青岛初中数学九年级上册《4.4用因式分解法解一元二次方程》课堂教学课件 (2)
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用因式分解法解一元二次方程.2.3《因式分解法》ppt课件
有哪些？
课后作业
一、用因式分解法解下列方程：
1、 2、
3、
4、
二、选择合适方法解下列方程： 1、 2、
因而
(x - 5 )2 - 12 = 0，
(x - 5 + 1 )( x - 5 – 1) = 0，
把方程左边因式分解， 得 即 由此得 (x – 4)(x – 6) = 0， x - 4 = 0 或 x - 6 = 0.
解得
x1 = 4， x2 = 6.
从例中可以看出， 我们能把方程 x2 - 10x + 24 = 0 的左边因式分解后， 写成
解题框架图
解：原方程可变形为：
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1 = A解 ， x 2 x -7x=0； （2）3x = 5x .
答案：（1） x1=0 ， x2=7.
2
2
（2） x1 0
x2 5 . 3
答案：原方程可化为|x|2－3|x|＋2＝0，∴(|x|－1)(|x|－2)＝
0，∴|x|＝1或|x|＝2，∴x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
归纳总结
1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，
我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次
的呢？ 2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0
的两个根，则方程的左边可以分解成 x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0，
我们已经学习了用配方法、公式法和因式
分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我
2.4用因式分解法求解一元二次方程-2024-2025学年初中数学九年级上册(北师版)上课课件
x1 = 0，x2 = 4.
1
1 = −5, 2 = − .
3
4. (教材P48习题2.7第2题）解下列方程：
（1）5(x2 - x) = 3(x2 + x) ；
（2）(x - 2)2 = (2x + 3)2；
（3）(x - 2)(x - 3) = 12；
（4）2x + 6 = (x + 3)2；
（1）5x2 = 4x；
（2）x(x - 2) = x - 2.
解：（1）原方程可变形为
（2）原方程可变形为
5x2 - 4x = 0 ，
x(x - 2) – (x - 2) = 0 ，
x(5x - 4) = 0 ，
(x - 2)(x - 1) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
4
1 = 0, 2 = .
(2x + 3)(2x + 3 - 4)= 0，
2x + 3 = 0 或 2x – 1 = 0，
3
1
1 = − , 2 = .
2
2
（4）原方程可变形为
2(x - 3)2 = (x + 3)(x - 3)，
2(x - 3)2 - (x + 3)(x - 3) = 0，
(x - 3) [2(x - 3)-(x + 3)] = 0，
x1 = -1，x2 = 6.
x1 = -1，x2 = -3.
4. （教材P48习题2.7第2题)解下列方程：
（1）5(x2 - x) = 3(x2 + x) ；
（2）(x - 2)2 = (2x + 3)2；
（3）(x - 2)(x - 3) = 12；
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
4.4用因式分解法解一元二次方程教学设计
4.4 用因式分解法解一元二次方程枳沟初中孙亦群修订【目标确定的依据】1.相关课程标准的陈述能用因式分解法解数字系数的一元二次方程。
2.教材分析一元二次方程是中学数学的核心内容之一，在初中数学中占有重要的地位。
其中因式分解法是解一元二次方程的重要方法之一，它是继配方法、公式法之后的第三种方法，是后续学习一元二次方程的应用的基础，具有承前启后的作用。
教材通过2个例题，分别介绍了用因式分解法解一元二次方程所包含的两种方法，即提公因式法和利用公式法（平方差公式、完全平方公式）。
本节课的重点是掌握用因式分解法解一元二次方程的多种方法和一般步骤，难点是能够结合方程的特征选择相应的因式分解的方法。
针对以上重难点，采取典型例题的对比练习、以及小组合作探究的方式进行突破。
3.学情分析学生经过前面的学习，对用配方法和公式法解一元二次方程已经熟练掌握，并且学生在七年级已经学过因式分解，对因式分解的方法和一般步骤已经熟悉，在此基础上进行用因式分解法解一元二次方程的学习相对容易些。
但是在本节课中学生仍然可能遇到的这样几个障碍：1.知识迁移的能力较弱，从“多项式的因式分解”到“因式分解法解一元二次方程”的转化比较困难；2.难以根据方程的特征选择相应的因式分解的方法。
针对学生的上述情况，采取如下突破措施：1.通过复习因式分解导入本节课，在设计“解一元二次方程”的题目时对应“多项式的因式分解”的题目，引导学生找到“多项式的因式分解”和“因式分解法解一元二次方程”之间的联系；2.通过多个例题的对比练习，帮助学生找到如何选择合适的因式分解的方法。
【学习目标】1.通过自主探究，体会什么是因式分解法。
2.通过同桌讨论，归纳用因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会用因式分解法解特殊的一元二次方程。
3.通过小组交流等活动，总结用因式分解法解一元二次方程的多种方法，并能够结合方程的特征选择相应的因式分解的方法。
【评价任务】1.阅读课本P139，说一说什么是因式分解法解方程，写一写因式分解法解方程的方法有哪些（目标1）2.阅读“观察与思考”，用因式分解法解一解方程，同桌交流后说一说因式分解法解一元二次方程的一般步骤。
4用因式分解法解一元二次方程PPT课件(北师大版)
b≥0时有解,b<0时 无解.
