高三数学 概率与统计

x，则样本方差为s2
1 n [(x1
x)2
(x2
x)2
( xn
x)2 ]，
标准差为s
1 n
[( x1
x)2
( x2
x)2
...
( xn
x)2
].
考点1 概念应用题
例1.在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平， 设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音， 其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”．
1 现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试
者从这10张卡片中随机抽取1张，测试后放回，余下 两位的测试，也按同样的方法进行．求这三位被测 试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；
2 若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，
求这3张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少 于2张的概率．
1 独立重复试验的定义：在相同条件下进行的各
次之间相互独立的一种试验．
2 独立重复试验的概率：在n次独立重复试验中，
如果事件A在1次试验中发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率
Pn k CPk 1 Pnk ，此式为二项式 1 P Pn
展开式的第k 1项．
5．抽样方法
件A包含m个结果，那么事件A的概率P A m .
n
2．互斥事件的有关概念
1 互斥事件的定义：不可能同时发生的两个事件． 若A与B为互斥事件，有P A B P A P B． 2 彼此互斥：一般地，如果事件A1，A2，，An中的
任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，，An 彼此互斥，其概率计算公式P( A1 A2 An )
P A1 P A2 P An ． 3 对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有
一个发生，那么这样的两个互斥事件叫做对立事件．记
A的对立事件为P( A)，P( A A) 1，即P( A) 1 P A．
3．相互独立事件同时发生的概率
1 相互独立事件的定义：事件A(或B)是否发生
对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两 个事件叫做相互独立事件．若A与B是相互独立 事件，则A与，与B，A与也相互独立．
分析：第1小题首先确定每位测试者抽到一张
带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概
率公式计算；第 2 利用等可能事件与互斥事件
的概率公式计算．
解析：1每次测试中，被测试者从10张卡片中
随机抽取1张卡片上拼音带有后鼻音“g”的概 率为 3 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张
10 卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为
1 120
11 . 60
【思维启迪】本题主要考查等可能事件、互 斥事件、相互独立事件的概率．解答题注意
不要混淆了互斥事件与相互独立事件．第 2
小题的解答根据是“不少于”将事件分成了 两个等可能事件，同时也可以利用事件的互 斥事件进行计算．
变式题：某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两 种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率
3 3 3 27 . 10 10 10 1000
解析：2设Ai i 1,2,3表示所抽取的3张卡片中，
恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相
应的概率为P Ai ，则P A2
C71C32 C130
7， 40
P A3
C33 C130
1. 120
因而所求概率为
P
A2
A3
P
A2
P
A3
7 40
1简单随机抽样：当一些总体个数不太大时，常
采用抽签法抽取样本；在大规模社会调查中总体 个数常常数以千计万计，要编号、制作号签等工 作量在不易操作时常采用随机数表法． 用随机数表法抽样的步骤：①将总体中的个体编号； ②选定开始的数字；③获取样本号码． 学习简单随机抽样应注意以下三点：①它要求被抽 取样本的总体的个数有限；②从总体中逐个地进行 抽取；③是一种不放回式抽样．
①确定分组的组数，其方法是最大数据与最小
数据之差除以组距得组数；②计算每组的频数
与频率，其中频率
频数 ； 样本容易
③画频率分布直方图．
7．总体期望值和方差的估计
1 平均数的计算：n个数据x1，x2，，xn的平均数
x
1 n
( x1
x2
xn
)．
2 方差的计算：样本n个数据x1，x2，，xn的平均数为
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．等可能性事件
1 等可能性事件的定义：如果一次试验中可能出现
的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等， 那么每个基本事件的概率都是 1，这种事件叫做
n 等可能性事件．
2 等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现
的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事
2 两个相互独立事件同时发生的概率： P(A B) P A P B． 3 n个相互独立事件同时发生的概率：如果事件
A1，A2，，An相互独立，那么这n个事件同时发生 的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
P( A1 A2 An ) P A1 P A2 P An ．
4．独立重复试验的概念及计算
4 5
.
1至少有1株成活的概率为
1 P( A1 A2 B1 B2 ) 1 P( A1) P( A2 ) wenku.baidu.comP(B1) P(B2 ) 1 (1)2 (1)2 899 .
6 5 900
2 由独立重复试验中事件发生的概率公式知，
两种大树各成活1株的概率为
P
C12
5 6
C12
4 5
1 5
分别为 5 和 4，且各株大树是否成活互不影响． 65
求移栽的4株大树中：
1至少有1株成活的概率； 2 两种大树各成活1株的概率．
解析：设Ak 表示第k株甲种大树成活，k 1, 2；
设Bl表示第l株乙种大树成活，l 1, 2，
则A1，A2，B1，B2独立，
且P
A1
P
A2
5，P 6
B1
P
B2
2 分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分
组成时，常采用分层抽样．分层抽样方法须注 意两点：①分层抽样要将相近一类归入一层， 不同类归入不同层；②在分层抽样过程中，在 对每一层的抽样时也采用的简单随机抽样． 步骤：①分层；②按比例确定每层抽取个体的 个数；③各层抽样；④汇合成样本．
6．总体分布的估计频率分布直方图画法：
10 36
8 25
4. 45
考点2 总体分布的估计
例2.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1, 2,3, 4, 5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的 次数如下表：