[小初高学习]2018年秋高中数学 模块综合测评(一)新人教A版必修5
2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：模块综合检测
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且c=2a ,则cos B 等于( ). A .14B .34C .24D .23答案:B2下列结论正确的是( ).A.若ac>bc ,则a>bB.若a 8>b 8,则a>bC.若a>b ,c<0,则ac<bcD.若a <b ,则a >b答案:C3等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 7+a 12=30,则S 13的值是( ).A.130B.65C.70D.75解析:因为a 2+a 7+a 12=(a 2+a 12)+a 7=2a 7+a 7=3a 7=30,所以a 7=10.所以S 13=13(a 1+a 13)2=13(a 7+a 7)2=13a 7=130.答案:A4已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ).A.10B.9C.8D.5解析:由23cos 2A+cos2A=0,得cos 2A =125.∵A ∈A (0,π2),∴cos =15.∵cos A b=).=36+b 2-492×6b ,∴b =5或‒135(舍故选D .答案:D5若在等比数列{a n }中,a 4=7,a 6=21,则a 8等于( ).A.35B.63C.213D .±213答案:B6若在△ABC 中,a=4,b=43,A =30°,则角B 的度数等于( ).A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°答案:D7在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,则角B 的取值范围是( ).A .(0,π3]B .[π3,π]C .(0,π6]D .[π6,π)答案:A8某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,若旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( ).A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元解析:设需A,B 型车分别为x ,y 辆(x ,y ∈N ),则x ,y 需满z ,则足{36x +60y ≥900,x +y ≤21,y -x ≤7,x ∈N ,y ∈N ,设租金为z=1600x+2400y ,画出可行域如图中阴影所示,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z 最小等于36800.故选C.答案:C9若x>0,y>0,且xy-(x+y )=1,则( ).A.x+y ≥2(2+1)B .xy ≤2+1C.x+y ≤≥2(2+1)2D .xy (2+1)解析:∵xy=1+(x+y )≤(x +y 2)2,∴(x+y )2-4(x+y )-4≥0,∴x+y ≥2(2+1),当且仅当x=y .=2+1时等号成立答案:A10若数列{a n }满足a 1=0,a n+1∈N *),则a 20等于( ).=a n -33a n +1(n A.0B.‒3C .3D .1解析:由a 1=0,a n+1∈N *),=a n -33a n +1(n 得a 2={a n }是周期数列,周期为3,所以a 20=a 2=‒3,a 3=3,a 4=0,…由此可知数列‒ 3.答案:B 11若在R 上定义运算☉:a ☉b=ab+2a+b ,则满足x ☉(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ).A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)解析:由题意,得x (x-2)+2x+(x-2)<0,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1.答案:B12已知集合A={t|t 2-4≤0},对于满足集合A 的所有实数t ,关于x 的不等式x 2+tx-t>2x-1恒成立,则x 的取值范围是( ).A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)解析:由题意知A={t|-2≤t ≤2},设f (t )=(x-1)t+x 2-2x+1,由条件知f (t )在区间[-2,2]上恒为正值.于是有{f (-2)>0,f (2)>0,即{x 2-4x +3>0,x 2-1>0.解得x>3或x<-1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 .解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n≥100.所以2n ≥51,n ≥6.=2(1-2n )1-2=2(‒1+2n )答案:614已知点P (x ,y )的坐标满足条件{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,点O 为坐标原点,则|PO |的最小值等于 ,最大值等于 .答案:2 1015在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c =2a ,则a 与b 的大小关系是 .解析:由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos120°.∵c =2a ,∴2a 2=a 2+b 2+ab ,即a 2=b 2+ab ,a 2-b 2=ab>0.∴a 2>b 2,即a>b.答案:a>b16已知数列{a n }满足a 1=t ,a n+1-a n +2=0(t ∈N *,n ∈N *).记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ),则f (t )= .答案:{t 2+2t 4,t 为偶数,(1+t 2)2,t 为奇数三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值.解(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9,得{a 1+2d =5,a 1+9d =-9,解得{a 1=9,d =-2,所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n.(2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2d =10n ‒n 2.因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值.18(12分)海面上相距10海里的A ,B 两船,B 船在A 船的北偏东45°方向上.两船同时接到指令同时驶向C 岛,C 岛在B 船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C 岛,经测算,A 船行驶了107海里,求B 船的速度.解如图所示,在△ABC 中,AB=10,AC=1∠ABC=120°.07,由余弦定理,得AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos120°,即700=100+BC 2+10BC ,得BC=20.设B 船速度为v ,行驶时间),路程为BC=20海里,则有v /时),即B 船为8060=43(小时=2043=15(海里的速度为15海里/时.19(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足2c -b a =cosB cosA .(1)求角A 的大小;(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值.5解(1)因=,所以(2c-b )cos A=a cos B.为2c ‒b a cosBcosA 由正弦定理,得(2sin C-sin B )cos A=sin A cos B ,整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B.所以2sin C cos A=sin (A+B )=sin C.在△ABC 中,0<C<π,所以sin C ≠0.所以cos A=.又0<A<π,故A=.12π3(2)由(1)得A=,又a=2,π35则cos A==,整理得b 2+c 2=bc+20.b 2+c 2‒a 22bc 12由基本不等式,得b 2+c 2≥2bc ,则bc+20≥2bc ,所以bc ≤20,当且仅当b=c 时,等号成立,故三角形的面积S=bc sin A=bc sin =bc ≤×20=5.1212π334343所以△ABC 面积的最大值为5.320(12分)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.{a n2n ‒1}解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得{a 1+d =0,2a 1+12d =‒10,解得{a 1=1,d =‒1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n.(2)设数n 项和为S n,列{a n2n ‒1}的前即S n =a 1++…+,a 22a n2n ‒1则S 1=a 1=1,=++…+.S n 2a 12a 24a n 2n ∵当n>1时,=a 1++…+-S n 2a 2‒a 12a n ‒a n ‒12n ‒1a n 2n =1--(12+14+…+12n ‒1)2‒n 2n =1--=,(1‒12n ‒1)2‒n 2n n 2n∴S n =.n2n ‒1当n=1时,S 1=1也符合该公式.综上可知,数n 项和S n =.列{a n 2n ‒1}的前n2n ‒121(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集,其中片集甲播映时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次,才能获得最高的收视率?解设片集甲播放x 集,片集乙播放y 集,则有{x +y ≥6,21x +11y ≤86,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .要使收视率最高,则只要z=60x+20y 最大即可.M (2,4).由{21x +11y =86,x +y =6,得由图可知,当x=2,y=4时,z=60x+20y 取得最大值200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前4项和S 4=14,且a 1,a 3,a 7成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n 为数列的前n 项和,若T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的最小值.{1a n a n +1}解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知d=1或d=0(舍去),得{4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得因此a 1=2.故a n =n+1.(2)∵由(1)可==-,知1a n a n +11(n +1)(n +2)1n +11n +2∴T n =-+-+…+-=.121313141n ‒11n +2n2(n +2)∵T n ≤λa n+1对任意n ∈N *恒成立,∴≤λ(n+2),n2(n +2)即λ≥n ∈N *恒成立.n2(n +2)2对任意==,又n2(n +2)2n 2(n 2+4n +4)12(n +4n +4)≤116当且仅当n=2时,取“=”.∴λ的最小值.为116。
2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题：模块综合检测
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果命题“(p)∨(q)”是假命题,则在下列各结论中:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题.正确的为( )A.①③B.②④C.②③D.①④解析:简易逻辑中复合命题的真假判断,主要依靠真值表.由“或”命题的真值表,“(p)∨(q)”是假命题,得“p”与“q”均为假命题,即p与q均为真命题.故“p∧q”和“p∨q”都是真命题.答案:A2.下列说法错误的是( )A.“sin θ=12”是“θ=π6”的充分不必要条件B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:“若a≠0,则ab≠0”C.若命题p:∃x0∈Rp:∀x∈R,x2-x+1≠0,x20‒x0+1=0,则D.若命题“p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题q一定是真命题答案:A3.若椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值等于( )A.5B.5或8C.5或3D.20解析:由焦距为2,得c=1,讨论焦点在x轴上,还是在y轴上.当4>m时,由1=4-m,得m=3;当4<m时,由1=m-4,得m=5.故m的值为5或3.答案:C4.对∀k∈R,方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是( )A.两条直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线解析:分k=0,1及k>0,且k≠1或k<0可知方程x2+ky2=1不可能为抛物线.答案:D5.已知函数f(x)=3x5-5x3,则f(x)的单调递减区间为( )A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-1,1)解析:先求出函数的导函数,然后根据导函数的正负判断原函数的单调性.f'(x)=15x4-15x2,令f'(x)=15x4-15x2≤0,可得-1≤x≤1.故f(x)的单调递减区间为(-1,1).答案:D6.若A:a∈R,|a|<1,B:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由A得-1<a<1,由B得f(0)=a-2<0,即a<2.又{a|-1<a<1}⫋{a|a<2}.故选A.答案:A7.已知双曲线x2a2‒y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交P(3,4),则此双曲线的方程为( )A .x216‒y29=1B.x23‒y24=1C .x29‒y216=1D.x24‒y23=1解析:∵圆半径r=c =32+42=5,且ba=43,即b =43a,∴a2+b2=a2+169a2=259a2=25,∴a2=9,b2=16.∴双曲线方程为x29‒y216=1.答案:C8.若曲线y =x -12在点(a ,a-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a 等于( )A.64B.32C.16D.8解析:∵y=x-12,y'=‒12x -32,∴k切=y ‒12a -32,切线方程为‒a -12=‒12a -32(x ‒a ).令y=0,得x=3a ,令x=0,得y =32a -12,由题意·3a ·a=64.得1232a -12=18,故答案:A9.一抛物线形石拱桥,当水面离桥顶2 m 时,水面宽4 m,若水面下降1 m,此时水面宽为( )A .6 mB.26 m C.3 mD.6 m解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y 轴建立直角坐标系,令抛物线的方程为x 2=-2py (p>0),将点(2,-2)代入得p=1,故抛物线的方程为x 2=-2y.水面下降1 m 对应纵坐标为-3,解得x=m .±6,从而水面宽为2 6 答案:B10.设x ,y ∈R 满足x ≤2,y ≤3,且x+y=3,则z=4x 3+y 3的最大值为( )A.24B.27C.33D.45解析:0≤x ≤2.由{x ≤2,y ≤3,y =3-x ,得∵z=4x 3+y 3=4x 3+(3-x )3=3x 3+9x 2-27x+27,∴z'=9x 2+18x-27.令z'=9x 2+18x-27=0,得x=1或x=-3.∵z 在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增,∴z 在x=1时取极小值,z (1)=12.∵z (0)=27,z (2)=33,∴当x=2时,z max =33.答案:C11.落在平静水面上的石头,使水面产生同心圆形波纹,在持续一段时间内,若最外一圈波的半径r (单位:m)与时间t (单位:s)的函数关系是r=8t ,则在2 s 末扰动水面面积的变化率为( )A.512π m 2/sB.256π m 2/sC.144π m 2/sD.72π m 2/s解析:根据题意,可知最外一圈波的面积与时间的关系为S=64πt 2,故在t=2时的导数值,即S'|t=2=128πt|t=2=256π.答案:B12.设e 1,e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足PF 1·PF 2=0,则e 21+e 22(e 1e 2)2的值为( )A .12B.1C.2D.4解析:设椭圆长半轴长为a 1,双曲线实半轴长为a 2,则|PF 1|+|PF 2|=2a 1,||PF 1|-|PF 2||=2a 2.平方相加得|PF 1|2+|PF 2|2=2a 21+2a 22.又∵PF 1·PF 2=0,∴PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,∴a 21+a 22=2c 2,∴a 21c2+a 22c2=2,即1e 21+1e 22=e 21+e 22e 21e 22=2.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.曲线y=x e x +2x+1在点(0,1)处的切线方程为 . 解析:y=x e x +2x+1,y'=e x +x e x +2.则y'|x=0=3.故在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x ,即y=3x+1.答案:y=3x+114.下列命题中,正确命题的序号是 .①可导函数f (x )在x=1处取极值,则f'(1)=0;②若p :∃x 0∈R ≤0,则,x 20+2x 0+2p :∀x ∈R ,x 2+2x+2>0;③若椭△ABF 2的周长为16.圆x 216+y 225=1的两焦点为F 1,F 2,弦AB 过F 1点,则解析:命题③中,椭圆焦点在y 轴上,a 2=25,故△ABF 2的周长为4a=20,故命题③错误.答案:①②15.若f (x )=ax 3-x 2-x+1在(1,2)内是减函数,则实数a 的取值范围是 .解析:∵f (x )在(1,2)内是减函数,∴f'(x )=3ax 2-2x-1≤0,x ∈(1,2).∴a ≤x ∈(1,2)时恒成立.2x +13x 2在令u=2x +13x 2=23x +13x 2=13[(1x+1)2-1],1x ∈(12,1),∴512<u <1.∴a ≤a 的取值范围512,即所求是(-∞,512].答案:(-∞,512]16.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x 平行,且两平行线间的距离为2.由图形知,双曲线右支上的动点P 到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近d 大于22,要使距离于c 恒成立,只需c ≤,故c 的最大值22即可为22.答案:22三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知命题p :方程x 22+y 2m=1表示焦点在y 轴上的椭圆;命题q :函数f (x )=43x 3‒2mx 2+(4m ‒3)x ‒m 在(‒∞,+∞).若(p )∧q 为真,求m 的取值范围.解:p 真时,m>2.q 真时,f'(x )=4x 2-4mx+4m-3≥0在R 上恒成立.Δ=16m 2-16(4m-3)≤0,1≤m ≤3.∵(p )∧q 为真,∴p 假,q 真.1≤m ≤2.∴{m ≤2,1≤m ≤3,即∴m 的取值范围为[1,2].18.(12分)已知函数f (x )=e x (ax+b )-x 2-4x ,曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值.解:(1)f'(x )=e x (ax+a+b )-2x-4.由已知得f (0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f (x )=4e x (x+1)-x 2-4x ,f'(x )=4e x (x+2)-2x-4=4(x+2)(e x -12).令f'(x )=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x )>0;当x ∈(-2,-ln 2)时,f'(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)内单调递增,在(-2,-ln 2)内单调递减.当x=-2时,函数f (x )取得极大值,极大值为f (-2)=4(1-e -2).19.(12分)某单位用2 160万元购买了一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x (x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=( 购地总费用建筑总面积 )解:设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元,则f (x )=(560+48x )+=560+48x+(x ≥10,x ∈N *).则f'(x )=48-.2 160×10 0002 000x10 800x 10 800x 2令f'(x )=0,得x=15.当x>15时,f'(x )>0;当10<x<15时,f'(x )<0.故当x=15时,f (x )取最小值,f (15)=2 000.答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.20.(12分)设函数f (x )=ln x+,m ∈R .mx (1)当m=e(e 为自然对数的底数)时,求f (x )的极小值;(2)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m 的取值范围.f (b )-f (a )b -a解:(1)∵当m=e时,f (x )=ln x+,ex ∴f'(x )=.x -e x 2∴当x ∈(0,e)时,f'(x )<0,f (x )在(0,e)内单调递减,当x ∈(e,+∞)时,f'(x )>0,f (x )在(e,+∞)内单调递增,∴当x=e 时,f (x )取得极小值f (e)=ln e +=2.ee ∴f (x )的极小值为2.(2)对任意的b>a>0,<1恒成立,f (b )-f (a )b -a等价于f (b )-b<f (a )-a 恒成立.(*)设h (x )=f (x )-x=ln x+-x (x>0),mx 则(*)等价于h (x )在(0,+∞)内单调递减.由h'(x )=--1≤0在(0,+∞)内恒成立,1x mx 2得m ≥-x 2+x=-+(x>0)恒成立,(x -12)214即m ≥,h'(x )=0仅在x=,故m 的取值范围.14(对m =1412时成立)是[14,+∞)21.(12分)已知过点(-2,0)的直线与抛物线y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为抛物线C 的焦点.若||=2||,FA FB 求直线的方程.解:若直线的斜率大于0,则画图如图,l 是抛物线的准线,直线AB 过点(-2,0),作AM ⊥l ,BN ⊥l ,M ,N 为垂足,则|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.∵||=2||,FA FB∴|AM|=2|BN|.设点A (x 1,y 1),点B (x 2,y 2),则y 1=2y 2.①设直线AB 的方程为y=k (x+2)(k>0),由y 2=8x ,得x=,代入y=k (x+2),y 2-y+2k=0,y 28得k8故y 1+y 2=,②8k y 1y 2=16,③由①②③得k=.当k<0时,可求得k=-.故直线AB 的方程为y=±(x+2),223223223即2x-3y+4=0或2x+3y+4=0.222222.(12分)(2016·全国甲高考)已知A 是椭圆E :+=1的左顶点,斜率为k (k>0)的直线交E 于A ,M 两x 24y 23点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,<k<2.证明:3(1)解:设点M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角.为π4又点A (-2,0),因此直线AM 的方程为y=x+2.将x=y-2代+=1得7y 2-12y=0.入x 24y 23解得y=0或y=,所以y 1=.127127因此△AMN 的面积S △AMN =2×=.12×127×12714449(2)证明将直线AM 的方程y=k (x+2)(k>0)代+=1得(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-12=0.入x 24y 23由x 1·(-2)=x 1=,16k 2-123+4k 2得2(3-4k 2)3+4k 2故|AM|=|x 1+2|=.1+k 2121+k 23+4k 2由题设,直线AN 的方程为y=-(x+2),1k故同理可得|AN|=.12k 1+k 23k 2+4由2|AM|=|AN|=,得23+4k2k3k 2+4即4k 3-6k 2+3k-8=0.设f (t )=4t 3-6t 2+3t-8,则k 是f (t )的零点.f'(t )=12t 2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f (t )在(0,+∞)单调递增.又f ()=15-26<0,f (2)=6>0,33因此f (t )在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k 在(,2)内.3所<k<2.以3。
2017_2018学年高中数学模块综合检测(一)(含解析)新人教A版必修5
