高三数学 概率与统计
高三数学选修2-3(B版)_专题提升：概率与统计
概率与统计高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A 级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.重难点：1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件A 的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件．2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程.考点1、抽样方法【例1】某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本. 已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．【方法技巧】分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，按各部分在总体中所占的比实施抽样，据“每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等”列式计算；在实际中这种有差异的抽样比其他两类抽样要多的多，所以分层抽样有较大的应用空间，应引起我们的高度重视．【变式探究】某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m＝________.【解析】(500＋400＋200)×0.2＝220.【答案】220考点2、用样本估计总体【例2】(2013·重庆卷改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________．【解析】由茎叶图及已知得x＝5，又因9＋15＋10＋y＋18＋245＝16.8，所以y＝8.【答案】5,8【方法技巧】由于数据过大，直接计算会引起计算错误，故要学会像解析中介绍的两种方法那样尽量简化计算；同时要理解茎叶图的特点，能够从茎叶图获取原始数据．【变式探究】某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10)，[10,20)，…，[80,90)，[90,100])．则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为______ .【例3】袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率．解(1)记“3只全是红球”为事件A.从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3×3×3＝27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为P(A)＝1 27.(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A＋B＋C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由红、黄、白球个数一样，故不难得P(B)＝P(C)＝P(A)＝127，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 9.(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件D为“3只颜色全相同”，显然事件D与D是对立事件．∴P(D)＝1－P(D)＝1－19＝89.【方法技巧】在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解；对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解．【训练3】(2013·陕西卷改编)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．考点预测：1．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．2．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为________．3．某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为________．【解析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．5．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为________．6．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．【解析】平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16[(－4)2＋(－1)2＋02＋02＋22＋32)]＝5.【答案】58．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．【解析】总的取法是4组，能构成等差数列的有{2,3,4}，{2,4,6} 2组；故所求概率为P ＝24＝12.【答案】129．设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个数x ，使f (x )＜0的概率为________．10．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．11．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．12．从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃8”，事件B 为“抽得为黑桃”，则事件“A ＋B ”的概率值是________(结果用最简分数表示)．13．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．【解析】由题意得到的P (m ，n )有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共计6个；在圆x 2＋y 2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.【答案】13 14．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是________．。
人教版高三数学必修四概率与统计
人教版高三数学必修四概率与统计概率与统计在人教版高三数学必修四中扮演着重要的角色。
本文将以概率与统计为主题，探讨其在数学学科中的基本概念、相关公式和应用实例。
一、概率的基本概念与性质概率是指某个事件在一次试验中发生的可能性。
在高三数学必修四中，我们学习了概率的基本概念与性质，包括样本空间、事件、概率的定义、概率的性质等。
样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合，而事件则是样本空间的一个子集。
概率的定义是指事件发生的可能性与试验总结果数之间的比值。
我们学习了以下几个概率的性质：非负性、规范性、可列可加性和独立性。
其中，非负性指概率值始终大于等于零；规范性指全样本空间的概率为1；可列可加性是指两个互斥事件的概率和等于两个事件概率之和；独立性则是指两个事件的概率乘积等于它们各自的概率之积。
二、概率计算方法本节将介绍一些常见的概率计算方法，包括等可能概型、几何概型和条件概率。
1. 等可能概型等可能概型即指各个基本事件发生的概率相等的情况。
例如，抛一枚公正的硬币，正面和反面的概率都是1/2。
2. 几何概型几何概型指的是几何形状与概率计算的关系。
例如，求一个随机点在单位正方形内的概率，可以通过计算落入正方形内的点的数量与总点数之比来求解。
3. 条件概率条件概率是指在一定条件下某事件发生的概率。
例如，在已知某人感染某种疾病的情况下，进一步计算其患者的概率。
三、统计的基本概念与方法统计是数学学科中另一个重要的分支，主要包括描述性统计和推断性统计两个方面。
本节将以人教版高三数学必修四的内容为基础，介绍统计的基本概念与方法。
1. 描述性统计描述性统计是指通过数据收集、可视化和数据分析等方法对数据进行汇总和描述的过程。
其中包括数据的集中趋势、离散程度和数据分布等指标。
例如，平均数、中位数、众数和标准差等。
2. 推断性统计推断性统计是指通过收集一部分数据，然后根据这些数据对总体进行推断的方法。
其中包括参数估计和假设检验两个方面。
人教版高中数学高三复习《概率与统计专题》
2 x 27，s 35.
s表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度 离散程度的量． s越小，表示长得越整齐， s越大，表示长得越参差不齐．
17
考点3 线性相关分析
例3 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽量之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12 月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种 子中的发芽数，得到如下资料：
作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到 一些数据：
26
10
x 24.5，y 171.5， (xi x)( yi y) 557.5， i 1 10
(xi x )2 82.5.
i 1
刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每 个脚印长是26.5 cm，请你估计案发嫌疑人的身高
专题 概率与 统计
考点1 三种抽样方法与概率分布直方图
例1 1有一个容量为200的样本，其频率分
布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，
样本数据落在区间10,12内的频数为( )
A．18
B．36
C．54
D．72
2
2 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有
150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分 层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调 查，应在丙专业抽取的学生人数为 ________．
600
7
解析 ：成绩小于60分的频率为0.002 0.006 0.01210
0.2，所以30000.2 600.
