北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试数学理试卷讲解
2016年北京市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)
2016年北京市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)2016年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.（5分）已知集合A={x||x|＜2}，集合B={﹣1.1，2，3}，则A∩B=（）A。
{﹣1.1}B。
{，1}C。
{，1，2}D。
{﹣1.1，2}2.（5分）若x，y满足x+y=4且x2+y2的最小值为2，则2x+y的最大值为（）A。
2B。
3C。
4D。
53.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.（5分）设a、b为向量，则||a+b||=||a-b||的充分必要条件是（）A。
a·b=0B。
a=bC。
||a||=||b||D。
a·b=||a||·||b||5.（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A。
x-y＞0B。
sinx-siny＞0C。
（x+y）/（x-y）＜2D。
XXX＞06.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A。
8/3B。
10/3C。
12/5D。
14/57.（5分）将函数y=sin（2x-π/2）图象上的点P（π/6，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A。
t=1，s的最小值为π/6B。
t=1/2，s的最小值为π/6C。
t=1，s的最小值为π/3D。
t=1/2，s的最小值为π/38.（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。
甲、乙、丙是三个空盒。
每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒。
重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A。
乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B。
乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C。
乙盒中红球不多于丙盒中红球D。
乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
精选题库北京市朝阳区高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
=（ ）
A． B． C．1 D．﹣ 1
7．（5 分）袋子里有编号为 2，3，4， 5，6 的五个球，某位教师从袋中任取两个
不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分
别推断这两个球的编号．
甲说： “我无法确定． ”
乙说： “我也无法确定． ”
甲听完乙的回答以后，甲说： “我现在可以确定两个球的编号了． ”
个元素的集合） 的并集， 并且这些三元子集的元素之和都相等， 则每个三元集的
元素之和为
；请写出满足上述条件的集合 M 的 5 个三元子集
．（只
写出一组）
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程 . 15．（ 13 分）已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn（n∈N*），满足 Sn=2an﹣1．
根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（
）
A．一定有 3 号球 B．一定没有 3 号球
C．可能有 5 号球 D．可能有 6 号球
8．（5 分）已知函数 f（ x）=sin（cosx）﹣ x 与函数 g（ x） =cos（sinx）﹣ x 在区间
内都为减函数，设
，且 cosx1=x1，sin（ cosx2）
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式； （Ⅱ）若数列 { bn} 满足
，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
16．（ 13 分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数 f （x）的最小正周期；
（Ⅱ）当
时，求函数 f（x）的取值范围．
17．（ 13 分）在△ ABC中，
，
．
（Ⅰ）试求 tanC 的值；
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=m a x {,}k k k d c c -(m a x {,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =-的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
北京市朝阳区2017届高三上学期期中数学试卷(理科)含解析
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩?U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=﹣2x3．若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c4．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．5．设m∈R且m≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＞2 D．m≥26．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，则?等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为．11．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．12．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．18．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减．19．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．20．设a，b是正奇数，数列{c n}（n∈N*）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n≥3，c n是c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数．数列{c n}中的所有项构成集合A．（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A；（Ⅱ）对k≥1，令d k=max{c2k，c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：d k+1≤d k；（Ⅲ）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩?U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴?U B={x|x＜1}，则A∩（?U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=﹣2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】选项A：y=x2在（0，+∞）上单调递增，不符合条件；选项B：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；选项C：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定y=﹣lg|x|是偶函数，x＞0时，y=﹣lg|x|=﹣lgx单调递减，故符合条件；选项D：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；【解答】解：选项A：f（x）=x2的定义域为R，又∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2，∴f（﹣x）=f （x），即f（x）是偶函数．但y=x2在（0，+∞）上单调递增，故A不正确；选项B：记f（x）=x+1，则f（1）=2，f（﹣1）=0，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f （1），∴y=x+1是非奇非偶函数，故B不正确；选项C：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），记f（x）=﹣lg|x|，∵f（﹣x）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数当x∈（0，+∞）时，y=﹣lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴y=﹣lgx在（0，+∞）上单调递减故C正确；选项D：记f（x）=﹣2x，则f（1）=﹣，f（﹣1）=﹣2，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=﹣2x是非奇非偶函数，故D不正确．故选：C．3．若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．【解答】解：a=log2.10.6＜0，b=2.10.6＞1，0＜c=log0.50.6＜1∴b＞c＞a，故选：B．4．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2＞x1≥2，====a（x1+x2）﹣1，∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，＞0恒成立，∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立∵x2＞x1≥2∴∴a，即a的取值范围为[，+∞）故本题选 D5．设m∈R且m≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＞2 D．m≥2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当m＜0时，不等式m+＞4不成立，当m＞0时，m+≥2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号，A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，C．当m＞2时，不等式m+＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件．D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，故选：C．6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，则?等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．【解答】解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），2++=0，∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．又||=2||，∴||=，||=2，∴||=，∴cosC===，∴?=﹣?=﹣×2×=﹣故选：A7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，由f（x）=得x+1=，即x=﹣1=﹣，当x＞0时，由f（x）=得log2x=，即x==，由g（x）=f（f（x））﹣=0得f（f（x））=，则f（x）=﹣或f（x）=，若f（x）=﹣，此时方程f（x）=﹣有两个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是3个，故选：B8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=﹣4．【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，y），∥，∴1×y=2×（﹣2）∴y=﹣4故答案为：﹣ 410．函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为．【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．【分析】由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．【解答】解：对于函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，求得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间是：．故答案为：．11．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．12．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=﹣7．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，可得tanA的值，再利用两角和的正切公式求得tan（A+）的值．【解答】解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．∴tan（A+）===﹣7，故答案为，﹣7．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m＞1，m＜﹣1，m=±1、0，﹣1＜m＜0，0＜m＜1分别判断分段函数的单调性．【解答】解：令h（x）=mx2+1，x≥0；g（x）=（m2﹣1）2x，x＜0；①当m＞1时，要使得f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，即要满足m2﹣1≤1?﹣≤m≤故：1＜m≤；②当m＜﹣1时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递增，所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；③当m=±1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；④当﹣1＜m＜0 时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递减，对于任意的x≥0，g（x）＜0；当x→0时，h（x）＞0；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；⑤当0＜m＜1时，h（x）在x≥0上递增，g（x）在x＜0上递减；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，]14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第20天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=200m+×12.5≥2×3000，化为m2+31m﹣960≥0，解得m，取m=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差；得到通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将通项公式代入，利用裂项求和证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d．