人教版数学高二B版必修53.2均值不等式

课后训练

1．若－4＜x ＜1，则()22222

x x f x x -+=-( )． A ．有最小值1 B ．有最大值1

C ．有最小值－1

D ．有最大值－1

2．已知a ＞b ＞0，全集I ＝R ，2a b M x b x ⎧

+⎫<<⎨⎬⎩⎭=，{}

N x x a =<<，P ＝

{x |b ＜x ，则( )．

A ．P ＝M ∩N

B ．P ＝M ∩N

C ．P ＝M ∩N

D ．P ＝M ∪N

3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．

A ．12

B ．a 2＋b 2

C ．2ab

D ．a

4．设a ＞0，b ＞0.是3a 与3b 的等比中项，则

11a b +的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．14

5．设x ＞y ＞z ，且11n x y y z x z

+≥---恒成立，则n 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

6．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与()21=x x g x x ++在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的最大值是______． 7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n

+的最小值为______．

8．a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：

111a b c ++>. 证明：证法一：∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，

求下列各式的最值：

(1)已知x ＞y ＞0，且xy ＝1，求22

x y x y

+-的最小值及此时x ，y 的值； (2)设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝5，求2a ＋2b 的最小值．

参考答案

1. 答案：D

解析：11()=121f x x x ⎡⎤(-)+⎢⎥-⎣⎦

，∵－4＜x ＜1， ∴x －1＜0，－(x －1)＞0.

∴111()=112(1)2f x x x ⎡⎤-

-(-)+≤-⋅=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当x －1＝11x -即x ＝0时等号成立，即x ＝0时，f (x )有最大值－1. 2. 答案：A

解析：∵2a b b a +<

<<， ∴{}M

|2a b N x b x x x a x ab ⎧+⎫=<<≥≤⎨⎬⎩⎭或

＝{|x b x <≤

＝P . 3. 答案：B 解析：∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴12a <，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＞(a ＋b )2－2·2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝12

. ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0，∴a 2＋b 2＞2ab .

∴a 2＋b 2最大．(本题也可取特殊值进行检验)

4. 答案：B

解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1， 1111()a b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭

＋

＝2+

b a a b +≥， 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝12时，等号成立，即11a b +最小值为4. 5. 答案：C

解析：原不等式可变形为n ≤(x －z ) 11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭

，此不等式恒成立的条件是n 不

大于右边的最小值．令a ＝x －y ，b ＝y －z ，则a ＞0，b ＞0，且x －z ＝a ＋b .

∴(x －z )11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭

＝(a ＋b )·11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4.∴n ≤4. 6. 答案：4

解析：首先()21=x x g x x ++＝x ＋1x

＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2，再把(1，3)代入即得c ＝4，所以f (x )＝x 2－

2x ＋4，易得在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，

上的最大值是4. 7. 答案：8

解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象过定点(－2，－1)，

∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.

12124=(2)=4+n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

≥4＋4＝8. 当且仅当4,21,0,n m m n m n mn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩即1,412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立． 8. ∴111

++

＝bc ＋ac ＋ab ＝

22

bc ac

ac ab ab bc +++++

＞

∴111

a b c

+

+>. 证法二：∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， =

111111111222b c a c a b a b c

+++<++=++.

∴11

1a

b c

++>

. 证法三：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ，b ，c 互不相等，且abc ＝1，

∴

11>2a b

+==

①

同理11b c

+② 11c a

+③ ①＋②＋③

得111a b c ++>. 9. 解：(1)∵x ＞y ＞0，∴x －y ＞0，

∵xy ＝1(定值)，

∴22222()x y x y xy

x y x y x y x y

+(-

)+==-+≥---解方程组1,2,xy x y x y =⎧⎪⎨-=⎪-⎩

得

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴当2x =

，2

y =时，

22x y x

y +-取得最小值(2)因为a ，b ∈R ，故2a ，

2b ∈(0，＋∞)，

则22a b ≥===+.