8
考点2 茎叶图与特征数
例2某赛季，甲、乙两名篮球运动员都 参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示 的茎叶图表示：
1 求甲、乙两名运动员得分的中位数； 2 你认为哪位运动员的成绩更稳定？ 3 如果从甲、乙两位运动员的7场得
高中数学：概率统计专题
高三文科数学：概率与统计专题一、选择题：1．为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量单位：kg分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1,x2,…,x n的平均数B．x1,x2,…,x n的标准差C．x1,x2,…,x n的最大值D．x1,x2,…,x n的中位数2．有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．343、在一组样本数据x1,y1,x2,y2,…,x n,y n n≥2,x1,x2,…,x n不全相等的散点图中,若所有样本点x i,y i i=1,2,…,n都在直线y=错误!x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为A－1 B0 C错误! D14.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为A103 B15C110D1205．如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,学科&网则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π46.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是二、填空题：7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______;8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.9．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,制作了对照表： 由表中数据得回归直线方程错误!＝错误!x ＋错误!中的错误!＝－2,预测当气温为－4 ℃时,用电量约为________度． 三、解答题10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售;如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理;Ⅰ若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y 单位：元关于当天需求量n 单位：枝,n ∈N 的函数解析式;Ⅱ花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝,整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数102016161513101假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润单位：元的平均数；气温℃ 18 13 10 －1 用电量度243438642若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率;11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表：质量指标值75,85 85,95 95,105 105,115 115,125 分组频数 6 26 38 22 8 I在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：II估计这种产品质量指标值的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；III根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定12. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y单位：千元的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y1求y关于t的线性回归方程；2利用1中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：错误!＝错误!,错误!＝错误!－错误!错误!.13．某省会城市地铁将于2017年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的收入与态度如下：1若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少结果保留2位小数；2由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K2＝错误!14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸单位：cm ．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s==≈,18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅．1求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．ⅰ从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查ⅱ在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．精确到附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑,0.09≈．。
_新教材高中数学第五章统计与概率
5．1.1 数据的收集【课程标准】(1)获取数据的基本途径及相关概念：①知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等．②了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性．(2)抽样：①简单随机抽样通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法．会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系．②分层随机抽样通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．③抽样方法的选择在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一总体与样本所考察问题涉及的对象全体是________，总体中每个对象都是________，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是________容量．知识点二简单随机抽样1．简单随机抽样的意义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体．简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础．通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法．2．简单随机抽样的分类简单随机抽样{____________________状元随笔 (1)对总体、个体、样本、样本容量的认识总体：统计中所考察对象的全体叫做总体．个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．样本：从总体中抽取的一部分个体叫做样本．样本容量：样本的个体的数目叫做样本容量．(2)简单随机抽样必须具备的几个特点①被抽取样本的总体中的个体数N 是有限的．②抽取的样本个体数n 小于或等于总体中的个体数N.③样本中的每个个体都是逐个不放回抽取的．④每个个体入样的可能性均为n N .3．随机数表法进行简单随机抽样的步骤状元随笔 用随机数表法进行简单随机抽样的规则(1)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．(2)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止．知识点三分层抽样1．分层抽样的定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称分层抽样)注意：分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．2．分层抽样的步骤：(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分．(2)按比例确定每层抽取个体的个数．(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取．(4)综合每层抽样，组成样本．状元随笔应用分层抽样法的前提条件①总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．②每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取．③分层抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目．基础自测1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生的成绩单进行调查．就这个问题来说，下面说法正确的是( )A．1000名学生是总体B．每名学生是个体C．100名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是1002．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )A．抽签法 B．简单随机抽样法C．分层抽样法D．随机数表法3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( ) A．100B．150C．200D．2504．