因为成等比数列，所以．即．化简得，即d2=a1d．又a1=1，且d≠0，解得d=1．所以有a n=a1+（n﹣1）d=n．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得：．所以．因此，T n＜1．…16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，解得a=1；…所以，所以f（x）最小正周期为T=2π；…（Ⅱ）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是﹣1；所以f（x）的取值范围是[﹣1，2]．…17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为，所以．由正弦定理得，．…（Ⅱ）在△BDC中，由BC2=DC2+DB2﹣2DC?DBcos∠BDC，得，．所以．解得或（舍）．由已知得∠DBC是锐角，又，所以．所以cos∠ABD=cos=cos120°？c os∠DBC+sin120°？s in∠DBC==．在△ABD中，因为AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcos∠ABD=，所以．…18．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（Ⅰ）根据偶函数的定义，f（﹣x）=f（x）恒成立，求出a的值；（Ⅱ）利用导数大于0或小于0，判断函数f（x）是单调增函数单调减函数即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）=﹣a（﹣x）+cos（﹣x）=+ax+cosx=f（x）=﹣ax+cosx恒成立，所以a=0；…（Ⅱ）由题意可知，设，则；注意到，a＞0；由g'（x）＜0，即，解得；由g'（x）＞0，即，解得；所以g（x）在上单调递减，上单调递增；所以当，g（x）＜g（0）=0﹣a＜0，所以f（x）在单调递减，当，，所以f（x）在单调递减，所以当a＞0时，函数f（x）在上单调递减．…19．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．【解答】解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（Ⅲ）设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f'（x）=e x（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，解得随着x变化时，f（x）和f'（x）的变化情况如下：xf'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗当x∈时，．所以．所以f（x）=e x（x2﹣a）＞0．又因为函数f（x）的最小值为﹣2e＜0，所以函数f（x）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3．以下证明解的唯一性，仅供参考：设因为a＞0，所以，．设，则．设h（x）=﹣xe x，则h'（x）=﹣e x（x+1）．当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．所以方程只有唯一解a=3．20．设a，b是正奇数，数列{c n}（n∈N *）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n≥3，c n是c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数．数列{c n}中的所有项构成集合A．（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A；（Ⅱ）对k≥1，令d k=max{c2k，c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：d k+1≤d k；（Ⅲ）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．【考点】集合的表示法．【分析】（Ⅰ）利用列举法写出数列{c n}，易得集合A；（Ⅱ）由题设，对n≥3，c n﹣2，c n﹣1都是奇数，所以c n﹣1+c n﹣2是偶数．从而c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数，结合不等式的性质进行解答；（Ⅲ）有限集是指元素的个数是有限个的集合，从而确定答案．【解答】解：（Ⅰ）数列{c n}为：9，15，3，9，3，3，3，…．故集合A={9，15，3}．（Ⅱ）证明：由题设，对n≥3，c n﹣2，c n﹣1都是奇数，所以c n﹣1+c n﹣2是偶数．从而c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数，所以c n≤max{c n﹣1，c n﹣2}，当且仅当c n﹣1=c n﹣2时等号成立．所以，对k≥1有c2k+1≤max{c2k，c2k﹣1}=d k，且c2k+2≤max{c2k+1，c2k}≤max{d k，d k}=d k．所以d k+1=max{c2k+2，c2k+1}≤d k，当且仅当c2k=c2k﹣1时等号成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n≥3时，有c n≤max{c n﹣1，c n﹣2}．所以对n≥3，有c n≤max{c1，c2}=max{a，b}．又c n是正奇数，且不超过max{a，b}的正奇数是有限的，所以数列{c n}中的不同项是有限的．所以集合A是有限集．集合A中的最小数是a，b的最大公约数．2016年11月25日。
北京市朝阳区2016届高三上学期期中统一考试理数试题解析(解析版)
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3} 【答案】.D 【解析】试题分析：{10,}{1,}B x x x x x x =-≥∈=≥∈N N 又{3,}A x x x =≤∈R所以{1,2,3}AB =故答案选.D考点：1.常见数集的表示；2.集合的运算.2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-【答案】.D考点：同角三角函数关系.3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2- 【答案】A 【解析】试题分析：因为数列{}n a 的公差为2的等差数列 所以212a a =+，411(41)26a a a =+-⨯=+ 因为1a ，2a ，3a 成等比数列所以2214a a a =，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a = 故答案选A .考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列中项. 4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】试题分析：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ；故①是正确的；②若q p ∧为假命题，则p 或q 为假命题，故②是错误的；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 2320,x x -+≠则2≠x ，故③是错误的.故答案选A .考点： 命题的真假判断.5. 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+【答案】A . 【解析】试题分析：由题图可知函数的周期514()263T =-=，2A = 由周期公式2T πω=，得ωπ=所以()2sin()f x x πϕ=+ 由题图知，当13x =时，()f x 取得最大值 所以22326k k πππϕπϕπ+=+⇒=+，k Z ∈因为||2πϕ<，所以6πϕ=所以()2sin()6f x x ππ=+故答案选A .考点：三角函数的图像和性质. 6. 设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B考点：1.解不等式；2.命题的充分必要性.7. 在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是（ ）A ．5B ．421C ．6D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为M 、N 分别是BC 边上的三等分点所以2133AM AB AC =+,1233AM AB AC =+ 所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅+2225()99AB AC AB AC =++⋅又BC AC AB =-所以2222222()2324BC AC AB AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅⇒=+-⨯ 得2217AC AB += 所以25174699AM AN ⋅=⨯+⨯= 故答案选C考点：1.向量的线性关系；2.向量的数量积.8. 已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34-- C ．11(,1)(1,)33-- D ．1111(,)(,)3443--【答案】C 【解析】试题分析：由(2)()f x f x +=，知函数()f x 的周期为2 作函数()f x 和函数()2g x kx =+的图像，如下图所示：函数()2g x kx =+恒过定点(0,2)321303l k -==---32110m k -==---32110n k -==-321303q k -==-结合图像可知，k 的取值范围为11(,1)(1,)33--故答案选C考点：1.方程根的存在性；2.函数零点个数；3.函数的周期性.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ． 【答案】2log π考点：指数函数的性质.10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ． 【答案】5- 【解析】试题分析：因为平面向量21()，a =，13(-)，b = 所以(2,13)a b λλλ+=-+ 由()a a b λ⊥+所以()0a a b λ⋅+=，即(2,1)(2,13)02(2)1(13)0λλλλ⋅-+=⇒⨯-+⨯+= 解得5λ=-考点：向量的数量积.11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB y AD =+，则x y += ．【答案】12【解析】试题分析：连接BD ，又E 为CD 的中点 所以1122BE BD BC =+ 又BD AD AB =-,BC AD = 所以111()222BE AD AB AD AD AB =-+=- 又BE xAB y AD =+ 所以1x =，12y =- 所以12x y +=考点：向量的线性运算.12. 若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ． 【答案】2π考点：三角函数的性质. 13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[2,)+∞ 【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'==因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立所以1sin a x≥因为(,)63x ππ∈，所以11sin 22sin x x<<⇒<< 所以a 的取值范围是[2,)+∞考点：1.恒成立问题；2.导函数的应用.14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF =.所以函数()f x 的单调递增区间是(,),(0,1)a +∞，单调递减区间为(1,)a 当1a <时，不等式(1)()0x x a -->的解为1x >或x a < 又因为0x >，0a >所以函数()f x 的单调递增区间是(1,),(0,)a +∞，单调递减区间为(,1)a综上所述，当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =-（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10-<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
【数学】北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试(文).docx
北京市朝阳区 2016 届高三上学期期中考试数学试卷（文科）（考试时间120 分钟满分150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .1. 已知集合A{ x x2} ，B＝{ x (x1)(x3)0} ，则A∩B=（）A ． { x x 1}B．{ x 2 x 3}C．{ x 1 x 3}D． { x x 2 或x 1}2. 设平面向量a( x,1) ，b (4, x) , 且a b1,则实数x的值是（）A ．2B ．111 C． D ．353.下列函数在(,0)(0, ) 上既是偶函数，又在(0, ) 上单调递增的是（）A ．y x2B ．y x 1C．y log 2 x D． y2x4．已知tan 1，那么 tan(π3) 等于（）4A ．2B．2C．1D．1 225.要得到函数y sin(2 x) 的图象，只需将函数y sin 2x 的图象（）3A ．向左平移个单位B．向右平移个单位66 C．向左平移个单位D．向右平移个单位336.下列命题正确的是（）A.“x 1”是“x23x 2 0 ”的必要不充分条件1C. 若 p q 为假命题，则 p, q 均为假命题D. 命题 “若 x 23x 20 ，则 x2 ”的否命题为 “若 x 2 3x 20, 则 x 27.在 ABC 中，已知 AB AC4 ， BC3 ， M , N 分别是 BC 边上的三等分点，则AM AN的值是（）21 C ． 6D ． 8A ． 5B ．48. 已知函数 f (x)x 2, 0 x a,若存在实数 b ，使函数 g(x)f ( x) b 有两个零点，2x ,xa.则实数 a 的取值范围是（）A ． (0, 2)B ． (2, )C ． (2, 4)D ． (4, )第二部分（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在答题卡上 .1 9.若集合 { a,0,1} ={ c, , 1} ，则 a _____,b_______.b10.设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 3 a 6 12 ， S 4 8 ，则 a 9 的值是．11.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是 ________．12．已知函数 f (x) 2sinx (0 )的最小正周期为，则，在 0,( ) 内满足 f ( x 0 ) 0的 x 0＝．π π13. 若函数 f (x) a sin xcosx 在区间 ( ,) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 .6 414. 