CH2牛顿运动定律

r T′
r f1
M
r 运动， 设绳子以垂直加速度 a 运动，绳子
质量线密度为 λ， 则其上任一小段 ∆ l 满足下列方程
r T(l + ∆l)
r a
•
∆l
P
T (l + ∆l) −T(l) −λ g∆l =λ ∆ la
由方程看出：一般情况下， 由方程看出：一般情况下，绳子上 各处的张力大小是不相等的， 各处的张力大小是不相等的，但在 绳子的质量可以忽略不计时， 绳子的质量可以忽略不计时，绳子 上各处的张力相等。 上各处的张力相等。
f ∝v
3
3. 动力学方程的含义
v v dv ∑Fi = m dt
4. 牛顿运动定律的适用范围
v ∑Fi
v dv = m dt
物体受“ 已知，则运“ 情况可预知。 物体受“力”已知，则运“动”情况可预知。
惯性系; (牛顿定律适用的参考系叫惯性系 惯性系; 牛顿定律适用的参考系叫惯性系) 牛顿定律适用的参考系叫惯性系 运动; 低速（v< 106 m/s ) 运动; 宏观物体。 宏观物体。
f = bv
(2) 当物体穿过流体的速率超过某限度时（低于声速），流 当物体穿过流体的速率超过某限度时（低于声速）， ），流 体出现旋涡，这时流体阻力与物体速率的平方成正比。 体出现旋涡，这时流体阻力与物体速率的平方成正比。
f = cv2
(3) 当物体与流体的相对速度提高到接近空气中的声速时， 当物体与流体的相对速度提高到接近空气中的声速时， 这时流体阻力将迅速增大。 这时流体阻力将迅速增大。
dv dv = −g −α v2 解 f = −m(g +α v ) = m dt dt dv dv dy dv 1 d(v2 ) = = v = −g −α v2 dt dy dt dy 2 dy y d(v2 ) 1 d(g +αv2 ) = = −2dy 2 2 (g +αv ) α (g +αv ) H H 1 0 2 v0 d(ln(g +α v )) = −2 dy
v 2v v v v v dv d r 2 2 = − 2r ω 解 a= = 2 = −Aω cosωt i − Bω sin ωt j dt dt v v 2 v F = ma = −ω mr 二 . 积分问题 v 求运动状态。 已知质点受到的合力 F ，求运动状态。
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； 确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图） 隔离物体，画受力图） 2）取坐标系； 取坐标系； 3）列方程（一般用分量式）； 列方程（一般用分量式）； 4）利用其它的约束条件列补充方程； 利用其它的约束条件列补充方程； 5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果. 先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
Mm P = G 2 (1− 0.0035cos2 ϕ) R
(2) 弹性力
无形变， 无形变，无弹性力
•
当两宏观物体有接触且发生微小形变 当两宏观物体有接触且发生微小形变 时，形变的物体对与它接触的物体会 产生力的作用，这种力叫弹性力 产生力的作用，这种力叫弹性力 。 在形变不超过一定限度内， 在形变不超过一定限度内，弹簧的弹 遵从胡克定律 性力 遵从胡克定律
l
(l − y)2g =v2
N = 3ρg(l − y)
v2 − yg = 2(l − y)g − yg
例 以初速度 0 竖直向上抛出一质量为 的小球，小球除受 以初速度v 竖直向上抛出一质量为m 的小球， 重力外，还受一个大小为αmv 2 的粘滞阻力。 的粘滞阻力。 重力外，还受一个大小为 求 小球上升的最大高度。 小球上升的最大高度。
③物体运动时的流体阻力 当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力， 当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力，该阻力 与运动物体速度方向相反，大小随速度变化。 与运动物体速度方向相反，大小随速度变化。 (1) 当物体速度不太大时，流体为层流，阻力主要由流体的 当物体速度不太大时，流体为层流， 粘滞性产生。这时流体阻力与物体速率成正比。 粘滞性产生。这时流体阻力与物体速率成正比。
2 0
向上运动， 例 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 v0 向上运动，从 水平力的作用， 时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常 量，粒子质量为 m 。 粒子的运动轨迹。 求 粒子的运动轨迹。 解 水平方向有
y
Fx = F t = max 0
v v0
m
o
v F(t)
λ∆lg
r T(l)
r T
N
r f2
(3) 摩擦力
