格空间中混合单调算子的不动点定理

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混合单调算子的不动点定理及其应用

设‰ ＞，记Ｐ＝｛Ｉ ∈Ｅ，３Ａ（）＞０，（）＞０，ｓ．ｔ．Ａ（）Ｍｏ ≤ ≤ （）ｏ｝，显然ＰＣ
ＦｉｘｅｄＰｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍｓｏｆＭｉｘｅｄＭｏｎｏｔｏｎｅＯｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＬＩＵＣｈｕｎ — ｈａｎ，ＷＡＮＧＪｉａｎ－ｇｕｏ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＱｉｌｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｉｙ，Ｊｉｎａｎ２５００１３，Ｃｈｉｎａ）
李普希斯条件”或者算子的凹凸性来研究的。文中在Ｂａｎａｃｈ空间中不假定算子具有连续性
和紧ｌ生条件的情况下，讨论了混合单调算子Ａ（，Ｙ）
Ｄ ×Ｄ＿ ÷Ｅ：
不动点的存在唯一性，该算子满足其中一个变量具有某种凹凸性，另一个变量满足 “ 序李普希斯条件” 。最后把它运用到非线性积分方程中，改进了相关文献中的相应结果。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｐａｒｔｉａｌｏｒｄｅｒｍｅｔｈｏｄ，ｓｅｖｅｒａｌｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｔｈｅｏｒｅｍｓｏｆｔｈｅｉｆｘｅｄｐｏｉｎｔｓｏｆｍｉｘｅｄｍｏｎｏｔｏｎｅｏｐｅｒａｔｏｒｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｏｕｔａｎｙｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓｏｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ．Ｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄｔｏａｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｉｘｅｄｍｏｎｏｔｏｎｅｏｐｅｒａｔｏｒ，０ｃｏｎｃａｖｅｏｐｅｒａｔｏｒ，ｉｆｘｅｄｐｏｉｎｔ，ｏｒｄｅｒＬｉｐｓｃｈｉｔｚｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

Menger PN-空间中两类混合单调算子新的公共不动点定理

张石生、经先和张志涛等教授在Ｂｎｃ间中关于混合单调算子方面进行了不断的推广和创新，孙ａａｈ空取得了许多很好的研究成果．但是他们的成果要么局限于算子的紧性，么局限于算子的凹凸性和要
连续性，并对锥附加了一些限制条件，或者在正规锥的约束条件下，用多次迭代的方法，运又会使所
若ｌ２２≤ ， ≤ ，１则有Ａ（１＂）（２Ｖ）如果有（１＂）Ａ（２ｖ）则Ａ被称为反向混合ｕ，１ ≤ 札，２；，１ ≥ ｕ，２，单调算子；２若（Ｖ））札， ∈Ｄ ×Ｄ，足＝Ａ（Ｖ）ｕＡ（？）则称点（， ∈Ｄ ×Ｄ是二满ｕ，且＝ｖ，，ｚＶ）
１１０
定义１２１］设ＤＣＥ是７完备的ＭｅｇｒＮ空间（ △）．［８＿一ｎｅ一ＰＥ，中非空子集，ＤＸＥ，且ＸＤｃＥ
二元算子： ×Ｄ — Ｅ，称：ＤｃＥＸＥ则
１称为混合单调算子，）如果（，关于ｔ非减，于Ｖ非增，）ｔ关即对ＶｉＶ ∈Ｄｉ１２，ｕ，ｉｃＥ（＝，）
公共不动点的存在与唯一性，不要求算子具有任何紧性、凹凸和连续性，性从而获得一些新的结论，改进
和推广Ｂａａｈ空间中的有关研究结论．ｎｃ
关键词：锥；算子半群；混合单调算子
中图分类号：Ｏ１７９７．１文献标志码：Ａ
０引言
自１８，９７年郭大钧教授和Ｖ．ａｓｍｉｎｈｍ教授在文献『中提出混合单调算子的概念后，Ｌｋｈｋｔａａ１１

混合单调算子方程组解的存在唯一性定理_栾世霞

其中 N 为锥 P 的正规常数。此外，对 ∀x0 ∈ [u0 , v0 ]，令 xn+1 = Axn (n = 0, 1, 2, · · · )，则有 x∗ = lim xn 。
n→∞
推论 3 设 A : [u0 , v0 ] → E 是减算子且存在正的有界线性算子 T1 , T2 , T3 : E → E ，使得谱半径 r(T1 + T2 + T3 ) < 1，且满足下列条件： (H1 ) A(u) − A(v ) ≤ T1 (v − u), u0 ≤ u ≤ v ≤ v0 ； (H2 ) u0 + T2 (v0 − u0 ) ≤ A(v0 ), A(u0 ) ≤ v0 − T3 (v0 − u0 )。则算子 A 在 [u0 , v0 ] 中有唯一不动点 x∗ ，而且迭代序列 un+1 = Avn − T2 (vn − un ), (16) v n+1 = Aun + T3 (vn − un ), n = 0, 1, 2, · · · 都收敛于 x∗ ，并有误差估计式 x∗ − un (或 vn ) ≤ N rn v0 − u0 , r(T1 + T2 + T3 ) < r < 1, (17)
第26卷第2期 2009年04月
工
程
数
学
学
报
CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol. 26 No. 2 Apr. 2009
文章编号:1005-3085(2009)02-0373-04
混合单调算子方程组解的存在唯一性定理∗
栾世霞, 孙钦福
(曲阜师范大学数学科学学院，曲阜 273165) 摘要: 利用锥理论和单调迭代方法，本文在更广泛的条件下得到了一般 Banach 空间中的混合单调算子方程组解的存在唯一性定理，进一步得到了混合单调、增、减算子新的不动点的存在唯一性定理。本文结果一方面改进并推广了最近的一些已知结果，另一方面本文所给的条件在实际应用中更便于检验。最后给出了一个应用，以检验本文所得结果。中图分类号: 果