模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：选A ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3， ∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10， ∴d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2.2．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1bB.b a>1C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b解析：选D 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；b a<0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选A 由不等式组作出可行域如图所示，由图可知：当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取得最小值为－1.4．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 5．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D 由题意可得B ＝60°，再由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 又三边a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，上式即为a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2＝0， 则a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．6．等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C S 4－(a 2＋a 4)＝60⇒a 1＋a 3＝60. ∴q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，a 1＝6. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3解析：选D 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.8．关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，且n －m ≤5，则实数a 的取值范围是( )A ．[－25，－24)B ．(0,1]C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．[－25，－24)∪(0,1]解析：选D 由题意知，方程x 2－ax －6a ＝0有两根分别为m 和n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2＋24a ＞0⇒a ＜－24或a ＞0，m ＋n ＝a ，mn ＝－6a .又0＜n －m ≤5，∴(n －m )2＝(n ＋m )2－4nm ＝a 2＋24a ≤25， 即a 2＋24a －25≤0，解得－25≤a ≤1. ∴－25≤a ＜－24或0＜a ≤1.故实数a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a，x －y ≤0，若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D.32解析：选A 由不等式组作出可行域，如图所示的阴影部分，当z ＝x ＋y 过y ＝x 和y ＝a 的交点A (a ，a )时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |a <x <c }，则S △ABC 等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B 由于不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |2<x <4}， ∴a ＝2，c ＝4.又角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×4×sin π3＝2 3.11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q n n －12＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n＝642，所以n ＝12.12．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x ＞1， ∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪211x <2的解集是________．解析：由已知可得1<2x －1<2， 解得1<x <32，所以所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <3214．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________.解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n. ∴2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3×2n －1，∴S 6＝3×1＋3×2＋…＋3×25＝189. 答案：18915．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km.解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB ＝40°＋80°＝120°，AB ＝3 km ，AC ＝2 km.设BC ＝a km.由余弦定理的推论，得cos 120°＝a 2＋4－94a，解得a ＝6－1或a ＝－6－1(舍去)， 即B 到C 的距离为(6－1) km. 答案：(6－1)16．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值； (2)若S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 解：(1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12·2·c ·45＝4. ∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1， ∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． ∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， ∴0<x 2－4x ＋3≤3， ∴0≤x <1或3<x ≤4，∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3＜x ≤4}．19．(本小题满分12分)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ， 所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2. 设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n. 两式相减得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13[(6n －5)4n＋5]． ∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．21．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？请求最小面积．解：(1)设AN ＝x (x >2)米，则ND ＝x －2， 因为ND DC ＝AN AM，所以x －23＝x AM， 所以AM ＝3x x －2. 所以3xx －2·x >32， 所以3x 2－32x ＋64>0， 所以(3x －8)(x －8)>0， 所以2<x <83或x >8.即2<AN <83或AN >8.(2)S 矩形AMPN ＝3x2x －2＝x －2＋x －＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24， 当且仅当x ＝4时取等号．所以当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米．22．(本小题满分12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ，得0<x <3. 则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2， 则y 1＝2n ，y 2＝n ，∴a n ＝3n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋2，∴T n ＝n n ＋2n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，即T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
2018_2019学年高中数学综合学业质量标准检测新人教A版必修5(含答案)
综合学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( C ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不确定[解析] 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0．2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋ (2)＝2n ＋1－1．∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6．又∵n ∈N *，∴n 的最小值为7．3．(2018－2019学年山东寿光现代中学高二月考)不等式(x ＋12)·(32－x )≥0的解集是( A )A ．{x |－12≤x ≤32}B ．{x |x ≤－12或x ≥32}C ．{x |－12＜x ＜32}D ．{x |x ＜－12或x ＞32}[解析] ∵(x ＋12)(32－x )≥0，∴(x ＋12)(x －32)≤0，∴－12≤x ≤32，故选A ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法一：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法二：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13．∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23．与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．(2016·北京理，5)已知x 、y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D.故选C ．解法二：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故选C ．7．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n 个图有化学键( D )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个[解析] 各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为 1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D ．8．(2016·浙江文，5)已知a 、b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b >log a a⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a或⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >a．当⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a 时，0<b <a <1，∴b －1<0，b －a <0；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >a时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0．∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8，∴S 13＝a 1＋a 132＝13×2a 72＝13a 7，故选C ．10．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521 mB ．10 mC ．4 90013mD ．35 m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝htan60°＝33h ，OB ＝h ．AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.故选A ．11．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B ) A ．9 B ．92 C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．12．定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n＝15n得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝__4__． [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4．14．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为2．[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得ABsin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562．15．(2018－2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为__4__．[解析] ∵3是3a与3b的等比中项， ∴3＝3a·3b＝3a ＋b，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l．(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时． [解析] (1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121v，由基本不等式v ＋121v ≥2121＝22，得F ≤76 00022＋18＝1900(辆/小时)，故答案为1 900．(2)l ＝5，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v，由基本不等式v ＋100v ≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．[解析] 由题意，设这三个数分别是aq ，a ，aq ，且q ≠1，则a q＋a ＋aq ＝114① 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝a q＋(4－1)·d ． 则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎪⎫a －a q ②由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98．18．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2．(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin2A sin2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25． (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝35．又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9．19．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－＝6－＋－＝2k，∴k ＝－25．(2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k >66或k <－66，∴k <－66． 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 20．(本题满分12分)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1、a 7、a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，a 7，a 4成等差数列， ∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0，∴q 3＝－12或q 3＝1．当q 3＝1，即q ＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝12a 1－6a 1＝6a 1，∴S 62S 3＝S 12－S 6S 6， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 当q 3＝－12时，S 62S 3＝a 1－q 61－q·1－q2a 1－q3＝1＋q 32＝14，S 12－S 6S 6＝S 12S 6－1＝a 1－q 121－q ·1－q a 1－q 6－1 ＝q 6＝(q 3)2＝14，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列， 综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．21．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝23．22．(本题满分12分)如图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C ，D 用强光柱进行辅助照明，其中A ，B ，C ，D 在同一平面内，现测得CD 长为100m ，∠ADN ＝105°，∠BDM ＝30°，∠ACN ＝45°，∠BCM ＝60°．(1)求△BCD 的面积； (2)求船AB 的长．[解析] (1)由题意知∠BDM ＝30°，∠BCM ＝60°， 得∠CBD ＝30°，∠BCD ＝120°，所以BC ＝CD ＝100(m)，所以S △BCD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×100×100×sin120°＝2 5003(m 2)．(2)由题意得∠ADC ＝75°，∠ACD ＝45°，∠BDA ＝45°，在△ACD 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，即100sin60°＝ADsin45°，所以AD ＝10036(m)．在△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD＝1002＋1002－2×100×100×cos120°＝1003(m)， 在△ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100362＋32－2×10036×1003×cos45°＝100315(m)，即船长为100315m ．。
最新精编高中人教A版必修五高中数学模块综合测评1(1)和答案
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，1.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC的面积为3，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋nn －2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A．189 B．186 C．180 D．192【解析】由a n＋1＝2a n，知{a n}为等比数列，∴a n＝2n.∴2b n＝2n＋2n＋1，即b n＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】 A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c b＋aabc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝( )A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋32＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·qn n －2＝64，即(a 21qn －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________.【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3，12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2＋2n －2＝－n n ＋2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n n －2＋n 2＝n n ＋2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n n ＋2.【答案】 (－1)n ＋1n n ＋2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·ta n B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3actan B，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞. 20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 tA,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225t 时，可得最大利润． (2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15， 则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。
【同步汇编】2018年人教A版高中数学必修5学业分层测评与综合测试 汇编116页(26份含解析)
2018年人教A版高中数学必修5学业分层测评与综合测试汇编目录人教A必修5学业分层测评1 正弦定理Word版含解析人教A必修5学业分层测评2 余弦定理Word版含解析人教A必修5学业分层测评3 解三角形的实际应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评4 角度问题Word版含解析人教A必修5学业分层测评5 三角形中的几何计算Word版含解析人教A必修5学业分层测评6 数列的概念与简单表示法Word版含解析人教A必修5学业分层测评7 数列的通项与递推公式Word版含解析人教A必修5学业分层测评8 等差数列的概念与简单表示Word版含解析人教A必修5学业分层测评9 等差数列的性质Word版含解析人教A必修5学业分层测评10 等差数列的前n项和Word版含解析人教A必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评12 等比数列Word版含解析人教A必修5学业分层测评13 等比数列的性质Word版含解析人教A必修5学业分层测评14 等比数列的前n项和Word版含解析人教A必修5学业分层测评15 等比数列前n项和的性质及应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评16 不等关系与不等式Word版含解析人教A必修5学业分层测评17 一元二次不等式及其解法Word版含解析人教A必修5学业分层测评18 一元二次不等式的应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评19 二元一次不等式（组）与平面区域Word版含解析人教A必修5学业分层测评20 简单的线性规划问题Word版含解析人教A必修5学业分层测评21 基本不等式：ab≤a＋b2 Word版含解析人教A必修5章末综合测评1 Word版含解析人教A必修5章末综合测评2 Word版含解析人教A必修5章末综合测评3 Word版含解析人教A必修5模块综合测评1 Word版含解析人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，a=4，A=45°，B=60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 【解析】 由已知及正弦定理，得4sin 45°=b sin 60°，∴b=4sin 60°sin 45°=4×3222=2 6. 【答案】 C2．在△ABC 中，∠A=60°，a=43，b=42，则∠B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B=bsin A a =42×3243=22，∴∠B=45°或135°.但当∠B=135°时，不符合题意，所以∠B=45°，故选C. 【答案】 C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．2∶3∶1 D ．3∶1∶2【解析】 设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x=180°，∴x=30°.由正弦定理a sin A =b sin B =csin C，可知a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C ，∴a ∶b ∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=12∶32∶1=1∶3∶2.【答案】 B4．在△ABC 中，若3b=23asin B ，cos A=cos C ，则△ABC 形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】 由正弦定理知b=2R·sin B ，a=2R·sin A ， 则3b=23a·sin B 可化为：3sin B=23sin A·sin B.∵0°<∠B<180°，∴sin B ≠0，∴sin A=32，∴∠A=60°或120°，又cos A=cos C ，∴∠A=∠C ，∴∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形． 【答案】 C 二、填空题5．在△ABC 中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A=75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B =c sin C 得b=csin B sin C =1×2232=63. 【答案】 636．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=3，sin B=12，C=π6，则b=________.【解析】 在△ABC 中，∵sin B=12，0<B<π，∴B=π6或B=56π.又∵B ＋C<π，C=π6，∴B=π6，∴A=π－π6－π6=23π.∵a sin A =b sin B ，∴b=asin B sin A =1. 【答案】 17．在△ABC 中，若3a=2bsin A ，则B=________. 【解析】 由正弦定理得3sin A=2sin B·sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B=32.又0<B<180°，∴B=60°或120°.【答案】 60°或120° 三、解答题8．在△ABC 中，已知a cos A =b cos B =ccos C，试判断△ABC 的形状. 【=05920059】【解】 令asin A=k ，由正弦定理得a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksin C.代入已知条件，得sin A cos A =sin B cos B =sin Ccos C，即tan A=tan B=tan C.又A ，B ，C ∈(0，π)，∴A=B=C ，∴△ABC 为等边三角形．9．在△ABC 中，∠A=60°，sin B=12，a=3，求三角形中其它边与角的大小．【解】 由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b=a·sin Bsin A =3×12sin 60°= 3.由于∠A=60°，则∠B<120°，又sin B=12，∴∠B=30°，则∠C=90°，则c=asin Csin A=2 3.[能力提升]1．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a=2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．72【解析】 ∵a sin A =b sin B ，∴sin B sin A =b a .∵3a=2b ，∴b a =32.∴sin B sin A =32.∴2sin 2B －sin 2A sin 2A =2⎝⎛⎭⎫sinB sin A 2－1=2×⎝⎛⎭⎫322－1=92－1=72. 【答案】 D2．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a>bsin A B ．a=bsin A C ．a<bsin A D ．a ≥bsin A【解析】 由正弦定理a sin A =bsin B，∴asin B=bsin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故asin B ≤a ，∴a ≥bsin A ．故选D.【答案】 D 3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=3，B=π4，________，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A =b sin B ，得b=asin Bsin A=3sin π4sinπ6=6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C=π，B=π4，A=π6，知C=7π12，再运用正弦定理，得c=32＋62.【答案】 b=6或c=32＋624．已知方程x 2－bcos Ax ＋acos B=0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2=bcos A ，x 1x 2=acos B ，由题意得bcos A=acos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A=2Rsin Acos B. ∴sin Acos B －cos Asin B=0，即sin(A －B)=0.在△ABC 中，0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A －∠B<π. ∴∠A －∠B=0即∠A=∠B ，∴△ABC 为等腰三角形.