【绝版】函数的概念和性质专题(练习题+答案详解)
函数的概念练习题及答案解析
1．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3 解析：选、C 、D 的定义域均不同．3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x的定义域是( ) A ．R B ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． 2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一．3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3) B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( )A ．?B ．?或{1}C ．{1}D ．?或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝?或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12. 答案：(12，＋∞) 8．函数y ＝?x ＋1?03－2x的定义域是________． 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1. 答案：(－∞，－1)∪(－1，32) 9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．解析：当x 取－1,0,1,2时，y ＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}．答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2. 解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须 ⎩⎪⎨⎪⎧ －x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}． (2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值． 解：(1)∵f (x )＝11＋x， ∴f (2)＝11＋2＝13， 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a， 即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]?(－∞，－1a]， ∴－1a≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0. 即a 的取值范围是[－1,0)．第一课件网系列资料。
函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结单选题1、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=−f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则（）A．f(16)<f(−17)<f(18)B．f(18)<f(16)<f(−17)C．f(16)<f(18)<f(−17)D．f(−17)<f(16)<f(18)答案：D分析：推导出函数f(x)是周期函数，且周期为8，以及函数f(x)在区间[−2,2]上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出f(16)、f(−17)、f(18)的大小关系.由题意可知f (x +8)=−f (x +4)=f (x )，故函数f (x )是周期函数，且周期为8，则f (16)=f (0)，f (−17)=f (−1)，f (18)=f (2)，因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，则该函数在区间[−2,0]上也为增函数，故函数f (x )在区间[−2,2]上为增函数，所以f (−1)<f (0)<f (2)，即f (−17)<f (16)<f (18).故选：D.3、定义在R 上的函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2.若f (x )的图象关于直线x =4对称，则下列选项中一定成立的是（ ）A ．f (−2)=1B ．f (0)=0C ．f (4)=2D ．f (6)=−1答案：A分析：根据f (4−x )+f (x )=2，令x =2，可求得f (2)，再根据函数的对称性可得f (6)及f (4+x )+f (x )=2，再令x =−2，可求得f (−2)，即可得出答案.解：因为函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (2)=2f (2)=2，所以f (2)=1，又f (x )的图象关于直线x =4对称，所以f (6)=f (2)=1，且f (4−x )=f (4+x )，则f (4+x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (−2)=2，所以f (−2)=−1，无法求出f (0),f (4).故选：A.4、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（ ）A ．−53B ．−13C ．13D ．53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值.由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)，而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13， 故f (53)=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C ．(−∞,5]D ．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x =−2(1−m)−2=1−m ，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，从而可求出m 的取值范围解：函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3的图像的对称轴为x =−2(1−m)−2=1−m ，因为函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，解得m ≤−3，所以m 的取值范围为(−∞,−3]，故选：D6、函数的y =√−x 2−6x −5值域为（ ）A ．[0,+∞)B ．[0,2]C ．[2,+∞)D ．(2,+∞)答案：B分析：令u =−x 2−6x −5，则u ≥0，再根据二次函数的性质求出u 的最大值，进而可得u 的范围，再计算y =√u 的范围即可求解.令u =−x 2−6x −5，则u ≥0且y =√u又因为u =−x 2−6x −5=−(x +3)2+4≤4，所以0≤u ≤4，所以y =√u ∈[0,2]，即函数的y =√−x 2−6x −5值域为[0,2]，故选：B.7、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（ ） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C8、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B.9、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞)答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)，∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4； 综上所述：a 的取值范围为[0,4].故选：C.10、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3 答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.填空题11、不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021的解为______．答案：(−∞,2)∪(3,4)分析：根据幂函数的性质，分类讨论即可将不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021转化成(14−x )2021>(1x−2)2021（Ⅰ）{14−x>0 1x−2>0 14−x >1x−2，解得3<x<4；（Ⅱ）{14−x >01 x−2<0，解得x<2；（Ⅲ）{14−x<0 1x−2<0 14−x >1x−2，此时无解；综上，不等式的解集为：(−∞,2)∪(3,4)所以答案是：(−∞,2)∪(3,4)12、已知函数f(x)=|x+ax|在区间(0,1]上单调递减，则实数a的取值范围为___________.答案：(−∞,−1]∪[1,+∞)分析：分类讨论a，根据函数解析式得到函数在(0,+∞)上的单调性，再根据已知列式可得结果.当a=0时，f(x)=|x|在(0,+∞)上单调递增，故在区间(0,1]上单调递增，不合题意；当a>0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√a]上单调递减，在区间[√a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√a≥1，∴a≥1；当a<0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√−a]上单调递减，在区间[√−a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√−a≥1，∴a≤−1；综上，实数a的取值范围为(−∞,1]∪[1,+∞).所以答案是：(−∞,1]∪[1,+∞).13、设幂函数f(x)同时具有以下两个性质：①函数f(x)在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a，b，<0恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数f(x)=___________.都有f(a)−f(b)a−b（答案不唯一）答案：1x2分析：利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.由题意可得，幂函数f(x)=x a需满足在第二象限内有图象且在(0,+∞)上是单调递减即可，所以a=−2k(k∈N∗)，故满足上述条件的可以为f(x)=1.x2所以答案是：1（答案不唯一）.x214、已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;或1答案：−32分析：根据幂函数的定义可得2m2+m−2=1，解方程即可.解：因为函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则2m2+m−2=1，或m=1.即2m2+m−3=0，解得m=−32所以答案是：−3或1.215、若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．答案：2分析：根据f(x)=f(-x)，简单计算可得结果.∵f(x)为偶函数，∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.解答题16、已知函数f(x)=2x−ax ，且f(2)=92.(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在（1，+∞）上的单调性并证明.答案：(1)a=−1，函数f(x)=2x+1x为奇函数(2)f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明见解析分析：（1）根据f(2)=92，代入函数解析即可求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可.（1）∵f(x)=2x−ax ，且f(2)=92,∴4−a2=92，∴a=−1；所以f(x)=2x+1x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，∵f(−x)=2(−x)+1−x =−2x−1x=−(2x+1x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x+1x为奇函数.（2）函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明：任取x1,x2∈(1,+∞)，设x1<x2，则f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+(1x2−1x1)=2(x2−x1)+(x1−x2x1x2)=(x2−x1)(2−1x1x2)=(x2−x1)(2x1x2−1)x1x2∵x1,x2∈(1,+∞)，且x1<x2，∴x2−x1>0，2x1x2−1>0,x1x2>0∴f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.17、已知f(x)为二次函数，且f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，求f(x)的表达式．答案：f(x)=x 2−2x −1分析：设出二次函数解析式，代入已知等式，待定系数法即可得解.由题意可设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，则f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+c =ax 2+(2a +b)x +a +b +c ，f(x −1)=a(x −1)2+b(x −1)+c =ax 2−(2a −b)x +a −b +c ，于是f(x +1)+f(x −1)=2ax 2+2bx +2a +2c ，又f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，所以{2a =2,2b =−4,2a +2c =0,解得{a =1,b =−2,c =−1,所以f(x)=x 2−2x −1．18、已知幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，且f (x )=x2−m 2m （m ∈Z ）. (1)求m 的值；(2)解不等式：f (|x |−2)<f (3x ).答案：(1)m =1(2)[2,3)分析：（1）由条件结合幂函数的性质可得2−m 2m >0，再验证可得答案.（2）由函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，结合（1）得出的解析式以及函数的定义域可得{3x ≥0|x |−2≥0|x |−2<3x，从而解出答案.（1）幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，则2−m 2m >0 ，即0<m <2又m ∈Z ，则m =1，此时f (x )=x 12f (x )=x 12满足在定义域[0,+∞)上是严格增函数.所以m =1（2）由（1）函数y=f(x)在其定义域上是严格增函数根据f(|x|−2)<f(3x )，则{3x≥0|x|−2≥0|x|−2<3x，则{x≥2|x|−2<3x所以{x≥2x2−2x<3，解得2≤x<3所以不等式f(|x|−2)<f(3x)的解集为[2,3)19、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数. （2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数. （3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.=−f(x)，故f(x)为奇函数.f(−x)=−3x1−(−x)2（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.。
函数的基本性质知识点及习题(附答案)
函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
函数概念与性质习题
05 综合习题与解答
综合习题一：奇偶性与单调性结合
题目
判断函数$f(x) = x^{3} - x^{2} - x$ 在区间$( - 2,3)$上的奇偶性和单调 性。
解答
首先求导数$f'(x) = 3x^{2} - 2x - 1$， 然后判断单调性。接着根据奇偶性的定 义判断奇偶性。
综合习题二：周期性与对称性结合
在定义域内单调递减。
单调性判断方法：通过导数判断。
函数的周期性
周期函数
存在一个非零常数$T$， 使得对于定义域内的任意 $x$，都有$f(x+T) = f(x)$ 的函数称为周期函数。
最小正周期
在所有可能的周期中，最 小的正数周期称为最小正 周期。
周期性判断方法
通过函数的表达式进行观 察和计算。
函数的对称性
原点对称。
周期性
如果函数在一定间隔内重复出现， 则具有周期性。通过分析函数的 周期，可以判断函数图像的对称
性。
中心对称和轴对称
对于一些特殊的函数，如正弦函 数、余弦函数等，其图像具有中 心对称或轴对称的特点。通过分 析这些特点，可以判断函数图像
的对称性。
通过函数图像判断函数的性质
单调性
通过观察函数图像的上升或下降趋势，可以 判断函数的单调性。如果函数在某个区间内 始终上升或下降，则为单调增或单调减。
对于复合函数，需要分别判断内外层 函数的对称性，再根据对称性的乘积 法则进行判断。
如果对于定义域内的任意$x$，都有 $f(b-x) = f(b+x)$成立，则称函数 $f(x)$关于点$(b,0)$中心对称。
04 函数图像分析
绘制函数图像
使用数学软件
如GeoGebra、Desmos等，输入 函数表达式，即可生成对应的函 数图像。
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
(完整版)函数的概念及基本性质练习题