格α(t)凹增算子不动点定理

ｉｉ）如果ＥＸ满足ｚ≤ ， ∈Ｄ，有 ≤ ，－Ｖ就
则称是Ｄ的上确界，为ｚｕ记 —ｓｐＤ．
类似地，以定义下确界ｉｆ可ｎＤ．
定义３设Ｘ是一个半序集．如果对Ｖ， ∈Ｘ，存在ｓｐｚ，｝ｉｆｚＹ，Ｙ都ｕ｛Ｙ和ｎ｛，）则称Ｘ是一个格．如果ｘ是一个格，对任给，ＹＥＸ，义Ｖ定 —ｓｐ，，八ｕ｛）ａ —ｉｆｚ，）Ｔｎ｛Ｙ．
１预备知识和引理
本文总假定Ｅ是 “ 一ｒ备的Ａｒｈｍｅｅｎ型向量格，。完ｃｉｄａＰ是Ｅ中的正元锥，中的半序 “ 由Ｐ导出．Ｅ ≤” 关于向量格详细内容参见文献［ —１３下面给出一些主要定义与引理．８０．
徐州师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＸｕｈｕＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａｚｏｒｌｏＵｎｖｒｉＮａｕａＳｉｎｅＥｄｔ）ｙｏ
Ｖｏ．８。．１２Ｎｏ４
Ｄｅ．，Ｏ１ｃ２Ｏ
定义１设ｘ是一个半序集，是Ｘ的非空子集．果存在 ∈Ｘ，足对任给 ∈Ｄ，Ｄ如满都有－ｚ ≥ ，则称
为Ｄ的一个上界．
定义２“ 设Ｘ是一个半序集，ＥＤ是Ｘ的非空子集．如果存在 ∈Ｘ，足满
ｉ任给的ｚ∈Ｄ，）对都有３２图分类号：７．１Ｏ１７９文献标识码：Ａ文章编号：１０ — ５３２１）４０４ — ４０７６７（０００ —０６０

格空间上算子方程组新的不动点定理

ｎｕｉｙｃｎｄｉｉｎ砒ｒｒｃｍｐｌｔｒｈｍｅｅｎｅｔｒａｔｃｔｏｔｏｎｓｉｏｅｅＡｃｉｄａｖｃｏｌｔｉｅ，ａｈｅｔｒｔｏｎｓｑｎｃｓｈｃｏｅｇＯｎｄｔｉｅａｉｅｕｅｅｗｉｈｃｎｖｒｅｔ
ｏｒｔｒｅａｉｎｓｉｅｔｒｌｔｉｅｐｅａｏｑｕｔｏｎｖｃｏａｔｃ
ＬＩＣｈｎｈｎ。ＷａｇＪａ — ｕＵｕ — ａｎｉｎｇｏ
（Ｄｅｒｍｅｔｆｔｅｔｃ，ＱｉｕＮｏｍａｉｅｓｔｐａｔｎＭａｈｍａｉｓｏｌｒｌＵｎｖｒｉｙ，Ｊｉａ５０３，Ｃｉａ）ｎｎ２０１ｈｎ
第３８卷第１期２１０ Nhomakorabea２年３月
延边大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＹａｂａｉｅｓｔ（ｔｒｌＳｉｎｅｏｒａｎｉｎＵｎｖｒｉｏｙＮａｕａｃｅｃ）
Ｖｏ．８Ｎｏ１１３．
Ｍａ．２２ｒ０１
收稿日期：０１２０２１ —１ —２
作者简介：春Ｉ１８－）男，师，究方向为非线性泛函分析及其应用．刘／９１，讲￣（研
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１９；山东省高等学校科技计划项目（０Ｌ５；鲁师范学院青年１９１７）Ｊ９Ａ５）齐
关键词：混合单调算子；次线性算子；ｒ完备Ａｒｈｄａ盯ｃｉｅｎ型向量格；迭代序列ｍｅ

