2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题02
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．设22012(1)n n n x x a a x a x ++=+++，则242n a a a +++的值为______________2．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是______________3．设1()f x 2()sin f x x =+，3()f x =，24()sin f x x =，在这些函数中，周期函数的个数是_____________4．已知a 、b 是两个相互垂直的单位向量，而||13c =，3c a ⋅=，4c b ⋅=；则对于任意实数12 t t 、， 12||ct a t b --的最小值是______________5．设有两个集合：2332{|}3223x x M x x x --=+=+--，6556{|}5665x x N x x x --=+=+--， 则MN =______________6．已知数列{}n x ，满足1(1)n n n x x n ++=+，且12x =，则2014x =______________7．设函数32213432()()1x x x f x x f x x -+++=+，则()f x =______________8．设命题P ：2c c <和命题Q ：对任何x R ∈，2410x cx ++>有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是______________9．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列{}, 1, 2, j A j =⋅⋅⋅，以及在第一象限内的抛物线232y x = 上从左向右依次取点列{},1, 2, k B k =⋅⋅⋅，使1 (1, 2)k k k A BA k-∆=⋅都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2014个等边三角形的边长是______________10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（02πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定．假定机器人行走速度为每分钟 10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是______________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若12PF F ∆的顶点P 在第一象限的双曲线上移动，求12PF F ∆的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF 上的切点轨迹．12．设12, ,, n x x x R +⋅⋅⋅∈，定义：22111()nn i i in S x x n =-=+⋅∑； （1）求n S 的最小值；（2）在222121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值；（3）在121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值，并加以证明．13．设O 、H 分别为锐角ABC ∆的外心和垂心，在AB 上截取AD AH =，在AC 上截取AE AO =；求证：DE 等于ABC ∆外接圆半径．14．在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位．为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案一、填空题：1．设22012(1)n n n x x a a x a x ++=++⋅⋅⋅+，则242n a a a ++⋅⋅⋅+的值为______________ 解：令0x =，得01a =；（1）令1x =-，得 012321n a a a a a -+-++=； （2）令1x =，得 012323n n a a a a a +++++=； （3） （2）＋（3）得 02422()31n n a a a a ++++=+，故0242312n n a a a a +++++=，再由（1）得 242312n n a a a -+++=．2．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是______________解：设 cos cos x y t +=，∴222cos 2cos cos cos x x y y t ++=；又由 sin sin 1x y +=，故 22sin 2sin sin sin 1x x y y ++=； 因此有22(cos cos sin sin )1x y x y t +=+，即22cos()1x y t -=+；由于1cos()1x y -≤-≤，所以有23t ≤，即t ≤≤3．设1()f x 2()sin f x x =+，3()f x =，24()sin f x x =，在这些函数中，周期函数的个数是_____________解：1()f x2()f x 不是周期函数；因为sin x 是以12T π=为周期的周期函数，是以2T =1T 与2T 之比不是有理数，故2()f x 不是周期函数．3()f x 不是周期函数；因为是以1T =为周期的周期函数，是以2T =122T T =，故3()f x 是周期函数． 24()sin f x x =不是周期函数；因此共有2个周期函数．4．已知a 、b 是两个相互垂直的单位向量，而||13c =，3c a ⋅=，4c b ⋅=；则对于任意实数12 t t 、， 12||ct a t b --的最小值是______________解：2222121212||||68c t a t b c t t t t --=--++2212169(3)(4)25t t =+-+--2212144(3)(4)144t t =+-+-≥；当123, 4t t ==时，212||144c t a t b --=，所以所求的最小值为12．5．设有两个集合：2332{|}3223x x M x x x --=+=+--，6556{|}5665x x N x x x --=+=+--， 则M N =______________解：由已知可以解出13{0, 5, }5M =，61{0, 11, }11N =，故{0}M N =．6．已知数列{}n x ，满足1(1)n n n x x n ++=+，且12x =，则2014x =______________解：由1(1)n n n x x n ++=+，推出1111n n x x n +--=+； 因此有：12111111111(1)(1)(1)(1)(1)2(1)!nn n n x x x x x n n n n n n n n n n --+-----======+++-+-+即有111(1)!n x n +=++；从而可得：20142014!12014!x +=． 7．设函数32213432()(1x x x f x x f x x -+++=+，则()f x =______________解：令1x y =，得3221343()2()1y y y f y y f y y +-++=+；把y 改为x 得：3221343()2(1x x x f x x f x x +-++=+ （1） 32213432()(1x x x f x x f x x -+++=+ （2） 联合（1）（2）消去 1(f x，可得25()361f x x x x =-+-+．8．设命题P ：2c c <和命题Q ：对任何x R ∈，2410x cx ++>有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是______________解：命题P 成立，可得：01c <<； 命题Q 成立，可得：1122c -<<；因此，要使命题P 和命题Q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围是11(, 0][, 1)22-．9．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列{}, 1, 2, j A j =⋅⋅⋅，以及在第一象限内的抛物线232y x = 上从左向右依次取点列{},1, 2, k B k =⋅⋅⋅，使1 (1, 2)k k k A BA k-∆=⋅都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2014个等边三角形的边长是______________解：设第n 个等边三角形的边长为n a ；则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点n B 的坐标为：1211213( , () )222n nn n a a a a a a a a --++++++++，再从第n 个等边三角形上，又可得n B 的 纵坐标为：2213n a a a ⎛⎫-=；从而有：33n a = 即有2121122n n n a a a a a -=++++；由此可得：212122n n na a a a a +++=+ （1） 以及：211211122n n n a a a a a ---+++=+ （2）（1）－（2）即得：11111()()()22n n n n n n n a a a a a a a ---=-+-+，变形可得11(1)()0n n n n a a a a ----+=，由于10n n a a -+≠，所以11n n a a --=；在（1）式中取1n =，可得2111122a a =，而10a ≠，故11a =；因此第2014个等边三角形的边长为20142014a =．10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（02πα≤≤）方向行走 一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定．假定机器人行走速度为每分钟 10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是______________ 解：如图，设机器人行走2分钟时的位置为(, )P x y ； 设机器人改变方向的点为A ，OA a =，AP b =； 则由已知条件有：21020a b +=⨯=，以及cos sin x a y a bαα=⎧⎨=+⎩，O Py x A B GHK所以有：222222sin ()400(sin cos )20x y a ab b a b x y a b a b ααα⎧+=++≤+=⎨+=++≥+=⎩；即所求平面图形为弓形，其面积为100200π-平方米． 