2018北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题理科
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (4)
[考案4]第四章 综合过关规范限时检测(时间：45分钟 满分100分)一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( A ) A.－2 B.－1 C.1D.2【试题解答】 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.2.(2020·武汉市调研考试)已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( D ) A.1－i B.1＋i C.43－i D.43＋i 【试题解答】 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i.故选D.3.(2020·江南十校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( D ) A.BD →＝12AC →－AB →B.BD →＝AC →－12AB →C.BD →＝32AC →－AB →D.BD →＝AC →－32AB →【试题解答】 BD →＝AD →－AB →＝AC →＋CD →－AB →＝AC →－12AB →－AB →＝AC →－32AB →.故选D.4.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos m ，n ＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( B )A.4B.－4C.94D.－94【试题解答】 由4|m |＝3|n |，可设|m |＝3k ，|n |＝4k (k >0)，又n ⊥(t m ＋n )，所以n ·(t m ＋n )＝n ·t m ＋n ·n ＝t |m ||n |·cos m ，n ＋|n |2＝t ×3k ×4k ×13＋(4k )2＝4tk 2＋16k 2＝0，所以t ＝－4.5.(2020·江西省九江市期末)在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，点P 满足|CP →|＝1，记a ＝AB →·AP →，b ＝AC →·AP →，c ＝AD →·AP →，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c ＜a【试题解答】 以C 为圆心，以CD ，CB 所在直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则A (－4，－2)，B (0，－2)，D (－4,0)，设P (cos α，sin α)，则a ＝(4,0)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋16， b ＝(4,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋2sin α＋20， c ＝(0,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝2sin α＋4， ∵b －c ＝2sin α＋4>0，∴b >a ，∵a －c ＝4cos α－2sin α＋12＝25cos(α＋φ)＋12>0， ∴a >c ，∴b >a >c .故选C.6.(2020·四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A.外心B.内心C.重心D.垂心【试题解答】 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点， 则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0. 因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →， 所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →， 所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ，同理可得BC →·PE →＝0， 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点， 所以P 是△ABC 的外心.故选A.7.对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( D )A.－36－12i B.－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i【试题解答】 解法一：由(z －i)(32－12i)＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i. 解法二：(z －i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i.故选D. 二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)8.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( AB ) A.－2 B. 2 C.0D.2【试题解答】 由a ∥b 知1×2－m 2＝0，所以m ＝±2.故选A 、B.9.(2020·山东部分重点中学新高三起点考试)已知复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值可以是( CD )A.－2B.－1C.1D.2【试题解答】 复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)＝(2＋i)(a －2i)＝2a ＋2＋(a －4)i ，其在复平面内对应的点(2a ＋2，a －4)在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4＜0，解得－1＜a ＜4，则实数a 的取值范围是(－1,4).故选C 、D.10.设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( CD ) A.若k ＜－2时，则a 与b 夹角为钝角 B.|a |的最小值为2C.与b 共线的单位向量只有一个为(22，－22) D.若|a |＝2|b |，则k ＝±2 2【试题解答】 当k ＜－2时，a ·b ＝k －2＜0，且a 与b 不共线，故A 正确.|a |＝k 2＋4≥2，故B 正确.与b 共线的单位向量有两个分别为(22，－22)和(－22，22)，故C 错.对于D ，当|a |＝2|b |时，k 2＋4＝22，解得k ＝±2，故D 错，因此选C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上) 11.(2020·天津二十四中月考)已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为 13 .【试题解答】 ∵p ∥q ，∴x ＝－4，∴q ＝(－4,6)， ∴p ＋q ＝(－2,3)，∴|p ＋q |＝13.12.(2020·河南郑州一中摸底)复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，i 为虚数单位，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为__6__.【试题解答】 由题意设z 1z 2＝a (a ∈R )，则3－b i 1－2i＝a ，即3－b i ＝a －2a i ，解得a ＝3，b ＝6.13.(2020·陕西西安二中测试)已知向量a 在b 方向上的投影为－1，向量b 在a 方向上的投影为－12，且|b |＝1，则|a －b |＝7 .【试题解答】 设向量a 和b 所成的角为θ，由题意得|a |cos θ＝－1，|b |cos θ＝－12.∵|b |＝1，∴cos θ＝－12，|a |＝2，∴|a －b |2＝7，∴|a －b |＝7.14.(2020·重庆一中月考)设非零向量a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝0，且|b |＝|a |，向量a ，b 的夹角为135°，则向量a ，c 的夹角为 90° .【试题解答】 通解：∵a ＋2b ＋c ＝0，∴a ＋2b ＝－c ，∴a 2＋2b ·a ＝－a ·c .∵|a |＝|b |且a ，b 的夹角为135°，∴a ·b ＝－22|a |2，∴a ·c ＝0，∴a ，c 的夹角为90°. 优解一：如图所示，建立平面直角坐标系，设|a |＝|b |＝2，则a ＝(2,0)，b ＝(－2，2)，∵a ＋2b ＋c ＝0，∴c ＝(0，－2)，∴a ·c ＝0，∴a ，c 的夹角为90°.优解二：如图所示，∵|a |＝|b |且a ，b 的夹角为135°，∴(a ＋2b )⊥a ，又a ＋2b ＝－c ，∴a ，c 的夹角为90°.三、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)(2020·湖南怀化重点中学第三次联考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t ∈R ).(1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，是否存在实数t ，使得向量a －b 与向量m 的夹角为π4？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【试题解答】 (1)当α＝π4时，b ＝(22，22)，a ·b ＝(1,2)·(22，22)＝322.所以|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， 所以当t ＝－322时，|m |取最小值.(2)假设存在满足条件的实数t ，则由条件得 cos π4＝(a －b )·(a ＋t b )|a －b ||a ＋t b |.因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，所以(a －b )·(a ＋t b )＝a 2＋(t －1)a ·b －t b 2＝5－t ， |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6， |a ＋t b |＝(a ＋t b )2＝a 2＋2t a ·b ＋t 2b 2＝5＋t 2， 所以5－t6·5＋t 2＝22，即t 2＋5t －5＝0，且t ＜5， 解得t ＝－5±352.所以存在t ＝－5±352满足题意.16.(本小题满分15分)已知平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A (sin x,1)，B (cos x,0)，C (－sin x,2)，点P 满足AB →＝BP →.(1)求函数f (x )＝BP →·CA →的对称轴方程；(2)若OP →∥OC →，求以线段OA ，OB 为邻边的平行四边形的对角线长. 【试题解答】 (1)∵BP →＝AB →＝(cos x －sin x ，－1)， CA →＝(2sin x ，－1)， f (x )＝2sin x (cos x －sin x )＋1 ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π4).令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，∴函数f (x )＝BP →·CA →的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)设点P 的坐标为(x P ，y P )，则BP →＝(x P －cos x ，y P )， ∵AB →＝BP →，∴cos x －sin x ＝x P －cos x ，y P ＝－1， ∴x P ＝2cos x －sin x ，y P ＝－1， ∴点P 的坐标为(2cos x －sin x ，－1). ∵OC →＝(－sin x,2)且OP →∥OC →，∴(－1)×(－sin x )＝2×(2cos x －sin x )，∴sin x cos x ＝43， ∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴cos 2x ＝925， ∴|OA →＋OB →|＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝2sin x cos x ＋2 ＝83cos 2x ＋2＝745，∴|OA →－OB →|＝(sin x －cos x )2＋1 ＝2－2sin x cos x ＝2－83cos 2x ＝265， 故以OA →，OB →为邻边的平行四边形的对角线长分别为745，265.。
北京市朝阳区2011高三一模数学理科
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（理工类）2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合2{|, }M y y x x ==∈R ，{|2, }N y y x x ==+∈R ，则M N I 等于（A ）[)0,+∞（B ）(,)-∞+∞ （C ）∅ （D ）{(2, 4)，(1, 1)-}2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4 3．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（A ）22(2)4x y -+=（B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-=（D ）22(1)(1)4x y -+-= 4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（A ）511（B ） 1023 （C ）1533 （D ）30695．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于（A（B（C（D7．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则BDF ∠的余弦值是侧视正视俯视xy OCBAFD（A）7 （B）7 （C ）14 （D）148．定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d === （C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d === 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 9．复数13i z =+，21i z =-，则12z z 等于 .10．在二项式62)的展开式中，第四项的系数是 .11．如右图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且B 4A AF = . 若AD xAF yAE =+，则实数x = ，实数y = .12．执行右图所示的程序框图，若输入 5.2x =-，则输出y 的值为 ．13．如下图，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于点E．已知BC CD ==2AE EC =，30CBD ∠=，A BC DE · · F则CAB ∠= ，AC 的长是 ．14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i - 中的逆序数为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题满分13分）已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围. 19．（本小题满分14分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 20．（本小题满分14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,,m k n n = ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．（Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ． （Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题理科2011.4 参考答案一、选择题:三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. …………………6分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos 4C =，cos 8A =. 所以sin sin()B AC =+sin cos cos sin A C A C =+8484=+8=sin aA=，所以a =…………………………13分16．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD .而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==，所以2AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =. 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又12BC AD =，所以//BC EF ，且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF .因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD . ……………8分（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥. 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角.设2AD =，则1PA AB CG DG ====, DP =. 在PAD ∆中，GH DG PA DP =，所以GH =. 所以tan CG GHC GH ∠==，cos 6GHC ∠=. 即二面角A PD C --………………………………13分解法二：因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以 PA ⊥底面ABCD .又因为90BAD ∠=︒，所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP = ，(1,1,0)AC = ，(1,1,0)CD =-,所以 0AP CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .[来源:学科网]又因为AP AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2BE =- .设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为(1, 1, 0)CD =- ，(0, 2,1)PD =-，所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 取1x =，则(1, 1, 2)=n .所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02BE ⋅=⋅-= n ， 所以BE ⊥ n .因为BE ⊄平面PCD ，所以BE 平面PCD . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos 6AB ABθ⋅===n n . 即二面角A PD C --的余弦值为6………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X ~B (6，23). 6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X所以(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729=. 或因为X ~B (6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ……………5分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81………………………………10分（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25. 显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………13分18．（本小题满分13分）解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x -'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减.所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)a a a a+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x =++--，则222()x x g x x+-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤. 所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．……6分 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．[来源:学科网]由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………10分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切． 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知1(1)mn m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， (1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--．又因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==- . 故21321n n d d d d d d --=-==- ，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列． 所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分 （Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d ．按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ，所以前2m 个奇数的和为224()m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m c m m d m m =-⋅∈N ． 所以 234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ . 23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ . 故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--. 所以 1(23)26n n S n +=-+． …………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N .[来源:Z#xx#] 故不等式1(6)50n n S b -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立． 所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ． …………………………14分。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (8)