混合单调算子的不动点定理

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第３期
孙钦福，：等混合单调算子的不动点定理
７
则｛｝｛都收敛于ｚ且有误差估计式，Ｙ｝，ｆＩｚＩＮＬ＋ＭＩ。ｚｌ一ｌ≤ ｌｚＩｌＩＩ一。Ｉ，ＩＹ
பைடு நூலகம்
【ＩＮＩ＋Ｍ ”ｌ。。．Ｉ一ｚｌｌＹ ≤ ＬｌＩＩ一ｚＩｌＹ１
证明（ｉ利用数学归纳法验证）
Ｘｎ１≤ ｚ－ ≤ Ｙ ≤ ｙ－，／１２ …．．１Ｙ一，，（）１
事实上，＝１时， ” 由条件（得Ｉ）
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第３３卷第３期
２００７年７月
阜
师
范
大
学
Ｖｏ．３Ｎｏ３１３．
ｏＱｕｕＮｏｍａｆｆｒｌ
Ｊｌ０７ｕｙ２０
混合单调算子的不动点定理
孙钦福 ①，栾世霞①，薛妮娜②
ｚ ≤ Ａ（ｏｙ）Ｊ（ — ｚ）一ｚ ≤ Ａ（ｏｙ）Ａ（ｏｚ）＝ｙ ≤ Ｙ，ｏｘ，ｏ一ｏ０１ｘ，ｏ ≤ ｙ，ｏｌｏ
式（）立．１成假设 ” 一是时式（）１成立，有即
ＸＪ１≤ ｚｒ－－＾≤ Ｙ＾≤ 卜１，
＊
收稿日期：０６０ — ６２０ — ６０
基金项目：国家自然科学基金（０７０５；曲阜师范大学青年基金资助项目（ｊ５３１４１７）ｘ００）作者简介：钦福，，９７，副教授；主要研究方向：线性泛函分析．孙男１６一非

半序概率度量空间中混合单调算子的耦合不动点定理

2019年5月第45卷第3期西南民族大学学报(自然科学版)May.2019 Journal of Southwest Minzu University(Natural Science Edition)Vol.45No.3doi：10.11920/xnmdzk.2019.03.015半序概率度量空间中混合单调算子的耦合不动点定理朱奋秀(湖北经济学院法商学院，湖北武汉430205)摘要：不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分.对非线性微分和积分方程的研究有重要意义.通过泛函在概率度量空间中引入半序关系，建立半序概率度量空间，在满足两点压缩和拉伸条件下，弱化混合单调算子的连续性，且通过构造集合，并证明集合存在极大元，利用Zron引理，从而证明满足条件的混合单调算子的耦合不动点定理・关键词：半序概率度量空间；不动点；混合单调算子中图分类号:0177.91文献标志码:A 文章编号:2095^271(2019)03-0314-04Fixed point theorems of mixed monotone operators inpartially ordered probabilistic metric spacesZHU Fen-xiu(School of Law and Business,Hubei University of Economics,Wuhan430205,P.R.C.)Abstract:Fixed point theory is an indispensable part of nonlinear functional analysis and is of great significance in the research of differential and integral equations.A partial order is introduced by a function in probabilistic metric spaces.A class of mixed monotone operator is discussed under compression type and tension type in ordered metric spaces,and the continuity of operators is weakened.The Zron lemma is used to prove the coupled fixed point theorem of mixed monotone operators by constructinga set.Key words:partially ordered probabilistic metric space；fixed point；mixed monotone operator1引言与预备知识近年来，半序方法成为研究非线性算子不动点问题主要的方法，然而在概率度量空间中利用半序方法研究混合单调算子不动点问题的文献较少-1976年, Caristi J利用泛函在度量空间中引入了一个半序并得到几个不动点定理;文献［4］在概率度量空间中引入半序，讨论了序压缩算子的不动点理;文献［5］讨论了在半序概率度量空间中的一类增算子的不动点定理,并得到一类非线性算子方程的可解性理论;文献［6］讨论了概率度量空间中序压缩算子对的重合点定理;文献［7］讨论了在半序概率度量空间中满足一定条件的形如Lx=N(%,%)，—类非线性算子方程的可解性问题.下面将在概率度量空间中引入半序关系研究一类混合单调算子，在满足两点压缩和拉伸条件下，得到算子的耦合不动点的存在性.一些关于半序概率度量空间的基本概念和记号见文献［2-15］,设(E,F,A)是Menger概率度量空间，且t-范数4满足Nt’/EfR为泛函，定义E上的"V收稿日期:2018-04-24作者简介:朱奋秀(1983-),男，汉族，甘肃白银人，讲师，研究方向:非线性泛函分析.E-mail：zhufenxiu@ 基金项目：湖北经济学院法商学院科研资助项目(2018K12)第3期朱奋秀：半序概率度量空间中混合单调算子的耦合不动点定理315为，对任意的e E,x<y<=>e><p(x)-<p(y),V A >0,都有化,,(£)>1-入，可以验证"V为(E,F,A)上的半序关系，称此关系为由<p导出的半序•设x o»Jo e E且x0W y(),称[x0,y0]=｛xeE\x0<x<y0｝为序区间定义1设(E,F,A)是Menger概率度量空间，其中的半序由泛函卩所导出，设算子A：ExE-E,若对任意的如，％2』1』2wE,当坷<X2,y2</!时，有4(X|, y,)<A(x2.y2),则称4为混合单调算子.引理1⑶设"V是概率度量空间(E,F,4)上由(P导出的半序，若％今,则(p(x)><[P(y).2主要结果定理1设(E,F,A)是Menger概率度量空间，且t-范数连续且满足NtwE-R为连续泛函，"V是由<P导出的半序.设X o,y o e E,X O<y0,D=[x0, %]•又设A：DxD^E是关于t"的混合单调算子，且X o4(%0』0),A(y0,x0)<y0.则算子A存在耦合不动点(x,y)eDxD,使得A(x,y)=x,4(y,x)=y.证明设C=｛(x,y)eD xZ)：x0<x<A(x,y),A (y,x)<y<y0|，显然(%,%)wC,于是C为非空集合,在C上定义关系如下：(«i,Yi)<(x2,y2)¢=>x l<x2,y2<y t.易证(C,V)为半序空间，下面证明(C,V)有极大元•令｛(耳是(C,V)的任一全序子集，其中J为定向集，即e J,/jl<v当且仅当(％“,％)<对任意(JL,veJ,/JL。

