2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二(下)期中数学试卷解析版

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={-2，-1}，B ={-1，2，3}，则A ∩B =______．2. 函数f （x ）=lg （-x 2+2x +3）的定义域为______．3. 若复数1+ai1−i 为纯虚数，i 是虚数单位，则实数a 的值是______．4. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．5. 如图是一个算法流程图，则输出S 的值是______．6. 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为______． 7. 已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0，则2x +y 的最大值为______．8. 已知函数f （x ）=|2x -2|（x ∈（-1，2）），则函数y =f （x -1）的值域为______．9. 已知函数y =A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象上有一个最高点的坐标为（2，√2），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点（6，0），则此解析式为______．10. 若曲线C 1：y =3x 4-ax 3-6x 2与曲线C 2：y =e x 在x =1处的切线互相垂直，则实数a 的值为______． 11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A =7tan B ，a 2−b 2c=3，则c =______．12. 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在（-∞，0]上为单调增函数．若f （-1）=-2，则满足f （2x -3）≤2的x 的取值范围是______ ．13. 已知函数f （x ）=x 2-2ax +a 2-1，若关于x 的不等式f （f （x ））＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． 14. 已知函数f （x ）={f(x −1)+1,x >0x 2+2x,x≤0，当x ∈[0，100]时，关于x 的方程f （x ）=x -15的所有解的和为______． 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b cos C +c cos B =2a cos A ．（1）求角A 的大小；（2）若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3，求△ABC 的面积．16. 已知函数f （x ）=ax 2+x -a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）有最大值178，求实数a 的值； （2）解不等式f （x ）＞1（a ≥0）．17. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O ，E 分别为B 1D ，AB 的中点．（1）求证：OE ∥平面BCC 1B 1；（2）求证：平面B 1DC ⊥平面B 1DE ．18. 某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升） 满足y =mf（x ），其中f （x ）={x 216+2(0＜x ≤4)x+142x−2(x ＞4)，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m =4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．19. 设函数f k (x)=2x +(k −1)⋅2−x （x ∈R ，k ∈Z ）．（1）若f k （x ）是偶函数，求k 的值；（2）设不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4的解集为A ，若A ∩[1，2]≠∅，求实数m 的取值范围；（3）设函数g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2，若g （x ）在x ∈[1，+∞）有零点，求实数λ的取值范围．20.记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2-1与g（x）=ln x存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=-x2+a，g（x）=be x．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）x在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．答案和解析1.【答案】{-1}【解析】解：∵集合A={-2，-1}，B={-1，2，3}，∴A∩B={-1}．故答案为：{-1}．利用交集的定义求解．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2.【答案】（-1，3）【解析】解：要使函数有意义，则需-x2+2x+3＞0，解得，-1＜x＜3．则定义域为（-1，3）．故答案为：（-1，3）．要使函数有意义，则需-x2+2x+3＞0，解出即可得到定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】1【解析】解：∵复数===为纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1．利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义，属于基础题．4.【答案】32【解析】解：高一学生在总体中所占的比例为=，故应从高一年级抽取的学生人数为80×=32，故答案为：32．先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高一年级抽取的学生人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．5.【答案】35【解析】解：k=1，k＞5不成立，S=0+12=1，k=1+2=3，k=3，k＞5不成立，S=1+32=10，k=3+2=5，k=5，k＞5不成立，S=10+52=35，k=5+2=7，k=7，k＞5成立，输出S=35，故答案为：35根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.【答案】35【解析】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8.