[考案8]第八章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2019·吉林长春实验中学期末)设△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为( B )A.y ＝2x ＋5B.y ＝2x －5C.y ＝3x ＋5D.y ＝12x ＋52【试题解答】 A 关于y ＝x 的对称点为A 1(1，－3)，A 关于x ＝0的对称点为A 2(3,1)，又A 1、A 2都在BC 上，∴k BC ＝2.∴BC 的方程为y ＋3＝2(x －1)，即y ＝2x －5.2.(2019·安徽模拟)抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线y 2－x 23＝1的渐近线的距离为( B )A.12 B.32C.1D. 3【试题解答】 抛物线y ＝14x 2的焦点为(0,1)，双曲线y 2－x 23＝1的渐近线方程为x ±3y ＝0，则焦点到双曲线渐近线的距离为|0±3|1＋3＝32，故选B. 3.(2020·四川攀枝花统考)直线l 是圆x 2＋y 2＝4在(－1，3)处的切线，点P 是圆x 2－4x ＋y 2＋3＝0上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于( D )A.1B. 2C.3D.2【试题解答】 圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2，故选D.4.(2020·河南新乡模拟)P 为椭圆x 2100＋y 291＝1上的一个动点，M ，N 分别为圆C ：(x －3)2＋y 2＝1与圆D ：(x ＋3)2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)上的动点，若|PM |＋|PN |的最小值为17，则r ＝( B )A.1B.2C.3D.4【试题解答】 因为C (3,0)，D (－3,0)恰好为椭圆的两个焦点，所以|PM |＋|PN |≥|PC |＋|PD |－1－r ＝2a －1－r .因为a 2＝100，所以a ＝10，所以20－1－r ＝17，则r ＝2.故选B.5.(2020·陕西百校联盟联考)已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，且MA →＝AN →，若|OA |＝|AF 2|，则直线l 的斜率为( B )A.±1B.±12C.±13D.±14【试题解答】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 218＋y 212＝1，x 228＋y222＝1两式相减可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2＝0，则k OA ·k MN ＝－14；因为|OA |＝|AF 2|，故k OA ＝－k MN ，解得是k MN ＝±12，故直线l 的斜率为±12.6.(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( D )A.2B. 3C.2D. 5【试题解答】 抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1， 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则有A (－1，b a )，B (－1，－ba )，∴|AB |＝2b a ，2ba＝4，b ＝2a ， ∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5.故选D.7.(2019·湖北省武汉市调研)已知A ，B 为抛物线y 2＝4x 上两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则|AB |的最小值为( C )A.42B.2 2C.8D.8 2【试题解答】 设OA 方程为y ＝kx (k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y 2＝4x ，得A (4k 2，4k )，用1－k 代换k 得B (4k 2，－4k )，∴|AB |＝4(k 2－1k 2)2＋(k ＋1k)2＝4(k 2＋1k 2＋12)2－94≥8.当且仅当k ＝1时取等号，故选C.秒杀法：由图形对称性可知|AB |最小时Δ方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y 2＝4x ，得A (4,4)，故此时|AB |＝8.8.(2019·高考北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( C ) A.① B.② C.①②D.①②③【试题解答】 从结论“不超过”“小于”入手，利用基本不等式进行放缩，再利用图形估算面积. ∵x 2＋y 2＝1＋|x |y ≤1＋|x ||y |≤1＋x 2＋y 22， ∴x 2＋y 2≤2.①x 可能取得的整数值为±1,0，代入曲线C 的方程得整点坐标为(1,1)，(1,0)，(－1,1)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，故①正确；②设曲线C 上任意一点到原点的距离为d ， 则d 2＝x 2＋y 2≤2， ∴d ≤2，故②正确；③由图知，图形在第一象限的面积S 1>1，图形在第四象限的面积S 4>12，由对称性得，“心形”区域面积S >(1＋12)×2＝3，故③错误，综上可知选C.二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的是( ABC )A.离心率为54B.双曲线过点(5，94)C.渐近线方程为3x ±4y ＝0D.实轴长为4【试题解答】 ∵c ＝5，由e ＝c a ＝54知a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9，A 正确；∵双曲线过点P (5，94)，∴2a＝|PF 1|－|PF 2|＝414－94＝8，∴a ＝4，B 正确；由渐近线方程为3x ±4y ＝0知b a ＝34，又c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a ＝4，b ＝3，C 正确；若2a ＝4，则a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝21，D 错，故选ABC.10.已知△ABC 为等腰直角三角形，若圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，该圆锥曲线E 的离心率可以是( ABD )A.2－1B.22C.2D.2＋1【试题解答】 因为△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆，当C ＝π2时，离心e ＝2c 2a ＝AB CA ＋CB ＝22，当C ＝π4时，离心率e＝AB CA ＋CB ＝12＋1＝2－1.(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有C ＝π4，此时，离心率e ＝2c 2a ＝AB |CA －CB |＝12－1＝2＋1，故答案为ABD.11.(2020·山东青岛一中期末)如图，A (2,0)，B (1,1)，C (－1,1)，D (－2,0)，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆经，三段弧构成曲线W ，则下述正确的是( BCD )A.曲线W 与x 轴围成的面积等于2πB.曲线W 上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C.CB 所在圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1D.CB 与BA 的公切线方程为x ＋y ＝2＋1【试题解答】 作CM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，曲线W 与x 轴围成的面积为2＋π，A 错；W 上的整点D (－2,0)，C (－1,1)，H (0,2)，B (1,1)，A (2,0)，共5个，B 正确；显然C 正确；由图易知公切线l 平行直线MQ ：y ＝－x ＋1，且两直线间距离为1， 设l ：y ＝－x ＋b (b >0)，则|b －1|2＝－1，∴b ＝2＋1，∴l ：y ＝－x ＋2＋1，D 正确；故选BCD.12.(2020·山东日照联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ACD )A.以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF →＝2FB →时，|AB |＝92D.|AB |的最小值为4【试题解答】 对于选项A ，点M 到准线x ＝－1的距离为12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，于是以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－1一定相切，进而与直线x ＝－32一定相离；对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12|BM |不一定相等，因此命题错误；对于选项C ，D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为x ＝my ＋1，联立直线与抛物线方程可得，y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝1，若设A (4a 2,4a )，则B (14a 2，－1a )，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4a 2＋14a 2＋2，|AB |最小值为4；当AF →＝2FB →可得y 1＝－2y 2，即4a ＝－2(－1a )，所以a 2＝12，|AB |＝92，故答案为ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·3月份北京市高考适应性考试)抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为__1__. 【试题解答】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋y 2＝1y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0. ∴抛物线y 2＝4x 上到其焦点距离为1的点只有1个.14.(2019·江西师大附中模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为62. 【试题解答】 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，由题意可知圆心C (3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为3，即3b a 2＋b2＝3b c ＝3，∴b 2c 2＝1－a 2c 2＝13，∴e ＝c a ＝62.15.(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线，点P 在准线l 上，若PN →＝NM →，则p |MF |＝ 23.【试题解答】 分别过点M ，N 作准线的垂线，垂足分别为M 1，N 1，则|MM 1|＝|MF |·|NN 1|＝|NF |，∴|PN ||PM |＝|NN 1||MM 1|＝|NF ||MF |＝12设|NF |＝m ，则|MF |＝2m ，从而|PN |＝3m ， ∴m p ＝3m 4m ＝34，则m ＝34p ， ∴p |MF |＝p 2m ＝23. 16.(2020·山东日照联考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 3－1 ；双曲线N 的离心率为__2__.【试题解答】 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ＋3c ，再根据椭圆定义得c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为c a ＝21＋3＝3－1.双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n 2m 2＝tan 2π3＝3，∴c 2＝m 2＋n 2m 2＝m 2＋3m 2m 2＝4，∴e ＝2.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) (2020·3月份北京市高考适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0,1)，B (0，－1)，焦距为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上.【试题解答】 (1)由题意知c ＝3，b ＝1，且焦点在x 轴上， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4所以椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1＜m ＜1，则x 20＝4(1－m 2) ①因为点D 为直线AN 上一点，所以AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， 所以OD →＝λAN →＋OA →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， 所以K BD ·K BM ＝λ(m －1)＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14，整理得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入整理得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0， ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0，即y D ＝0， 所以点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2019·天津高考卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率.【试题解答】 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4， c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2， 可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0). 设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)， 则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2， 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k .在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·(－k2)＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.19.(本小题满分12分)(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y －2＝0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .【试题解答】 (1)依题意可设圆C 方程为x 2＋y 2＝b 2， ∵圆C 与直线x －y ＋2＝0相切， ∴b ＝|2|12＋12＝1，∴a 2－c 2＝1， 又c a ＝22，解得a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意可知直线l 斜率存在， 设l 方程为y ＝k (x －2)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∵l 与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k 2－1＜0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵F (1,0)，∴k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1－2)x 1－1＋k (x 2－2)x 2－1＝2k －k (1x 1－1＋1x 2－1) ＝2k －k (x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1)＝2k －k 8k 21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k 2＋1＝2k －k 4k 2－22k 2－1＝0，即∠PFM ＝∠PFB .20.(本小题满分12分)(2019·大连模拟)已知直线y ＝2x 与抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)交于O 和E 两点，且|OE |＝ 5.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点Q (2,0)的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，P 为直线x ＝－2上一点，P A ，PB 分别与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积x M ·x N 是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【试题解答】 (1)由y 2＝2px 与y ＝2x ，解得交点O (0,0)，E (p2，p )，∴|OE |＝(p2)2＋p 2＝5，得p ＝2，∴抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋2，代入y 2＝4x 中， 则y 2－4ty －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，①y 1·y 2＝－8.②设P (－2，y 0)，则直线P A 的方程为y －y 0＝y 1－y 0x 1＋2(x ＋2)，令y ＝0，得(y 0－y 1)x M ＝y 0x 1＋2y 1，③ 同理可得(y 0－y 2)x N ＝y 0x 2＋2y 2，④由③×④得(y 0－y 1)(y 0－y 2)x M ·x N ＝(y 0x 1＋2y 1)(y 0x 2＋2y 2)，即[y 20－(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2]x M ·x N ＝y 20x 1x 2＋2y 0(y 1x 2＋y 2x 1)＋4y 1y 2＝y 20×y 21y 224×4＋2y 0(y 1×y 224＋y 2×y 214)＋4y 1y 2＝y 20×116y 21y 22＋y 0y 1y 2×y 1＋y 22＋4y 1y 2， 由①②可得(y 20－4ty 0－8)x M ·x N ＝4(y 20－4ty 0－8)，当点P 不在直线AB 上时，y 20－4ty 0－8≠0，∴x M ·x N ＝4； 当点P 在直线AB 上时，x M ＝x N ＝x Q ＝2，∴x M ·x N ＝4.综上，x M ·x N 为定值，且定值为4.21.(2020·湖北宜昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，P (1，22)为椭圆上一点，且|PF 1|＝322. (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l ：x ＝－2，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当∠MAN 最小时，求直线AB 的方程.【试题解答】 (1)设F 1(－c,0)(c >0)， 则|PF 1|＝(1＋c )2＋12＝322⇒c ＝1，∴|PF 2|＝22， 则由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， ∴a ＝2，b ＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：x ＝ty ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 22＋y 2＝1得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0，∵直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴Δ＝4t 2＋4(t 2＋2)＝8(t 2＋1)>0，由韦达定理y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2，则y N ＝－tt 2＋2，∴x N ＝ty N ＋1＝－t 2t 2＋2＋1＝2t 2＋2，∵MN ⊥AB ，∴k MN ＝－t ， ∴|MN |＝1＋t 2·|－2－2t 2＋2|＝1＋t 2·2t 2＋6t 2＋2又|AN |＝12|AB |＝121＋t 2·|y 1－y 2|＝1＋t 2·21＋t 2t 2＋2∴tan ∠MAN ＝|MN ||AN |＝2(t 2＋3)t 2＋1＝2(t 2＋1＋2t 2＋1)≥2·22＝4， 当且仅当t 2＋1＝2t 2＋1即t ＝±1时取等号. 此时直线AB 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.22.(本小题满分12分)(2020·宁夏银川一中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆经过点P (6，－1)，且△PF 1F 2的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且|CD |＝λ|AB |(λ∈R )，当λ取得最小值时，求直线l 的方程.【试题解答】 (1)由△PF 1F 2的面积可得12·2c ·1＝2，即c ＝2，∴a 2－b 2＝4.① 又椭圆C 过点P (6，－1)， ∴6a 2＋1b2＝1.② 由①②解得a ＝22，b ＝2， 由椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 则原点到直线l 的距离d ＝|m |2， 由弦长公式可得|AB |＝22－m 22＝8－2m 2，将y ＝x ＋m 代入椭圆方程x 28＋y 24＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，由判别式Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0， 解得－23＜m ＜23，由直线和圆相交的条件可得d ＜r ， 即|m |2＜2，也即－2＜m ＜2， 综上可得m 的取值范围是(－2,2)， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－83， 由弦长公式，得|CD |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·16m 29－8m 2－323＝4312－m 2. 由|CD |＝λ|AB |，得λ＝|CD ||AB |＝4312－m 28－2m 2＝2231＋84－m 2. ∵－2＜m ＜2，∴0＜4－m 2≤4， 则当m ＝0时，λ取得最小值263， 此时直线l 的方程为y ＝x .。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习理综