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 简单随机抽样的概念[经典例题]例1 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；(3)某社区组织100名党员研读《十九大报告》，学习十九大精神；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出7个号签．方法归纳简单随机抽样的四个特征跟踪训练1 下列抽样方式是否是简单随机抽样？(1)在某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格；(2)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．题型2 简单随机抽样的应用[经典例题]例2 (1)要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程；(2)某车间工人加工了一批零件共40件．为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数表法抽取样本，写出抽样步骤．状元随笔(1)总体中的个体数有限，可以采用简单易行的抽签法，按照抽签法的步骤进行即可．抽签法：按照抽签法的步骤：“编号，制号签，搅拌均匀，随机抽取，得号码”进行．→→方法归纳(1)抽签法的优点：简单易行．当总体的个数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．缺点：仅适用于个体数较少的总体．当总体容量非常大时，费时费力又不方便．况且，如果号签搅拌不均匀，可能导致抽样不公平．(2)在随机数表法抽样的过程中要注意：①编号要求位数相同，读数时应结合编号特点进行读取，如：编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．②第一个数字的抽取是随机的．③读数的方向是任意的，且事先定好．跟踪训练2 (1)第十三届中国(徐州)国际园林博览会于2021年9月开幕．为做好徐州园博园运营管理工作，2022年春节期间，还需要从30名大学生中随机抽取8人作为志愿者，请写出抽取样本的过程；(2)有一批机器，编号为1，2，3，…，112.请用随机数法抽取10台入样，写出抽样过程．题型3 分层抽样的概念及计算[经典例题]例3 (1)某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是( )A ．抽签法B ．简单随机抽样C ．分层抽样D ．随机数表法(2)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．状元随笔 (1)有明显差异用分层抽样．→方法归纳(1)各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．(2)分层抽样中有关抽样比的计算方法对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解： ①样本容量n总体容量N ＝该层抽取的个体数该层的个体数；②总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．跟踪训练3 (1)某市有四所重点大学，为了解该市大学生的课外书籍阅读情况，采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距)( )A ．抽签法B ．随机数表法C．简单随机法D．分层抽样法(2)某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康情况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查．这种抽样方法是 ( ) 关键看是否有明显差异A．简单随机法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法(3)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．题型4 分层抽样的概念及应用例4 某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．状元随笔由题知有明显差异，利用分层抽样抽样．(1)分多少层．(2)比例是多少．(3)每层抽多少．方法归纳(1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．(2)每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取.这样抽取能使所得到的样本结的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝样本容量总体容量构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．跟踪训练4 在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．第五章 统计与概率5．1 统计5．1.1 数据的收集新知初探·自主学习知识点一总体 个体 样本知识点二2．抽签法 随机数表法3．编号 任意 规则 编号[基础自测]1．解析：由随机抽样的基本概念可得，选D.答案：D2．解析：总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样．答案：C3．解析：方法一：由题意可得70n−70＝3 5001 500，解得n ＝100，故选A. 方法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3500＋1500＝5000，故n ＝5000×150＝100.答案：A4．解析：先求抽样比n N ＝903 600+5 400+1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×1120＝30(人)，乙校抽取5400×1120＝45(人)，丙校抽取1800×1120＝15(人)，故选B. 答案：B课堂探究·素养提升例 1 【解析】 (1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取．(3)不是简单随机抽样，因为这100名党员是挑选出来的，该社区每个人被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求．(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．跟踪训练1 解析：由简单随机抽样的特点可知，(1)(2)均不是简单随机抽样．(1)总体个数不是有限的．(2)不符合“等可能性”的要求．例2 【解析】(1)利用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1，2， (30)②将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；④从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．(2)抽样步骤是：第一步，先将40件零件编号，可以编号为00，01，02，…，38，39.第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，例如从教材附表的随机数表中的第8行第9列的数0开始．为便于说明，我们将随机数表中的第6行到第10行分别摘录如下：6606574717 3407276850 3669736170 6581339885 11199291708105010805 4557182405 3530342814 8879907439 23403097328326977602 020******* 6855574818 7305385247 18623885796357332135 0532547048 9055857518 2846828709 83401256247379645753 0352964778 3580834282 6093520344 3527388435第三步，从选定的数0开始向右读下去，得一个两位数字号码02，将它取出；继续向右读，得到02，由于前面已经取出，将它去掉；继续下去，去掉重复的号码，又得到05，16，18，38，33，21，35，32，28.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是02，05，16，18，38，33，21，35，32，28.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体．跟踪训练2 解析：(1)抽样过程如下：第一步，先将30名大学生进行编号，从1到30.第二步，将编号写在形状、大小相同的号签上．第三步，将号签放到一个不透明的盒子中搅拌均匀，然后从盒子中逐个抽取8个号签．第四步，将与号签上的编号对应的大学生抽出，即得样本．(2)方法一：第一步，将原来的编号调整为001，002，003， (112)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第14行第7个数“0”，向右读．第三步，从“0”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到020，086，013，110，089，021，080，098，027，002.第四步，对应原来编号为20，86，13，110，89，21，80，98，27，2的机器便是要抽取的对象．方法二：第一步，将原来的编号调整为101，102，103， (212)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第9行第7个数“1”，向右读．第三步，从“1”开始，向右读，每次读取三位，凡不在101～212中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到173，119，170，187，186，125，140，109，184，178.第四步，对应原来编号为73，19，70，87，86，25，40，9，84，78的机器便是要抽取的对象．例3 【解析】 (1)各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．(2)依据题意，可得抽样比为100200+400+1 400＝120，故应抽取中型超市400×120＝20(家)．【答案】 (1)C (2)20跟踪训练3 解析：(1)因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大，因此采取分层抽样．