[推荐学习]2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章 第四节 基本不等式 Word版含解析-
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章 第四节 基本不等式
一、填空题1．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3[x ＋(1－x )2]2＝34，此时x ＝1－x ，∴x ＝12. 答案：122．已知x ，y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y的最大值为________． 解析：依题意，得x 2x ＋y ＋yx ＋2y ＝x 2＋4xy ＋y 22x 2＋5xy ＋2y 2 ＝x 2＋52xy ＋y 2＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32·12x 2＋5xy ＋2y 2xy＝12＋32·12x y ＋2y x ＋5≤12＋32×19 ＝12＋16＝23，当且仅当x ＝y 时取等号． 答案：233．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________． 解析：1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”． 答案：44．不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥－2.答案：[－2，＋∞)5．当x 2－2x <8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________．解析：由x 2－2x <8，得－2<x <4.设x ＋2＝t ，则t ∈(0,6)． y ＝(t －2)2－(t －2)－5t ＝t 2－5t ＋1t ＝t ＋1t －5 ≥2t ·1t －5＝－3.当且仅当t ＝1时取“＝”．答案：－36．x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，y 2xz 的最小值是________．解析：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz ，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 答案：37．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．解析：由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4. 答案：－48．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋nt ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为________．解析：因(s ＋t )(m s ＋n t )＝m ＋n ＋tm s ＋snt ≥m ＋n ＋2mn ， 所以m ＋n ＋2mn ＝4，从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点( 1,1)， 而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1， 从而此弦的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝09．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解析：设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题意可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．答案：12 二、解答题10．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解析：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎨⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1，(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，∴3xy －2xy －1≥0， 即3(xy )2－2xy －1≥0，∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2， 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.11．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin (A ＋C )，3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2 B2－1)，且向量m 、n 共线． (1)求角B 的大小；(2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值． 解析：(1)∵m ∥n ，∴2sin (A ＋C )(2cos 2 B2－1)－3cos 2B ＝0.又∵A ＋C ＝π－B ，∴2sin B cos B ＝3cos 2B ，即sin 2B ＝3cos 2B . ∴tan 2B ＝3，又∵△ABC 是锐角三角形，∴0<B <π2， ∴0＜2B ＜π，∴2B ＝π3，故B ＝π6.(2)由(1)知：B ＝π6，且b ＝1，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－3ac ＝1. ∴1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即(2－3)ac ≤1， ∴ac ≤12－3＝2＋3，当且仅当a ＝c ＝6＋22时，等号成立． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2＋34. ∴△ABC 的面积最大值为2＋34.12．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①保护罩的容积大于0.5立方米，罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体的费用为1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．(1)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)与保护罩的容积V (单位：立方米)之间的函数关系式；(2)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)的最小值；(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状，且保护罩的底面(不计厚度)正方形的边长不得少于1. 1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩的底面积的最小值(可能用到的数据：8.25≈2.87，结果保留一位小数)．解析：(1)依据题意，当保护罩的容积等于V 时，需支付的保险费用为kV (其中k 为比例系数，k >0)，且当V ＝2时，kV ＝8，所以k ＝16，所以y ＝1·(V －0.5)＋16V ＝V ＋16V －0.5(V >0.5)． (2)y ＝V ＋16V －0.5≥7.5，并且仅当V ＝16V ，即V ＝4时等号成立，所以，博物馆支付的总费用的最小值为7.5千元．(3)设S (单位：平方米)为底面正方形的面积，由题意得不等式：V ＋16V －0.5≤8，V ＝2S ，代入整理得4S 2－17S ＋16≤0， 解得1.41≈8.5－8.254≤S ≤8.5＋8.254≈2.84. 又底面正方形的面积最小不得少于1.1×1.1＝1.21，所以，保护罩的底面积的最小值是1.4平方米．。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章 第四节 基本不等式 含解析
一、填空题1．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3[x ＋(1－x )2]2＝34， 此时x ＝1－x ，∴x ＝12.答案：122．已知x ，y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y的最大值为________． 解析：依题意，得x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋y 22x 2＋5xy ＋2y 2 ＝x 2＋52xy ＋y 2＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2 ＝12＋32xy2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32·12x 2＋5xy ＋2y2xy＝12＋32·12x y ＋2y x ＋5≤12＋32×19＝12＋16＝23，当且仅当x ＝y 时取等号．答案：233．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．解析：1a ＋1b ＋2ab ≥2 1ab ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”．答案：44．不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥－2.答案：[－2，＋∞)5．当x 2－2x <8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________． 解析：由x 2－2x <8，得－2<x <4.设x ＋2＝t ，则t ∈(0,6)．y ＝(t －2)2－(t －2)－5t ＝t 2－5t ＋1t ＝t ＋1t －5≥2 t ·1t －5＝－3.当且仅当t ＝1时取“＝”．答案：－36．x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，y 2xz 的最小值是________． 解析：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz ，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．答案：37．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________． 解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，。
2018-2019学年高中新创新一轮复习文数江苏专版讲义：第七章+不+等+式+Word版含答案
第七章 不 等 式(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b ＜0⇔a ＜b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b (a ∈R ，b ＞0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，a b ＜1⇔a ＜b (a ∈R ，b ＞0).2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d .④0＜a ＜x ＜b 或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则：①ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)．②ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”比较两个数(式)的大小[例1](1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________．(2)若a＝ln 22，b＝ln 33，则a________b(填“＞”或“＜”)．[解析](1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N.(2)易知a，b都是正数，ba＝2ln 33ln 2＝log89＞1，所以b＞a.[答案](1)M＞N(2)＜[方法技巧]比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质[例2](1)(2018·f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．(2)下列命题：①若a＞b，c＞d，则ac＞bd；②若ac ＞bc ，则a ＞b ； ③若a c 2＜bc2，则a ＜b ；④若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d . 其中正确命题的序号是________．(3)(2018·兴化八校联考)“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的________条件． [解析] (1)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a－b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误；当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴②错误；∵a c 2＜bc2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，③正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知④错误．