二、解答题11．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若12PF F ∆的顶点P 在第一象限的双曲线上移动，求12PF F ∆的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF 上的切点轨迹． 解：如图，记双曲线在x 轴上的两顶点为(1,0)A ，(1,0)B -；G 为12PF F ∆的内切圆在边12F F 上的切点，H 为12PF F ∆的内切圆在边2PF 上的切点，K 为12PF F ∆的内切圆在边1PF 上的切点；则有1212GF GF KF HF -=-12()()KF KP HF HP =+-+12PF PF =- 5分由双曲线的定义知，G 必在双曲线上， 于是G 与(1,0)A 重合，是定点．而221F G F A =；根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以12PF F ∆的内切圆在边2PF上的切点的轨迹是以2 0)F1为半径的圆弧．------- 10分因为(, )P x y 是在221x y -=第一象限的曲线上移动，当2PF 沿双曲线趋于无穷时，与x 轴正向的交角θ的正切的极限是lim tan lim1x x θ→+∞==；即：4πθ→；故点H 的轨迹方程为（极坐标形式）1)cos 1)sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩，（4πθπ<<） -------------- 15分 也可以用直角坐标形式．由于G 与(1,0)A 重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为：1x =（01y <<） ----- 20分 12．设12, ,, n x x x R +⋅⋅⋅∈，定义：22111()nn i i in S x x n =-=+⋅∑； （1）求n S 的最小值；（2）在222121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值；（3）在121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值，并加以证明． 解：（1）22111144nnn i i n n S n n ==--≥==∑∑-------- 5分（当i x =时，取到最小值） （2）2224211(1)12nn i i i n n S x n n x =⎛⎫--=++ ⎪⎝⎭∑24211(1)112n i i n n n n x =--=++∑2221(1)112(1)n n n n n n ---≥++=+；（当12n x x x ====时，取到最小值21(1)n n -+）--------------10分（3）因为22222111111111n n n i i i i i i i n n x x x x n n ===⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⋅+≤⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑所以22111()nn i i i n S x x n =-=+∑221111n i i i n x n x n =⎡⎤⎛⎫-≥+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑22211[1]n n n n n -≥+⋅=；（当121n x x x n====时，取到最小值n ）------20分 每小题指出什么时候取到，5分．13．设O 、H 分别为锐角ABC ∆的外心和垂心，在AB 上截取AD AH =，在AC 上截取AE AO =；求证：DE 等于ABC ∆外接圆半径． 证明：设ABC ∆的外接圆的半径为R ，易知：2cos AH R A =；由余弦定理：2222cos DE AD AE AD AE A =+-⋅222224cos 4cos R A R R A =+-2R =故DE 等于ABC ∆外接圆半径．14．在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位．为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？解：设20个岗位按先后排序为1，2，，… ，20，且设第k 种新式武器设置的序号为：k a (1, 2, 3, 4, 5)k =；令11x a =，221x a a =-，332x a a =-，443x a a =-，554x a a =-，6520x a =-，则有12345620x x x x x x +++++= （*）其中25k x ≤≤(1, 2, 3, 4, 5)k =，614x ≤≤ -------------------------------------- 5分 作代换：1k k y x =-(1, 2, 3, 4, 5)k =，66y x =， 从而有12345615y y y y y y +++++=，（**） 其中14k y ≤≤(1, 2, 3, 4, 5)k =． ----------- 10分以下求解问题（**）:方法一：设I 为12345615y y y y y y +++++=的正整数解的全体，k A 为I 中k y 满足4k y >的解的全体；则666111k k k j k k j kk k A I A I A A A =<===-=-+∑∑；上式成立的原因是i j k A A A =∅，因为没有同时满足4i y >，4j y >，4k y >的6115k k y ==∑的正整数组．所以65525141066162002151290580k k A C C C C ==-+=-+=， -------------- 15分因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于5805!69600⨯=． ----------------------------------- 20分方法二 ：问题（**）的解数等于2346()x x x x +++展开式中15x 的系数；而234662366626()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x +++=+++=++， 故只须求626(1)(1)x x ++展开式中9x 的系数．6262345624681012(1)(1)(161520156) (161520156)x x x x x x x x x x x x x x ++=++++++⨯++++++因此9x 的系数为 6×15＋20×20＋6×15 ＝ 580 ------------------------------------ 15分 因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于5805!69600⨯=．----------------------------------- 20分。
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题10
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题十（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于__________2．已知1()2bx f x x a +=+，其中a b 、为常数，且2ab ≠，若1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值_______ 3．已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是__________ 4．将25个数排成五行五列（如右图所示）：已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全 相等．若244a =，412a =-，4310a =，则1155a a ⨯的值为_______ 5．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上， 则PQ 的最小值为__________6．将2个a 和2个b 共4个字母填在44⨯方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填入一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有__________7．一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积 为156π，则该梯形的周长为__________ 8．设x y 、为实数，则22225410max ()=x y xx y +=+___________ 9．不超过2014的只有三个正因数的正整数个数为___________10．从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件：“a b c d e <><>”的概率是___________11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设函数()sin 1f x x x =+，（1）求函数()f x 在[0, ]2π上的最大值与最小值；（2）若实数a b c 、、使得()()1af x bf x c +-=对任意x R ∈恒成立，求cos b ca的值．12．给定两个数列{}n x ，{}n y 满足：001x y ==，11 (1)2n n n x x n x --=≥+，211(1)12n n n y y n y --=≥+； 求证：对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得n n j y x =．13．如图，ABC ∆的内心为I ，M N 、分别是AB AC 、的中点，AB AC >，内切圆圆I 分别与边BC CA 、相切于D E 、；求证：MN BI DE 、、三线共点．14．求出所有的函数:**∈x y N、，2→使得对于所有*f N Nf y x+整除．()f x y[()]+都能被22014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题十答案一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．