刚体转动习题课

dθ 角速度 ω = dt dω 角加速度 α = dt
与线量的关系
v = rω ατ = rα 2 αn = rω
2、刚体定轴转动定律
v dω v dv v M = Jα = J ( F = ma = m ) dt dt
v v v 力矩 M = r × F v M = rF sinθ
方向：右手法则 转动惯量： 2 3、刚体转动的功能原理
t 0
m (dm1g)x = ∫0 µ 1 gxdx M = ∫ dM = ∫ µ 0 l 1 dx(dm ) M = m glµ o 1 2 x
l l
1
x
− ∫ M = Jω − Jω0 dt
m2v t=
m gµ 1
方法Ⅱ
l 1 2 mg ⋅ = Jω 2 2
方法Ⅲ
求出 ω
l 1 2 mg ⋅ = mvc 2 2 l 又 Qvc = ω 2
求出 vc 求出 ω
分别判断三种方法的正误
2、判断角动量是否守恒 （1）圆锥摆（对oo′ 轴） o′ 小球质量为 m √ （2）对定滑轮轴 o v v 的角动量 重物、人质量均为 m ，定滑轮质 量不计，人向上爬行 √
解：处理这类碰撞问题与过 去质点运动相似但又有区别， 将分阶段进行讨论 （1）杆自由下落到将和 m 碰撞 2 l 1 2 由机械能 m g = Jω 1 守恒得 2 2
m ,l 1
（2）杆和物体 m 碰撞过程 2 由角动量守恒（为什么？动量守恒吗？） 为什么？动量守恒吗？）
3g ω= l
m 2
′ + m2l 2ω′ Jω = Jω 1 2 3g 1 2 ml = ml ω′ + m2l 2ω′ 1 1 3 l 3
动量守恒？角动量守恒？ 动量守恒？角动量守恒？
o
l
m 2
v v
由子弹与棒组成的系统的角动量 v 1 2 (对o轴)守恒得 m vl = m l + ml ω
2 2
2 3
1

0
(2)棒从转动到停止过程
为什么会停止转动） （为什么会停止转动）
3m2v ω0 = 2m l 1
受摩擦力矩
由角动量原理
m
l
θ
m
解得
v=
1 2 mgl sinθ − kl 2 1 1 J m+ 2 2 2R
3、一行星质量为 m，半径为 R，今有一飞 1 船在相距行星为 r0 = 4R时，飞船相对行星 v 静止，同时发射一速度为 v0质量为 m 的仪 2 器，发射角为 θ ，使仪器恰好略着行星表面 着陆。求角 θ 应为多大？着陆滑行的初速多 v v 大？（设 m2 <<飞船质量）m v v
3g m 1 l ∴ω = m +3m2 1
m ,l 1
（3）物体 m 沿水平面运动 2 m 2 直到静止 1 2 由质点的动能定理得 m2v = µm2 gs 2 2
v =lω′
3lm 1 ∴s = 2µ(m +3m2 ) 1
5、在摩擦因数为 µ的水平桌 面上，一棒长为 l，质量为 m 1 的细杆可绕一端转动，今一 v 子弹质量为 m ，速度为 v 垂直射入杆另一 2 v ，求（1）棒获得的 端后，穿出的速率为 2 v v 角速度 ω0 （2）杆转多长时间后停止m 2 1 解：(1)子弹与棒相碰撞
1 解得 sinθ = 1 1+ 3Gm 2 4 2Rv0 1 3Gm 2 1 v = v01+ 2 2Rv 0
1 2
m ,l 1
4、长为 l，质量为 m的匀质 1 m 杆，一端悬挂，可通过点 o 2 转动。今使杆水平静止的落 下，在铅直位置与质量为m的物体作完全 2 非弹性碰撞后，m 沿摩擦因数 µ的水平面 2 滑动。求m滑动的距离。 2
T 1
滑轮（刚体）
′ ′ T2r −T2r = Jα ′ 1 1 (T2 = T2 ,T = T′) a1 = a2 = rα 联系量