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习理科综合试卷2014.3第一部分（选择题共120分）1．下列有关真核细胞的叙述中，正确的是A．核糖体是蛋白质的“装配机器”，由蛋白质和mRNA组成B．醋酸洋红进入细胞使染色体着色，体现了膜的选择透过性C．衰老细胞内染色质的收缩会影响遗传信息的表达D．原癌基因和抑癌基因的表达会导致正常细胞发生癌变2．在细胞和生物体的生命活动中，不．可能发生的是A．DNA→RNA→氨基酸B．内质网膜→囊泡膜→高尔基体膜C．性激素→下丘脑，性激素→垂体D．生长素→果实发育，生长素→发芽3．用3H标记蚕豆根尖分生区细胞的DNA分子双链，再将这些细胞转入含秋水仙素但不含3H的普通培养基中培养。
若秋水仙素对细胞连续发挥作用，则相关叙述不．正确的是A．秋水仙素可抑制纺锤体的形成，但不影响着丝点的正常分裂B．通过对细胞中不含单体时的染色体计数，可推测DNA复制的次数C．通过检测DNA链上3H标记出现的情况，可推测DNA的复制方式D．细胞中DNA第二次复制完成时，每条染色体的单体均带有3H标记4．下列关于生产措施或生活现象的分析，错误．．的是A．零度以上低温贮存果蔬，可降低呼吸酶活性，减少有机物的分解B．提倡慢跑，可防止因肌细胞无氧呼吸积累乳酸而导致的酸胀乏力C．若H7N9禽流感病毒侵入人体，机体的T细胞会合成并分泌淋巴因子D．由于亚硝酸盐含量先减少后增加，故应在其含量增加前尽快食用泡菜5．黄花刺茄是具有很强的耐贫瘠和耐干旱特性的草本植物，原产北美洲，我国于1981年首次发现该物种入侵，目前已在多省区有分布，对本地物种造成危害。
以下叙述正确的是A．黄花刺茄可以增加入侵地的物种多样性，提高生态系统的生态功能B．荒地、路边、弃耕地、过度放牧的草地，黄花刺茄可取得优势地位C．控制黄花刺茄的方法主要有化学防治和人为铲除，化学防治最好D．导致黄花刺茄在入侵地呈J型疯长的主要原因是其基因发生了突变6. 当身处贴有下列标志的环境时，行为不正确．．．的是7. 已知：下列说法不正确．．．的是A. ①和②变化过程中都会放出热量B. 氯原子吸引电子的能力强于钠原子和氢原子C. ①和②中的氯原子均得到1个电子达到8电子稳定结构D. NaCl中含有离子键，HCl中含有共价键8. 综合下图判断，下列叙述不正确．．．的是A. Ⅰ、Ⅱ的反应原理均是Zn + Cu2+ = Zn2+ + CuB. Ⅰ、Ⅱ中均有电子转移，均是把化学能转化为电能利用C. 随着反应的进行，Ⅰ、Ⅱ中CuSO4溶液颜色均渐渐变浅D. 取a中溶液，加足量Ba(NO3)2溶液，过滤后向滤液中加AgNO3溶液，有沉淀产生9. 下列解释事实的方程式不准确．．．的是A. 氨水使湿润的红色石蕊试纸变蓝：NH3·H2O NH4+ + OH-B. 工业上用过量的NaOH溶液吸收SO2：SO2 + OH- == HSO3-C. 用烧碱溶液清洗铝表面的氧化膜：2OH- + Al2O3 = 2AlO2- + H2OD. 用石灰乳吸收泄漏的氯气：2Ca(OH)2 + 2Cl2== CaCl2 + Ca(ClO)2 + 2H2O10．下列实验事实不能用．．．平衡移动原理解释的是11. 右图为实验室制取乙炔并验证其性质的装置图。
2012北京高三数学一模理科试题及答案之朝阳篇
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A. 42i -+B. 42i -C. 24i -D. 24i + 2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32πD. 65π3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A. 16B. 24C. 32D. 48 6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是A.0B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14-7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一 年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△D M N 的面积的最大值是A. 1B. 2C. 22D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9. 已知双曲线的方程为2213xy -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线23sin ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段A B 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .2 113 3正视图 侧视图俯视图21 开始 输入kS =0，i =11+(1)S S i i =-i =i +1?i k <输出S 结束是否14.已知△A B C 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△A B C内，沿着△A B C 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△A B C 的一边相切，则点M 到△A B C 顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分） 已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若72()10f α=，求sin 2α的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a , b 的值；区间 [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 人数 50 a 350 300 b（II ）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的 分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABC D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，=2AB ，=3,=1EB EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：E M //平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ， 使得C P 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）85 80 90 10095 O 频率组距分数75 0.010.02 0.030.040.05 0.060.07CAF EBMD设函数2e(),1axf x a x R =∈+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线A N ，N P ，B N 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式. 20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k nT A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,n n 个．设1m m mn S a a a +=+++，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3一、选择题：题号（1）（2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 A CBBCDDB二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案2331323423(,1)4249三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π72()cos()410f αα=-=，所以272(cos sin )210αα+=，所以 7cos sin 5αα+=.平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925，所以 24sin 225α=. ……………6分（II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =22(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅-=221(cos sin )2x x -=1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C===，1110302405(1)13C C P X C===，23024029(2)52C P X C===，所以X 的分布列为X 012 P3525132952352930125213522E X =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为32. ……………13分 （17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接M N ,N F .在△D AB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2M N //AB,M N AB ，又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以M N //E F 且M N =E F .所以四边形M N FE 为平行四边形， 所以E M //F N .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故E M //平面ADF . …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(0,0,3),(0,1,3),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD = ， =(0,-1,3)AF . ……………2分设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得323x -y =0,-y +z =0.⎧⎪⎨⎪⎩ 令y =3，则(2,3,3)n =. ……………3分 又因为3(,0,-3)(2,3,3)=3+0-3=02EM n ⋅=⋅，所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分NCA FEBMD zCA F E BMD x y（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是(2,3,3)n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos <=2BD BD ,BD n n n⋅>=⋅，又二面角D -AF -B 为锐角， 故二面角D -AF -B 的大小为60︒. ……………10分（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得C P 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P （03t ≤≤），则=(3,-2,-),=(0,-1,3)PC AF t.所以2-3cos <22PC AF t PC ,AF PC AF t +13⋅>==⋅， 由题意得2-33222tt +13=，化简得4335-=t ， 解得35043t =-<.所以在线段EB 上不存在点P ，使得C P 与AF 所成的角为30︒.…………14分（18）（本小题满分13分） 解：因为2e(),1axf x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e()1xf x x =+,222e (21)()(1)xx x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e()(2)(1)(1)axaxax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分（1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分（2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>. 由()0f x '>得211ax a--<,或211a x a+->；由()0f x '<得221111aa x aa--+-<<.所以函数()f x 单调递增区间是211(,)aa---∞和211(,)a a+-+∞,单调递减区间221111(,)aaaa--+-. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>. 由()0f x '>得221111a ax a a+---<<；由()0f x '<得211a x a+-<,或211ax a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)aa+--∞和211(,)aa--+∞,单调递增区间221111(,)aaaa+---. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分 （19）（本小题满分14分） 解: （Ⅰ）依题意，2c =， 1b =，所以223a b c =+=.故椭圆C 的方程为2213xy +=. ……………4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得61,3x y ==±.不妨设6(1,)3A ，6(1,)3B -，因为13662233222k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k kk k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126) 2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()TA -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分 对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形． 假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++= 若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n ；若n a n =，则120n a a a ==== ，经过一次T 变换，有0,0,,0,n T−−→1,1,,1,0 由于3n ≥，可知1,1,,1,0 （至少3个1）不可能变为,0,,0n ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a T−−→121,,,,n a a a ''' ，1101,,,n b b b T−−→121,,,,n b b b ''' ，则0nn a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=- ，1211n b b b n -'''+++=- ． 因为110,,,n a a -'' T−−−−→有限次-1,0,,0n ， 110,,,n b b -'' T−−−−→有限次-1,0,,0n ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =- ． 再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a T−−→111,,,,0na a -'' ，01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -'' ，所以i i a b =，1,2,,i n = ，从而唯一性得证． ………9分 （Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0ia通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。
2018届北京市丰台区高三年级一模数学(理)试题(解析版)
2018届北京市丰台区高三年级一模数学（理）试题一、单选题1．已知全集U={x|x<5}，集合{}|20 A x x =-≤，则U C A = A. {}| 2 x x ≤ B. {}| 2 x x C. {}|2 5 x x D. {}|2 5 x x ≤【答案】C【解析】 由题意，集合{}{}|20 | 2 A x x x x =-≤=≤，所以U C A = {}|2 5 x x <<，故选C ．2．已知命题p ： ∃x <1， 21x ≤，则p ⌝为 A. ∀x ≥1, 21x B. ∃x <1, 21xC. ∀x <1, 21x D. ∃x ≥1, 21x【答案】C【解析】 根据全称命题与存在性命题之间的关系，可知命题2:1,1p x x ∃<≤的否定为21,1x x ∀，故选C ．3．设不等式组-20{+20 0x y x y x ≤-≥≥表示的平面区域为Ω.则A. 原点O 在Ω内B. Ω的面积是1C. Ω内的点到y 轴的距离有最大值D. 若点P(x 0,y 0) ∈Ω，则x 0+y 0≠0 【答案】A【解析】 由题意，画出不等式组坐标表示的平面区域， 如图所示，原点O 在Ω内是成立的；区域Ω的面积不确定，所以不成立， 区域Ω到y 轴的距离无最大值． 令z x y =+，即y x z =-+，当取原点()0,0O 时，目标函数z x y =+取得最小值，此时min 0z =，故选A ．4．执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是A. n≥5B. n≥6C. n≥7D. n≥8 【答案】C【解析】 执行如图所示的程序框图， 可得：第一循环1,22a n ==；第二循环1,3a n =-=；第三循环2,4a n ==； 第四循环1,52a n ==；第五循环1,6a n =-=；第六循环2,7a n ==， 此时输出2a =，所以判断框应填入7n ≥，故选C ．5．在平面直角坐标系xO y 中，曲线C 的参数方程为1{x cos y sin αα=+=（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 A. ρ=sin θ B. ρ=2sin θ C. ρ=cos θ D. ρ=2cos θ 【答案】D 【解析】 由1{x cos y sin αα=+=（α为参数）得曲线C 普通方程为()2211x y -+=，又由{x cos y sin ρθρθ==，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.23 B. 43 C. 2 D. 83【答案】A【解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．7．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为A. 4B. 8C. 12D. 24 【答案】B【解析】 由题意，现对两位男生全排列，共有222A =种不同的方式，其中两个男生构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，共有2224A ⨯=，所以满足条件的不同的排法种数共有248⨯=种，故选B ． 8．设函数()9=sin(4x+)0,416f x x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,若函数()()y f x a a R =+∈恰有三个零点x 1, x 2, x 3 (x 1 <x 2 <x 3)，则x 1 + x 2 + x 3的取值范围是A. 511,816ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 511,816ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 715,816ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 715,816ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 由90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则54,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 又由函数()y f x a =+恰有三个零点123,,x x x ，即()y f x =与y a =-的图象有三个交点， 其中2344344x x πππ+++=，可得2358x x π+=， 又14,442x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得1016x π≤<，所以123511816x x x ππ≤++<，即123511,816x x x ππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，故选A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质及函数与方程的应用，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，根据三角函数的基本形式即()sin y A wx ϕ=+，后利用三角函数的性质求解．二、填空题9．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是12,z z ，则21z z =_______.【答案】12i --【解析】 由题意，根据复数的表示可知12,2z i z i ==-，所以()()()212212i i z i i z i i i -⋅--===--⋅-． 10．已知数列{}n a 的前n 项和n S =2n +n ，则34a a +＝______.【答案】14 【解析】由题意可知，数列{}n a 满足()()221112n nna S S n n n nn-⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦， 所以34232414a a +=⨯+⨯=．11．己知抛物线M 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则M 的标准方程为______.【答案】28x y =-【解析】 由双曲线的方程2213y x -=，可知2c == ，所以其下焦点的坐标为()0,2F -，设抛物线的方程为22(0)x py p =->，则22p=，所以4p =， 所以抛物线的方程为28x y =-．点睛：本题考查了圆锥曲线的几何性质的应用及抛物线方程的求解，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质、抛物线的标准方程和焦点坐标的应用，其中熟记圆锥曲线的几何性质是解答的关键．12．