一类约数和函数的上界估计
关于一些数论函数的性质研究
ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｏ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｓｏｕｒｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｘ，砂，ｗｅ ｈａｖｅ ｇｉｖｅｎ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｃ（七，ｌ，ｄ；ｘ，矽）ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｃｏｍｐａｒｅ ｗｉｔｈ Ｔｅｒｈｕｎｅ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ，ｗｈｅｎ ｘ（一１）砂（一１）＝（一１）七＋“－ｄ＋１，ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｅａｌ ｆｏｒｍ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｃ（七，ｌ，ｄ；Ｘ，砂）．
２
两北大学硕士学位论文
第 弟一 二早 章 数 鳅Ｔ论匕间简７Ｉ介’
§２．１数论的发展简史
人类从使用数字开始，生活中就伴随着自然数．随着实践的需要，数的概念 被进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整 数和负整数中间的中性数叫做０．它们合起来叫做整数（注：现在自然数的概 念有了改变，包括正整数和０）．对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算， 叫做四则运算．随着人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数 的特性．如，整数可分为两大类：奇数和偶数．利用整数的一些基本性质，可以 进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今 来许多的数学家和学者不断地进行研究和探索．
ｌｌ
ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｎａｌｙｔｉｃ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｏｒｍｕｌａｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．
数学专业用词的英文翻译
数学专业用词的英文翻译关于数学专业用词的英文翻译数学的英文篇一：数学英文词汇大全微积分第一章函数与极限Chapter1FunctionandLimit集合set元素element子集subset空集emptyset并集union交集intersection差集differenceofset基本集basicset补集complementset直积directproduct笛卡儿积Cartesianproduct开区间openinterval闭区间closedinterval半开区间halfopeninterval有限区间finiteinterval区间的长度lengthofaninterval无限区间infiniteinterval领域neighborhood领域的中心centreofaneighborhood领域的半径radiusofaneighborhood左领域leftneighborhood右领域rightneighborhood映射mappingX到Y的映射mappingofXontoY 满射surjection单射injection一一映射one-to-onemapping 双射bijection算子operator变化transformation函数function逆映射inversemapping复合映射compositemapping自变量independentvariable因变量dependentvariable定义域domain函数值valueoffunction函数关系functionrelation值域range自然定义域naturaldomain单值函数singlevaluedfunction 多值函数multiplevaluedfunction 单值分支one-valuedbranch函数图形graphofafunction绝对值函数absolutevalue符号函数sighfunction整数部分integralpart阶梯曲线stepcurve当且仅当ifandonlyif(iff)分段函数piecewisefunction上界upperbound下界lowerbound有界boundedness无界unbounded函数的单调性monotonicityofafunction 单调增加的increasing单调减少的decreasing单调函数monotonefunction函数的奇偶性parity(odevity)ofafunction 对称symmetry偶函数evenfunction奇函数oddfunction函数的周期性periodicityofafunction周期period反函数inversefunction直接函数directfunction复合函数compositefunction中间变量intermediatevariable函数的运算operationoffunction基本初等函数basicelementaryfunction 初等函数elementaryfunction幂函数powerfunction指数函数exponentialfunction对数函数logarithmicfunction三角函数trigonometricfunction反三角函数inversetrigonometricfunction 常数函数constantfunction双曲函数hyperbolicfunction双曲正弦hyperbolicsine双曲余弦hyperboliccosine双曲正切hyperbolictangent反双曲正弦inversehyperbolicsine反双曲余弦inversehyperboliccosine反双曲正切inversehyperbolictangent极限limit数列sequenceofnumber收敛convergence收敛于aconvergetoa发散divergent极限的唯一性uniquenessoflimits收敛数列的有界性boundednessofaconvergentsequence 子列subsequence函数的极限limitsoffunctions函数当x趋于x0时的极限limitoffunctionsasxapproachesx0 