解：∵()sin coscos sinsin coscos sincos 3cos 36666f x x x x x x x x ππππ=++--+=-+2sin()36x π=-+；∴()f x 的最小值为1．2．解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++是常数，∴2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+，将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得： 22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得：2(41)(1)0k ka --=；若410k -≠，则210ka -=，∴222ab ka ==，与条件相矛盾；故410k -=，即14k =． 3．解：令3x t =，则原方程化为：230t t p --=；根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根；令2()3f t t t p =--，则2232(3)409(1)1310 241p f p p ⎧∆=-+>⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪>⎩．4．解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等．由412a =-，4310a =可知：4210(2)42a +-==且公差为6，∴4416a =，4522a =； 由244a =，4416a =，可知：公比2q =±； 若2q =，则113214a s -==-，55222411a =⨯=⨯，∴115511a a ⨯=-； 若2q =-，则113214a s -==，5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，∴115511a a ⨯=-． 5．解：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称； 函数12x y e =上的点1(, )2x P x e 到直线y x =的距离为：d =；设函数min min 11()'()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d =-⇒=-⇒=-⇒=∴由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为：min ln 2)d =-．6．解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有：224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有：224472C A =种， ∴由乘法原理，这样的填法共有272种；其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有：121691672C A =⨯种； ∴符合条件的填法共有：2727216723960--⨯=种．7．解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为：22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，∴21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=；同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =， 代入2(2)336h a b +=，得：248ah =；注意到：直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为：221()1563h a ab b ++=，将3b a =代入化简得：236a h =，结合248ah =，可解得3,4a h ==，∴9b =，∴由勾股定理知另一条腰的长度为，∴梯形的周长为39416++++．8．解法一：222254104105002x y x y x x x +=⇒=-≥⇒≤≤；22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-⇒+≤．解法二：2222225454105(1)45(1)1y x y x x y x +=⇒-+=⇒-+=；令1cos , , x y R θθθ=+=∈， 则22222251912512cos cos sin cos 2cos =(cos 4)44444x y θθθθθθ+=+++=-++--+；∵cos [1, 1]θ∈-，∴当cos 1θ=时，22max ()4x y +=．9．解：不超过2014的只有三个正因数的正整数，就是质数的平方．．．．．(44, 45)； ∴此类数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43的平方，共14个．10．解：由题只有：3545, , , 5354b b b b d d d d ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩，这四种情况； ①当35b d =⎧⎨=⎩时，只能4e =，∴有两种情况：12, 21a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩；②当53b d =⎧⎨=⎩时，只能4a =，∴有两种情况：12, 21c e e c ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩；③当45b d =⎧⎨=⎩时，a b c 、、可任取1、2、3中的任意排列（不重复），∴有336A =种情况；④当54b d =⎧⎨=⎩时，a b c 、、可任取1、2、3中的任意排列（不重复），∴有336A =种情况； ∴综合上述，一共有16种情况，∴概率为：5516215P A ==． 二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．解：（1）由条件知：()2sin()13f x x π=++，…………………………………………… 5分由02x π≤≤可知：5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤； ∴当2x π=时，()f x 有最小值：12122⨯+=； 当6x π=时，()f x 有最大值：2113⨯+=．……………………………… 10分（2）由条件可知：2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立，∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a x b x c b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-=；∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=；∴cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩；………………………………………………………………… 15分 由sin 0b c =，可知：0b =或sin 0c =；若0b =时，则由cos 0a b c +=，可知0a =，这与10a b +-=矛盾！ 若sin 0c =，则cos 1c =（舍去），c o s 1c =-，解得1, (21)2a b c k π===+，∴cos 1b c a=-．…………………………………… 20分12．解：由已知，可得：1112111112(1){1}n n n n nx x x x x --=+⇒+=+⇒+为等比数列，首项为2，公比为2； ∴11111221n n n n x x +++=⇒=-；………………………………………………………… 10分 又由已知，可得：22211111(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=⇒=⇒+=++； 由220111121221n n n n y y y +=⇒+=⇒=-， ∴取21n n j =-即可．…………………………………………………………………… 20分13．证明：如图，设M N BI 、交于点F ，连结AF AI IE EF 、、、，由于中位线//MN BC ，以及BF 平分B ∠， 则M F M B M A ==，∴90AFB ∠=︒， ∵IE AE ⊥，得A F E I 、、、共圆，∴AEF AIF ∠=∠；……………………………… 10分 又注意I 是ABC ∆的内心，则90222A B CAEF AIF IAB IBA ∠=∠=∠+∠=+=︒-，………………………………… 15分连结DE ，在CDE ∆中，切线长CD CE =，∴1(180)9022CCED CDE C AEF ∠=∠=︒-=︒-=∠；∴D E F 、、三点共线，即有MN BI DE 、、三线共点．……………………………… 20分14．解：根据题设，令1x y ==，则2[(1)]1f +能被(1)1f +整除；∴2[(1)](1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)[(1)1]f f -能被(1)1f +整除； ∵(1)f 与(1)1f +互素，∴(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，∴(1)10f -=，即(1)1f =；……………………………………………………………… 10分 令1y =，则2[()]1f x +能被21x +整除，∴22[()]f x x ≥；从而()f x x ≥，对所有*x N ∈成立； 令1x =，则1y +能被()1f y +整除，从而()y f y ≥，对所有*y N ∈成立；综上所述，()f x x =，对所有*x N ∈成立．…………………………………………… 20分。
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题06
