2019雅礼实验初二上期第三次月考数学解析

雅实、西雅2019年初二下学期数学第三次质量检测卷
一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分)
1.下列汽车标志中是轴对称图形的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可.
【详解】下列图形中，是轴对称的图形的有第一个，第四个，共两个. 故选B.
【点睛】主要考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 2.下列计算正确的是( ) A. 236a a a ⋅= B. 2323a a a += C. 34428x x x ⋅= D. ()
3
2
639a a -=-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据幂的运算法则即可判断.
【详解】A. 235a a a ⋅=，故错误； B. 22a a +不能计算，故错误； C. 34428x x x ⋅=，正确； D. ()
3
26327a a -=-，故错误；
故选C.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.
3.下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A. 2
11x x x x ⎛⎫+=+
⎪⎝⎭
B. ()2
3222a a b ab a a b -+=- C. ()22121x x x x -+=-+ D. ()2
2
ab a b a b ab -=-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据因式分解的定义即可判断. 【详解】A. 2
11x x x x ⎛⎫
+=+
⎪⎝⎭
含有分式，故错误； B. ()2
3222a a b ab a a b -+=-，正确
C. ()2
2121x x x x -+=-+，含有加减运算，故错误；
D. ()2
2
ab a b a b ab -=-为整式的运算，故错误；
故选B.
【点睛】此题主要考查因式分解的定义，解题的关键是熟知因式分解与整式运算的区别.
4.随着电子技术的
不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm 2，0.00000065用科学计数法表示为 A. 6.5×107
B. 6.5×10－6
C. 6.5×10－8
D. 6.5×10－7
【答案】D 【解析】 分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：70.00000065 6.510-=⨯． 故答案为D ．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5.下列各式，从左到右变形正确的是( )
A. a a c
b b c
+
=
+
B.
2
2
b b
a a
=
C.
11
a b a b
=-
-++
D.
22
a b
a b
a b
-
=-
+
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可判断.
【详解】A. a a c
b b c
+
≠
+
，故错误；
B.
2
2
b b
a a
≠，故错误；
C.
11
a b a b
=-
-+-
，故错误；
D.
22
a b
a b
a b
-
=-
+
，正确；
故选D.
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
6.如图所示，AB∥CD，DB⊥BC于点B，若∠2=50°，则∠1=________（）
A. 40°
B. 50°
C. 45°
D. 60°【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠3，然后由两直线平行，同位角相等即可求解．【详解】解：如图：
∵DB ⊥BC ，∠2=50°，
∴∠3=90°-∠2=90°-50°=40°， ∵AB ∥CD ， ∴∠1=∠3=40°． 故选B ．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 7.已知2m a =，4n a =，则32m n a -=( ) A. 12
-
B.
12
C. 1
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据幂的运算公式逆运算即可求解. 【详解】∵2m a =，4n a = ∴32m n
a
-=()()
3
2
m n a
a ÷=321248162
÷=÷=
故选B.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的公式逆运算.
8.如图①，从边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是( )
A. ()()2
2
a b a b a b +-=-
B. ()2
222a b a ab b -=-+ C. ()2
222a b a ab b +=++
D. ()2
a a
b a a b +=+
【答案】A 【解析】 【分析】
由大正方形的面积−小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】大正方形的面积−小正方形的面积＝a 2−b 2， 矩形的面积＝（a ＋b ）（a−b ）， 故()()2
2
a b a b a b +-=-．
故选A ．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
9.如图，AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若28ABC S ∆=，4DE =，
8AB =，则AC 长是(
)
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
【答案】C 【解析】 【
分析】
首先由角平分线的性质可知DF ＝DE ＝4，然后由S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD 及三角形的面积公式得出结果． 【详解】∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF ＝DE ＝4．
又∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，AB ＝8， ∴28＝
12×8×4＋1
2
×AC ×4， ∴AC ＝6． 故选C ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用．
10.已知a ﹣b ＝3，则a 2﹣ab ﹣3b 的值为（ ） A. 7 B. 11
C. 9
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
将式子进行分组因式分解，再适时代入a ﹣b 的值计算，即求出答案． 【详解】解：∵a ﹣b ＝3，
∴a 2﹣ab ﹣3b ＝a （a ﹣b ）﹣3b ＝3a ﹣3b ＝3（a ﹣b ）＝3×3＝9． 故选C ．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握分组因式分解的方法是解题的关键．
11.如图，点K 在AOB ∠的内部，点K 关于OA 、OB 的对称点分别为P 、R ，连接PR 交OA 、OB 于点C 、
D ，若70POR ∠=，则下列结论错误的是( )