左极限leftlimit右极限rightlimit单侧极限one-sidedlimits水平渐近线horizontalasymptote无穷小infinitesimal无穷大infinity铅直渐近线verticalasymptote夹逼准则squeezerule单调数列monotonicsequence高阶无穷小infinitesimalofhigherorder低阶无穷小infinitesimaloflowerorder同阶无穷小infinitesimalofthesameorder等阶无穷小equivalentinfinitesimal函数的连续性continuityofafunction增量increment函数在x0连续thefunctioniscontinuousatx0左连续leftcontinuous右连续rightcontinuous区间上的连续函数continuousfunction函数在该区间上连续functioniscontinuousonaninterval不连续点discontinuitypoint第一类间断点discontinuitypointofthefirstkind第二类间断点discontinuitypointofthesecondkind初等函数的连续性continuityoftheelementaryfunctions定义区间definedinterval最大值globalmaximumvalue(absolutemaximum)最小值globalminimumvalue(absoluteminimum)零点定理thezeropointtheorem介值定理intermediatevaluetheorem第二章导数与微分Chapter2DerivativeandDifferential速度velocity匀速运动uniformmotion平均速度averagevelocity瞬时速度instantaneousvelocity圆的切线tangentlineofacircle切线tangentline切线的斜率slopeofthetangentline位置函数positionfunction导数derivative可导derivable函数的变化率问题problemofthechangerateofafunction导函数derivedfunction左导数left-handderivative右导数right-handderivative单侧导数one-sidedderivatives在闭区间【a,b】上可导isderivableontheclosedinterval[a,b] 切线方程tangentequation角速度angularvelocity成本函数costfunction边际成本marginalcost链式法则chainrule隐函数implicitfunction显函数explicitfunction二阶函数secondderivative三阶导数thirdderivative高阶导数nthderivative莱布尼茨公式Leibnizformula对数求导法log-derivative参数方程parametricequation相关变化率correlativechangerata微分differential可微的differentiable函数的微分differentialoffunction自变量的微分differentialofindependentvariable微商differentialquotient间接测量误差indirectmeasurementerror绝对误差absoluteerror相对误差relativeerror第三章微分中值定理与导数的应用Chapter3MeanValueTheoremofDifferentialsandtheApplicati onofDerivatives罗马定理Rolle’stheorem费马引理Fermat’slemma拉格朗日中值定理Lagrange’smeanvaluetheorem驻点stationarypoint稳定点stablepoint临界点criticalpoint辅助函数auxiliaryfunction拉格朗日中值公式Lagrange’smeanvalueformula柯西中值定理Cauchy’smeanvaluetheorem洛必达法则L’Hospital’sRule0/0型不定式indeterminateformoftype0/0不定式indeterminateform泰勒中值定理Taylor’smeanvaluetheorem泰勒公式Taylorformula余项remainderterm拉格朗日余项Lagrangeremainderterm麦克劳林公式Maclaurin’sformula佩亚诺公式Peanoremainderterm凹凸性concavity凹向上的concaveupward,cancaveup凹向下的，向上凸的concavedownward’concavedown拐点inflectionpoint函数的极值extremumoffunction极大值local(relative)maximum最大值global(absolute)mximum极小值local(relative)minimum最小值global(absolute)minimum目标函数objectivefunction曲率curvature弧微分arcdifferential平均曲率averagecurvature曲率园circleofcurvature曲率中心centerofcurvature曲率半径radiusofcurvature渐屈线evolute渐伸线involute根的隔离isolationofroot隔离区间isolationinterval切线法tangentlinemethod第四章不定积分Chapter4IndefiniteIntegrals原函数primitivefunction(antiderivative) 积分号signofintegration被积函数integrand数学的英文篇二：数学英文词汇代数部分1.有关基本运算：add,plus加subtract减difference差multiply,times乘product积divide除divisible可被整除的dividedevenly被整除dividend被除数divisor因子，除数quotient商remainder余数factorial阶乘power乘方radicalsign,rootsign根号roundto四舍五入tothenearest四舍五入2.有关集合union并集propersubset真子集solutionset解集3.有关代数式、方程和不等式algebraicterm代数项liketerms,similarterms同类项numericalcoefficient数字系数literalcoefficient字母系数inequality不等式triangleinequality三角不等式range值域originalequation原方程equivalentequation同解方程等价方程linearequation线性方程(e.g.5x+6=22)4.有关分数和小数properfraction真分数improperfraction假分数mixednumber带分数vulgarfraction,commonfraction普通分数simplefraction简分数complexfraction繁分数numerator分子denominator分母(least)commondenominator(最小)公分母quarter四分之一decimalfraction纯小数infinitedecimal无穷小数recurringdecimal循环小数tenthsunit十分位5.