数的值；（3）确定函数的解析表达式。
下面通过例题来介绍解决这些问题的方法和技巧。
例4、设N 是自然数集合，k ∈N 。
如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对于每个n ∈N ，都有f （f (n )）=k n 。
证明：对每个n ∈N ，都有12+k k n ≤f (n )≤21+k n .例5、 设函数f (x )对所有x ＞0有意义，且满足下列条件：（1）对于x ＞0，有f (x )f [f (x )+x1]=1; （2）f (x )在（0，+∞）上严格递增。
迭代法求解方程原理
迭代法求解方程：原理与步骤详解迭代法，又称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
迭代法求解方程的原理是基于数学中的逼近理论，通过构造一个序列，使得该序列的极限值就是方程的解。
这种方法通常用于求解非线性方程或者方程组，因为这些方程可能难以通过直接求解的方式得到解析解。
迭代法求解方程的基本步骤：1.选择迭代函数：根据待求解的方程，选择一个合适的迭代函数。
这个迭代函数通常是通过对方程进行某种变换得到的。
2.确定迭代初值：为迭代过程选择一个初始值，这个初始值可以是任意的，但不同的初始值可能会影响到迭代的收敛速度和稳定性。
3.进行迭代计算：使用迭代函数和初始值，计算得到序列的第一个值。
然后，用这个值作为下一次迭代的输入，继续计算得到序列的下一个值。
如此反复进行，直到满足某个停止条件（如达到预设的迭代次数，或者相邻两次迭代结果的差值小于某个很小的阈值）。
4.判断解的有效性：如果迭代过程收敛，即序列的极限值存在且唯一，那么这个极限值就是方程的解。
否则，如果迭代过程发散，或者收敛到非唯一解，那么这种方法就失败了。
迭代法的收敛性：迭代法的关键问题是判断迭代过程是否收敛，即序列的极限值是否存在且唯一。
这通常取决于迭代函数的选择和初始值的设定。
对于某些迭代函数，无论初始值如何，迭代过程都会收敛到同一个值；而对于其他迭代函数，迭代过程可能会发散，或者收敛到多个不同的值。
迭代法的优缺点：优点：◆迭代法适用于求解难以直接求解的方程或方程组。
◆迭代法通常比直接法更容易编程实现。
◆在某些情况下，迭代法可能比直接法更快。
缺点：◆迭代法可能不收敛，或者收敛速度很慢。
◆迭代法的收敛性通常需要额外的数学分析或实验验证。
◆对于某些方程，可能需要尝试不同的迭代函数和初始值，才能找到有效的解决方案。
常见的迭代法：◆雅可比迭代法：用于求解线性方程组的一种方法，通过不断更新方程组的近似解来逼近真实解。
函数方程与迭代
3.⑴ f ( x ) f ( x 0) f ( x ) f (0), x 0 时, f ( x ) 1, f (0) 1
f ( x2 ) f ( x1 ) f [( x2 x1 ) x1 ] f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )[ f ( x2 x1 ) 1] 0 x R 时， f ( x ) 为单调递增函数 f (1) 2, 则 f (2) f (1) f (1) 4 f (3 x x2 ) 4 f (2), 3 x x2 2 1 x 2 ∴不等式的解集为 { x | 1 x 2} （4） f (3) f (1 2) f (1) f (2) 8 1 1 2 2 方程 [ f ( x )] f ( x 3) f (2) 1 可化为 [ f ( x )] f (3) f ( x ) 5, 2 2 即 [ f ( x)]2 4 f ( x) 5 0, 解得f ( x) 1或f ( x ) 5 （舍） ， 由（1）得 x=0.故原方程的解为 x=0.