如 图 ， 在 ABC 中 ， A B A C 4 ，BAC 90 ， D 是 BC 的 中 点 ， 若 向 量AM1AB mAC （ m R ），且点 M 在 ACD 的内部（不含边界） ，则 AM BM 的取值范4围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) 2 3sin xcosx2cos 2x. 222（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f ( x) 的单调递减区间.16.（本小题满分 13 分）设等差数列a n的前n项和为 S n，n N ，公差d0, S315, 已知a1, a4, a13成等比数列 .（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 b n a2n，求数列b n的前n项和T n.17.（本小题满分14 分）如图 , 在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1底面ABC ,AC CB ,点 D 是 AB 的中点．（Ⅰ）求证：AC BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面 CDB1.(Ⅲ )设AB2AA1, AC BC ,在线段A1 B1上是否存在点M ，使得 BM CB1?若存在,确定点 M 的位置;若不存在，说明理由.18.（本小题满分 13 分）在 ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知 cos B 1 ．2（Ⅰ）若 a 2, b 2 3 ，求 ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin A sin C 的取值范围．19. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) a ln x x2( a 1) x ，a R．2（Ⅰ）若函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上单调递减，求 a 的取值范围；（Ⅱ）当 a 1 时，证明1 f ( x).220.（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) e x (ax2bx 1) (其中 a ，b R ),函数f ( x)的导函数为f ( x)，且f ( 1)0．(Ⅰ )若b 1 ，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；(Ⅱ )若函数 f (x) 在区间 [ 1,1] 上的最小值为0 ，求 b 的值．参考答案一、：（分 40分）号12345678答案B D C A B B C C 二、填空：（分 30分）号91011121314答案1,115①④ 2 ,[1, )2,62（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答：（分 80 分）15.（本小分 13 分）（I ）由已知可得：f ( x)3sin x cosx 12sin( x)1 .6所以 f (x) 的最小正周期 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..7 分（II ）由2k x2k， k Z ,22得 2k x2k, k Z .33因此函数 f (x) 的减区 [2 k,2 k] , k Z.33⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..13分16.（本小分 13 分）解：（ I）依意，3a32 d15,12( a13d)2a1 ( a1 12d ).a13,解得d2.因此 a n a1( n 1)d 3 2(n 1) 2n 1, 即a n2n 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6分(Ⅱ )依意，b n a2n22n12n 11.T n b1 b2b n(221)(231)(2n 1 1)=2223...2n1n4(1 2 n )n122n2n 4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..13分17.（本小分14 分）（ I）在三棱柱ABC A1 B1 C1中，因 CC1底面ABC，AC底面ABC，所以 CC1AC .又 AC BC ，BC CC1 C ,所以 AC平面BCC1B1．而BC1平面BCC1B1，AC BC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分(Ⅱ )CB1与 C1 B 的交点E，DE，因 D 是 AB 的中点， E 是BC1的中点，E 所以 DE ∥AC1.因 DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..9分(Ⅲ )在段A1B1上存在点M，使得BM CB1,且M段A1B1的中点 .明如下：因 AA1底面 ABC ， CD底面 ABC ,M 所以 AA1CD .E 由已知 AC BC ，D段AB的中点，所以 CD AB .又 AA 1 AB A ，所以 CD 平面 AAB B .1 1取 段 A 1 B 1 的中点 M ， 接 BM . 因 BM 平面 AA 1B 1 B ，所以 CD BM .由已知 AB 2AA 1 ，由平面几何知 可得 BM B 1 D .又 CD B 1D D ,所以 BM 平面 B 1CD .又 11BC平面 B CD ，所以 BMCB 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..14分18. （本小 分 13 分）（I ）在ABC 中，因 cos B1 ，2所以 B2π， sin B3 .32由正弦定理ab ,sin A sin B可得2 2 31 sin A, sin A.322又 A 角， A，所以 C .66所以 S ABC1ab sin C211 22 3223 .. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（II ） sin A sinCsin( C) sinC3= sin C3cosC 1 ( sin C)22=3sin 2C1(1 cos2C )441sin(2C) 1 .264因 C(0,) ，3所以2C5( ,) .666 sin(2C)( 1 ,1].62所以 sin A sin C 的取范是1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分(0, ] .419.（本小分 13 分）解：（ I）函数的定域(0,) .因 f ( x)a(ax2(a 1)x a( x1)( x a) x1)x x. x又因函数 f ( x) 在(1,3)减，所以不等式( x1)(x a)0 在(1,3)上成立.g( x) ( x1)(x a) ， g (3)0 ，即 93(a1)a0 即可，解得 a 3.所以a的取范是[3,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅱ）当 a 1 ， f ( x)ln x x2，2f (x)1xx21(x1)(x 1) x x x.令 f(x)0 ，得x1或 x 1 （舍）.当 x 化， f ( x), f ( x) 化情况如下表：x(0,1)1(1, )f ( x)0+f (x)极小所以 x 1,函数f ( x)的最小f (1)1 . 2所以 f (x)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分成立 .220.（本小分 14 分）解：因 f (x)e x (ax2bx1) ，所以f( x)e x[ ax2(2a b) x b 1] ．因 f(1)0 ，所以 a(2 a b)b10 ．所以 a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( Ⅰ)当a1， b1，f (0)1, f (0) 2 ，所以曲 y f (x) 在点(0, f (0)) 的切方程y12( x0) ．即 2x y 10．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(Ⅱ )由已知得f ( x)e x (x2bx 1)，所以f ( x) e x[ x2(2b) x b 1]e x ( x 1)(x b1)．（ 1）当b11，即 b0，令 f(x) e x (x1)(x b1) 0 得，x 1 或 x b1 ；(x1)(1)0 得，．令) e (f x x x b b 1 x1所以函数 f (x) 在 (1,) 和 (,b1)上增，在( b1, 1) 上减．所以函数 f (x) 在区 [1,1] 上增．所以函数 f ( x) 在区 [1,1] 上的最小 f ( 1) e 1 (2b)0 ．解得 b 2 ．然合意．（ 2）当b11，即 b0 ，f ( x)e x( x1)20 恒成立，所以函数 f ( x) 在 (,) 上增．所以函数 f (x) 在区 [ 1,1] 上增．所以函数 f ( x) 在区 [ 1,1]上的最小 f (1) e 1 (2b) 0 ．解得 b 2 ．然不符合意．（ 3）当b11，即 b0 ，令 f ( x) e x ( x1)(x b1) 0 得，x1或 x b 1 ；x1)(1) 0得，．令( ) e (f x x x b1x b 1所以函数 f (x) 在 (, 1) 和 ( b 1,) 上增，在 (1, b1) 上减．①若 b 11，即 b 2 ，函数 f ( x) 在区 [ 1,1] 上减．所以函数 f (x) 在区 [ 1,1] 上的最小 f (1)e(2b)0 ．解得 b 2 ．然合意．②若 b 11，即 2b0 ，函数 f ( x) 在在 (1,b1) 上减，在( b 1,1) 上增．此，函数 f ( x) 在区 [1,1] 上的最小 f ( b1) e b 1(b2)0 ．解得 b 2 ．然不合意．上所述， b 2 或b 2 所求．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分。
北京市朝阳区高三上学期期中考试数学理试题含答案精编版
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= .13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1nn a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.3f π==解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以230DB DB --=． 解得DB =DB =． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-+=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
朝阳区2016届高三一模数学(理)试题及标准答案(word版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2016．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N = B ．()UMN =∅C ．MN U = D ．()U M N ⊆3．>e e ab>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或(第4题图)6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13 B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r+-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r << B．0r <<C．0r << D ．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．月23415689 10 7111258(第7题图)侧视图俯视图9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=______．11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =，1212(,,,)B b b b =，则,A B两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=+，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；AMPCBA 1C 1B 1（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．3一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =1sin 2x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分 （Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+ 1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ． 解得162n ω=+．又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====；2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====； 44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分（Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1ABAA A =，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n．所以二面角P AM B --．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-， 所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-． 设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥n ． 所以10220AC λλ-⋅=--=n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aag x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e<e ax =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]aa a+=-+．设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >． 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=2c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x +=-，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=． 显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=211)(1)(x x -+-====2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…. 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4.（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ， 即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数.显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅， 即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数. 所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列，且115k c a ==，22231k c a k ==-，所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+. 只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数. 又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数， 故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分。