基本数学概念arithmeticmean算术平均值weightedaverage加权平均值geometricmean几何平均数exponent指数，幂base乘幂的底数,底边cube立方数，立方体squareroot平方根cuberoot立方根commonlogarithm常用对数digit数字constant常数variable变量inversefunction反函数complementaryfunction余函数linear一次的，线性的factorization因式分解absolutevalue绝对值，e.g.｜-32｜=32roundoff四舍五入6.有关数论naturalnumber自然数positivenumber正数negativenumber负数oddinteger,oddnumber奇数eveninteger,evennumber偶数integer,wholenumber整数positivewholenumber正整数negativewholenumber负整数consecutivenumber连续整数realnumber,rationalnumber实数,有理数irrational(number)无理数compositenumber合数e.g.4,6,8,9,10,12,14,15……primenumber质数e.g.2,3,5,7,11,13,15……reciprocal倒数commondivisor公约数multiple倍数(least)commonmultiple(最小)公倍数(prime)factor(质)因子commonfactor公因子ordinaryscale,decimalscale十进制nonnegative非负的tens十位units个位mode众数median中数commonratio公比7.数列arithmeticprogression(sequence)等差数列geometricprogression(sequence)等比数列8.其它approximate近似(anti)clockwise(逆)顺时针方向cardinal基数ordinal序数directproportion正比distinct不同的estimation估计，近似parentheses括号proportion比例数学的英文篇三：数学英文代数ALGEBRA1.数论naturalnumber自然数positivenumber正数negativenumber 负数oddinteger,oddnumber奇数eveninteger,evennumber偶数integer,wholenumber整数positivewholenumber正整数negativewholenumber负整数consecutivenumber连续整数realnumber,rationalnumber实数,有理数irrational（number）无理数inverse倒数compositenumber合数 e.g.4,6,8,9,10,12,14,15…primenumber质数e.g.2,3,5,7,11,13,15…reciprocal倒数commondivisor公约数multiple倍数(minimum)commonmultiple(最小)公倍数(prime)factor(质)因子commonfactor公因子ordinaryscale,decimalscale十进制nonnegative非负的tens十位units个位mode众数mean平均数median中值commonratio公比2.基本数学概念arithmeticmean算术平均值weightedaverage加权平均值geometricmean几何平均数exponent指数，幂base乘幂的底数,底边cube立方数，立方体squareroot 平方根cuberoot立方根commonlogarithm常用对数digit数字constant常数variable变量inversefunction 反函数complementaryfunction余函数linear一次的，线性的.factorization因式分解absolutevalue绝对值，e.g.｜-32｜=32roundoff四舍五入数学3.基本运算add，plus加subtract减difference差multiply,times乘product积divide除divisible可被整除的dividedevenly被整除dividend被除数，红利divisor因子，除数，公约数quotient商remainder余数factorial阶乘power乘方radicalsign,rootsign根号roundto四舍五入tothenearest四舍五入4.代数式，方程，不等式algebraicterm代数项liketerms,similarterms同类项numericalcoefficient数字系数literalcoefficient字母系数inequality不等式triangleinequality三角不等式range值域originalequation原方程equivalentequation同解方程，等价方程linearequation线性方程(e.g.5x+6=22)5.分数，小数properfraction真分数improperfraction假分数mixednumber 带分数vulgarfraction，commonfraction普通分数simplefraction简分数complexfraction繁分数numerator分子denominator分母(least)commondenominator（最小）公分母quarter四分之一decimalfraction纯小数infinitedecimal无穷小数recurringdecimal循环小数tenthsunit十分位6.集合union并集propersubset真子集solutionset解集7.数列arithmeticprogression(sequence)等差数列geometricprogression(sequence)等比数列8.其它approximate近似(anti)clockwise(逆)顺时针方向cardinal基数ordinal序数directproportion正比distinct不同的estimation估计，近似parentheses括号proportion比例permutation排列combination组合table表格trigonometricfunction三角函数unit单位,位几何GEOMETRY1.角alternateangle内错角correspondingangle同位角verticalangle对顶角centralangle圆心角interiorangle内角exteriorangle外角supplementaryangles补角complementaryangle余角adjacentangle邻角acuteangle锐角obtuseangle 钝角rightangle直角roundangle周角straightangle平角includedangle夹角2.