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．若点(, )P x y 在直线33x y +=上移动，则函数(, )39x y f x y =+的最小值等于____________ 2．设集合{2, 0, 1}M =-，{1, 2, 3, 4, 5}N =，映射:f M N →使对任意的x M ∈，都有：()()x f x xf x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是____________3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”；那么所有的三位数中，奇和数有________个． 4．设16a =，15[*)4n n a a n N +=∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则20141i i a =∑的个位 数字为______________5．已知三个正整数x ，y ，z 的最小公倍数是300，并且222320230x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，则方程组的解： (, , )x y z =______________6．已知关于x 的实系数方程2220x x -+=和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______________7．设平面上的向量, , , a b x y 满足关系a x y =-，2b x y =+，又设a 与b 的模为1，且互相垂直，则x 与y 的夹角为______________8．设函数01021()||, ()|()1|, ()|()2|f x x f x f x f x f x ==-=-，则函数2()f x 的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是______________9．已知单位正方体ABCD EFGH -棱AD 与直线BC 上分别有动点Q 、P ；若PQG ∆与BDE ∆相截得到的线段MN 的长度为y ，现设 (01)AQ x x =≤≤，则y 的最小值写成关于x 的函数关系式 是______________10．设1a ，2a ，…，2014a 均为正实数，且12201411112222a a a ++⋅⋅⋅+=+++，则122014a a a ⋅⋅⋅的最小值 是______________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．已知焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b+=过定点 (1, 0)A ，且与曲线||y x =的交点为B 、C ；现有以A 为焦点，过点B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为(, 0)M m ；当椭圆的离心率e满足2213e <<时，求实数m 的取值范围．12．已知ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，且满足2(1)(1)(1)abc a b c =---；（1）是否存在边长均为整数的ABC ∆？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由． （2）若1a >，1b >，1c >，求出ABC ∆周长的最小值．13．已知⊙O1与⊙O2相交于两点A、B，点P、E在⊙O1上，点Q、F在⊙O2上，且满足EF 为两圆的公切线，PQ EF∥，PE与QF相交于点R；求证：PBR QBR∠=∠．14．从数1，2，3，…，2014中删去一些数，使得剩下的数中任何一个数都不等于其余两个不同的数的积，问至少要删去多少个数才能做到这一点？2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六答案一、填空题：1．若点(, )P x y 在直线33x y +=上移动，则函数(, )39x y f x y =+的最小值等于____________解：322(1)2333()39393333xx x xyxxxf x ---=+=+=+=+222111333113333322x x x x x ---=⋅+⋅+++5≥152755()4==⋅，等号当且仅当2131332x x -⋅=， 即33(1log 2)5x =+时成立，∴(, )f x y 的最小值是15275()4⋅．2．设集合{2, 0, 1}M =-，{1, 2, 3, 4, 5}N =，映射:f M N →使对任意的x M ∈，都有：()()x f x xf x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是____________解：当2x =-时，()()2(2)x f x xf x f ++=---为奇数，则(2)f -可取1，3，5，三种；当0x =时，()()(0)x f x xf x f ++=为奇数，则(0)f 可取1，3，5，三种；当1x =时，()()12(1)x f x xf x f ++=+为奇数，则(1)f 可取1，2，3，4，5，五种； 由乘法原理知，共有33545⨯⨯=个映射．3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”；那么所有的三位数中，奇和数有________个． 解：设三位数是123a a a ，则123321132213100()10()()a a a a a a a a a a a a +=+++++；若13a a +不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，∴13a a +=11，13，15，17；∵1192837465=+=+=+=+，∴13a a 、取值有224A 种可能； ∵13948576=+=+=+，∴13a a 、取值有223A 种可能； ∵159687=+=+，∴13a a 、取值有222A 种可能；∵1798=+，∴13a a 、取值有22A 种可能；由于22a a +不能进位，∴2a 只能取0，1，2，3，4； ∴满足条件的数共有：222222225(432)100A A A A +++=（个）．4．设16a =，15[*)4n n a a n N +=∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则20141i i a =∑的个位数字为______________解：由1121126521, 11521, a a --==⨯+==⨯+⋅⋅⋅，猜想：1521n n a -=⨯+；由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）； ∴当1n >时， 1 (mod10)n a ≡；∴122014620139 (mod10)a a a ++⋅⋅⋅+=+≡．5．已知三个正整数x ，y ，z 的最小公倍数是300，并且222320230x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，则方程组的解： (, , )x y z =______________ 解：记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x 得：225830y yz z -+=，即(53)()0y z y z --=；所以530y z -=；（3） 或0y z -=；（4）由（1）、（3）得3, 5y x z x ==，即::1:3:5x y z =；于是，由已知条件，必有20, 60, 100x y z ===；即(, , )(20, 60, 100)x y z =． 由（1）（4），得x y z =-=-，与已知条件“三个正整数”矛盾．6．已知关于x 的实系数方程2220x x -+=和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______________解：易知方程2220x x -+=的两根为121, 1x i x i =+=-；当2440m ∆=-<即11m -<<时，2210x mx ++=有共轭虚根34x x 、，且34x x 、的实部为1m -≠， 这时1234 x x x x 、、、在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆． 当2440m ∆=->即1m <-或0m >时，方程2210x mx ++=有两个不等的实根34x x 、， 则12 x x 、对应的点在以34x x 、对应的点为直径端点的圆上， 该圆的方程为：234()()0x x x x y --+=即223434()0x y x x x x x +-++=，将34342, 1x x m x x +=-=及12 x x 、对应点的坐标(1, 1)±代入方程，即得32m =-； 故m 的取值范围是{|11m m -<<或3}2m =-．7．设平面上的向量, , , a b x y 满足关系a x y =-，2b x y =+，又设a 与b 的模为1，且互相垂直，则x 与y 的夹角为______________解：由已知得2, 33a b b a x y +-==，则cos ||||x y x y θ→→→→⋅==⋅θπ=-． 8．设函数01021()||, ()|()1|, ()|()2|f x x f x f x f x f x ==-=-，则函数2()f x 的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是______________解：函数2()y f x =所求的封闭部分的面积为： CDE ABCD S S ∆-梯形11(26)221722=+⨯-⨯⨯=9．已知单位正方体ABCD EFGH -棱AD 若PQG ∆与BDE ∆相截得到的线段MN 关于x 的函数关系式是______________解：当A Q x =时，设GQ 与平面BDE 交于点N ，作N M B D ⊥于点M ，连结QM 交直线BC 于点'P ， 取点'P 为点P ，知此时||y MN =最小．建立如图所示的空间直角坐标系，则(0, , 1)Q x 且BDE ∆所在平面上的点(, , )x y z满足x y z +=，故可令0000 (, , )N x y x y +；由点N 在QG 上，知在（0，1）内存在λ使QN QG λ=； 代入消去λ，得：000021, (1)x y x x y x +=-=；从而0011, 33x x x y x x-+==--； 于是，112(, , 333x x N x x x-+=---；而点M 在BD 上， 故可令11(, 1, 1)M x x -； 由0MN BD ⋅=，知131()23xx x-=-，于是，1||)3x y MN x -===- 10．