【答案】[0，2）【解析】解：∵x∈（-1，2），∴，，则f（x）=|2x-2|∈[0，2），y=f（x-1）的图象是把函数f（x）左右平移得到的，函数值域不发生变化，∴函数y=f（x-1）的值域为[0，2）．故答案为：[0，2）．由指数函数的单调性求出函数f（x）=|2x-2|（x∈（-1，2））的值域，再由函数图象的平移得答案．本题考查了函数的值域的求法，考查了函数图象的平移，是基础题．9.【答案】y=√2sin（π8x+π4）【解析】解：∵函数图象的一个最高点为（2，），∴A=，x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6，0），∴=6-2=4，即函数的周期T=16，∵T==16，∴ω=，此时函数y=f（x）=sin（x+φ），∵f （2）=sin（×2+ψ）=，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，即ψ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，∴这个函数的解析式为y=sin（x+）．故答案为：y=sin（x+）根据函数的最高点的坐标确定A，根据函数零点的坐标确定函数的周期，利用最值点的坐标同时求φ的取值，即可得到函数的解析式．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定A，ω，φ的取值是解决本题的关键．10.【答案】13e【解析】解：由y=3x4-ax3-6x2，得y′=12x3-3ax2-12x，∴y′|x=1=-3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴-3a•e=-1，解得：a=．故答案为：．分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a的值．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线过该点的切线的斜率，是中档题．11.【答案】4【解析】解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2-8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．12.【答案】（-∞，2]【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（-∞，0]上为单调增函数，则在f（x）在[0，+∞）上也是增函数，故函数f（x）R上也是增函数；又由f（-1）=-2，则f（1）=-f（-1）=2，则f（2x-3）≤2⇒2x-3≤1，解可得x≤2，即不等式的解集为（-∞，2]；故答案为：（-∞，2]．根据题意，由奇函数的性质分析可得函数f（x）在R上是增函数，且f（1）=-f（-1）=2，进而f（2x-3）≤2可以转化为2x-3≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将f（2x-3）≤2转化为关于x的不等式．13.【答案】a≤-2【解析】解：f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]由f（x）＜0即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0解得a-1＜x＜a+1，那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）又f（x）=（x-a）2-1当x=a时，f（x）取得最小值-1即函数的值域为[-1，+∞）若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤-1所以a≤-2．故答案为：a≤-2．由f（x）＜0解得a-1＜x＜a+1，不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1，原不等式的解集为空集，得到a-1＜f（x）＜a+1解集为空集，那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集，求出a的范围．本题考查了由一元二次不等式的解集求参数的范围，属于中档题．14.【答案】10000【解析】解：x ∈[0，1）时，f （x ）=（x-1）2+2（x-1）+1=x 2， 令f （x ）=x-，得：x 2-x+=0，∴x 1+x 2=1； x ∈[1，2）时，f （x ）=（x-1）2+1， 令f （x ）=x-，得：x 3+x 4=3， x ∈[3，4）时，f （x ）=（x-2）2+2， 令f （x ）=x-，得：x 5+x 6=5， …，x ∈[n ，n+1）时，f （x ）=（x-n ）2+n ， 令f （x ）=x-，得：x 2n+1+x 2n+2=2n+1， x ∈[99，100]时，f （x ）=（x-99）2+99， 令f （x ）=x-，得：x 199+x 200=199， ∴1+3+5+…+199=10000， 故答案为：10000．根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础题． 15.【答案】解：（1）由正弦定理得sin B cos C +sin C cos B =2sin A cosA ，即sin （B +C ）=2sin A cosA ， 则sin A =2sin A cosA ， 在三角形中，sin A ≠0， ∴cos A =12， 即A =π3；（2）若AB⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3， 则AB •AC cosA=12AB •AC =√3， 即AB •AC =2√3，则△ABC 的面积S =12AB •AC sinA=12×2√3×√32=32．【解析】（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，即可求角A 的大小；（2）若•=，根据向量的数量积，求出AB•AC 的大小即可，求△ABC 的面积本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形面积的计算，利用向量数量积的公式是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）∵函数f （x ）有最大值178，所以a ≥0，不满足题意；∴{a ＜0−4a 2−14a=178， ∴8a 2+17a +2=0，∴a =-2或a =-18．（2）f （x ）=ax 2+x -a ＞1，即ax 2+x -（a +1）＞0，即 （x -1）（ax +a +1）＞0 a =0时，解集为（1，+∞）a ＞0时，解集为（-∞，-1−1a ）∪（1，+∞）．【解析】（1）函数f （x ）有最大值，则，解之，即可求实数a 的值；（2）f （x ）=ax 2+x-a ＞1，即ax 2+x-（a+1）＞0，即 （x-1）（ax+a+1）＞0，再分类讨论，确定不等式的解集．本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系． 