函数的概念及基本性质练习题1. 下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于( )A.11＋x (x ≠－1) B.1＋xx (x ≠0)C.x1＋x (x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1)3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝() A ．3x ＋2 B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －34．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋1，x ＜1x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．96．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 7．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z8．求下列函数的定义域：(1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －29．下列命题中，正确的是()A．函数y＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D．函数y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数10．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为()A．10B．－10C．－15 D．1511．f(x)＝x3＋1x的图象关于()A．原点对称B．y轴对称C．y＝x对称D．y＝－x对称12．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________. 13．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；③f(x)＝3x＋x；④f(x)＝1－x2x.以上函数中的奇函数是________．14．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－32)与f(a2＋2a＋52)的大小关系是()A．f(－32)＞f(a2＋2a＋52) B．f(－32)＜f(a2＋2a＋52)C．f(－32)≥f(a2＋2a＋52) D．f(－32)≤f(a2＋2a＋52)15．已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式．指数的运算及指数函数1．将532写为根式，则正确的是( ) A.352 B.35 C.532 D.53 2．根式 1a 1a (式中a ＞0)的分数指数幂形式为( ) A ．a －43 B ．a 43 C ．a －34 D ．a 343.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b4．计算：(π)0＋2－2×(214)12＝________.5．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2 D ．a 0＝16．若xy ≠0，那么等式 4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <07．计算(2n ＋1)2·(12)2n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6 D ．(12)2n －78．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a ＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 29．根式a －a 化成分数指数幂是________． 10．化简求值：0.064－13－(－18)0＋1634＋0.2512；11．使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( )A ．(23，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(13，＋∞)D ．(－13，＋∞)12．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2恒过点( )A ．(－1，－1)B ．(－1,0)C ．(0，－1)D ．(－1，－3)13．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度14．在同一坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象可能是( )15．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．1<a <2C ．a >1D ．a ∈R16．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，a 的值为( )A.12 B ．2 C ．4 D.1417．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a ＞0B ．A ＜1C ．0＜a ＜1D ．a ≠118．方程4x ＋1－4＝0的解是x ＝________.19．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)20．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.21．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．22．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1(4－a 2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)23．画出函数y ＝(12)|x |的图象,根据图象指出其值域和单调区间24．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x 的值域．。
(完整版)函数的概念练习题(含答案).doc
1.2.1函数的概念及练习题答案一、选择题1．集合 A＝ { x|0≤ x≤ 4} ， B＝ { y|0≤y≤2} ，下列不表示从A 到 B 的函数是 ()11 2A ． f(x)→ y＝2x B． f(x)→y＝3x C． f(x)→ y＝3x D ．f(x)→ y＝x2．某物体一天中的温度是时间t 的函数： T(t)＝ t3－ 3t＋ 60，时间单位是小时，温度单位为℃， t＝ 0 表示 12： 00，其后 t 的取值为正，则上午8 时的温度为 ()A ． 8℃B ．112℃C． 58℃ D ．18℃3．函数 y＝1－ x2＋x2－ 1的定义域是 ()A ． [－ 1， 1] B． (－∞，－ 1]∪ [1，＋∞ ) C． [0， 1] D ．{ － 1，1}4．已知 f(x)的定义域为 [ － 2， 2]，则 f( x2－ 1)的定义域为 ( )A ． [－ 1， 3] B． [0， 3] C． [ － 3， 3] D． [－ 4,4]5．若函数y＝ f(3x－ 1)的定义域是 [1， 3]，则 y＝ f(x)的定义域是 ()A ． [1， 3]B ． [2， 4]C． [2， 8]D． [3， 9]6．函数 y＝ f(x)的图象与直线x＝ a 的交点个数有 ()A ．必有一个B ．一个或两个C．至多一个 D ．可能两个以上17．函数 f(x)＝ax2＋4ax＋3的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 ()3 3 3A ． { a|a∈ R}B ． { a|0≤ a≤4} C． { a|a＞4} D ．{ a|0≤a＜4}8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x(x∈ N )为二次函数关系 (如图 )，则客车有营运利润的时间不超过()年．A ． 4B ． 5C． 6D． 71－ x2 1 9． (安徽铜陵县一中高一期中)已知 g(x)＝ 1－ 2x， f[g(x)] ＝x2 (x≠ 0)，那么 f 2等于()A ． 15B ． 1 C． 3 D ．3010．函数 f(x)＝2x－ 1， x∈{1,2,3} ，则 f(x)的值域是 ()A ． [0，＋∞ )B． [1，＋∞ )C． {1 ，3，5} D ．R二、填空题11．某种茶杯，每个 2.5 元，把买茶杯的钱数y(元 )表示为茶杯个数x(个 )的函数，则y ＝________，其定义域为 ________．12．函数 y＝x＋ 1＋1的定义域是(用区间表示)________．2－ x三、解答题13．求一次函数f(x)，使 f[f(x)] ＝ 9x＋ 1.14．将进货单价为8 元的商品按10 元一个销售时，每天可卖出100 个，若这种商品的销售单价每涨 1 元，日销售量就减少10 个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？15．求下列函数的定义域．1；(2) y＝1； (3)y＝x2＋x＋ 1＋ (x－ 1)0.(1)y＝ x＋ 2|x|－ 2x － 416． (1)已知 f(x)＝ 2x－ 3，x∈ {0 ，1， 2， 3} ，求 f(x)的值域．(2)已知 f(x)＝ 3x＋ 4 的值域为 { y|－ 2≤ y≤4} ，求此函数的定义域．17．（ 1）已知 f(x)的定义域为 [ 1， 2 ] ，求 f (2x-1)的定义域；（2）已知 f (2x-1)的定义域为[ 1 ， 2 ]，求 f(x)的定义域；（3）已知 f(x)的定义域为 [0，1]，求函数 y=f(x＋ a)+f(x－a)( 其中 0＜ a＜1) 的定义域．218．用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y 与 x 的函数关系式及其定义域．2x1.2.1函数的概念答案一、选择题1． [ 答案 ] C8[解析 ] 对于选项 C，当 x＝ 4 时， y＝3＞ 2 不合题意．故选 C.2． [ 答案 ] A[解析 ] 12：00 时， t＝0， 12：00 以后的 t 为正，则12： 00 以前的时间负，上午8 时对应的 t＝－ 4，故 T(－ 4)＝ (－ 4)3－ 3(－ 4)＋ 60＝ 8.3． [ 答案 ] D1－ x2≥ 0[解析 ]使函数y＝1－ x2＋x2－ 1有意义应满足，∴x2＝1，∴x＝±1.x2－ 1≥ 04． [ 答案 ] C[解析 ]∵ －2≤x2－1≤ 2，∴－1≤ x2≤ 3，即x2≤ 3，∴－3≤ x≤ 3.5． [ 答案 ] C[解析 ]由于y＝f(3x－1)的定义域为[1,3]，∴3x－1∈[2,8]，∴y＝f(x)的定义域为[2,8]。
高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题 (含答案)
高三数学一轮复习《函数的概念与性质》练习题 （含答案）函数的概念及其表示一、单选题1.函数11y x =-的定义域是( )A. (0,2]B. (,1)(1,2]-∞⋃C. (1,)+∞D. [1,2]2.设函数21,1()2,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则[(3)]f f =( )A ．15 B.3 C. 23 D. 1393.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )的解析式( )A.3x -1B. 3x +1C. 3x +2D. 3x +44.下列各对函数表示同一函数的是( )(1) ()f x x =与2()g x =；(2) ()2f x x =-与()g x =(3) 2()(0)f x x x π=≥与2()(0)g r r r π=≥； (4) ()f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩.A.(1)(2)(4)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)5.已知函数y = f (x )的定义域是[-2,3], 则y =f (2x -1)的定义域是() A. 5[0,]2 B. [1,4]- C. 1[,2]2- D. [5,5]-6.已知函数221,0()3,0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,且0()3f x =,则实数0x 的值为( )A.-1B.1C.-1或1D.-1或-3二、多选题7.关于函数y =f (x ),以下说法正确的是( )A.y 是关于x 的函数B.对于不同的x ,y 的值也不同C.f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值,是一个常量D.f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来8.若函数2(),(,0)(0,)1x f x x x =∈-∞⋃+∞+,则下列等式成立的是( ) A. 1()()f x f x = B. 1()()f x f x -= C.11()()f f x x = D. ()()f x f x -=- 三、填空题9.已知函数()1f x ax =+,且(2)1f =-,则(2)f -=_______.10.若函数2(21)2f x x x +=-,则(3)f =_______,()f x =___________.11.已知函数22,2()21,2x ax x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩,若[(1)]0f f >,则实数a 的取值范围是___________.函数的基本性质一、单选题1. 下列函数中,值域为(,0)-∞的是( )A. 2y x =-B. 131()3y x x =-<C. 1y x =D. y =2.下列函数是偶函数，且在(,0]-∞上是增函数的是( )A ．1y x =- B. 2()f x x = C. 3y x = D. ,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩3.已知()f x 是实数集上的偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则(2)f -，()f π-，(3)f 的大小关系是( )A. ()(2)(3)f f f π->->B. (3)()(2)f f f π>->-C. (2)(3)()f f f π->>-D. ()(3)(2)f f f π->>-4.函数()y f x =在R 上是增函数，且(2)(9)f m f m >-+，则实数m 的取值范围是( )A. (,3)-∞-B. (0,)+∞C. (3,)+∞D. (,3)(3,)-∞-⋃+∞5.函数()y f x =是以3为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21f x x =+，则2021()2f =( ) A.2022 B.2 C.4 D.66.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是( ) A. 12(,)33 B. 12[,)33 C. 12(,)23 D. 12[,)23二、多选题7.如果函数()f x 在[a ,b ]上是减函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，那么下列结论正确的是( ) A. 1212()()0f x f x x x -<- B. 1212()[()()]0x x f x f x --< C. 12()()()()f a f x f x f b ≥>≥ D. 12()()f x f x <8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是( )A. (0)0f =B.若()f x 在[0,)+∞上有最小值-1，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C. 若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D.若0x >时，2()2f x x x =-，则0x <时，2()2f x x x =--三、填空题9.如图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的部分图像，根据图像可知函数()y f x =的单调递增区间是_______,单调递减区间是______.10.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且1(2)()f x f x +=，则(8)f 的值为___. 11.若2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且定义域为[1,2]a a -，则a =_____,b =______.本章检测 函数的概念和性质一、单选题1. 已知函数2()23f x x mx =-+在[-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2]上单调递减，则f (1)的值为( )A.-3B.13C.7D.52.已知f (x )为奇函数,且在(-∞,0)上为增函数,g (x )为偶函数,且在(-∞,0)上为增函数,则在(0,+∞)_上，下列结论正确的)A.两个都是增函数B.两个都是减函数C. f (x )为增函数,g (x )为减函数D. f (x )为减函数,g (x )为增函数3.已知函数g (x )= f (2x )-x 2是奇函数,且f (1)=2,则f (-1)=( ) _3 A. 32- B.-1 C. 32 D. 744.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(-∞,+∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,3)B. (0,3]C. (0,2)D. (0,2]5.已知函数g (x )是定义在[a -16,3a ]上的奇函数,且21,0()(),0x x f x f x a x -≥⎧=⎨+<⎩, 则f (-2020)=( )A.2B. 7C. 10D.-16. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x >0时，f(x )=x 2-2x ,则关于x的不等式f (x )<0的解集为( )A. (-2,2)B. (2,0)(0,2)-⋃C. (,2)(2,)-∞-⋃+∞D. (,2)(0,2)-∞-⋃二、多选题7.已知定义在区间[-3,3]上的一个偶函数,它在[-3,0]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.这个函数有两个单调递增区间B.这个函数有三个单调递减区间C. f (2)<2D.这个函数的值域为[-2,2]8.已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数,且满足f (1-x )=f (1+x ),当0<x ≤1时,f (x )=2x ,则下列结论正确的是( )A. f (x )的最小正周期为2B.当-1<x ≤1时,f (x )=2xC. f (x )在[11,13]上单调递增D. f (x )的最大值为2,最小值为-2三、填空题9.已知函数,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=-<若f (a )+f (-1)=2,则a =_______.10.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx +2,且f (2)=3,则f (-2)=________.11.函数f (x )为奇函数,定义域为R ,若f (x +1)为偶函数,且f (1)=1,则f (2020)+f (2021)=_______。