二次项系数若不为1,必 须先把系数化为1,再进 行配方.
公式法 ax2+bx+c=0(a≠0)
b2-4ac≥0时,方程有解;b24ac<0时,方程无解.先化 为一般情势后,再用公式 法求解.
因式分解法
方程的一边为0,另 一边可分解成两个 一次因式的积.
方程的一边必须是0,另一 边可用任何方法分解因 式.
解:(1)原方程可变形为5x2-4x=0,
即x(5x-4)=0,
∴x=0或5x-4=0,
∴ x1
=
0，x 2
=
4 5
.
(2)x(x-2)=x-2. 解：原方程可变形为x(x-2)-(x-2)=0,
即(x-2)(x-1)=0,
∴x-2=0或x-1=0, ∴x1=2,x2=1.
解下列方程. (1)x2-4=0; (2)(x+1)2-25=0.
检测反馈
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为一元一 次方程: (x-1)=0 或 (x-2)=0 ,方
程的根是 x=1 或 x=2 .
解析:(x-1)(x-2)=0可化为一元一次方程:x-1=0或 x-2=0,求得方程的根为x1=1,x2=2.
2.方程3x2=0的根是 x1=x2=0 ,方程(y-2)2=0的 根是 y1=y2=,2方程(x+1)2=4(x+1)的根 是 x1=-1,x2=3 .
3.解方程x(x+1)=2时,要先把方程化 为 x2+x-2=0 ,再选择适当的方法求解.方程 的两根为x1= 1 ,x2= -2 .
4.用因式分解法解下列方程. (1)x2+16x=0; 解:(1)原方程可变形为x(x+16)=0,
二次项系数若不为1,必 须先把系数化为1,再进 行配方.
公式法 ax2+bx+c=0(a≠0)
b2-4ac≥0时,方程有解;b24ac<0时,方程无解.先化 为一般情势后,再用公式 法求解.
因式分解法
方程的一边为0,另 一边可分解成两个 一次因式的积.
方程的一边必须是0,另一 边可用任何方法分解因 式.
解:(1)原方程可变形为5x2-4x=0,
即x(5x-4)=0,
∴x=0或5x-4=0,
∴ x1
=
0，x 2
=
4 5
.
(2)x(x-2)=x-2. 解：原方程可变形为x(x-2)-(x-2)=0,
即(x-2)(x-1)=0,
∴x-2=0或x-1=0, ∴x1=2,x2=1.
解下列方程. (1)x2-4=0; (2)(x+1)2-25=0.
检测反馈
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为一元一 次方程: (x-1)=0 或 (x-2)=0 ,方
程的根是 x=1 或 x=2 .
解析:(x-1)(x-2)=0可化为一元一次方程:x-1=0或 x-2=0,求得方程的根为x1=1,x2=2.
2.方程3x2=0的根是 x1=x2=0 ,方程(y-2)2=0的 根是 y1=y2=,2方程(x+1)2=4(x+1)的根 是 x1=-1,x2=3 .
3.解方程x(x+1)=2时,要先把方程化 为 x2+x-2=0 ,再选择适当的方法求解.方程 的两根为x1= 1 ,x2= -2 .
