高中数学第一章常用逻辑用语12基本逻辑联结词121“且”与“或”素材新人教B版1-1.

1.2.1“且”与“或”
课堂探究
探究一“p∧q”形式的命题及其真假的判定
判断“p∧q”命题真假的方法是：如果p，q都是真命题，则命题p∧q是真的；如果p，q中至少有一个是假命题，则命题p∧q是假的，因此要先判断每一个命题的真假，再利用真值表来判断．
【典型例题1】分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数；
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等；
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是方程x＋1＝0的根．
思路分析：用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．
解：(1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
探究二“p∨q”形式的命题及其真假判定
判断“p∨q”命题真假的方法是：当两个命题p，q中至少有一个是真命题时，p∨q就为真命题；只有当两个命题都为假时，p∨q为假．
【典型例题2】将下列命题用“或”联结成新命题，并判断其真假：
(1)p：9是奇数，q：9是素数；
(2)p：正弦函数是奇函数，q：正弦函数是增函数．
解：(1)p∨q：9是奇数或9是素数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
(2)p∨q：正弦函数是奇函数或是增函数．
因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题．
探究三应用逻辑联结词求参数的范围
含有逻辑联结词的命题p∧q，p∨q的真假可以用真值表来判断；反之，根据命题p∨q，p∧q的真假也可以判断命题p，q的真假．
【典型例题3】已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m
－2)x ＋1＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．
思路分析：这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．它可以先利用命题知识判定p ，q 的真假，再求m 值，也可以先化简p ，q 的范围，再利用命题知识求解．
解：p ：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2
－4>0，m >0，
解得m ＞2.
q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，
解得1＜m ＜3.
因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，
所以p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．
即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3
或⎩⎪⎨⎪⎧
m ≤2，1<m <3. 解得m ≥3或1＜m ≤2.
所以m 的取值范围为{m |m ≥3或1＜m ≤2}．
规律小结 应用逻辑联结词求参数范围的步骤。