函数概念与基本性质练习题(含答案)
函数概念与基本性质练习题(含答案)1.如果函数y=f(x)的图像和函数g(x)=3-2x的图像关于坐标原点对称，则函数y=f(x)的表达式为（）。
A。
y=2x-3 B。
y=2x+3 C。
y=-2x+3 D。
y=-2x-32.设函数f(x)对任意x、y满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=4，则f(-1)=（）A。
-2 B。
± C。
±1 D。
23.设I=R，已知函数f(x)=lg(x^2-3x+2)的定义域为F，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G，则G∪F等于（）A。
(2,+∞) B。
(-∞,2) C。
(1,+∞) D。
(1,2)∪(2,+∞)4.已知函数f(x)的定义域为[0,4]，求函数y=f(x+3)+f(x^2)的定义域为（）A。
[-2,-1] B。
[1,2] C。
[-2,1] D。
[-1,2]5.下列四个函数：①y=1-x；②y=x^2+x；③y=-(x+1)^2；④y=(x-1)/(x+2)，其中在(-∞,0)上为减函数的是（）。
A。
① B。
④ C。
①、④ D。
①、②、④6.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，若f(m-1)>f(2m-1)，实数m的取值范围为( )A。
m>0 B。
0<m C。
-1<m<3 D。
-∞<m<+∞7.下列命题中，真命题是（）A。
函数y=x^3(x-1)是奇函数，且在定义域内为增函数B。
函数y=1/x是奇函数，且在定义域内为减函数C。
函数y=x^2是偶函数，且在(-3,∞)上为减函数D。
函数y=ax^2+c(ac≠0)是偶函数，且在(-∞,2)上为增函数8.若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(-∞,+∞)上有最大值5，则f(x)在(-∞,+)上有（）A。
最小值-5 B。
最大值-5 C。
最小值-1 D。
最大值-39.定义在R上的奇函数f(x)在(,-∞)上是增函数，又f(-3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为（）A。
《函数的概念与性质》考试试卷及答案解析
2020-2021学年高一上数学第三章《函数的概念与性质》考试试卷一．选择题（共10小题）1．函数f(x)=√3−2xx+2的定义域为（ ） A ．(−∞，32]B ．(−∞，32)C ．(−∞，−2)∪(−2，32]D ．(−∞，−2)∪(−2，32)【解答】解：由{3−2x ≥0x +2≠0，解得x ≤32且x ≠﹣2．∴函数f(x)=√3−2x x+2的定义域为(−∞，−2)∪(−2，32]． 故选：C ．2．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ，则函数f （x ）等于（ ） A ．x−23B ．x+23C ．x ﹣1D ．﹣x +1【解答】解：因为f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ， 所以f （1﹣x ）﹣2f （x ）＝1﹣x ， 联立可得，f （x ）=x−23． 故选：A ．3．函数f （x ）=√x 2−5x +6的定义域为（ ） A ．{x |x ≤2或x ≥3} B ．{x |x ≤﹣3或x ≥﹣2} C ．{x |2≤x ≤3}D ．{x |﹣3≤x ≤﹣2}【解答】解：由x 2﹣5x +6≥0，解得x ≤2或x ≥3， ∴函数f （x ）=√x 2−5x +6的定义域为{x |x ≤2或x ≥3}． 故选：A ． 4．函数f(x)=2x 2+2x+2的值域为（ ）A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（0，2]D ．[1，2]【解答】解：函数的定义域为R ， f(x)=22=2(x+1)2+1≤21=2，且f （x ）＞0，所以其值域为（0，2]．5．函数f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可得2x ﹣x 2≥0，解可得0≤x ≤2，根据二次函数及复合函数的性质可知，f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（0，1）， 故选：C ．6．函数f （x ）＝（12）|x |+1的值域是（ ）A ．（1，2]B ．[1，2]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）【解答】解：因为|x |≥0，所以f （x ）＝（12）|x |+1≤（12）0+1＝2，又f （x ）＝（12）|x |+1＞1，故函数f （x ）的值域为（1，2]． 故选：A ．7．已知函数f （x ）＝x 5+ax 3+bx ﹣8，若f （﹣3）＝10，则f （3）＝（ ） A ．﹣26B ．26C ．18D ．10【解答】解：令g （x ）＝x 5+ax 3+bx ，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f （x ）＝g （x ）﹣8，所以f （﹣3）＝g （﹣3）﹣8＝10，得g （﹣3）＝18，又因为g （x ）是奇函数，即g （3）＝﹣g （﹣3）， 所以g （3）＝﹣18，则f （3）＝g （3）﹣8＝﹣26． 故选：A ．8．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+2x ﹣a ，则f （﹣1）＝（ ） A ．3B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：因为函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+2x ﹣a ， 所以f （0）＝﹣a ＝0， 故a ＝0，则f （1）＝1+2＝3，所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y ＝2kx +m （k ，m 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36℃的保鲜时间是（ ） A ．4小时B ．8小时C ．16小时D ．32小时【解答】解：∵某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y ＝2kx +b （k ，b 是常数）．该食品在0℃的保鲜时间设计64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，∴{64=2b16=218k+b ， ∴解得218k =14，∴该食品在36℃的保鲜时间y ＝236k +b ＝（218k ）2•2b ＝（ 14）2•64＝4．故选：A ．10．已知定义在[m ﹣5，1﹣2m ]上的奇函数f （x ），满足x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （m ）的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣7C ．3D ．15【解答】解：由奇函数的对称性可知，m ﹣5+1﹣2m ＝0， ∴m ＝﹣4，∵x ＞0时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （m ）＝f （﹣4）＝﹣f （4）＝﹣15． 故选：A ．二．多选题（共2小题）11．如果对定义在R 上的奇函数，y ＝f （x ），对任意两个不相等的实数x 1，x 2，所有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），则称函数y ＝f （x ）为“H 函数”，下列函数为H 函数的是（ ） A ．f （x ）＝sin xB ．f （x ）＝e xC ．f （x ）＝x 3+3xD ．f （x ）＝x |x |【解答】解：因为任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），故x 1f （x 1）﹣x 1f （x 2）＞﹣x 2f （x 2）+x 2f （x 1），即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，所以函数f （x ）在R 上单调递增，A：y＝sin x在R上不单调，不符合题意；B：y＝e x在R上单调递增，但是非奇非偶函数，不符合题意；C：f′（x）＝3x2+3＞0恒成立，故f（x）在R上单调递增，符合题意；D：由于y＝x|x|={x2，x≥0−x2，x＜0在R上单调递增，符合题意．故选：CD．12．下列幂函数中满足条件f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2(0＜x1＜x2)的函数是（）A．f（x）＝x B．f（x）＝x2C．f(x)=√x D．f(x)=1 x【解答】解：由题意知，当x＞0时，f（x）的图象是凹形曲线；对于A，函数f（x）＝x的图象是一条直线，则当x2＞x1＞0时，有f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2，不满足题意；对于B，函数f（x）＝x2的图象是凹形曲线，则当x2＞x1＞0时，有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，满足题意；对于C，函数f(x)=√x的图象是凸形曲线，则当x2＞x1＞0时，有f(x1+x22)＞f(x1)+f(x2)2，不满足题意；对于D，在第一象限内，函数f(x)=1x的图象是一条凹形曲线，则当x2＞x1＞0时，有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，满足题意．故选：BD．三．填空题（共4小题）13．函数y＝ln（﹣x2+2x+3）的定义域为（﹣1，3）．【解答】解：由题意得：﹣x2+2x+3＞0，即（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，故不等式的解集是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．14．已知f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（9）＝8．【解答】解：根据题意，令2x+1＝9，则x＝4，在f（2x+1）＝x2﹣2x中，令x＝4可得，f（9）＝16﹣8＝8，故答案为：815．已知一次函数f （x ）是增函数且满足f [f （x ）]＝x ﹣2，则函数f （x ）的表达式为 f （x ）＝x ﹣1 ．【解答】解：设f （x ）＝kx +b ，k ＞0， 则f （f （x ））＝kf （x ）+b ＝k 2x +kb +b ＝x ﹣2 则k 2＝1，k ＝1，kb +b ＝﹣2，2b ＝﹣2，即b ＝﹣1， 故答案为：f （x ）＝x ﹣1．16．已知函数f （x ）={√x +1，−1＜x ＜0，2x ，x ≥0若实数a 满足f （a ）＝f （a ﹣1），则f （1a ）＝ 8 ．【解答】解：根据题意，f （x ）={√x +1，−1＜x ＜0，2x ，x ≥0其定义域为（﹣1，+∞），则函数f （x ）在（﹣1，0）和区间[0，+∞）上都是增函数， 当a ≥1时，有2a ＝2（a ﹣1），无解； 当﹣1＜a ＜0时，无解；若实数a 满足f （a ）＝f （a ﹣1），必有﹣1＜a ﹣1＜0且1＞a ＞0，且有2a =√a ， 解可得a =14，则f （1a）＝f （4）＝8，故f （1a）＝8，故答案为：8． 四．解答题（共6小题）17．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝4x ﹣2． （1）求f （2）+f （﹣1）； （2）求f （x ）的解析式．【解答】解：（1）∵f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝4x ﹣2， ∴f （2）+f （﹣1）＝f （2）﹣f （1）＝14﹣2＝12， （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，∵x ＞0时，f （x ）＝4x ﹣2，且f （x ）＝﹣f （x ）， f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝4﹣x ﹣2，f （x ）＝2﹣4﹣x ，又f （0）＝0，故f （x ）={4x −2，x ＞00，x =02−4−x ，x ＜0．18．已知f （x ）＝2x ﹣4x（1）若x ∈[﹣2，2]，求函数f （x ）的值域；（2）求证：函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1]的单调递增． 【解答】解：（1）令t ＝2x ，则t ＞0，f （x ）＝y ＝t ﹣t 2，∵y ＝t ﹣t 2的图象是开口朝下，且以直线t =12为对称轴的抛物线， 故当t =12，即x ＝﹣1时，函数取最大值14，无最小值，故函数的f （x ）的值域为（﹣∞，14]；证明：（2）∵x ∈（﹣∞，﹣1]时，t ＝2x ∈（0，12]，此时t ＝2x 为增函数，y ＝t ﹣t 2也为增函数， 根据复合函数单调性同增异减的原则，可得： 函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1]的单调递增．19．已知f （x ）是二次函数，且满足f （0）＝2，f （x +1）﹣f （x ）＝2x +3． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设h （x ）＝f （x ）﹣2tx ，当x ∈[1，3]时，求函数h （x ）的最小值．【解答】解：（1）设f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝2，f （x +1）﹣f （x ）＝2x +3． ∴{c =2a(x +1)2+b(x +1)+c −(ax 2+bx +c)=2x +3，即{c =22ax +a +b =2x +3； 所以{c =2a =1b =2，∴f （x ）＝x 2+2x +2．（2）由题意得h （x ）＝x 2+2（1﹣t ）x +2，对称轴为直线x ＝t ﹣1，①当t ﹣1≤1即t ≤2时，函数在[1，3]上单调递增，h （x ）min ＝h （1）＝5﹣2t ， ②当1＜t ﹣1＜3即2＜t ＜4时，函数h （x ）的最小值为h （t ﹣1）＝﹣t 2+2t +1 ③当t ﹣1≥3即t ≥4时，h （x ）的最小值为h （3）＝﹣6t +17．综上所述：h（x）min＝g（t）={5−2t，t≤2−t2+2t+1，2＜t＜4−6t+17，t≥4．20．已知函数f（x）=2x+1x−1(x≠1)．（1）判断并用定义证明函数f（x）在（﹣∞，1）上的单调性；（2）若f（x）在[a，0]（a＜0）上的最大值与最小值之差为2，求a的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2x+1x−1(x≠1)．＝2+3x−1在（﹣∞，1）上的单调递减，设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=3x1−1−3x2−1，=3(x2−x1)(x1−1)(x2−1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣∞，1）上的单调递减，（2）由（1）可知f（x）在[a，0]上的单调递减，故当x＝a时，函数取得最大值f（a）＝2+3a−1，x＝0时，函数取得最小值f（0）＝﹣1，因此2+3a−1+1＝2，a＝﹣2．21．设函数f（x）=|x|x（x2﹣1）．（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．【解答】解：（1）函数f（x）=|x|x（x2﹣1）为奇函数，证明如下：函数f（x）=|x|x（x2﹣1），必有x≠0，即函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称；f（﹣x）=−|x|x（x2﹣1）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；证明如下：在区间（0，+∞）上，f （x ）＝x 2﹣1， 设x 1＞x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（x 12﹣1）﹣（x 22﹣1）＝（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）， 又由x 1＞x 2＞0，则x 1﹣x 2＞0，x 1+x 2＞0， 则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0；故函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数． 22．已知函数f(x)=√x 2−6x +9−2|x|． （1）求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若正数a ，b ，c 满足a +4b +9c =f(23)+2，求1a+4b+9c的最小值．【解答】解：（1）f(x)=√x 2−6x +9−2|x|=|x ﹣3|﹣2|x |．当x ≤0时，不等式f （x ）＞1化为x +3＞1，解得x ＞﹣2，又x ≤0，∴﹣2＜x ≤0； 当0＜x ＜3时，不等式f （x ）＞1化为3﹣3x ＞1，解得x ＜23，又0＜x ＜2，∴0＜x ＜23； 当x ≥3时，不等式f （x ）＞1化为﹣x ﹣3＞1，即x ＜﹣4，又x ≥3，∴此时不等式无解． 综上，不等式f （x ）＞1的解集为（﹣2，23）；（2）a +4b +9c =f(23)+2=3， ∴1a +4b+9c=13(a +4b +9c)(1a+4b+9c )=13[98+(4a b +4b a )+(9ac +9ca )+(36bc +36cb )] ≥13(98+2√4a b ⋅4b a +2√9a c ⋅9c a +2√36b c ⋅36c b )=1963． 当且仅当a ＝b ＝c 时上式等号成立． ∴1a +4b+9c的最小值为1963．。