A. 35AOB ∠=
B. 110CKD ∠= C .
PK RK = D. OA 垂直平分PK
【答案】C 【解析】 【分析】
利用轴对称的性质，线段的垂直平分线的判定和性质一一判断即可． 【详解】∵点K 关于OA 、OB 的对称点分别为P 、R ，
∴OA 垂直平分线段PK ，∠AOK ＝∠AOP ，∠BOK ＝∠BOR ，故选项D 正确， ∵∠POR ＝70°， ∴∠AOB ＝
1
2
∠POR ＝35°，故选项A 正确，
∵OB 垂直平分线段RK ，OA 垂直平分线段PK ， ∴DK ＝DR ，CK ＝CP ，则PK RK ≠,C 错误； ∴∠CPK ＝∠CKP ，∠DRK ＝∠DKR ， ∵∠PKR ＝180°−∠AOB ＝145°， ∴∠CPK ＋∠DRK ＝35°，
∴∠CKD ＝145°−35°＝110°，故选项B 正确， 故选C ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.如图，ABC ∆中，45ABC ∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论正确的有( )个 ①BF AC =；②1
2
AE BF =
；③67.5A ∠=；④DGF ∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCE S S =四边形四边形.
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
【答案】B 【解析】 【分析】
只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断⑤错误． 【详解】∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，
∴∠A ＋∠ABE ＝90°，∠ABE ＋∠DFB ＝90°， ∴∠A ＝∠DFB ，
∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，
∴∠DCB ＝90°−45°＝45°＝∠DBC ， ∴BD ＝DC ， 在△BDF 和△CDA 中
BDF CDA A DFB
BD CD ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ）， ∴BF ＝AC ，故①正确．
∵∠ABE ＝∠EBC ＝22.5°，BE ⊥AC ， ∴∠A ＝∠BCA ＝67.5°，故③正确， ∴BA ＝BC ， ∵BE ⊥AC ， ∴AE ＝EC ＝
12AC ＝1
2
BF ，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝45°， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝22.5°， ∵∠BDF ＝∠BHG ＝90°， ∴∠BGH ＝∠BFD ＝67.5°， ∴∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°， ∴DG ＝DF ，故④正确． 作GM ⊥AB 于M ．
∵∠GBM ＝∠GBH ，GH ⊥BC ， ∴GH ＝GM ＜DG ， ∴S △DGB ＞S △GHB ， ∵S △ABE ＝S △BCE ，
∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故⑤错误， ∴①②③④正确， 故选B ．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
13.分式
5
5
x
x
-
+
的值为0，则x的值为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据分式值为零的条件可得x−5＝0，且x＋5≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x−5＝0，且x＋5≠0，，
解得：x＝5，
故填：5.
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14.已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值为______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而可得（a+b）2019的值．
【详解】解：∵点P1（a-1，5）和P2（2，b-1）关于x轴对称，
∴a-1=2，b-1=-5，
解得：a=3，b=-4，
∴（a+b）2019=-1．
故答案是：-1．
【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 15.若代数式249x kx -+是一个完全平方式，则常数k 的值为__________. 【答案】±12 【解析】 【
分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值． 【详解】∵249x kx -+是一个完全平方式， ∴−k ＝±12，
解得：k ＝±12 故填：±12. 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.要使(
)()2
2
321ax x x
x +--的展开式中不含3x 项，则a =_______.