Banach空间中一类混合单调算子的新不动点定理

（ｅａＩｅｔｆｔ．ｈｎｑａｈｒＣｌｇ，ｌＪｕ４６Ｏ，２ｓａｇｉＬｂｒ。ｙＭｄ１Ｓｈ０，ａｇｉ４６０，ｈａＤｐＪｎｎ０Ｍａｓａｇｉｔｈｕｃｅｓ０。ｅｓａ鹊ｉ７ｏ０Ｃｎ；．ｌＩｑａｏａｒｉｄｃｏ１Ｓｎｑｕ７０ｏｃｉ）ｌ１１１１ｕｔｅｈｎ
任何假定，利用锥理论迭代技巧，明了不动点的存在唯一性，给出了迭代序列收敛于解的误差估计，进和推广了文证并改
１预备知识
本文总假设Ｅ为实Ｂｎｃａａｈ空问，表示Ｅ中的零元，非空闭凸集ｐ［Ｅ是Ｅ中的锥，Ｅ中半序“ ≤” 由锥Ｐ导出，设， ∈Ｅ且。，Ｄ＝［。］ ≤ 用 “ ，表示Ｅ中的序区间．
Ｂｎｃａａｈ空间中一类混合单调算子的新不动点定理
徐华伟王申林，
（．商丘师范学院数学系，１河南商丘４６０；．商丘市实验中学，７００２河南商丘４６ｏ）７００
摘
结果．
要：运用锥理论与非对称迭代方法，得到了Ｂｎｃａａｈ空间不具有连续性和紧性条件的混合单调算子的不动
Ａｂｓｒｔ：ｓｎｈ０ｅｔｅｒｎｈｅａｙｔａｃＢｙｕｉｇｔｅｃｎｈ０ｙａｄｔｓｍｍｅｒｈｎｅｈｔ０ｆｔｋｉｇｔｅｐａｅ０，ｔ０ｔｉｈａ — ｔｙｃａｇｓｔｅｍｅｈｄ０ｎｈｌｃｆｉｂａｎｓｔｔＢａａｎｃｐｃｏｓｎｏｖｎｔｎｃｔｃｎｉｕｔｇｔｎｒｅｔｔＶｘｓｅｃｎｑｅｓｔｔｐｅａｏｆａｈｓａｅｄｅｔｈａｅｍｏｏ０ｉｉｙ，ｏｔｎｉｙ，ｅｔｇｕｇｎ０ｍ０ｅｅｉｔｎｅｕｉｕｎｅｓａｂｉｗｏ０ｒｔｒ０ｉｔｒ，ｎｏｉｅｎｈｎｇｓｉｔｏｕｉｇｔｒａｇｎｅｔａｎｉｉｈｒｏｓｉｔｈｔｉ０ｖｄ，ａｍ— ｅｍｓａｄｐｒＶｄｓａｄｃａｅｎｒｄｃｎｏａｒｎｅａｄｒｓｒｉｔｎｔｅｅｒｒｅｔｍａｅｔａｓｓｌｅｈｓｉｐｅｎｐｌｒｚｄｓｍｅｋｎｗｎｒｓｌｓｗｈｃｘｔｅｄｌｐｅａ０ｑｔｎｉｅｕｔｒｃｉｅｍｖｄａｄｐｏｕａｉｅｏｏｃｕｔｉｈｍｉｈｕｌｏｒｔｒｅｕａｉｎｒｓｌｅｅｖｄ．０ＫｅｒｙｗＯｄｓ：０ｎｒｉｌ０ｄｒｎｍｉｅｎｔｎｅｏｅａｏｆｘｄｐｉｔｃｎｅａｄｐａｔｒｅｉｇ；ｘｄｍ００ｏｐｒｔｒ；ｉｅｏｎａ