函数概念和性质 专题训练
函数概念和性质1．函数的基本概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y ＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法3．一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．4．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．6．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y ＝f(x)(x∈D)的零点．(2)方程的根函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．函数与方程间要灵活转化． (3)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．[经典 典例]题型一 函数定义域例1 1.(优质试题·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6]2．(优质试题·广东，2)函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)[经典 跟踪]1.(优质试题·山东)5．函数的定义域为 (A)(-3，0] (B) (-3，1] (C) (D)2.(优质试题·山东,3)函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 题型二 分段函数例2 (优质试题·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12[经典 跟踪]1．(优质试题·山东高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8题型三 函数性质例3 1.(优质试题·北京，2)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．(优质试题·山东，3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．2B ．1C ．0D ．－2[经典 跟踪]1．(优质试题·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x2．(优质试题·广东，4)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋13.【优质试题高考四川文科】已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，，则= . 题型四 函数图像例4 (优质试题·山东，9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[经典 跟踪]1．【优质试题高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（ ）2．函数)(22R ∈-=x x y x的图象大致为（ ）()f x ()4x f x =5()(1)2f f -+[经典 高考]1.(优质试题·全国，9)函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）2.(优质试题·全国，5)设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f是奇函数C.|)(|)(x g x f是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数3.(优质试题·全国，15)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.4.(优质试题·全国，10)已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14-5.(优质试题·全国，8)若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b6.(优质试题·全国，9)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）7.(优质试题·全国，8).函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为8.(优质试题·全国，9)已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称。
函数概念与性质习题
函数的概念和性质(一)选择题：1．设函数f(x)＝x 2 (－1＜x ≤1)，那么它是 （ ）A ．偶函数B ．既奇又偶函数C ．奇函数D ．非奇非偶函数2．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A f(x)x 1g(x)B f(x)g(x)1．＝－和＝．＝和＝x x x x 211-+C f (x )g (x )|x|D f(x)g(x)．＝和＝．＝和＝x x x 232() 3．y ＝f(x)是R 上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y ＝f(x)的图像上的是 （ ）A ．(a ，－f(a))B ．(－a ，f(a))C ．(－a ，－f(－a))D ．(－a ，－f(a))4．y ＝f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x ＜0时，f(x)等于 （ ）A ．－x(1－x)B ．x(1－x)C ．－x(1＋x)D ．x(1＋x)5．f(x)为R 上偶函数，且在[0，＋∞）上递增，则(3)(2)()f f f π--、、)的大小是（ ）A ．f(－π)＞f(3)＞f(－2)B ．f(－π)＞f(－2)＞f(3)C ．f(－π)＜f(3)＜f(－2)D ．f(－π)＜f(－2)＜f(3)6．若f(cosx)=2x ,x ∈[0,π]，则)21(-f 等于 （ ） A ．21cos B.3π C.4π D.32π 7．已知A={x|0≤x ≤6}，B={y|0≤y ≤3}，则下列不能看成是从A 到B 的映射的是 （ ）A ．f ：x y x 21=→ B ．f ：x y x 31=→ C ．f ：x y x =→ D ．f ：x y x 61=→ 8.f(x)=mx 2+(m-1)x+1在区间(-∞,1)上为减函数，则m 的取值范围是 ( ) A.[0,31) B.[0, 31] C.(0, 31) D.(0, 31] (二)填空题：9．已知函数f(x)＝3x ＋b －2是奇函数，那么常数b________．10．函数y ＝2(x 2－2x)＋3在区间[0，3]上的最大值是________，最小值是________．11．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝x 2＋3x ＋2，则f(x)＋g(x)＝________12.函数y =________ (三)解答题：13、判断函数2y x x =+在（0，+∞）上的单调性，并给予证明14、若函数2()21f x x ax =--在区间[0,2]上的最大值为1，求a 的值15、已知函数)32(log )(221++-=x x x f 分别求)(x f 的定义域、值域和单调递减区间参考答案(一)选择题1．(D)． 2．(C)． 3．(B)． 4．(B)．5.A 6.B ． 7.C 8.C(二)填空题9.解：∵f(x)为奇函数的充要条件是b －2=0，∴b=2．10．解y=2(x －1)2＋1，x ∈[0，3]．而1∈[0，3]，∴当x=3时，y max =9，当x=1时，y min =1．∴函数的定义域为(0，＋∞)．11．－x 2＋3x －2．解：f(x)－g(x)=x 2＋3x ＋2 ①，－f(x)－g(x)=x 2－3x ＋2 ②，①＋②得g(x)=－x 2－2，①－②得f(x)=3x． 12(0 ) x x 3 0 x | x | 0 (x ) 0 | x | x x R x 0 2 2 2 ，＋∞ ．解：由 － ＋ ≥ ＋ ≠ － ＋ ≥ ≠－ ∈ ＞ ⎧ ⎨ ⎩ ⇒ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ 1 2 11 4 ∴函数的定义域为(0，＋∞)．(三)解答题 13.t=31x x R x x f(x ) f(x ) = a(x 1 2 1 2 1 2 1 3 4．证：任取两个值 ， ∈ ，且 ＜ ， － －x )=a(x x )[(x )x ]2312122－＋＋，x 2234 ∵＜，∴－＜，［＋＋］＞，∴当x x x x 0(x )x 01212123x 2234a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)，y 在R 上为增函数，当a=0时，y 为常数函数，当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2)，y 在R 上为减函数．15．解：∵f(x)是R 上的偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∵2a a 1=2(a )03a 2a 1=3(a )0f(2a a 1)f(3a 2a 1)2a a 13a 2a 10a 322222222＋＋＋＋＞，－＋－＋＞，而且＋＋＞－＋，∴由＋＋＞－＋，得＜＜．14781323已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且当=∈-=+的值为 。
专题3 函数概念与性质(解析版)
2020-2021学年高一数学期末复习专题强化卷（人教A版2019必修第一册）专题3 函数概念与性质一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.函数f(x)=ln2−x2+x的图象关于（）对称．A.x轴B.y轴C.原点D.y=x【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则2−x2+x>0，即（x﹣2）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜2，则定义域关于原点对称．又f（﹣x）=ln 2+x2−x =﹣ln 2−x2+x=−f(x)，∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故选：C．2.设函数f(x)={2x,x<0g(x),x>0若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（）A.−14B.﹣4 C.14D.4【答案】A【解析】解：∴f（x）为奇函数，x＜0时，f（x）=2x，∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x= −12x，即g(x)=−12x ，g(2)=−14．故选A．3.下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）A.f（x）=x|x|B.f（x）=﹣x3C.f（x）= sinx(x∈[0,π2]) D.f（x）= lnxx【答案】A【解析】解：由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|= {x2(x>0)−x2(x<0)当x＞0时，f（x）=x2在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f （x）=﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A 正确．∴2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）=x3在定义域内不是增函数，故B不正确．∴ x∈[0,π2]不关于原点对称，∴f（x）=sinx (x∈[0,π2])在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．∴f（x）= lnxx 的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）= lnxx在定义域内不是奇函数，故D不正确．故选A．4.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A.f（x）=﹣x（x+2）B.f（x）=x（x﹣2）C.f（x）=﹣x（x﹣2）D.f（x）=x（x+2）【答案】A【解析】解：任取x＜0则﹣x＞0，∴x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，①又函数y=f（x）在R上为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）②由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2）故选A5.若幂函数y=f(x)的图象过点(3,13)，则f(1)为（）A.13B.12C.1D.2【答案】C【解析】设,因为幂函数的图象过点,所以所以,所以.选C。
函数的概念与性质例题及解析
第三章函数的概念与性质专题详解一、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：(),y f x x A=∈。
其中：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同(两点必须同时具备)考点一：定义域的求法一．已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 )0x中x0≠例1：求下列函数的定义域（1）31xyx+=-；（2）245yx x=---；（3）22a xyx x-=-(0a>).解析：（1）3x y x +=-3010x x +≥⎧∴⎨-≠⎩解得：31x -≤<或1x > 所以函数31x y x +=-的定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞；故答案为：[3,1)(1,)-⋃+∞. （2）245y x x =---24050245x x x x⎧-≥⎪∴-≥⎨⎪-≠-⎩ 解得：23x ≤<或35x <≤所以函数245y x x=---的定义域为[2,3)(3,5]⋃；故答案为： [2,3)(3,5]⋃.（3）22a x y x x -=-(0a >).2200a x x x ⎧-≥⎪∴⎨-≠⎪⎩解得：0a x -≤<所以函数22a x y x x-=-(0a >)的定义域为[,0)a -；故答案为：[,0)a -. 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练单选题1、函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. f (1)=0−1=−1<0，f (2)=1−12=12>0，且函数f (x )=log 2x −1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y =log 2x 是增函数，y =−1x 也是增函数，所以f (x )是增函数，且f (1)f (2)<0，所以函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为(1,2). 故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断. 2、函数y =√2x +4x−1的定义域为（ ）A ．[0,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)∪(1,+∞)D ．[0,1)∪(1,+∞) 答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x ≥0x −1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故选：D3、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y=x a形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个故选：B,则f(x)（）4、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，因为函数f(x)=x3−1x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，=x−3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，而y=1x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．