高中数学人教A版选修1-1第三章 导数及其应用 章末综合检测(人教A版选修1-1) (5)

综合检测(三)

第三章导数及其应用

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设质点M按规律s＝3t2＋5做直线运动，则质点M()

A．在t＝1时的瞬时速度为11

B．在t＝2时的瞬时速度为12

C．在t＝3时的瞬时速度为13

D．在t＝4时的瞬时速度为17

【解析】瞬时速度v＝s′＝6t，当t＝2时，s′(2)＝12

【答案】 B

2．(2013·临沂高二检测)已知p：函数y＝f(x)的导函数是常函数；q：函数y ＝f(x)是一次函数，则p是q的()条件．

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既不充分也不必要

【解析】p q，因为当f(x)是常函数时，其导函数也为常函数；q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

【答案】 B

3．函数y＝x2cos x的导数为()

A．y′＝2x cos x－x2sin x B．y′＝2x cos x＋x2sin x

C．y′＝x2cos x－2x sin x D．y′＝x cos x－x2sin x

【解析】f′(x)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x.

【答案】 A

4．函数y＝3x－x3的单调递增区间是()

A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)

C．(－1,1) D．(1，＋∞)

【解析】y′＝3－3x2，令y′＞0得x∈(－1,1)

【答案】 C

5．(2013·济宁高二检测)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,3)

C ．(1,0)

D ．(－1,0)

【解析】 f ′(x )＝4x 3－1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 30－1＝3. ∴x 0＝1，y 0＝f (1)＝1－1＝0，∴点P 的坐标为(1,0)． 【答案】 C

6．(2013·烟台高二检测)三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )

A ．m ＜0

B ．m ＜1

C ．m ≤0

D ．m ≤1

【解析】 f ′(x )＝3mx 2－1，由题意f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以⎩⎨⎧

m ＜0Δ＝12m ≤0

，∴m ＜0. 【答案】 A

7．已知函数f (x )在定义域R 上是增函数，且f (x )＜0，则g (x )＝x 2f (x )的单调情况一定是( )

A ．在(－∞，0)上递增

B ．在(－∞，0)上递减

C ．在R 上递减

D ．在R 上递增

【解析】 g ′(x )＝2x ·f (x )＋x 2f ′(x )， 由于f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )＞0， 又f (x )＜0，∴当x ＜0时，g ′(x )＞0. ∴g (x )在(－∞，0)上递增． 【答案】 A

8．设函数f (x )＝2x ＋1

x －1(x ＜0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数

D ．是减函数

【解析】 f ′(x )＝2－1x 2＝2x 2

－1

x 2

，方程f ′(x )＝0在x ＜0内有解，当x ＝

－

22时，f ′(x )＝0，当x ＜－22时，f ′(x )＞0；当－2

2

＜x ＜0时，f ′(x )＜0；故f (x )在x ＝－

2

2

时有极大值，也是最大值． 【答案】 A

9．(2013·天津高二检测)下列图象中，有一个是函数f (x )＝1

3x 3＋ax 2＋(a 2－

1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为( )

(1) (2) (3)

图1

A.13 B ．－13

C.73

D ．－13或53

【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，其图象开口向上，故不是图(1)，在图(2)中，a ＝0，f ′(x )＝x 2－1，但已知a ≠0，故f ′(x )的图象应为图(3)，∴f ′(0)＝0，∴a ＝±1，又其对称轴在y 轴右侧，故a ＝－1，∴f (x )＝13x 3

－x 2＋1，∴f (－

1)＝－13

.

【答案】 B

10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系Q ＝8300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )

A ．30元

B ．60元

C ．28000元

D ．23000元

【解析】 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝PQ －20Q ＝Q (P －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或－130(舍)．此时L (30)＝23000，因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0.所以L (30)是极大值也是最大值．