北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学理试题含答案
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()UAB =A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.DCA（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围. 17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长. 18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减. 19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值． 20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分） （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅． 即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ．因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以230DB DB --=． 解得DB =DB =． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠1=2-+=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立． 即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减， 当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0x f x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A是有限集．a,的最大公约数．……………14分集合A中的最小数是b。
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期期中考试数学理试题Word版含答案.doc
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U A B = ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅ 等于A ．154-B． C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= .13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数DCA列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-． （Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅． 即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =． 又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤ 所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=…………5分 （Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，24127DB DB =+-⋅⋅．所以230DB DB -=． 解得DB =DB =． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=214214-⋅+=-14．在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(2714+-⨯-=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-． （Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立． 即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减， 当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增． 所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”， 等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0x f x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=- 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10．设0x =->，则1x -=设()e x h x x =-，则()e (1)x h x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},max{21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},max{12212， 且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},max{},max{21222． 所以k k k k d c c d ≤=+++},max{12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},max{21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A是有限集．a,的最大公约数．……………14分集合A中的最小数是b。
北京市朝阳区2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O 在△ABC 的内部，且有=，记△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积分别为S △AOB ，S △BOC ，S △AOC ．若x=y=z=1，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 4：2：3 ． 【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O 是△ABC 的重心，故S △AOB =S △BOC =S △AOC ，得出答案；（2）延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，结合已知可得O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O 是△ABC 的重心，∴S △AOB =S △BOC =S △AOC =S △ABC ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =1：1：1．若2+3+4=，延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，如图所示：则，∴O 是△DEF 的重心，∴S △DOE =S △EOF =S △DOF ．∴S △AOB ==×OD ×sin ∠AOB=S △DOE ，S △BOC ==OFsin ∠BOC=S △EOF ，S △AOC ==OFsin ∠BOC=S △DOF ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =：：=4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。
2016届高三朝阳一模数学理科文科试卷与答案解析-无水印汇编
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2016.3本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i 为虚数单位，复数2i 1i=+A ．1i-B ．1i --C ．1i -+D ．1i+2．已知全集U =R ，函数l n(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =∩B ．(N)UM =∅∩C ．M N U=∩D ．UM N ⊆()3．“a b >”是“e e a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．42B ．19C ．8D ．35．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222()tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π66．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月（注“结余=收入-支出”）C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月的收入的变化率相同D ．前6个月的月平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是A ．02r <<B ．1102r <<C ．03r <<D ．1302r <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上．9．二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 的项的系数是（用数字作答）．10．已知等差数列{}n a *()n ∈N 中，11a =，47a =，则数列{}n a 的通项公式n a =；2610410n a a a a ++++⋅⋅⋅+=．11．在直角坐标系x Oy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2x t y t=-⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为．12．不等式组0290x y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥，≤，≤所表示的平面区域为D ．若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是．13．已知M 为A BC △所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在A BC △的内部（不含边界），则实数n 的取值范围是．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1212i = ，，，）项能力特征用i x 表示，01.i i x i ⎧=⎨⎩，如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为()1212A a a a = ，，，，()1212B b b b = ，，，，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为（用i a ，i b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()213sin 3cos 222x f x x ωω=+-，0ω>．⑴若1ω=，求()f x 的单调递增区间；⑵若π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的最小正周期T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．阅读名著的本数（本）12345男生人数（人）14322女生人数（人）1331⑴从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？⑵若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；⑶试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB =︒∠，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===，直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1A A 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段B C 的中点，P 为线段1B B 上的动点．⑴求证：11A C AP ⊥；⑵当点P 是线段1B B 的中点时，求二面角P AM B --的余弦值；⑶是否存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP ？如果存在，求出1B PPB 的值，若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()l n f x x a x =+，R a ∈．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵当[]12x ∈，时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；⑶试问过点()13P ，存在多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点()21P ，和椭圆22:142x y C +=．⑴设椭圆的两个焦点分别为12F F ，，试求12PF F △的周长及椭圆的离心率；⑵若直线():2200l x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A B ，，直线P A PB ，与x 轴分别交于M N ，两点，求证：P M PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的通项公式()*31N n a n n =-∈．设数列{}n b 为等比数列，且n n k b a =．⑴若112b a ==，且等比数列{}n b 的公比最小，①写出数列{}n b 的前4项；②求数列{}n k 的通项公式；⑵证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习解析1．D【解析】222i 2i(1i)2i 2i 2i 2i 11i (1i)(1i)1i 2--+====+++--，故选D 2．