所以函数f(x)=x3−1x3故选：A．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．5、下列函数为奇函数的是（）A．y=x2B．y=x3C．y=|x|D．y=√x答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A：y=f(x)=x2定义域为R，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以y=x2为偶函数，故A错误；对于B：y=g(x)=x3定义域为R，且g(−x)=(−x)3=−x3=−g(x)，所以y=x3为奇函数，故B正确；对于C：y=ℎ(x)=|x|定义域为R，且ℎ(−x)=|−x|=|x|=ℎ(x)，所以y=|x|为偶函数，故C错误；对于D：y=√x定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称，故y=√x为非奇非偶函数，故D错误；故选：B6、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（）A．2B．3C．8D．9答案：D分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值解：设f(x)=xα，则2α=4，得α=2，所以f(x)=x2，所以f(3)=32=9，故选：D7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．8、已知f(x)是一次函数，且f(x−1)=3x−5，则f(x)=（）A．3x−2B．2x+3C．3x+2D．2x−3答案：A分析：设一次函数y=ax+b(a≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y=ax+b(a≠0)，则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b，由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5，即{a=3b−a=−5，解得{a=3b=−2，∴f(x)=3x−2.故选：A．多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟， 一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={−x,x <0x 2,x >0，则有（ ）A ．存在x 0>0，使得f (x 0)=−x 0B ．存在x 0<0，使得f (x 0)=x 02C ．函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同D ．若f (x 1)=f (x 2)且x 1≠x 2，则x 1+x 2≤0 答案：BC分析：根据函数解析式，分别解AB 选项对应的方程，即可判定A 错，B 正确；求出f (−x )的解析式，判定f (−x )与f(x)的单调区间与单调性，即可得出C 正确；利用特殊值法，即可判断D 错.因为f(x)={−x,x <0x 2,x >0，当x 0>0时，f(x 0)=x 02，由f (x 0)=−x 0可得x 02=−x 0，解得x 0=0或−1，显然都不满足x 0>0，故A错；当x 0<0时，f(x 0)=−x 0，由f (x 0)=x 02可得−x 0=x 02，解得x 0=0或−1，显然x 0=−1满足x 0<0，故B 正确；当x <0时，f(x)=−x 显然单调递减，即f(x)的减区间为(−∞,0)；当x >0时，f(x)=x 2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0,+∞)；又f(−x)={x,−x <0x 2,−x >0 ={x,x >0x 2,x <0 ，因此f (−x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；即函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同，故C 正确；D 选项，若不妨令x 1<x 2，f (x 1)=f (x 2)=14，则x 1=−14，x 2=12，此时x 1+x 2=14>0，故D 错； 故选：BC.小提示：关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解.11、已知函数f (x )的定义域是(0,+∞)，且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )<0，f (2)=−1，则下列说法正确的是（ ） A ．f (1)=0B ．函数f (x )在(0,+∞)上是减函数C ．f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=2022 D ．不等式f (1x )−f (x −3)≥2的解集为[4,+∞) 答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )， 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x 1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022) =f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1，所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)， 又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{ 1x (x−3)≤141x>01x−3>0 ， 解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ． 填空题12、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.13、已知函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，则函数g(x)=f(x)+2x在[−2,2]上的最小值为______．答案：－6分析：先利用题意能得到f(−x)=f(x)和2m+m+3=0，解得n=0和m=−1，代入f(x)中，再代入g(x)，再结合二次函数的性质求最小值因为函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，故{f(−x)=f(x)2m+m+3=0，即{mx2−nx+2=mx2+nx+2m=−1，则{2nx=0m=−1解得{n=0m=−1，所以g(x)=f(x)+2x=−x2+2x+2=3−(x−1)2，x∈[−2,2]，所以g(−2)=−(−2)2+2×(−2)+2=−6，g(2)=−22+2×2+2=2，则g(x)min=−6，所以答案是：-614、已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.答案：(−12，23)分析：结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.由题意得：{-2<m-1<2，-2<1-2m<2，m-1<1-2m，解得−12<m<23.所以答案是：(−12，23)解答题15、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=−x2+2x．（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．（3）解不等式f(x)≥x+2．答案：（1）f(x)=x2+2x；（2）(1,3]；（3）(−∞,−2]分析：（1）设x<0，计算f(−x)，再根据奇函数的性质f(x)=−f(−x)，即可得对应解析式；（2）作出函数f(x)的图像，利用数形结合思想，列出关于a的不等式组求解；（3）由（1）知分段函数f(x)的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.（1）设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以当x<0时，f(x)=x2+2x，（2）作出函数f(x)的图像，如图所示：要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1，所以1<a ≤3，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0，解不等式f(x)≥x +2，等价于{x ≥0−x 2+2x ≥x +2 或{x <0x 2+2x ≥x +2 ，解得：∅或x ≤−2 综上可知，不等式的解集为(−∞,−2]小提示：易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.。
03第三章 函数的概念与性质(解析版)
第三章 函数的概念与性质答案高频考点1．【答案】D【详解】根据函数的定义，对于一个x ，只能有唯一的y 与之对应，只有D 满足要求 故选：D 2．【答案】B【详解】因为1()43f x x x =+++，所以要使式子有意义，则 4030x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得43x x ≥-⎧⎨≠-⎩，即[)()4,33,x ∈---+∞.所以函数1()43f x x x =+++的定义域是[)()4,33,---+∞.故A ，C ，D 错误.故选：B. 3．【答案】B【详解】选项A ：函数4y x =的定义域为R ，函数4()y x =的定义域为[0,)+∞，故不是同一函数， 选项B ：函数()f x 与()g t 的关系式相同，定义域相同，故是同一函数， 选项C ：因为1,0y x x=≠，则0y ≠，函数1,0||y x x =≠，则0y >，故不是同一函数， 选项D ：因为2(3)|3|0y x x =-=-≥，而3y x =-∈R ，故不是同一函数， 故选：B ． 4．【答案】A【详解】解：因为函数()1f x -的定义域为[]2,1-，即21x -≤≤，所以310x -≤-≤，令3210x -≤+≤，解得122x -≤≤-，所以函数()21f x +的定义域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；故选：A 5．【答案】C 【详解】函数1()11f x x =-+的图象，是将函数1y x =-先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；又由于函数1y x =-图象关于原点中心对称，所以1()11f x x =-+图象关于()1,1-中心对称，所以C 正确.故选：C. 6．【答案】ABD【详解】对于A ，因为矩形的面积为10，矩形的长为x ，宽为y ， 所以10xy =，得10y x =，所以矩形的周长为202l x x=+（0x >），所以A 正确，对于B ，由选项A ，可知10y x=（0x >），所以B 正确， 对于C ，因为矩形的面积为10，对角线为d ，长为x ，宽为y ， 所以222220x y d xy +=≥=，当且仅当10x y ==时等号成立， 所以222220x y xy d ++=+，22()20x y d +=+，因为0x y +>，所以220x y d +=+，所以矩形的周长为2220l d =+（25d ≥），所以C 错误，对于D ，由选项C 可知222x y d +=，10xy =，所以222100d x x =+， 因为0d >，所以22100d x x =+（0x >），所以D 正确， 故选：ABD 7．【答案】4 【详解】()9921f =-=，()()()911324f f f ∴==-+=.故答案为：4. 8．【答案】①②③【详解】设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉,根据表格数据可知.,.,.,503268328632181818100200300---===---∴.32180y x -=-，即 1.832y x =+， ∴25℃x =时，77℉y =，20℃x =-时，4℉y =-，故①②正确；由.1832y x x =+=，可得40x =-，即摄氏温标40-℃对应的华氏温标为40-℉，故③正确. 故答案为：①②③. 9．【答案】()5f x x =-+．【详解】由题意，设一次函数的解析式为()f x kx b =+，因为()()23159f x f x x ++=-+，可得2(31)59kx b k x b x ++++=-+，整理得5259kx k b x ++=-+，即5529k k b =-⎧⎨+=⎩，解得1,5k b =-=，所以函数的表达式为()5f x x =-+. 10．【答案】 －2 1 【详解】(1)f -=2×(－1)＝－2；x ＜0时，f (x )＜0，故f (x )＝1＞0时，x ≥0，则1x =，解得x ＝1. 故答案为：－2；1.高频考点1．【答案】C【详解】由偶函数的性质得()2f -=()24f =.故选：C. 2．【答案】B【详解】由()21f x x =-知，函数为开口向上，对称轴为0x =的二次函数，则单调递增区间是[)0,∞+.故选：B. 3．【答案】C【详解】当,()0x ∈+∞时，函数y x x =-=-，其在区间(0,)+∞内单调递减，故A 不正确； 函数()35y f x x ==的定义域为R ，且()()()5353f x x x f x -=-=-=-，所以35y x =是奇函数，故B 不正确；函数()21y f x x ==-的定义域为R ，且()()()2211f x x x f x -=--=-=，所以21y x =-是偶函数，由二次函数的性质可知函数21y x =-在区间(0,)+∞内单调递增，故C 正确；函数()3y x f x ==的定义域为R ，且()()()33x x f x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数，故D 不正确；故选：C. 4．【答案】C 【详解】()f x 图象关于点()1,0对称，()()20f x f x ∴+-=，又()()()()()()32322222641310f x x a x x b x a x a x -=-+-+-+=-++-++4a +b +，()()()()222641210420f x f x a x a x a b ∴+-=+-++++=，260412010420a a a b +=⎧⎪∴+=⎨⎪++=⎩，解得：3a =-，1b =. 故选：C. 5．【答案】A【详解】2()2f x x ax b =-+对称轴为x a =，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以[)1,a ∈+∞. 故选：A 6．【答案】A【详解】解：因为函数()f x 为奇函数，且在()0,∞+内是增函数，()20f =， 所以2x >或20x -<<时，()0f x >；2x <-或02x <<时，()0f x <； ()()0f x f x x --<，即()0f x x<，可知20x -<<或02x <<. 故选：A . 7．【答案】BCD【详解】奇函数的图象关于原点对称，所以A 选项的图象是奇函数的图象，BCD 选项的不是奇函数的图象. 故选：BCD8．【答案】479a +≤<【详解】根据对勾函数的性质，函数()9f x x x=+在(]0,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增.且()()1910f f ==.又()9f x x x=+在[]1,9上恒为正，且存在1[1,]x a ∈，使得对任意的[]2,9x a ∈，都有()()1280f x f x ⋅≥，故()()12max min 80f x f x ≥，因为()()1max 110f x f ==，故只需()2min 8f x ≥即可.（1）当13a 时，()()2min 368f x f ==<不成立；（2）当39a <<时，()()2min 9f x f a a a ==+，故98a a +≥，即2890a a -+≥，()247a -≥，解得479a +≤<.综上有479a +≤<. 故答案为：479a +≤<. 9．【答案】()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【详解】由()()2f x f x x =--，可得：()()f x x f x x +=--， 令()()g x f x x =+，则()()g x g x -=，即函数()g x 为偶函数， 因为对任意120x x <，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，即函数()g x 在[)0,∞+上单调递增， 由()21(1)f x x f x ++>+，得()2121(1)1f x x f x x +++>+++，即()()211g x g x +>+，因为函数()g x 为偶函数，所以()()211g x g x +>+ 则211x x +>+，()()22211x x +>+，2320x x +>，解得23x <-或0x >，故答案为：()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．