(3)x 1＞3，x 2＞3⇒x 1＋x 2＞6，x 1x 2＞9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412＞6，x 1x 2＝10＞9，但x 1＜3.故“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的充分不必要条件．[答案] (1)[5,10] (2)③ (3)充分不必要 [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．． 解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 答案：A ≥B2.[考点二]若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的序号是________． ①－n ＜m ＜n ＜－m ；②－n ＜m ＜－m ＜n ；③m ＜－n ＜－m ＜n ；④m ＜－n ＜n ＜－m .解析：法一：(特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各不等式中检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 答案：④3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是________．解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴ad ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.答案：34.[考点二]设a ，b 是实数，则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b ”的________条件． 解析：因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a ＞b ＞1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ＞0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b 成立，但a ＞b ＞1不成立，所以必要性不成立．答案：充分不必要突破点(二) 一元二次不等式)1．三个“二次”之间的关系一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1或x ＞x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a R一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅(1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0. (2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法[例1] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a ＜1时，解为1a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a ＞1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1.[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立． 考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题． 由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4＞0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4＞0， 解得x ＜1或x ＞3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1.[考点一](2018·常州月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是________．解析：当x ≤32时，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；当x ＞32时，原不等式化为x 2＞(3－2x )2，解得32＜x ＜3. 综上，x ＜－3或1＜x ＜3.答案：(－∞，－3)∪(1,3)2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于________．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－33.[考点二·考法(一)](2018·无锡期初测试)定义在R 上的运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：∵(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )(1－x －y )＝x －x 2－y ＋y 2＜1.∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 4.[考点二·考法(二)]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4,3]5.[考点二·考法(三)]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0，当|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x ＞4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)1．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的序号有________． ①1a ＜1b；②|a |＞|b |； ③a ＋b ＜2ab ；④⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b.解析：∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，且|a |＞|b |，a ＋b ＞2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b.答案：①②④2．(2018·启东中学月考)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．答案：(－3,0]3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，2x 2－7x ＋6＞0的解集是________．解析：∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3.又∵2x 2－7x ＋6＞0，∴(x －2)(2x －3)＞0，∴x ＜32或x ＞2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 答案：⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) 4．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a ＞0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a＞0，即为－2x 2＋2x ＋12＞0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B ＝________. 解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1＞0得x ＞1，即B ＝{x |x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．答案：{x |1＜x ≤2}2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的序号是________．①ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；②a c ＞bc ⇒a ＞b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1b ；④⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b . 解析：当ac 2＞bc 2时，c 2＞0，所以a ＞b ，故①正确；当c ＜0时，a c ＞bc ⇒a ＜b ，故②错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＞0，a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0，a ＞b ，故④错误，③正确．答案：①③3．已知a ＞0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则m ，n 的大小关系是________． 解析：由题易知m ＞0，n ＞0，两式作商，得m n ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a ＞1时，a (a －1)＞0，所以a a (a－1)＞a 0＝1，即m ＞n ；当0＜a ＜1时，a (a －1)＜0，所以a a (a－1)＞a 0＝1，即m ＞n .综上，对任意的a ＞0，a ≠1，都有m ＞n .答案：m ＞n4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x ＜－1或x ＞3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a ＞0，即a ＜－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：[－4，＋∞)5．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a 2＋8＞0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 6．(2018·无锡中学模拟)在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：327．(2018·姜堰中学月考)若关于x 的不等式(2x －1)2＜kx 2的解集中整数恰好有2个，则实数k 的取值范围是________．解析：因为原不等式等价于(－k ＋4)x 2－4x ＋1＜0，从而方程(－k ＋4)x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ＝4k ＞0，且有4－k ＞0，故0＜k ＜4.又原不等式的解集为12＋k ＜x ＜12－k，且14＜12＋k ＜12，则1,2一定为所求的整数解，所以2＜12－k≤3，得k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤94，259. 答案：⎝⎛⎦⎤94，2598．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集是________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ＜x ＜1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2018·盐城中学月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2－3(x －1)，x －1≤0，(x －1)2－3(x －1)，x －1＞0， 即f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1，所以不等式f (x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4. 答案：(4，＋∞) 二、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0， 即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3. 12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x ＞0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． 解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4. 因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 第二节二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.基础联通抓主干知识的“源”与“流”不等式 表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分以上简称为“直线定界，特殊点定域”.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求平面区域的面积1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积． 