(2)总体中个体差异比较明显40800＝30600＝120，且抽取的比例也符合分层抽样．(3)设该单位老年职工人数为x ，由题意得3x ＝430－160，解得x ＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18.答案：(1)D (2)D (3)18例4 【解析】 采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．第二步，确定抽样比．样本容量n ＝60，总体容量N ＝12000，故抽样比k ＝n N ＝6012 000＝1200.第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2400×1200＝12(人)，在西城区抽取4600×1200＝23(人)，在南城区抽取3800×1200＝19(人)，在北城区抽取1200×1200＝6(人)．第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．跟踪训练4 解析：先将产品按等级分成三层；第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为30100＝310，所以应在第一层中抽取产品20×310＝6(个)，在第二层中抽取产品30×310＝9(个)，在第三层中抽取产品50×3＝15(个)．分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法10在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．。
高三数学《概率统计(文科)》练习
文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频 数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年 份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁） 频数 频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。
高考数学专题《概率与统计》解读含答案解析
重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。
概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。
取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。
解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。
新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
高中数学《概率与统计初步》
1．满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样称为随机抽样．共有三种经常采用的随机抽样方法： 简单随机抽样；系统抽样（适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样）； 分层抽样（总体由有明显差别的几部分组成）． 2．一般地，设样本的元素为1x ，2x ，…，n x ，样本的平均数12nx x x x n++=，样本方差222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，方差正的平方根称为标准差s ．<教师备案>本讲分成两小节，第一节是统计，第二节是概率初步，各三道例题．例1涉及到随机抽样、频率分布直方图；例2是茎叶图的题，以及利用茎叶图求数据或比较数据的均值与方差，这是统计这一块的热点．例3是样本数据的数字特征．本节没有涉及到线性回归的内容，这部分内容考查非常少，可以结合知识点提及一下即可．尖子班学案1知识结构图14.1统计经典精讲知识网络第14讲概率 与统计初步【铺1】 ⑴（2012东城二模文11）将容量为n 的样本中的数据分成6组．若第一组至第六组数据的频率之比为234641∶∶∶∶∶，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 ． ⑵（2012西城一模文10）某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[)13,14，[)14,15，[)15,16，[)16,17，[]17,18，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[]16,18的学生人数是_____．【解析】 ⑴ 60⑵ 54考点：随机抽样、频率分布直方图 【例1】 ⑴（2012四川文3）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A ．101B ．808C ．1212D ．2012⑵ 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1~5号，6~10号…，196~200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 ．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人．⑶ 某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96106]，，样本数据分组为[)9698，，[)98100，，[)100102，，[)102104，，[104106]，．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）A ．90B ．75C ．60D ．4550%20%30%40岁以下40—50岁50岁以上10610410210098960.1500.1250.1000.0750.050频率组距克 第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴ B⑵ 3720， ⑶ A目标班学案1【拓2】 ⑴（2010朝阳二模文5）某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）一年级 二年级 三年级女生 385 a bA ．24⑵ 一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2,,99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3,,10．现用某种抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同．若6m =，则在第7组中抽取的号码是___________．【解析】 ⑴ C⑵ 63考点：茎叶图、样本数据的数字特征 【例2】 ⑴（2010福建文9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92 ⑵（2010宣武二模文6）随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（ ）A ．甲班同学身高的方差较大B ．甲班同学身高的平均值较大C ．甲班同学身高的中位数较大D ．甲班同学身高在175以上的人数较多 ⑶ 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是 ．【解析】 ⑴ A⑵ A ⑶ 1考点：均值与方差【例3】 ⑴ 样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A B ．65C D ．2⑵ 甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表：8997314026乙班甲班9885288329863001991215161718作 品 Ax 4123299988123,,x x x 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则123,,x x x 的大小关系为 ；123,,s s s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则123,,s s s 的大小关系为 ．⑶ 已知总体的各个体的值由小到大依次为23371213.718.320a b ，，，，，，，，，，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．【解析】 ⑴ D⑵ 123x x x ==；213s s s >>平均值可以直接观察得到．得到平均值相等后，由数据的集中情况可以直接得到方差大小的关系，不必计算．显然数据丙最集中，数据乙最分散． ⑶ 10.5；10.5【备选】 （2010西城一模文5）甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示去掉一个最高分、一个最低分后甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A ．1212,x x s s >< B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B右图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0~9中的一个），甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a ，2a ，则一定有（ ） A ．12a a > B ．21a a >C ．12a a =D ．1a ，2a 的大小与m 的值有关【解析】 B甲的成绩环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4知识结构图14.2概率0795455184464793m 甲 乙3275538712455698210乙甲1．随机事件A 的概率()P A 的取值范围为[0,1]，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0； 2．不可能同时发生的两个事件,A B 称为互斥事件，()()()P A B P A P B =+．若,A B 不能同时发生且必有一个发生，则,A B 称为对立事件，()P A 与()P B 满足()()1P A P B +=．