【答案】(1)[]0,10(2)97913a ≤< （1）当8a =时，()2228,428,4x x x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，所以函数()f x 在[]3,4上递减，在[]4,5上递增，又()36f =，()40f =，()510f =，所以函数在[]3,5上的值域是[]0,10，（2）()22222,48222,482a a a x x f x x x a a a a x x ⎧⎛⎫--+<⎪ ⎪⎪⎝⎭=-=⎨⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为0a >，所以()f x 在,4a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上递增，在,42a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，所以符合题意的a 必须满足352a <<或354a <<，即610a <<或1220a <<，（ⅰ）当610a <<时，函数()f x 在3,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在,52a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，()21111x a a g x x x x --==++--在[]3,5上递增，由题意得[]3,5t ∀∈，关于x的方程()()f x g t =在[]3,5至少有两个不同的解，等价于()()()(){}3,5,min 3,52a g g ff f ⎛⎤⎛⎫⊆⎡⎤ ⎪ ⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎦，即()()()()()325355a g f g f g f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎪⎩()()90225364255104a aa a a -⎧>⎪⎪-⎪⇔≤-⎨⎪-⎪≤-⎪⎩，解得：9971317519a a a ⎧⎪<⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩ 所以97913a ≤< （ⅱ）当1220a <<时，()9302a g -=<，而当[]3,5x ∈时，()0f x ≥，所以方程()()3f x g =无解，综上，实数a 的取值范围是97913a ≤<，另解：()1121a g t t t -=-++-，()22222,4822,482a a a x x f x a a a x x ⎧⎛⎫--+<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为0a >，所以()f x 在,4a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上递增，在,42a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，（ⅰ）当01a <<时，()g t 在)11,a ⎡+-+∞⎣上递增，因为[])3,511,a ⎡⊆+-+∞⎣，所以()g t 在[]3,5上递增，()()()3,5g t g g ⊆⎡⎤⎣⎦，当()f x 在[]3,5上递增，所以不存在12,x x ，使得()()()12f x f x g t ==，（ⅱ）当1a ≥时，()g t 在[]3,5上递增，()()()3,5g t g g ∈⎡⎤⎣⎦，①若16a ≤≤，()f x 在[]3,5上递增，所以不存在12,x x ，使得()()()12f x f x g t ==，②若610a <<，()f x 在3,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在,52a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，由题意[]3,5t ∀∈，关于x 的方程()()f x g t =在[]3,5至少有两个不同的解所以()()()()()325355a g f g f g f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎪⎩ ()()90225364255104a a a aa -⎧>⎪⎪-⎪⇔≤-⎨⎪-⎪≤-⎪⎩，解得：9971317519a a a ⎧⎪<⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩ 所以97913a ≤<；③若10a ≥，()9302ag -=<而当[]3,5x ∈时，()0f x ≥，所以不存在12,x x ，使得()()()12f x f x g t ==，综上，实数a 的取值范围是97913a ≤< 11．【答案】(1)0a =(2)（i ）()26,2748,78a a M a a a +≤≤⎧=⎨-<≤⎩；（ii ）24 (1)解：因为()23f x x a a =-+为偶函数，所以()()f x f x -=，即2323x a a x a a --+=-+，即22x a x a --=-，所以()()2222x a x a --=-， 即80ax =，所以0a =； (2)解：（i ）因为()()[]()81,4g x f x x x=-∈， 所以()823g x x a a x=-+-，因为[]2,8a ∈，所以()424,12823422,42a x a x x g x x a a x ax a x x ⎧⎛⎫-++≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=-+-=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，①当12a x ≤≤时()424g x x a x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为4y x x=+在(]0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增， 所以当22a ≤即[]2,4a ∈时，()max 1632a g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当22a>即(]4,8a ∈时，()()max 248g x g a ==-， ②当42a x <≤时()422g x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又4y x x=-在()0,∞+上单调递增，所以()()max 426g x g a ==+， 因为()161632660a a a a a--+=--<， 所以当[]2,4a ∈时()max 26g x a =+， 又()4826214a a a --+=-，所以当27a ≤≤时()max 26g x a =+，当78a <≤时()max 48g x a =-，综上可得：()26,2748,78a a M a a a +≤≤⎧=⎨-<≤⎩，（ii ）因为函数()26M a a =+，[]2,7a ∈与()48M a a =-，(]7,8a ∈均在定义域上单调递增，又()723M =，()824M =， 所以()max 24M a =； 12．【答案】(1)3 (2)3-或17+(1)解：由题意，函数2222()2()32f x x x a x ax a =+-=-+，可得其对称轴方程为3a x =， 因为函数(1)f x +为偶函数，所以二次函数()f x 的对称轴为1x =， 所以13a=，解得3a =. (2)解：由（1）知，函数22()32f x x ax a =-+，对称轴方程为3a x =， ①当03a<，即0a <时，函数()f x 在[0,1]上为增函数， 所以函数()f x 的最小值为()()2min 09f x f a ===，解得3a =-；②当013a ≤≤，即03a ≤≤时，函数()f x 在[0,]3a 单调递减，在[,1]3a单调递增，所以函数()f x 的最小值为()2min 2()933a f x f a ===，此时方程无解；③当13a>，即3a >时，函数()f x 在[0,1]上为减函数， 所以函数()f x 的最小值为()()2min 1329f x f a a ==-+=，解得17a =+或17a =-（舍去）， 综上所述，满足条件的a 的值为3-或17+. 13．【答案】(1)1a ≤ (2)58a <（1）因为函数()24f x x ax =-，所以对称轴为2x a =，因为()f x 在[]2,4x ∈是增函数，所以2a ≤2，解得1a ≤ （2）因为对于任意的[)2,x ∞∈+，()1f x >-恒成立，即241x ax ->-在[)2,x ∞∈+时恒成立，所以2410x ax -+>在[)2,x ∞∈+时恒成立，设()241g x x ax =-+，则对称轴为2x a =，即()min 0g x >在[)2,x ∞∈+时恒成立，当22a <，即1a <时，()()min 24810g x g a ==-+>，解得58a <；当22a ≥，即1a ≥时，()()22min 24810g x g a a a ==-+>，解得1122a -<<（舍去），故58a <.高频考点1．【答案】C【详解】解：因为1y x=，即()1f x x -=，定义域为{}|0x x ≠，且()()()11f x x x f x ---=-=-=-，即()1f x x -=为奇函数，又由幂函数的性质可知()1f x x -=在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x -=在(),0∞-上单调递减，故符合题意的只有C ；故选：C 2．【答案】A【详解】因为幂函数()()()224210,m m f x m x ∞-+=-+在上单调递增， 所以2(1)1m -=且2420m m -+>， 解得0m =， 故选：A 3．【答案】B 【详解】3232x x y ==的定义域为R ，且()2323x x -=，23y x ∴=为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除D ；2013<<，∴由幂函数性质知：23y x =在()0,∞+上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.故选：B. 4．【答案】D 【详解】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ． 5．【答案】2【详解】函数为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =， 又因为函数在(0,)+∞上单调递减， 可得2230m m --<，可得2m =， 故答案为：2 6．【答案】12y x =【详解】设幂函数()ay f x x ==，∵幂函数()y f x =的图象经过点()4,2， ∴42a =，∴12a =， ∴这个幂函数的解析式为12y x =． 故答案为：12y x =． 7．【答案】1【详解】有图象可知：该幂函数在()0+∞，单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，m Z ∈,故m 可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223m m --为偶数，故1m = 故答案为：18．【答案】(1)3()f x x =； (2)奇函数，证明见解析.(1)设幂函数()f x x α=，因为()f x 的图象过点(3,27)， 所以有3273αα=⇒=，因此3()f x x =； (2)函数()f x 是奇函数，理由如下：因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数.9．【答案】（1）()f x 的解析式为2()f x x =；（2）实数a 的值为2. 【详解】解：（1）由幂函数可知2221m m --=，解得1m =-或32m = 当1m =-时，2()f x x =，函数为偶函数，符合题意； 当32m =时，7()f x x =，不符合题意； 故求()f x 的解析式为2()f x x =（2）由（1）得：2()()2(1)12(1)1g x f x a x x a x =--+=--+ 函数的对称轴为：1x a =-，开口朝上(0)1f =，(4)178(1)f a =--由题意得在区间[]0,4上max ()(4)178(1)9f x f a ==--=，解得2a = 所以实数a 的值为2. 10．【答案】1211,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【详解】由题意可得，33α=，所以12α=， 所以幂函数()f x x =．可知函数()f x x =在[)0,∞+上单调递增， 由()()1f a f a ->+，得0101a a a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪->+⎩，解得：112a -≤<-．故答案为：12；11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.高频考点1．【答案】A【详解】由题意可知2y ＋2x ＝20，即y ＝10－x ，又10－x >x ，所以0<x <5. 所以函数解析式为()1005y x x =-<<. 故选：A 2．【答案】B 【详解】依题意80013008000121y --=--，解得300y =. 故选：B 3．【答案】A【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合； 对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合； 故选：A. 4．【答案】D【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得()1f x 成立，所以将原不等式转化为：0211x x >⎧⎨-⎩或201x x ⎧⎨⎩，从而得1x 或1x -． 故选：D ． 5．【答案】C【详解】3()4f x x x =+-，易知函数单调递增，(0)40f =-<，(1)20f =-<，(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选：C. 6．【答案】C 【详解】由2614.110017000.7-⨯=（米）,知应选C. 7．【答案】BCD【详解】设商品A 的单价为(2)x x >元，则销量为2100.50.2x --⨯万件，此时商品A 销售总收入为2(100.5)0.2x x --⨯万元，根据题意有2(100.5)22.40.2x x --⨯≥，解得2.8 3.2x ≤≤，故BCD 符合题意. 故选:BCD 8．【答案】BD【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B 正确， 卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D 正确. 故选：BD 9．【答案】甲【详解】对于甲：3x =时，23110y =+=，对于乙：3x =时，8y =，因此用甲作为拟合模型较好． 故答案为：甲 10．【答案】1120【详解】设顾客选购物品的总金额为x 元, 获得的折扣优惠金额为y 元, 则当(0,600]x ∈时,0y =,当(600,1100]x ∈时,(600)5%0.0530y x x =-⨯=-,令30y =,得0.053030x -=,解得1200x =1100>,所以应舍去; 当(1100,)x ∈+∞时,5000.05(1100)0.1250.11100.185y x x x =⨯+-⨯=+-=-,令30y =,所以0.18530x -=,解得1150x =,符合题意,所以他实际所付金额为1150-30=1120元. 故答案为:1120.11．【答案】(1)220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩ (2)70万盒 （1）当产量小于或等于50万盒时，20020018010020300y x x x =---=-， 当产量大于50万盒时，222002006035001403700y x x x x x =----=-+-， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时，2050300700y ≤⨯-=；当50x >时，21403700y x x =-+-，当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200． 因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．12．【答案】(1)()()108f x x x =≥，()()102g x x x =≥ (2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元（1）依题意：可设()()10f x k x x =≥，()()20g x k x x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==， ∴()()108f x x x =≥，()()102g x x x =≥. （2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即()12002082x y x x =+-≤≤，令20t x =-， 则220x t =-，0,25t ⎡⎤∈⎣⎦，则22082t t y -=+，0,25t ⎡⎤∈⎣⎦()21238t =--+， 所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.3.5函数的概念与性质实战一、单选题1．【答案】D【详解】由题意，幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则422,αα== ，故选：D2．【答案】B【详解】由题图知：在[1,1]-上()f x 的单调递减，在(2,1),(1,2)--上()f x 的单调递增，所以()f x 的单调递减区间为[1,1]-.故选：B3．【答案】D【详解】由解析式有意义可得1010x x -≥⎧⎨-≠⎩，故1x >， 故函数的定义域为(1,)+∞故选：D.4．【答案】C【详解】解：对于A ，()222111y x x x x =-+=-=-，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B ，函数211x y x -=+的定义域为{}1x x ≠-，函数1y x =-的定义域为R ，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C ，两函数的定义域都是R ，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D ，()211y x x =--=--，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.5．【答案】B 【详解】因为函数()()1,02,0x x x x f x x ⎧->=⎨≤⎩，所以(2)212f =⨯=. 