4.用因式分解法解下列方程. (1)x2+16x=0; 解:(1)原方程可变形为x(x+16)=0,
2020-2021学年最新青岛版五四制九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》教学设计-精编教案
解（分别解两个一次方程）
活动二、巩固练习（A层）：
用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）16x2+10x=0 （2）9x2=25
（3）4x2-4x+1=0 (4)2x2+5x-3=0
与学生一起归纳：
１、由第（２）小题看出应该先通过移项把右边变为０
再次规范步骤是：
１移（移项，使右边为０）
２分（左边分解因式）
３拆（拆成两个一元一次方程）
４解（解这两个一元一次方程）
２、引导学生分析第（３）小题为什么是x1＝x2（用乘方的意义来解决）
活动３、抢答活动
把温故知新中的第一题后面加上等于０，变成方程，让学生抢答各方程的解。
（1）3x2+x＝０
(2)4x2-81＝０
(3)m2-6m+9 ＝０
（4)y2-8y+7＝０
教学难点
理解用因式分解法解一元二次方程的思想及方法.
教法
采用洋思教法，指导学生自主探索、交流．
学法
自主探索交流法
教学
准备
多媒体课件
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情境
二、新课
学
习
与
巩
固
练
习
三、知识应用
四、课堂
小
结
5、当堂
达
标
6、课后
作
业
温故知新
1.将下列多项式因式分解：
（1）3x2+x (2)4x2-81 (3)m2-6m+9 (4)y2-8y+7
找两名同学板书过程，从而发现其中的错误或好的解法（不唯一）
活动６、挑战自我：
活动二、巩固练习（A层）：
用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）16x2+10x=0 （2）9x2=25
（3）4x2-4x+1=0 (4)2x2+5x-3=0
与学生一起归纳：
１、由第（２）小题看出应该先通过移项把右边变为０
再次规范步骤是：
１移（移项，使右边为０）
２分（左边分解因式）
３拆（拆成两个一元一次方程）
４解（解这两个一元一次方程）
２、引导学生分析第（３）小题为什么是x1＝x2（用乘方的意义来解决）
活动３、抢答活动
把温故知新中的第一题后面加上等于０，变成方程，让学生抢答各方程的解。
（1）3x2+x＝０
(2)4x2-81＝０
(3)m2-6m+9 ＝０
（4)y2-8y+7＝０
教学难点
理解用因式分解法解一元二次方程的思想及方法.
教法
采用洋思教法，指导学生自主探索、交流．
学法
自主探索交流法
教学
准备
多媒体课件
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情境
二、新课
学
习
与
巩
固
练
习
三、知识应用
四、课堂
小
结
5、当堂
达
标
6、课后
作
业
温故知新
1.将下列多项式因式分解：
（1）3x2+x (2)4x2-81 (3)m2-6m+9 (4)y2-8y+7
找两名同学板书过程，从而发现其中的错误或好的解法（不唯一）
活动６、挑战自我：
人教版初中九年级数学上册《解一元二次方程》精品课件
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0 的方程，
其解为 x n m. 配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是 常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解. 公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
解：（2）由 x2-3x-4=0得 (x-4)(x+1)=0， 所以 x-4=0 或 x+1=0， 所以 x1=4，x2=-1.
本题源于《教材帮》
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
下课了！
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
解一元二次方程
21.2.3
因式分解法
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考 人教版-数学-九年级上册
知识回顾
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2 分解因式.
新知探究 知识点
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.”
其解为 x n m. 配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是 常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解. 公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
解：（2）由 x2-3x-4=0得 (x-4)(x+1)=0， 所以 x-4=0 或 x+1=0， 所以 x1=4，x2=-1.
本题源于《教材帮》
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
下课了！
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
解一元二次方程
21.2.3
因式分解法
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-对接中考 人教版-数学-九年级上册
知识回顾
因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法： 利用平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）和完全平方公式 a2 2ab b2 （a b）2 分解因式.
新知探究 知识点
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.”