3．古典概型的概率公式：在基本事件总数为n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率为n1；如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，则()mP A n=，这一定义称为概率的古典定义．4．几何概型：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．用μΩ表示区域Ω的几何度量，用A μ表示区域A 的几何度量．事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=．尖子班学案2【铺1】 ⑴（2010辽宁文13）三张卡片上分别写上字母E E B ，，，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 ．⑵（2012海淀二模文12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB △的面积大于等于14的概率是_________．【解析】 ⑴ 13⑵ 12考点：古典概型与几何概型【例4】 ⑴ 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6六个点的正方体形玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为奇数的概率为 ．⑵ 有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，1k +，其中0,1,2,,19k =．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A ，则()P A =_______．⑶（2012辽宁文11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于220cm 的概率为（ ）经典精讲知识梳理F E DCBA A ．16 B ．13C ．23D ．45 ⑷ 在区间[ππ]-，内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数22()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（ ）A ．78B ．34C ．12D ．14【解析】 ⑴ 12⑵ 14⑶ C ⑷ B目标班学案2【拓2】 甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【解析】 D【备选】 考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）A ．1B ．12C ．13 D ．0【解析】 A【备选】 （2010崇文二模文17）在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(,)x y 满足225x y +≤，从区域W 中随机取点(,)M x y ．①若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第四象限的概率；②已知直线:(0)l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=15y x b -+≥的概率．【解析】 ①点M 位于第四象限的概率为1．②y x b -+≥4π33-．尖子班学案3【铺1】 （2012朝阳一模文16）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如右图所示．⑴,a b ⑵ 现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？⑶ 在⑵的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．【解析】 ⑴200a =，50b =．⑵ 第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．⑶ 至少有1人年龄在第3组的概率为1415．考点：概率与统计初步【例5】 （2010宣武一模文17）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择只有“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下⑴ ⑵ 试估计高三年级学生“同意”的人数；⑶ 从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率．【解析】 ⑴男生3 2 5⑵ 105．⑶ 恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率为815．目标班学案3【拓2】 （2010丰台一模文17）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： 茎 叶 5 6 8 6 2 3 3 5 6 8 97 1 2 2 3 4 5 6 7 8 989 5 8⑴ 求全班人数及分数在[)8090，之间的频数； ⑵ 估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[)8090，间的矩形的高； ⑶ 若要从分数在[80100]，之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90100]，之间的概率．【解析】 ⑴ 分数在[)8090，之间的频数为4； ⑵ 该班的平均分约为74（或73.8分）．频率分布直方图中[)8090，间的矩形的高为4100.01625÷=． ⑶ 至少有一份分数在[]90,100之间的概率是90.615=．考点：随机事件的概率【例6】 （2010海淀一模文16）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元 ，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动． ⑴ 若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率．⑵ 若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率．【解析】 ⑴ 顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23．⑵ 乙获得优惠券金额不低于20元的概率为23．组距频率分数0.0080.0160.028100908070605020元10元0元O已知集合{()|22}A x y x y x y =∈Z ，≤，≤，，，集合22{()|(2)(2)4}B x y x y x y =-+-∈Z ，≤，，，在集合A 中任取一个元素p ，则p B ∈的概率是__________． 【解析】 625；A 中元素有(22)(21)(22)-----，，，，，，，(12)--，，(11)--，，(12)-，，，……，(21)(22)，，，，共25个元素．这些元素中，包含在集合B 中的元素有：(02)，，(11)，，(12)，，(20)，，(21)，，(22)，共6个元素，如图．因为取到每一个元素的可能性相同，故p B ∈的概率为625． 本题容易忽视x y ∈Z ，的条件，从而得到错误结论．（2011北京文16）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．098X 111099乙组甲组⑴ 如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；⑵ 如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数）【解析】 ⑴ 平均数为354x =；方差为21116s =．⑵ 所求概率为41()164P C ==．【演练1】（2012山东文4）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差【解析】 D【演练2】某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班各真题再现实战演练乙甲8765443221100-2-222O yx自5名学生学分的标准差，则1s _____2s ．（填“>”、“<”或“=”）【解析】<【演练3】（2012江苏6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 【解析】 35【演练4】⑴（2012石景山一模文12）在区间[]0,9上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式21log 2x ≤≤的概率为 ． ⑵（2012湖北文10）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π【解析】 ⑴ 29⑵ A【演练5】（2010丰台二模文17）设集合{}123P =，，和{}11234Q =-，，，，，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 组成数对()a b ，，并构成函数2()41f x ax bx =-+，⑴ 写出所有可能的数对()a b ，，并计算2a ≥，且3b ≤的概率； ⑵ 求函数()f x 在区间[)1+∞，上是增函数的概率．【解析】 ⑴ 所有基本事件如下：(11)-，，(11)，，(12)，，(13)，，(14)， (21)-，，(21)，，(22)，，(23)，，(24)，(31)-，，(31)，，(32)，，(33)，，(34)，，共有15个．“2a ≥，且3b ≤”的概率为815．⑵ ()f x 在[1)+∞，上是增函数的概率为13．【演练6】为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）高校 相关人数 抽取人数A18 x B 36 2C 54y ⑴ 求x ，y ；⑵ 若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率． 【解析】⑴ 1x =，3y =． ⑵ 选中的2人都来自高校C 的概率为310．（2009清华大学自主招生保送生测试）随机挑选一个三位数I，⑴求I中含有因子5的概率；⑵求I中恰有两个数码相等的概率．【解析】⑴15，⑵27100⑴所有的三位数有100到999，共900个；其中含有因子5的是以0或5结束的，每十个数中都有两个数满足要求，故所求概率为15；或考虑0999-中5的倍数有199个，减去099-中5的倍数有19个，故I中含有因子5的数有180个，得概率为1801 9005=；⑵满足百位与十位相等的数有：110112113119220221223229990991998，，，，，，，，，，，，，，，共9981⨯=个；满足百位与个数相等的数同理也有81个；满足十位与个数相等的数有100122133199，，，，，200211988，，，，共有9981⨯=个，故I中恰有两个数码相等的概率为81327 900100⨯=．大千世界65。