在△ABC 中，a=2,c=4，且3sin A =2sin B,则cos C=______. 【答案】14-【解析】 由题意3sin 2sin A B =，根据正弦定理可知32a b =，又2a =，所以332b a ==， 在ABC ∆中，由余弦定理可得2222222341cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.13．函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.①当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围是______;②如果对任意[],x a b ∈ (b <0)，都有[]2,1y ∈-，那么b 的最大值是______. 【答案】 []1,2 2-【解析】 由图象可知，当0x =时，函数在[]1,1-上的最小值min 1y =， 当1x =±时，函数在[]1,1-上的最小值max 2y =， 所以当[]1,1x ∈-，函数()y f x =的值域为[]1,2；当[]0,3x ∈时，函数()()212f x x =--+，当[)3,x ∈+∞时，函数()5f x x =-， 当()1f x =时， 2x =或7x =， 又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意[],(0)x a b b ∈<，要使得[]2,1y ∈-，则a R ∈， 7b =-或2b =-， 则实数b 的最大值是2b =-．点睛：本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键:一是从已知函数图象过特殊点,列出关于参数的方程,从而求出参数的值;二是利用特殊点法来判断图象.本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象.总之,有关函数的图象判断题,利用“特殊点”与“函数的性质”,即可轻松破解.14．已知C 是平面ABD 上一点， AB AD ⊥， 1CB CD ==． ①若3AB AC =，则AB CD ⋅=____；②若AP AB AD =+，则AP 的最大值为____． 【答案】 34-2 【解析】 由题意，（1）中，因为3AB AC =，所以C 为线段AB 的三等分点， 因为1CB CD ==，所以31,22AB AC ==，如图所示， 则()3130cos 224AB CD AB AD AC AB AD AB AC π⋅=⋅-=⋅-⋅=-⨯=-，（2）中，因为AP AB AD =+， 所以222222AP AB AD AB AD AB AD AB AD BD BD =+=++⋅=+==，如图所示，当点C 是线段BD 的中点时，此时BD 取得最大值， 此时最大值为2BD BC CB =+=，所以AP 的最大值为2．点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．三、解答题15．己知函数()2sin =2cos 11cos x f x x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期； (Ⅱ)求f(x)的单调递减区间． 【答案】(1) π{|π,}2x x k k Z ≠+∈, πT =;(2) ()f x 的单调递减区间为ππ[π,π)82k k ++， π5π(π,π]28k k ++ ()k Z ∈．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据三角恒等变换的公式，化简()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得到函数的最小正周期；（Ⅱ）根据三角函数的图象与性质，即可得到函数的单调区间． 试题解析：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得， ππ2x k ≠+， ()k Z ∈， 所以()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k Z ≠+∈．因为()2sin 21cos 1cos x f x x x ⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭22sin cos 2cos 1x x x =+-sin2cos2x x =+ π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （Ⅱ）由 ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+， 可得 π5πππ88k x k +≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间为ππ[π,π)82k k ++， π5π(π,π]28k k ++ ()k Z ∈． 16．如图，在四棱锥P 一ABCD 中，平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,PB(Ⅰ)求证：BC⊥PB;(Ⅱ)求二面角P 一CD 一A 的余弦值；(Ⅲ)若点E 在棱PA 上，且BE//平面PCD ，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析;(2);(3) 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理，证得BC ⊥平面PAB ，进而证得所以BC ⊥PB ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -，得到向量,CD PC 的坐标，再得到平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，利用向量的夹角公式，即可得到二面角的余弦值；（Ⅲ）由点E 在棱PA ，所以A E A P λ=，得到所以,)AE λ=（，()BE λ=-，再根据BE 与平面PCD 的法向量的数量积等于零，即可求解λ的值． 试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD 所以BC ⊥平面PAB ． 因为PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥PB ．（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为2PA =， PB = 1AB =， 所以222PA AB PB =+，所以PB ⊥AB ． 所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以()1,0,0A -， ()0,0,0B ， ()0,2,0C ，()1,3,0D -， (P ，()1,1,0CD =-， (0,2,PC =．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =． 设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则0{m CD m PC ⋅=⋅=，即{2x y y ==，令2z =，则)2m =．设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,5n m n m n m α⋅====⋅， 即二面角P CD A --．（Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ，所以AE AP λ=， []0,1λ∈．因为=1AP （，所以)AE λ=（，()BE BA AE λ=+=-． 又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE m ⋅=)120λλ-+=，所以1=3λ．所以23BE ⎛=-⎝⎭，所以7BE BE == 17．某地区工会利用 “健步行APP ”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A 类会员，年龄大于40岁的会员为B 类会员．为了解会员的健步走情况，工会从,A B 两类会员中各随机抽取m 名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[)3,5， [)5,7， [)7,9， [)9,11， [)11,13， [)13,15，[)15,17， [)17,19， []19,21九组，将抽取的A 类会员的样本数据绘制成频率分布直方图， B 类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．（Ⅰ）求m 和a 的值；（Ⅱ）从该地区A 类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该地区A 类会员和B 类会员的平均积分分别为1X 和2X ，试比较1X 和2X 的大小（只需写出结论）．【答案】（Ⅰ）1000,400；（Ⅱ）分布列见解析，65；（Ⅲ）12X X <. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，根据上表的数据，即可求解m 和a 的值；（Ⅱ）由题意从该地区A 类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上的概率为25，根据二项分布求得各自的概率，列出分布列，即可求解数学期望； （Ⅲ）根据平均分的计算公式，即可作出比较． 试题解析： （Ⅰ）因为 100.01m=，所以 1000m =． 因为0.2nm=，所以 200n =，所以400a =． 所以 1000m =， 400a =．（Ⅱ）由频率分布直方图可得，从该地区A 类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为25．所以23,5X N ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()3033227055125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()21133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()12233236255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()0333328355125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以， X 的分布列为()26355E X =⨯=. （Ⅲ）12X X <．18．已知函数()()()=e ln 1xf x a x a R -+∈.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极值，求a 的取值范围．【答案】(1) ()e y a x =-;(2) ⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题意()e xaf x x='-，因为()1e f a =-， ()1e f a '=-，利用点斜式方程即可求解切线的方程；（Ⅱ）由()e x af x x='-，分0a ≤和0a >讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数a 的取值范围． 试题解析：函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()e xaf x x='-． （Ⅰ）因为()1e f a =-， ()1e f a '=-， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()e e 1y a a x --=--， 即()e y a x =-．（Ⅱ）()e xa f x x='-．（ⅰ）当0a ≤时，对于任意1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，都有()0f x '>， 所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，没有极值，不合题意． （ⅱ）当0a >时，令()e xa g x x =-，则()2e 0xa g x x=+>'． 所以()g x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极值，等价于()10,{ 10.2f f >⎛⎫< ⎪⎝⎭''所以e 0, 20.a a -><所以e 2a <<． 所以a的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭．19．已知点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>上， ()1,0F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ， E 关于原点O 对称，直线PD ， PE 分别交y 轴于M ， N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 【答案】（Ⅰ）22143x y +=．（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到1c =，利用定义得到2a =，即可求解椭圆的标准方程； （Ⅱ）设(),D mn ，(),E m n --，根据直线方程，求解,M N 的坐标，可得GM GN ⊥，利用 0GM GN ⋅=，求得t 的值，即可得到弦长为定值． 试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =．因为24a ==，所以2a =，b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）证明：由题意可知D ， E 两点与点P 不重合．因为D ， E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ， (),E m n --， ()1m ≠±． 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点， 所以GM GN ⊥．直线PD ： ()332121n y x m --=--． 当0x =时， 33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭． 直线PE ： ()332121n y x m +-=-+． 当0x =时， 33212n y m +=-++，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭． 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭， 32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭， 因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以()22249041n GM GN t m -⋅=+=-． 因为22143m n +=，即223412m n +=， 224933n m -=-， 所以2304t -=，所以t =所以32G ⎫⎪⎪⎝⎭，32H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以GH = 所以以MN 为直径的圆被直线32y =点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,a b c 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ， 2S ，…， n S 中奇数的个数为n b ．(Ⅰ)若n a = n ，请写出数列{}n b 的前5项；(Ⅱ)求证："1a 为奇数， i a (i = 2,3,4,...）为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若i i a b =，i=1, 2, 3,…，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 0n a =.【解析】试题分析：（Ⅰ）代入n 的值，即可求得1=1b ， 2=2b ， 3=2b ， 4=2b ， 5=3b ． （Ⅱ）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明．（Ⅲ）分当k a 为奇数和当k a 为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式． 试题解析：（Ⅰ）解： 1=1b ， 2=2b ， 3=2b ， 4=2b ， 5=3b ． （Ⅱ）证明：（充分性） 因为1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数，所以，对于任意*i N ∈， i S 都为奇数． 所以n b n =．所以数列{}n b 是单调递增数列． （不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时， 1S 为偶数， ()2,3,4,i S i =均为奇数，所以1n b n =-，数列{}n b 是单调递增数列． 所以“1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数”不是“数列{}n b 是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当k a 为奇数时，如果k S 为偶数，若1k a +为奇数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为奇数时， k S 不能为偶数． （2）当k a 为偶数时， 如果k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为偶数时， k S 不能为奇数． 综上可得k a 与k S 同奇偶． 所以n n S a -为偶数．因为11n n n S S a ++=-为偶数，所以n a 为偶数． 因为111a b S ==为偶数，且101b ≤≤，所以110b a ==． 因为22111a b b =≤+=，且20b ≥，所以220b a ==． 以此类推，可得0n a =．点睛：本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.。
2018年北京市高考数学试卷(理科)解析
2018年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A=｛x|｜x｜＜2}，B={﹣2，0，1，2｝，则A∩B=（）A．｛0，1｝ B．｛﹣1，0,1｝ C．{﹣2，0，1,2｝D．{﹣1,0,1，2｝【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．【解答】解：A={x|｜x｜＜2}={x|﹣2＜x＜2},B=｛﹣2，0，1,2｝，则A∩B={0，1},故选:A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2．(5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数==,共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．B．C．D．【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】解：执行循环前:k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1﹣=．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=,k=3，直接输出S=,故选：B．【点评】本题考查的知识要点:程序框图和循环结构的应用．4．（5分）“十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A． f B． f C． f D．f【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为:=．故选:D．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．5．（5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】画出三视图的直观图,判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD,AC=，CD=,PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形,分别为:△PAB,△PBC，△PAD．故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3｜=|3+|”是“⊥”的(）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．【解答】解：∵“｜﹣3｜=｜3+|"∴平方得|｜2+9|｜2﹣6•=9|｜2+||2+6•，即1+9﹣6•=9+1+6•,即12•=0，则•=0,即⊥，则“｜﹣3｜=|3+｜"是“⊥”的充要条件,故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．7．(5分)在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意d==，当sin（θ+α)=﹣1时，d max=1+≤3．由此能求出d的最大值．【解答】解：由题意d==，tanα==,∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．（5分）设集合A={（x，y）｜x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2｝，则(）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，(2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，(2，1）∈A D．当且仅当a≤时,（2,1）∉A【分析】利用a的取值，反例判断（2，1)∈A是否成立即可．【解答】解：当a=﹣1时,集合A=｛（x，y）｜x﹣y≥1,ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y)|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2｝,显然(2，1）不满足,﹣x+y＞4，x+y≤2,所以A，C不正确；当a=4,集合A=｛（x，y）｜x﹣y≥1，ax+y＞4,x﹣ay≤2}=｛（x,y）｜x﹣y≥1,4x+y ＞4，x﹣4y≤2｝，显然(2，1）在可行域内,满足不等式，所以B不正确;故选：D．【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）设｛a n｝是等差数列,且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n ﹣3．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{a n}的通项公式．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3,a2+a5=36,∴，解得a1=3，d=6,∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分)在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a= 1+．【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．【解答】解:圆ρ=2cosθ，转化成:ρ2=2ρcosθ,进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ(cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以:利用圆心到直线的距离等于半径．则:=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．故答案为:1+．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与圆相切的充要条件的应用．11．（5分）设函数f(x）=c os(ωx﹣）（ω＞0)，若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．【解答】解:函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0)，若f(x）≤f（）对任意的实数x都成立,可得:，k∈Z,解得ω=,k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用,考查转化思想以及计算能力．12．（5分）若x,y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2y﹣x，则y=x+z，平移y=x+z，由图象知当直线y=x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即A（1,2),此时z=2×2﹣1=3,故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．13．(5分）能说明“若f（x)＞f（0)对任意的x∈（0,2]都成立，则f（x）在[0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是f(x）=sinx．【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．【解答】解：例如f（x）=sinx,尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0,2]都成立，当x∈［0,）上为增函数，在(，2]为减函数，故答案为：f(x)=sinx．【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．14．（5分）已知椭圆M：+=1(a＞b＞0)，双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率;利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标（c，0）,正六边形的一个顶点(，）,可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈(0,1）,解得e=．同时,双曲线的渐近线的斜率为,即,可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力．三、解答题共6小题，共80分。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