D【解析】∵函数l n(1)y x =-的定义域{}1M x x =>{}{}2001N x x x x x =-<=<<，又RU =∴{}C 10U N x x x =≥≤或∴M N =∅ 故A ，C 错误，()C U M N M =≠∅ ，故B 错误，()C U M N ⊆，故选D ．3．A【解析】由a b >知0a b >≥，∴e e a b>由e e a b >知a b >，但是a ，b 取负值时，a 和b 无意义．∴“a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件4．B【解析】i 1=，1S =，i 4<2113S =⨯+=，i 112=+=，i 4<；2328S =⨯+=，i 213=+=，i 4<；28319S =⨯+=，i 314=+=，i 4≥．∴19S =5．C【解析】由余弦定理知2222cos a c b ac B+-=∴()222sin tan 32cos 3cos Ba cb B ac ac B ac B+-=⇔⋅=∴3s in 2B =∴π3B =或2π3．6．D【解析】A 、B 、C 均正确D ：前6个月的平均收入为406030305060456+++++=万元．7．A【解析】三棱锥如图所示，1CD =，2BC =，CD BC ⊥且1A BCD h -=底面积11212BCDS=⨯⨯=∴11111333A BCD BCD A BCDV S h--=⋅=⨯⨯=∴选A8．C【解析】只需求圆心()01，到曲线11yx=-上的点的最短距离，取曲线上的点11aa⎛⎫⎪-⎝⎭，，1a≠距离22111d aa⎛⎫=+-⎪-⎝⎭()()()2212121211a aaa=-+-+-+--211121411a aa a⎛⎫⎛⎫=--+--+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211131aa⎛⎫=--++⎪-⎝⎭3≥所以，若圆与曲线无公共点，则03r<<．9．10【解析】521xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的每一项为()521021035551C C Crrr r r r r rx x x xx----⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭令10342r r-=⇒=∴4x的系数为25C10=．10．21n-【解析】∵11a=，47a=，∴4123a ad-==∴{}n a通项公式为()()1112121na a n d n n=+-=+-=-()()2610410241032nna a a aa a n++++++++=…()()()()232410132411342333nnn nn n++-=+=++=++．11．π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】将2C 方程2x ty t=-⎧⎨=⎩代入1C 方程得()2222t t -+=解得1t =∴1x =，1y =故极坐标为π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．12．34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】如图所示，直线()1y a x =+过点A ()10-，且该直线过图中B 点时为临界条件，并且当其斜率小于A B 斜率时均与区域D 有公共点．B 点坐标由0x y -=和290x y +-=联立得()33B ，∴()33314AB k ==--即34a ≤时均满足条件．故a 的取值范围为34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．13．304⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】法一：如图所示，点M 在ABC △内部（不含边界）则14AM AB AD ==为一临界条件，此时0n =，又M 不在边界上∴0n >．过D 点作平行于A C 的直线，并交B C 于F 点，则D F AE =，此时，A E nAC =，M 点与F 点重合，为另一临界条件．∵14AD AB =，∴34AE DF AC ==，即34n =，又M 不在边界上，∴34n <．综上，n 的取值范围为304⎛⎫ ⎪⎝⎭，．法二：根据平面基本定理，当114n +=时，M 点在直线B C 上，又点M 在A BC △内部，∴0n >，且114n +<，即34n <综上，n 的取值范围为304⎛⎫ ⎪⎝⎭，．14．11221212a b a b a b -+-++- ，22．【解析】设第三个学生为()1212C c c c = ，，，，i i i i i i i d a b b c c a =-+-+-，112i ≤≤因为i d 的奇偶性和()()()0i i i i i i a b b c c a -+-+-=一样，所以i d 为偶数．3名学生两两不同能力特征项数总和为1212s d d d =+++ 为偶数，又7321s ⨯=≥，所以22s ≥．取()011011011011A =，，，，，，，，，，，，()101101101101B =，，，，，，，，，，，，()110110110111C =，，，，，，，，，，，，则不同能力特征项数总和恰为22，所以最小值为22．15.【解析】由()1333sin cos 2222f x x x ωω=++-πsin 3x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑴当1ω=时，()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 单调增区间，只需()πππ2π2π232k x k k -+++∈Z ≤≤解得()5ππ2π2π66k x k k -++∈Z ≤≤故()f x 的单调递增区间()5ππ2π2π66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，⑵πππsin 1333f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，πππ2π332k ω+=+（k ∈Z 且0k ≥）即162kω=+由2πT ω=知，()2π0162T k k k=∈+Z ，≥则m ax 4πT =，故()f x 的最小正周期T 的最大值为4π16．【解析】⑴两名学生阅读名著本数之和为4的概率是134134712812812896+⨯+⨯==⨯⑵x 的所有可能取值为0，1，2，3，4()4448C 10C 70P X ===；()134448C C 161C 70P X ===；()224448C C 362C 70P X ===()314448C C 163C 70P X ===；()4448C 14C 70P X ===随机变量X 的分布列为：X01234P170167036701670170()11636161012347070707070E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2=⑶2212S S >17.【解析】⑴∵11A ACC 为直角梯形，∴111A C A A⊥又∵面11AA C C ⊥面11AA B B且面11AA C C 面111AA B B A A =，111A C A A ⊥∴11A C ⊥面11AA B BA P ⊂面11AAB B ∴11AC AP⊥⑵∵A C ⊥面11AA B B ，∴1A A ，A C ，A B 两两垂直，故以A 为原点，A C 为x 轴，A B 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz-设面A MP 的法向量为()n x y z =，，，3012AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()110AM =，，300200n AP y z n AM x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩∴3112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，∵1A A ⊥面ABC ．∴面ABC 的法向量为()1002A A =，，113317cos 171722A A n A A n⋅===⋅⨯故二面角P AM B --的余弦值为31717⑶存在点P ，且12B PPB =时，有1A C ∥平面A MP 证明如下：设1B P BB λ=,()000,P y z ，()()00,0,20,1,2z y λ-=-，所以(),20,2P λλ-()202AC =- ，，，()110AM = ，，，(),20,2AP λλ=-设平面A MP 的法向量为()v x y z =，，．()0220x y x z λλ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，2112v λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，又10v A C ⋅= 解得2λ=18.【解析】()ln f x x a x =+，Ra ∈⑴()f x 的定义域{}0x x >()1a x a f x x x+'=+=①当0a ≥时，()0f x '>．此时()f x 在定义域上是增函数②0a <时，令()0f x '=．则x a =-．x (0)a -，a -()a -+∞，()f x '-0+()f x 极小值综上所述当0a ≥时()f x 在(0)+∞，上是增函数；当0a <时()f x 在(0)a -，上是减函数.⑵当[1,2]x ∈时()0f x >恒成立，即l n 0x a x +>恒成立ln xa x>-()()21ln ln ln x xF x F x x x-'=-=[1,2]x ∈()0F x '<函数()F x 单调递减，()min 22,ln 2F =-2ln 2a >-⑶设过P 点与曲线相切的切点为()00x y α，则01ak x =+∴切线方程为()0000x a y y x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭将()13，代入得：()()000003ln 1x ax a x x x +-+=-整理得()000ln 20ax x a x a ⋅-++=()00ln 20aa x a x ⇒+-+=令()()ln 2ag x a x a x=+-+()211a a a g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭①当0a =时，()2g x =-不存在直线与曲线()y f x =相切②当0a >时，()g x 在()01，是减函数，在()1+∞，上是增函数且()1220g a a =--=-<，当0a >时，存在0t >使得32e 1t t t a a>+>++即(e )(e 1)20t t g a t -=-+-->恒成立此时，存在0e t x ->且0(01)x ∈，时，0()0g x >故0()(1)0g x g ⋅<∴()g x 在(01)，上有且仅有一个零点同理，存在01x >时，0()0g x >∴()g x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点∴()g x 在()0+∞，上有2个零点即直线与曲线有2条切线③当0a <时，()g x 在()01，是增函数，在()1+∞，上是减函数且()1220g a a =--=-<，此时无零点综上所述：当0a >时，过P 有2条直线与曲线相切.当0a ≤时，不存在过P 的直线与曲线相切．19.【解析】⑴由题意，在椭圆22142x y +=中，2a =，2b =，2c =．∴()120F -，，()220F ，又∵()21P ，在椭圆上．∴12PF F △的周长22422C a c =+=+．22c e a ==⑵设()11A x y ，，()22B x y ，为直线l 与椭圆相交的两点．由题意222214222402222x y m x mx my x ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩()216044m m ∆=-+>⇒∈-，1222mx x +=-21224m x x ⋅=-要证PM PN =只需证0PA PB k k +=则：121211022y y x x --+=--()()()()1221122212122222022m m x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--即()()1212222202m x x x x m ⎛⎫+-+--= ⎪⎝⎭左边22222222422m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222222244m m m m =--+-+0==右边∴无论m 为何值，P M PN =20．【解析】⑴（i ）设数列{}n b 公比为q ，则22231222k a b k q -===，于是()2*232231312k k b b q a q k -===-⋅∈N ，所以2k 为奇数，又21k ≠，则23k ≥，从而231331422k q -⨯-==≥．当4q =时，28b =，332b =，4128b =．（ii ）{}n b 是首项为2公比为4的等比数列，所以124n n b -=⋅，*n ∈N ．由13124n n n k n b a k -==-=⋅，解得12413n n k -⋅+=．⑵令31q k =+，123k =，，，取{}n b 是首项为5公比为q 的等比数列，则()1531n n b k -=⋅+．只需证明，*n ∀∈N ，存在*m ∈N ，使得31n b m =-即可．由()153131n n b k m -=⋅+=-，得()153113n k m -⋅++=，只需证明()153113n k m -⋅++=是正整数即可．2n ≥时，()()()1101111153115C C 3C 31n n n n n n k k k ------⎡⎤⋅++=++++⎣⎦()()111115C 3C 36n n n n k k ----⎡⎤=+++⎣⎦ 所以()15311n k -⋅++是3的倍数，因此()1*53113n k m -⋅++=∈N ．因此首项为5公比为()31k +的等比数列{}n b 满足要求，显然有无穷多个．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2016.3本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，{}|3A x x =≤，{}|2B x x =<，则()U B A =A ．{}|2x x ≤B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤2．已知i 为虚数单位，则复数2i 1i=+A ．1i+B ．1i -C ．1i-+D ．1i--3．已知非零平面向量a ，b，“a b a b +=- ”是“a b ⊥ ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．42B ．19C ．8D ．35．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3cos sin 0a B b A +=，则B =A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．33+B ．36+C ．123+D ．126+7．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误．．的是A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月（注“结余=收入-支出”）C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的月平均收入为40万元8．若圆()2221x y r +-=与曲线()11x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是A ．