2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．[例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．[解析]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.[答案] 1 [方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.[答案] (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ [易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π.答案：4π2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S△ABC＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．答案：13.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性目标函数的最值[例1](1)(2017·山东高考)已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≤0，3x＋y＋5≤0，x＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值是________．(2)(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y ＝－x 2＋z2进行平移，显然当该直线过点A 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，即A (－3,4)，所以z max ＝－3＋8＝5.(2)法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.[答案] (1)5 (2)－15 [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (1)(2018·无锡期初测试)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤－x ＋3，y ≥2x 则yx －2的取值范围是________．(2)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．[解析] (1)画出可行域如图所示，yx －2等价于点(x ，y )到点(2,0)连线的斜率，又k AB ＝－2，k BO ＝0，从而yx －2∈[－2,0]．(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.[答案] (1)[－2,0] (2)10 [方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝ac·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线的斜率的a c 倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值.线性规划中的参数问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] 2 [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z 2过点A 时，在y轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－52.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为________． 解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x －(－1)表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－(－1)＝1.答案：13.[考点一](2018·银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3.答案：－34.[考点三](2018·苏州月考)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a＞0，b ＞0)的最大值为2，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值2，即2a ＋3b ＝1，而2a ＋3b (2a ＋3b )＝13＋6⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥25.答案：255.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”解线性规划应用题的一般步骤考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性规划的实际应用[典例] 生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析] 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． [答案] 216 000 [方法技巧]1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.答案：132．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 7003．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.答案：184．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x 万元，y 万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得x ＝4，y ＝6，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元) ∵ 7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43. 答案：432．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.答案：23．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92. 答案：924．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案：45．(2018·常州月考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则y －⎝⎛⎭⎫12x的最大值为________．解析：令z ＝y －⎝⎛⎭⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，平移函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，可知当函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋z 的图象经过点A 时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＝1，得A (1,1)，所以x ＝y ＝1时，y －⎝⎛⎭⎫12x 取最大值12. 答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________.解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a ＞－1， ∵ S △ABC ＝2，∴ 12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.答案：32．(2018·江苏八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是________．解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函数z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20.答案：203．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)4．(2018·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤－12，2 5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.答案：3 26．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，显然成立．。
2019版一轮优化探究化学(苏教版)练习：章末排查练7 Word版含解析
章末排查练(七)判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”.一、化学反应速率1、活化分子的碰撞都是有效碰撞.()2、温度越高,活化分子百分数越大、浓度越大.()3、压强越大,活化分子百分数越大.()4、决定化学反应速率的内在因素是反应物本身的性质.()5、固体和纯液体的浓度是固定的,增加固体或纯液体的用量,反应速率保持不变.()6、可逆反应达到平衡,反应就不再进行.()7、增大反应物浓度,化学反应速率一定加快.()8、在恒温条件下,增大压强,化学反应速率一定加快.()9、在一定条件下,增加反应物的量,化学反应速率一定加快.()10、其他条件不变,温度越高,反应速率越快.()11、正反应为吸热反应的可逆反应达到平衡时,升高温度,正反应速率增大,逆反应速率减小,平衡向正反应方向移动.()12、加入催化剂加快了反应速率,改变了反应吸收或放出的热量.()13、一定条件下,某一反应的活化分子在反应物分子中所占百分数是一定的.()14、同一反应,在相同时间间隔内,用不同物质表示的反应速率,其数值和意义都不一定相同.()15、5 mol·L－1·s－1的反应速率一定比1 mol·L－1·s－1的反应速率大.()16、一个放热反应,放出热量的多少与反应速率成正比.()17、正反应速率越大,反应物的转化率越大.()18、对于某可逆反应,反应进行的净速率是正、逆反应速率之差.()答案：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.×7.×8.×9、×10.√11.×12.×13.√14.×15.×16、×17.×18.√二、化学平衡1、正反应速率增大,平衡向正反应方向移动.()2、在恒容条件下,有两个平衡体系：A(g)2B(g)；2A(g)B(g),都增加A的量,A、B转化率都变小.()3、在一定条件下,平衡向正反应方向移动,正反应速率变大.()4、由温度或压强改变引起的平衡正向移动,反应物的转化率一定增大.()5、平衡向正反应方向移动,反应物的转化率都增大.()(g)＋3H2(g)2NH3(g)ΔH<0,平衡后,改变条件,6、对于：N判断下列说法是否正确.(1)保持体积不变,充入N2,平衡向正反应方向移动,其转化率增大.()(2)保持体积不变,充入NH3,则NH3的体积分数减小.()(3)保持温度不变,压缩体积,平衡向正反应方向移动,N2、H2的转化率均增大,其体积分数均减小,NH3的体积分数增大,N2、H2的浓度增大,NH3的浓度减小.()O(g)CO(g)＋H2(g)反应,在一定条件下达7、对于C(s)＋H到平衡,增加或减少C(s)的量,平衡不移动.()(g)＋O2(g)2SO3(g)反应,当密度保持不变,在恒8、对于2SO温恒容或恒温恒压条件下,均不能作为达到化学平衡状态的标志.( )9、对于C(s)＋CO2(g) 2CO(g)反应,当密度保持不变,在恒温恒容或恒温恒压条件下,均能作为达到化学平衡状态的标志.( )10、对于2SO2(g)＋O 2(g) 2SO 3(g)和I 2(g)＋H 2(g) 2HI(g)反应,在恒温恒容条件下,当压强保持不变时,均能说明上述反应达到化学平衡状态.( )11、对于I2(g)＋H 2(g) 2HI(g)反应,加入催化剂或增大压强均能缩短达到平衡所用时间,但HI 的百分含量保持不变.( )12、对于C(s)＋H2O(g)CO(g)＋H 2(g)反应,其平衡常数K ＝c (CO )·c (H 2)c (C )·c (H 2O ).( ) 13、H2(g)＋I 2(g) 2HI(g)平衡常数为K 1,HI(g) 12H 2(g)＋12I 2(g)平衡常数为K 2,则K 1·K 2＝1.( ) 14、化学平衡常数越大,说明正反应进行的程度越大,即该反应进行的越完全,反应物的转化率越大；化学平衡常数越小,说明正反应进行的程度越小,即该反应进行的就越不完全,反应物的转化率就越小.( )15、化学平衡常数只受温度影响,与反应物或生成物的浓度变化无关；温度越高,化学平衡常数越大.( )16、K ＝c (CO 2)·c (H 2)c (CO )·c (H 2O ),温度升高,K 增大,则CO 2(g)＋H 2(g) CO(g)＋H2O(g) ΔH >0.( )答案：1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.(1)× (2)× (3)×7.√ 8.× 9.√ 10.× 11.√ 12.× 13.×14、√15.×16.×。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第二章 第七节 对数与