2018年北京东城高三一模数学试题及答案word版
数学（文科）学校 _____________ 班级 _______________ 姓名 ______________ 考号 ___________本试卷共 5 页， 150 分。
考试时长120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项。
（ 1）若会集A{ x |3x1}，B{ x | x1或 x2} ，则AI B（ A）{ x | 3 x1}（ B）{ x | 3 x 2}（ C）{ x | 1 x 1}（ D）{ x |1 x 2}i在复平面内对应的点位于（ 2）复数z1i（ A）第一象限（B）第二象限（ C）第三象限（D）第四象限x y20,（ 3）若x, y满足2x y20, 则y x 的最大值为y0,（A）2（B）1（C）2（D）4（ 4）执行以以下图的程序框图，假如输出的S值为 30，那么空白的判断框中应填入的条件是（ A）n2开始（ B）n3（ C）n4n0, S0（ D）n5否是n n1输出 SS S2n结束（ 5）某三棱锥的三视图以以下图，则该三棱锥最长棱的棱长为（ A ） 2（ B ）2 2（ C ）2 3（ D ） 4（ 6）函数 f ( x)4 2x 的零点所在区间是x（A ） (0, 1 )（B ） (2（ C ） (1, 3)（D ） (2（ 7）已知平面向量 a,b, c 均为非零向量，则“1,1)23, 2)2(a b)c(b c)a ”是“向量 a,c 同向”的（ A ）充足而不用要条件（ B ）必需而不充足条件（ C ）充足必需条件（ D ）既不充足也不用要条件（ 8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，因为时间关系，每个班只好在甲、 乙、丙三个景点中选择一个旅游． 127名同学决定投票来选定旅游的景点，高一 班的 商定每人只好选择一个景点，得票数高于其他景点的当选． 据认识， 在甲、乙两个景点中有 18 人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18 人会选择乙．那么关于这轮投票结果，以下说法正确的选项是 ①该班选择去甲景点旅游；②乙景点的得票数可能会超出9 ；③丙景点的得票数不会比甲景点高；④三个景点的得票数可能会相等.（ A ）①② （B ）①③（ C ）②④（D ）③④第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题5 分，共 30 分。
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 数学理试题 Word版含答案
（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合1{|(1}2x A x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π（C ）32π （D ） 65π（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ）25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且M N O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（A ）(- （B）(⎡--⎣（C ） [2,2]- （D ）[-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())12242f πππ=⋅-==.显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF 平面PAD ． ……………4分 （Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ． 因为(0,11)EF = ，，(022)PD =- ，，，(200)CD =- ，，， 且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-= ，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =- ，，，(0,22)PD =- ,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，，所以cos ,EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --． ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x'=-21ax x -=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去． （2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211ea <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=， 解得e a =，舍去．e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去． 综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =- ，2022(,)2y QN x x =- ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=---- 恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11 ． 对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d - 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11 ；2,3,4,,12 ； ；91,92,93,,100 ，其它同理）. 所以当d 取1,2,,11 时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅= ．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d -- 时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。
高考数学 理科19题
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学理科第19题评分细则19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为63．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．（Ⅰ）解：由题意可得2222,6,,c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…….2分注：2c =与6c a = 各1分，不写“222a b c =+”不扣分，该分数体现在第3分处. 解得6a =，2b =， …….3分故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）解法一：AMBN ABM ABN S S S ∆∆=+ 及直线l ：(2)y k x =- 当直线l 斜率不存在时,A B 的坐标分别为6(2,)，6(2,)-，||26MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． …….5分 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． …….6分注：此处不写“点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+”不扣分，给分在后面第11分处.由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， …….7分所以||AB=． …….8分因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 注：或()22262221313D D k ky k x k k k⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭. 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． …….9分当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得333,x ky =- 232213y k =+． …….10分 设点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ， 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=33222|13kx y k -=+ …….11分== …………………12分= …………………13分当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上，四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分注：关于解法一中“33|22|kx y -”的另一种处理方法 —— 平方前面过程同解法一， …….9分当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由221,31,62y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得22321813k x k =+. …….10分设点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ， 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=33222|13kx y k -=+…….11分2AMBNS ()()()()()222322333322222412411313y k x k k kx y x k k ⎛⎫+⋅⋅- ⎪+-⎝⎭==++()()()()22222222221812414811633133131313k k k k k k k kkk ⎛⎫+⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭===+++ …………………12分221614813k ⎛⎫=+< ⎪+⎝⎭即AMBN S <. …………………13分当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上，四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分AMBN MNA MNB ∆∆前面过程同解法一， ………7分因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 注：或()22262221313D D k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭. 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． …….8分 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由221,31,62y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得22321813k x k =+. …….9分MN === …….10分设点,A B 到直线MN 的距离分别为34,d d ， 所以341||()2AMBN S MN d d =+12=⨯()()()2121212313x x k y y k x x =-+-=+- …………………11分=== (12)分= …………………13分当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN 面积的最大值为． …………………………14分AMBN ABM ABN ∆∆当直线l 的斜率为零时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =.5分当直线l 的斜率不为零时，设其方程为2x ty =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --. …….6分由221,622,x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223420t y ty ++-=， 则12243t y y t +=-+，12223y y t =-+ .…….7分所以||AB)2213t t +==+ …….8分因为()121221243x x t y y t +=++=+， 注：或22262233D D t x ty t t t ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭. 所以AB 中点2262(,)33t D t t -++． …….9分 直线OD 方程为30tx y +=，由2230,1,62tx y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得33,3t y x =- 232183x t =+． …….10分 设点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ， 所以121||()2AMBN S AB d d =+)221123t t +=⨯+=…….11分233222|33x t x t +==+ …………………12分= …………………13分综上，四边形AMBN面积的最大值为 …………………14分（Ⅱ）解法四：AMBN MNA MNB S S S ∆∆=+ 及直线l ：2x ty =+（略，参照前面解法相应给分）。
北京市2018届高三数学理一轮复习 3.1 任意角、弧度制
高三一轮（理） 3.1 任意角,弧度制及任意角的三角函数【教学目标】1.了解任意角的概念；2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
【重点难点】1.教学重点：任意角,弧度制和任意角三角函数的概念；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】125.125.512.512.--DCBA1.【2015福建高考】若，且为第四象限角，则的值等于（）.125tan,12)5(13,135sin【解析】22-==--==-=ααα可得；为第四象限的角，则因为xry2.【2014课标卷Ⅰ】如图所示，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点．角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在0，π]的图象大致为( )解析:以O为坐标原点，射线OA为x轴的正方向，坐系．则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，故M到直OP的距离为f(x)＝|sin x·cos x|＝12|sin2x|，x∈0，π]，故选B.学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。
环节二：知识梳理：知识点1角的有关概念1．从运动的角度看，可分为正角、_____和______．2．从终边位置来看，可分为_______和轴线角．3．若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2kπ(k∈Z)．知识点2弧度的定义和公式1．定义:长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2.换算关系与相关公式α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)度与弧度的换算1°＝π180rad；1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2知识点3任意角的三角函数引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。
高考数学一轮复习 考点32 数列的综合问题必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点32 数列的综合问题1．（市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．天B．天C．天D．天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n，则A n=.莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则B n，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．2．（某某乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】由a n +1﹣a n 2，所以数列{a n }是等差数列，且公差是2，{b n }是等比数列，且公比是2． 又因为＝1，所以a n ＝+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1． 所以b 2n ﹣1＝•22n ﹣2＝22n ﹣2．设，所以＝22n ﹣2，所以4，所以数列{∁n }是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n 项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D ．3．（某某省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,，则42S S =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由可得312a a =，所以22q =，又因为，所以选B.5．（某某省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ） A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率，故选C.6．（某某省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[]=______．【答案】20 【解析】由题可知0n S >，当1n >时，化简可得，当所以数列2{}n S 是以首项和公差都是1的等差数列，即又1n >时，记一方面另一方面所以2021S << 即[]20S = 故答案为207．（市某某区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的某某石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】2433402 【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块， 则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列， 所以，a n ＝9＋（n －1）×9＝9n ， 所以，a 27＝9×27＝243， 前27项和为：＝3402.8．（某某省某某师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝______． 【答案】9【解析】分析：将a n +a n+1+a n+2=15中n 换为n+1，可得数列{a n }是周期为3的数列．求出a 2，a 1，即可得到a 2018 详解：由题意可得a n +a n+1+a n+2=15，将n 换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n ，可得数列{a n 是周期为3的数列．故，由a n +a n+1+a n+2=15，n 取1可得，故，故答案为9.9．（某某省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________． 【答案】100. 【解析】 设序列的首项为，则序列，则它的第n 项为，因此序列A 的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷(理工类)
15.（本小题满分13分）
在 中，已知 ，
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求 边上的中线 的长.