4用因式分解法求解一元二次方程-初中九年级上册数学(教案)(北师大版)
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于因式分解法求解一元二次方程这一部分内容的学习有一定的难度。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来解释这个概念，但感觉还是有一部分学生不太能跟上。我意识到可能需要更多的实际操作和练习来帮助他们理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的问题来激发学生的兴趣，这个方法似乎挺有效的，大部分学生都能积极参与进来。不过，我也注意到，当问题变得稍微复杂一些时，学生们在将实际问题抽象为一元二次方程时遇到了一些困难。这告诉我，在未来的教学中，我需要更多地强调和练习这种问题转换的能力。
2.教学难点
（1）如何将一元二次方程转化为因式分解的形式；
举例：难点在于如何找到合适的m、n使得x^2 - px + q = (x - m)(x - n)，需要引导学生掌握寻找m、n的方法。
（2）在因式分解过程中，如何处理二次项、一次项和常数项的系数；
举例：对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，解释如何将-5分解为两个数的和，使得这两个数乘积等于6。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握因式分解法求解一元二次方程的基本原理；
举例：重点讲解如何将一元二次方程x^2 - px + q = 0通过因式分解转化为(x - m)(x - n) = 0的形式，从而求解方程。
在今天的教学中，我发现学生们对于因式分解法求解一元二次方程这一部分内容的学习有一定的难度。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来解释这个概念，但感觉还是有一部分学生不太能跟上。我意识到可能需要更多的实际操作和练习来帮助他们理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的问题来激发学生的兴趣，这个方法似乎挺有效的，大部分学生都能积极参与进来。不过，我也注意到，当问题变得稍微复杂一些时，学生们在将实际问题抽象为一元二次方程时遇到了一些困难。这告诉我，在未来的教学中，我需要更多地强调和练习这种问题转换的能力。
2.教学难点
（1）如何将一元二次方程转化为因式分解的形式；
举例：难点在于如何找到合适的m、n使得x^2 - px + q = (x - m)(x - n)，需要引导学生掌握寻找m、n的方法。
（2）在因式分解过程中，如何处理二次项、一次项和常数项的系数；
举例：对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，解释如何将-5分解为两个数的和，使得这两个数乘积等于6。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握因式分解法求解一元二次方程的基本原理；
举例：重点讲解如何将一元二次方程x^2 - px + q = 0通过因式分解转化为(x - m)(x - n) = 0的形式，从而求解方程。
解一元二次方程》(因式分解法)ppt课件
3x 1 5 0
则x1
1 3
5
1
, x2
3
5
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式 的乘积 。 3、至少 有一个因式为零，得到两个一元 一次方程。 4、两个一元一次方就程是的原解方程的解。
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
小结
因式分解法的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元 二次方程转化为解两个一元一次方程.
小结
一元二次方程的解法：
1、配方法； 2、公式法；
适用任何一元二次方程
3、因式分解法. 适用部分一元二次方程
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x 2)(2x 1) 0 x1
(4)x2 x x1 0, x2 1
2 3 , x2来自1 22.下面的解法正确吗？如果不正确，错误 在哪？ (1)解方程： ( x 2)(x 1) 3
y2 4y
解：移项，得 y2 4y 0
因式分解，得 y( y 4) 0
y 0 或 y 4 0 则 y1 4, y2 0
例题讲解
解方程：
5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
分析：等号右边不为0，需要先移项整
理。使方程右边为0，再对方程左边因式分
x(x+1)=0
x2+x=0 解：因式分解,得:
x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现，利用因式分解可以很快捷地 解出方程。
初中数学北师大版九年级上册《用因式分解法解一元二次方程》课件
（1）对于一元二次方程（x - p）（x - q）=0,那么它的两个实数根分
别为p，q. （2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程 可以写成（x - p）(x - q )=0的形式.
解下列方程：
（1）（2x + 3）2 = 4 (2x + 3) ;
（2）(x - 2) 2 =
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
11 11 x1 2 , x2 2 .
x1=x2=1.
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x
小颖的思路：
小明的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
因此 x 3 9 2
x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3.
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x=3. 所以这个数是3.
小亮的思路：
(2x
+
3)
2 .
解：（2x + 3）2 - 4 (2x + 3) =0 , 解：（x - 2）2 - (2x + 3) 2 =0,
(2x + 3) (2x + 3 - 4) = 0, ( x -2+ 2x+ 3) (x -2 - 2x - 3)=0,
(2x + 3) (2x - 1) = 0.
青岛版数学九年级上册用因式分解法解一元二次方程课件
4.4 用因式分解法解一元二 次方程
回顾与复习 1
温故而知新
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: xbb24a.cb24ac0. 2a
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
例1、用因式分解法解方程
(1) 15x2+6x﹦0
解：把方程的左边进行因式分解，得
3x(5x+2)=0
∴ 3x=0, 或 5x+2=0
∴X1=0,
2 X2=﹣ 5
(2) 4x2﹣9=0
解：把方程的左边进行因式分解，得
(2x+3)(2x﹣3)=0
∴2x+3=0, 或 2x﹣3=0
∴x1=﹣
3 2
X2=
2. x2(35)x1 50； 2.x15;x23.