高三数学练习题：概率与统计
高三数学练习题：概率与统计
问题1：
某班有40名学生，其中有30名学生参加了一个数学竞赛。
现在我们从这些学生中随机抽取一名学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位参加了数学竞赛的学生；
b) 抽中一位未参加数学竞赛的学生。
问题2：
某班有50名学生，其中30人喜欢数学，20人喜欢英语，15人同时喜欢数学和英语。
现在我们从这些学生中随机选择一位学生，请计算以下概率：
a) 抽中一位喜欢数学的学生；
b) 抽中一位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位同时喜欢数学和英语的学生。
问题3：
某地区的天气预报表明，星期一下雨的概率是0.3，星期二下雨的概率是0.4。
而星期一和星期二都下雨的概率是0.15。
现在，我们从这两个星期中随机选择一个天气预报，请计算以下概率：
a) 抽中星期一下雨；
b) 抽中星期二下雨；
c) 抽中星期一和星期二都下雨。
问题4：
某班有90名学生，其中40人喜欢数学，60人喜欢英语，20人同时喜欢数学和英语。
现在我们从这些学生中选择两个学生，请计算以下概率：
a) 抽中两位喜欢数学的学生；
b) 抽中两位喜欢英语的学生；
c) 抽中一位喜欢数学的学生和一位喜欢英语的学生。
问题5：
某打印店收到100份订单，其中有20份订单有错误。
现在，我们从这些订单中随机抽取一份，请计算以下概率：
a) 抽中一份有错误的订单；
b) 抽中一份没有错误的订单。
高三数学高考第一轮复习课件：概率与统计
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 双基固化
第69讲 │ 能力提升 能力提升
３．本部分内容主要包括随机变量的概念及其分布列，离 散型随机变量的均值和方差，正态分布．从近几年的高考观 察，这部分内容有加强命题的趋势．注意以实际情景为主， 建立合适的分布列，通过均值和方差解决实际问题．
第十一单元 │ 使用建议
使用建议
１．复习中要注意 （１）全面复习，加强基础，注重应用． （２）本单元主要的数学思使用想建有议：化归思想，比较分类思想， 极限思想和模型化思维方法．学习时应注意发散思维和逆向 思维，通过分类分步把复杂问题分解，恰当地应用集合观点、 整体思想，从全集、补集等入手，使问题简化．
第68讲│ 编读互动
第68讲 │ 知识要点 知识要点
第68讲 │ 知识要点
第68讲 │ 知识要点
第68讲 │ 双基固化 双基固化
第68讲 │68讲 │ 双基固化
第68讲 │ 双基固化
第68讲 │ 双基固化
第68讲 │ 双基固化
第68讲 │ 双基固化
第67讲 │ 双基固化
第67讲 │ 能力提升 能力提升
第67讲 │ 能力提升
第67讲 │ 能力提升
第67讲 │ 能力提升
第67讲 │ 能力提升
第67讲 │ 规律总结 规律总结
第67讲 │ 规律总结
第68讲 │ 离散型随机变量的期望与方差
(完整word版)高中数学必修3统计与概率
统计1：简单随机抽样（1）总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
（3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
（4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。
可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。
如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。
因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。
更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
3：分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
高中数学统计知识点高中数学概率与统计
高中数学统计知识点高中数学概率与统计
高中数学统计知识点包括以下内容：
1. 数据的收集和整理：包括原始数据的收集和整理，如问卷调查、实验结果等。
2. 描述统计：用于对数据进行总结和描述的方法，包括平均数、中位数、众数、极差、标准差等。
3. 概率：研究随机事件发生的可能性的数学分支，包括基本概念、概率的计算方法和
性质。
4. 概率分布：描述随机变量取值与相应概率的分布，包括离散型随机变量和连续型随
机变量的分布。
5. 统计推断：从样本数据中推断总体的特征的方法，包括点估计和区间估计。
6. 假设检验：用于推断总体参数的假设检验方法，包括单样本检验、双样本检验和相
关性检验等。
7. 相关分析：研究两个或多个变量之间关系的方法，包括相关系数和回归分析等。
8. 抽样调查：从总体中随机选择样本进行调查和统计分析的方法，包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
以上是高中数学概率与统计的主要知识点，通过掌握这些知识，可以进行数据的整理
和分析，并进行相关的统计推断和假设检验。
高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》课件
• 探究2 等可能事件的概率，首先要弄清楚试验结果是不 是“等可能”，其次要正确求出基本事件总数和事件A所 包含的基本事件的个数．
• 思考题2 某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、 中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前 往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺 序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过 一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三 辆．那么他乘上上等车的概率为__________．
4．一个坛子里有编号 1,2，…，12 的 12 个大小相同
的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中
任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号
码是偶数的概率为( )
1
1
A.22
B.11
3
2
C.22
D.11
解析 分类：一类是两球号均为偶数且为红球，有 C32 种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C31C31 种取 法
• 思考题1 掷两颗均匀的普通骰子，两个点数和为x(其中 x∈N*)．
• ①记事件A：x＝5，写出事件A包含的基本事件，并求P(A)；
• ②求x≥10时的概率．
• 【分析】 每一次试验得到的是两颗骰子的点数，所以 每一个基本事件都对应着有序数对．
【解析】 ①每次试验两颗骰子出现的点数分别记为
m、n
最短路线的概率是( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.5
D.6
解析 基本事件，等可能事件的概率． • 答案n＝3D×2＝6，m＝1. ∴P(A)＝16.
• 3则．剩有下五两答个个案数数字字1130都、是2、奇3数、的4、概5率中是，_若__随__机__取__出__三_(个结数果字用， 数值表示解)析． 任取的三个数字中有 2 个偶数，1 个奇数，
高三数学知识点统计概率
高三数学知识点统计概率统计概率是高三数学中的重要知识点之一，它通过对统计数据进行分析和计算，帮助我们了解事件发生的概率。
下面将从基本概念、概率计算方法和应用实例三个方面进行介绍。
一、基本概念概率是指某一事件在相同条件下发生的可能性大小。
在统计学中，常用的概率计算方法包括频率概率和几何概率两种。
1.1 频率概率频率概率是通过统计大量实验结果得到的概率。
它的计算公式为：事件发生次数/总实验次数。
1.2 几何概率几何概率是通过计算事件所占的样本空间的面积或体积得到的概率。
它的计算公式为：事件发生的可能结果数/总可能结果数。
二、概率计算方法在统计概率的计算中，常用的方法有加法法则、乘法法则和条件概率。
2.1 加法法则加法法则用于计算两个事件中至少发生一个事件的概率。
当两个事件互斥时（即两个事件不可能同时发生），可以直接使用加法法则计算：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2.2 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
当两个事件独立时（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生），可以直接使用乘法法则计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2.3 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
三、应用实例统计概率在实际生活中有广泛的应用，下面以两个常见的例子介绍其应用。
3.1 投掷骰子假设我们有一枚均匀的六面骰子，每个面上的点数为1~6。
现在我们想知道投掷一次骰子后，点数为偶数的概率是多少。
根据频率概率，我们可以进行一系列实验，统计出点数为偶数的次数，再除以总实验次数，就可以得到概率。
根据几何概率，点数为偶数的可能结果数为3，总可能结果数为6，因此概率为1/2。
3.2 抽奖活动某个电商平台举办了一个抽奖活动，奖品包括一等奖、二等奖和三等奖。
现在我们想知道抽奖时至少抽到二等奖的概率是多少。
概率与统计的综合问题(高三一轮复习)
i＝1
∴a^＝ y －b^ x ＝0.3－0.14×4.5＝－0.33，故y关于x的经验回归方程为^y＝0.14x－
0.33.