(3)证：∵0＜1＜c，∴f (1)＞0，即 a＋b＋c＞0 b＞－a－c a b c a a c c a c a c ca t 2 t 1 t t 2 t 1 t 1 t (t 2)(t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) t (t 1) ca 1 1 a b c c a 1 0 0 又∵ ，c＞1 ∴ a＜c,∴ ,故 a c t 2 t 1 t t ( t 1)
1 ∴ f ( n 1) f ( n) , 2 n ∴ f ( n) ,∴ f (1998) 999 2
函数方程与迭代
3答案4答案Fra bibliotek 函数方程 与迭代
思考1,2,3 练习
思考1答案
思考 3答案
抗击疫情如此，其它工作亦是如此。背离了实事求是的思想路线，丢掉了全心全意为人民服务的宗旨，从而导致工作目的扭曲和工作方法变形。飘浮、虚夸、弄假，拈轻怕重，贻误战机，伤害感情。 这和党和人民的要求格格不入。网上黄金城注册 我们应该警醒和抵制形式主义和官僚主义，少些形式上的“身入”，多些真情实感的“心入”。众志成城，变＂要我上＂为＂我要上＂；少一些＂给我上＂的粗糙，多一些＂跟我上＂的自觉；方能 攻坚克难，无坚不摧。
疫情当前 这些主义要不得2020-2-4 17:21 上传 疫情当前，务须实干。形式主义要不得，一丝官僚主义不可有。
打赢疫情防控阻击战是当前的头等大事。今年的春节晚会小品类《走过场》看似夸张，实则用写实的手法，描绘出个别人一幕活脱脱的官场现形记。不置可否，“郝科长”、“马主任”式的人物走 过场，弄虚作假这种行为，在工作中，在我们的生活中的确存在着。群众的安危来不得半点马虎和大意。危急关头，大事当前，我们何尝不“若夫为国家出气力，担当大任，有虚江辈在，山人可以安枕 矣。”明代儒学大师唐顺之在《与俞总兵虚江书》中这样写道。
函数迭代程
5函数迭代与函数方程对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x f f x f x f f x f x f x f n n -===),2(N n n ∈≥，我们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代，将含有未知函数的等式称为函数方程.函数迭代与函数方程是竞赛数学中一类重要的题型，下面我们对其中所用到的一些数学原理和方法作一介绍.1． 基本原理定理1 设,)(,1b ax x f a +=≠0x 是)(x f 的不动点，则对于正整数n ，有00)()()(x x x a x f n n +-=.证 b ax x f +=)(，b ax x +=00，两式相减得)()(00x x a x x f -=-， （1）当1=n 时，由（1）知结论成立。
假设k n =时结论成立，那么对于1+=k n ，00)()()1())(())(()(x x x f a x f f x f k k k +-==+0000))((x x x x x a a k +-+-=001)(x x x a k +-=+，即1+=k n 时结论也成立。
由归纳法原理知结论成立。
定理2 设)(x g 与)(x ϕ都是D D →的函数，)(x ϕ的反函数为)(1x -ϕ，若)))((()(1x g x f ϕϕ-=，则)))((()()(1)(x g x f n n ϕϕ-=. 定理2可用数学归纳法证明。
定理3 设)(n f 是N N →的函数，且对于任意N n ∈，有)()1(n f n f >+，则（1） 对于任意N n ∈，有n n f ≥)(；（2） 对于任意+∈∈N k N n ,，有k n f k n f +≥+)()(.定理3用数学归纳法易证.定理4 若对于任意的Q y x ∈,，有)()()(y f x f y x f +=+ （1）则Q x xf x f ∈=),1()(.证 由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数n 及有理数x ，有)()(x nf nx f = （2）在（2）中令1=x ，得)(),1()(+∈=N n nf n f （3）在（2）中令2,0==n x ，得)0(2)0(f f =，∴0)0(=f .)()())(()()0(0n f n f n n f n n f f -+=-+=-==，∴)()(n f n f -=-，Z n ∈.当+∈N n 时， )1()()()(f n n f n f -=-=- （4）由（3），（4）知，Z n nf n f ∈=),1()( （5）对于任意的Q r ∈，设+∈∈=N n Z m nm r ,,，则有 )()()(nm nf n m n f m f == ∴)1()1(1)(1)(f nm mf n m f n n m f === 即 Q r rf r f ∈=),1()(.注：在定理4中，若加上)(x f 为连续函数这一条件，则有R x xf x f ∈=),1()(.定理4的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值..2． 方法解读例1 已知)(x f 为一次函数，且)12(32)(20072007)2007(-+=x x f ，求)(x f .解 设b ax x f +=)(，显然1≠a .