设1a ，2a ，…，2014a 均为正实数，且12201411112222a a a ++⋅⋅⋅+=+++，则122014a a a ⋅⋅⋅的最小值是______________解：设22i i x a =+，则有12i i i x a x -=⋅，且201411i i x ==∑，∴122014a a a ⋅⋅⋅201423201413201412201312201412()()()x x x x x x x x x x x x =⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅20141220142201320132013x x x ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅20144026= 二、解答题：11．已知焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b+=过定点 (1, 0)A ，且与曲线||y x =的交点为B 、C ；现有以A 为焦点，过点B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为(, 0)M m ；当椭圆的离心率e满足2213e <<时，求实数m 的取值范围． 解：椭圆过定点 (1, 0)A ，则1a =，c e =；∵2213e <<，∴0b <<； 由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线 (0)y x x =≥的交点， 就必过椭圆与射线 (0)y x x =-≥的交点；解方程组222 (0)1y x x y x b =≥⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x y ==；∵(0,b ∈，∴102x <<； 设抛物线方程为：22(), 0, 1y p x m p m =-->>；又∵12pm =-，∴24(1)(), 1y m x m m =-->； 由1, (0, )2y x x =∈，得24(1)4(1)0x m x m m +---=；令21()4(1)4(1), (1, 0)2f x x m x m m m x =+---><<；∵()f x 在1(0, )2内有根且单调递增；∴(0)4(1)011()2(1)4(1)024f m m f m m m =--<⎧⎪⎨=+--->⎪⎩；∴10m m m ><⎧<<或；故1m << 12．已知ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，且满足2(1)(1)(1)abc a b c =---；（1）是否存在边长均为整数的ABC ∆？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由． （2）若1a >，1b >，1c >，求出ABC ∆周长的最小值． 解：（1）不妨设整数a b c ≥≥，显然2c ≥；若5c ≥，则11115a b c ≤≤≤；由2(1)(1)(1)abc a b c =---，可得311114(1)(1)(1)()25a b c =---≥；矛盾．故c 只可能取2，3，4．当2c =时，则(1)(1)ab a b =--，有1a b +=，又2a b ≥≥，故无解．当3c =时，则34(1)(1ab a b =--），即(4)(4)12a b --=，又3a b ≥≥，R故41241a b -=⎧⎨-=⎩或4642a b -=⎧⎨-=⎩或4443a b -=⎧⎨-=⎩；解得165a b =⎧⎨=⎩或106a b =⎧⎨=⎩或87a b =⎧⎨=⎩；能构成三角形的只有：8a =，7b =，3c =．当4c =时，同理可得：9a =，4b =或6a =，5b =； 能构成三角形的只有6a =，5b =，4c =；故存在三边长均为整数的ABC ∆，其三边长分别为4，5，6或3，7，8． （2）由2(1)(1)(1)abc a b c =---，可得：3111(1)(1)(1)1111(1)(1)(1)[]23a b c a b c -+-+-=---≤所以，1113a b c ++≤，又111)()9a b c a b c ++++≥（，则有9911123a b c a b c ++≥≥=++ 故ABC ∆的周长最小值为，当且仅当a b c ===时，取得最小值． 13．已知⊙O 1与⊙O 2相交于两点A 、B ，点P 、E 在⊙O 1上，点Q 、F 在⊙O 2上，且满足EF为两圆的公切线，PQ EF ∥，PE 与QF 相交于点R ；求证：PBR QBR ∠=∠．证明：如图设⊙O 1的半径为1r ，作EH PQ ∥，, , BR PQ Z BG EP X BH FQ Y ===，1122, PQ EO N PQ FO N ==， 1122, BGEO M BHFO M ==；设1212, EM FM a EN FN b ====； 易知EG EP=aEX EP b==EX EG= 由EGX BPX ∆∆~，知EX BXEG BP== 同理，BYBQ= 故BX BY BP BQ =，即BP BXBQ BY=； 由PQ XY ∥，可知PZ BX BPZQ BY BQ==，∴PBR QBR ∠=∠． 14．从数1，2，3，…，2014中删去一些数，使得剩下的数中任何一个数都不等于其余两个不同的数的积，问至少要删去多少个数才能做到这一点？解：因为一个数不等于另外两个数的积，所以考虑一个数是另外两个数的积的三数组．从数1，2，3，…，2014中选出下列三数组：{44，45，44×45}，{43，46，43×46}，{42，47，42×47}，…，{2，87，2×87}；一共43组； 若删去的数少于43，则必有同一组中的3个数没有删去，它们中一数等于另两数之积， 所以至少删去43个数；另一方面，若删去2，3，4，…，44这43个数，则剩下的数中任意两个数之积要么不小于： 45×46＝2070，要么两个数为1，a （a =45，46，…，2014），它们的积1×a ＝a ，不可能等于1，2，3，…，2014中第3个数；所以只要删去2，3，4，…，44这43个数即可满足要求．。
2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)
取正整数 k1 满足 1－ 1k1＞cos nt，由（1）可知存在正整数 n，使得 cos n＞1－ 1k1＞22001145． 这与使 cosn＞22001145成立的正整数 n 的个数是 t 矛盾．
所以存在无穷多个正整数 n，使得 cosn＞22001145．
………………………50 分
2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试4 卷（加试）参考答案 第 4 页 共 4 页
从而 n＜36，又因为 n 为偶数，所以 n≤34．
……………… 40 分
（3）证明 n=34 能取到．
不妨设凸 34 边形内角中只有两个值 x 和 x－20°，它们相间出现，各为一半，
有 17(2x－20°)＝32×180°，x＝301570°＜180°．x－20°＞0，
知存在满足条件的凸 34 边形．
({x}＝x－［x］，［x］表示不大于 x 的最大整数)． 将区间［0，1)分成 M 个小区间：［0，M1 )，［M1 ，M2 )，…，［MM－1，1)， 由抽屉原理可知，一定存在 1≤i＜j≤M+1，使得{iα}，{jα}在同一个小区间，
因此，|{jα}－{iα}|＜M1 ，从而|nα－(［jα］－［iα］)|＜M1 ，
而当 n 为偶数时，且 x1，x2，…，xn 中一半取 2，一半取 8 时，等号成立． 故当且仅当 n 为偶数，且 x1，x2，…，xn 中一半取 2，一半取 8 时等号成立．
…………………………… 40 分
2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试2 卷（加试）参考答案 第 2 页 共 4 页
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⎩⎨⎧ 由①②知，必须有
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2
，
即 tan an
3n 2 ． 3
…………………10 分
因此
sin
a1
sin
a2
sin
am
tan sec
a1 a1
tan sec
a2 a2
tan sec
am am
tan a1 tan a2 tan am （利用①） tan a2 tan a3 tan am1
by 2(x a) ．
③
故③就是直线 AB 的方程．
直线 PO 与 AB 的斜率分别为 b 与 2 ，由 PO AB 知， b 2 1，故 a 2 ．
ab
ab
………………4 分
从而③即为 y 2 (x 2) ，故 AB 与 x 轴的交点 R 是定点 (2, 0) ． b
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．
11
1. 若正数 a, b 满足 2 log2 a 3 log3 b log6 (a b) ，则 a b 的值为
．
答案：108 ．
解：设 2 log2 a 3 log3 b log6 (a b) k ，则 a 2k2 , b 3k3, a b 6k ，从而
演算步骤． 9.（本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：
过 P 可作抛物线 y2 4x 的两条切线，两切点连线 lP 与 PO 垂直． 设直线 lP 与直线 PO， x 轴的交点分别为 Q， R ． (1) 证明 R 是一个定点；
PQ (2) 求 的最小值．
2
设 BAP ．在圆 K 上取一点 P0 ，使得 取到最大值 0 ，此时 P0 应落在 IAC 内，
2014年高中数学联赛试题及其解答
加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。 （Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数
全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
C B
5. 设数列 {an } : a0 2, a1 16, an2 16an1 63an , n N*, 则 a2005 被
64 除的余数为
A. 0
B. 2
C. 16
D. 48
答: [ C ]
解：数列 {an } 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C．
解：由题意知 由 a1 S1 得 又由 ① 式得
an 2 (a 2) 2 2Sn ， 即 Sn n . 2 8
……… ①
a1 2 2a1 , 从而 a1 2 . 2
Sn 1
(an 1 2)2 (n 2) , 8
(an 2)2 (an 1 2) 2 (n 2) , 8 8
全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.