三角形equilateraltriangle等边三角形scalenetriangle不等边三角形isoscelestriangle等腰三角形righttriangle直角三角形oblique斜三角形inscribedtriangle内接三角形3.收敛的平面图形，除三角形外semicircle半圆concentriccircles同心圆quadrilateral四边形pentagon五边形hexagon六边形heptagon七边形octagon八边形nonagon九边形decagon十边形polygon多边形parallelogram平行四边形equilateral等边形plane平面square 正方形，平方rectangle长方形regularpolygon正多边形rhombus菱形trapezoid梯形4.其它平面图形arc弧line,straightline直线linesegment线段parallellines平行线segmentofacircle弧形5.立体图形cube立方体，立方数rectangularsolid长方体regularsolid/regularpolyhedron正多面体circularcylinder圆柱体cone圆锥sphere球体solid立体的6.图形的附属概念planegeometry平面几何trigonometry三角学bisect平分circumscribe外切inscribe内切intersect相交perpendicular垂直Pythagoreantheorem 勾股定理（毕达哥拉斯定理）congruent全等的multilateral多边的altitude高depth深度side边长circumference,perimeter周长radian弧度surfacearea表面积volume体积arm直角三角形的股crosssection横截面centerofacircle圆心chord弦diameter直径radius半径anglebisector角平分线diagonal对角线化edge棱faceofasolid立体的面hypotenuse 斜边includedside夹边leg三角形的直角边median（三角形的）中线base底边，底数（e.g.2的5次方，2就是底数）opposite直角三角形中的对边midpoint中点endpoint端点vertex(复数形式vertices)顶点tangent切线的transversal截线intercept截距7.坐标coordinatesystem坐标系rectangularcoordinate直角坐标系origin原点abscissa横坐标ordinate纵坐标numberline数轴quadrant象限slope斜率complexplane复平面【关于数学专业用词的英文翻译】。
英汉数学词汇
algebraic expression algebraic fraction algebraic inequality algebraic number algebraic operation algebraically closed algorithm alternate angle alternate segment alternating series alternative hypothesis altitude ambiguous case amount analysis analytic geometry angle angle at the centre angle at the circumference
旋转角 扇形角 三角形内角和 同顶角 角移位 角动量 角运动 角速度 年（年利率 X%） 逆时针方向；返时针方向 逆时针力矩 反导数; 反微商 逆对数；反对数 反对称 顶点 接近；趋近 近似值 近似；略计；逼近 阿刺伯数字系统 任意 任意常数 弧 弧长 反余弦函数 反正弦函数 反正切函数 面积 阿根图, 阿氏图 (1)论证; (2)辐角 函数的自变量 算术 算术平均； 等差中顶； 算术中
binomial distribution binomial expression binomial series binomial theorem bisect bisection method bisector Boolean algebra boundary condition boundary line bounded bounded above bounded below bounded function bounded sequence brace bracket breadth broken line graph C calculation calculator calculus cancel canellation law canonical capacity cardioid Cartesian coordinates Cartesian equation
一类本原有向图Scrambling指数的上界
情形 １ ｓ ≤广 要１ ．
此 时应 用 引理 ２ ， 不 难得 到结论 成立 ．
情形 ２ ｓ ＞ｉ － 昙］ ．
由于 Ｌ（ Ｄ） ＝｛ ８ ， ｎ ， ｎ ， …， ｎ ， ｎ ｝ ， 且 任意 三个 圈长 的最 大公约 数都 大于 １ ， 所 以对所 有 １ ≤ ≤ｒ ｇ ｃ ｄ （ ｓ ，
，
则 是 … （ Ｄ ） ≤ ｍ ｉ ｎ ｛ Ｌ 号 Ｊ ｓ ， Ｌ Ｓ Ｊ ｝ ＋ ｚ … ．
定理 １ 设 Ｄ 是 一 个 阶 本 原 有 向 图 ， ５是 Ｄ 的 最 小 圈 长 ， 令 Ｌ（ Ｄ） ＝｛ Ｓ ， ａ １ ， ａ ， ， …， ａ １ ｔ －， ａ ｒ ｝ ， 集合中的
公 因子为 １ ．
ｔ
本文 中 ， 记号 Ｕ — ， 表示 有 向 图 Ｄ 中存在 从 到 长为 ｔ的途径 ． 记号 ｚ …表 示从 Ｕ到 途径 的长度 ．
Ｍ． Ａｋ ｅ ｌ ｂ ｅ ｋ和 Ｓ ． Ｋ ｉ ｒ ｋ ｌ ａ ｎ ｄ在 ２ ０ ０ ９年 发表 的论 文－ １ 中引入 了 Ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数 的概 念．
ｎ ） ≠１ ， 并且必然存在一个ｐ Ｅ Ｌ （ Ｄ ） ， 满足ｓ ＜ｐ ≤口 且ｇ ｃ ｄ （ ５ ， 户 ） ≤吾． 若不然， 则ｇ ｃ ｄ （ ｓ ， ｎ ） （ １ ≤ ≤ｒ ） 只能
第 １ ２ 卷
第 １ 期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＴＡ Ｉ ＹＵＡＮ Ｎ ＯＲ ＭＡ Ｌ ＵＮＩ ＶＥ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖ ｏ １ ． １ ２ Ｎ ｏ ． １
约数个数的上界估计