令b ax x +=，得a b x -=10，即ab x -=10为)(x f 的不动点.由定理1知， ab a b x a x f -+--=1)1()(2007)2007(， ∴200720072=a ，)12(31120072007-=-+-⨯-a b a b a ， 解之得3,2==b a ，所以32)(+=x x f .例2 已知),1(,)1(2)(2+∞∈-=x x x x f ，求))((( x f f f f fn 个. 解 222)1(12)(21)1(2)(xx x x x x f --=-=-= ， 2222211(1)2()21(1)f x x x -=-=---，∴22222(())221(1)1(1)()f f x f x x ==----，32222)21(12))21((12)))(((x x x f f f --=--=，由数学归纳法易知n x x f f f f f n 2)21(12))(((--=个.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.例3（2004年高中联赛试题）设函数R R f →:，满足1)0(=f ，且R y x ∈∀,，都有 2)()()()1(+--=+x y f y f x f xy f （1）求)(x f .解 （方法1）在（1）中将y x ,互换，则有2)()()()1(+--=+y x f x f y f xy f （2）由（1），（2）得x y f y x f +=+)()( （3）在（3）中令0=y ，则有 x f x f +=)0()(，即1)(+=x x f .易证1)(+=x x f 是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令0=y ，得2)0()1()()1(+--=x f f x f f （4）即 1)1()()1(+-=x f x f f .为了求出)(x f ，需要求)1(f ，为此在（1）中令0==y x ，得2)0()0()0()1(+-=f f f f ，从而有2)1(=f ，代入（4）可得1)(+=x x f .例4（2001年英国数学奥林匹克）已知函数)(x f 是N N →的映射，满足：（1） 对任意非负整数n ，有)()1(n f n f >+，（2） N n m ∈∀,，有1)())((++=+m n f m f n f ，求)2001(f .解 在（2）中令0=m ，并记k f =)0(，则有1)()(+=+n f k n f .由于数列)(n f 是递增数列，由定理3知1)()(+=+≤+n k n f k n f ，1≤∴k .若0=k ，则有1)()(+=n f n f ，矛盾，所以，1=k ，从而有1)()1(+=+n f n f .又因为1)0(=f ，容易得1)(+=n n f .所以，2002)2001(=f .例5 已知)(x f 是Q Q →的函数，2)1(=f ，1)()()()(++-=y x f y f x f xy f（1） 求))((Q x x f ∈.解 将1=y 代入（1）式，得1)1()1()()(++-=x f f x f x f ，即 1)()1(+=+x f x f .所以，Z n ∈∀，有1)()1(+=+n f n f（2）由（2）易得 (1)1f n n +=+，Z n ∈.在（1）中令0,,,1≠∈==n Z n n y nx ，则有 1)1()()1()1(++-=⋅n nf n f n f n n f ， 即 1])1([)1)(1(2++-+=n nf n n f ， 所以， n n f 11)1(+=. 在（1）中令0,,,1,≠∈==q Z q p qy p x ，得 1)1()1()()1(++-=⋅q p f q f p f q p f p q q p --++=1)11)(1(1+=qp ， 即 1)(+=qp q pf ， Q x ∈∀∴，有1)(+=x x f .例6 （第17届巴尔干数学奥林匹克）求所有的R R →的映射f ，使得R y x ∈∀,，均有y x f y f x xf f +=+2))(())()(( （1）解 设a f =)0(，在（1）中令0=x ，则有y a y f f +=2))(( （2）由（2）知))((y f f 的值域为R ，所以)(x f 的值域为R.又若)()(21x f x f =，则 ))(())((21x f f x f f =，由（2）得2212x a x a +=+，所以21x x =，这表明f 是R R →的双射.因此R b ∈∃，使得0)(=b f .在（1）中令b x =，得y y f f =))(( （3）由（2），（3）知02=a ，所以0=a ，0)0(=∴f ， 0=∴b .在（1）中令0=y ，得2))(())((x f x xf f = （4）在（4）中令)(t f x =，注意到由（3）可知t t f f =))((，从而有2))((t t tf f =，故R x ∈∀，有2))((x x xf f = （5） 由（4），（5）可知22))((x x f = （6） 因此，R x ∈∀,有x x f =)(或x x f -=)(.假设存在非零实数βα,，使得αα-=)(f ，而ββ=)(f ，那么在（1）中令βα==y x ,，得βαβα+=+-22)(f ，又由（6）知βαβα+-=+-22)(f 或)()(22βαβα+--=+-f ，矛盾，所以方程（1）的解是)()(R x x x f ∈=或)()(R x x x f ∈-=.