02r <<B ．1102r <<C ．03r <<D ．1302r <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.）9．已知函数()()22l og 300.x x f x x x ⎧+⎪=⎨<⎪⎩,, ,≥则()()1f f -=_________.10．已知双曲线221x y m -=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为________.11．已知递增的等差数列{}()*n a n ∈N 的首项11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式n a =；481244n a a a a +++++=．12．已知不等式组0290y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≤表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是．13．已知圆C ：()()22355x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ．若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为．14．甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜，如果从甲开始，则甲要想获胜，第一次报的数应该是．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()()π2sin cos 03f x x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．⑴求ω的值；⑵求()f x 在区间ππ62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，*n ∈N ，⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题满分13分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：阅读名著的本数（本）12345男生人数（人）31213女生人数（人）13312⑴试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；⑵若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；⑶试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面902ABC BAC AB AC ∠=︒==,, , 13A A =.M N ,分别为B C 和1C C 的中点，P 为侧棱1B B 上的动点.⑴求证：平面APM ⊥平面11BB C C ；⑵若P 为线段1B B 的中点，求证：1A N ∥平面APM ；⑶试判断直线1B C 与平面APM 是否能够垂直.若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由.19．（本小题共14分）已知椭圆22:142x y C +=的焦点分别为12F F ,.⑴求以线段12F F 为直径的圆的方程；⑵过点()40P ,任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N , .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.20．（本题满分13分）已知函数()()e xk x f x k k x+=⋅∈-R .⑴若1k =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶设0k ≤，若函数()f x 在区间()322, 上存在极值点，求k 的取值范围.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试卷答案与解析数学试卷（文史类）2016.31．D 【解析】{}|2UB x x =≥(){}|23UB A x x = ≤≤2．A 【解析】()()()()22i 1i 2i 1i 2i i i i 11i 1i 1i 2--===-=+++-3．C【解析】a b a b +=- 平方：()()22a ba b+=-∴222222a b a b a b a b++⋅=+-⋅ ∴0a b ⋅= ∴a b⊥ 4．B【解析】i 1=，1S =3S =，i 2=8S =，i 3=19S =，i 4=输出19S =5．C【解析】3cos sin 0a Bb A ⋅+⋅=3sin cos sin sin 0A B B A +⋅=∴3cos sin 0B B +=π2sin 03B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2π3B =6．B 【解析】12212PAD S =⨯⨯=△1232PAB S =⨯⨯△62=由于对称性62P CD S =△12222PBC S =⨯⨯=△。
北京十三中2016届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1204．设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．25．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年二、填空题9．在（2x﹣1）8的展开式中，含x2的项的系数是______（用数字填写答案）10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为______；渐近线方程是______．12．直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a=______．13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．其中所有真命题的序号是______．14．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是______．三、解答题15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙X X3 1求数学期望；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．（1）求抛物线的方程；（2）求证：∠ANC=∠BNC．18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）讨论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．参考公式：a logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）20．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；（2）设P（x0，y0）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．2015-2016学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，根据集合的并集可求解答案．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故选B．4．设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，∵圆心（0，0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2．故选D5．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】求出函数f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断f （x）在（0，1）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x）=ln[（1+x）（1﹣x）]，x∈（﹣1，1）；∴f（﹣x）=ln[（1﹣x）（1+x）]=f（x），∴f（x）是（﹣1，1）上的偶函数；又f（x）=ln[（1+x）（1﹣x）]=ln（1﹣x2），当x∈（0，1）时，二次函数t=1﹣x2是减函数，所以函数f（x）=ln（1﹣x2）也是减函数．故选：D．6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】函数的值．【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年【考点】函数的图象．【分析】由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y0表示原来的产值，结合图形，从而得出结论．【解答】解：由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y0表示“原来”的产值，由所给的图象可得，△y最大的是第一年到第三年，第4年到第6年，且第一年到第三年的△y 等于第4年到第6年的△y，但第一年的产值y0较小，生产总值的年平均增长率最高的是第一年到第三年，故选：A．二、填空题9．在（2x﹣1）8的展开式中，含x2的项的系数是112（用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．=（2x）8﹣r（﹣1）r=（﹣1）r28﹣r x8【解答】解：（2x﹣1）8的展开式中，通项公式T r+1﹣r，令8﹣r=2，解得r=6．∴含x2的项的系数是=112．故答案为：112．10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由得，即A（1，1），此时z的最大值为z=3×1+1=4，故答案为：411．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为x2﹣=1；渐近线方程是y=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦点（2，0）便得到c=2，而根据双曲线C的离心率即可得到，所以a=1，所以得出b2=3，这样即可得出双曲线C的方程以及渐近线方程．【解答】解：抛物线的焦点为（2，0）；∴c=2；∴根据双曲线的离心率为2得：；∴a=1，b2=3；∴双曲线C的方程为；∴其渐近线方程为y=．故答案为：，．12．直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a=﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用平行线与斜率、截距的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，∴，解得a=﹣2，故答案为：﹣2．13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．其中所有真命题的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知得出三角形的面积公式，由s的值分别解出k的值即可．【解答】解：由已知条件：函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，作出图形：可知k≠0．==．由图可知：S△OAB①当s=6时，则，解得，故符合条件的直线l有两条，故①不正确；②当s=8时，由8=，解得，故符合条件的直线l有两条，故②正确；③当s=12时，由12=，解得，，故符合条件的直线仅有3条，故③正确；④当s=20时，由20=，解的，k=，故符合条件的直线l 共有四条，故④正确． 综上可知：正确的命题为②③④． 故答案为②③④．14．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0的取值范围是 [﹣1，1] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由题意画出图形如图：点M （x 0，1）， 要使圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N ，使得∠OMN=45°， 而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值， 此时MN=1，图中只有M ′到M ″之间的区域满足MN ≤1， ∴x 0的取值范围是[﹣1，1]．三、解答题15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理“√”“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙X X（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由分层抽样的性质，能求出抽取的5人中男、女同学的人数．（2）由题意可得a=P（X=3）═，从而b=，由此能求出数学期望EX．（3）由两组数据中相对应的数字之差均为10，得到=．【解答】解：（1）由分层抽样的性质得：抽取的5人中男同学的人数为×30=3，女同学的人数为×20=2．（2）由题意可得：P（X=0）==．即a=，因为a+b++=1，所以b=．所以EX=3×+2×+1×+0×=1．（3）=．17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．（1）求抛物线的方程；（2）求证：∠ANC=∠BNC．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意，m+=2，4=2pm，求出p，即可求出抛物线的方程；（2）直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣8=0，利用韦达定理证明k AN+k BN=0，即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，m+=2，4=2pm，∴p=2，∴抛物线的方程为x2=4y；（2）证明：设直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣8，∴k AN+k BN=+==2k+=0，∴∠ANC=∠BNC．18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导数，直接利用函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求解即可．（Ⅱ）令f′（x）=0，求出极值点，①当0＜a＜1时，②当a=1时，③当a＞1时，分别判断函数的单调性求解单调区间．（Ⅲ）利用（Ⅱ）当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），判断0＜a＜1是否满足题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，推出f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，求解a的取值范围即可．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=，x∈（﹣1，+∞），由f′（3）=0⇒a=．…（Ⅱ）令f′（x）=0⇒x1=0，x2=﹣1，①当0＜a＜1时，x1＜x2，﹣1﹣∴f（x）的单调递增区间是（0，﹣1），f（x）的单调递减区间是（﹣1，0）和（﹣1，+∞）；②当a=1时，f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0﹣1∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1）和（0，+∞）．