正整数约数个数的上界估计(陕西师大附中 倪如俊 王全)我们知道,若正整数n 的标准素因数分解式为1212k k n p p p ααα=12()k p p p <<<,则n 的正约数个数12()(1)(1)(1)k r n ααα=+++.对于正整数约数个数的上界,文[1]给出了结论:对任意的正整数n ,有()r n <.本文将给出()r n 更精确的上界,得到的结论如下:结论1:对任意的正整数n ,有()r n ≤结论2:当正整数1260n >时,有()r n <引理:设2()(1)xp f x x =+,则当2p =时,()f x 在[2,)+∞上递增；当3p ≥时,()f x 在[1,)+∞上递增. 证明:由2()(1)x p f x x =+得24ln (1)2(1)()(1)x x p p x p x f x x ⋅⋅+-⋅+'=+. 当2p =,2x ≥时,2ln (1)(1)ln 23ln 212(1)22x x p p x x p x ⋅⋅++=≥>⋅+,故()0f x '>,()f x 在[2,)+∞上递增. 当3p ≥,1x ≥时,2ln (1)(1)ln 2ln 312(1)22x x p p x x p p x ⋅⋅++=≥>⋅+,故()0f x '>,()f x 在[1,)+∞上递增. 结论1:对任意的正整数n ,有()r n ≤证明:设正整数n 的标准素因数分解式为1212k k n p p p ααα=12(,0,1,2,,.)k i p p p i k α<<<≥=. 则由引理得12121222222221212323433331()(1)(1)(1)(1)(1)(1)94k k k k k p p p n q r n αααααααααααα=⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅=++++++. 故23()n rn ≥,即()r n ≤当且仅当12342,1,0k ααααα======时,取“＝”,即当22312n =⨯=时,有()r n ≤结论2:当正整数1260n >时,有()r n <证明:设正整数n 的标准素因数分解式为1212k k n p p p ααα=12(,0,1,2,,.)k i p p p i k α<<<≥=.(1)若15p ≥,则由引理得121222221251()(1)(1)(1)4k k k p p p n r n αααααα=≥>+++.(2)若13p =,①当12α≥时,由2212602357n >=⨯⨯⨯得2511()4n r n ≥⨯>. ②当11α=时,由2212602357n >=⨯⨯⨯得2235()1()44n r n ≥⨯>或23571()444n r n ≥⨯⨯>. (3)若12p =,①当17α≥时,则由引理得212831()644n r n ≥⨯>. ②当16α=时,若25p ≥,则26411()49n r n ≥⨯>；若223,2p α=≥,则26411()49n r n ≥⨯>； 若223,1p α==,则由2212602357n >=⨯⨯⨯得264351()4944n r n ≥⨯⨯>. 同理,逐步讨论得:当51=α时,当=α14时,当31=α时,当21=α时,当11=α时,都有1)(2>n r n .综上,当正整数1260n >时,都有()r n <对于正整数约数个数的上界,我们猜想:当0n n >时,有()()r n f n <,且当0n →+∞时,()()f n r n →.参考文献:[1] 边红平,初等数论,浙江大学出版社,P22.。
有关数论函数的一些问题
有关数论函数的一些问题题目：有关数论函数的一些问题研究生：任荣珍任课教师：杨海学科专业：应用数学学号：2014081034学院：理学院时间：2015年1月2日有关数论函数的一些问题数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”.数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置.数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义:对任意的正整数2n ≥, ()n ℜ是由满足如下条件的整数数组12(,,...,)s a a a 所构成的集合:(1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =;(2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =;(3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤.定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈ℜ 设1ika i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同素因子的个数.数论函数的定义[2]: 当自变量n N +∈时, 因变量y 是取实数值或复数值的函数, 即()y F n =, 我们就称他为算数函数或数论函数.1983年, ''Erd os 对()F n 做了很多的研究, 得出了许多的结果, 同时也提出了不少想法和问题, 下面就列举几个问题, 以便对()F n 有更深的了解.结论1[2]对任意正整数k , 总存在一个正整数k n , 使得()k k F n n =, ()k n k ω=.结论2[2]如果我们忽略掉整数中密度为零的一个集合, 那么()limn F n n →+∞=+∞ 我们用p 表示素数, 如果再定义1()p n p p nf n p ααα+≤<=∑, 那么还有如下结论:结论3[2]对任意正整数k , 存在一个正整数k n , 使得()()k k F n f n =, ()k n k ω=定理1[2] 对任意正整数k 及充分大的x , 有＃{}0:(),()(1(1))21log k k kk xn x F n n n k xωο<≤==≥+- 数论作为数的分支在数学领域有着很重要作用, 而数论函数是数论的一个分支在数论中的作用也是不可忽视的, 许多数论或者组合数学中的许多问题也可以化为一些数论函数来研究, 因此数论函数是一类非常重要的函数, 是数论中的一个重要研究课题, 尤其是数论函数的一些性质在数论的研究中也是很有意思的, 如函数的均值问题, 我们知道很多重要的数论函数的取值往往很不规则, 然而它们的均值却有非常优美的渐近公式, 数论函数还有一些很好的性质是值得我们深入研究的, 如研究数论函数的逆函数、数论函数的方程及其方程的解、数论函数的敛散性等等这些性质都是值得深入研究和计算的, 下面就来介绍一些数论函数的性质:在介绍数论函数之前我们先来介绍几种简单的特殊的数论函数:''M o bius 函数定义如下[3]:(1)1μ=如果1n >, 记1212...ka a a k n p p p =. 则12(1)...1()0k k a a a n μ⎧-=====⎨⎩当时其它; 注意: ()0n μ=⇔n 有一个大于1的平方因子. 例题1: 有关()n μ的值的一个表n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10()n μ: 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1定理2[3] 如果1n ≥, 我们有111()01d nn d n n μ=⎧⎡⎤==⎨⎢⎥>⎣⎦⎩∑当时当时Euler 函数定义如下[3]:如果1n ≥, 则欧拉函数()n ϕ被定义为不超过n 且与n 互素的正整数的个数.