例7 设)(n f 是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，2)2(=f ，当n m ,互素时，有)()()(n f m f mn f = （1）证明：对一切正整数n ，n n f =)(.证 )11()2()22()21()7()3(f f f f f f =<=)7(4)7()2(2)14(2)11(2f f f f f ==<=，4)3(<∴f .又 2)2()3(=>f f ， 3)3(=∴f .若结论不成立，设使n n f ≠)(的最小正整数为0n ，则40≥n .1)1()(000-=->n n f n f ， 又00)(n n f ≠，00)(n n f >∴.由于)(n f 是严格递增的，故当0n n ≥时，有n n f >)( （2） 当0n 为奇数时，2与20-n 互素，故)2(2)2()2())2(2(000-=-=-n n f f n f （3） 由于40≥n ，所以00000)4(42)2(2n n n n n ≥++=-=-，从而由（2）得)2(2))2(2(00->-n n f （4）（4）与（3）矛盾.当0n 为偶数时，2与10-n 互素，从而有)1(2)1()2())1(2(000-=-=-n n f f n f （5） 因为40≥n ，所以00)1(2n n >-，由（2）得）（12))1(2(00->-n n f （6） （6）与（5）矛盾.综上可知，+∈∀N n ，有n n f =)(.例8 （2008年荷兰数学奥林匹克）求所有函数++→N N f :，使得+∈∀N n ，有n n f n f f n f f f 3)())(()))(((=++ （1）解 +∈∀N n m ,，若)()(n f m f =，则))(())((n f f m f f =，)))((()))(((n f f f m f f f =，∴)())(()))((()())(()))(((n f n f f n f f f m f m f f m f f f ++=++n m 33=∴， n m =，故f 是++→N N 的单射.下证n n f =)(.当1=n 时，在（1）中取1=n ，得3)1())1(()))1(((=++f f f f f f .因为上式左边3个数均为正整数，所以只能全为1，故1)1(=f ，即1=n 时结论成立.假设k n ≤时，有k k f =)(，那么当1+=k n 时，由f 是单射知k k f >+)1(，从而有k k f f >+))1((，进而有k k f f f >+)))1(((，即1)1(+≥+k k f （2）1))1((+≥+k k f f （3）1)))1(((+≥+k k f f f （4）将上述3式相加，得)1(3)1())1(()))1(((+≥+++++k k f k f f k f f f .又)1(3)1())1(()))1(((+=+++++k k f k f f k f f f ，从而知不等式（2），（3），（4）全取等号，故1)1(+=+k k f ，即对于1+=k n 结论成立.由归纳法原理知，+∈=N n n n f ,)(.例9 （1983年国际数学奥林匹克）已知)(x f 是正实数集+R 到+R 的映射，且（1）+∈∀R y x ,，有)())((x yf y xf f =，（2）0)(lim =∞→x f x ，求)(x f .解 在（1）中令1=x ，则有 )1())((yf y f f = （*）因此函数))((y f f 的值域为+R ，所以)(x f 的值域为+R .又若)()(b f a f =，则有))(())((b f f a f f =，由（*）式得b f a f )1()1(=.+∈R f )1( b a =∴，即)(x f 是++→R R 的单射，进而知)(x f 是++→R R 的双射.设1)(0=x f ，则)1())(1()1(00f x x f f f ==.又+∈R f )1( ，10=∴x ，即1是)(x f 的不动点.又若b a ,是)(x f 的不动点，则有b b f a a f ==)(,)(，从而有ab ba a bf b af f ab f ====)())(()(即ab 是)(x f 的不动点.又若a 是)(x f 的不动点，则有a a f =)(， )1())(1()1(1af a a f a f a a f ⋅=⋅=⋅=∴，aa f 1)1(=∴， 所以a1也是)(x f 的不动点. 下面我们证明1是)(x f 的唯一不动点.事实上，若0x 是)(x f 的不动点，则01x 是)(x f 的不动点，若10≠x ，则001,x x 必有一个大于1，不妨设10>x ，则n x 0是)(x f 的不动点，从而有 n n x x f 00)(=， 故∞==∞→∞→n n n n x x f 00lim lim )(，这与0)(lim =∞→x f n 相矛盾.所以1=x 是)(x f 的唯一不动点.在（1）中令x y =，则有)())((x xf x xf f =，所以)(x xf 是)(x f 的不动点，故1)(≡x xf ，x x f 1)(=∴. 容易验证xx f 1)(=是满足题设的函数. 习 题51．对任意正整数k ，令)(k f 表示k 的各位数字的和的平方，求)11()2001(f. 3．设对满足1≠x 的所有实数x ，函数)(x f 满足x xx f x x f =-+++-)13()13(，求)(x f . 5．试求出所有函数R R f →:，使得R y x ∈∀,，都有)()()(22y yf x xf y x f +=+.，。