学业分层测评（二） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c22ab<0，即cos C<0，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 【解析】 由余弦定理的推论知cos B=AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC =1935，∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π－B)=7×5×⎝⎛⎭⎫－1935=－19. 【答案】 D3．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=2，c=23，cos A=32且b<c ，则b=( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】 由a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，得4=b 2＋12－6b ，解得b=2或4.又b<c ，∴b=2. 【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2=3bc ，sin C=23sin B ，则A=( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C=23sin B ，由正弦定理，得c=23b ，∴cos A=b 2＋c 2－a 22bc =－3bc ＋c 22bc =－3bc ＋23bc 2bc =32，又A 为三角形的内角，∴A=30°. 【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2=ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，πC.⎝⎛⎦⎤0，π6 D ．⎣⎡⎭⎫π6，π 【解析】 cos B=a 2＋c 2－b 22ac =(a －c )2＋ac2ac=(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B<π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.故选A. 【答案】 A 二、填空题 6．(2014·福建高考)在△ABC 中，A=60°，AC=2，BC=3，则AB 等于 ．【解析】 ∵A=60°，AC=2，BC=3，设AB=x ，由余弦定理，得BC 2=AC 2＋AB 2－2AC·ABcos A ，化简得x 2－2x ＋1=0，∴x=1，即AB=1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=5∶7∶8，则B 的大小是 ． 【解析】 由正弦定理知：a=2Rsin A ，b=2Rsin B ，c=2Rsin C ．设sin A=5k ，sin B=7k ，sin C=8k ， ∴a=10Rk ，b=14Rk ，c=16Rk ， ∴a ∶b ∶c=5∶7∶8，∴cos B=25＋64－492×5×8=12，∴B=π3.【答案】 π38．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知b －c=14a,2sin B=3sinC ，则cos A 的值为 ．【解析】 由2sin B=3sin C 及正弦定理得2b=3c ，即b=32c.又b －c=14a ，∴12c=14a ，即a=2c.由余弦定理得 cos A=b 2＋c 2－a 22bc =94c 2＋c 2－4c 22×32c 2=－34c 23c 2=－14.【答案】 －14三、解答题9．在△ABC 中，(1)a=3，b=4，c=37，求最大角． (2)b=6，c=2，B=60°，求a. 【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C=a 2＋b 2－c 22ab =32＋42－372×3×4=－12，∴C=120°.(2)法一 由正弦定理b sin B =c sin C ，得sin C=csin B b =2sin 60°6=36=22，∴C=45°或C=135°.∵b>c ，∴B>C ，又∵B=60°，∴C=45°. ∵A ＋B ＋C=180°，∴A=180°－(60°＋45°)=75°，∴a 2=b 2＋c 2－2bccos A=6＋4－46×cos 75°=10－46×6－24=4＋23，∴a=4＋23=3＋1.法二 ∵b 2=a 2＋c 2－2accos B ， ∴6=a 2＋4－4acos 60°=a 2＋4－2a. ∴a 2－2a －2=0.解得a=1＋3或a=1－3(不合题意，舍去)， ∴a=1＋ 3.10．在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2=0的两根，2cos (A ＋B)=1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．【解】 (1)∵cos C=cos [π－(A ＋B)]=－cos (A ＋B)=－12，且C ∈(0，π)，∴C=2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2=0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2=b 2＋a 2－2abcos 120°=(a ＋b)2－ab=10， ∴AB=10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2=2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形【解析】 由2c 2=2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2=－12ab ，所以cos C=a 2＋b 2－c 22ab =－12ab 2ab =－14<0，所以90°<C<180°，即三角形为钝角三角形，故选A. 【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(5，5) B ．(1, 5) C ．(5，13) D ．(13，5)【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x<13.【答案】 C3．(2015·北京高考)在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则sin 2Asin C= . 【解析】 由正弦定理得sin A sin C =ac ，由余弦定理得cos A=b 2＋c 2－a 22bc，∵a=4，b=5，c=6，∴sin 2A sin C =2sin Acos A sin C =2·sin A sin C ·cos A=2×46×52＋62－422×5×6=1. 【答案】 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c=6，b=2，cos B=79. 【=05920060】(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．【解】 (1)由b 2=a 2＋c 2－2accos B ， 得b 2=(a ＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b=2，a ＋c=6，cos B=79，所以ac=9，解得a=3，c=3.(2)在△ABC 中，sin B=1－cos 2B=429，由正弦定理得sin A=asin B b =223.因为a=c ，所以A 为锐角，所以cos A=1－sin 2A=13.因此sin(A －B)=sin Acos B －cos Asin B=10227.学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()图1-2-9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l=502＋302－2×50×30×cos 120°=70 (n mile)．【答案】 B3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，AD=20(3＋1)，则A，B间距离是()图1-2-10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB=DC=40，AD=20(3＋1)，∠ADB=60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB=206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB=30°，OB=20，BD=40，OD=203，在Rt △AOD 中，OA=OD·tan 60°=60，∴AB=OA －OB=40(m)． 【答案】 C 5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60 m ，则建筑物的高度为( )图1-2-11A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m 【解析】 设建筑物的高度为h ，由题图知，PA=2h ，PB=2h ，PC=233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA=602＋2h 2－4h 22×60×2h， ①cos ∠PBC=602＋2h 2－43h 22×60×2h. ②∵∠PBA ＋∠PBC=180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC=0. ③由①②③，解得h=306或h=－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m. 【答案】 D 二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长 千米．【解析】 如图，∠BAO=75°，C=30°，AB=1，∴∠ABC=∠BAO －∠BCA=75°－30°=45°.在△ABC 中，AB sin C =ACsin ∠ABC，∴AC=AB·sin ∠ABCsin C =1×2212=2(千米)．【答案】 2 7．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120 m ，则河的宽度是 m.图1-2-12【解析】 tan 30°=CD AD ，tan 75°=CDDB，又AD ＋DB=120， ∴AD·tan 30°=(120－AD)·tan 75°， ∴AD=603，故CD=60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB=4 2 dm ，AD=17 dm ，∠BAC=45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球. 【=05920061】图1-2-13【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC=x dm ，由题意知CD=2x dm ，AC=AD －CD=(17－2x)dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ，即x 2=(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos 45°，解得x 1=5，x 2=373.∴AC=17－2x=7(dm)，或AC=－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球． 【答案】 7 三、解答题9．A ，B ，C ，D 四个景点，如图1-2-14，∠CDB=45°，∠BCD=75°，∠ADC=15°.A ，D 相距2km ，C ，D 相距(32－6)km ，求A ，B 两景点的距离．图1-2-14【解】 在△BCD 中， ∠CBD=180°－∠BCD －∠CDB=60°，由正弦定理得BD sin ∠BCD =CDsin ∠CBD ，即BD=CD·sin 75°sin 60°=2.在△ABD 中，∠ADB=45°＋15°=60°，BD=AD ， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB=2.答：A ，B 两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD=30°，∠ADB=30°，∠ACB=45°.∵AB=30(m)， ∴BC=30(m)，在Rt △ABD 中，BD=30tan 30°=303(m)．在△BCD 中，CD 2=BC 2＋BD 2－2BC·BD·cos 30°=900， ∴CD=30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1=d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小 【解析】 如图，B ，C ，D 分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α=β.在△PBC 中，d 1sin α=PBsin ∠PCB ，在△PCD 中，d 2sin β=PDsin ∠PCD，∵sin α=sin β，sin ∠PCB=sin ∠PCD ，∴d 1d 2=PBPD.∵PB<PD ，∴d 1<d 2. 【答案】 C 2．如图1-2-15，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3=1.732)( )图1-2-15A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m【解析】 在△ACE 中，tan 30°=CE AE =CM －10AE.∴AE=CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°=DE AE =CM ＋10AE，∴AE=CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°=CM ＋10tan 45°， ∴CM=10(3＋1)3－1=10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C 3.如图1-2-16所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B 处看索道AC ，此时视角∠ABC=120°；从B 处攀登200米到达D 处，回头看索道AC ，此时视角∠ADC=150°；从D 处再攀登300米到达C 处．则石竹山这条索道AC 长为 米．图1-2-16【解析】 在△ABD 中，BD=200米，∠ABD=120°. 因为∠ADB=30°，所以∠DAB=30°.由正弦定理，得BD sin ∠DAB =ADsin ∠ABD，所以200sin 30°=AD sin 120°.所以AD=200×sin 120°sin 30°=2003(米)．在△ADC 中，DC=300米，∠ADC=150°，所以AC 2=AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC=(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°=390 000，所以AC=10039(米)．故石竹山这条索道AC 长为10039米．【答案】 100394．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M ，N 间的距离，无人机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图1-2-17)，无人机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．图1-2-17【解】 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM=dsin α2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN=dsin β2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN=AM2＋AN2－2AM·ANcos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM=dsin α1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理BN=dsin β1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN=BM2＋BN2－2BM·BNcos(β2＋α2).学业分层测评（四） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α>β B ．α=β C ．α＋β=90° D ．α＋β=180°【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α=β，故应选B. 【答案】 B2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 【解析】 如图所示，sin ∠CAB=2040=12，∴∠CAB=30°.【答案】 B3．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且A 、B 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．142海里/小时D ．20海里/小时 【解析】 如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，在△ABC 中，AC=10×2=20(海里)， AB=12海里，∠BAC=120°，∴BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 120°=784， ∴BC=28海里， ∴v =14海里/小时． 【答案】 B4．地上画了一个角∠BDA=60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A．14米B．15米C．16米D．17米【解析】如图，设DN=x m，则142=102＋x2－2×10×xcos 60°，∴x2－10x－96=0.∴(x－16)(x＋6)=0.∴x=16或x=－6(舍)．∴N与D之间的距离为16米．【答案】 C二、填空题5．(2015·湖北高考)如图1-2-26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m.图1-2-26【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=180°－75°=105°，故∠ACB=45°.又AB=600 m，故由正弦定理得600sin 45°=BCsin 30°，解得BC=300 2 m.在Rt△BCD中，CD=BC·tan 30°=3002×3 3=1006(m)．【答案】100 66．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为3海里，则x的值为．【解析】x2＋9－2·x·3cos 30°=(3)2，解得x=23或x= 3.【答案】3或2 37．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为km. 【=05920062】【解析】如图所示，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin 45°=BMsin 30°，解得BM=302(km)．【答案】 30 28．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 n mile 的M 处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为n mile/h.【解析】 如图，由题意知∠MPN=75°＋45°=120°，∠PNM=45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120°=PMsin 45°，∴MN=68×3222=34 6.又由M 到N 所用时间为14－10=4(h)，∴船的航行速度v =3464=1726(n mile/h)．【答案】 1726三、解答题9．平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态．已知F 1、F 2的大小分别为1 N 、6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求F 3的大小及F 3与F 1的夹角的大小．【解】 如图，设F 1与F 2的合力为F ，则F 3=－F. ∵∠BOC=45°， ∴∠ABO=135°.在△OBA 中，由余弦定理得 |F|2=|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1|·|F 2|cos 135° =4＋2 3.∴|F|=1＋3，即|F 3|=3＋1. 又由正弦定理得sin ∠BOA=|F 2|sin ∠ABO |F|=12.∴∠BOA=30°. ∴∠BOD=150°.故F 3的大小为(3＋1)N ，F 1与F 3的夹角为150°. 10. (2016·焦作模拟)如图1-2-27，正在海上A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km 的C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C 处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B 处执行任务，渔政船甲航行30 km 到达D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC 航行前去救援渔船丙)，此时B 、D 两处相距42 km ，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．图1-2-27【解】 设∠ABD=α，在△ABD 中，AD=30， BD=42，∠BAD=60°.由正弦定理得AD sin α=BDsin ∠BAD，sin α=AD BD sin ∠BAD=3042sin 60°=5314，又∵AD<BD ，∴0°<α<60°，cos α=1－sin 2α=1114，cos ∠BDC=cos(60°＋α)=－17.在△BDC 中，由余弦定理得 BC 2=DC 2＋BD 2－2DC·BDcos ∠BDC=402＋422－2×40×42cos(60°＋α)=3 844，BC=62 km ， 即渔政船乙要航行62 km 才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．[能力提升]1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米 【解析】 如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD. 设塔高AB=x ，在Rt △ABC 中，∠ACB=45°， 所以BC=AB=x ，在Rt △ABD 中，∠ADB=30°，∴BD=ABtan 30°=3x ，在△BCD 中，由余弦定理得 BD 2=CB 2＋CD 2－2CB·CD·cos 120°， ∴(3x)2=x 2＋100＋10x ，解得x=10或x=－5(舍去)，故选B. 【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB=10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD=10－4t ，乙行驶到C 处，则AC=6t.∵∠BAC=120°，∴DC 2=AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 120°=(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t ×cos 120°=28t 2－20t ＋100=28⎝⎛⎭⎫t －5142＋6757.当t=514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60=1507分钟．【答案】 A 3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ= .图1-2-28【解析】 在△ABC 中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°， 由余弦定理知BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos 120°=2 800⇒BC=207.由正弦定理AB sin ∠ACB =BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB=AB BC ·sin ∠BAC=217，∠BAC=120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB=277.由θ=∠ACB ＋30°，则cos θ=cos(∠ACB ＋30°)=cos ∠ACB·cos 30°－sin ∠ACB·sin 30°=2114. 【答案】21144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度； (2)求sin α的值．【解】 (1)依题意知，∠CAB=120°，AB=100×2=200，AC=120，∠ACB=α， 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠CAB=2002＋1202－2×200×120cos 120°=78 400，解得BC=280.所以该军舰艇的速度为BC2=140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α=BCsin 120°，即sin α=ABsin 120°BC =200×32280=5314.学业分层测评（五） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2xsin B ＋sin C=0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( ) A ．b=ac B ．b 2=ac C ．a=b=c D ．c=ab【解析】 由方程有重根，∴Δ=4sin 2B －4sin Asin C=0，即sin 2B=sin AsinC ，∴b 2=ac. 【答案】 B2．在△ABC 中，A=60°，b=1，S △ABC =3，则角A 的对边的长为( ) A.57 B.37 C.21 D ．13【解析】 ∵S △ABC =12bcsin A=12×1×c ×sin 60°=3，∴c=4.由余弦定理a 2=b 2＋c 2－2bccos 60°=1＋16－2×1×4×12=13.∴a=13. 【答案】 D3．在△ABC 中，a=1，B=45°，S △ABC =2，则此三角形的外接圆的半径R=( ) A.12B ．1C ．2 2D ．522【解析】 S △ABC =12acsin B=24c=2，∴c=4 2.b 2=a 2＋c 2－2accos B=1＋32－82×22=25，∴b=5.∴R=b 2sin B =52×22=522.【答案】 D4．在△ABC 中，AC=7，BC=2，B=60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D ．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2=AB 2＋BC 2－2AB·BCcos B ，即7=AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3=0. 解得AB=－1(舍去)或AB=3.故BC 边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b=20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 【解析】 由题意知：a=b ＋1，c=b －1，所以3b=20acos A=20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc=20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，整理得7b 2－27b －40=0，解之得：b=5(负值舍去)，可知a=6，c=4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C=6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，B=60°，AB=1，BC=4，则BC 边上的中线AD 的长为 ． 【解析】 画出三角形知AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos 60°=3，∴AD= 3. 【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6=0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】 解方程5x 2－7x －6=0，得x=2或x=－35，∵|cos α|≤1，∴cos α=－35，sin α=45.故S △=12×3×5×45=6(cm 2)．【答案】 6 8．