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间是（0，﹣1）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞），当a＞1，f（x）的单调递增区间是（﹣1，0）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）．当a=1时，f（x）的单调递减区间为（﹣1，+∞）．…（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意，∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1．…19．已知函数f（x）=e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）讨论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．参考公式：a logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用导数等于0，求出函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）的结论得到导函数的符号，判断g（x）的单调性，从而得出结论；（3）a=0时，显然求出，a≠0时，问题转化为y=e x和y=x2的交点个数，通过讨论a的范围结合（2），求出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=e x﹣2x（x∈R），∴f′（x）=e x﹣2；令f′（x）=0，即e x﹣2=0，解得x=ln2，∴函数f（x）的极值是f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2；（2）证明：设函数h（x）=e x﹣x2，∴h′（x）=e x﹣2x；由（1）知f（x）=e x﹣2x在x=ln2取得极小值，∴h′（x）≥f（ln2）=e ln2﹣ln2=2﹣ln2＞0，∴h（x）是R上的增函数，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=1＞0，∴e x＞x2，即x2＜e x；∴当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）a=0时，g（x）=x2，函数g（x）有1个零点，a≠0时，论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数，即讨论y=e x和y=x2的交点个数，①a＜0时，y=x2开口向下，和y=e x无交点，即函数g（x）无零点；②a＞0时，y=x2开口向上，x＜0时与y=e x1个交点，下面讨论x＞0的情况，由（2）得：≤1即a≥1时，x2＜e x；故0＜a＜1时，y=e x和y=x2有3个交点，g（x）有3个零点，a≥1时，y=e x和y=x2有1个交点，g（x）有1个零点，综上：a＜0时，函数g（x）无零点；a=0时，函数g（x）有1个零点，0＜a＜1时，g（x）有3个零点，a≥1时，g（x）有1个零点．20．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；（2）设P（x0，y0）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的性质，m＞4﹣m，4﹣m＞0，即可求得m的取值范围，求得a=m，c2=2m﹣4，由离心率公式e=，即可求得m的值，求得椭圆方程；（2）设P（x0，y0），分别求得直线F1P的斜率及直线F1Q的斜率和，由•=﹣1，代入求得，x0＞0，y0＞0，即可求得x0+y0=2，点P在直线x+y﹣2=0上．【解答】解：（1）由+=1焦点在x轴上，∴m＞4﹣m，解得：m＞2，4﹣m＞0，m＜4，∴m的取值范围（2，4）c2=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，e====，解得：m=3，∴椭圆方程为：；（2）证明：由题意可知：c2=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，设P（x0，y0），由题意可知：x0≠0，则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=，∴直线F2P的方程为：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣c，即点Q（0，﹣c），∴直线F1Q的斜率=，∵以PQ为直径的圆经过点F1，∴•=•=﹣1，化简得：=﹣（2m2﹣4），∵P为椭圆E上的一点，且在第一象限内，∴，x0＞0，y0＞0，解得：x0=，y0=2﹣a2，∴x0+y0=2，∴即点P直线x+y﹣2=0上．2016年9月30日。
2016-2017学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．?B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x ＜1，x∈R}2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．3．（5分）已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣4．（5分）设x∈R且x≠0，则“ｘ＞1”是“ｘ+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β6．（5分）已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则?等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．（5分）已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=．11．（5分）已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是．12．（5分）各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．13．（5分）已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．。
【最新经典文档】2016年北京市朝阳区高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，选出符合题目要求的一项 .
1．（ 5 分）已知集合 A={ x| x≤3，x∈R} ，B={ x| x﹣1≥0，x∈ N} ，则 A∩B=（ ）
A．{ 0，1} B．{ 0，1， 2} C．{ 2，3} D．{ 1，2，3}
18．（ 13 分）已知函数 f （x）=alnx+ ﹣（ a+1）x．
（Ⅰ）当 a＞0 时，求函数 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 a=﹣1 时，证明
．
19．（ 14 分）已知函数 f（x）=e﹣x（ax2+bx+1）（其中 e 是常数， a＞0，b∈R）， 函数 f （x）的导函数为 f ′（ x），且 f ′（﹣ 1）=0． （ 1）若 a=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 0，f （0））处的切线方程； （ 2）当 a＞ 时，若函数 f（ x）在区间 [ ﹣1，1] 上的最大值为 4e，试求 a，b 的
∵ ＜ x＜ ，∴ ＜sinx＜ ，
∴＜
＜2，
则 a≥2 故答案为： [ 2， +∞）
14．（ 5 分）如图，已知边长为 4 的正方形 ABCD，E 是 BC边上一动点（与 B、C 不重合），连结 AE，作 EF⊥ AE交∠ BCD的外角平分线于 F 设 BE=x，记 （f x）= ? ， 则函数 f（x）的值域是 （0，4] ，当△ ECF面积最大时， | | = 2 ．
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4．（5 分）给出下列命题： ①若给定命题 p： ? x∈ R，使得 x2+x﹣1＜0，则 ?p：? x∈R，均有 x2+x﹣1≥ 0；
北京朝阳区2017年高三上学期期中数学试题(理科)含解析
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x2B．y=x+1 C．y=﹣lg|x| D．y=﹣2x3．若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c4．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．5．设m∈R且m≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＞2 D．m≥26．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y= ．10．函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为．11．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．12．已知角A 为三角形的一个内角，且，则tanA= ，tan （A+）= ．13．已知函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m 的取值范围 ．14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n }（n ∈N *）是公差不为0的等差数列，a 1=1，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜1．16．已知函数f （x ）=asinx ﹣cosx （a ∈R ）的图象经过点（，0）． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若x ∈[，]，求f （x ）的取值范围．17．如图，已知A ，B ，C ，D 四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos ∠BDC=． （Ⅰ）求sin ∠DBC ；（Ⅱ）求AD ．18．已知函数f （x ）=﹣ax+cosx （a ∈R ），x ∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f （x ）是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当a ＞0时，求证：函数f （x ）在（0，）上单调递减．19．已知函数f （x ）=e x （x 2﹣a ），a ∈R ．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．20．设a，b是正奇数，数列{c n}（n∈N*）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n≥3，c n是c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数．数列{c n}中的所有项构成集合A．（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A；（Ⅱ）对k≥1，令d k=max{c2k，c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：d k+1≤d k；（Ⅲ）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x2B．y=x+1 C．y=﹣lg|x| D．y=﹣2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】选项A：y=x2在（0，+∞）上单调递增，不符合条件；选项B：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；选项C：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定y=﹣lg|x|是偶函数，x＞0时，y=﹣lg|x|=﹣lgx单调递减，故符合条件；选项D：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；【解答】解：选项A：f（x）=x2的定义域为R，又∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2，∴f（﹣x）=f （x），即f（x）是偶函数．但y=x2在（0，+∞）上单调递增，故A不正确；选项B：记f（x）=x+1，则f（1）=2，f（﹣1）=0，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=x+1是非奇非偶函数，故B不正确；选项C：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），记f（x）=﹣lg|x|，∵f（﹣x）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数当x∈（0，+∞）时，y=﹣lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴y=﹣lgx在（0，+∞）上单调递减故C正确；选项D：记f（x）=﹣2x，则f（1）=﹣，f（﹣1）=﹣2，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=﹣2x是非奇非偶函数，故D不正确．故选：C．3．若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．【解答】解：a=log2.10.6＜0，b=2.10.6＞1，0＜c=log0.50.6＜1∴b＞c＞a，故选：B．4．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2＞x1≥2，====a（x1+x2）﹣1，∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，＞0恒成立，∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立∵x2＞x1≥2∴∴a，即a的取值范围为[，+∞）故本题选D5．设m∈R且m≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＞2 D．m≥2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当m＜0时，不等式m+＞4不成立，当m＞0时，m+≥2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号，A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，C．当m＞2时，不等式m+＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件．D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，故选：C．6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．【解答】解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），2++=0，∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．