记为: '1()1nk n ϕ==∑(这里'表示对与n 互素的正整数k 求和)像麦比乌斯函数一样下面来看有关欧拉函数的一个例子例题2: 有关的()n ϕ值得一个表n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10()n ϕ: 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4像()n μ的情况一样对于除数和()d nd ϕ∑也有一个简单的公式定理3[3] 如果1n ≥, 我们有()d nd n ϕ=∑刘维尔函数()n λ的定义如下[1]:()i : (1)1λ=()ii : 12...()(1)k a a a n λ+++=-, 其中 1212...k a a a k n p p p =除数函数()n σ的定义如下[1]:对任意的1n ≥, Dirichlet 除数函数()n σ定义如下:()d nn d σ=∑曼格尔特函数的定义如下[1]: 若：log ()()0p n n ⎧Λ=⎨⎩若为素数p 的方幂 (其它情况)则有()log d nd n Λ=∑和2()log ()()()log d nd nn n n n d d d dμΛ+ΛΛ=∑∑成立.可乘函数的定义[1]:若()f n 为一数论函数, 并且具有下述两个性质:()i 有一正整数n 使得函数值()0f n ≠ ()ii 对于任意两个互质的正整数1n , 2n 有1212()()()f n n f n f n =叫做可乘函数.欧拉常数C 定义为[1]:111lim(1...log )23n C n n→∞=++++- 上面介绍了几种特殊的数论函数, 说明了数论函数在数论中的应用是十分广泛地, 还有很多数论函数是值得研究的, 在这里就简单介绍几种特殊的数论函数, 下面就来研究这些数论函数所具有的性质.关于Euler 函数方程的研究是初等数论中非常重要和有意义的课题, 许多学者研究了它们的性质, 令()k S m 表示方程()x m ϕ=解的个数,其中x 恰有k 个次数为一的素因子, .H Gupta 研究了()k S m 的性质[4], 并证明了对任意给定的正整数n1(!)1S n ≥以及1(!)()S n n →∞→∞其后, .P Erdos 则给出了 对任意的k 和足够大的n(!)(log )k k k S n cn n >其中0c >为常数.为了利用初等方法来研究方程()((()))2n n ωϕϕϕ=的可解性, 进而得到该方程的所有整数解, 就要了解数论函数((()))n ϕϕϕ的相关性质. 下面就来看有关数论函数((()))n ϕϕϕ的几个性质.引理1[4] 设1n ≥为任意给定的正整数, 则有计算公式1()(1)p nn n pϕ=-∏其中p n∏表示对n 的所有素因子求积.定理4[4] 当素数15p ≥时, 要么有3312(((2)))p ϕϕϕ, 要么存在素数3p ≥, 使得31(((2)))p p ϕϕϕ.定理5[4] 素数123p p ≤<, 当223p ≥时, 要么有42122(((2)))p p ϕϕϕ, 要么存在素数3p ≥, 使得212(((2)))p p p ϕϕϕ.定理6[4] 素数1233p p p ≤<<,当311p ≥时, 要么有41232((()))p p p ϕϕϕ, 要么存在素数3p ≥, 使得123((()))p p p p ϕϕϕ.接下来讨论除数函数的上界估计[5]对于正整数n , 设()n σ是n 的不同约数之和, 运用初等数论的方 法, 利用等幂和的Bernoulli 展开式, 得到了关于()n σ的和式1()nr k k σ=∑上界的估计.下面来看有关除数函数的上界估计的几个性质: 引理2[5] 如果2r ≥, 且8log k r r >, 则log 2kk r<. 引理3[5] 当3k >时, ()2log k k k σ<.引理4[5]当1m ≥时, 有111011(1)nm mm jj j j m j B n j m ++-==+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑ 其中j B 为Bernoulli 数.除数函数1()nr k k σ=∑的上界[5]定理7[5] 令[]08log n r r =, 而且012log n r n k C r k k ==∑, 0011n r n k D k +==∑则00121021()(1)2nr rr kn kn k k k k C B n D k r σ++-==+⎛⎫≤++- ⎪+⎝⎭∑∑ 推论1[5] 若12n ≥, 则22201()(1)1094nk k n n σ=<+-∑推论2[5](1) 当26n ≥时, 有354301111()52330nk k n n n n σ=<++-∑; (2) 当44n ≥时, 有4654201151()621212nk k n n n n σ=<++-∑; (3) 当64n ≥时, 有576301111()72642nk k n n n n σ=<+-+∑; (4) 当86n ≥时, 有68764211771()82122412nk k n n n n n σ=<++-+∑. 这就是有关欧拉函数和除数函数的一些性质, 下面再来看有关欧拉函数和除数函数关系的一些性质.先来看看关于()n σ和()n ϕ的一个同余式[6] 同余式()(mod ())n n m n σϕ≡, 4|m 定理8[6] 设正整数2n >, 且满足1212()...(mod ())s l l l s n n p p p n σϕ≡, (0s >)其中i l 为正整数(1,2,...,i s =),12,,...,s p p p 为不同的奇素数, 则n 具有如下形式:1222212...s k k k s n p p p =, 102i i l k +≤≤, (1,...,)i k N i s ∈= 特别地, ()(mod ())l n n p n σϕ≡的全部非平凡解为(1)k p p -, 111i l k p +≤≤-, k 为整数, 其中p 为奇素数, l 为正整数.定理9[6] 设正整数2n >, 且满足1212()2...(mod ())s l l l s n n p p p n σϕ≡, (0)s >其中i l 为正整数(1,2,...,)i s =, 12,,...,s p p p 为不相同的奇素数, 则n 具有如下形式:12122...s a a a a s n p p p q β=, 0,1,2a =, 0,1β=, 01i i a l ≤≤+, (1,...,)i a N i s ∈=其中q 为奇素数, (1,...,)i q p i s ≠=, a q m ≤(令12122...sl l l s m p p p =).注: 定理2的结论可进一步加强, 可证n 只能取如下形式之一:1222212...s k k k s p p p q , 2q , 2l a l p其中: 102i i l k +≤≤, i k N ∈, q 为素数, i q p ≠, 01i i a l ≤≤+, (1,...,)i a N i s ∈=, a q m ≤.