数学 N
— 18 —
(2)①当x＝7时，^y＝0.14×7－0.33＝0.65，
∴估计该市政府需要给E大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为
0.65×1 00021年的毕业生人数及自主创业人数(单位：千人)，得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
当年毕业人数
x(千人)
3
4
5
6
自主创业人数
y(千人)
0.1 0.2 0.4 0.5
数学 N
— 15 —
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程^y＝a^＋b^x；
(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴． ①若该市E大学2021年毕业生人数为7千人，根据(1)的结论估计该市政府要给E 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
①若n＝5，写出X5的分布列和数学期望； ②请写出Xn的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的数学期望的 实际意义．
数学 N
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.
，a^＝ y －b^x.
n
x2i －n x 2
i＝1
数学 N
— 17 —
解
(1)由题意得
x
＝
3＋4＋5＋6 4
＝4.5，
y
＝
0.1＋0.2＋0.4＋0.5 4
高中数学概率统计
高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。
在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。
概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中，概率可以通
过计算来得出。
常见的计算方法包括频率概率和几何概率。
学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。
在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。
例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。
高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。
学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。
通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。
他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。
总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。
高中数学新概率与统计教案
高中数学新概率与统计教案课程目标：
1. 理解概率与统计的基本概念和原理；
2. 掌握概率与统计的基本计算方法；
3. 能够应用概率与统计的知识解决实际问题。
第一节：概率的基本概念
1. 概率的概念及其表示方法；
2. 事件与样本空间；
3. 基本概率公式的推导和应用；
4. 条件概率的定义与计算。
第二节：随机变量与概率分布
1. 随机变量的定义与分类；
2. 离散随机变量与连续随机变量的概念；
3. 概率密度函数与概率分布函数；
4. 均匀分布、正态分布等常见分布的特点及应用。
第三节：统计推断
1. 抽样调查的基本方法；
2. 样本均值与总体均值的关系；
3. 样本方差与总体方差的估计；
4. 中心极限定理及其应用。
第四节：相关性与回归分析
1. 相关性的定义与性质；
2. 相关系数的计算与解释；
3. 简单线性回归分析的原理与方法；
4. 多元线性回归分析的应用与实际案例。
课堂活动：
1. 小组讨论：根据实际情景计算概率；
2. 实验演示：通过掷骰子、抽样调查等方式，体验概率与统计的应用；
3. 课堂练习：完成相关章节的习题，巩固概念与计算方法；
4. 实际案例分析：结合真实数据，进行相关性与回归分析，培养学生的数据解读能力。
课后作业：
1. 完成相关章节的课后习题；
2. 分析一个真实生活案例，运用概率与统计知识进行分析；
3. 阅读相关资料，了解概率与统计在不同领域的应用；
4. 准备下节课的讨论或展示内容。
高三数学第十二章-概率与统计知识点归纳
高中数学知识点第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．（2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1Λ=i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.有性质①Λ,2,1,01=≥i p ； ②121=++++ΛΛi p p p .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0Λ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C kn kkn⋅=-.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A AP(k)P(ξk 1k 21-==Λ.根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-==Λ),3,2,1(1Λ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中Λ3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a Λ=⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n ba C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n Λ=+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ΛΛ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称ΛΛ+-++-+-=n n p E x pE x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差.显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（+ q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)( ⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积图像的函数)(x f 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0φσ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E .⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近. ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=-ππx ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤π.注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)(φx Φ.比如5.00793.0)5.0(π=-Φσμ则σμ-5.0S 阴=0.5S a =0.5+S如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.。
高三数学概率与统计与解法知识点深入探讨
高三数学概率与统计与解法知识点深入探讨概率与统计的基本概念概率的基本概念概率是用来描述事件发生可能性的一种数学度量。
在数学中，我们通常用一个介于0和1之间的数来表示概率，其中0表示事件绝对不会发生，1表示事件必然发生。
随机试验与样本空间随机试验是指在相同的条件下，可能出现几种不同结果的试验。
样本空间是指随机试验所有可能结果的集合。
随机事件随机事件是指在样本空间中的一部分，表示某种结果的发生。
概率的定义概率是指某个随机事件发生的可能性。
在数学中，通常用符号P表示概率，概率的定义为：[ P(A) = ]概率的基本性质1.非负性：概率值总是非负的，即( P(A) 0 )。
2.归一性：所有可能事件的概率之和为1，即( _{i=1}^{n} P(A_i) = 1 )。
统计的基本概念统计学是研究如何收集、整理、分析和解释数据的科学。
在高中数学中，我们主要学习描述统计和推断统计两个方面。
描述统计描述统计是指用图表、数值等方法对数据进行总结和描述的过程。
常用的描述统计方法包括：1.频数与频率：频数是指某个数值出现的次数，频率是指某个数值出现的次数与总次数的比值。
2.众数、中位数、平均数：众数是指一组数据中出现次数最多的数值，中位数是将数据从小到大排列后位于中间的数值，平均数是指一组数据的总和除以数据个数。
3.方差与标准差：方差是衡量一组数据分散程度的指标，标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
推断统计推断统计是指利用样本数据来推断总体特征的方法。
推断统计主要包括两个方面：参数估计和假设检验。
1.参数估计：参数估计是指利用样本数据来估计总体参数的方法。
常用的参数估计方法包括：最大似然估计、最小二乘估计等。
2.假设检验：假设检验是指对总体参数的某个假设进行检验的方法。
常用的假设检验方法包括：卡方检验、t检验、F检验等。
概率与统计的解法知识点概率的解法知识点排列组合排列组合是计算概率的基础。
排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①确定分组的组数，其方法是最大数据与最小
数据之差除以组距得组数；②计算每组的频数
与频率，其中频率
频数 ； 样本容易
③画频率分布直方图．
7．总体期望值和方差的估计
1 平均数的计算：n个数据x1，x2，，xn的平均数
x
1 n
( x1
x2
xn
)．
2 方差的计算：样本n个数据x1，x2，，xn的平均数为
1 120
11 . 60
【思维启迪】本题主要考查等可能事件、互 斥事件、相互独立事件的概率．解答题注意
不要混淆了互斥事件与相互独立事件．第 2
小题的解答根据是“不少于”将事件分成了 两个等可能事件，同时也可以利用事件的互 斥事件进行计算．
变式题：某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两 种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率
4 5
.