① 静摩擦力 当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止， 当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有 彼此之间保持相对静止 相对运动趋势时， 相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋 势的力，称为静摩擦力 静摩擦力。 势的力，称为静摩擦力。 说明 静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。 静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大 静摩擦力为 fmax=µ0 N ( µ0 为最大静摩擦系数，N 为正压力 为最大静摩擦系数， 为正压力) ②滑动摩擦力 两物体相互接触，并有相对滑动时， 两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力 滑动摩擦力。 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。 为滑动摩擦系数) f =µ N ( µ 为滑动摩擦系数
d2x ∑Fix = m dt2
d2 y ∑Fiy = m dt2
d2z ∑Fiz = mdt2
• 自然坐标下
v2 1 ds 2 ∑Fn = man = m ρ = m ρ (dt ) dv d2s ∑Fτ = maτ = m dt = mdt2
（3） 牛顿第三定律 ）
v v 当物体 A 以力 F 作用于物体 B 时，物体 B 也同时以力 F′ v v 总是大小相等，方向相反， 作用于物体 A 上， F 和 F′ 总是大小相等，方向相反，
如图所示，一质点m 旁边放一长度为L 质量为M 的杆， 例 如图所示，一质点 旁边放一长度为 、质量为 的杆， 杆离质点近端距离为l 杆离质点近端距离为 。
x
dx M L dM = λ dx x
质点与质量元间的万有引力大小为
杆与质点间的万有引力大小为
l +L l +L
mdM mMdx df = G 2 = G x Lx2
2.2 牛顿运动定律的应用
与质点运动学相似，质点动力学问题大体可分为两类问题。 与质点运动学相似，质点动力学问题大体可分为两类问题。
一. 微分问题
v 已知运动状态， 已知运动状态，求质点受到的合力 F
v v v r = Acosωt i + Bsinωt j
例 已知一物体的质量为 m , 运动方程为 求 物体受到的力
r
m 1
r F 12
r 0
r F21
m2
质量为 m1、m2 ，相距为 r 的两质点间的万有引 力大小为
m m2 F = G 12 r
用矢量表示为
G = 6.67×10 m ⋅ kg ⋅ s
3
−11
−1
−2
r m m2 1 F21 = −G 2 r0 r
m 该系统的万有引力大小。 求 该系统的万有引力大小。 o 2 解 F = GmM l ? l
v Mm v 以地心为坐标原点， 解 以地心为坐标原点，物体受万有引力 F = −G r 2 0 r Mm 2 在地面附近有 G GM = gR = mg 2 R 2 Rm dv dv R2 可得： 可得： − g 2 = ma = m = −g 2 r dt dt r dv dv dr dv R2 = =v = −g 2 dt dr dt dr r
• •
惯性 —— 质点不受力时保持静止或匀速直线运动状 态的的性质,其大小用质量量度。 态的的性质,其大小用质量量度。 力 —— 使质点改变运动状态的原因
质点处于静止或匀速直线运动状态时： 质点处于静止或匀速直线运动状态时：
v ∑Fi = 0
( 静力学基本方程 )
（2） 牛顿第二定律
某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上 所有力的合力。 所有力的合力。
∫
v
0
dr vdv = −gR ∫ 2 2R r
2 r
2gR v = − gR r
2
2
2gR2 v= − gR r
r =R
v = gR
例 一柔软绳长 l ，线密度 ρ，一端着地开始自由下落. 一端着地开始自由下落. 求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？ 时刻，给地面的压力为多少？ 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图） 解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）. 取整个绳为研究对象 设压力为 N y dp p = ρyv N − ρgl = = p & dt dv dy d( yv) = −g =v N = ρgl + ρ dt dt dt y d( yv) dy dv 2 = v+ y = v − yg O dt dt dt
F − mg cosθ = man T − mg sin θ = mat FT − mg cosθ = mv2 / l
0
o
v v FT e
θ
v v
v et
n
v v 0 mg
∫
v
v0
vdv = −gl ∫ sinθdθ
0
θ
v = v + 2lg(cosθ −1) 2 v0 FT = m( − 2g + 3g cosθ ) l
v v d(mv) ∑Fi ∝ dt
v v d(mv) ∑Fi = k dt
取适当的单位， 取适当的单位，使 k =1 ，则有