下面来看几个例子, 例3：例4：注：当4m 时, 同余式()(mod ())n n m n σϕ≡的解较复杂.例5：设正整数n 满足()4(mod ())n n n σϕ≡, 应用以上方法, 类似地可得n 的形式为:1212121212121,2,3,4,6,8,10,12;,(mod 4),()2,3(mod 4),()n n p p p p p p n p p p p p p =⎧⎪=≡≠⎨⎪=≡≡≠⎩其中其中 对于122n p p =, 通过计算可得: 13p =且211p =或71; 或1p ,2p 满足1211(mod12)p p ≡≡, 对于12n p p =,221122()2(1)6(1)2(1)+6(1)4(mod ())n n p p p p n σϕ≡-+-+--+由()4(mod ())n n n σϕ≡得:221122122(1)6(1)2(1)+6(1)0(mod1)(1)(1)p p p p p p -+-+--≡--即122124240(mod1)11p p p p +++≡-- 满足122124240(mod1)11p p p p +++≡--的解有(5,29), (7,19)等. 猜想: 满足 122124240(mod1)11p p p p +++≡--的1p , 2p 的解数有限. 接下来讨论数论函数方程()(1)n k n σ=+解的问题[7]除数函数的定义在前面已经给出, 它是一个基本而又重要的数论函数, 历史上很多著名的数学难题(例如完全数问题,亲和数问题)都与该函数有关.Florian Luca [7]证明了对任意的正整数x 都不满足等式()()n n F x F x σσ==+而徐闯和徐润章[7]讨论了()()(1)R n n n σ=+的整数值问题, 显然,这一问题等价于函数方程()(1)n k n σ=+, ,k n N ∈的求解问题. 对此,有人提出了猜想[7]:猜想方程()(1)n k n σ=+没有适合2k >的解(,)k n .由于方程()(1)n k n σ=+在形式上与完全数和广义完全数的定义相似,所以这个猜想是一个非常难得问题.当1n >时, 设1212...r a a a r n p p p =是n 的标准分解式, 其中(1,2,...,)i p i r =是适合12..r p p p <<<的素数, i a (1,2,...,)i r =是正整数. 对此, 可以利用初等方法证明当1r =时, 方程 ()(1)n k n σ=+仅有解1(,)(1,)k n p =；当2r =,且{}12min ,1a a =, 方程()(1)n k n σ=+仅当12p =且11223a p +=-时有解12(,)(2,2)a k n p =, 这些结果解决了上述猜想在1r =和2r =且{}12min ,1a a =时的情况. 接下来在此运用初等方法完整地解决了这个猜想在2r =时的情况, 即证明了：定理10[7] 当2r =时, 方程()(1)n k n σ=+仅有解12(,)(2,2)a k n p =, 其 中11223a p +=-定理11[7] 方程()(1)n k n σ=+仅有解(,)(1,2)k n =可使n 是无平方因子正偶数.再看它们的整除性[6]当n 为素数时, 通过简单计算可知只有2,3n =时, ()()n n ϕσ才成立,这部分将讨论当n 至多有3个不同的素因子时, 哪些合数满足()()n n ϕσ设正整数1212...sa a a s n p p p =,122...s p p p ≤<<<,0(1,2,...,)i a i s >=, 若 ()()n k n σϕ=,k N ∈, 当1n >时, ()()n n n σϕ>>, 故2k ≥引理5[6]设正整数1212...sa a a s n p p p =,122...s p p p ≤<<<,0(1,2,...,)i a i s >=, 若()()n k n σϕ=,k N ∈, 则k 满足22212122221212111.......111(1)(1)(1)s s s s p p p p p p k p p p p p p +++≤<------ 引理6[6] 设正整数123n p p p αβγ=123123(,,,)p p p p p p <<为三个不同的素数若存在正整数k 使()()n k n σϕ=, 则:+1221111122111(1(1)(1)(1))p k p p p αβ--+<---- 引理7[6] 设0p ,p 为素数, α,β为正整数, 若满足1111200(1)(1)(1)p p p p p αβαβ+++---=-则1021p p α+=-最后在介绍一种有关数论函数的性质, 就是有关数论函数群的定义.由数论函数的定义可知f 是全体自然数到复数域的一个映射. 乘积函数的定义[8] 设f 与g 是数论函数, 并设()()()d nn h n f d g d =∑ 其中d 为n 的因子, 则称h 为f 与g 的乘积(狄利克雷乘积), 并记为*h f g =显然h 仍为一数论函数, 即数论函数对于上述定义的乘法封闭. 定理12[8] 设f 与g 是数论函数, 则()i **f g g f = (交换律)()ii (*)**(*)f g k f g k = (结合律)恒等函数的定义如下[8] 令111()0n I n n =⎧⎡⎤==⎨⎢⎥⎣⎦⎩ 当时 当n>1时显然I 是一数论函数.定理13[8] 对每一数论函数f , 都有**=I f f I f =因此, I 是数论函数集中的单位元.定理14[8] 设f 是一数论函数, 且(1)0f ≠, 则存在唯一确定的数论函数1f -, 使得11**f f f f I --==并且11(1)(1)f f -=, 111()()()(1)d n d nn f n f f d f d--<-=∑, (1)n >. 由封闭性及定理12、13、14知, 所有具有的数论函数对于上述定义的乘法形成群.以上这些就是对数论函数性质的一些描述, 数论函数的性质给我们很多的启发, 它在计算时也是非常有意思的, 因此还有待继续研究它的性质和其他的一些应用.参考文献[1]李峰, 张文鹏. 几个特殊数论函数的研究[D].西安.西北大学.2008.[2]蒋稳, 陈永高. 数论函数()F n、Catalan数的同余性质[D].南京.南京师范大学. 2013.[3]..P R Halmos. 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阶的估计方法及应用
因为E # 所以由性质可得 E (& > " ( ,E ( !# (& F >! F
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采用阶的估计证明不等式 ! &B "! 阶的估计应用于级数的收敛问题 级数的敛散性是数学分析的重点且是难点 ’ 而其中许多对 正项 级数 敛散性 的判 断 的 方 法 可 转 化 为 阶 的 估 计方法来完成 ! 判断法 !! !设 判断法 &! !设 发散 !