【答案】1.5 【解析】 【分析】
原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x 3项，求出a 的值即可． 【详解】原式= ax 4＋（−2a+3）x 3＋（−a -6）x 2-3x ， 由结果不含x 3项，得到−2a+3＝0， 解得：a ＝1.5， 故填：1.5.
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，AD 平分CAB ∠交边BC 于点DE ，EF 分别是AD ，AC 上的点，连结CE ，EF .若10AB =，6BC =，8AC =则CE EF +的最小值是__________
.
【答案】
24
5
【解析】
【分析】
由轴对称的性质可知：EC＝EC′，所以CE EF
+＝'
C E EF
+，由垂线段最短可知：当C′F⊥AC时，C′F 有最小值，然后利用锐角三角函数的定义即可其求出FC′的长．
【详解】如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′F⊥AC于F，交AD 于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴△ACD与△ADC′关于AD对称．
∴点C′在AB上．
由翻折的性质可知：AC′＝AC＝4，EC＝EC′，
∴CE EF
+＝'
C E EF
+，
由垂线段最短可知：当C′F⊥AC时，C′F有最小值．
在Rt△ACB中，sin∠CAB＝
63
105
BC
AB
==
在Rt△AFC′中，sin∠FAC′＝
'3
'5
FC
AC
=，
即
'3
85
FC
=，
∴FC′＝
24
5
，
故CE EF
+的最小值是
24
5
故填：
24
5
.
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，明确当C′F⊥AC时，C′F有最小值是解题的关键．
18.对于正数x规定
1
()
1
f x
x
=
+
，例如：
11
(3)=
134
f=
+
，
115
()=
1
56
1
5
f=
+，，则f (2019)＋f (2018)
＋……＋f (2)＋f (1)＋1111()+()+
+()()2320182019f f f f +＝___________． 【答案】12018
2 【解析】
【分析】
根据所给()11f x x
=+计算每一个值，再把所有的数值相加即可. 【详解】解：f(2019)＋f(2018)＋…＋f(2)＋f(1)＋1111+++2320182019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =
1111232018201920202019323420192020
++⋯+++⋯+ =(1201920202020+)+(1201820192019+)+…+12
=2018×1+12
=120182
. 故答案为120182. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意利用()11f x x =
+计算，并能找出f(n)和f(1n
)之间的关系. 三、解答题(本大题共8个小题，共66分)
19.(1)()2332x y xy ⋅-
(2)()()()223
2a b ab b b a b a b --÷-+- 【答案】(1) 346x y - (2) -2ab.
【解析】
【分析】
（1）根据单项式的乘法法则即可求解；
（2）根据整式的乘除混合运算法则即可求解.
【详解】(1)()2332x y xy ⋅-
=346x y -
(2)()()()2232a b ab b
b a b a b --÷-+- =()()()222a ab b a b a b ---+-
=22222a ab b a b ---+
=-2ab.
【点睛】此题主要考查整式的乘除运算，解题的关键是熟知整式的运算法则.
20.因式分解：(1)22246ax ay - (2)()2
28a b ab -+
【答案】(1) ()()622a x y x y +-(2) ()22a b + 【解析】
【分析】
（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解；
（2）先化简，再利用完全平方公式因式分解.
【详解】(1)22246ax ay -
=()2264a x y -
=()()622a x y x y +-
(2)()2
28a b ab -+
=22448a ab b ab -++
=2244a ab b ++
=()22a b +
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法. 21.先化简221224
x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2,0,2-三个数中，选择一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值. 【答案】24x +；4.
【解析】
【分析】
先根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的x 即可求解.
【详解】221224
x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ =()()()()
()()2222222x x x x x x x +--⋅-+-+ =()()
()()22242222x x x x x x x +-+⋅-+-+ =24x +
∵x≠±2，
∴取x=0代入原式=4.
【点睛】此题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则.