一、填空题 1．×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________．解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2 ＝18＋lg 10＝19. 答案：192．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析：由题意得，f (－2)＝－f (2)＝－log 3(1＋2)＝－1. 答案：－13．设a ＝log 32，b ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，又12＝15<12，a ＝log 32>log 33＝12，因此c <a <b .答案：c <a <b4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧8x －8，x ≤1，0，x >1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为________．解析：如图，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象交于两点，且均在函数y ＝8x －8(x ≤1)的图象上． 答案：25．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________．解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎨⎧m >0，Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4. 答案：[0,4]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3 x (x >0)2x (x ≤0)，则f (f (19))＝________.解析：f (19)＝log 3 19＝－2， f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14. 答案：147．将函数y ＝log 3 x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m >0)倍，得到图象C ，若将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m ＝________.解析：将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位， 得到y ＝2＋log 3 x ＝log 3 (9x )的图象，∴m ＝19. 答案：19 8．设f (x )＝lg (21－x＋a )是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________． 解析：由f (x )是奇函数得f (－x )＋f (x )＝0，即lg2＋a ＋ax 1＋x ＋lg 2＋a －ax1－x＝0，(2＋a ＋ax )(2＋a －ax )＝(1＋x )(1－x )，(2＋a )2－a 2x 2＝1－x 2，因此(2＋a )2＝1且a 2＝1，故a ＝－1，f (x )＝lg1＋x 1－x ，令f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，则有0<1＋x1－x<1，即－1<x <0，因此使f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)． 答案：(－1,0)9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x －1， x ≤1，log a x ， x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎨⎧a －2>0，a >1，log a 1≥(a －2)·1－1，解得2<a ≤3.答案：(2,3] 二、解答题10．对于正实数a ，函数y ＝x ＋a x 在(34，＋∞)上为增函数，求函数f (x )＝log a (3x 2－4x )的单调递减区间．解析：∵y ＝x ＋a x 在(34，＋∞)上为增函数， ∴34<x 1<x 2时，y 1<y 2，即x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x2<0⇒x 1x 2－a >0⇒a <x 1x 2， ∴a ≤916恒成立，f (x )＝log a (3x 2－4x )的定义域为(－∞，0)∪(43，＋∞)， 而0<a ≤916<1.∴f (x )与g (x )＝3x 2－4x 在(－∞，0)，(43，＋∞)上的单调性相反． ∴f (x )的单调递减区间为(43，＋∞)．11．已知函数f (x )＝log 4 (4x ＋1)＋2kx (k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝m 有解，求m 的取值范围． 解析：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )， ∴log 4 (4x ＋1)＋2kx ＝log 4 (4－x ＋1)－2kx ， 即log 4 4x ＋14－x ＋1＝－4kx ，∴log 4 4x ＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0， 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－14. (2)由m ＝f (x )＝log 4 (4x ＋1)－12x ＝log 4 4x ＋12x ＝log 4 (2x ＋12x )， ∵2x ＋12x ≥2，∴m ≥log 4 2＝12.故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为[12，＋∞)． 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域． (2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值． 解析：∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.。
2019版高考数学一轮复习题组训练(文科)课标版第7章第3讲基本不等式(含模拟题)含答案
第三讲基本不等式题组1利用基本不等式比较大小1.[2015陕西,9,5分]设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(a+b2),r=12( f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是() A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q题组2利用基本不等式求最值2.[2015福建,5,5分][文]若直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.53.[2014重庆,9,5分][文]若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+2B.7+2C.6+4D.7+44.[2013山东,12,5分]设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz 取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为()A.0B.1C.94D.35.[2017山东,12,5分][文]若直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.6.[2017天津,13,5分][文]若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为.7.[2015山东,14,5分][文]定义运算“⊗”:x⊗y=x2-y2xy(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x 的最小值为.8.[2015重庆,14,5分][文]设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.题组3基本不等式的实际应用9.[2017江苏,10,5分][文]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.10.[2014湖北,16,5分][文]某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=76000vv2+18v+20l.(Ⅰ)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(Ⅱ)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加辆/小时.A组基础题1.[2018长春市高三第一次质量监测,7]已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为()A.8B.9C.12D.162.[2018合肥市高三调研,11]已知a>b>0,则a+4a+b +1a-b的最小值为()A.3102B.4C.23D.323.[2018湖北省部分重点中学高三联考,9]已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2的最大值是()A.63B.233C.433D.-4334.[2017湖南省湘中名校高三联考,9]若正数a,b满足:1a +2b=1,则2a-1+1b-2的最小值为()A.2B.322C.52D.1+3245.[2017河北省石家庄市高三一检,14]已知直线l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则a+b的最小值为.B组提升题6.[2018豫西南部分示范性高中联考,9]已知正项等比数列{a n}的公比为2,若a m a n=4a22,则2 m +12n的最小值等于()A.1B. 12C.34D.327.[2017沈阳三模,10]直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为()A.1B.-1C.2+12D.2+18.[2017郑州市高三一测,10]设正实数x,y满足x>12,y>1,不等式4x2y-1+y22x-1≥m恒成立,则m的最大值为()A.22B.42C.8D.169.[2017广东五校一诊,16]两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0,则1a +1b的最小值为.10.[2018天津市滨海新区八校联考]已知a>b>0,且ab=1,那么a2+b2a-b取最小值时,b=. 答案1.B因为0<a<b,所以a+b2>又f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,故f(<f(a+b2),即q>p,因为r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)=ln (=p,所以p=r<q.故选B.2.C解法一因为直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1a+1b=1,所以1=1a+1b≥21a·1b=ab(当且仅当a=b=2时取等号),所以ab≥2.又a+b≥2ab(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.解法二因为直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1a+1b=1,所以a+b=(a+b)(1a +1b)=2+ab+ba≥2+2ab·ba=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.3.D因为log4(3a+4b)=log2ab,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且3a+4b>0, ab>0,即a>0,b>0,所以4a +3b=1(a>0,b>0),所以a+b=(a+b)(4a+3b)=7+4ba+3ab≥7+24ba·3ab=7+43,当且仅当4ba =3ab时取等号,故选D.4.B xyz =xyx-3xy+4y=1xy+4yx-3≤14−3=1,当且仅当x=2y时等号成立,此时z=2y2,2x +1y-2z=-1y+2y=-(1y-1)2+1≤1,当且仅当y=1时等号成立,故选B.5.8∵直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴1a+2b=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba +4ab≥4+2ba·4ab=8,当且仅当ba=4ab,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.6.4a4+4b4+1ab =a3b+4b3a+1ab,因为ab>0,所以由基本不等式可得a3 b +4b3a+1ab≥2a3b×4b3a+1ab=4ab+1ab≥4,当且仅当a3b=4b3a,4ab=1ab同时成立时等号成立.7.因为x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x=x2-y2xy +4y2-x22xy=x2+2y22xy=12(xy+2yx)≥2,当且仅当xy=2yx,即x=2y时取等号.故x⊗y+(2y)⊗x的最小值为2.8.3()2=a+b+4+2+2·(a+1)2+(b+3)22=9+a+b+4=18,所以a+1+b+3≤32,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=72,b=32时等号成立.