(2016·郑州模拟)在△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 ． 【解析】 由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B ， 即49=a 2＋25－2×5×acos 120°.整理得a 2＋5a －24=0，解得a=3或a=－8(舍)．∴S △ABC =12acsin B=12×3×5sin 120°=1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B)cos(A －B)=1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2=5c 2. 【=05920063】【证明】 由已知得cos 2Acos 2B －sin 2Asin 2B=1－5sin 2C ， ∴(1－sin 2A)(1－sin 2B)－sin 2Asin 2B=1－5sin 2C ， ∴1－sin 2A －sin 2B=1－5sin 2C ， ∴sin 2A ＋sin 2B=5sin 2C.由正弦定理得，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2＋⎝⎛⎭⎫b 2R 2=5⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＋b 2=5c 2. 10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得 BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C=13－12cos C ， ① BD 2=AB 2＋DA 2－2AB·DAcos A=5＋4cos C ． ②由①，②得cos C=12，故C=60°，BD=7.(2)四边形ABCD 的面积S=12AB·DAsin A ＋12BC·CDsin C =⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°=2 3. [能力提升]1．已知锐角△ABC 中，|AB →|=4，|AC →|=1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【解析】 由题意S △ABC =12|AB →||AC →|sin A=3，得sin A=32，又△ABC 为锐角三角形，∴cos A=12，∴AB →·AC →=|AB →||AC →|cos A=2.【答案】 A2．在斜三角形ABC 中，sin A=－2cos B·cos C ，且tan B·tan C=1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D ．3π4【解析】 由题意知，sin A=－2cos B·cos C=sin(B ＋C)=sin B·cos C ＋cos B·sin C ，在等式－2cos B·cos C=sin B·cos C ＋cos B·sin C 两边除以cos B·cos C 得tan B ＋tan C=－2，tan(B ＋C)=tan B ＋tan C 1－tan Btan C=－1=－tan A ，所以角A=π4.【答案】 A 3．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c=2，cos A=－14，则a 的值为 ．【解析】 在△ABC 中，由cos A=－14可得sin A=154，所以有⎩⎨⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.【答案】 84．(2015·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m =(a ，3b)与n =(cos A ，sin B)平行．(1)求A ；(2)若a=7，b=2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m ∥n ，所以asin B －3bcos A=0， 由正弦定理，得sin Asin B －3sin Bcos A=0， 又sin B ≠0，从而tan A= 3.由于0<A<π，所以A=π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，而a=7，b=2，A=π3，得7=4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3=0. 因为c>0，所以c=3.故△ABC 的面积为12bcsin A=332.法二 由正弦定理，得7sinπ3=2sin B ，从而sin B=217.又由a>b ，知A>B ，所以cos B=277.故sin C=sin(A ＋B)=sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 =sin Bcos π3＋cos Bsin π3=32114.所以△ABC 的面积为12absin C=332.学业分层测评（六） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 【答案】 B2．数列的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8【解析】 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2=2，a 3=10，所以a 2·a 3=20. 【答案】 C3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n =(－1)n ·(2n －1) B ．a n =(－1)n ·(2n －1)C ．a n =(－1)n ＋1·(2n －1)D ．a n =(－1)n ＋1·(2n －1) 【解析】 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1=21－1,3=22－1,7=23－1,15=24－1，…，所以通项公式为a n =(－1)n ·(2n－1)．【答案】 A4．(2015·宿州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n =n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【解析】 a n =n －1n ＋1=1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．【答案】 A5．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项【解析】 ∵a n =n －2n 2，令n －2n 2=0.08，解得n=10或n=52(舍去)．【答案】 C 二、填空题 6．(2015·黄山质检)已知数列{a n }的通项公式a n =19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为 ．【解析】 由a n =19－2n>0，得n<192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 【答案】 97．已知数列{a n }，a n =a n ＋m(a<0，n ∈N *)，满足a 1=2，a 2=4，则a 3= .【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a=2， ∴a=2或－1，又a<0，∴a=－1.又a ＋m=2，∴m=3， ∴a n =(－1)n ＋3， ∴a 3=(－1)3＋3=2. 【答案】 2 8．(2015·宁津高二检测)如图2-1-1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2-1-1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n = .图2-1-1【解析】 因为OA 1=1，OA 2=2，OA 3=3，…， OA n =n ，…，所以a 1=1，a 2=2，a 3=3，…，a n =n. 【答案】 n 三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，…. 【=05920064】【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n =43n ＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n =n 22.(3)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n =n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n =79(10n －1)．10．在数列{a n }中，a 1=2，a 17=66，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2016；(3)2016是否为数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n =kn ＋b(k ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66， 解得k=4，b=－2.∴a n =4n －2.(2)a 2 016=4×2 016－2=8 062.(3)由4n －2=2 016得n=504.5∉N *， 故2 016不是数列{a n }中的项．[能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式a n =log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．log 23＋log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30=log 23×log 34×log 45×…×log 3132=lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31=lg 32lg 2=log 232=log 225=5.【答案】 B2．已知数列{a n }中，a n =n 2－kn(n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n =(n ＋1)2－k(n ＋1)－n 2＋kn=2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n ＋1，故只需k<3即可．【答案】 B 3．根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点．图2-1-2【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n －1)＋1=n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋14．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－21n2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．【解】 (1)令a n =0，得n 2－21n=0，∴n=21或n=0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n =1，得n 2－21n2=1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项． (2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1，则有a n =a n ＋1，即n 2－21n 2=(n ＋1)2－21(n ＋1)2.解得n=10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．学业分层测评（七） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知数列{a n }满足：a 1=－14，a n =1－1a n －1(n>1)，则a 4等于( )A.45B.14 C ．－14 D.15【解析】 a 2=1－1a 1=5，a 3=1－1a 2=45，a 4=1－1a 3=－14.【答案】 C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1=a n ＋n ，n ∈N *B ．a n =a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1=a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n =a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 【解析】 由a 2－a 1=3－1=2， a 3－a 2=6－3=3，a 4－a 3=10－6=4， a 5－a 4=15－10=5，归纳猜想得a n －a n －1=n(n ≥2)， 所以a n =a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2. 【答案】 B3．设a n =－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 【解析】 ∵a n =－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质得，当n=2或3时，a n 最大，最大为0. 【答案】 D4．在数列{a n }中，a 1=2，a n ＋1－a n －3=0，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n =3n ＋2 B ．a n =3n －2 C ．a n =3n －1 D ．a n =3n ＋1 【解析】 因为a 1=2，a n ＋1－a n －3=0， 所以a n －a n －1=3， a n －1－a n －2=3， a n －2－a n －3=3， …a 2－a 1=3，以上各式相加，则有a n －a 1=(n －1)×3， 所以a n =2＋3(n －1)=3n －1. 【答案】 C5．已知在数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，且a n ＋2=a n ＋1－a n ，则a 2 016=( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6【解析】 由题意知：a 3=a 2－a 1=3，a 4=a 3－a 2=－3， a 5=a 4－a 3=－6，a 6=a 5－a 4=－3， a 7=a 6－a 5=3，a 8=a 7－a 6=6， a 9=a 8－a 7=3，a 10=a 9－a 8=－3， …故知{a n }是周期为6的数列， ∴a 2 016=a 6=－3. 【答案】 B二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n=0，则a 2 016－a 2015= .【解析】 由已知a 2 016－a 2 015－2 015=0， ∴a 2 016－a 2 015=2 015. 【答案】 2 0157．数列{a n }满足a n =4a n －1＋3，且a 1=0，则此数列的第5项是 ． 【解析】 因为a n =4a n －1＋3，所以a 2=4×0＋3=3， a 3=4×3＋3=15，a 4=4×15＋3=63，a 5=4×63＋3=255. 【答案】 2558．数列{a n }满足：a 1=6，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =32a n －3，那么这个数列的通项公式为 ．【解析】 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =32a n －3，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1=32a n －1－3(n ≥2)，两式作差得3a n －1=a n (n ≥2)，∴a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1=6·3n －1=2·3n (n ≥2)．∵a 1=6也适合上式， ∴a n =2·3n (n ∈N *)(n ∈N *)． 【答案】 a n =2·3n (n ∈N *) 三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=3a na n ＋3(n ∈N *)，求通项a n .【解】 将a n ＋1=3a na n ＋3两边同时取倒数得：1a n ＋1=a n ＋33a n， 则1a n ＋1=1a n ＋13， 即1a n ＋1－1a n =13， ∴1a 2－1a 1=13，1a 3－1a 2=13，…，1a n －1a n －1=13， 把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n －1a 1=n －13. ∵a 1=1，∴a n =3n ＋2(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式a n =(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ，试求数列{a n }的最大项. 【=05920065】 【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，。
2018年秋高中数学 模块综合测评(一)新人教A版必修5
模块综合测评(一)满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1,2)，则a ＋b 的值为( )【导学号：91432385】A ．1B ．－1C ．0D ．－2C [由已知得－b a＝－1＋2，2a＝－1×2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0，故选C.]2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.]3．已知一个等差数列{a n }的第8,9,10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项a n 等于( )【导学号：91432386】A ．2n －5B ．2n －9C ．2n －13D ．2n －17D [依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，∴d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)×2＝2n －17.]4．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ＝cos C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形C [由sin A cos B ＝sin C 及正、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，可得b 2＋c 2＝a 2，即A ＝90°，由sin C ＝cos C 得C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．]5．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( )【导学号：91432387】A ．45B ．75C ．180D ．300C [a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 4＋a 8)＋(a 5＋a 7)＋a 6＝5a 6＝450，∴a 6＝90. ∴a 4＋a 8＝2a 6＝2×90＝180.] 6．下列不等式中，恒成立的是( ) A ．x ＋1x≥2(x ≠0)B ．x 2－2x －3>0 C.2x 2－x ＋2x 2－x ＋1>1 D ．log 12(x 2＋1)≥0C [当x <0时，x ＋1x≥2不成立；当－1≤x ≤3时，不等式x 2－2x －3>0不成立；因为x 2＋1≥1，则log 12(x 2＋1)≤log 121＝0，故D 项不成立；由于x 2－x ＋1>0，不等式等价于2x 2－x ＋2>x2－x ＋1，即x 2＋1>0，故C 项正确．]7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：91432388】A.72 B ．4 C.92D ．5C [∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a，又∵a >0，b >0，∴2y ≥5＋24a b ·ba＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．]8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210B.129C.110D.15D [当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a na n ＋1－1， ∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 10＝210＝15.]9．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数a ( )【导学号：91432389】A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在B [若A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；若B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数a ，当a ＝12时，上述不等式不成立，从而选B.]10．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1B [由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2.设l 0：y ＝－12x ，平移l 0，可知过A 点时z max ＝0＋2×1＝2，过B 点时z min ＝0＋2×(－1)＝－2.]11．若直线ax ＋2by －2＝0(a ，b ∈R ＋)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )【导学号：91432390】A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2D [∵直线平分圆， ∴直线过圆心(2,1)，即2a ＋2b －2＝0，a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 2.]12．如图1所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S 相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()图1A ．20(2＋6)海里/小时B ．20(6－2)海里 /小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时B [设货轮的速度为v 海里/小时，∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝30°，由MS＝20，MN ＝v 2，则v2sin 30°＝20sin 105°，v ＝20sin 105°＝20(6－2)．]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x >1，y >1，且ln x,1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为________.【导学号：91432391】2e [由已知ln x ＋ln y ＝2，∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e.当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e.]14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 110 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝162a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.]15．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为________.【导学号：91432392】2或－2 [∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3，∴sin A ＝32.∴cos A ＝12或－12. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ， ∴AB →·AC →＝2或－2.]16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．20 [设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x·4x ＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积.【导学号：91432393】[解] (1)由cos A ＝－513，得sin A ＝1213，由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)由正弦定理得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝5×451213＝133.∴△ABC 的面积S ＝12·BC ·AC ·sin C ＝12×5×133×1665＝83.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，求b 6.[解] ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4. ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：91432394】[解] 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．[解] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.【导学号：91432395】[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A (m 2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)[解] 设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为2.5A n m 2，征地费用为5 970An元，楼层建筑费用为[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋445＋30×(n －2)]·An＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋30n ＋400A 元，从而y ＝5 970A n ＋15nA ＋30A n ＋400A ＝(15n ＋6 000n ＋400)A ≥1 000A (元)．当且仅当15n ＝6 000n，即n ＝20(层)时，总费用y 最少．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A 元．。
2018年秋高中数学 模块综合测评 新人教A版必修1