又||=2||，∴||=，||=2，∴||=，∴cosC===，∴•=﹣•=﹣×2×=﹣故选：A7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，由f（x）=得x+1=，即x=﹣1=﹣，当x＞0时，由f（x）=得log2x=，即x==，由g（x）=f（f（x））﹣=0得f（f（x））=，则f（x）=﹣或f（x）=，若f（x）=﹣，此时方程f（x）=﹣有两个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是3个，故选：B8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y= ﹣4 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，y），∥，∴1×y=2×（﹣2）∴y=﹣4故答案为：﹣410．函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为．【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．【分析】由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．【解答】解：对于函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，求得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间是：．故答案为：．11．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．12．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA= ，tan（A+）= ﹣7 ．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，可得tanA的值，再利用两角和的正切公式求得tan（A+）的值．【解答】解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．∴tan（A+）===﹣7，故答案为，﹣7．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m＞1，m＜﹣1，m=±1、0，﹣1＜m＜0，0＜m＜1分别判断分段函数的单调性．【解答】解：令 h（x）=mx2+1，x≥0；g（x）=（m2﹣1）2x，x＜0；①当 m＞1时，要使得f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，即要满足m2﹣1≤1⇒﹣≤m≤故：1＜m≤；②当 m＜﹣1时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递增，所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；③当 m=±1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；④当﹣1＜m＜0 时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递减，对于任意的x≥0，g（x）＜0；当x→0时，h（x）＞0；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；⑤当0＜m＜1时，h（x）在x≥0上递增，g（x）在x＜0上递减；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，]14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第20 天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=200m+×12.5≥2×3000，化为m2+31m﹣960≥0，解得m，取m=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差；得到通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将通项公式代入，利用裂项求和证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d．因为成等比数列，所以．即．化简得，即d2=a1d．又a1=1，且d≠0，解得d=1．所以有a n=a1+（n﹣1）d=n．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得：．所以．因此，T n＜1．…16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，解得 a=1；…所以，所以f（x）最小正周期为T=2π；…（Ⅱ）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是﹣1；所以f（x）的取值范围是[﹣1，2]．…17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为，所以．由正弦定理得，．…（Ⅱ）在△BDC中，由BC2=DC2+DB2﹣2DC•DBcos∠BDC，得，．所以．解得或（舍）．由已知得∠DBC是锐角，又，所以．所以cos∠ABD=cos=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC==．在△ABD中，因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD=，所以．…18．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（Ⅰ）根据偶函数的定义，f（﹣x）=f（x）恒成立，求出a的值；（Ⅱ）利用导数大于0或小于0，判断函数f（x）是单调增函数单调减函数即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）=﹣a（﹣x）+cos（﹣x）=+ax+cosx=f（x）=﹣ax+cosx恒成立，所以a=0；…（Ⅱ）由题意可知，设，则；注意到，a＞0；由g'（x）＜0，即，解得；由g'（x）＞0，即，解得；所以g（x）在上单调递减，上单调递增；所以当，g（x）＜g（0）=0﹣a＜0，所以f（x）在单调递减，当，，所以f（x）在单调递减，所以当a＞0时，函数f（x）在上单调递减．…19．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a ≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．【解答】解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（Ⅲ）设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．②当△=4+4a ＞0，即a ＞﹣1时，令f'（x ）=e x （x 2+2x ﹣a ）=0得x 2+2x ﹣a=0，解得随着x 变化时，f （x ）和f'（x ）的变化情况如下：当x ∈时，．所以．所以f （x ）=e x（x 2﹣a ）＞0．又因为函数f （x ）的最小值为﹣2e ＜0， 所以函数f （x ）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3． 以下证明解的唯一性，仅供参考： 设因为a ＞0，所以，．设，则．设h （x ）=﹣xe x，则h'（x ）=﹣e x（x+1）．当x ＞0时，h'（x ）＜0，从而易知g （a ）为减函数． 当a ∈（0，3），g （a ）＞0；当a ∈（3，+∞），g （a ）＜0． 所以方程只有唯一解a=3．20．设a ，b 是正奇数，数列{c n }（n ∈N *）定义如下：c 1=a ，c 2=b ，对任意n ≥3，c n 是c n ﹣1+c n﹣2的最大奇约数．数列{c n }中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A ；（Ⅱ）对k≥1，令d k=max{c2k，c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：d k+1≤d k；（Ⅲ）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．【考点】集合的表示法．【分析】（Ⅰ）利用列举法写出数列{c n}，易得集合A；（Ⅱ）由题设，对n≥3，c n﹣2，c n﹣1都是奇数，所以c n﹣1+c n﹣2是偶数．从而c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数，结合不等式的性质进行解答；（Ⅲ）有限集是指元素的个数是有限个的集合，从而确定答案．【解答】解：（Ⅰ）数列{c n}为：9，15，3，9，3，3，3，…．故集合A={9，15，3}．（Ⅱ）证明：由题设，对n≥3，c n﹣2，c n﹣1都是奇数，所以c n﹣1+c n﹣2是偶数．从而c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数，所以c n≤max{c n﹣1，c n﹣2}，当且仅当c n﹣1=c n﹣2时等号成立．所以，对k≥1有c2k+1≤max{c2k，c2k﹣1}=d k，且c2k+2≤max{c2k+1，c2k}≤max{d k，d k}=d k．所以d k+1=max{c2k+2，c2k+1}≤d k，当且仅当c2k=c2k﹣1时等号成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n≥3时，有c n≤max{c n﹣1，c n﹣2}．所以对n≥3，有c n≤max{c1，c2}=max{a，b}．又c n是正奇数，且不超过max{a，b}的正奇数是有限的，所以数列{c n}中的不同项是有限的．所以集合A是有限集．集合A中的最小数是a，b的最大公约数．2016年11月25日。
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北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试
数学试卷（理工类） 2015.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则A
B =（ ）
A ．{0,1}
B ．{0,12},
C ．{2,3}
D ． {1,2,3}
2．已知(0,)α∈π，且3
cos 5
α=-
，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．4
3
-
3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-
4. 给出下列命题：
①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得2
10x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012
≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；
③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232
=+-x x 则2≠x ，
其中正确的命题序号是（ ）
A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③
5.已知函数()sin()(00)2
f x A x x A ωϕωϕπ
=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则
()f x 的解析式是（ ）
A ．()2sin()6f x x π=π+
B ．()2sin(2)6f x x π
=π+
C ．()2sin()3f x x π
=π+
D ．()2sin(2)
3f x x π
=π+
6.设p ：
21
01
x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1(0,)2
B ．1[0,)2
C ．1(0,]2
D ．1[,1)2
7.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=
3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则AN
AM ⋅的值是
A ．5
B ．
4
21
C ．6
D ．8
8.已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),
0 ,1[,2),
1 ,0[,2)(2
2x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程
()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1(,1)3
B ．11(,)34--
C ．11(,1)(1,)33--
D ．1111
(,)(,)3443--
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π
221
(),log 3,log π2
，其中最大的数是 ．
10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．
11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，
BE xAB y AD =+，则x y += ．
12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则
ϕ的最小值为 ．
13. 若函数sin ()cos a x f x x -=
在区间ππ
(,)63
上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .
F
E
D
C
B
A
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）
已知函数2()cos
2cos 222
x x x f x =-. （Ⅰ）求π
()3
f 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.
16. （本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n n
b S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.
17．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且2
1cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．
18. （本小题满分13分）
已知函数2
()ln (1)2
x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2
f x ≥.
19. （本小题满分14分）
已知函数2
()e (1)x
f x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．
(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当1
5
a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,a
b 的值．
20. （本小题满分14分）
已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合
{|}.n M a n *=∈N
（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；
（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.。