(完整版)求函数方程的六种常用方法
(完整版)求函数方程的六种常用方法
在数学中，求解函数方程是一项常见的任务。
以下是六种常用
的方法用于解决函数方程问题。
1. 代数方法
代数方法是使用代数运算来求解函数方程的一种方法。
它通常
将方程中的变量替换为常数或者引入新的变量，通过代数运算化简
方程，从而求得函数的表达式或关系。
2. 函数递推法
函数递推法是通过逐步迭代，根据给定的初始条件和递推关系，逐步计算出函数的值，从而获得函数的表达式或关系。
3. 图像法
图像法是通过绘制函数的图像来求解函数方程。
通过观察函数
的图像特征，如零点、极值点等，可以推断出函数的性质和表达式。
4. 函数拟合法
函数拟合法是通过将函数方程的解与已知的数据点进行拟合，找到一个满足这些数据点的函数表达式。
这种方法通常使用最小二乘法或其他数值拟合技术。
5. 微分方程法
微分方程法是将函数方程转化为微分方程，通过求解微分方程的方法得到函数的表达式。
这种方法通常适用于一些特定类型的函数方程，如常微分方程。
6. 迭代法
迭代法是一种数值计算方法，通过反复迭代运算来逼近函数方程的解。
它常用于求解无法通过代数方法解析求解的函数方程。
以上六种方法是求解函数方程常用的方法，每种方法都有其适用的情况和优缺点。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解函数方程。
请注意，该文档所述的方法仅供参考，并不保证能够解决所有函数方程的问题。
在实际应用中，根据具体情况和问题特点进行灵活选择和使用方法，以获得最佳的解决方案。
函数方程和函数迭代问题（奥数）
函数方程和函数迭代问题（奥数）第四讲函在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质.一. 探求函数的解析式函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对其作进一步详尽的介绍.1,换元法换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.例1 解函数方程 f(x)+f(xx 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) f(x)=x+1/x+1/(1-x) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) f(x)=c/(a-b)x+c/(a+b)2.赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的.例3 已知定义在R 的函数满足⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数) f(x)=(a-1)(sin2x-cos2x)+a⑵ f(0)=f(4π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式;⑵常数a 的取值范围.例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y);⑵ f(2)=0⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 f(x)= 0,x>=22/(2-x),x<23递推法这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f(n)的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{a n}的通项表达式)例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=23,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1+x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有f(x+y)=f(x)+f(y),试求f(x)5, 待定系数法这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解例７确定符合下列条件的所有多项式f(x) f(x+1)=21f[f(x)]+23 6 , 利用不等式夹逼利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:⑴ 若对任意x ∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x ∈I,有f(x)＝g(x)⑵ 若对任意x,y ∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y 得f(y)≤g(x)于是对任意的x,y ∈I 有f(x)＝g(y)由此可得f(x)＝常数(x ∈I).