模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )【导学号：37102419】A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3x－，x ≥2则f (f (2))等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e1－1＝2.]3．函数f (x )＝2x＋x 的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：37102420】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)．y ＝x 的定义域和值域均为R ；y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ； y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)； y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )【导学号：37102421】A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2A [设f (x )＝x α，则22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12.]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上是增函数的是( )【导学号：37102422】A ．f (x )＝1x2B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－xA [由偶函数的定义知，A ，B 项均为偶函数．A 选项，令x 1<x 2<0，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22，∵x 1<x 2<0，∴x 21>x 22>0，∴x 22－x 21<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )＝1x2在(－∞，0)上单调递增，A 符合；B 选项，f (x )＝x 2＋1对称轴为x ＝0，开口向上， ∴f (x )＝x 2＋1在(－∞，0)上单调递减．] 8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( ) A ．x －a>y －a B ．ax <ay C ．a x<a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a为减函数，所以由x >y >1得到x －a<y －a，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x 以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.]9．已知函数f (x )＝1＋x 21－x2，则有( )【导学号：37102423】A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C [∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＝1＋x2x 2－1＝－f (x )，故选C.] 10．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2，则a 等于( ) A.12 B.12或2 C ．2 2D ．2B [对数函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2， ①当0<a <1时，log a 2·log a 4＝2(log a 2)2＝2， 所以log a 2＝±1，当log a 2＝1时，a ＝2(舍)；当log a 2＝－1时，a ＝12.②当a >1时，log a 2·log a 4＝2(log a 2)2＝2， 所以log a 2＝±1，当log a 2＝1时，a ＝2；当log a 2＝－1时，a ＝12(舍)．综上，a 的值为12或2.]11．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的零点时，其参考数据如表所示．【导学号：37102424】A ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x－x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上， 故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪(23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)B [在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设A ∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A 共有________个.【导学号：37102425】4 [∵A ∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A ⊆{－1,1}，满足条件的集合A 为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．] 14．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________.13 [lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13.]15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增函数，则实数m 的最小值等于________.【导学号：37102426】1 [由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，∴f (x )＝2|x －1|，又∵f (x )在[1，＋∞)上是单调递增的，∴m ≥1.]16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．(－2,2) [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，则f (x )<0的x 的取值范围是(－2,2)．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围.【导学号：37102427】[解] (1)A ＝{x |3≤3x≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B {x |log 2x >1}＝{x |x >2}．A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点． (2)若f (x )有零点，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1. 令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x－1＝0， 解得2x ＝1或2x＝－12(舍去)．所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为x ＝0.(2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x－2x－1＝0有解． 于是2a ＝2x＋14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋122－14. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0，所以2a >14－14＝0，即a >0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x.(1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明.【导学号：37102428】[解] (1)由已知得g (x )＝1－a －2x，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1. (2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 1－x 2x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而x 1－x 2x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m 2＋4m －2.(1)若函数f (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[0,1]上有最小值－3，求实数m 的值． [解] f (x )＝(x －m )2＋4m －2.(1)由f (x )在区间[0,1]上是单调递减函数得m ≥1.(2)当m ≤0时，f (x )min ＝f (0)＝m 2＋4m －2＝－3，解得m ＝－2－3或m ＝－2＋ 3. 当0＜m ＜1时，f (x )min ＝f (m )＝4m －2＝－3， 解得m ＝－14(舍)．当m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝m 2＋2m －1＝－3，无解． 综上可知，实数m 的值是－2± 3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)， (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0.【导学号：37102429】[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )．∴F (x )为奇函数． (3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0， 即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )． ①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ， ∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0； 当a ＞1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0. 22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图1)．图1(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数解析式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大利益是多少万元？[解] (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ， 所以f (1)＝18，得k 1＝18，g (1)＝12，得k 2＝12，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品为x 万元， 则投资股票类产品为(20－x )万元， 依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)， 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．则投资债券类产品16万元，股票类产品4万元，能使投资获得最大利益，其最大收益是3万元．。
2018_2019学年高中数学综合学业质量标准检测新人教A版必修5(含答案)
综合学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( C ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不确定[解析] 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0．2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋ (2)＝2n ＋1－1．∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6．又∵n ∈N *，∴n 的最小值为7．3．(2018－2019学年山东寿光现代中学高二月考)不等式(x ＋12)·(32－x )≥0的解集是( A )A ．{x |－12≤x ≤32}B ．{x |x ≤－12或x ≥32}C ．{x |－12＜x ＜32}D ．{x |x ＜－12或x ＞32}[解析] ∵(x ＋12)(32－x )≥0，∴(x ＋12)(x －32)≤0，∴－12≤x ≤32，故选A ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法一：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法二：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13．∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23．与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．(2016·北京理，5)已知x 、y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D.故选C ．解法二：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故选C ．7．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n 个图有化学键( D )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个[解析] 各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为 1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D ．8．(2016·浙江文，5)已知a 、b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b >log a a⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a 或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1b >a．当⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a 时，0<b <a <1，∴b －1<0，b －a <0；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >a 时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0．∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8，∴S 13＝a 1＋a 132＝13×2a 72＝13a 7，故选C ．10．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521 mB ．10 mC ．4 90013mD ．35 m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝htan60°＝33h ，OB ＝h ．AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.故选A ．11．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．12．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由na 1＋a 2＋…＋a n ＝15n得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n－1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ． 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝__4__． [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4．14．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为2__．[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得ABsin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562．15．(2018－2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)设a ＞0，b ＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为__4__．[解析] ∵3是3a 与3b的等比中项， ∴3＝3a·3b＝3a ＋b，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立． 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l．(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时． [解析] (1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121v，由基本不等式v ＋121v≥2121＝22，得F ≤76 00022＋18＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900．(2)l ＝5，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v，由基本不等式v ＋100v ≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．[解析] 由题意，设这三个数分别是aq ，a ，aq ，且q ≠1，则a q＋a ＋aq ＝114① 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝a q＋(4－1)·d ． 则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎪⎫a －a q ②由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98．18．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2．(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin2A sin2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2A ＝2tan A2tan A ＋1＝25． (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b＝35．又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9．19．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－＝6－＋－＝2k，∴k ＝－25．(2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k >66或k <－66，∴k <－66． 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 20．(本题满分12分)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1、a 7、a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，a 7，a 4成等差数列， ∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0，∴q 3＝－12或q 3＝1．当q 3＝1，即q ＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝12a 1－6a 1＝6a 1，∴S 62S 3＝S 12－S 6S 6， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 当q 3＝－12时，S 62S 3＝a 1－q 61－q·1－q2a 1－q3＝1＋q 32＝14，S 12－S 6S 6＝S 12S 6－1＝a 1－q 121－q ·1－q a 1－q 6－1 ＝q 6＝(q 3)2＝14，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列， 综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．21．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝23．22．(本题满分12分)如图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C ，D 用强光柱进行辅助照明，其中A ，B ，C ，D 在同一平面内，现测得CD 长为100m ，∠ADN ＝105°，∠BDM ＝30°，∠ACN ＝45°，∠BCM ＝60°．(1)求△BCD 的面积； (2)求船AB 的长．[解析] (1)由题意知∠BDM ＝30°，∠BCM ＝60°， 得∠CBD ＝30°，∠BCD ＝120°，所以BC ＝CD ＝100(m)，所以S △BCD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×100×100×sin120°＝2 5003(m 2)．(2)由题意得∠ADC ＝75°，∠ACD ＝45°，∠BDA ＝45°，在△ACD 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，即100sin60°＝ADsin45°，所以AD ＝10036(m)．在△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD＝1002＋1002－2×100×100×cos120°＝1003(m)， 在△ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100362＋32－2×10036×1003×cos45°＝100315(m)，即船长为100315m ．。
高中数学人教A必修5模块综合测评1 Word版含解析
模块综合测评(一)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若<，>，那么下列命题中正确的是( )>>．<．<＋【解析】利用特值法，令＝－，＝.则<，错；<，错；＝，错．【答案】．一个等差数列的第项＝，且＋＋＝，则有( )．＝－，＝．＝，＝－．＝－，＝．＝，＝－【解析】∵＋＋＝且＝＋，∴＝.又∵＝＋＝＋＝，＝.∴＝－＝－＝－.【答案】．已知△的三个内角之比为∶∶＝∶∶，那么对应的三边之比∶∶等于( )．∶∶∶∶∶∶．∶∶【解析】∵∶∶＝∶∶，＋＋＝°，∴＝°，＝°，＝°.∴∶∶＝°∶ °∶ °＝∶∶＝∶∶.【答案】．在坐标平面上，不等式组(\\(≥－，≤－＋))所表示的平面区域的面积为( )．【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．，两点横坐标分别为－，.＝××＝.∴△【答案】．在△中，，，分别是角，，的对边，若＝，＝，△的面积为，则的值为( )．．【解析】根据＝＝，可得＝，由余弦定理得＝＋－＝，故＝.【答案】．(·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )．．．．【解析】设等差数列的首项为，公差为，则＝＋，＝＋，＝＋，又∵·＝，∴(＋)＝(＋)(＋)，∴＝－，∴＝＝.【答案】．若不等式＋＋≥对一切∈恒成立，则的最小值为( )．．－．－．－【解析】＋＋≥在∈上恒成立⇔≥－－⇔≥，∵＋≥，∴－≤－，∴≥－.【答案】．(·浙江高考)已知{}是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则( ) ．>，> ．<，<．>，< ．<，>。
2018学年高中数学必修5模块综合测评 含解析
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．在△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，A ＝π4，B ＝π6，则b 等于________．【解析】 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝2×1222＝ 2.【答案】22．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 5·a 7＝a 26， ∴a 26＝4a 24，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 又q >0，∴q ＝2. ∴a 1＝a 2q ＝12. 【答案】 123．设x >0，y >0，下列不等式中等号不成立的是________． ①x ＋y ＋2xy≥4；②(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥4；④x 2＋3x 2＋2≥2. 【解析】 ④中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2.因为x 2＋2≥2，故应用不等式时，等号不成立． 【答案】 ④4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为________．【解析】 由a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，可知a 4＋a 7＝±3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 4＋a 7)2＝±15.【答案】 ±155．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知， (3a －3)(－a ＋3)>0， 即(a －1)(a －3)<0， ∴1<a <3. 【答案】 (1,3)6．已知2a ＋1<0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________． 【解析】 x 2－4ax －5a 2>0，即(x －5a )(x ＋a )>0， 而方程(x －5a )(x ＋a )＝0的根为x 1＝－a ，x 2＝5a .∵2a ＋1<0，则a <－12，∴－a >5a ，∴原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }． 【答案】 {x |x <5a 或x >－a }7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c ，成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 由已知可知b 2＝ac . 又c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 348．(2016·南通高二检测)已知数列1，a 1，a 2,4等差数列，且实数列1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________.【导学号：91730077】【解析】 ∵a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝1×4＝4，但b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，故a 1＋a 2b 2＝52.【答案】 529．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内持续的时间为________小时．【解析】 设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1. 【答案】 110．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．【解析】 首先画出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0的可行域(如图阴影部分)，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数z ＝3x －y ，当经过x ＋2y ＝4与x －y ＝1的交点(2,1)时，目标函数取得最大值z ＝3×2－1＝5.【答案】 511．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．【解析】 观察数列{a n }可知，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1. 【答案】4nn ＋112．(2016·镇江高二检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________.【导学号：91730078】【解析】 ∵二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域[0，＋∞)，∴a >0， 且4ac －14a ＝0， ∴ac ＝14， ∴c >0，∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝c a ＋a c ＋2a ＋2c ≥2c a ·ac ＋24ac ＝2＋8＝10，当且仅当a ＝c时取等号．【答案】 1013．(2016·南京高二检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c 时取得“＝”)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【答案】314．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.【解析】 根据等比数列的通项公式 S n ＝a 1(1－q n )1－q，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q ⎝⎛⎭⎪⎫q n ＋16q n －17， 令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 【答案】 4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .【解】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2017.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝13.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又S n ＝12－12a n ，∴a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝－n ，∴b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2，∴1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. ∴T 2 017＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝－2 0171 009.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)，∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)． ∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．18．(本小题满分16分)(2016·苏州高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800， 即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．(本小题满分16分)设不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为f (n )(n ∈N *)．(1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式； (2)设b n ＝2n f (n )，S n 为{b n }的前n 项和，求S n . 【解】 (1)f (1)＝3，f (2)＝6.当x ＝1时，y ＝2n ，可取格点2n 个； 当x ＝2时，y ＝n ，可取格点n 个， ∴f (n )＝3n .(2)由题意得：b n ＝3n ·2n ，S n ＝3·21＋6·22＋9·23＋…＋3(n －1)·2n －1＋3n ·2n ， ∴2S n ＝3·22＋6·23＋…＋3(n －1)·2n ＋3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝3·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －3n ·2n ＋1 ＝3(2＋22＋…＋2n )－3n ·2n ＋1 ＝3·2－2n ＋11－2－3n ·2n ＋1＝3(2n ＋1－2)－3n ·2n ＋1， ∴－S n ＝(3－3n )2n ＋1－6， ∴S n ＝6＋(3n －3)2n ＋1.20．(本小题满分16分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25－x 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x (x －1)2×2－50(0<x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N )， 由－x 2＋20x －50>0， 解得10－52<x <10＋52， 而2<10－52<3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为 y ＝1x [y ＋(25－x )] ＝1x (－x 2＋19x －25) ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时取得等号，即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．。