22.如图，点E 是AOB ∠平分线上一点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂足分别是C 、D ，线段CD 与OE 相交于点F ，
求证：(1)EDC ECD ∠=∠；
(2)OE 是线段CD 的垂直平分线.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线性质可证ED=EC ，从而可知△CDE 为等腰三角形，可证∠ECD=∠EDC ；
（2）由OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，OE=OE ，可证△OED ≌△OEC ，可得OC=OD
DE=EC ，再根据ED=EC ，OC=OD ，可证OE 是线段CD 的垂直平分线．
【详解】（1）∵点E 是AOB ∠平分线上一点，EC OA ⊥，ED OB ⊥
∴ED=EC
∴EDC ECD ∠=∠
（2）∵点E 是AOB ∠平分线上一点，EC OA ⊥，ED OB ⊥
∴90o EDO ECO ∠=∠=，ED=EC
∵OE=OE ，
∴△OED ≌△OEC
∴ED=EC ，OC=OD
∴OE 是线段CD 的垂直平分线.
【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线的性质证明，解题的关键是熟知垂直平分线与角平分线的性质、全等三角形的判定定理.
23.如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，BD CE =.
(1)求证：DEF ∆是等腰三角形；
(2)当50A ∠=时，求DEF ∠的度数；
(3)当A ∠为多少度时，110EDF EFD ∠+∠=？请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）65°；（3）40°
. 【解析】
【分析】
（1）根据AB ＝AC 可得∠B ＝∠C ，即可求证△BDE ≌△CEF ，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF ＝∠BDE ，于是得到∠DEF ＝∠B ，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）由（2）得∠DEF ＝∠B ，根据三角形的内角和与等腰三角形的性质即可求解.
【详解】（1）∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ，
在△BDE 和△CEF 中，
∵BE CF B C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BDE ≌△CEF （SAS ），
∴DE ＝EF ，
∴△DEF 是等腰三角形；
（2）∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE ，
即∠DEF ＋∠CEF ＝∠B ＋∠BDE ，
∵△BDE ≌△CEF ，
∴∠CEF ＝∠BDE ，
∴∠DEF ＝∠B ，
又∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°，
∴∠B ＝65°，
∴∠DEF ＝65°；
（3）由（2）得∠DEF ＝∠B ，
∵110EDF EFD ∠+∠=
∴∠DEF ＝∠B=70°，
∴∠A=180°
-2∠B=40°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24.先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值.
解：∵2222690m mn n n ++-+=
∴2222690m mn n n n +++-+=
即()()22
30m n n ++-=
∴0m n +=，30n -=
∴3m =-，3n =
问题：(1)若2222440x xy y y -+++=，求y x 的值；
(2)已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，满足222101243a b a b +-=-，且ABC ∆中最长的边的长度为c ，求c 的取值范围.
【答案】（1）
14；（2）5≤c ＜8． 【解析】
【分析】
（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出a 、b 的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．
【详解】（1）222244x xy y y -+++
＝（x−y ）2＋（y ＋2）2
＝0，
∴x−y ＝0，y ＋2＝0，
解得x ＝−2，y ＝−2，
∴y x ＝（−2）−2＝14
； （2）∵222101243a b a b +-=-
∴a 2−10a ＋25＋2b 2−12b ＋18＝0，
即（a−5）2＋2（b−3）2＝0，
a−5＝0，b−3＝0，
解得a ＝5，b ＝3，
∵c 是△ABC 中最长的边，
∴5≤c ＜5+3
即5≤c ＜8．
【点睛】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．
25.阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式()()x a x b x
--的值为零，则x a =或x b =.又因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x
---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x
+=+有两个解，分别为1x a =，2x b =.
应用上面的结论解答下列问题： (1)方程p x q x
+
=的两个解分别为12x =-，23x =，则p =_________，q =_________； (2)方程23x x -+=的两个解分别为1x a =，2x b =，求44a b +的值； (3)关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为()1212x x x x <、，求12
2122x x +-的值. 【答案】（1）−6，1；（2）161；（3）1.