1 的最小值是 b( a b )
C. 4
D. 5
答: [ C ]
解：由 a b 0 , 可知
a2 a 1 0 b( a b ) (b ) 2 a 2 , 4 2 4
所以， a
2
1 4 a 2 2 4 . 故选 C． b( a b ) a
1
1
4. 设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得
江苏省近四年高中数学竞赛初赛试题及答案讲解
2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ．4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．EBCD AB CDAPQ R13．若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ． 填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1， ∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z)．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ． 填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52． 4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x ，则实数x ＝ ．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．填14． 解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；BCDAPQ R又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4． 又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ． 填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy ) ≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 填－252．解：设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R ．则RRBCA OR M NR Q PA DCB→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2．一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n ．于是，Σk ＝12009a n＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋2．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ． 填0，3－12，3－1． 解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形．CFy xOBA得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)． 12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB ⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立．令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立． 当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． ∴ k ∈[62，＋∞)． 解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y ．令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)． 令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值．EBCDAs (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立． 当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立．而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立．∴ k ∈[62，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意n ∈N*，n 2≡0，1(mod 4)．设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod 4)，或a ≡b ≡3(mod 4)，则ab ≡1(mod 4)，此时ab ＋10≡3(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数．由此知，ab ＋10是完全平方数的必要不充分条件是a ≡/b (mod 4)且a 与b 均不能被4整除． ⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a ＝2，b ＝3，c ＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．2010年全国高中数学联赛江苏赛区·初赛一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x x +-=的实数解为 ．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ . 4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且10cos 10θ=．已知棱AB 的长为62，则此棱锥的体积为 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．（第7题）二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若3455OM OA OB =+，证明：AB 的中点在椭圆22212x y +=上． 12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．参考答案1、x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2、与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3、216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =．4、极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5、画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]．6、f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7、不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 ．9、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10、由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以1322a i =-±．11、解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1．由3455OM OA OB =+，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)． 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分 又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分12、解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5，7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分 13、证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ， 又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BFA ， ∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分 由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、G 、C 、F 共圆.ABCDEFH G∴∠BGC=∠AFB=900, ∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分14、解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y =1. ………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y= (x+1)2，得3y =2x+1，由此可知y是奇数，设y =2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ．2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ．6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ．7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ． 10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m ---+=有整数解，则m 所有可能的值是 ．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围．AB CP12．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．13．如图，P 是ABC 内一点．（1）若P 是ABC 的内心，证明：1902BPC BAC ∠=+∠；（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1902APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．14．已知α是实数，且存在正整数n 0，使得0n α+为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n ，使得n α+为有理数．2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ． 答案：－8基础题，送分题，高考难度2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .答案：32-基础题，送分题，高考难度3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）． 答案：19145基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．答案：45计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案：103可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ． 答案：1(848)7n +高考难度级别，基础好的同学可以做出来7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 答案：(0,2)这是一道高考题8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．答案：6这也是一道高考题9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ． 答案：4 3还是一道高考题10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m ---+=有整数解，则m 所有可能的值 是 ． 答案：3,14,30这是2011年苏州市一模的第十四题。
2014年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______． 答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．全国高中数学联赛试题及解答加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析
高一数学竞赛训练试题（2）一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．3．设实数x ，y 满足x 2-4x+y 2+3＝0，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ．7．已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ ．8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 ．9．复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1+z 2|＝6，则|z 1-z 2| ＝___________10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a c b A C π+=-=．求sin B 的值．12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －t x 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a c b A C π+=-=．求sin B 的值．分析 化角为边转化为三角关系处理．解 由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3A C π-=得2,3232B B AC ππ=-=-，所以 231sin sin()cos sin 322222B B B A π=-=+， 31sin sin()cos sin 322222B B BC π=-=-， 又sin 2sin cos 22B B B =，代入到sin sin 2sin AC B +=中得 3cos 4sin cos 222B B B =，由cos 02B >得3sin 24B =， 从而13cos24B =，所以39sin 8B =． 13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －t x 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．(湖南省2002年高中数学竞赛)解 ⑴考察函数h (x )=2x 2－tx －2．由于α<x 1，x 2<β，故2x 12－tx 1－2<0，2x 22－tx 2－2<0，两式相加得2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0．又4x 1x 2≤2(x 12＋x 22)．所以4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0．⑵ 由已知得2x 2－2＝tx ，所以2x 2＋2＝tx ＋4>0。
2013-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案