Banach空间一类混合单调集值算子不动点定理及其应用

存在常数Ｎ＞０使得ＶＹ ≤ ，，，ＥＥ，≤ 都有ｌｌ ≤ＮＩｌ其中Ｎ叫做Ｐ的正规常数．ＤｅＥ，集ｌ，Ｉ设称合Ｄ有最大元，如果存在３７ＥＤ，使对任意ＹＥＤ，有 ≤ ．
定义１设Ｘ，＿８ｙ为Ｅ的子集，Ｘ≤ｙ，称如果对任意ＥＸ，在Ｙ存 ∈Ｙ，使 ≤Ｙ．定义２１设Ｘ为半序集，是Ｘ的子集，Ｍ一２［］ＭＡ：是一个集值算子，如果对任意 ∈Ｍ， ∈Ｍ，Ｙ
ｎｃａｈ空间中的一类混合单调集值算子不动点定理，应用到一阶集值方程中，广了文献Ｅ３并推８中相应结
果．
设Ｅ是实Ｂｎｃａａｈ空间，Ｐ是Ｅ中的非空闭凸集，Ｐ为Ｅ的一个锥，果ｉｘ∈Ｐ，≥ ０则妇 ∈ 称如），Ｐ；）ｚ∈Ｐ，ｉ若ｉ一 ∈Ｐ，则一００（表示Ｅ中零元）给定Ｅ的一个锥Ｐ后，Ｐ中引入半序关系 “ ” ．在 ≤ ：对ＥＥ， ∈Ｅ，Ｙ若 — ∈Ｐ，称 ≤ＹＥ在该半序下成为一个Ｂｎｃ则．ａａｈ空间．们称Ｐ为正规的，我如果
是非空闭值的．
收稿日期；０７１－８２０ — ２２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１７；州师范大学研究生科研创新计划基金资助项目（８Ｌ０９１６１６）徐０ＹＢ１）作者简介：志林（９０）男，苏沭阳人，士研究生，谢１８一，江硕主要从事非线性泛函分析和中学数学解题研究．

随机混合单调算子的随机不动点定理

。
Ｆｂｅ．２０８０
… …
ｏｎ
．
文章编号：０３２４（０８０－０００ｉ０－８３２０）１７—４０
随机混合单调算子的随机不动点定理
赵巧玲，郝建丽
（商丘师范学院数学系，河南商丘４６０７００）摘要：利用Ｍａｎ迭代技巧，讨论了不具有紧性条件的随机混合单调算子方程的随机不动点的存在唯一性，并给出了ｎ
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第３卷第１４期
西版学１ＪｍａｆＳ０ｔｗｅｓ南民族ｓ大ｙｆ学报ｉ自然ｅ学ｔｒｌＳｃｅｃｄｉｉｎｏｕｌｏｕｈｔＵｎｖｒｉｏｉｅｔｒＮａｔａｌｉＮａｕａｉｎｅＥｔｉｓｔ１ｏ
迭代序列收敛于解的误差估计，所得结果是某些已知结果本质改进和推广．
关键词：ｎＭａｎ迭代；随机混合单调算子；随机不动点；正规锥中图分类号：２５Ｏ１．１文献标识码：Ａ
１引言
设（＆，）Ｑ，Ｐ是—个完备的概率空间，Ｅ是可分的Ｂｎｃ空间或Ｐｌｈａａｈｏｓ空间（ｉ即可分完备度量空间）是，￡
下列条件：
（）在Ｑ可函 ∈０）使（Ｑ有ｉ存上测数（）（１得Ｖ），，，１ ∈
ＡｏＶ）Ａｏ，ｐ（（一）ｏ（，一（，Ｖ（），，）１Ｖ）Ｖ；
（ｉ）ｏ（）ｏ）Ａｏ１，ｏ，ＡｏＶ，ｏ１— （）ｏ）ｉ＋ａｏ（一ｏ（，ｏＶ）（，１）；ｂｏ（一０，Ｖ．ｇｏ．ｏｇＶ其中可测函数（）（）【，，且（）＋６（＋ｐ（＜１（，（ ∈ ０１１６１）））（１（）（）．则ＡｏＸ在［，０中有唯一随机不动点）１）１）（，，）ｖ］

具有仿射扰动性的混合单调算子的不动点定理

1. Introduction
Various existence and uniqueness theorems of ﬁxed points for monotone operators are of great use in the study of nonlinear equations, and many authors have investigated these kinds of operators in Banach spaces (see [1-5] etc.). In 1996, Zhang [1] investigated the existence and uniqueness of positive ﬁxed points for concave and convex mixed monotone operators, i.e., the existence and uniqueness of positive solutions to operator equation, A(x, x) = x, x ∈ E , where A : P × P → P is a mixed monotone operator with concavity and convexity, P is a normal cone of Banach space E . In 2009, Zhang [6] obtained some new existence and uniqueness results of positive ﬁxed point of mixed monotone operators.
In this paper, we study the existence and uniqueness of positive ﬁxed points for more general operators. In other words, we investigate the existence and uniqueness of positive solutions of the following operator equation in a real ordered Banach space E , B (x, x) + Dx = x, x ∈ E, where B is a mixed monotone operator and D is aﬃne. By using the partial order theory, we obtain new and general existence and uniqueness theorems of positive solutions (Theorem 1 below) for Eq.(1) without assuming operators to be continuous or compact, which extend the corresponding results in [1,5,6]. In addition, our result is applied to the following nonlinear integral equation on unbounded region, K (t, s)f (x(s))ds + g (x(t)) = (1 + h1 (t))x(t) − h2 (t)x(t + γ ) − h3 (t), t, γ ∈ Rn , and we obtain the existence and uniqueness of positive solutions.