故选：B6．【答案】A【详解】因为该函数为增函数，所以211420232(2)11a a a a a ->⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-+≤+⎩， 故选：A7．【答案】C【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以有()0(2)2f f =-=-，因为奇函数()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以该函数在(0,)+∞上也是增函数，当0x >时，由()0()0(2)2xf x f x f x >⇒>=⇒>，当0x <时，由()0()0(2)2xf x f x f x >⇒<=-⇒<-，所以不等式的解集为()(),22,-∞-⋃+∞故选：C8．【答案】A【详解】解：()11463f =-+=，当0≥x 时，2463x x -+>，所以01x ≤<或3x >；当0x <时，63x +>，所以30x -<<，所以不等式()(1)f x f >的解集是(3-，)(13⋃，)+∞，故选：A ．9．【答案】D【详解】因为y x =在[1,4]x ∈单调递增，4y x=-在[1,4]x ∈单调递增， 所以4()f x x x=-在[1,4]x ∈单调递增. 所以max 4()(4)434f x f ==-=. 因为()f x m ≤对任意[1,4]x ∈恒成立，所以max ()3m f x ≥=.故选：D10．【答案】D【详解】()22xf x ax =+定义域为R. 因为()()()2222=x x f x a x ax f x --=+-=+，所以()=y f x 为偶函数.，其图像关于y 轴对称， 对照四个选项的图像，只能选D.故选:D二、多选题11．【答案】AB【详解】选项A ：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()00f f -=-，则()00f =.判断正确；选项B ：奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，故若()f x 在()0,∞+上有最小值3-，则()f x 在(),0∞-上有最大值3.判断正确；选项C ：奇函数()f x x =-在()1,+∞上为减函数，但在(),1-∞-上依旧是减函数.判断错误；选项D ：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f f -=-.判断错误.故选：AB12．【答案】BD【详解】函数()22,13,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，在(),1-∞上单调递增，在1,上单调递减，故函数在1x =时取最大值为()1132f =-+=，A 选项错误；()0022f =+=，B 选项正确；当1x <时，()21f x x =+=-，解得3x =-，当1x >时，()231f x x =-+=-，解得2x =，C 选项错误；当1x <时，()22f x x =+<，解得0x <，当1x >时，()232f x x =-+<，解得1x >，D 选项正确；故选：BD.13．【答案】AD【详解】函数()f x 是偶函数，在区间[1,6]上单调，(3)(5)f f -<-，()(),(3)(3),(5)(5),f x f x f f f f -=-=-=∴(3)(5)f f <，∴函数()f x 在区间[1,6]上单调递增，区间[6,1]--上单调递减，∴(1)(3)f f <，(2)(2)(4)f f f -=<，(4)(4)(3)f f f -=>，(1)(1)(2)f f f -=<.故选：AD14．【答案】ABC【详解】函数242y x x =--的图象如图所示：因为函数在[0,]m 上的值域为[6,2]--，结合图象可得24m ≤≤，故选：ABC.三、填空题15．【答案】1【详解】∵20-<，∴(2)2(22)8f -=-⨯--=，即()()28f f f -=⎡⎤⎣⎦，∵80≥，∴8(8)18f ==，即()()281f f f -==⎡⎤⎣⎦． 故答案为：1．16．【答案】22x x +【详解】当0x <时，0x ->，所以2()2f x x x -=--因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()2f x x x f x -=--=-，所以2()2f x x x =+故答案为：22x x +四、解答题17．【答案】(1)4(2)2(1)解：当3m =时，2()32f x x x =-++，所以()2113124f =-+⨯+=；(2)因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=成立，即()()222222--+-+=--+=-++x m x x mx x mx 成立，所以0m =，则2()2f x x =-+，所以()f x 的最大值为2．18．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）98,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）()f x 为增函数，证明如下：12x x ∀<，[]12,1,6x x ∈，()()()()()1212121212122112129999x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x --+-=-+-=-+= 因为12120x x x x ⇒-<<，120x x >()()()()1212121290x x x x f x f x x x -+-=<可得：()()12f x f x <所以()f x 在[]1,6x ∈上为增函数.（2）由第一问可知该函数在[]1,6x ∈上为增函数，则当1x =，()f x 有最小值，当6x =，()f x 有最大值. 因为()18=-f ，9(6)2f =，所以函数()f x 值域为98,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 19．【答案】（1）0a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】解：（1）由题意，对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-，即224()4()11x a x a x x ---=--++，亦即44x a x a --=-+，因此0a =； （2）证明：因为0x >，04a ≤≤，()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+ ()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+.所以，()22a f x x a ≤-+. （3）设4t x a =-，则222416()1216x a t y t x t at a -==∈++++R ， 当0=t 时，0y =；当0t ≠时，216162y a t a t=+++； max 28()016f x a a =>++，min 28()016 f x a a =<-+， 所以2288()1616f x a a a a ≤≤-+++.由()()212f x f x m ⋅=-得2max min ()()4 m f x f x -⋅=-≥，即22m -≤≤.①当0m a -≤时，()0f m a -≤，4(1)02a f -=≥，所以1()(1)8f m a f --<； ②当0m a ->时，由（2）知，4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤，等号不能同时成立.综上可知1()(1)8f m a f --<. 20．【答案】（1）()f x 在区间(,1]-∞上单调递减，在区间1,上单调递增；（2）答案见解析；（3）(,2][2,)-∞-+∞ 【详解】（1）当1a =时，2()(1)3f x x =-+，∴()f x 关于直线1x =对称， ∴()f x 在区间(,1]-∞上单调递减，在区间1,上单调递增.（2）由题意，22()()2f x x a a =-++，对称轴为x a =，当32a ≤-时，()f x 在区间33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2min 317()2324f x f a a ⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭； 当3322a -<<时，()f x 在区间3,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在3,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2min ()2f x a =+； 当32a ≥时，()f x 在区间33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则2min 317()2324f x f a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭. （3）方程2()2f x a =有解，即方程2220x ax -+=有解，∴2480a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.∴a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞．。
高中数学第三章函数的概念与性质常考点(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质常考点单选题1、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ） A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3 答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解. 由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2，所以f (x )=3x −2. 故选：B.2、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.3、下列图形能表示函数图象的是（ ）A ．B ．C．D．答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在x=0与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D4、已知f(x+1)=x−5，则f(f(0))=（）A．−9B．−10C．−11D．−12答案：D分析：根据f(x+1)=x−5，利用整体思想求出f(x)的解析式，求得f(0)，从而即求出f(f(0))．解：因为f(x+1)=x−5=(x+1)−6，所以f(x)=x−6，f(0)=−6，所以f(f(0))=f(−6)=−12.故选：D．5、“当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−3为减函数”是“m=−1或2”的（）条件A．既不充分也不必要B．必要不充分C．充分不必要D．充要答案：C分析：根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−3为减函数，所以有{m 2−m−1=1m2−2m−3<0⇒m=2，所以幂函数y =(m 2−m −1)x m 2−2m−3为减函数”是“m =−1或2”的充分不必要条件，故选：C6、下列函数中与y =x 是同一个函数的是（ ） A ．y =(√x)2B ． C ．y =√x 2D ．m =n 2n答案：B分析：根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案. 对于A ，y =(√x)2的定义域为[0,+∞)，与y =x 的定义域为R 不同，故A 不正确； 对于B ，与y =x 是同一函数，故B 正确；对于C ，y =√x 2=|x|与y =x 的对应关系不同，故C 不正确； 对于D ，m =n 2n=n(n ≠0)与y =x 的定义域不同，故D 不正确.故选：B7、若函数f(2x +1)=x 2−2x ，则f(3)等于（ ） A ．−1B ．0C ．1D ．3 答案：A分析：换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果. 令2x +1=t ，得x =t−12，所以f(t)=(t−12)2−2×t−12=14t 2−32t +54，从而f(3)=14×32−32×3+54=−1.故选：A.8、定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，且f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集是（ ） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(2,+∞)C ．(−∞,−2)∪(0,2)D ．(−∞,−2)∪(2,+∞) 答案：Cv u =v u =分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f (x )在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增， 又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0， 则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：C 多选题9、下列函数中，满足f (2x )=2f (x )的是（ ） A ．f (x )=|x|B ．f (x )=x-|x| C ．f (x )=x+1D ．f (x )=-x答案：ABD解析：根据题意满足f(2x)=2f(x)，依次验证即可.在A中，f(2x)=|2x|=2|x|，2f(x)=2|x|，满足f(2x)=2f(x)；在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x)；在C中，f(2x)=2x+1，2f(x)=2(x+1)=2x+2，不满足f(2x)=2f(x)；在D中，f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x).故选：ABD.小提示：本题考查函数的表示法，属于基础题.10、已知函数f(x)=bx+ax+2在区间(−2,+∞)上单调递增，则a，b的取值可以是（）A．a=1，b>32B．a>4，b=2C．a=−1，b=2D．a=2，b=−1答案：AC分析：分离常数得f(x)=b+a−2bx+2，若f(x)在(−2,+∞)单调递增，则满足a−2b<0，检验选项即可求解.f(x)=bx+ax+2=b+a−2bx+2在(−2,+∞)上单调递增,则满足:a−2b<0,即a<2b,故a=1，b>32满足，a=−1，b=2满足，故选:AC11、设函数f(x)={ax−1,x<ax2−2ax+1,x≥a，f(x)存在最小值时，实数a的值可能是（）A．−2B．−1C．0D．1答案：ABC分析：根据函数解析式，分a>0、a=0、a<0三种情况讨论，当a<0时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；解：因为f(x)={ax−1,x<ax2−2ax+1,x≥a，若a>0，当x<a时f(x)=ax−1在(−∞,a)上单调递增，当x→−∞时f(x)→−∞，此时函数不存在最小值；若a=0，则f(x)={−1,x<0x2+1,x≥0，此时f(x)min=−1，符合题意；若a <0，当x <a 时f (x )=ax −1在(−∞,a )上单调递减， 当x ≥a 时f (x )=x 2−2ax +1，二次函数y =x 2−2ax +1对称轴为x =a ，开口向上，此时f (x )在[a,+∞)上单调递增， 要使函数f (x )存在最小值，只需{a <0a 2−1≥a 2−2a 2+1，解得a ≤−1，综上可得a ∈(−∞,−1]∪{0}. 故选：ABC12、已知函数f (x )={log 12(x +1),x ≥0,f(x +1),x <0,若函数g (x )=f (x )−x −a 有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2 答案：BCD分析：作出函数f (x )的图象如下图所示，将原问题转化为函数f (x )的图象与直线y =x +a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 根据题意，作出f(x)的图像如下所示：令g(x)=0，得f(x)=x +a ，所以要使函数g(x)=f(x)−x −a 有且只有两个不同的零点， 所以只需函数f(x)的图像与直线y =x +a 有两个不同的交点， 根据图形可得实数a 的取值范围为(−1,+∞)， 故选：BCD ．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 13、下列说法正确的是（ ）A ．若定义在R 上的函数f(x)满足f(3)>f(2)，则函数f(x)是R 上的增函数；B ．若定义在R 上的函数f(x)满足f(3)>f(2)，则函数f(x)是R 上不是减函数；C ．若定义在R 上的函数f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间[0，+∞)上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数；D ．若定义在R 上的函数f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间(0,+∞)上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数. 