2013-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ． 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．3．设实数x ，y 满足x 2-4x+y 2+3＝0，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．4．若存在正实数a ，b 满足()()nna bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ． 7．已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ ．8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12si ncos si n cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 ．9．复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1+z 2|＝6，则|z 1-z 2| ＝___________ 10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －tx 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．分析 化角为边转化为三角关系处理．解 由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3A C π-=得2,3232B B AC ππ=-=-，所以 21sin sin()sin 32222B B BA π=-=+，1sin sin()sin 32222B B BC π=-=-，又sin 2sincos 22B BB =，代入到sin sin 2sin AC B +=中得4sin cos 222B B B =，由cos 02B>得sin 2B =，从而cos2B =，所以sin B = 13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －tx 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．(湖南省2002年高中数学竞赛) 解 ⑴考察函数h (x )=2x 2－tx －2．由于α<x 1，x 2<β，故2x 12－tx 1－2<0，2x 22－tx 2－2<0， 两式相加得2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0． 又4x 1x 2≤2(x 12＋x 22)．所以4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0． ⑵ 由已知得2x 2－2＝tx ，所以2x 2＋2＝tx ＋4>0。
2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则（一试）[1]
![2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则（一试）[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/29ba7c57e55c3b3567ec102de2bd960590c6d9a2.png)
2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则（一试）[1]2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在△ABC中，若c cos B＝12，b sin C＝5，则c＝．答案：13．解：根据正弦定理，得c sin B＝b sin C＝5，所以c2＝(c cos B)2＋(c sin B)2＝132，从而c＝13．2．函数f(x)＝x＋1(x+1)3＋1(x＞0)，则函数取得最小值时，所对应的x值是．答案：43－1．解：由f(x)＝x＋1(x+1)3＋1＝13(x＋1)＋13(x＋1)＋13(x＋1)＋1(x+1)3≥44(13)3，等号当且仅当13(x＋1)＝1(x+1)3，即x＝43－1．（本题也可求导）3．对于任意的实数a∈(－2，4]，都有x2－ax＋9＞0成立，则实数x的取值范围为．答案：R．解：当a∈(－2，4]时，△＝a2－36＜0，故x2－ax＋9＞0恒成立，从而x的取值范围是R．4．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是．答案：(－1，0)∪(0，＋∞)．解：因为S n＞0（n＝1，2，3，…），所以a1＞0．当q＝1，S n＝na1＞0成立．当q≠1，S n＝a1(1－q n)1－q＞0（n＝1，2，3，…）恒成立，所以q∈(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．综上q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．5．已知5件产品中有3件合格品，2件次品．每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过3次检验找出2件次品的概率为．答案：3 10．解：恰好3次找出2件次品，有三种情况：（1）第1次，第3次找出次品；（2）第2次，第3次找出次品，（3）前三次均为正品．若第1次，第3次找出次品的25×34×13＝110；若第2次，第3次找出次品的概率35×24×13＝110．若前3次均找出的是正品的概率35×24×13＝110，故恰好经过3次检验找出2件次品的概率为110＋110＋110＝310．6．点A 是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点，B 、C 是该椭圆上的另外两点，且△ABC 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC 只有一解，则椭圆的离心率的范围为．答案：(0，63]．解：设等腰直角三角形的一边所在直线方程为：y ＝kx ＋1(k ＞0)，它与椭圆的另一个交点B 的横坐标为－2ka 21＋a 2k 2，从而点C 的横坐标为2ka 2a 2＋k 2．由AB ＝AC ，得(1＋k 2)×4k 2a 4(1＋a 2k 2)2＝(1＋1k 2)×4k 2a 4(a 2＋k 2)2，化简得：k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0，由题意知，此方程的解只有k ＝1．而k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝(k －1)［k 2－(a 2－1)k ＋1］＝0，要使上述方程有惟一的正数解k ＝1，则(a 2－1)2－4≤0，即1＜a ≤3（a ＝3时，方程的解惟一）．所以其离心率的取值范围是(0，63]．7．方程x ＋2y ＋3z ＝2014的非负整数解(x ，y ，z )的个数为．答案：339024．解：方程x ＋2y ＝k 的非负整数解(x ，y )个数为［k2］＋1，所以，方程x ＋2y ＝2014－3z 的非负整数解的个数为671∑z =0{［2014－3z 2］＋1}＝671∑z =0(1007－2z )＋671∑z =0［z2］＋672 ＝672×1007－670×672＋335×336＝339024．8．计算：2014∑k =1[－3＋8k ＋14]＝．答案：40115．解：令t ＝－3＋8k ＋14，则k ＝2t 2＋3t ＋1．因此[－3＋8k ＋14]＝n 当且仅当2n 2＋3n ＋1≤k ＜2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1，n ∈N ．由于2×302＋3×30＋1＝1891，2×312＋3×31＋1＝2016，所以 2014∑k =1[－3＋8k ＋14]＝30∑n =1n [2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1－(2n 2＋3n ＋1)]－30 ＝30∑n =1(4n 2＋5n )－30＝4(12＋22＋…＋302)＋5(1＋2＋…＋30)－30＝40115．二、解答题（本题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，2S n +1－3S n ＝2a 1，n ∈N *．（1）证明数列{a n }为等比数列；（2）若a 1，a p (p ≥3)两项均为正整数，且存在正整数m ，使a 1≥m p －1，a p ≤(m ＋1) p －求a n ．解：（1）由题意2S 2－3S 1 =2a 1，得2a 2－3a 1=0．由a 1≠0，得 a 2a 1＝32．………………………… 2分又 2S n +1－3S n ＝2a 1，2S n +2－3S n +1＝2a 1，得 2a n +2－3a n +1＝0，n ∈N *．由a 1≠0，得a n +1≠0，故a n +2a n +1＝32．所以数列{a n }为等比数列．………………………… 6分（2）由（1）知a p =a 1×(32p －1．因为a 1，a p ∈N *，所以a 1=k ×2p －1，k ∈N *，从而a p = k ×3 p －1．………………………… 10分由a 1≥m p －1，a p ≤(m ＋1) p －1，得k ×2p －1≥m p －1，k ×3p －1≤(m +1) p －1，即m ≤2×p －1k ，m ＋1≥3×k ，作差得1≥p －1k ，即k ≤1，所以k ＝1．所以 a n ＝2p －1×(32)n －1．………………………… 16分已知动点A ，B 在椭圆x 28＋y 24＝1上，且线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)．（1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（2）求线段AB 长度的最大值．解：（1）设点A ，B 的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)．当AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点M 的坐标为(－2，0)．当AB 与x 轴不垂直时，因为点A ，B 在椭圆x 28＋y 24＝1上，所以x 128＋y 124＝1，x 228＋y 224＝1．从而(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 02y 0．因为线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)，所以y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＋1＝－1，从而x 0＝－2．即线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＝－2，－2＜y ＜2．…………………… 8分（2）当AB 与x 轴垂直时，AB ＝22．当AB 与x 轴不垂直时，由（1）知，直线AB 的方程为y －y 0＝1y 0(x ＋2)．…………………… 12分由y －y 0＝1y 0(x ＋2)，x 28＋y 24＝1，得(y 02＋2)x 2＋4(y 02＋2)x ＋2y 04＋8＝0．所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2y 04＋8y 02＋2．从而AB ＝(1＋1y 02)×[16－4×2y 04＋8y 02＋2])＝8(y 02＋1)(2－y 02)y 02＋2＝22×－[(y 02＋2)＋4y 02＋2]＋5，其中－2＜y 0＜2，且y 0≠0，所以AB ＜22．所以线段AB 长度的最大值为22．…………………… 20分设a ，b ，c ，d 都是整数，p ＝a 2＋b 2是素数．如果p |c 2＋d 2，证明：c 2＋d 2p 可以表示为两个整数的平方和．证明：因为p | c 2＋d 2，所以c 2＋d 2＝pm ，其中m 为整数．于是m ＝c 2＋d 2p ＝(c 2＋d 2)(a 2＋b 2)p 2＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)p 2，一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)p 2＝(ca －db )2＋(da ＋cb )2p 2，（1）另一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a ＋b i)p 2＝(ca ＋db )2＋(da －cb )2p 2，（2）…………………………………… 10分注意到(ca ＋db )(ca －db )＝c 2a 2－d 2b 2＝(pm －d 2)a 2－d 2b 2 ＝pma 2－d 2(a 2＋b 2) ＝p (ma 2－d 2)．因为p 是素数，所以ca ＋db 和ca －db 中至少有一个数能被p 整除．……………………………… 15分当ca －db 能被p 整除时，令ca －db ＝pt ，t 是整数，根据（1），因为m 是整数，所以da ＋cb 也被p 整除．令da ＋cb ＝ps ，s 是整数，则c 2＋d 2p ＝m ＝t 2＋s 2．当ca ＋db 能被p 整除时，同理可证：c 2＋d 2p 也可以表示为两个整数的平方和．……………………………… 20分。
全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准
全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的最大值为答：[B]A. 2b a + B.ab C.222b a + D. 222b a + 解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2a n m ==，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B.2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答：[D]A. PB. QC. MD. N 解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫⎝⎛，∴公共点只可能是 点N . 选D.3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么zy x ++的值为答：[A]A. 1B. 2C. 3D. 41 2 0.5 1xyz解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β答： [D]A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确定的平面β垂直于α. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则{}3,1-=B A .解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解； 当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-； 当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691=P (结果要求写成既约 分数）.解 考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫⎝⎛-=P .8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为5：1.解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为)0(82>=x x y 或)0(0<=x y .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += 3 . 解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=， 亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab .所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a .三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即 )122)(1(2---x x x =0，解方程，得解为1，231+，231-. n m <≤∴1，1=∴m ，231+=n . ……15分12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x =++的最小值是 ．2．已知函数()e x f x =．若()2f a b +=，则(3)(3)f a f b ⋅的值是 ．3．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S -=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项n a = ．4．若函数2223, 0,()2,0x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥是奇函数，则实数a 的值是 ．5．已知函数10()lg ||3f x x =-．若关于x 的方程2()5()60f x f x --=的实根之和为m ，则()f m 的值是 ．6．设α、β都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β等于 ．7．四面体ABCD 中，3AB =，5CD =，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为 ．8．若满足3ABC π∠=，3AC =，BC m =的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．9．设集合{}1,2,,8S =L ，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是 ．10．如果正整数m 可以表示为224x y - (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ==，1110x y z++=，求abc 的值．12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F =，求双曲线C 的离心率．13．如图，已知ABC ∆是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE =．14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．。