所以a+1+b+3的最大值为32.9.30一年购买600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4(900x+x)≥8900x·x=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.10.(Ⅰ)1 900F=76000v+20×6.05+18≤2121+18=1 900,当且仅当v=11时等号成立.(Ⅱ)100F=76000v+20×5+18≤2100+18=2 000,当且仅当v=10时等号成立,2 000-1 900=100.A组基础题1.B由4x+y=xy得4y +1x=1,则x+y=(x+y)(4y+1x)=4xy+yx+1+4≥24+5=9,当且仅当4xy=yx,即x=3,y=6时取“=”,故选B.2.D因为a>b>0,所以a+4a+b +1a-b=12(a+b+8a+b+a-b+2a-b)≥(a+b)·8a+b+(a-b)·2a-b=22+2=32,当且仅当a+b=8a+b,a-b=2a-b,即a=322,b=22时等号成立.故选D.3.D∵不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2), ∴在方程x2-4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+ax1x2=4a+13a.∵a<0, ∴-(4a+13a)≥24a×13a=433,即4a+13a ≤-433,故x1+x2+ax1x2的最大值为-433.故选D.4.A由a,b为正数,且1a +2b=1,得b=2aa-1>0,所以a-1>0,所以2a-1+1b-2=2a-1+12a-2=2a-1+a-12≥22a-1·a-12=2,当且仅当2a-1=a-12,即a=b=3时等号成立,所以2a-1+1b-2的最小值为2,故选A.5.5+26因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=2aa-3>0,所以a-3>0,所以a+b=a+2aa-3=a-3+6a-3+5≥5+2(a-3)·6a-3=5+2,当且仅当a-3=6a-3,即a=3+b=2+成立.B组提升题6.C由题意知,a m a n=a12×2m+n-2=4a22=4a12×22=a12×24,故得到m+n=6,所以2m +12n=16(2m+12n)(m+n)=16(52+2nm+m2n)≥16(52+2)=34,当且仅当2nm=m2n,即m=2n时等号成立.故选C.7.C∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,∴圆心O(0,0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径,即22=1⇒a2+b2=1,易知a+b+ab的最大值一定在a>0,b>0时取得,∴a+b+ab=(a+b)2+ab=1+2ab+ab.令1+2ab=t,则ab=t 2-1 2 .∵ab≤a 2+b22=12(当且仅当a=b=22时取“=”)且ab>0,∴1<t≤,∴a+b+ab=+ab=12t2+t-12=12(t+1)2-1,∴当t=2时,(a+b+ab)max=2+12.故选C.8.C依题意得,2x-1>0,y-1>0,4x2y-1+y22x-1=[(2x-1)+1]2y-1+[(y-1)+1]22x-1≥4(2x-1)y-1+4(y-1)2x-1≥4×22x-1y-1×y-12x-1=8,即4x2 y-1+y22x-1≥8,当且仅当2x-1=1,y-1=1,2x-1y-1=y-12x-1,即x=1,y=2时取等号,即4x2y-1+y22x-1的最小值是8,故m≤8,即m的最大值是8,选C.9.1将方程x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0分别配方,得(x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1,依题意得两圆相外切,故2+4b21+2=3,即a2+4b2=9,1a +1b=(a29+4b29)·(1a+1b)=1 9+a29b+4b29a+49≥59+2a29b×4b29a=1,当且仅当a29b=4b29a,即a2=2b2时等号成立,故1a+1b的最小值为1.10.6-22因为a>b>0,所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b≥22,当且仅当a-b=2时取等号,又ab=1,所以1b -b=解得b=6-22(舍去b=-6-22).。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第七章 第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图
课时作业A组——基础对点练1．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的主视图、左视图、俯视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤解析：主视图应为边长为3和4的长方形，且主视图中右上到左下的对角线应为实线，故主视图为①；左视图应为边长为4和5的长方形，且左视图中左上到右下的对角线应为实线，故左视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B.答案：B2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则左视图的面积为()A．8B．4 3C．4 2 D．4解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，左视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为()A．3 3 B．2 6C.21 D．2 5解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P-ABCD，如图所示，ABCD为矩形，AB＝2，BC＝3，平面P AD⊥平面ABCD，过点P作PE⊥AD，则PE＝4，DE＝2，所以CE＝22，所以最长的棱PC＝PE2＋CE2＝26，故选B.答案：B4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．12＋4 2 B．18＋8 2C．28 D．20＋8 2解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.答案：D5．(2017·长沙模拟)某几何体的主视图和左视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④解析：若图②是俯视图，则主视图和左视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则主视图和左视图不相同，故图④不合要求，故选A. 答案：A6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：将三视图还原成直观图，得到如图所示几何体，设BC 的中点为G ，连接AG ，DG ，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，其高AG ＝ 3.该几何体可以看成一个三棱锥与一个四棱锥组合而成．∴该几何体的体积V ＝V 三棱锥D -ABG ＋V 四棱锥A -DECG ＝13×S △ABG×DG ＋13×S 四边形DECG ×AG ＝13×12×1×3×2＋13×2×1×3＝ 3. 答案： 37．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12×2＝8－π3.答案：8－π38.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________．解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为12×4π3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3)．答案：4πcm 3B 组——能力提升练1．若三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝SA ＝SB ＝SC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.16π3 B.8π3 C.43π3D.4π3解析：在等腰直角三角形ABC 中，AB 是斜边且AB ＝2，取AB 的中点D ，连接CD ，SD .∴CD ＝AD ＝BD ＝1.又SA ＝SB ＝SC ＝2，∴SD ⊥AB ，且SD ＝3，在△S CD 中，SD 2＋CD 2＝SC 2，∴SD ⊥CD ，∴SD ⊥平面ABC .∴三棱锥S -ABC 的外接球球心在SD 上，记为O ，设球半径为R ，连接OA ，则SO ＝OA ＝R ，∴在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝3－R ，AO ＝R ，∴12＋(3－R )2＝R 2⇒R ＝233，∴三棱锥S -ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×(233)2＝16π3.故选A.答案：A2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.163 B.203 C.152D.132解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.故选D.答案：D3.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45°，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABB ′A ′为矩形，若沿AA ′将其侧面剪开，其侧面展开图的形状大致为( )解析：过AB 作平行于底面的半平面α，如图，取截面边界上任一点P ，过P 作PP ′垂直于半平面α，垂足为P ′，延长PP ′交圆柱底面于点P 1，过P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接MP ′，则MP ′⊥AB ，∠PMP ′就是截面与底面所成的角，∠PMP ′＝45°，设AB 的中点为O ，连接OP ′.设l AP ′＝x ，则∠AOP ′＝x1＝x ，在Rt △PP ′M 中，PP ′＝MP ′，在Rt △OP ′M 中，MP ′＝OP ′sin ∠MOP ′＝sin x ，∴PP ′＝sin x ，PP 1＝AA ′＋sin x ，故选A.答案：A4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A ．4B ．5C ．3 2D ．3 3解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 最长且|AF |＝|BF |2＋|AB |2＝3 3.答案：D5.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.34 B.14 C.12D.38解析：由左视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C.答案：C6．(2018·南昌模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的一条侧棱的长度是________．解析：由题意可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，梯形的两底边长分别为4,2，高为3，棱锥的高为2，所以最长侧棱的长度为22＋32＋42＝29.答案：297．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为________． 解析：设相互垂直的三条侧棱AB ，AC ，AD 分别为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以三棱锥A BCD 的外接球的直径2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，则其外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π. 答案：6π8．(2018·武汉市模拟)棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体的棱长为________．解析：将棱长均相等的四面体ABCD 补成正方体，设正方体的棱长为a ，则正四面体ABCD 的棱长为2a ，正方体的体对角线长为3a ，由3a ＝2⇒a ＝233，则2a ＝263.答案：263。
[精品]2019高考数学一轮复习第七章不等式7.4不等式的综合应用练习文
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其中的真命题有
.( 写出所有真命题的编号
答案 ①③④
) 三年模拟
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考点 不等式的综合应用
A 组 2016— 2018 年模拟·基础题组
※精品试卷※
1.(2016 安徽安庆二模 ,6) 已知 a>0,b>0,a+b= + , 则 + 的最小值为 ( )
A.4
B.2
C.8
D.16
答案 B
2.(2018 四川德阳模拟 ,15) 已知点 A 在线段 BC上 ( 不含端点 ),O 是直线 BC外一点 , 且 -2a -b =0, 则
1.(2017 河南新乡第一次调研 ,11) 已知函数 f(x)=
若 f(8-m 2)<f(2m), 则实数 m 的取值范围是
()
A.(-4,1)
B.(-4,2)
C.(-2,4)
D.(- ∞，- 4) ∪(2,+ ∞）
答案 B
2.(2018 天津六校期中 ,14) 定义在 R 上的运算 x*y=x(1-y).