答案：BC分析：对ABC 按函数单调性的定义进行验证，对于选项D ，举反例f (x )={−x +1,x ≤0x −1,x >0进行否定即可.A ：若函数f(x)在R 上为增函数,则对于任意的x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2)定成立,若f(3)>f(2)成立,不具有一般性，比如f (2)>f (0)不一定成立,所以函数f(x)在R 上不一定是增函数,A 错误；B ：函数f(x)在R 上为减函数,则对于任意的x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2)定成立,所以, f(3)<f(2)一定成立,所以,若f(3)>f(2),函数f(x)是R 上不是减函数,故B 正确;C ：若定义在R 上的函数f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间[0，+∞)上也是增函数，则满足对于任意的x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2)定成立,所以, 则函数f(x)在R 上是增函数；符合增函数的定义.故C 正确；D ：设函数f (x )={−x +1,x ≤0x −1,x >0是定义在R 上的函数,且f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间(0,+∞)上也是增函数，而-1<1但f (−1)=f (1),不符合增函数的定义,所以,函数f (x )在R 上不是增函数.故D 错误. 故选：BC 填空题14、已知幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m 的图象关于y 轴对称，则f(m)=___________．答案：4分析：根据幂函数的知识求得m 的可能取值，根据f (x )图象关于y 轴对称求得m 的值，进而即得. 由于f (x )是幂函数，所以m 2−m −1=1，解得m =2或m =−1. 当m =2时，f (x )=x 2，图象关于y 轴对称，符合题意.当m =−1时，f (x )=x −1=1x ，图象关于原点对称，不符合题意.所以m 的值为2，∴. f(x)=x 2，f(2)=22=4. 所以答案是：4.15、某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm )的函数关系式___________. 答案：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.，(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)分析：由题意，个数越高，系数k 越大，因此在[160,190]上的函数是增函数即可，初始值(160,0)，(190,1)，设出函数式代入求解．由题意函数k(x)是[160,190]上的增函数，设k(x)=ax +b(a >0)，x ∈[160,190]， 由{160a +b =0190a +b =1 ，解得{a =130b =−163 ，所以k(x)=130x −163， 所以k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.所以答案是：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.注：在[160,190]上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如y =b −ax(a >0)，y =ax 2+b (a >0)等等．小提示：思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一． 16、求函数y =2x −1−√1−2x 的值域______． 答案：(−∞,0]##{y|y ≤0}分析：先对根式整体换元(注意求新变量的取值范围)，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可.令√1−2x =t ≥0，则2x =1−t 2，所以y =−t 2−t =−(t +12)2+14．又t ≥0，所以y ≤0，即函数y =2x −1−√1−2x 的值域是(−∞,0]． 所以答案是：(−∞,0]. 解答题17、函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ． （1）求函数f(x)在x ∈(−∞,0)的解析式； （2）当m >0时，若|f(m)|=1，求实数m 的值． 答案：（1）f(x)=x 2+2x ；（2）1或1+√2.分析：（1）根据偶函数的性质，令x ∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解； （2）m >0，有|m 2−2m |=1，解方程即可得解. （1）令x ∈(−∞,0)，则−x ∈(0,+∞)， 由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x 2+2x ； （2）由m >0，|f(m)|=|m 2−2m |=1， 所以m 2−2m =±1，解得m =1或m =1+√2或m =1−√2（舍）. 18、设常数a ∈R ，函数f(x)=(a −x)|x|． （1）若a =1，求f (x )的单调区间；（2）若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2+m >f [f (x )]对所有的x ∈[-2，2]恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）调增区间为[0,12]，单调减区间为(-∞，0)，(12,+∞)；（2）(165,+∞).分析：(1)当a =1时，求得f(x)={(1−x)x,x ≥0(x −1)x,x <0，根据二次函数的单调性求出x <0与x ≥0的单调区间即可得解；(2)由f (x )是奇函数求出a ，再求得f[f(x)]=x 3|x|，将给定不等式分离参数并构造函数，求其最大值即可作答. （1）当a =1时，f(x)=(1−x)|x |={(1−x)x,x ≥0(x −1)x,x <0，当x ≥0时，f(x)=(1−x)x =−(x −12)2+14，则f (x )在[0,12]内是增函数，在(12,+∞)内是减函数， 当x <0时，f(x)=(x −1)x =(x −12)2−14，则f (x )在(-∞，0)内是减函数；综上可知，f (x )的单调增区间为[0,12]，单调减区间为(-∞，0)，(12,+∞)；（2）因f (x )是奇函数，必有f (-1)=-f (1)，即(a +1)·1＝-(a -1)·1，解得a =0，此时f(x)=−x|x|，它是奇函数， 因此，a =0，f(x)=−x|x|，则f[f(x)]=x 3|x|，于是有∀x ∈[−2,2],mx 2+m >f[f(x)]⇔mx 2+m >x 3|x|⇔m >x 3|x|x 2+1， 而x ∈[−2,2]时，x 2+1∈[1,5]，并且x 3|x|x 2+1≤x 4x 2+1=x 4−1+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1−2，令x 2+1=t ∈[1,5]，则ℎ(t)=t +1t−2在[1,5]上单调递增，当t =5时，(t +1t−2)max =165，因此，当x =2时，(x 3|x|x 2+1)max =165，则m >165，所以实数m 的取值范围是(165,+∞).。
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题1：题面：求函数01)y a a =>≠且的定义域.答案：01(0,),1(,0)a x a x a <<∈+∞>∈-当时，当时，详解：由1001-+>+>⎧⎨⎩⇒+<>-⎧⎨⎩l o g ()l o g ()l o g ()a a ax a x a x a a x a1110,0a a x a a x a x >-<-+<∴<∴-<<当时，由（）得定义域为 011010a a x a a x <<-<-<+>∴>当时，由（）得0x ∴>定义域为 01(0,),1(,0)a x a x a <<∈+∞>∈-故所求定义域是：当时，当时，题2:题面：设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（ ）. （A ）-3 (B) -1 （C ）1 （D ）3答案：A详解：2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A.题3:题面：已知函数2()22f x x ax =++，x ∈[－5，5]．求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．答案：a ∈(－∞，－5)∪[5，＋∞]详解：关键在于对称轴，对称轴两端的单调性相反∵对称轴方程：x＝－a，当－a≤－5时，如图，根据二次函数的单调性，y＝f(x)是单调递增的；当－a≥5时，如图，根据二次函数的单调性，y＝f(x)是单调递减的．综上所述，当a∈(－∞，－5)∪[5，＋∞]时，y＝f(x)是单调函数题4：题面：已知反比例函数kyx=的图像如图所示，则二次函数222y kx x k=-+的图像大致为（）.A BC D答案：D．详解：因为反比例函数图像的两个分支分别在第二象限和第四象限内，所以0k<，即抛物线222y kx x k=-+的开口向下．因此排除A和B．因为二次函数的二次项系数2k和一次项系数－1同号，所以抛物线的对称轴在y 轴的左侧．故选D ．题5：题面：设偶函数()f x 满足()24x f x =-(0)x ≥，则{|(2)0}x f x -<=( ). （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{|04}x x <<答案：D 。
详解： 因为()f x 是偶函数，故()()24xf x f x ==-， 所以2(2)(2)24x f x f x --=-=-．于是 (2)0f x -<，即2240x --<，也即22422x x -<∴-<，解得04x <<，因此选D ．题6：题面：设函数()y f x =对一切实数x 都有()()33f x f x +=-且方程恰有6个不同的实根，则这6个根之和为 ．答案：18．详解：()f x 图像关于直线3x =对称，则此6个根分别3x =两两对称，一对根之和为6，所以这三对根之和为18．题7：题面：已知对于任意R y x ∈,，都有()()2()()22x y x yf x f y f f +-+=，且0)0(≠f ，则)(x f 是（ ）(A)奇函数 (B)偶函数 (C)奇函数且偶函数 (D)非奇且非偶函数答案：B详解：令0=y ，则由0)0(≠f 得1)0(=f ；又令x y -=，代入条件式可得()()2(0)()f x f x f f x +-=即)()(x f x f =-，因此)(x f 是偶函数，选B 。
题8：题面：已知函数()f x 满足:①对任意的,x y R ∈,都有()()()fx y f x f y =⋅;②()()11,279f f -==,且当01x ≤<时, ()[)0,1f x ∈.(1)判断()f x 的奇偶性; (2)判断()f x 在[)0,+∞上的单调性,并证明.答案：()f x 为偶函数；()f x 在[)0,+∞上是增函数.详解： (1)在()()()f xy f x f y =⋅中,令1y =-,得()()()1f x f x f -=⋅-,()11f -= ,()()f x f x ∴-=,则()f x 为偶函数.(2) 设120x x ≤<,则1201x x ≤<,由于当01x ≤<时, ()[)0,1f x ∈, ()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()()12f x f x <,则()f x 在[)0,+∞上是增函数.1：题面：已知函数f （x ）的定义域为〔0，1〕，求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)3(log 21x f y 的定义域.答案：定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2。
详解:因为f （x ）的定义域为［0，1］，所以欲使函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)3(log 21x f y 有意义，必须有：1)3(log 021≤-≤x ，即 21l o g )3(l o g 1l o g 212121≤-≤x 所以252,1321≤≤≤-≤x x 即，所以函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2题2：题面：已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2B. 415C. 417 D. 2a答案：B详解:由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.题3：题面：如果二次函数f （x ）=x 2－（a －1）x +5在区间（21，1）上是增函数，求f （2）的取值范围.答案：f （2）≥7.详解:由于f （2）=22－（a －1）×2+5=－2a +11，求f （2）的取值范围就是求一次函数y =－2a +11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f （x ）在区间（21，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x =21-a 或与直线x =21重合或位于直线x =21的左侧，于是21-a ≤21，解之得a ≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f （2）≥7.题4：题面：已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列结论中①0abc >，②2b a =，③0a b c ++<，④0a b c -+>，正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个答案：A ．详解:因为图中抛物线的开口向下，对称轴在ｙ轴的左侧，所以0a <，a ，b 同号．从而0ab >；又知抛物线与ｙ轴的正半轴相交，所以0c >，故0abc >；由对称轴12bx a=-=-，得2b a =；直线x ＝１与抛物线的交点在x 轴的下方，则0a b c ++<；直线x ＝-１与抛物线的交点在x 轴的上方，则0a b c -+>．故选A ．题5：题面：若奇函数f x R f x f x ()(||)()在上是减函数，求满足的-+<830的取值范围。
答案：5 5.x x ><-或详解:由函数值的大小关系求自变量的变化范围，应是以函数单调性为重要根据，是单调性概念的反用。
fx f (||)()-+<830(||8)(3)()(3)(3)f x f f x f f ∴-<-∴-=- 是奇函数(||8)(3)()||835 5.f x f f x R x x x ∴-<-∴->-∴><-又在上是减函数或题6：题面：设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)等于______。
A. 0.5B. －0.5C. 1.5D. －1.5 题6：答案：选B 。
详解:由f (x ＋2)＝－f (x )得f (7.5)＝－f (5.5)＝f (3.5)＝－f (1.5)＝f (－0.5)，由f (x )是奇函数得f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5，所以选B 。
也可由f (x ＋2)＝－f (x )，得到周期T ＝4，所以f (7.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5。
题7：题面：若函数()f x 与()g x 定义在R 上，且()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，(2)(1)0f f -=≠，求(1)(1)g g +-的值．答案：(1)(1)1g g +-=-详解:()()()()()f y x f y g x g y f x -=-＝()f x y --，所以()f x 是奇函数． 令1,1x y =-=则[](2)(11)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)f f f g g f f g g f f g g -=--=---=---=-+-(2)(1)0f f -=≠ (1)(1)1g g ∴+-=-．题8：题面：定义在()0,+∞上的函数()f x 满足:①()101f =,②对任意实数b , ()()bf x bf x =.（1）求()1f ,12f ⎛⎫⎪⎝⎭,14f ⎛⎫⎪⎝⎭及满足()1002lg1002f k -=的k 值; （2）证明对任意(),0,x y ∈+∞,()()()f xy f x f y =+.（3）证明()f x 是()0,+∞上的增函数.答案：110,lg,2lg 200422k =，。
详解:（1）()()()()1lg 021111100100,10lg 10lg 222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫==⋅===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111122lg 4222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因为()()()()()()lg 1002100210lg 100210lg 1002lg1002k f k f k f k --==-=-=⎡⎤⎣⎦,所以2004k =.（2）设0,0x y >>,当1x ≠时,()()()()()()()()log 1log 1log log x x y y x x f xy f x x f x y f x f x y f x +=⋅==+=+ ()()()()log x y f x f x f x f y =+=+当x=1时,因为()10f =也适合,故(),0,x y ∈+∞时,()()()f xy f x f y =+.（3）因为1x >时, ()()()()lg 10lg 10lg 0xf x f x f x ===>,设120x x <<,则211x x >,所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.由(2)知()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 在()0,+∞上是增函数。