2018年秋高中数学人教版必修一：模块综合评价(一)
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：因为A ∪B ＝{1，2，4，6}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}． 故选B. 答案：B2．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R}和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R}，则两个集合间的关系是( )A ．MPB ．PMC ．M ＝PD ．M ，P 互不包含解析：由于集合M 为数集，集合P 为点集，因此M 与P 互不包含，故选D.答案：D3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3 B ．±3 C ．±9 D ．9 解析：依题意有2＝4a，得a ＝12，所以f (x )＝x 12，当f (m )＝m 12＝3时，m ＝9.答案：D4．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：数形结合，画出三个函数的图象． 由图象可知a <0，0<b <1，c >1，因此a <b <c . 答案：A5．下列各组中的两个集合相等的有( )①P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z}； ②P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}；③P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝1＋（－1）n2，n ∈Z .A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①②解析：①中对于Q ，n ∈Z ，所以n －1∈Z ，Q 亦表示偶数集，所以P ＝Q ；②中P 是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q 是由3，5，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q ，所以集合P 与集合Q 不相等；③中P ＝{0，1}，Q 中当n 为奇数时，x ＝1＋（－1）n2＝0；当n 为偶数时，x ＝1＋（－1）n2＝1，Q ＝{0，1}，所以P ＝Q .答案：B6．已知集合A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝( ) A ．∅B ．[－1，1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：A ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D7．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1<0，x1＋x2>0得x2>－x1>0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．答案：A8．已知a>b，函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝log a(x＋b)的图象可能为()解析：易知0<b<1<a，所以g(x)＝log a(x＋b)为增函数，且g(0)<0，显然B符合．答案：B9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lg xC．y＝2x D．y＝1 x解析：函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.答案：D10．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)．若f(m)<0，则f(m－1)的值为()A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能解析：二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)的对称轴是x＝12，且f(0)＝f(1)＝a>0.因为f(m)<0，所以m－1<0，所以f(m－1)>0.答案：A11．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则() A．f(x)在(0，2)单调递增B．f(x)在(0，2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称解析：f(x)的定义域为(0，2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，所以f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．所以选项A，B错误．因为f f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以选项C正确．因为f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，所以f(x)的图象不关于点(1，0)对称，所以选项D错误，故选C.答案：C12．设方程3－x＝|lg x|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝1C．x1x2>1 D．0<x1x2<1解析：由题意知，当x>1时，3－x1＝lg x1，当0<x<1时，3－x2＝－lg x2且3－x1<3－x2.故3－x1－3＋x2＝lg x1＋lg x2＝lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知全集U＝{1，2，a2－2 a＋3}，A＝{1，a}，∁U A＝{3}，则实数a等于________．解析：因为∁U A＝{3}，所以a2－2a＋3＝3，解得a＝0或a＝2.由元素的单一性可得：a＝0.答案：014．已知函数f(x)＝b－2x2x＋1为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．解析：因为函数f(x)＝b－2x2x＋1为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.又f(0)＝b－2020＋1＝b－12＝0，所以b＝1.故a＋b＝2.答案：215．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________．解析：作出g(x)＝|4x－x2|的图象(图略)，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.答案：416．已知a>b>1，若log a b＋log b a＝52，ab＝b a，则a＝________，b＝________．解析：因为log a b＋log b a＝log a b＋1log a b＝52，所以log a b＝2或12.因为a>b>1，所以log a b<log a a＝1，所以log a b＝12，所以a＝b2.因为a b＝b a，所以(b2)b＝bb2，所以b2b＝bb2，所以2b ＝b 2，所以b ＝2，所以a ＝4. 答案：4 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3；当B ≠∅时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 18．(本小题满分12分)设f(x)是定义在R 上的函数，对m ，n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )(f (m )≠0，f (n )≠0)，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1.(1)求证f (0)＝1；(2)求证x ∈R 时，恒有f (x )＞0； (3)求证f (x )在R 上是减函数． 证明：(1)根据题意，令m ＝0， 可得f (0＋n )＝f (0)·f (n )， 因为f (n )≠0，所以f (0)＝1. (2)由题意知x ＞0时，0＜f (x )＜1， 当x ＝0时，f (0)＝1＞0，当x ＜0时，－x ＞0，所以0＜f (－x )＜1. 因为f [x ＋(－x )]＝f (x )·f (－x )， 所以f (x )·f (－x )＝1， 所以f (x )＝1f （－x ）＞0.故x ∈R 时，恒有f (x )＞0. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，所以f (x 2)－f (x 1)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]－f (x 1)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]．由(2)知f (x 1)＞0，又x 2－x 1＞0， 所以0＜f (x 2－x 1)＜1，故f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )在R 上是减函数． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －5x .(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)用单调性的定义证明函数f (x )＝2x －5x 在(0，＋∞)上单调递增．解：(1)函数f (x )＝2x －5x是奇函数．证明如下：易知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． 因为f (－x )＝2(－x )－5－x＝－2x ＋5x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1) ＝2x 2－5x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5x 1 ＝2(x 2－x 1)＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2 ＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫2＋5x 1x 2， 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )＝2x －5x在(0，＋∞)上单调递增．20．(本小题满分12分)求函数f (x )＝x 2＋2x ＋a －1在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上的零点．解：Δ＝4－4(a －1)＝8－4a . 当Δ<0，即a >2时，f (x )无零点． 当Δ＝0，即a ＝2时，f (x )有一个零点－1.当Δ>0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，即⎩⎨⎧8－4a >0，14＋1＋a －1<0，a <－14时，f (x )仅有一个零点：－1－2－a .当Δ>0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，即⎩⎨⎧8－4a >0，14＋1＋a －1≥0⇒－14≤a <2时，f (x )有两个零点：x ＝－2±8－4a2＝－1±2－a . 综上所述，当a >2时，f (x )无零点； 当a ＝2时，f (x )有一个零点－1；当－14≤a <2时，f (x )有两个零点：－1±2－a ；当a <－14时，f (x )有一个零点：－1－2－a .21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．(1)当0<x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0<x ≤4时，v (x )＝2 当4<x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ， 显然该函数在[4，20]是减函数， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎨⎧2，0<x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52，4≤x ≤20，x ∈N *.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0<x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ，4≤x ≤20，x ∈N *.当0≤x ≤4时，f (x )为增函数， 故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028，f max (x )＝f (10)＝12.5.所以，当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝m－g（x）1＋g（x）的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设g(x)＝a x(a>0，且a≠1))，则a2＝9，所以a＝－3 (舍去)或a＝3，所以g(x)＝3x，f(x)＝m－3x 1＋3x.又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，即m－301＋30＝0，所以m＝1，所以f(x)＝1－3x 1＋3x.(2)设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－3x11＋3x1－1－3x21＋3x2＝2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）.因为x1<x2，所以3x2－3x1>0，所以2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，即对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)>－f(－2t2＋2t－5)恒成立．因为f(x)为奇函数，所以f(t2＋2t＋k)>f(2t2－2t＋5)恒成立．又因为函数f(x)在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k<2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k<t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k<1.。
2018年秋高中数学 模块综合测评 新人教A版必修1
模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )【导学号：37102419】A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3x－，x ≥2则f (f (2))等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e1－1＝2.]3．函数f (x )＝2x＋x 的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：37102420】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)．y ＝x 的定义域和值域均为R ；y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ； y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)； y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )【导学号：37102421】A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2A [设f (x )＝x α，则22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12.]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上是增函数的是( )【导学号：37102422】A ．f (x )＝1x2B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－xA [由偶函数的定义知，A ，B 项均为偶函数．A 选项，令x 1<x 2<0，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22，∵x 1<x 2<0，∴x 21>x 22>0，∴x 22－x 21<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )＝1x2在(－∞，0)上单调递增，A 符合；B 选项，f (x )＝x 2＋1对称轴为x ＝0，开口向上， ∴f (x )＝x 2＋1在(－∞，0)上单调递减．] 8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( ) A ．x －a>y －a B ．ax <ay C ．a x<a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a为减函数，所以由x >y >1得到x －a<y －a，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.] 9．已知函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )【导学号：37102423】A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝f (x ) C [∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.] 10．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2，则a 等于( ) A.12 B.12或2 C ．2 2D ．2B [对数函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2， ①当0<a <1时，log a 2·log a 4＝2(log a 2)2＝2， 所以log a 2＝±1，当log a 2＝1时，a ＝2(舍)；当log a 2＝－1时，a ＝12.②当a >1时，log a 2·log a 4＝2(log a 2)2＝2， 所以log a 2＝±1，当log a 2＝1时，a ＝2；当log a 2＝－1时，a ＝12(舍)．综上，a 的值为12或2.]11．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的零点时，其参考数据如表所示．【导学号：37102424】A ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x－x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上， 故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪(23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)B [在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：。
高中数学人教A版必修五 模块综合测评1 Word版含答案.doc
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1， 即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】 法一 取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1， 则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负， 不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1【解析】 由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ， ∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0. ∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n 1·q n (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ， 即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32， 所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1； (3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。
2018年秋高中数学 模块综合测评(二)新人教A版必修5