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed —point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。

（一）、压缩算子:1、定义：设（1)X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。

若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤，则称T 是X 上的压缩算子.θ为压缩系数.2、性质：压缩算子T 是连续的证：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例:11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= )（二）、不动点定理1、定义：设（1）X --—— 是完备的距离空间；（2):T X X →的压缩算子.则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明. （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。

（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。

但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。

初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。

（4）误差估计①事前(或先验）误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。

此方法有时理论上分析困难。

设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后(或后验）误差：计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。

混合单调算子的不动点定理

，
其中
＝
。
（）３
则算子Ａ在［，】１，上有唯一不动点．。而且对任意初值（，） “ ，】１，】如下的迭代序列 ∈［。＇ ×【。Ｖ，１３。１０，
＝一，１，Ａ（ｌｙ一）＝ｌ２ … ，，
Ｙ＝Ａ（，一）ｎ＝１２ … １，，，
混合单调算子是郭大钧于１８年在文献［］９７１中引入的，有关这类算子不动点及相关性质研究一直倍受国内外很多学者的关注，已有许多很深刻的结果（２１］．并见［ — ０）作为处理非线性问题重要工具之一的迭代逼近方法，特别是对于在适当的偏序条件下的非线性单调算子问题，迭代方法的应用显示出极好的效果，例如文献［１就解决了两类带有一定凹凸性的混合单调算子正不动点的存在、１］唯一性问题．本文在借鉴文献［１所用方法的基础上，１］对更一般的混合单调算子的不动点的存在和唯一性进行了讨
率的刻画．定理１设Ｅ是Ｂｎｃ间，ａａｈ空Ｐ是Ｅ的正规锥，为Ｐ的正规常数，ＰＸＰ为混合单调算子并且满 Ⅳ Ａ：
足：
（）存在 “ ， ∈Ｐ，＜Ｉ使得ｉ００＜
／＜３，ｏ／１ ≤Ａ（ｏＩ）Ａ１，ｏ ≤ ０，００Ｕ，，（０ “ ））ｏ３
结合Ａ的混合单调性及（）（）（）（１，１）有１，２，９，１）（３
ｕ＋＝（）ｌＡＭ，
≥Ａｔ）（ｎ，Ｖ
≥ｇ（）（，）＋２ｔ）（）】ｔＡｇ（Ａ， ≥ｇ（）（，ｕ）２ｔ），）ｌ￡Ａ＋ｇ（Ａ（

格增算子不动点定理

个序条件来代替凹性条件，得到了相应的结果．由于所讨论的空间不同于Ｂｎｃ空间，ａａｈ此空间只有半序结构，有拓扑结构，没因此没有用到通常的范数，而是用格空间的模来代替范数，而不同于以往文献从的研究．
一
１预备知识
定义ｌ：设是一个半序集，如果存在ｚＥＸ，足 … ＤｃＸ．满
ｏ）ｏ；／是指｛｝为减序列， ∈ 且存在厂， ∈ 使得厂＝＾，（，。．ｎＥ０＋ｏ）其中Ｖ是指｛Ｉ中
所有元素的上确界；八是指｛｝中所有元素的下确界．定义６２Ｅ称为Ａｃｉｅｅｎ｜ｒｈｄａ型向量格，Ｅ为向量格，＝｛ＥＥ， ≥ ０为中的正元锥，ＶｎＥｍ若Ｐ｝对
收稿日期：２１－１８０００．０基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１９１９１７）作者简介：李慧连（９３）１８．，女，山西原平人，硕士研究生，研究方向为非线性泛函分析
１８０
淮阴师范学院学报（自然科学）
第９卷
定义５
设Ｅ是序向量空间，十是指｛ ∈Ｅ为增序列，｝且存在 ∈ Ｅ使得ｆ＝Ｖ，，（，，ｎｎ０＋Ｅ
（ — ｏ）ｎｏ．
证明我们令
并且
＝Ａ＋Ｗ）。设ｈ。。显然：ｈ］Ｅ是格上凹的增算子，（。一Ｗ，。＝一Ｗ，［。一，
一ＩＮ（ ≤ １一卢。ｚ），。∈ Ｅ（中 Ⅳ 为正规常数）其（）１
≥ 。Ｂ。≤ ｈ．，ｈ。于是由引理６曰在［ｈ］中必有最小不动点Ｗ且得，。徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２１１）２１６

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。

（一）、压缩算子:1、定义：设（1）X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。

若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤，则称T 是X 上的压缩算子。

θ为压缩系数。

2、性质：压缩算子T 是连续的证：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例：11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= ）（二）、不动点定理1、定义：设（1）X ---- 是完备的距离空间；（2）:T X X →的压缩算子。