3 .x2(32)x1 80 ; 3.x13;x22.
十字相乘法分解因式:
a 1 a 2 x 2 (a 1 c 2 a 2 c 1 )x c 1 c 2a 1
c1
(a 1 x c 1 )a ( 2 x c 2 )
a2
c2
(4)3x27x20
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
•
视察与思考
解方程:
回顾与复习 1
温故而知新
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: xbb24a.cb24ac0. 2a
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
例1、用因式分解法解方程
(1) 15x2+6x﹦0
解：把方程的左边进行因式分解，得
3x(5x+2)=0
∴ 3x=0, 或 5x+2=0
∴X1=0,
2 X2=﹣ 5
(2) 4x2﹣9=0
解：把方程的左边进行因式分解，得
(2x+3)(2x﹣3)=0
∴2x+3=0, 或 2x﹣3=0
∴x1=﹣
3 2
X2=
2. x2(35)x1 50； 2.x15;x23.
3 .x2(32)x1 80 ; 3.x13;x22.
十字相乘法分解因式:
a 1 a 2 x 2 (a 1 c 2 a 2 c 1 )x c 1 c 2a 1
c1
(a 1 x c 1 )a ( 2 x c 2 )
a2
c2
(4)3x27x20
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
•
视察与思考
解方程:
人教版九年级数学上册《因式分解法》课件
2(x2+2x+1)
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
最新人教版九年级上数学《用因式分解法解一元二次方程2》省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
2. x2 ( 3 5)x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3.
3.x2 (3 2)x 18 0;
4. (4x 2)2 x(2x 1)
5; .3x(x 2) 5(x 2); 6.(3x 1)2 5 0;
7.2(x 3)2 xx 3; 8.(x 1)2 3x 1 2 0;
（2）5
x2
2x
1 4
x2
2x
3 4
.
(3)3x(x 2) 5(x 2)
(4)(3x 1)2 5 0
练习
1.解下列方程：
2.把小圆形场地旳半径增长5m得到大圆形场地，场地面积增 长了一倍，求小圆形场地旳半径．
解：设小圆形场地旳半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得
8.x2 5 2x 8 0.
解下列方程
参照答案：
1.x1 2.x1
1
4
; x2 2; 3
x2
7. 5 1.
3.x1 4.x1
3; 2
3; x2
x2
9.
1 2
.
5.x1 0; x2 4.
6.x1Βιβλιοθήκη 5;x21 3
.
7.x1 1, x2 6.
8.x1 4 2; x2 2.
下课了!
分解因式法旳条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌 握因式分解旳知识,理论依旧是“假如两个因式旳积等于零,那么至少 有一种因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程旳环节是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一种因式为零”,得到两个一元一次方程.
(4)两个一元一次方程旳根就是原方程旳根.
《解一元二次方程因式分解法》PPT课件
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
典例精析
例 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)2x2-3x-1=0.
解： （1）移项，得x2 4x 1.
x2 2 2x 22 1 4， 即（x 2）2 5. 开平方，得x -1 5. x1 1 5，x2 1 5.
a＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
17．(12分)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程： x2－1＝0① x2＋x－2＝0② x2＋2x－3＝0③ …… x2＋(n－1)x－n＝0○n (1)请解上述一元二次方程①、②、③、○n ； (2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． (1)① x1＝－1，x2＝1；② x1＝－2，x2＝1；③ x1＝－3，x2＝1； ○n x1＝－n，x2＝1 (2)比如：都有一个根为1；都有一根为负整数；两个根都是整数 根
ax2 bx c 0 （a≠0）
讲授新课
一 直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解 得 x1 a, x2 a , 这种解一元二次方程的方法叫做直接 开平方法.
问题
方程 x2 0.25的根是
方程 2x2 18 的根是
方程 (2x 1)2 9 的根是
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
24．2 解一元二次方程 因式分解法
4．(4分)经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4.则一元二次方程x2 －3x－4＝0的所有根是( B )
A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 5．(5分)用因式分解法把方程(x－5)(x＋1)＝7分解成两个一次方程， 正确的是( D ) A．x－5＝1，x＋1＝7 B．x－5＝7，x＋1＝1 C．x＋6＝0，x－2＝0 D．x－6＝0，x＋2＝0 6．(5分)下面方程，不能用因式分解法求解的是( D ) A．x2＝3x B．(x－2)2＝3x－6 C．9x2＋6x＋1＝0 D．(x＋2)(3x－1)＝5
典例精析
例 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0;
(2)2x2-3x-1=0.