解得
r FN
a1 = a2 =
v T2′ v Fr m g P T2 1 m g − m g sinθ − µm g cosθ m2
2 1 2
T T′ 1 1 m 1
J = ∫ r dm J = ∆mr2 ∑ ii
1 2 1 2 W = ∫ Mdθ = Jω2 − Jω1 2 2 v v 1 2 1 2 (W = ∫ F ⋅dr = mv2 − mv1 ) 2 2
力矩的功 W = Mdθ
1 2 刚体定轴转动动能 Jω 2
4、刚体定轴转动角动量原理
∫
v v v Mdt = L2 − L1 = Jω2 − Jω1 ( ∫ Fdt = P − P ) ∫ v 2 1 v dP dL 或 M= (F = ) dt dt L 量 当 M = 0 v = Jω = 常 v 时 ( F = 0,P = 常 量) 矢
第四章 刚体的转动 习题课
一、基本要求 1、掌握角位移、角速度和角 加速度等物理量以及角量与 线量的关系。 2、理解力矩、转动惯量、角动量等物理 概念，了解转动惯量计算的基本思路。 3、掌握转动定律、功能原理、角动量定 理和角动量守恒定律并能正确应用。
二、基本内容 1、描述刚体转动的物理量 角位移 dθ
r FR
m + m2 + J 1
讨论：是否有其它计算方法？功能关系！ 功能关系！
r
2
m2g
1 2 1 2 1 2 mgl sinθ = kl + Jω + mv 2 2 2 k 且有 v = Rω
2、光滑斜面倾角 θ ，一弹簧 (k)一端固定，另一端系一绳 绕过一定滑轮与物体 m相连。 滑轮转动惯量为 J ，半径为 R 。设开始时 弹簧处于原长，将物体由静止沿斜面下滑， 求m 下滑 l 时物体的速度为多大。 解：分析系统机械能守恒(为什么？) 为什么？ 则有 J ,R
2
θ
0
r0
R
m 1
解：分析 （1）不计其它作用力，仪器 只处在行星的中心力场中， 则由仪器和行星组成的系统对行星中心的 v 角动量守恒。 v m θ R （2）系统仅有保守力作用， r m 1 故机械能守恒。
0
v
2
0
v v 所以得 r ×mv = 恒矢量 m2v0r0 sinθ = m2vR （1） 又有 E = E2 1 1 m m2 1 m m2 2 2 1 1 m2v0 −G = m2v −G （2） 2 r0 2 R
m
（3）对轴 o，(或 o2 )的角动量 1 o1 两半径不同圆轮，1轮转动，2轮静止 ω 今将两轮子靠拢，轮被带动而转动
X
o2
小结： 小结：刚体定轴转动中几个 应注意的问题。 应注意的问题。 （1）刚体运动规律区别于质点运动规 律，切莫混为一谈！ （2）注意“转轴” （3）系统中质点、刚体同时存在，应分 别讨论
四：计算 1、斜面倾角为θ，质量分别 为 m 和 m 物体经细绳联接， 1 2 绕过一定滑轮。定滑轮转动 惯量为 J ，半径为 r 。求 m 2 下落的加速度（设 m与斜面 1 的摩擦因数为 µ ） 解：分析受力：图示 质点 m 1
J ,r
m 1
θ
r FN
T′ 1
m r 2 FR
v T2′ P m T2 1 v T −m g sinθ − µm g cosθ = m a1 F m 2 1 1 1 1 mg r 1 质点 m m2g −T2 = m2a2 m2g 2
三、讨论 1、质量为m ，长为 l 的细棒， 可绕 o转动。由水平位置自 由下落。求下落到竖直位置 时的角速度。 o dω 方法Ⅰ 由 M = Jα = J
l
θ
dt l dω dθ v mg cosθ = J mg 2 dt dθ π ω l 2 ∫0 mg 2 cosθdθ = ∫0 Jωdω 求出 ω