则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法，称为构造性的证明。

（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。

（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。

但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。

初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。

（4）误差估计①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。

此方法有时理论上分析困难。

设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。

关于一些混合单调算子的不动点定理及推广的开题报告

关于一些混合单调算子的不动点定理及推广的开题报告一、选题背景：在函数论中，不动点是一个很有用的概念。

各种算子的不动点定理也是函数论的重要构成部分。

然而，一些特殊的算子如混合单调算子的不动点定理及其推广研究较少，这也成了本文选题的一个重要原因。

混合单调算子属于混合型算子，可以看作是把单调算子与非单调算子混合起来。

它的研究在优化、数学物理等领域有着广泛的应用。

二、研究目的：本文旨在探讨混合单调算子的不动点定理及其推广，在相关领域对混合单调算子的研究作一定的补充。

三、研究内容：1、不动点定理的基本定义和原理2、混合单调算子的定义及性质3、混合单调算子的一些特征4、混合单调算子的拓展及其不动点定理推广5、混合型算子及其应用四、研究方法：综合运用多种数学工具和方法，如拓扑学、泛函分析、非线性分析等。

五、研究意义：1、丰富和完善函数论中算子的不动点定理2、提高混合单调算子的理论应用价值3、为混合型算子在优化、数学物理等领域的研究提供理论基础六、预期成果：通过对混合单调算子的研究，得到一些混合型算子的新的不动点定理及推广，具有一定的理论创新和实际应用价值。

七、研究难点：混合单调算子比较复杂，其中一些性质难以证明，需要运用多种数学方法解决问题。

八、研究计划：1、确定研究方向和问题。

2、查阅相关文献，深刻理解混合单调算子及其不动点定理的基本概念和原理。

3、分析混合型算子的特征及混合单调算子的拓展。

4、运用适当的工具和方法对混合单调算子的不动点定理和推广进行研究。

5、总结研究成果，撰写论文。

九、研究前景：混合型算子在应用中很常见，其研究有助于推进优化、数学物理等领域的发展，同时也有助于推进函数论及其相关领域的理论研究。

随机混合单调算子的不动点及应用

随机混合单调算子的不动点及应用近年来，随机混合单调算子（randomized monotone operator，简称RMO）在多学科中都受到越来越多的关注。

RMO提供了一种便捷的方法来构建复杂的运算子，用以解决多种实际问题。

在本文中，我们主要讨论RMO所拓展出的不动点理论，以及它们在实际中的应用。

首先，RMO是一种由随机混合的单调算子序列组成的复杂的运算器。

RMO的构造方法由核心的单调算子组成，该算子具有以下性质： 1）它具有保持低于给定输入的作用：如果输入的值低于给定的输入值，则该算子将其保持不变；2）在多维空间中，它具有保持低于所有给定输入值的作用：如果某个给定输入值比较低，则该算子将向低于该输入值的方向移动； 3）它还具有一定的稳定性：即不管输入怎样，该算子都会保持相同的结果。