1至少有1株成活的概率为
1 P( A1 A2 B1 B2 ) 1 P( A1) P( A2 ) P(B1) P(B2 ) 1 (1)2 (1)2 899 .
6 5 900
2 由独立重复试验中事件发生的概率公式知，
两种大树各成活1株的概率为
P
C12
5 6
C12
4 5
1 5
x，则样本方差为s2
1 n [(x1
x)2
(x2
x)2
( xn
x)2 ]，
标准差为s
1 n
[( x1
x)2
( x2
x)2
...
( xn
x)2
].
考点1 概念应用题
例1.在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平， 设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音， 其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”．
分析：第1小题首先确定每位测试者抽到一张
带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概
率公式计算；第 2 利用等可能事件与互斥事件
的概率公式计算．
解析：1每次测试中，被测试者从10张卡片中
随机抽取1张卡片上拼音带有后鼻音“g”的概 率为 3 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张
10 卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为
1简单随机抽样：当一些总体个数不太大时，常
采用抽签法抽取样本；在大规模社会调查中总体 个数常常数以千计万计，要编号、制作号签等工 作量在不易操作时常采用随机数表法． 用随机数表法抽样的步骤：①将总体中的个体编号； ②选定开始的数字；③获取样本号码． 学习简单随机抽样应注意以下三点：①它要求被抽 取样本的总体的个数有限；②从总体中逐个地进行 抽取；③是一种不放回式抽样．
P A1 P A2 P An ． 3 对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有
一个发生，那么这样的两个互斥事件叫做对立事件．记
A的对立事件为P( A)，P( A A) 1，即P( A) 1 P A．
3．相互独立事件同时发生的概率
1 相互独立事件的定义：事件A(或B)是否发生
对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两 个事件叫做相互独立事件．若A与B是相互独立 事件，则A与，与B，A与也相互独立．
3 3 3 27 . 10 10 10 1000
解析：2设Ai i 1,2,3表示所抽取的3张卡片中，
恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相
应的概率为P Ai ，则P A2
C71C32 C130
7， 40
P A3
C33 C130
1. 120
因而所求概率为
P
A2
A3
P
A2
P
A3
7 40
分别为 5 和 4，且各株大树是否成活互不影响． 65
求移栽的4株大树中：
1至少有1株成活的概率； 2 两种大树各成活1株的概率．
解析：设Ak 表示第k株甲种大树成活，k 1, 2；
设Bl表示第l株乙种大树成活，l 1, 2，
则A1，A2，B1，B2独立，
且P
A1
Hale Waihona Puke PA25，P 6
B1
P
B2
2 两个相互独立事件同时发生的概率： P(A B) P A P B． 3 n个相互独立事件同时发生的概率：如果事件
A1，A2，，An相互独立，那么这n个事件同时发生 的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
P( A1 A2 An ) P A1 P A2 P An ．
4．独立重复试验的概念及计算
10 36
8 25
4. 45
考点2 总体分布的估计
例2.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1, 2,3, 4, 5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的 次数如下表：
件A包含m个结果，那么事件A的概率P A m .
n
2．互斥事件的有关概念
1 互斥事件的定义：不可能同时发生的两个事件． 若A与B为互斥事件，有P A B P A P B． 2 彼此互斥：一般地，如果事件A1，A2，，An中的
任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，，An 彼此互斥，其概率计算公式P( A1 A2 An )
2 分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分
组成时，常采用分层抽样．分层抽样方法须注 意两点：①分层抽样要将相近一类归入一层， 不同类归入不同层；②在分层抽样过程中，在 对每一层的抽样时也采用的简单随机抽样． 步骤：①分层；②按比例确定每层抽取个体的 个数；③各层抽样；④汇合成样本．
6．总体分布的估计频率分布直方图画法：
1 现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试
者从这10张卡片中随机抽取1张，测试后放回，余下 两位的测试，也按同样的方法进行．求这三位被测 试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；
2 若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，
求这3张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少 于2张的概率．
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．等可能性事件
1 等可能性事件的定义：如果一次试验中可能出现
的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等， 那么每个基本事件的概率都是 1，这种事件叫做
n 等可能性事件．
2 等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现
的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事
1 独立重复试验的定义：在相同条件下进行的各
次之间相互独立的一种试验．
2 独立重复试验的概率：在n次独立重复试验中，
如果事件A在1次试验中发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率
Pn k CPk 1 Pnk ，此式为二项式 1 P Pn
展开式的第k 1项．
5．抽样方法