模块综合测评(二)满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x <0，T ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≥0}，若S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．(－1,1]C ．[0,1]D ．(0,1]C [S ＝{x |0<x <2}，T ＝{x |x ≤a 或x ≥a ＋1}，由题意a ＋1≤2且a ≥0，得0≤a ≤1.] 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( )【导学号：9143396】A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定 C [b sin A ＝4×sin 60°＝4×32＝2 3. sin B ＝b sin A a ＝23a， 又a ＝6，且6<23，故△ABC 无解．]3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27527 C. 3D ．243A [因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A 项．]4．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2ax <23x ＋a 2对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是( )【导学号：91432397】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D ．(0,1)A [原不等式化为22ax －x 2<23x ＋a 2，故2ax －x 2<3x ＋a 2对任意实数x 都成立，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2>0恒成立．∴(3－2a )2－4a 2＝9－12a <0.∴a >34.]5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋1，则a 4b 4等于( )A.2215 B.1522 C.1223 D.3129B [在等差数列a n ，b n 中，a 4b 4＝7×a 1＋a 727×b 1＋b 72＝S 7T 7＝2×7＋13×7＋1＝1522.]6．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( )【导学号：91432398】A ．－14B.14 C ．－23D.23A [由题意知，sin A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4， 设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k2＋k 2－k22·3k ·2k＝－14.]7．已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 等于( ) A ．9 B ．21 C ．27D ．36C [S 3＋a n ＋a n －1＋a n －2＝4＝3(a 1＋a n )，∴a 1＋a n ＝43，又S n ＝n a 1＋a n2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝18，∴n ＝27.]8．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x －3y 的最小值为( )【导学号：91432399】A ．9B ．－6C ．－9D ．6 B [作出可行域如图所示的阴影部分． 由目标函数z ＝x －3y 得：y ＝13x －z 3， ∴－z3为直线在y 轴上的截距．∴平移直线l 0：y ＝13x ，当直线经过点A 时，z 取得最小值．∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y －9＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，∴A (3,3)．∴z min ＝3－3×3＝－6.]9．如图1，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船行驶方向与距离分别为( )图1A ．北偏东60°；10 2B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；10 3D ．北偏东20°；10 2B [由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°， 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC ＝102＋102－2×10×10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝10 3.]10．当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )【导学号：91432400】A ．(－∞，6)B ．(－∞，6]C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)A [由题意得：当x >0时，mx <x 2＋9，即m <x ＋9x恒成立．设函数f (x )＝x ＋9x (x >0)，则有x ＋9x≥2x ·9x ＝6 ，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立．则实数m 的取值范围是m <6.]11．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3D [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.]12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )【导学号：91432401】A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 22 [因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝2xy2＝22，当且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.]14．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________.【导学号：91432402】153 [由于三边长构成公差为4的等差数列， 故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0， ∴x ＝0(舍去)或x ＝10，∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.]15．设S n 是数列{a n }的前 n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. －1n[∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.]16．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号) 【导学号：91432403】①③④ [因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥a ＋b22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，所以④正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .[解] (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n n －2d ＝242，得12n ＋n n －2×2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍去)．故 n ＝11.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围.【导学号：91432404】[解] (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫62，2. 19．(本小题满分10分)解关于x 的不等式x 2－x ＋3x 2＋ax>0(a ≠0)．[解] ∵x 2－x ＋3>0对x ∈R 恒成立， ∴原不等式可化为x 2＋ax >0，即x (x ＋a )>0. 又a ≠0，∴当a <0时，解得x <0或x >－a ； 当a >0时，解得x <－a 或x >0. 综上，当a <0时，原不等式的解集为{x |x <0或x >－a }；当a >0时，原不等式的解集为{x |x <－a 或x >0}．20．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值.【导学号：91432405】[解] (1)因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b ，即2sin B ＝sin A ＋sin C ，因为sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c ＝b 时，cos B 取得最小值12，此时三角形为正三角形．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形． [解] (1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理， 有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得sin B ＝AC sin A BC ＝12. 因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°. 因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3， 由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21.(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32，所以AB ·AC ＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， 所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 所以△ABC 为等边三角形．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n ＋a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝12，2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <34.【导学号：91432406】[解] (1)由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝12(1－a n )．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，即2a n ＝－a n ＋a n －1，∴a n a n －1＝13(由题意可知a n －1≠0)．∴{a n }是公比为13的等比数列，而S 1＝a 1＝12(1－a 1)，∴a 1＝13，∴a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.由2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2，1b 1＝1，1b 2＝2，得d ＝1b 2－1b 1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫d 为等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的公差， ∴1b n ＝n ，∴b n ＝1n.(2)证明：c n ＝a n b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，设T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，则T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，由错位相减，得23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，所以T n ＝34－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－12n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝34－2n ＋34×13n <34.。
2018_2019学年高中数学综合学业质量标准检测新人教A版必修5(含答案)
综合学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( C ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不确定[解析] 根据余弦定理，得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0．2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋ (2)＝2n ＋1－1．∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6．又∵n ∈N *，∴n 的最小值为7．3．(2018－2019学年山东寿光现代中学高二月考)不等式(x ＋12)·(32－x )≥0的解集是( A )A ．{x |－12≤x ≤32}B ．{x |x ≤－12或x ≥32}C ．{x |－12＜x ＜32}D ．{x |x ＜－12或x ＞32}[解析] ∵(x ＋12)(32－x )≥0，∴(x ＋12)(x －32)≤0，∴－12≤x ≤32，故选A ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法一：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法二：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13．∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23．与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．(2016·北京理，5)已知x 、y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D.故选C ．解法二：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故选C ．7．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第n 个图有化学键( D )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个[解析] 各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为 1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D ．8．(2016·浙江文，5)已知a 、b >0，且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] 根据题意，log a b >1⇔log a b >log a a⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a 或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1b >a ．当⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<b <a 时，0<b <a <1，∴b －1<0，b －a <0；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1b >a 时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0．∴(b －1)(b －a )>0，故选D ．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8，∴S 13＝a 1＋a 132＝13×2a 72＝13a 7，故选C ．10．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521 mB ．10 mC ．4 90013mD ．35 m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝htan60°＝33h ，OB ＝h ．AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.故选A ．11．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B ) A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b＝32时等号成立， ∴ab 的最大值为92.故选B ．12．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C ) A ．811 B ．919 C ．1021 D ．1123[解析] 由na 1＋a 2＋…＋a n ＝15n得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝__4__． [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4．14．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为2．[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得ABsin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562．15．(2018－2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为__4__．[解析] ∵3是3a 与3b的等比中项， ∴3＝3a·3b＝3a ＋b，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立． 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l．(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时． [解析] (1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121v，由基本不等式v ＋121v ≥2121＝22，得F ≤76 00022＋18＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900．(2)l ＝5，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v，由基本不等式v ＋100v ≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．[解析] 由题意，设这三个数分别是aq ，a ，aq ，且q ≠1，则a q＋a ＋aq ＝114① 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝a q＋(4－1)·d ． 则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎪⎫a －a q ②由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98．18．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2．(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin2A sin2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25． (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝35．又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9．19．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－＝6－＋－＝2k，∴k ＝－25．(2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k >66或k <－66，∴k <－66． 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 20．(本题满分12分)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a 1、a 7、a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，a 7，a 4成等差数列， ∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2a 1q 6＝a 1＋a 1q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0，∴q 3＝－12或q 3＝1．当q 3＝1，即q ＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝12a 1－6a 1＝6a 1，∴S 62S 3＝S 12－S 6S 6， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，S 62S 3＝a 1－q 61－q ·1－q2a 1－q3＝1＋q 32＝14，S 12－S 6S 6＝S 12S 6－1＝a 1－q 121－q ·1－qa 1－q 6－1 ＝q 6＝(q 3)2＝14，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列， 综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．21．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝23．22．(本题满分12分)如图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C ，D 用强光柱进行辅助照明，其中A ，B ，C ，D 在同一平面内，现测得CD 长为100m ，∠ADN ＝105°，∠BDM ＝30°，∠ACN ＝45°，∠BCM ＝60°．(1)求△BCD 的面积；(2)求船AB 的长．[解析] (1)由题意知∠BDM ＝30°，∠BCM ＝60°，得∠CBD ＝30°，∠BCD ＝120°，所以BC ＝CD ＝100(m)，所以S △BCD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×100×100×sin120°＝2 5003(m 2)．(2)由题意得∠ADC ＝75°，∠ACD ＝45°，∠BDA ＝45°，在△ACD 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，即100sin60°＝ADsin45°，所以AD ＝10036(m)．在△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD＝1002＋1002－2×100×100×cos120°＝1003(m)， 在△ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100362＋32－2×10036×1003×cos45°＝100315(m)，即船长为100315m ．。
高中数学 模块综合评价(一)达标检测(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞b ，则下列正确的是() A ．a 2＞b 2B ．ac ＞bcC ．ac 2＞bc 2D ．a －c ＞b －c解析：A 选项不正确，因为若a ＝0，b ＝－1，则不成立；B 选项不正确，c ≤0时不成立；C 选项不正确，c ＝0时不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于() A ．45°或135° B．135° C ．45° D．30°解析：因为A ＝60°，a ＝43，b ＝42， 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin Aa＝42×3243＝22. 因为a ＞b ，所以A ＞B ， 所以B ＝45°. 答案：C3．已知数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋b n ，b n ＋1＝a n ＋2b n ＋ln n ＋1n3(n ∈N *)，a 1＋b 1>0.给出下列四个命题，其中的真命题是()A ．数列{a n －b n }单调递增B ．数列{a n ＋b n }单调递增C ．数{a n }从某项以后单调递增D ．数列{b n }从某项以后单调递增解析：因为a n ＋1＝2a n ＋b n ，b n ＋1＝a n ＋2b n ＋lnn ＋1n 3，所以a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n －ln n ＋1n 3， 当n ＝1时，a 2－b 2＝a 1－b 1－ln 2，所以a 2－b 2<a 1－b 1，所以A 项错误；a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )＋ln n ＋1n3，a n ＋1＋b n ＋1－ln(n ＋1)＝3(a n －b n －ln n )，所以{a n ＋b n －ln n }是等比数列，a n ＋b n ＝(a 1＋b 1)·3n －1＋ln n ，所以B 项正确；a n ＋1＝2a n ＋b n ＝a n ＋ln n ＋(a 1＋b 1)·3n －1，故a n ＋1－a n ＝ln n ＋(a 1＋b 1)3n －1>0，C 项正确；因为b n ＋1＝b n ＋a n ＋b n ＋lnn ＋1n3，所以b n ＋1－b n ＝ln(n ＋1)－2ln n ＋(a 1＋b 1)3n －1， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 项正确． 答案：BCD4．若集合M ＝{x |x 2＞4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x ＋1＞0，则M ∩N ＝()A ．{x |x ＜－2}B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |x ＜－2或x ＞3}D ．{x |x ＞3}解析：由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2， 所以M ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＜－2或x ＞2}． 又3－xx ＋1＞0，得－1＜x ＜3， 所以N ＝{x |－1＜x ＜3}；所以M ∩N ＝{x |x ＜－2或x ＞2}∩{x |－1＜x ＜3}＝{x |2＜x ＜3}． 答案：B5．下列各函数中，最小值为2的是() A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x －2x ＋3解析：A 中，当x <0时，y <0，不合题意；B 中，y ＝sin x ＋1sin x≥2，等号成立时，sinx ＝1sin x ，即sin x ＝1，与x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；C 中，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，等号成立时，x 2＋2＝1x 2＋2，得x 2＝－1，不合题意；D 中，y ＝(x －1)2＋2≥2.答案：D6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 解析：因为a sin A ＝bsin B＝2R ，即a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以a cos B ＝b cos A 变形得：sin A cos B ＝sin B cos A ， 整理得：sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0. 又A 和B 都为三角形的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B ， 则△ABC 为等腰三角形． 答案：A7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤3，x ＋y ≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为()A ．6B ．4C ．3D ．2解析：作出不等式组对应的平面区域(如图阴影部分)，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于()A ．18B ．24C ．60D ．90解析：因为a 4是a 3与a 7的等比中项，所以a 24＝a 3a 7， 即(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，整理得2a 1＋3d ＝0.① 又因为S 8＝8a 1＋562d ＝32，整理得2a 1＋7d ＝8.②由①②联立，解得d ＝2，a 1＝－3， 所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.答案：C9．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为()A ．2B ．32C ．322D ．2解析：该不等式组所表示的平面区域是如图所示的阴影部分，可求得A (0，1)，B (0，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，D (－1，－2)，所以S △ACD ＝S △ABD ＋S △ABC ＝12·|AB |·|x D |＋12|AB |·|x C |＝32.答案：B10．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有()A ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)则数列{a n }为等差数列 B ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，则数列{a n }为等差数列C ．数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列D ．数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等比数列解析：根据题意，依次分析选项：对于A 项，若数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c ， 若c ＝0，由等差数列的性质可得数列{a n }为等差数列， 若c ≠0，则数列{a n }从第二项起为等差数列，故A 项不正确； 对于B 项，若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，可得a 1＝4－2＝2，a 2＝S 2－S 1＝8－2－2＝4，a 3＝S 3－S 2＝16－2－6＝8， 则a 1，a 2，a 3成等比数列，则数列{a n }不为等差数列，故B 项不正确；对于C 项，数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…， 即为a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＋1＋…＋a 2n ，a 2n ＋1＋…＋a 3n ，…，即为S 2n －S n －S n ＝S 3n －S 2n －(S 2n －S n )＝n 2d 为常数，仍为等差数列， 故C 项正确；对于D 项，数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…不一定为等比数列，比如公比q ＝－1，n 为偶数，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，均为0，不为等比数列．故D 项不正确．答案：ABD11．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C .