人教版数学高二B版必修53.2均值不等式

课后训练
1．若－4＜x ＜1，则()22222
x x f x x -+=-( )． A ．有最小值1 B ．有最大值1
C ．有最小值－1
D ．有最大值－1
2．已知a ＞b ＞0，全集I ＝R ，2a b M x b x ⎧
+⎫<<⎨⎬⎩⎭=，{}
N x x a =<<，P ＝
{x |b ＜x ，则( )．
A ．P ＝M ∩N
B ．P ＝M ∩N
C ．P ＝M ∩N
D ．P ＝M ∪N
3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．
A ．12
B ．a 2＋b 2
C ．2ab
D ．a
4．设a ＞0，b ＞0.是3a 与3b 的等比中项，则
11a b +的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．14
5．设x ＞y ＞z ，且11n x y y z x z
+≥---恒成立，则n 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与()21=x x g x x ++在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最大值是______． 7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n
+的最小值为______．
8．a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：
111a b c ++>. 证明：证法一：∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，
求下列各式的最值：
(1)已知x ＞y ＞0，且xy ＝1，求22
x y x y
+-的最小值及此时x ，y 的值； (2)设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝5，求2a ＋2b 的最小值．
参考答案
1. 答案：D
解析：11()=121f x x x ⎡⎤(-)+⎢⎥-⎣⎦
，∵－4＜x ＜1， ∴x －1＜0，－(x －1)＞0.
∴111()=112(1)2f x x x ⎡⎤-
-(-)+≤-⋅=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当x －1＝11x -即x ＝0时等号成立，即x ＝0时，f (x )有最大值－1. 2. 答案：A
解析：∵2a b b a +<
<<， ∴{}M
|2a b N x b x x x a x ab ⎧+⎫=<<≥≤⎨⎬⎩⎭或
＝{|x b x <≤
＝P . 3. 答案：B 解析：∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴12a <，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＞(a ＋b )2－2·2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝12
. ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0，∴a 2＋b 2＞2ab .
∴a 2＋b 2最大．(本题也可取特殊值进行检验)
4. 答案：B
解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1， 1111()a b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
＋
＝2+
b a a b +≥， 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝12时，等号成立，即11a b +最小值为4. 5. 答案：C
解析：原不等式可变形为n ≤(x －z ) 11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭
，此不等式恒成立的条件是n 不
大于右边的最小值．令a ＝x －y ，b ＝y －z ，则a ＞0，b ＞0，且x －z ＝a ＋b .
∴(x －z )11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭
＝(a ＋b )·11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4.∴n ≤4. 6. 答案：4
解析：首先()21=x x g x x ++＝x ＋1x
＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2，再把(1，3)代入即得c ＝4，所以f (x )＝x 2－
2x ＋4，易得在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
上的最大值是4. 7. 答案：8
解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象过定点(－2，－1)，
∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.
12124=(2)=4+n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥4＋4＝8. 当且仅当4,21,0,n m m n m n mn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩即1,412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立． 8. ∴111
++
＝bc ＋ac ＋ab ＝
22
bc ac
ac ab ab bc +++++
＞
∴111
a b c
+
+>. 证法二：∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， =
111111111222b c a c a b a b c
+++<++=++.
∴11
1a
b c
++>
. 证法三：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ，b ，c 互不相等，且abc ＝1，
∴
11>2a b
+==
①
同理11b c
+② 11c a
+③ ①＋②＋③
得111a b c ++>. 9. 解：(1)∵x ＞y ＞0，∴x －y ＞0，
∵xy ＝1(定值)，
∴22222()x y x y xy
x y x y x y x y
+(-
)+==-+≥---解方程组1,2,xy x y x y =⎧⎪⎨-=⎪-⎩
得
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴当2x =
，2
y =时，
22x y x
y +-取得最小值(2)因为a ，b ∈R ，故2a ，
2b ∈(0，＋∞)，
则22a b ≥===+.
当且仅当a＝b＝5
2
时，取等号．
所以a＝b＝5
2
时，2a＋2b取得最小值为。