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题01
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．在ABC D 中，a b c 、、分别是角A B C 、、所对边的边长，若2cos sin 0cos sin A A B B +-=+， 则a bc+的值是_______________ 2．函数()992(33)xxxx f x --=+-+的最小值是_______________ 3．双曲线22221x y a b -=的左焦点为1F ，顶点为12A A 、，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段112 PF A A 、为直径的两圆的位置关系一定是_______________ 4．设{1, 2, , 10}A =×××，若“方程20x bx c --=满足b c A Î、，且方程至少有一根a A Δ，就称该，就称该 方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为____________ 5．设1234, , , a a a a 是1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 4的任一排列，f 是{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4} 4}到{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4} 4}的映射，且满足()f i i ¹，记数表12341234 () () () ()a a a a f a f a f a f a éùêúëû；若数表M N 、的对应位置上至少有一个不同，就说M N 、 是两张不同的数表，则满足条件的不同的数表的张数为___________ 6．函数|sin cos |()sin 2x x f x x e+=+的最大值与最小值之差等于___________ 7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的 有_________条．条．8．设222()S x y x y =+-+，其中x y 、满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为______________ 9．设ABC D 内接于半径为R 的⊙O ，且AB AC =，AD 为底边BC 上的高，则AD BC +的最大值的最大值为_______________ 10．设 , ,, r s t 为整数，集合{|222, 0}rsta a t s r =++£<<中的数由小到大组成数列{}n a ： 7, 11, 11, 13, 13, 13, 14, 14, ×××，则36a =_______________ FG E CBA2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题一答案一、填空题1．在ABC D 中，,,a b c 分别是角,, A B C 所对边的边长，若2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a bc+的值是__________ 解：由2cos sin 0cos sin A A B B +-=+得，22sin()042sin()4A B p p +-=+；即sin()sin()144A B p p++=，由正弦函数的有界性及A B 、为三角形的内角可知，为三角形的内角可知，sin()14A p +=且sin()14B p +=，从而4A B p ==，∴2C p=；∴sin sin 2a b A B c+=+=． 2．函数()992(33)x x x xf x --=+-+的最小值是__________解：2()992(33)(33)2(33)2x x x x x x xx f x ----=+-+=+-+-；令332xxt -=+³，则2222(1)3y t t t =--=--，故最小值为2-．3．双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，顶点为12A A 、，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段112PF A A 、为直径的两圆的位置关系一定是__________ 解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在12F F P D 中，C 为1PF 的中点，O 为12F F 的中点，从而211211||(||||)22OC PF PF A A ==-，从而以线段112 PF A A 、为直径的两圆的位置关系一定是内切．一定是内切．4．设{1, 2, , 10}A =×××，若“方程20x bx c --=满足b c A Î、，且方程至少有一根a A Δ，就称该方程为“漂亮方程”；则“漂亮方程”的个数为__________解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1-时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为2-时，有3个满足题意的“漂亮方程”，共有12个．个．5．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任一排列，f 是{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的映射，且满足()f i i ¹，记数表12341234 () () () ()a a a a f a f a f a f a éùêúëû；若数表M N 、的对应位置上至少有一个不同，就说M N 、是两张不同的数表；则满足条件的不同的数表的张数为__________解：对于1234,,,a a a a 的一个排列，可以9个映射满足()f i i ¹，而1234,,,a a a a 共有4424A =个排列，个排列，所以满足条件的数表共有249216´=张．张． 6．函数|sin cos |()sin 2x x f x x e +=+的最大值与最小值之差等于__________解：2|sin()||sin cos |4()sin 2sin 2x x x f x x ex ep++=+=+，从而当4x p=时，取最大值21e +；当4x p=-时，取最小值0，从而最大值与最小值之差等于21e +．7．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形；那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的 有__________条．条． 解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，个顶点，每两点连一条线，共2241223276C =´=，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连(58)220´¸=条，条， \ 6个面共有120条线都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部． 8．设222()S x y x y =+-+，其中x y 、满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为__________ 解：由22log log 1x y +=，得2xy =；又22222()()2()2()2()4S x y x y x y x y xy x y x y =+-+=+-+-=+-+-222[()1]5[21]5(221)5442x y xy =+--³--=--=-9．设ABC D 内接于半径为R 的⊙O ，且AB AC =，AD 为底边BC 上的高，则AD BC +的最大值的最大值为__________ 解：设O B D a Ð=，则sin AD R R a =+；1cos 2BC BD R a ==，2cos BD R a =， AD BC +sin 2cos 5sin()R R R R R a a a j =++=++，其中tan 2j =；∴AD BC +的最大值为5R R +．10．设,,r s t 为整数，集合{|222,0}r s t a a t s r =++£<<中的数由小到大组成数列{}n a ：7, 11, 11, 13, 13, 13, 14, 14, ×××，则36a =__________解：∵,,r s t 为整数且0t s r £<<，∴r 最小取2，此时符合条件的数有221C =；3r =，,s t 可在0, 1, 1, 2 2中取，符合条件有的数有233C =；同理，4r =时，符合条件有的数有246C =；5r =时，符合条件有的数有2510C =；6r =时，符合条件有的数有2615C =；7r =时，符合条件有的数有2721C =；∴36a 是7r =中的最小值，即01736222131a =++=．二、解答题：11．已知正方形A B C D 的两顶点A B 、在抛物线2y x =上，另两个顶点C D 、在直线4y x =-上，上，求此正方形的边长d ．解：设A B 、两点坐标分别为211(, )A t t 、222(, )B t t ，显然12t t ¹；∵A B D C ∥，∴2221211t t t t -=-，即121t t +=； 一方面，222222222121212121212||()()()[1()]2[()4]d AB t t t t t t t t t t t t ==-+-=-++=+-×，∴ 2121(2)8t t d ×=- ①另一方面，21112|4||4|||22t t t t d AD --×-===，∴22122(4)d t t =- ②将①代入②，得42689000d d -+=，即22(18)(50)0d d --=；故32d =或52d =． 12．设实数a b 、满足条件123123a x x x x x x =++=，122331ab x x x x x x =++，其中1230x x x >、、，求2261a b P a a ++=+的最大值．的最大值．解：3312312312333ax x x x x x x x x a ==++³=，∴33a ³；22222123123122331122331()2()3()3a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ab =++=+++++³++=，从而，3a b ³；222261211113111933a b a a a P a a a a a a +++++=£==+£+=+++， 当且仅当123x x x ==，33a =，3a b =时等号成立；时等号成立； 即1233x x x ===，33a =，3b =时，2261a b P a a ++=+有最大值：319+．13．如图，B D C E 、是ABC D 的两条高，F 和G 分别是DE 和BC 的中点，O 是ABC D 的外心；的外心；求证：AO FG ∥．O F GEDCB AH AB CDEGFO1 2 -Ð。
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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（4月20日8:00至10:00）
一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）
1．若2x ≥，则函数1()1
f x x x =++的最小值是 ．
2．已知函数()e x f x =．若()2f a b +=，则(3)(3)f a f b ⋅的值是 ．
3．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S -=，
*n ∈N ，则数列{}n a 的通项n a = ．
4．若函数2223, 0,()2,0
x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥是奇函数，则实数a 的值是 ．
5．已知函数10()lg ||3
f x x =-．若关于x 的方程2()5()60f x f x --=的实根之和为m ，则()f m 的值是 ．
6．设α、β
都是锐角，且cos α=，3sin()5
αβ+=，则cos β等于 ．
7．四面体ABCD 中，3AB =，5CD =，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，
则四面体ABCD 的体积为 ．
8．若满足3ABC π∠=
，3AC =，BC m =的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围
是 ．
9．设集合{}1,2,,8S =L ，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是 ．
10．如果正整数m 可以表示为224x y - (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，
2014中“好数”的个数为 ．
二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ==，
1110x y z
++=，求abc 的值．
12．已知1F ，2F 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分
线与x 轴交于点M ．若21212
MF F F =，求双曲线C 的离心率．
13．如图，已知ABC ∆是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的
高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE =．
14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三
角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？
（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．。