16.（本小题满分13分）
某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
销售点序号
所属城市
小麦价格（元/吨）
所以 ，且 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .…………………4分
（Ⅱ）因为侧面 是正方形，所以 .
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 .所以 .
又因为 ，以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图所示.
设 ，则 ，
.
（ⅰ）设平面 的一个法向量为 .
由 得 即 令 ，所以 .
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.设复数 满足 ，则 =
A. B. C.2D.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 =
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系 中，过 三点的圆被 轴
截得的弦长为
A. B. C. D.
5.将函数 的图象向右平移 个单位后，图象经过
点 ，则 的最小值为
（Ⅰ）求 点坐标和直线 的方程；
（Ⅱ）求证： .
20.（本小题满分13分）
已知 是由正整数组成的无穷数列，对任意 ， 满足如下两个条件：
① 是 的倍数；
② .
（Ⅰ）若 ， ，写出满足条件的所有 的值；
（Ⅱ）求证：当 时， ；
（Ⅲ）求 所有可能取值中的最大值.
2018北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案
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在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
小题，每小题分，共一、选择题共121432 分。
注：第题第一空均为、分，第二空均为680 分。
解答题应写出解答步骤。
三、解答题共小题，共15. 13 分）（本题满分????2?2coscos1??f()23sin（Ⅰ）66662??133?23???2??1???? 222???2·3 ····················································································分f(x)?3sin2x?cos2x（Ⅱ）?)?2sin(2x?6??????x?siny?,2k2?k k?Z，因为函数）的单调递增区间为（??22????????k?2?2x2k??k?Z，令）（226??????kk?x?k?Z，（）解得63??)x(f??]?,k[k?Z?k 1 3····························分（）故的单调递增区间为6313 16.分）（本题满分只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权A112有利于病毒繁殖和传月平均相对湿度：从上表个月，该月甲地空气个月中，随机取出（Ⅰ）设事件A i.月，则用表示事件抽取的月份为第播i},A,A,AAA,A,A,A,,A??{A,A,A,12 个基本事件，共1970468151213},A,A,AA?{A,A,A 6 个基本事件，共196218016?(A)?P. ·4···································································分所以，2126空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月（Ⅱ）在第一季度和第二季度的个月中，甲、乙两地02X126. ，所有可能的取值为月，故份只有，月和2121CCCC18262424???0)?2)?P(XP(X?1)??P(X??，，22215CC15C155666X的分布列为随机变量21X182P1515558%54%M.3 ·······1··········································，最小值为分的最大值为（Ⅲ）17.14 分）（本题满分1 ：（Ⅰ）方法PA OCB ACOBOPO. 由题意的中点为，设，连接AO?BO?CO?11PO?，，2PC?PA?PB??PACPA?PCOAC的中点因为中，在为，PO?AC，所以?POBOB?11PO?，中，在因为，2PB?OB?PO所以AC,OB?OACOB?ABC平面因为，PO?ABC平面所以PO?PAC4·································································平面分因为PACABC?平面平面所以只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权2：方法PA OCBPOBOACO . ，，连接设的中点为ACO?PACPA?PC的中点中，，因为为在AC?PO，所以CO?PCAO?BOPA?PB?POPO?PO?，，因为POC??POB?POA≌≌所以??90POB??POC?POA??所以OBPO?所以?,OBACOOB?ACABC平面，因为ABCPO?平面所以PAC?PO·4 ································································平面分因为ABCPAC?平面所以平面3：方法PAOQCB ACOPO?PACPA?PC，的中点为，因为在，连接中，设PO?AC所以QPQOQ OB AB. 及，的中点，连接设QOB?OABOA?AB的中点因为为在，中，OQ?AB. 所以Q AB?PB?PABPA的中点中，在，为因为PQ?AB. 所以PQOQ?QPQ,OQ?OPQ平面因为，OPQ?AB 平面所以OPQ?OP平面因为只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权BAOP?所以?ACAB,A?ABAC ABC平面因为，ABC?PO平面所以PACPO?··4 ·······························································平面分因为ABCPAC?平面平面所以ACABCOB?PO?，如图建立空间直角坐标系，则，平面（Ⅱ）由zP(0,0,1)?1,0,0)P(1,0,0)B(0,1,0)A(O(0,0,0)C，，，，APCOB?APC(0,1,0)OB?的法向量为平面由，故平面1)(1,0,?(1,?1,0)PC?BC?，由PBC),z?(x,yn，则设平面的法向量为0y?x???0n?BC??得：由?0PC?n?0?x?z??1?y1x?(1,1,1)?n1z?，即，得，令n?OB13??cos?n,OB??3||OBn|?|13?A?PC?B是锐二面角，由二面角3B?A?PC············································9 分所以二面角的余弦值为3?10???BPBN?，则（Ⅲ）设，????)1,,?(?1,0,1)?(1?BM?BC?CM?BC?CP?(1,?1,0)?????),??1,1)(1,1BN?AB?BP?(1,1,0)??(0,?ANAB?令0AN?BM????????)?01)?(11)??(??(1得?1???1?μλ的单调递增函数，是关于即，???11?只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1212??]?][,?[,，时，当53342BN1][,?·4 ······1·································································分所以5BP418. 13分）（本题满分xln?)(xf0a?时，（Ⅰ）当x1xln?x?xln1?故x??f'(x)0?f'(x)e?0?x，得22xx令)ex)(0,f(·4·······················································分故的单调递增区间为ax?ax??ln?lnx1 1 xx：（Ⅱ）方法?)?f'(x22)?a)a(x(x?ax??x)1?lng(令xax?a10??????g'(x)则22xxx1aa1a?0??(?1)?g(e)?1?(1?a?0g(e)?a)?，由0?(x)g0x)?g()x,??xx?(0,x)?(时，时，故当；当00 1?1?aa eee1?a0?(x)g)e?(e,x，故存在00)(0,x),??(xxx000?)xf'(0?)(xf↗↘极大值1?)f(x故02ea?0??lnx1??02?xe?x??0013···················································??，解得故分xln12ea????0??2e a?x?0a2.e的值为故只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1lnx1x?(0,??f(x))x?(0,??)?2，的最大值为，（Ⅱ）方法且存在：的充要条件为对任意的0x?(0,??))??x?(0,2xlnxa?e?的意价于对任得使，，且存在使得，等22e x?a e lnx10?20x?a e02lnx??e xa，00a2xlnx?)g(x?e.的最大值为等价于2e g'(x)??1，x g'(x)?02e?x.，得令)g(x↗↘极大值g(x)222222ee?elne?g(e)?ea?. ·13 ··························，即的最大值为故分1914 分）（（本小题）41???1?22ba??222a?b?c?，（Ⅰ）由题意?c3???e?a2?6?c，，解得：2b??22a22yx C??1·5 ···················································分的标准方程为故椭圆821(x?2)y?1?l1)PTPTQQ(2，的方程为－则点或，点的坐标为直线（Ⅱ）假设直线或，的斜率不存在，21xy??2. 即222?yx??1??822?04?4?x?x，联立方程，得1?x?y?2??2 lC. 相切，不合题意此时，直线与椭圆只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除TPTQ. 的斜率存在故直线和1 ：方法),y)Q(xP(x,y，则设，22111y?12)x:y?1??(TP，直线2x?11y?22)y?1?x?(TQ:直线2x?22??x2x21?2ON?|OM|2?|?|，故1?1yy?2111t?y?xxPQ:?OT:y0?t）由直线，设直线（2222?yx1????28220??tx?2t?x4?2?联立方程，1?t?xy??2?2t2??x?x4?2tx?x?0??，当时，21212x?x?221)(??4?|OM||?|ON1y?y?1212?xx?221)(??4?111?x?t1tx??21221)??4(t2)(x?x)(xx?t?2112?4?1121)t?x)?(?xx?(t?1)(x22112421)t?t)?4(4?(t?2)(?22t???411221)(t?(?2t)?1)(2t?4)?(t??24?4.4 (1)分只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2 ：方法TQ)yx,,y)Q(P(xkk TP和和，直线设的斜率分别为，21122111xPQ:y?x?tOT:y?t?0）由，设直线（2222?yx??1??8222?4?0tx?2?xt?2?联立方程，1?x??ty??22x?x??2tx?x?2t?40??，当时，2121y?1y?121??k?k21x?2x?22111x?t?1x?t?1 2122??x?2x?221xx?(t?2)(x?x)?4(t?1)2211?(x?2)(x?2)212?4?(t?2)(?2t)?2t4(t?1)?(x?2)(x?2)21?0TQ TP的斜率和为零故直线和直线?TMN??TNM故TM?TN故MNMNT2的中点横坐标为在线段故的中垂线上，即|OM|?|ON|?4·14·····································································故分20. 13 分）（本题满分N?N?N?BA”.3 ”“·“···········3 ”“·············数表数表，值分，其（Ⅰ）不是是为aa N?A”“，的值和均是数表（Ⅱ）假设ji,'',ji a?max{a,a,...,a}?max{a,a,...,a}?a'?ii；若，则①'i,j',1',ii,1',2i,2jni,ii',ni a?min{a,a,...,a}?min{a,a,...,a}?a'jj?；若②，则'jj1,''i2,ji,j'1,j',2,jnn,j,j j?j''i?i，则一方面，③若a?max{a,a,...,a}?a?min{a,a,...,a}?a，'ji',''ji,ni,1i,2i,ji,'j1,'2,j,nj另一方面只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除a?max{a,a,...,a}?a?min{a,a,...,a}?a；j1,i',2jii',n',1j2,ji',j',ij',n,i N?N?A”““. ·····8 . ”··················是唯一的值，则其即若数表数表分是矛盾1 ：（Ⅲ）方法A?(a)1931936121.…列的数表行，组成的对任意的由，，，1919i,j?jj)bB?(iiBA列，即如下，将数表的第的第定义数表列的元素写在数表行，第行，第19j,i19?b?a1?j?1919i?1?），（其中jij,i,显然有：31919361B21…列的数表，组成的，①，数表行是由，jjAB列的元素数表行的元素，即为数表②的第的第iiAB 行的元素③列的元素，即为数表数表的第的第j a i A列中的最小值④是第若数表行中的最大值，也是第中，ji,j b i B. 行中的最小值则数表是第中，列中的最大值，也是第ij,C?(c)B362 ，即定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为19?,i19j c?362?b1?j?19191?i?），（其中ii,jj,显然有31919361C21…列的数表数表，是由，①，行，组成的j b i B列中的最小值中，若数表列中的最大值，也是第②是第ij,j c i C列中的最大值中，列中的最小值，也是第是第则数表ij,A?(a)1919336121…列的数表行，，特别地，对由，，组成的1919i,j?31919361C21…列的数表，组成的，，①，数表行是由j a i A列中的最小值②是第若数表行中的最大值，也是第中，ji,j c i C 列中的最大值是第则数表列中的最小值，也是第中，ij,a1?j?19C??A??N??N191?i?””““值，其），则，且其即对任意的值，为（其中ji,1919c?362?b?362?a.为jj,i,iij,C?T(A)T(C)?AC?T(A)N?362A“”，的，即数表值记，则与数表之和为?N?362“”，值中的数表两两配对，使得每对数表的之和为故可按照上述方式对19E(X)?181X. ·3 ·1 ·························································的数学期望故分2 ：方法19,20,21,...,341,342,343X.所有可能的取值为只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除k?19,20,21,...,341,342,343n?kX?A，则中使得的数表，记的个数记作k19181822?C?C?[(18n?19)!].k?k361k?1218182n?19?C?C?[(18)!]?n，则则k?361?k?k1k362343343343????(362?nnk?kn)?k k362k?k19??k?19k19k?)??(EX，???(362?nk)n?k kk19?k19k?E(X)?181362)(2EX???. ·············343343343???nnn kkk19k?19?k?19k343343···13 分故，343343??nn kk19k19?k?只供学习与交流．。
精品解析：北京八中2018—2019学年第一学期高三期中考试数学(理科)试卷(解析版)