.
答案 a≤ 5.(2018 广西南宁二中月考 ,18) 已知不等式 mx2-2x-m+1<0. (1) 若对于所有的实数 x, 不等式恒成立 , 求 m的取值范围 ; (2) 设不等式对于满足 |m| ≤２ 的一切 m的值都成立 , 求 x 的取值范围 .
解析 (1) 当 m=0时 ,1-2x<0, 解得 x> , 则当 x> 时不等式恒成立 , 不满足条件 . 当 m≠０时 , 设 f(x)=mx 2-2x-m+1,
§7.4 不等式的综合应用
考纲解读
※精品试卷※
考点 不等式的综合应用
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习第七章 第一节 不等关系与不等式 Word版含解析
一、填空题．设>，>，则以下不等式中，不恒成立的是．①(＋)(＋)≥②>③<＋④≥解析：对于答案②，当<时，不等式>不成立．(可取特殊值验证)答案：②．设，∈，若－>，则下列不等式中正确的是．①－> ②＋<③＋> ④－<解析：由－>⇒<⇒－<<⇒＋>，于是选③.答案：③．若<且>>，则下列不等式成立的是．①<<< ②<<<③<<④<<解析：取特殊值＝－，则由>>，得<<<.答案：②．已知，为非零实数，且<，则下列不等式：①<；②<；③<；④<；⑤<.其中恒成立的序号是．解析：<⇔(＋)(－)<，在<条件下，只有当＋>才成立，已知条件不能保证＋>，故①不恒成立；<⇔(－)<，在<的条件下，只有当<才成立，已知条件不能保证，故②不恒成立；<⇔－<⇔<⇔－<⇔<，故③恒成立；若<⇔<⇔<，在<条件下，只有当<才能成立，这个不等式不是恒成立的，故④不恒成立；<⇔(－)<⇔－<⇔<，故⑤恒成立．能够恒成立的不等式的序号是③⑤.故填③⑤.答案：③⑤．“>且>”是“＋>＋”的条件．解析：由不等式性质可得充分性成立，但必要性不成立，如＝，＝，＝，＝.答案：充分不必要．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则先到教室．解析：设步行速度与跑步速度分别为，显然<，总路程为，则甲用时间为＋，乙用时间为，而＋－＝＝>，故＋>，故乙先到教室．答案：乙．若<α<，－<β<，则α－β的取值范围是．解析：∵－<β<，∴≤β<.∴－<－β≤.∴－<α－β<.答案：(－)．下列四个不等式：①<<；②<<；③<<；④<<，其中能使<成立的充分条件有．解析：<⇔<⇔－与异号，而①②④能使－与异号．答案：①②④．若>>，且＋＝则，，的大小关系为．解析：∵>>，＋＝，取特殊值＝，＝，∴＝，＝，∴<<<.答案：<<<二、解答题．若二次函数()的图象关于轴对称，且≤()≤，≤()≤，求()的范围．解析：设()＝＋(≠)．(\\(((＝＋((＝＋))⇒(\\(＝(((－(()，＝(((－(().))()＝＋＝()－()＋＝.∵≤()≤≤()≤，∴≤()≤≤()≤，≤()－()≤.∴≤≤，即≤()≤.。
[推荐学习]2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第七章 第二节 一元二次不等式及其解法 Wor
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一、填空题1．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于________．解析：由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.答案：－32．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________．解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0<x <240，所以150≤x <240，即最低产量是150台．答案：150台3．不等式2－x x －1≥0的解集是________． 解析：2－x x －1≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x －2)≤0x ≠1， 所以不等式2－x x －1≥0的解集为(1,2]． 答案：(1,2]4．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－x )(1＋y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则实数a 的范围是________．解析：由题知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(1－x ＋a )(1＋x ＋a )＝(1＋a )2－x 2<1恒成立，即x 2>(1＋a )2－1恒成立，故只要(1＋a )2－1<0恒成立，即a 2＋2a <0，解得－2<a <0. 答案：－2<a <05．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2 (x >0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为________．解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b 2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x >0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案：[－3，－1]∪(0，＋∞)6．若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x >1，则ln x >0，于是2ax －1≥0，即a ≥(12x )max ，所以a ≥12；若0<x <1，则ln x <0，于是2ax －1≤0，即a ≤(12x )min ，所以a ≤12.综上所述，a ＝12.答案：127．命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴有公共点．若命题“p 或q ”为真命题，而命题“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由命题p ，得x 1x 2＝a 2－6a <0，即0<a <6；由命题q ，得Δ＝(a －3)2－4≥0，即a ≥5或a ≤1；根据题意，可知命题p 与命题q 一真一假，当命题p 真且命题q 假时，a ∈(1,5)；当命题q 真且命题p 假时，a ∈(－∞，0]∪[6，＋∞)，综上，a ∈(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)．答案：(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)8．若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值范围是________．解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b 2－12b >0即可，解得b <0或b >34. 答案：(－∞，0)∪(34，＋∞)9．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解析：由已知得x 2＋12x ≥(12)n 对任意n ∈N *在(－∞，λ]上恒成立．∵(12)n ≤12，n ∈N *； ∴x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]上恒成立． 解不等式x 2＋12x ≥12得x ≤－1或x ≥12，∴当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]上恒成立．答案：(－∞，－1]二、解答题10．已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R ，(1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R)．解析：(1)f (x )＝a (x ＋12a )2－1＋4a 24aa ≥0时不合题意．当a <0时，x ＝－12a ，f (x )有最大值且－1＋4a 24a ＝178.解得：a ＝－2或a ＝－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0.①当a ＝0时，x >1；②a >0时，x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，无解；④当－12<a <0时，1<x <－1－1a ；⑤当a <－12时，－1－1a <x <1.11．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)<0，记f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)<0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0， 解得x 的取值范围为－1＋72<x <1＋32. 12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解析：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24)． 令x ＝6t ，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)，∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.而323－83＝8，所以每天约有8小时供水紧张．。
[推荐学习]2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十章 第二节 数系的扩充与复数的引入 Wor
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一、填空题1．已知集合A ＝{2,7，－4m ＋(m ＋2)i}(其中i 为虚数单位，m ∈R)，B ＝{8,3}，且A ∩B ≠∅，则m 的值为________．解析：由题设知－4m ＋(m ＋2)i ＝8或－4m ＋(m ＋2)i ＝3，所以m ＝－2. 答案：－22．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴x 2－1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1.答案：－13．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于第________象限．解析：∵z ＝i(1＋2i)＝－2＋i ，∴复数z 在复平面内对应的点为Z (－2,1)，位于第二象限．答案：二4．复数(1－2i)2(i 是虚数单位)的共轭复数是________．解析：因为(1－2i)2＝－3－4i ，所以其共轭复数为－3＋4i.答案：－3＋4i5．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是________． 解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15(－5＋15i)＝－1＋3i ， 又1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R)， ∴a ＝－1且b ＝3.故ab ＝－3.答案：－36．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－207．设t 是实数，且t 1－3i ＋1－3i 2是实数，则t ＝________. 解析：由题可知，t 1－3i ＋1－3i 2＝t (1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＋1－3i 2＝t 4＋12＋(34t －32)i 是实数，所以34t －32＝0，解得t ＝2.