简而言之，RMO是一种特殊的单调算子，其构成由其核心算子和混合到该算子中的其它算子构成。

RMO能够在多维空间中构建复杂的运算子，从而解决多种复杂的实际问题。

其次，RMO拓展出的不动点理论是一种新兴的数学理论，可以用来描述RMO中的某种性质。

不动点理论主要引入一种概念叫作不动点，不动点是指在给定条件下RMO中单调算子保持稳定并不发生任何变化的状态。

不动点的存在可以帮助我们更好地理解RMO的特性，从而指导我们利用它解决问题。

最后，RMO的不动点理论已经在多种实际应用中得到了成功的应用。

例如，该理论可以用来解决多元函数的最优解问题。

在机器学习领域，该理论可以用来优化神经网络的参数调整，从而提高模型的准确性。

此外，RMO的不动点理论还可以用来解决图像处理中的各种问题，以及计算机视觉领域中的特征提取和图像分类等问题。

综上所述，RMO的不动点理论受到了越来越多的关注，其中RMO 的构造方法可以构建出复杂的运算器，而不动点理论可以帮助我们理解该运算器的特性。

此外，RMO的不动点理论也在解决多种实际问题方面取得了良好的效果。

未来，RMO的不动点理论在多个领域都有望取得更大的进步和发展，为解决复杂的实际问题提供有效的方法。

Banach空间中一类序压缩算子的不动点定理

Banach空间中一类序压缩算子的不动点定理
彭荣
【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(037)001
【摘要】在Banach空间中,运用半序与迭代方法,研究了满足序压缩条件二元算子方程解的存在性,获得了一类非混合单调算子的不动点定理,推广和改进了相应结果.【总页数】5页(P39-43)
【作者】彭荣
【作者单位】广东培正学院基础部,广东广州,510830
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理 [J], 卜香娟
2.Banach空间中一类混合单调算子公共不动点定理 [J], 彭荣
3.Banach空间中一类集值混合单调算子的不动点定理及应用 [J], 彭荣
4.序Banach空间中一类算子的不动点定理 [J], 黄梅娟; 卫亚茹; 王海霞
5.Banach空间中一类非线性算子的不动点存在性定理(英文) [J], 尹建东;朱梦婷因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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Ａｃｉｅｅｎ型向量格．ｒｈｍｄａ
收稿日期：２１．６ｌ０００一８基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１９；苏省２１年研究生科研创新计划（Ｘ１ＳＯ７）１９１７）江００Ｃ０－３Ｚ
作者简介：孙洁（９７）女，江苏宿迁人，硕士研究生，１８．，研究方向为非线性泛函分析．
格Ｅ的序区间形式为［，］＝｛ ∈ Ｅ， ≤ ≤ ：的任何集合，中 ≤ ，， ∈ Ｅ．：｝其２
定义４若Ｅ为向量格，对于 ∈ Ｐ，若对于Ｖｎ∈ Ｎ，，Ｙ∈ Ｅ，有 ≤ ）＝：０则称Ｅ为，＞＝，
（ｉｉ）如果Ｙ∈ Ｘ满足 ≤ ＹＶ ∈ Ｄ，，就有 ≤ Ｙ．
则称是Ｄ的上确界，为ｚ：ｓｐ类似的可以定义下确界ｉｆ记ｕＤ．ｎＤ．
定义２设是一个半序集．果对ＶＹ∈ Ｘ，如，都存在ｓｐ，｝ｉｆＹ，ｕ｛Ｙ和ｎ｛｝则称是一个格．，
染病模型研究有着广泛的应用．因此，国内外研究成果不断涌现｜］国内外在研究各种非线性问题时大１．。
都使用了两个基本条件，即连续性条件和紧性条件．文利用半序方法（序由锥Ｐ导出）在非常弱的本半，紧陛条件 —— 格拟可分和格列紧条件下，得到了不动点定理．在格空间中，种格拟可分和格列紧是很这容易被满足的．我们把算子Ａ表为Ａ＝ＢＣ的形式，分别对日和ｃ算子加条件，以得到格混合单调算子可４的不动点．Ｂｎｃ空间中利用锥理论、序方法、调迭代等方法研究混合单调算子．在ａａｈＪ半单而本文是
格空问中混合单调算子的不动点定理
孙洁
（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２１１）２１６
摘要：利用格结构与半序方法相结合，（。完备的Ａｃｉｅｅｎ型向量格中讨论算子在）ｒｍｄａｈ
Ａ＝Ｂ耦合不动点的存在性．Ｃ
第９卷第４期
２１年８月００
淮阴师范学院学报（自然科学）
ＪＵＮＬＯＵＯＲＡＦＨＭＹＮＴＡＨＲＯＬＧ（ａｒｃｎｅＩＥＣＥＳＣＬＥＥＮｔａＳｉｃ）ｕｌｅ
Ｖｎ．Ｎｏ．１９４Ａｕｇ．２００１
２４８
淮阴师范学院学报（自然科学）
第９卷
定义５设Ｅ为Ａｃｉｅｅｎｒｍｄａ型向量格，ｈ固定ｕＥＰ＼｝｛｝ＥＥＰ＼｝若存在数列。｛， ∈ ，。｛，
（Ｈ）ｒｎ
￡一０ｅ，Ｅ（，，０ ∞）使得Ｉ一％Ｉ￡Ｍ（ ≤ ｏｎ∈ Ｎ）则称｛｝（‰），为ｒ收敛到。记为 ‰ 一．，若对于任意的ｅ＞Ｏ存在 Ⅳ ＝Ｎ（）使得当ｍ，，￡，ｎ≥ Ｎ时，Ｉ一有
０ ≥ ０Ｉ，ｌＹ一个半序线性空间．，，，Ｙ，２２ｌ，１２＋Ｐ１＋Ｐ２则如果Ｅ是一个半序线性空间，且在半序结构下是一个格，并则称是一个向量格．
如果是一个格．Ｖ，对Ｙ∈ Ｘ，定义ＶＹ和八Ｙ为
ＶＹ＝ｓｐ，，八Ｙ＝ｉｆＹ｝ｕ｛Ｙ｝ｎ｛，．
定义３设Ｅ是线性空间，又是半序集．果半序结构与线性结构相容，如即对任给的ａ， ∈ Ｒ，ａ≥
本列．
ＩＥ／， ≤ ｎｏ则称序列｛｝ｒ。基Ｚ ‰ 为（ｕ）
若Ｅ中元素的任何（ｕ）ｒ。基本列都是（“）ｒ。收敛的，则称为（）。完备的Ａｃｉｅｅｎｒｍｄａ型向量格．ｈ
在（Ｕ）／完备的Ａｃｉｅｅｎ型向量格中对格混合单调算子进行讨论．＇ｒｈｍｄａ
１预备知识
本文总假定Ｅ是（）备的Ａｃｉｄａ向量格，ｒ完ｒｈｍｅｅｎ型Ｐ是Ｅ中的正元锥．
定义１设是一个半序集，如果存在 ∈ ，足ＤｃＸ．满（）对于任给的 ∈ Ｄ，ｉ都有 ≤ ；
关键词：向量格；混合单调算子；耦合不动点格
中图分类号：１５０７文献标识码：Ａ文章编号：６１８６２１）４０８ — １７。７（０００ —２３０６４
０引言
１８年，大钧和Ｌｋｈｉａｔａｖ】首次提出了混合单调算子的概念并对它进行了一些研究，９７郭ａｓｍｋｎｈｍ．＿得到了一系列的结果，开创了一个新的研究方向．之后，由于混合单调算子不仅对非线性泛函分析的理论研究有重要意义，由于其重要理论价值在于可以直接解决各种工程技术问题，别对核物理研究及传更特