2018 − 2019学年度第一学期期中练习题年级: 高三科目: 数学(理)一、选择题(本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1.已知m,n R, 集合A = {2, log7m}, 集合B ={m, n},若A∩B ={0}, 则m + n = ( )A. 0B. 1C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】根据A∩B={0}，得出log7m=0，求出m的值，从而得出n的值，再求出m+n的值．【详解】根据A={2，log7m}，B={m，n}，且A∩B={0}，得log7m=0，解得m=1；∴n=0，∴m+n=1+0=1．故选：B．【点睛】本题考查了集合交集的定义与应用问题，是基础题目．2.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】试题分析：解：F（2，0）K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，∴△AFK的高等于|AM|，设A（m2，2m）（m＞0）则△AFK的面积=4×2m•=4m又由|AK|=|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=∴△AFK的面积=4×2m•=8故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．视频3.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令，则，∴单调递增，且，∴“”是””的必要条件．故选．4.函数且的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故函数是奇函数，函数图象关于原点对称，所以排除，取，则，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循. 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.在△ABC中, M是BC的中点, AM = 3, 点P在AM上, 且满足, 则的值为( )A. 4B. 2C. −2D. −4【答案】D【解析】【分析】由平行四边形法则，可得=．又，可得=，．代入即可得出．【详解】由平行四边形法则，可得=，∴=，．∵AM=3，∴=﹣==﹣×32=﹣4．故选：D．【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.如图，点为坐标原点，点，若函数（，且）及（，且）的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以，，∵点为坐标原点，点，∴直线为，∵经过点，则它的反函数也经过点，又∵（，且）的图象经过点，根据对数函数的图象和性质可知：，∴．故选．7.已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵函数只有一个零点，∴与只有一个交点，图象如图所示，∴k 的取值范围是．考点：函数零点问题．8.设，其中，，若对一切恒成立，则下列结论正确的是（）①；②函数既不是奇函数也不是偶函数；③的单调递增区间是；④存在经过点的直线与函数的图象不相交．A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④【答案】A【解析】试题分析：，其中角满足，，∵对一切恒成立，∴或，得，，因此，，或，对于①，∵，∴，故①正确；对于②，根据函数的表达式，得，故既不是奇函数也不是偶函数，故②正确；对于③，∵函数的表达式或，表达式不确定，故不一定是增区间，故③不正确；对于④，采用反证法，设经过点的一条直线与函数的图象不相交，则此直线与x轴平行方程为，且，平方得矛盾，故假设不成立，所以经过点的所有直线均与函数的图象相交，故④不正确．考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数．二、填空题(本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)9.在极坐标系中,圆的圆心到直线上的动点的距离的最小值为________.【答案】C.【解析】解：在极坐标系中，圆的圆心（0,0）到直线即为x+y=2的距离为10.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________．【答案】-3【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，∵其中一条渐近线的倾斜是，∴，故．11.已知直线，．若，则实数的值是．【答案】0或－3【解析】试题分析：由题意得：考点：直线位置关系12.若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由题意，由，可求得交点坐标为，要使直线上存在点满足约束条件，如图所示，可得，则实数m的取值范围．考点：线性规划．13.如图，线段，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动，以为一边，在第一象限内作矩形，．设为原点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】14.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．（）下列函数中具有性质的有__________．①②③④（）若函数具有性质，则实数的取值范围是__________．【答案】（1）①②（2）【解析】试题分析：（1）在x≠0时，f（x）=有解，即函数具有性质P，令-2x+2，即∵△=8-8=0，故方程有一个非0实根，故f（x）=-2x+2具有性质P；f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象与y=有交点，故sinx=有解，故f（x）=sinx（x∈[0，2π]）具有性质P；令x+=，此方程无解，故f（x）=x+，（x∈（0，+∞））不具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：①②，（2）f（x）=alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx=有根，∵g（x）=xlnx的值域[，+∞）∴解之可得：a＞0或a≤-e．考点：本题考查方程和函数的综合点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题(本大题共6小题, 共80分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)15. 某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而求解；（2）求得，，时的概率，得到分布列后即可求解期望．试题解析：（1）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件，则，∴选出的3名同学来自班级的概率为；（2）随机变量的所有可能值为，，，，则；；；，∴随机变量的分布列是随机变量的数学期望．考点：1．随机变量的概率分布及其期望；2．古典概型．16.函数的部分图象如图所示.（1）求及图中的值；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】试题分析：（1）将点代入，由已给条件可求得；由并结合图象可求得. （2）由（1）可得到，由，得，可得在和时，函数分别取得最大值和最小值。
北京五中2018-2019学年度高三第一学期第一次月考理科数学试题
北京五中2018-2019学年度高三第一学期第一次月考理科数学试题一．选择题(每题5分,共40分,请把答案填在第3页表中)1．已知集合{}R x x y y M ∈-==,12，{}23x y x N -==，则N M 等于（ ）)(A )}1,2(,)1,2{(- )(B {2,2-，1} )(C [3,1-] )(D φ2．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定形式是真命题，则（ ）)(A p 真q 真 )(B p 真q 假 )(C p 假q 真 )(D p 假q 假3．函数12-=x xy 在点（1，1）处的切线方程为（ ） )(A 02=--y x )(B 02=-+y x )(C 054=-+y x )(D 034=+-y x4．已知z y x >>，且0=++z y x ，则下列不等式恒成立的是（ ）)(A yz xy > )(B yz xz > )(C xz xy > )(D y z y x >5．下列函数中,值域是()∞+,0的是 ( ).)(A 213-=x y )(B x y 21-= )(C 2)1(-=x y )(D 1215-=x y6．某厂同时生产两种成本不同的产品，由于市场销售情况发生变化，A 产品连续两次分别提价20％，B 产品连续两次分别降价20％，结果A 、B 两种产品现在均以每件相同的价格售出，则现在同时售出A 、B 两种产品各一件比原价格售出A 、B 两种产品各一件的盈亏情况为（ ）)(A 亏 )(B 盈 )(C 不盈不亏 )(D 与现在售出的价格有关 7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)1(log )1(2)(21x x x x f x ,则函数)1(x f y -=的图象是 ( )班级 姓名 学号 成绩8．已知函数()22)(k x x f -=，[]12,12+-∈k k x ，Z k ∈，x x g πlog )(=，则函数)()(x g x f y -=的零点个数为（ ）)(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 4二．填空题(每题5分,共30分,请把答案填在第3页表中)9．命题“若0=a 且0=b ，则022=+b a ”的否命题为 10．不等式123-<x x 的解集为 11．当10≤≤x 时，函数21x x y -=的最大值为 12．若函数12)(-+=x ax x f 在区间()∞+,1上单调递增，则实数a 的取值范围为 13．已知()x f 是定义在R 上的函数,那么“()x f 是偶函数”是“()()()()x f x f x fx f-=-+222对任意R x ∈成立”的 条件14．已知集合{}4,3,2,1=A ，集合{}4321,,,a a a a B =，且A B =，定义A 与B 的距离为∑=-=41),(i i i a B A d ，则2),(=B A d 的概率为选择题答案填空题答案9. 10.11. 12.13. 14.三．解答题(共80分)15．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球, 乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲乙两个盒中各任取2球 (1) 求取出的4个球均为黑球的概率 (2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率(3) 设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望16．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )(（0>x ）在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数（1）求b a ,的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31= (1)证明：1A C ⊥平面BED ； (2)求二面角1A DE B --的余弦值．18．已知定义在（0，＋∞）上的函数(]()⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈-∈-=,,01ln )14()(2e x kx kx e x xk x f 是增函数（1）求常数k 的取值范围（2）过点（1，0）的直线与)(x f （()∞+∈,e x ）的图象有交点，求该直线的斜率的取值范围19．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()0,3，离心率为23 （1） 求椭圆C 的方程（2） 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 恒有两个不同交点A 、B ，且2>⋅（其中O 为原点），求实数k 的取值范围20．已知函数e kx e x f kx 22)(-= (0>k )（1） 求)(x f 的极值（2） 对于数列{}n a ,212n e a n n -=- (*∈N n )A BCDE A 1B 1C 1D 1① 证明:1+<n n a a② 考察关于正整数n 的方程n a n =是否有解，并说明理由高三数学综合练习（一）(理科)答案 选择题答案填空题答案9.若0≠a 或0≠b ，则022≠+b a 10.()()3,10, ∞-11.21 12.21-<a 13.充要 14.81解答题(共80分)15．解：（1）51262424231==C C C C P（2）157262414122324132=+=C C C C C C C P （3）ξ可能取值为0，1，2，351)0(==ξP ，157)1(==ξP ，103)2(==ξP ，301)3(==ξP 分布列为6=ξE16．解：（1）3334ln 4)('bx ax x ax x f ++=，依题意⎩⎨⎧--==c f f 3)1(0)1('，解得3-=a ，12=b（2）x x x f ln 48)('3=，0>x令0)('>x f ，解得1>x所以)(x f 增区间为()+∞,1，减区间为()1,0（3）又（2）可知)(x f 在1=x 处取得最小值c --3所以只需223c c -≥--，解得123-≤≥c c 或16．解：建立空间直角坐标系)4,2,2(1-=CA ，)0,2,2(=DB ，)1,2,0(=DE所以01=⋅DB CA ，DB CA ⊥1，同理DE CA ⊥1，且DB 与DE 相交 所以1A C ⊥平面BED（2）可求平面E DA 1的一个法向量为n ＝（4，1，－2），由（1），平面BED 的一个法向量为1CA ，所以4214,cos 1->=<CA 所以二面角1A DE B --的余弦值为4214 18．解：（1）依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤--><-keke k ek k k k 24120014，解得41412<≤+-k e e（2）当直线过点()ke ke e -2,时，斜率为ke由于()+∞∈,e x 时函数)(x f 是二次函数，且与直线交于点（1，0），由函数)(x f 的图象和性质可知，所求直线的斜率的取值范围为()+∞,ke19．解：（1）椭圆C 的方程为1422=+y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x kx y ，0428)41(22=+++kx x k由0>∆得412>k ，2214128k x x +-=+，221414kx x +=，由2>⋅OB OA 得22121>+y y x x ，得22)(2)1(21112>++++x x k x x k 解得312<k ，所以31412<<k 所以)33,21()21,33( --∈k 20．解：（1）)(2)('2e e kx xf kx -=，令0)('=x f 得0=x 或kx 1±= )(x f ，)('x f 变化情况如下表所以)(x f 极大值为1)0(=f ，极小值为0)1(=±kf （2）①证明：当1=k 时，)()(21222x e e ex e x f x x -=-=-由（1）知)(x f 在（1，＋∞）上单调递增 所以{}n a 为增数列，所以1+<n n a a ②解：n a n =即n n e n+=-212，当1>x 时，x x f =)(有且仅有一个解，下面证明这个解不是整数假设*∈N n ，且n n f =)(，即n n e n+=-212则12-n 和n n +2都是整数，所以12-n e 是无理数，所以n n e n+≠-212所以方程n a n =无解。
2018北京市朝阳区高三(一模)数学(理)含答案
2018北京市朝阳区高三（一模）数 学（理） 2018．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集为实数集R ，集合2{30}A x x x =-<，{21}x B x =>，则RA B ()=A ．(0][3,)，-∞+∞B ．(0,1]C ．[)3+∞，D ．[1)，+∞ 2．复数z 满足(1+i)i z =，则在复平面内复数z 所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．直线l 的参数方程为=3,1+3x t yt-（t 为参数），则l 的倾斜角大小为A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π4．已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A ．18B ．24C ．48D ．96 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A ．34B ．23C ．12D ．137．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：俯视图正视图侧视图1甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A ,(1,2)B ，动点P 满足OP OA OB λμ=+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈，则所有点P 构成的图形面积为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．执行如图所示的程序框图，若输入5m =，则输出k 的值为________．10．若三个点(2,1),(2,3),(2,1)---中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为_____________．11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2A ωϕπ>><）的部分图象如图所示，则=ω ；函数()f x 在区间[,3ππ]上的零点为 ．12．已知点(2,0),(0,2)A B -，若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM ∆面积的最小值为 ． 13．等比数列{}n a 满足如下条件：①10a >；②数列{}n a 的前n 项和1n S <． 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ．14．已知R a ∈，函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+， ，当0x >时，函数()f x 的最大值是 ；若函数()f x 的图m >50输出k 结束开始 输入m k =0m =2m -1 是k =k +1否象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)在ABC ∆中，已知sin A =，2cos b a A =． （Ⅰ）若5ac =，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若B 为锐角，求sin C 的值． 16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案图1EABCDOA '图2CBDEO确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率； （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18． (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-． 