【解析】
【分析】
（1）根据材料可得：p ＝−2×3＝−6，q ＝−2＋3＝1，计算出结果；
（2）根据材料得到ab ＝-2，a ＋b ＝3，再把44a b +变形求解代入求解；
（3）将原方程变形后变为：2x ＋1＋2221
n n x +-+＝2n ＋1，未知数变为整体2x ＋1，根据材料中的结论可得：x 1＝
22n -，x 2＝12
n +，代入所求式子可得结论． 【详解】（1）∵方程p x q x +=的两个解分别为12x =-，23x =， ∴p ＝−2×3＝−6，q ＝−2＋3＝1，
故答案为−6，1；
（2）∵方程23x x
-+=的两个解分别为1x a =，2x b =， ∴ ab ＝-2，a ＋b ＝3，
∴（a ＋b ）2= a 2＋b 2+2ab=9
故a 2＋b 2=9-2ab=13
∴（a 2＋b 2）2= a 4＋b 4+2a 2b 2=169
∴a 4＋b 4=169-2a 2b 2=169-2×（ab ）2=169-8=161；
（3）∵
22
22
21
n n
x n
x
+
-
+=
+
∴2x＋1＋
22
21
n n
x
+-
+
＝2n＋1，
2x＋1＋
(2)(1)
21
n n
x
+-
+
＝（n＋2）＋（n−1），
∴2x＋1＝n＋2或2x＋1＝n−1，
x＝
1
2
n+
或
2
2
n-
，
∵x1＜x2，
∴x1＝
2
2
n-
，x2＝
1
2
n+
，
∴1
2
21
22
x
x
+
-＝
2
21
2
1
22
2
n
n
-
⨯+
+
⨯-
＝
21
12
n
n
-+
+-
=1.
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
26.如图，在平面直角坐标系中，AOP
∆为等边三角形，A点坐标为()
0,1，点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边PBC
∆，连接CA，并延长CA交x轴于点E.
(1)求证：OB AC
=；
(2)当点B在运动时，AP是否平分OAC
∠？请说明理由；
(3)当点B在运动时，在y轴上是否存在点Q，使得AEQ
∆为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）AP平分OAC
∠，理由见解析（3）存在，Q（0，3），（0，−1）．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形性质得出OP ＝AP ，BP ＝PC ，∠APO ＝∠CPB ＝60°，求出∠OPB ＝∠APC ，证出△PBO ≌△PCA 即可；
（2）由（1）知∠POB ＝∠PAC ＝60゜，得到∠PAC ＝∠OAP ＝60゜，即可得到AP 平分OAC ∠;
(3)①当AQ ＝AE ＝2时，△AEQ 为等腰三角形，点Q 在y 轴的正半轴上，求得OQ ＝AE ＋AO ＝3，②当AQ ＝AE ＝2时，△AEQ 为等腰三角形，点Q 在y 轴的负半轴上，求得OQ ＝AQ−AO ＝1，③当EQ ＝AE ＝2时，△AEQ 为等腰三角形，x 轴是AQ 的垂直平分线，求得OQ ＝AO ＝1，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵△BPC 和△AOP 是等边三角形，
∴OP ＝AP ，BP ＝PC ，∠APO ＝∠CPB ＝60°，
∴∠APO ＋∠APB ＝∠BPC ＋∠APB ，
即∠OPB ＝∠APC ，
在△PBO 和△PCA 中，
OP PA OPB APC PB PC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△PBO ≌△PCA （SAS ）
∴OB ＝AC ．
（2）AP 平分OAC ∠，理由如下：
由（1）知∠POB ＝∠PAC ＝60゜，
∴∠PAC ＝∠OAP ＝60゜，
∴AP 平分OAC ∠;
（3）解：存在，
∵AE ＝2AO ＝2，
∴①当AQ ＝AE ＝2时，△AEQ 为等腰三角形，点Q 在y 轴的正半轴上，
∴OQ ＝AE ＋AO ＝3，
∴Q（0，3），
②当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，
∴OQ＝AQ−AO＝1，
∴Q（0，−1），
③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，
∴OQ＝AO＝1，
∴Q（0，−1）．
综上所述：在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，Q（0，3），（0，−1）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，熟练正确坐标与图形的性质是解题的关键．。