答案：28．若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：因为z 1·z 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 答案：－19．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数z 对应点的轨迹是________．解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2). 消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．答案：四 一条射线二、解答题10．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值． 解析：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5－5i 5＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝4.11．设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ∈R)，求z 的值和|z －ω|的取值范围．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，代入4z ＋2z ＝33＋i 中，得4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，即6a ＋2b i ＝33＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＝33，2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋12i.|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝ (32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2 ＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ 2－2sin (θ－π6).因为－1≤sin(θ－π6)≤1，所以0≤2－2sin(θ－π6)≤4，即0≤|z －ω|≤2.12．设等比数列z 1，z 2，z 3，…，z n ，其中z 1＝1，z 2＝a ＋b i ，z 3＝b ＋a i(a ，b ∈R ，a >0)．(1)求a ，b 的值；(2)若等比数列的公比为q ，且复数μ满足(－1＋3i)μ＝q ，求|μ|. 解析：(1)由等比数列得z 22＝z 1·z 3，即(a ＋b i)2＝1·(b ＋a i)且a >0，∴a 2－b 2＋2ab i ＝b ＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝b 2ab ＝a . ∵a >0，∴b ＝12，代入a 2－b 2＝b 得a 2＝b 2＋b ＝14＋12＝34，∴a ＝32.∴a ＝32，b ＝12.(2)q ＝z 2z 1＝32＋12i ，∵(－1＋3i)μ＝q ， ∴μ＝32＋12i －1＋3i＝－12i (－1＋3i )－1＋3i ＝－12i ， ∴|μ|＝12.。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第六章 第四节
一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1(n ∈N *)，且a n b n ＝(－1)n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于________．解析：由S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1可求得a n ＝(－1)n ·4n (n ＋1)，所以b n ＝14n (n ＋1)，于是T 10＝14(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝522.答案：5222．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.解析：由题意得数列{a n }的各项为－12，1，－12，1，…，以2为周期的周期数列，所以S 2 014＝12×1 007＝1 0072. 答案：1 00723．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值(n ∈N *)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝________. 解析：由题设得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3， ∴a n ＝a n ＋3，∴a 3k ＋1＝2(k ∈N)，a 3k ＋2＝4(k ∈N)，a 3k ＝3(k ∈N *)， ∴S 100＝34×2＋33×4＋33×3＝299. 答案：2994．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋15．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n . 答案：2n 2＋6n6．设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有________个．解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个． 答案：117．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， 用裂项法求和得S n ＝n n ＋1.答案：nn ＋18．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100.答案：10 1009．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎨⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2 ＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2] ＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 答案：－100 二、解答题10．已知函数f (x )＝2n －3n －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，a n 的前n 项和为S n . (1)求使a n <0的n 的最大值； (2)求S n .解析：(1)依题意a n ＝2n －3n －1， ∴a n <0即2n －3n －1<0. 当n ＝3时，23－9－1＝－2<0， 当n ＝4时，24－12－1＝3>0， ∴2n －3n －1<0中n 的最大值为3. (2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2(1－2n )1－2－3·n (n ＋1)2－n＝2n ＋1－n (3n ＋5)2－2.11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的导函数f ′(x )＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值；(2)令b n ＝2a n ，其中n ∈N *，求数列{nb n }的前n 项和． 解析：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b ， 又∵f ′(x )＝－2x ＋7，得a ＝－1，b ＝7， ∴f (x )＝－x 2＋7x .又∵点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，∴有S n ＝－n 2＋7n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8， ∴a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0，得n ≤4，∴当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12. (2)由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4.∴b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是首项为8，公比为12的等比数列，故数列{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4，① 12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3，② 由①－②得：12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3， ∴T n ＝16×[1－(12)n ]1－12－n ·24－n ＝32－(2＋n )24－n.12．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知可得⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)，从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n .。
[推荐学习]2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：选修4-5 第三节 柯西不等式与排序不等式 W
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1．若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1<n ＋1＋12＋13＋…＋1n .证明：右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n ＝n ·n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1<n ＋1＋12＋13＋…＋1n 成立．2．(1)求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n； (2)求函数y ＝2x ＋91－2x，x ∈(0，12)的最小值． 解析：(1)证明：因为m ，n >0，利用柯西不等式，得(m ＋n )(a 2m ＋b 2n )≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n. (2)由(1)，y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25， 所以函数y ＝2x ＋91－2x (x ∈ (0，12))的最小值为25，当且仅当x ＝15时取得． 3．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，(1)判定b ＋c －a ，a ＋b －c ，c ＋a －b 的符号；(2)求证：a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c≥a ＋b ＋c . 解析：(1)因为a ，b ，c 为三角形的三边，所以b ＋c －a >0，c ＋a －b >0，a ＋b －c >0.