19． (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点(1,2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明． 20． (本小题满分13分)已知集合128{,,,}X x x x =是集合{2001,2002,2003,,2016,2017}S =的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X =时，设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤，（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ；（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程(1,8)i j x x k i j -=≤≤至少有三组不同的解．2018北京市朝阳区高三（一模）数学（理）参考答案二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为sin A =，所以cos 5A =.因为2cos b a A =，所以4sin 2sin cos 25B A A ===． 故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==． ………………….7分 （Ⅱ）因为4sin 5B =，且B 为锐角，所以3cos 5B =.所以sin sin()sin cos cos sin 25C A B A B A B =+=+=．………….13分16．(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-， 所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ== ……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P AC λ''=，[0,1]λ∈． 因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z λλ=， 所以000,3,x y z λλ==，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m.即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量1)=-m，0-=，解得1[0,1]2λ=∈， 所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '． ……….14分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人． ……….3分（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84； 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310． 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=．…….8分 （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治． 由已知得ξ的取值为1,2．2242281(1)4C C P C ξ+===， 1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===，或3(2)1(1)4P P ξξ==-==. 所以ξ的分布列为所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….13分 18． (本小题满分13分)（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. （ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-. ….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分 （Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ….….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ….….5分（Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零，即0AE BF k k += ． 因为13231323AE BF y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+．由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++．2121231323[2()2]0()()AE BFk x x x x x k k x x x x ++++==-+．所以12=θθ． ….….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）（ⅰ）方程2i j x x -=的解有：(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =．……2分 （ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6； 中间相隔三数的两数差：10，11，11，10； 中间相隔四数的两数差：12，14，12； 中间相隔五数的两数差：15，15； 中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）证明：不妨设12820012017x x x ≤<<<≤，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数．假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而 127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++=. …………①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分。
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试 （理工类）2018．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集为实数集R ，集合2{30}A x x x =-<，{21}x B x =>，则R A B ()=I ðA ．(0][3,)，-∞+∞UB ．(0,1]C ．[)3+∞，D ．[1)，+∞ 2．复数z 满足(1+i)i z =，则在复平面内复数z 所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线l的参数方程为=,1+3x y tìïïíï=ïî（t 为参数），则l 的倾斜角大小为 A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π4．已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A ．18B ．24C ．48D ．96 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A ．34B ．23俯视图正视图侧视图C ．12D ．137．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A ,(1,2)B ，动点P 满足OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈，则所有点P 构成的图形面积为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．执行如图所示的程序框图，若输入5m =，则输出k 的值为________．10．若三个点(2,1),(2,3),(2,1)---中恰有两个点在双曲线m >50输出k开始 输入k =0m =2m 1 是k =k +1 否222:1(0)x C y a a-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为_____________．11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2A ωϕπ>><）的部分图[,3ππ]上象如图所示，则=ω ；函数()f x 在区间的零点为 ．12．已知点(2,0),(0,2)A B -，若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM ∆面积的最小值为 ．13．等比数列{}n a 满足如下条件：①10a >；②数列{}n a 的前n 项和1n S <． 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ．14．已知R a ∈，函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+， ， 当0x >时，函数()f x 的最大值是 ；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)在ABC ∆中，已知5sin A =，2cos b a A =． （Ⅰ）若5ac =，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若B 为锐角，求sin C 的值． 16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）．（Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE ' 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．EADOA 'DEO17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率； （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18． (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-．19． (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明． 20． (本小题满分13分)已知集合128{,,,}X x x x =L 是集合{2001,2002,2003,,2016,2017}S =L 的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X =时，设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤，（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ；（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值； （Ⅱ）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程(1,8)i j x x k i j -=≤≤至少有三组不同的解．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案2018．3 一、选择题：（本题满分40分）二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为sin A =，所以cos A =.因为2cos b a A =，所以4sin 2sin cos 2555B A A ==⨯=． 故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==． ………………….7分 （Ⅱ）因为4sin 5B =，且B 为锐角，所以3cos 5B =.所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=.13分16．(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥．因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE 'I 平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(13(020)A D DE ，，，，'=-=-u u u u r u u u r， 所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rm m即111130, 20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取11z =-，得1)=-m ．B而A C '=u u u ur(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin θ== ……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '.设000(,,)P x y z ，且(01)A PA C λλ'=≤≤'，则A P A C λ''=u u u r u u u u r ，[0,1]λ∈．因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z λλ=，所以000,3,x y z λλ==，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=u u u r．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥u u u r m .即0OP ⋅=u u u rm .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量1)=-m ，0-=，解得1[0,1]2λ=∈， 所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '． ……….14分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人． ……….3分 （Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84； 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310． 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=．…….8分 （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得ξ的取值为1,2．2242281(1)4C C P C ξ+===， 1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===，或3(2)1(1)4P P ξξ==-==. 所以ξ的分布列为所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….13分 18． (本小题满分13分)（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. （ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-. ….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分 （Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根. 令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ….….13分 19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得222222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ….….5分（Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零，即0AE BF k k += ． 因为13231323AE BF y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+． 由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++． 2121231323[2()2]0()()AE BF k x x x x x k k x x x x ++++==-+． 所以12=θθ． ….….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）（ⅰ）方程2i j x x -=的解有：(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =．……2分 （ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）证明：不妨设12820012017x x x ≤<<<≤L ，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=L ，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=L ，共13个差数．假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++=L L L . …………①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--L L 81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分。