解： （1）移项，得x2 4x 1.
x2 2 2x 22 1 4， 即（x 2）2 5. 开平方，得x -1 5. x1 1 5，x2 1 5.
a＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
17．(12分)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程： x2－1＝0① x2＋x－2＝0② x2＋2x－3＝0③ …… x2＋(n－1)x－n＝0○n (1)请解上述一元二次方程①、②、③、○n ； (2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． (1)① x1＝－1，x2＝1；② x1＝－2，x2＝1；③ x1＝－3，x2＝1； ○n x1＝－n，x2＝1 (2)比如：都有一个根为1；都有一根为负整数；两个根都是整数 根
ax2 bx c 0 （a≠0）
讲授新课
一 直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解 得 x1 a, x2 a , 这种解一元二次方程的方法叫做直接 开平方法.
问题
方程 x2 0.25的根是
方程 2x2 18 的根是
方程 (2x 1)2 9 的根是
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
24．2 解一元二次方程 因式分解法
4．(4分)经计算整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4.则一元二次方程x2 －3x－4＝0的所有根是( B )
A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 5．(5分)用因式分解法把方程(x－5)(x＋1)＝7分解成两个一次方程， 正确的是( D ) A．x－5＝1，x＋1＝7 B．x－5＝7，x＋1＝1 C．x＋6＝0，x－2＝0 D．x－6＝0，x＋2＝0 6．(5分)下面方程，不能用因式分解法求解的是( D ) A．x2＝3x B．(x－2)2＝3x－6 C．9x2＋6x＋1＝0 D．(x＋2)(3x－1)＝5
4.4用因式分解法解一元二次方程
1214.4用因式分解法解一元二次方程一、学习目标1.会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程；（重点，考点）2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性。
（难点，考点） 二、 学习过程 1.预习导学阅读教材139-140页的内容，完成课前预习1.知识准备：将下列各题因式分解am+bm+cm= ； a 2-b 2= ； a 2±2ab+b 2=因式分解的方法： 解下列方程．（1）2x 2+x=0（用配方法） （2）3x 2+6x=0（用公式法）2.探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？3.归纳：如果0a b⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。
练习1.说出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=练习2.用因式分解法解下列方程：(1)x 2-4x=0 (2)4x 2-49=0 (3)5x 2-10x+20=02.合作探究122探究一 用因式分解法解下列方程(1) 5x 2—x=0 (2)x(x-2)+x-2=0（3）3x(2x+1)=4x+2 (4)(x+5)2=3x+15探究二 用因式分解法解下列方程（1）4x 2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2（3）221352244x x x x --=-+（4）3x 2-12x=-12三、归纳总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤 ①将方程右边化为②将方程左边分解成两个一次因式的 ③令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的 四 当堂达标1.一元二次方程y2+2y=0的解是。
2.解方程(4 x-1)2=3(4x-1),较简便的方法是（）A.公式法B.配方法C.因式分解法D.开平方法3.用因式分解法解下列方程。
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归纳总结
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀：
右化零 两因式
左分解 各求解
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
8 C．x1＝16，x2＝8 D．x1＝－16，x2＝－
8 (2)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根为( ) A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5
C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5
跟踪练习
2．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0； (3)(x－1)(x＋3)＝12； (4)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
3.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)将方程左边因式分解，右边等于0; (2)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
(x+h)2a2=k (k≥0)
(3)公式法:
情景导入
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的 : 解 : x2 3x 0.
(3)2 4 1 0 9.
x 3 9 . 2
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小亮做得对吗?
精讲点拨 我思 我进步
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做因式分解.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为分解因式法.
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而 右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”
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４.4 用因式分解法 解一元二次方程
复习巩固
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 .
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
小结 拓展
回味无穷
1.当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因 式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因 式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
2.分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键 是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等 于零,那么至少有一个因式等于零.”
精讲点拨
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
你的解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
3.x(x-2)+x-2=0;
跟踪练习
1.选择题 (1)方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( ) A．x1＝－16，x2＝8 B．x1＝16，x2＝－
小亮是这样想的 : 如果a b 0, 那么a 0或b 0 或a b 0.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的 :
解 :由方程x2 3x, 得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
小明是这样解的 :
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
心动 不可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.