⑶ 若f:N →N 满足m ≤f(n)＜m+1或m-1＜f(n)≤m 或m-1＜f(n)＜m+1(m,n ∈N)则f(n)=m,例8 设f(x) 是具有下列性质的函数⑴ f(n)对每一正整数n 有定义;⑵ f(n)是正整数;⑶ f(2)=2⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n 成立;⑸ f(m)＞f(n),当m ＞n 时试证: f(m)=f(n)例9 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意两个自然m 与n,只要m ≥n 就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m 对任意的自然数m 成立.例10 设f(n )是定义在自然数集N 上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m ＜n 时,f(m)＜f(n);⑶当m,n 互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).二. 探求函数的值在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程给出的特殊定义的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.例11. 设N 是自然数集, f(x)是定义在N 上并在N 内取值的函数,且对x,y ∈N,有f[f(x)+y]=x+y,求f(1988)的所有可能的值例12. 设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n 有f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1.又f(2)=0.f(3)＞0,f(9999)=3333,求f(1982).例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z +上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z +) ∪ g ( Z +) = Z +(⑵f(Z +) ∩ g ( Z +) =⑶g(n)=f(f(n))+1试求f(240).三.讨论函数的性质探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。
函数迭代与周期函数性质
函数迭代与周期函数性质在数学中，函数迭代和周期函数是两个常见的概念。
函数迭代是指通过反复应用一个函数来产生一系列值的过程，而周期函数则是在一定区间内具有重复性质的函数。
在本文中，我们将探讨函数迭代和周期函数的性质及其在数学中的应用。
函数迭代函数迭代是指通过多次反复应用一个函数，将前一次的输出作为下一次的输入，从而产生一系列值的过程。
具体而言，给定一个函数f(x)，我们可以将函数的迭代定义为：$$ x_1 = f(x_0) \\\\ x_2 = f(x_1) \\\\ x_3 = f(x_2) \\\\ \\cdots \\\\ x_n = f(x_{n-1}) $$其中，x0是初始值，$x_1,x_2,x_3,\\cdots,x_n$ 表示迭代过程中生成的一系列值。
函数迭代可以使用循环结构来实现，也可以使用递归方式来表达。
函数迭代在数学中具有广泛的应用。
例如，在数值分析中，函数迭代可以用来求解方程的根。
通过选择适当的初始值和迭代函数，我们可以逐步逼近方程的根，从而得到一个近似解。
此外，函数迭代还可以用来研究动态系统的行为，通过观察函数迭代的收敛性和周期性，我们可以揭示系统的稳定性和混沌性质。
周期函数周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果存在一个常数T>0，使得对于任意x，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数f(x)为以T为周期的周期函数。
其中，T称为函数的周期。
周期函数在数学中具有重要的性质和应用。
首先，周期函数具有周期的性质，即在一个周期内的函数值是相同的。
这可以大大简化周期函数的研究和计算。
其次，周期函数的图像具有重复性质，可以通过一个周期内的图像来推断整个函数的图像。
这在图像处理和信号处理中具有重要的应用。
周期函数具有丰富的类型和变化。
最简单的周期函数是常数函数，其图像在整个定义域上是相同的。
另一类常见的周期函数是三角函数，包括正弦函数和余弦函数。
迭代法与函数图像
汇报人：XX
目录
迭代法概述
函数图像的绘制方 法
迭代法在绘制函数 图像中的应用
迭代法在函数图像 分析中的应用
迭代法在函数图像 预测中的应用
迭代法概述
迭代法是一种通过 不断重复和修改近 似解的过程，逐步 逼近精确解的方法。
迭代法通常用于求 解方程的根、优化 问题、数值积分等。
迭代法的基本思想是 通过不断迭代逼近目 标解，最终得到满足 精度要求的近似解。
迭代法在函数图像稳定性分 析中的局限性
迭代法的基本原理
迭代法在函数图像分析中的 应用
迭代法的收敛性分析
迭代法在函数图像周期性分 析中的具体应用
迭代法在函数图像对称性分析中的应用 对称性分析的步骤和算法实现 迭代法在函数图像对称性分析中的优势和局限性 实例演示：如何使用迭代法分析函数图像的对称性