(2)证明：a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c ＝1a ＋b ＋c (a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c)·[(b ＋c －a )＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )] ≥1a ＋b ＋c(a 2b ＋c －a ·b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ·c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c ·a ＋b －c )2 ＝1a ＋b ＋c(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c . 4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．解析：(1a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c )＝[(1a )2＋( 2b )2＋( 3c )2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥( 1a ·a ＋2b ·2b ＋3c·3c )2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2，∴a ＋2b ＋3c ≥18， 当且仅当1a a ＝2b 2b ＝3c 3c ，即a ＝b ＝c ＝3时等号成立． ∴当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋2b ＋3c 取得最小值18.5．已知函数f (x )＝m －|x －2|， m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1a＋12b＋13c)≥(a·1a＋2b·12b＋3c·13c)2＝9.6．某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m、b m、c m，由题意，可得abc＝500，长方体水箱的表面积为：S＝2bc＋2ac＋ab.由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥332bc·2ac·ab＝334×5002＝300.当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ca＋ab＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．SJ。
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一、填空题
1．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．
解析：∵0<x <1，
∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3[x ＋(1－x )2
]2＝34， 此时x ＝1－x ，∴x ＝12.
答案：12
2．已知x ，y 为正数，则
x 2x ＋y ＋y x ＋2y
的最大值为________． 解析：依题意，得
x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋y 22x 2＋5xy ＋2y 2 ＝x 2＋52xy ＋y 2＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2 ＝12＋32xy
2x 2＋5xy ＋2y 2 ＝12＋32·12x 2＋5xy ＋2y
2xy
＝12＋32·12x y ＋2y x ＋5
≤12＋32×19
＝12＋16＝23，
当且仅当x ＝y 时取等号．
答案：23
3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．
解析：1a ＋1b ＋2ab ≥2 1
ab ＋2ab ≥4，
当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”．
答案：4
4．不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥
－2.
答案：[－2，＋∞)
5．当x 2－2x <8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2
的最小值是________． 解析：由x 2－2x <8，得－2<x <4.设x ＋2＝t ，则t ∈(0,6)．
y ＝(t －2)2－(t －2)－5t ＝t 2－5t ＋1t ＝t ＋1t －5
≥2 t ·1t －5＝－3.当且仅当t ＝1时取“＝”．
答案：－3
6．x ，y ，z ∈R ＋
，x －2y ＋3z ＝0，y 2
xz 的最小值是________． 解析：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2
xz ，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz
≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，
当且仅当x ＝3z 时取“＝”．
答案：3
7．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b
≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________． 解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，
所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.
答案：－4
8．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的
最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为________．
解析：因(s ＋t )(m s ＋n t )＝m ＋n ＋tm s ＋sn t ≥m ＋n ＋2mn ，
所以m ＋n ＋2mn ＝4，
从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点( 1,1)，
而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，
从而此弦的方程为x ＋y －2＝0.
答案：x ＋y －2＝0
9．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正
方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和
的最小值为________．
解析：设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题意可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，
S ＝a 2＋b 2
≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 答案：12
二、解答题
10．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．
(1)求xy 的最小值；
(2)求x ＋y 的最小值．
解析：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，
3xy ＝x ＋y ＋1，
(1)∵x >0，y >0，
∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，∴3xy －2xy －1≥0，
即3(xy )2－2xy －1≥0，
∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1.
(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2，
∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，
∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2，
当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2. 11．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin
(A ＋C )，3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2 B 2－1)，且向量m 、n 共线．
(1)求角B 的大小；
(2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．
解析：(1)∵m ∥n ，
∴2sin (A ＋C )(2cos 2 B 2－1)－3cos 2B ＝0.
又∵A ＋C ＝π－B ，
∴2sin B cos B ＝3cos 2B ，即sin 2B ＝3cos 2B .
∴tan 2B ＝3，又∵△ABC 是锐角三角形，∴0<B <π2，
∴0＜2B ＜π，∴2B ＝π3，故B ＝π6.
(2)由(1)知：B ＝π6，且b ＝1，由余弦定理得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－3ac ＝1.
∴1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即(2－3)ac ≤1，
∴ac ≤1
2－3＝2＋3，当且仅当a ＝c ＝6＋22时，等号成立． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2＋34.
∴△ABC 的面积最大值为2＋34.
12．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①保护罩的容积大于0.5立方米，罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体的费用为1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．
(1)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)与保护罩的容积V (单位：立方米)之间的函数关系式；
(2)求博物馆支付的总费用y (单位：千元)的最小值；
(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状，且保护罩的底面(不计厚度)正方形的边长不得少于1. 1米，高规定为2米． 当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩的底面积的最小值(可能用到的数据：8.25≈2.87，结果保留一位小数)． 解析：(1)依据题意，当保护罩的容积等于V 时，需支付的保险费用为k V
(其中k 为比例系数，k >0)， 且当V ＝2时，k V ＝8，所以k ＝16，
所以y ＝1·(V －0.5)＋16V ＝V ＋16V －0.5(V >0.5)．
(2)y ＝V ＋16V －0.5≥7.5，
并且仅当V ＝16V ，即V ＝4时等号成立，
所以，博物馆支付的总费用的最小值为7.5千元．
(3)设S (单位：平方米)为底面正方形的面积，由题意得不等式：V ＋16V －0.5≤8，
V ＝2S ，
代入整理得4S 2－17S ＋16≤0，
解得1.41≈8.5－8.254≤S ≤8.5＋8.254
≈2.84. 又底面正方形的面积最小不得少于1.1×1.1＝1.21，所以，保护罩的底面积的最小值是1.4平方米．。