17.【答案】证明：（1）：连接BC 1，设BC 1∩B 1C =F ，连接OF ，…2分 因为O ，F 分别是B 1D 与B 1C 的中点，所以OF ∥DC ，且OF =12DC ， 又E 为AB 中点，所以EB ∥DC ，且d 1=1， 从而d 2=d 3=32，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以OE ∥BF ，…6分又OE ⊄面BCC 1B 1，BF ⊂面BCC 1B 1， 所以OE ∥面BCC 1B 1．…8分（2）因为DC ⊥面BCC 1B 1，BC 1⊂面BCC 1B 1， 所以BC 1⊥DC ，…10分又BC 1⊥B 1C ，且DC ，B 1C ⊂面B 1DC ，DC ∩B 1C =C ， 所以BC 1⊥面B 1DC ，…12分而BC 1∥OE ，所以OE ⊥面B 1DC ，又OE ⊂面B 1DE ， 所以面B 1DC ⊥面B 1DE ．…14分 【解析】（1）：连接BC 1，设BC 1∩B 1C=F ，连接OF ，可证四边形OEBF 是平行四边形，又OE ⊄面BCC 1B 1，BF ⊂面BCC 1B 1，可证OE ∥面BCC 1B 1．（2）先证明BC 1⊥DC ，再证BC 1⊥面B 1DC ，而BC 1∥OE ，OE ⊥面B 1DC ，又OE ⊂面B 1DE ，从而可证面B 1DC ⊥面B 1DE ．本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．18.【答案】解：（1）由题意，当药剂质量为m =4，所以y =4f （x ）={x 24+8(0＜x ≤4)2x+28x−1(x ＞4)，当0＜x ≤4时x 24+8≥4，显然符合题意．当x ＞4时2x+28x−1≥4，解得4＜x ≤16，综上0＜x ≤16．所以自来水达到有效净化一共可持续16天．（2）由y =m •f （x ）={mx 216+2m(0＜x ≤4)m(x+14)2x−2(x ＞4)，得在区间（0，4]上单调递增，即2m ＜y ≤3m ； 在区间（4，7]上单调递减，即7m 4≤y ＜3m ，综上7m 4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m 4≥4且3m ≤10即可，即167≤m ≤103．所以应该投放的药剂质量m 的最小值为167． 【解析】（1）由题意，写出y=4f （x ）=，再对每一段考虑大于等于4，解出x 的范围，求并集即可； （2）由y=m•f （x ）=，确定各段的单调性，求出值域，再求并集，为使4≤y≤10恒成立，则4≤y min ，且10≥y max 即可．本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．19.【答案】解：（1）若f k （x ）是偶函数，则f k （-x ）=f k （x ），即2-x +（k -1）•2x =2x +（k -1）•2-x ，即2-x -2x =（k -1）•2-x -（k -1）•2x =（k -1）（2-x -2x ）， 则k -1=1，即k =2；（2）f 0（x ）=2x -2-x ，f 1（x ）=2x ，则不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4等价为2x -2-x +m 2x ≤4， ∵A ∩[1，2]≠∅，∴不等式在[1，2]内有解， 即m 2x ≤4-2x +2-x ， 则m ≤4−2x +2−x2x=4•2-x +（2-x ）2-1，设t =2-x ，∵1≤x ≤2，∴14≤t ≤12， 设4•2-x +（2-x ）2-1=t 2+4t -1， 则y =t 2+4t -1=（t +2）2-5， ∵14≤t ≤12，∴当t =12时，函数取得最大值y =14+2-1=54，要使不等式在[1，2]内有解，则m ≤54，即实数m 的取值范围是(−∞，54]； （3）f 0（x ）=2x -2-x ，f 2（x ）=2x +2-x ，则f 2（2x ）=22x +2-2x =（2x -2-x ）2+2， 则g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4， 设t =2x -2-x ，当x ≥1时，函数t =2x -2-x ，为增函数，则t ≥2-12=32，若g （x ）在x ∈[1，+∞）有零点，即g （x ）=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4=λt -t 2-4=0， 在t ≥32上有解， 即λt =t 2+4，即λ=t +4t ，∵t +4t ≥2√t ⋅4t=4，当且仅当t =4t ，即t =2时取等号，∴λ≥4，即λ的取值范围是[4，+∞）． 【解析】（1）根据函数是偶函数，建立方程进行求解即可．（2）根据A∩[1，2]≠∅，等价为不等式在[1，2]内有解，利用参数分离法进行转化求解即可． （3）求出g （x ）的解析式，根据函数存在零点转化为方程有根，利用参数分离法进行求解即可． 本题主要考查函数与方程的综合应用，求出函数的解析式，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．20.【答案】解：（1）证明：f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2，则由定义得{1=2x +2x=x 2+2x−2，得方程无解，则f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x -2不存在“S 点”；（2）f ′（x ）=2ax ，g ′（x ）=1x ，x ＞0， 由f ′（x ）=g ′（x ）得1x =2ax ，得x =√12a，f （√12a）=-12=g （√12a）=-12ln a 2，得a =e2；（3）f ′（x ）=-2x ，g ′（x ）=be x (x−1)x 2，（x ≠0），由f ′（x 0）=g ′（x 0），假设b ＞0，得b e x 0=-2x 03x 0−1＞0，得0＜x 0＜1，由f （x 0）=g （x 0），得-x 02+a =be x 0x 0=-2x 02x 0−1，得a =x 02-2x 02x0−1，令h （x ）=x 2-2x 2x−1-a =−x 3+3x 2+ax−a1−x，（a ＞0，0＜x ＜1），设m （x ）=-x 3+3x 2+ax -a ，（a ＞0，0＜x ＜1），则m （0）=-a ＜0，m （1）=2＞0，得m （0）m （1）＜0， 又m （x ）的图象在（0，1）上不间断， 则m （x ）在（0，1）上有零点， 则h （x ）在（0，1）上有零点，则存在b ＞0，使f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S ”点． 【解析】（1）根据“S 点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可； （2）根据“S 点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．。