迭代法在函数图像预测中的应用背景 迭代法在函数图像预测中的基本原理
迭代法在函数图像预测中的实例分析（例如：使用迭代法预测正弦函数图像）
迭代法在函数图像预测中的优缺点分析
优点：能够通过迭代 过程不断逼近真实解， 对于非线性问题具有 一定的鲁棒性。
缺点：收敛速度受初始 值影响较大，若初始值 选择不当可能导致迭代 失败或收敛至非解。
迭代法在函数图像 预测中的应用
迭代法的基本原理：通过不断迭代 逼近函数图像的方法
迭代法的优缺点：收敛速度快，但 需要选择合适的初值和迭代公式
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迭代法的应用场景：适用于求解非 线性问题、复杂函数等
迭代法在函数图像预测中的应用： 通过迭代逼近函数图像，提高预测 精度和稳定性
注意点：需要选择合适的迭代公式 和初始值，以及控制迭代步数和精 度
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第四讲 函数迭代和函数方程
1．已知定义在整数集上的函数f （n ）= ,则当n ≤2007时,n-f(n)=
,当2007<n ≤2009时,n-f(n)=
2.如果f(x+y 2)=f(x)+2(f(y))2且f(1)≠0,那么,那么f(2007)的值为
3.若二次函数f(x)=f(x)+x+2成立,则f(x)的表达式为
4.已知f(x-1)=x+1,则f(2x+1)=
5.设f 1(x)=21x +,而f n+1(x)=f 1[f n(x)],n ∈N*.记a n =(2)1,(2)2
n n f f -+则a 99= 6.已知函数f(x)= 定义f (2)(x)=f(f(x)),f (n)(x)=f(f (n-1)(x))(n ≥2,n ∈N),且f (1)(x)=f(x),那么关
于n 的方程f (n)(2001)=0的最小正整数解是
A.2000
B.2001
C.2002
D.2003
7.如果f(x+y)=f(x)f(y),并且f(1)=2,则(2)(4)(6)(2000)(1)(3)(5)(1999)
f f f f f f f f ++++ 的值是 A.1999 B.2000 C.2001 D.2002
8.若函数f(x)满足条件f(x)-41()f x x
=,则|f(x)|的最小值是
9.若函数f(x)的定义域为R,且对于x 的任意值都有f(x+2005)=f(x+2004)+f(2006),则函数f(x)的周期为 10设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足
x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的
解析式。
n+2，n ≤2007 f （f （n-4）），n>2007 -1,x<0 0,x=0 x-1,x>0
巩固训练 1.设f(x)=
,则f[f(x)]的值为( )
A.q
B.1 q 或1 D.q 或1以外的数
2. 若函数f （x ）满足f （x+y ）=f （x ）+f （y ），则下列各式中恒成立有
（1）f （0）=0 （2）f （3）=3f （1） （3）11(1)22
f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （4）f （x ）f （-x ）<0 3.若f(x)是定义在R 上的函数,并且则f(1997)=
4.设y=f(x)是定义在R 上的函数,对任意的实数a,b,有f[af(b)]=ab,则|f(1999)|=
5.设函数f(x)是奇函数,且满足f(x-2)=f(x+2),f(1)=3,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2005)=
6.f (10)(x)=1024x+1023,则f(x)=
7.设f 1(x)=21x +,定义f n+1(x)=f 1[f n (x)],n ∈N*,且a n =(0)1(0)2
n n f f -+,则a 100= 8.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)= 9.设f(x)=f 1(x)=
1x x +,且f n (x)=f n-1[f(x)],则f(1)+f(2)+ …+f(n)+f 1(1)+f 2(1)+ …+f n (1)= 10. 已知122111x x f f x x x -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
,则f(x)= 11. 实数集r 上的函数y=f(x)满足: (1)f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin2x 2(x 1,x 2∈R,a 是常数) ; (2)f(0)= 4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1; (3)当x ∈ 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时,|f(x)|≤2. 试求:(1)函数y=f(x)的解析式;(2)常数a 的取值范围. q,若x=q p ,p,q 互质 1,若x 为无理数。