()A ．北偏东50°；102B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；103D ．北偏东20°；10 2解析：由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝10 3. 答案：B12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π3，则该三角形面积的最大值是()A ．22B ．3 3C ．43D ．4 2解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时取等号， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×16×sin π3＝8×32＝4 3.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝________．解析：由sin 2A ＝2sin A cos A ＞0，可知A 是锐角，所以sin A ＋cos A ＞0，又(sin A ＋cos A )2＝1＋sin 2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 答案：15314．已知a ＜b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值为_______．解析：因为ab ＝50＞0，所以a 、b 同号，从而|a ＋2b |＝|a |＋2|b |≥2|a |·|2b |＝22·|ab |＝20，其中“＝”成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝－5. 又因为a ＜b ∈R ，所以a ＝－10，b ＝－5. 所以|a ＋2b |的最小值为20. 答案：2015．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为____．解析：作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案：1416．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，则函数y ＝2－3x －4x(x >0)的上确界为________．解析：因为x >0，所以3x ＋4x≥23x ·4x ＝43(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4x ，x >0，即x ＝233时取等号)．所以y ＝2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－43，当且仅当x ＝233时取等号．故y 的上确界为2－4 3.答案：2－4 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集为A . (1)若a ＝2，求集合A ；(2)若集合A 是集合{x |－4≤x ≤2}的真子集，某某数a 的取值X 围． 解：(1)由题意，当a ＝2时，不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0，即x 2－3x ＋2≤0， 即(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，所以集合A ＝{x |1≤x ≤2}． (2)由x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0，可得(x －1)·(x －a )≤0， 当a <1时，不等式(x －1)(x －a )≤0的解集为{x |a ≤x ≤1}．由集合A 是集合{x |－4≤x ≤2}的真子集可得a ≥－4，所以－4≤a ≤1， 当a ＝1时，不等式(x －1)(x －a )≤0的解集为{x |x ＝1}，满足题意； 当a >1时，不等式(x －1)(x －a )≤0的解集为{x |1≤x ≤a }， 由集合A 是集合{x |－4≤x ≤2}的真子集，可得a ≤2，所以1<a ≤2. 综上可得：－4≤a ≤2，即实数a 的取值X 围为[－4，2]．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)， 解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)， 即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)，1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）. 19．(本小题满分12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10亿元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 亿元、y 亿元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．由图可知，当直线z ＝x ＋0.5y 经过点M 时，该直线在x 轴上截距最大，此时z 取得最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，3x ＋y ＝18得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，所以，点M 的坐标为(4，6)． 所以当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，此时，z max ＝1×4＋0.5×6＝7(亿元)． 故投资人用4亿元投资甲项目，6亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8亿元的前提下，使可能的盈利最大．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k ，1)(k >1)，m·n 的最大值为5，求k 的值． 解：(1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0， 故cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)m·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，其中A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，设sin A ＝t ，t ∈(0，1]， 则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2. 由于k >1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值． 由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32.21．(本小题满分12分)已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n ＞0)中，a 1＝3 ，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f (S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项； (2)若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n .解：因为x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3.所以f (x )＝(x ＋3)2. 因为S n ＝f (S n －1)(n ≥2)， 所以S n ＝f (S n －1)＝(S n －1＋3)2. 所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3. 所以{S n }是以3为公差的等差数列． 因为a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3.所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n . 所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3. (2)因为数列b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n，所以b n ＝1a n ＋1a n＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝118(12n －1－12n ＋1)．所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1]＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n9（2n ＋1）.22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项均为整数，它们的前n 项和分别为S n ，T n ，且b 1＝2a 1＝2，b 2S 3＝54，a 2＋T 2＝11.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求M n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n . (3)是否存在正整数m ，使得S m ＋T m ＋1S m ＋T m恰好是数列{a n }或{b n }中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 因为b 1＝2a 1＝2，b 2S 3＝54，a 2＋T 2＝11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2q （3＋3d ）＝54，1＋d ＋2＋2q ＝11，即⎩⎪⎨⎪⎧q （1＋d ）＝9，d ＋2q ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝32，d ＝5(舍去)．word- 11 - / 11 所以a n ＝2n －1，b n ＝2·3n －1.(2)M n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝1×2＋3×2×3＋5×2×32＋…＋(2n －1)×2×3n －1， 3M n ＝1×2×3＋3×2×32＋…＋(2n －3)×2×3n －1＋(2n －1)×2×3n ， 所以－2M n ＝2＋4(3＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×2×3n ＝2＋4×3（1－3n －1）1－3－(4n －2)×3n ＝－4－(4n －4)·3n ，所以M n ＝2(n －1)·3n ＋2.(3)由(1)可得S n ＝n 2，T n ＝3n－1， 所以S m ＋T m ＋1S m ＋T m ＝m 2－1＋3m ＋1m 2－1＋3m. 因为S m ＋T m ＋1S m ＋T m 是数列{a n }或{b n }中的一项，所以m 2－1＋3m ＋1m 2－1＋3m ＝L ，L ∈N *， 所以(L －1)(m 2－1)＝(3－L )3m ，因为m 2－1≥0， 3m >0，所以1<L ≤3，又L ∈N *，则L ＝2或L ＝3.当L ＝2时，有(m 2－1)＝3m，即（m 2－1）3m ＝1，令f (m )＝m 2－13m ， 则f (m ＋1)－f (m )＝（m ＋1）2－13m ＋1－m 2－13m ＝－2m 2－2m －33m ＋1. 当m ＝1时，f (1)<f (2)；当m ≥2时，f (m ＋1)－f (m )<0， 即f (1)<f (2)>f (3)>f (4)>….由f (1)＝0，f (2)＝13，知（m 2－1）3m ＝1无整数解． 当L ＝3时，有m 2－1＝0，即存在m ＝1使得m 2－1＋3m ＋1m 2－1＋3m ＝3是数列{a n }中的第2项． 故存在正整数m ＝1，使得S m ＋T m ＋1S m ＋T m是数列{a n }中的项．。
2018_2019学年高中数学综合学业质量标准检测新人教A版必修5
综合学业质量标准检测一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在△中，若＝°，则＋＋－的值( )．大于．小于．等于．不确定[解析] 根据余弦定理，得°＝＝－，即＋－＝－.故＋＋－＝．．若＋＋＋…＋>，∈*，则的最小值为( )．．．．[解析] ＋＋＋…＋＝＋－．∵＋－>＝，∴＋>，>．又∵∈*，∴的最小值为．．(－学年山东寿光现代中学高二月考)不等式(＋)·(－)≥的解集是( )．{－≤≤} ．{≤－或≥}．{－＜＜} ．{＜－或＞}[解析] ∵(＋)(－)≥，∴(＋)(－)≤，∴－≤≤，故选．．已知数列{}中的首项＝，且满足＋＝＋，则此数列的第三项是( )．．．．[解析] ∵＝，＋＝＋，∴＝＋＝，＝＋＝，∴选．．已知为△的一个内角，且＋＝，则△的形状是( )．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形．不确定[解析] 解法一：∵＋＝，∴(＋)＝，∴·＝－<，∴为钝角，∴△的形状为钝角三角形．故选．解法二：假设<≤，则<＋≤，∴(＋)≥>．∴＋＝(＋)≥>．与条件矛盾，∴>.故选．．(·北京理，)已知、∈，且>>，则( )．－> ．－>．()－()< ．＋>[解析] 解法一：因为>>，选项，取＝，＝，则－＝－＝－<，排除；选项，取＝π，＝，则－＝π－＝－<，排除；选项，取＝，＝，则＋＝(＋)＝＝，排除.故选．解法二：因为函数＝在上单调递减，且>>，所以<，即－<，故选．．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构可推知第个图有化学键( )．个．(＋)个．(－)个．(＋)个[解析] 各图中的“短线”个数依次为＋＋＋，….若视为＋，则上述数列为＋＋＋＋＋＋，…，于是第个图有化学键(＋)个．故选．．(·浙江文，)已知、>，且≠，≠，若>，则( )．(－)(－)< ．(－)(－)>．(－)(－)< ．(－)(－)>[解析] 根据题意，>⇔>⇔(\\(<<<<))或(\\(>>))．当(\\(<<<<))时，<<<，∴－<，－<；当(\\(>>))时，>>，∴－>，－>．∴(－)(－)>，故选．．设等差数列{}的前项和为，且＋＋＝，则＝( )．．．．[解析] 由等差数列的性质得＋＋＝＝，∴＝，∴＝＝＝，故选．．从某电视塔的正东方向的处，测得塔顶仰角是°；从电视塔的西偏南°的处，测得塔顶仰角为°，、间距离是，则此电视塔的高度是( )．．．) ．[解析] 作出示意图，设塔高为，在△中，＝＝，＝．＝，∠＝°，由余弦定理得＝()＋－×·°，解得＝.故选．．已知直线＋－＝(>，>)被圆＋－－＝截得的弦长为，则的最大值是( )．．．．[解析] 圆的标准方程为(－)＋(－)＝，直线截圆所得的弦长为，等于直径，∴直线＋－＝过圆心，即＋－＝.又>，>，由基本不等式得＋≥，即≤，当且仅当＝，＝时等号成立，∴的最大值为.故选．．定义为个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列{}的前项的“均倒数”为，又＝，则＋＋…＋等于( )．．．．[解析] 由＝得＝＋＋…＋＝，则－＝(－)(≥)，＝－－＝－(≥)，当＝时，＝也满足．故＝－，＝－，＝＝(－)，所以原式＝(－)＝×(－)＝.故选．二、填空题(本大题共个小题，每个小题分，共分．将正确答案填在题中横线上)．等比数列{}和等差数列{}中，＝－＝，则＋＝．[解析] ∵－＝－＝，≠，∴＝，∴＋＝＝＝．．如图，在△中，∠＝°，是边上一点，＝，＝，＝，则的长为．[解析] 在△中，∠＝＝－，所以∠＝°，所以∠＝°.在△中，由正弦定理得＝，所以＝．．(－学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)设＞，＞，若是与的等比中项，则＋的最小值为．[解析] ∵是与的等比中项，∴＝·＝＋，∴＋＝，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝，即＝＝时，等号成立．．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆小时)与车流速度(假设车辆以相同速度行驶，单位)、平均车长(单位：)的值有关，其公式为＝＋＋)．()如果不限定车型，＝，则最大车流量为辆小时；()如果限定车型，＝，则最大车流量比()中的最大车流量增加辆小时．[解析] ()＝，则＝＋＋)＝＋＋())，由基本不等式＋≥＝，得≤＋)＝ (辆小时)，故答案为．()＝，＝＋＋)＝＋＋())，由基本不等式＋≥＝，得≤＋)＝ (辆小时)，增加－＝(辆小时)，故答案为．三、解答题(本大题共个小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．(本题满分分)和为的三个数是一个公比不为的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第项，第项，第项，求这三个数．[解析] 由题意，设这三个数分别是，，，且≠，则＋＋＝①令这个等差数列的公差为，则＝＋(－)·．则＝(－)，又有＝＋××②由②得(－)(－)＝，∵≠，∴＝代入①得＝，则所求三数为．．(本题满分分)在△中，内角、、所对的边分别为、、.已知＝．()求的值；()若＝，＝，求△的面积．[解析] ()由(＋)＝，得＝，所以＝＝＝．()由＝，∈(，π)可得，＝，＝.由＝，＝及正弦定理知：＝．又＝(＋)＝＋＝，所以△＝＝×××＝．．(本题满分分)已知关于的一元二次不等式－＋<(≠)．()若不等式的解集是{<－或>－}，求的值；()若不等式的解集是，求的取值范围．[解析] ()∵不等式的解集为{<－或>－}，∴－，－是方程－＋＝的两根，且<．∴(\\(－－＝,－＋－＝()))，∴＝－．()∵不等式的解集为，∴(\\(<,Δ＝－·<))，即(\\(<>(())或<－(())))，∴<－．即的取值范围是(－∞，－)．．(本题满分分)已知{}是等比数列，是其前项和，、、成等差数列，求证：，，－成等比数列．[解析] 设等比数列{}的公比为，∵，，成等差数列，∴＝＋，∴＝＋，∴－－＝，∴＝－或＝．当＝，即＝时，＝，＝，－＝－＝，∴＝，∴，，－成等比数列．当＝－时，＝·＝＝，＝－＝·－＝＝()＝，∴，，－成等比数列，综上可知，，，－成等比数列．．(本题满分分)在△中，内角、、的对边分别为、、.已知向量＝(－)，＝(，－)，且·＝．()求角的大小；()若点为边上一点，且满足＝，＝，＝，求△的面积．[解析] ()∵＝(，)，＝(，－)，·＝，∴＋(－)＝，在△中，由正弦定理得＋(－)＝，∴＝．又∵≠，∴＝，∵∈(，π)，∴＝．()由＝，知－＝－，所以＝＋，两边平方得＝＋＋∴＋＋＝.①又∵＝＋－，∴＋－＝.②由①②得＝，所以△＝＝．．(本题满分分)如图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处，用强光柱进行辅助照明，其中，，，在同一平面内，现测得长为，∠＝°，∠＝°，∠＝°，∠＝°．()求△的面积；()求船的长．[解析] ()由题意知∠＝°，∠＝°，得∠＝°，∠＝°，所以＝＝()，所以△＝··∠＝×××°＝ ()．()由题意得∠＝°，∠＝°，∠＝°，在△中，＝，即＝，所以＝()．在△中，＝＝＝()，在△中，＝＝＝()，即船长为．。
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模块综合测评(一)满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1,2)，则a ＋b 的值为( )【导学号：91432385】A ．1B ．－1C ．0D ．－2C [由已知得－b a＝－1＋2，2a＝－1×2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0，故选C.]2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.]3．已知一个等差数列{a n }的第8,9,10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项a n 等于( )【导学号：91432386】A ．2n －5B ．2n －9C ．2n －13D ．2n －17D [依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，∴d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)×2＝2n －17.]4．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ＝cos C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形C [由sin A cos B ＝sin C 及正、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，可得b 2＋c 2＝a 2，即A ＝90°，由sin C ＝cos C 得C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．]5．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( )【导学号：91432387】A ．45B ．75C ．180D ．300C [a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 4＋a 8)＋(a 5＋a 7)＋a 6＝5a 6＝450，∴a 6＝90. ∴a 4＋a 8＝2a 6＝2×90＝180.] 6．下列不等式中，恒成立的是( ) A ．x ＋1x≥2(x ≠0)B ．x 2－2x －3>0 C.2x 2－x ＋2x 2－x ＋1>1 D ．log 12(x 2＋1)≥0C [当x <0时，x ＋1x≥2不成立；当－1≤x ≤3时，不等式x 2－2x －3>0不成立；因为x 2＋1≥1，则log 12(x 2＋1)≤log 121＝0，故D 项不成立；由于x 2－x ＋1>0，不等式等价于2x 2－x ＋2>x 2－x ＋1，即x 2＋1>0，故C 项正确．]7．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )【导学号：91432388】A.72 B ．4 C.92D ．5C [∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ，又∵a >0，b >0，∴2y ≥5＋24a b ·ba＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．]8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210B.129C.110D.15D [当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a na n ＋1－1， ∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 10＝210＝15.]9．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数a ( )【导学号：91432389】A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在B [若A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；若B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数a ，当a ＝12时，上述不等式不成立，从而选B.]10．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1B [由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2.设l 0：y ＝－12x ，平移l 0，可知过A 点时z max ＝0＋2×1＝2，过B 点时z min ＝0＋2×(－1)＝－2.]11．若直线ax ＋2by －2＝0(a ，b ∈R ＋)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )【导学号：91432390】A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2D [∵直线平分圆， ∴直线过圆心(2,1)，即2a ＋2b －2＝0，a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.]12．如图1所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S 相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()图1A ．20(2＋6)海里/小时B ．20(6－2)海里 /小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时B [设货轮的速度为v 海里/小时，∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝30°，由MS ＝20，MN ＝v 2，则v2sin 30°＝20sin 105°，v ＝20sin 105°＝20(6－2)．]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x >1，y >1，且ln x,1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为________.【导学号：91432391】2e [由已知ln x ＋ln y ＝2，∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e.当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e.]14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 110 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝162a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.]15．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为________.【导学号：91432392】2或－2 [∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3，∴sin A ＝32.∴cos A ＝12或－12. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ， ∴AB →·AC →＝2或－2.]16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．20 [设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x·4x ＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积.【导学号：91432393】[解] (1)由cos A ＝－513，得sin A ＝1213，由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)由正弦定理得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝5×451213＝133.∴△ABC 的面积S ＝12·BC ·AC ·sin C ＝12×5×133×1665＝83.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，求b 6.[解] ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4. ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：91432394】[解] 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．[解] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.【导学号：91432395】[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A (m 2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)[解] 设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为2.5A n m 2，征地费用为5 970An元，楼层建筑费用为[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋445＋30×(n －2)]·A n ＝⎝⎛⎭⎪⎫15n ＋30n＋400A元，从而y ＝5 970A n ＋15nA ＋30A n ＋400A ＝(15n ＋6 000n＋400)A ≥1 000A (元)．当且仅当15n ＝6 000n，即n ＝20(层)时，总费用y 最少．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A 元．。