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通过上例可以看出 ’ 阶的估计在求极限 的 应 用 中 不 仅 减 少 了 计 算 量 ’ 并且使许多的极限计算问题迎刃而
9 7 解’ 尤其是对能够分拆的初等函数 0 ( " ( " 等函数更为适用 ! / M 9( R L 0 9( . N M 9( 0 M !F9# !F9#
&B &! 阶的估计在证明不等式中的应用 从等式到不等式是数学学习的一大思维跳跃点 ’ 而不等 式的证 明一直是 中等数 学 乃 至 高 等 数 学 学 习 的 难 点’ 但引用阶的估计法到不等式的证明中 ’ 可以得到意想不到的结果 !
优化问题 上下界 相关证明
优化问题上下界相关证明
我们来看优化问题的上下界的基本概念。
在优化问题中，我们常常寻找一个最优解，使得某个目标函数达到最小或最大值。
上下界则是用来约束这个最优解的可能取值范围。
具体来说，下界是目标函数值的最小可能值，上界是目标函数值的最大可能值。
接下来，我们来看如何证明上下界。
我们可以根据已知条件和不等式的性质，推导出目标函数的最小值和最大值不可能超过某个特定的值，这个值就是上下界的值。
以最小值为例，假设我们有一个函数f(x)，我们想要找到它的最小值。
我们可以找到一个下界b，使得对于所有可能的x值，f(x)的值都不小于b。
然后，我们可以通过迭代或者搜索的方法，找到一个x的值使得f(x)等于b，这样我们就证明了f(x)的最小值至少是b。
同理，对于最大值，我们可以找到一个上界a，使得对于所有可能的x值，f(x)的值都不大于a。
然后，我们可以通过迭代或者搜索的方法，找到一个x的值使得f(x)等于a，这样我们就证明了f(x)的最大值最多是a。
通过合理的选择和推导，我们可以证明优化问题的上下界。
这种方法可以帮助我们更好地理解问题的性质，并找到更好的解决方案。
数学学科分支体系
数学学科分支体系一、初等数学初等数学是数学的基础学科，包括代数、几何和数论等内容。
代数是研究数和运算规律的学科，包括整数、有理数、多项式、方程等内容。
几何是研究空间和形状的学科，包括点、线、面、体的性质和变换等内容。
数论是研究整数性质的学科，包括素数、约数、同余等内容。
二、高等数学高等数学是数学的核心学科，包括微积分、数列、级数、常微分方程等内容。
微积分是研究变化率和积分的学科，包括极限、导数、积分、微分方程等内容。
数列和级数是研究数列和无穷级数的学科，包括等差数列、等比数列、收敛性等内容。
常微分方程是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的学科，包括一阶线性常微分方程、二阶常微分方程等内容。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的学科，包括概率模型、随机变量、概率分布、抽样分布、参数估计、假设检验等内容。
概率论是研究随机现象的量化和描述的学科，包括概率模型、条件概率、随机变量、概率分布等内容。
数理统计是研究通过样本对总体进行推断的学科，包括抽样分布、参数估计、假设检验等内容。
四、离散数学离散数学是研究离散结构和离散对象的学科，包括集合论、图论、代数结构等内容。
集合论是研究集合及其运算的学科，包括集合的性质、运算规律、集合间的关系等内容。
图论是研究图及其性质和应用的学科，包括图的基本概念、图的遍历和连通性、最短路径等内容。
代数结构是研究代数系统及其性质的学科，包括群、环、域等内容。
五、数学分析数学分析是研究实数、函数和极限的学科，包括实数的性质、函数的极限和连续性等内容。
实数是研究实数集的性质和运算规律的学科，包括实数的有序性、上界和下界、实数的完备性等内容。
函数是研究自变量和因变量之间关系的学科，包括函数的极限、连续性、导数和积分等内容。
六、数学逻辑与集合论数学逻辑是研究数学推理和证明的学科，包括命题逻辑、一阶谓词逻辑等内容。
命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的学科，包括命题的合取、析取、蕴含等内容。
离散代数Riccati方程解的上下界估计
收稿日期：２０１７－０８－１３基金项目：国家自然科学基金青年项目（１１４０１５０５）；博士后科学基金面上资助一等资助项目（２０１５Ｍ５８２８１９）；湖南省自然科学基金青年项目（２０１７ＪＪ３３０５）；湖南省教育厅青年项目（１６Ｂ２５７）作者简介：张争争（１９９２ ），女，河南洛阳人，硕士，研究方向：矩阵及其应用．离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程解的上下界估计张争争，张㊀娟（湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭㊀４１１１０５）摘㊀要：假设离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程（ＤＡＲＥ）解存在，利用矩阵对（Ａ，Ｂ）的可控性构造半正定矩阵，进而求得离散代数黎卡提方程（ＤＡＲＥ）的一个上界和三个下界，并证明对其中一个下界进行迭代可以得到ＤＡＲＥ的迭代解；最后我们给出了一个数值例子来证明上下界的有效性以及迭代法的高效性．关键词：离散代数黎卡提方程；上矩阵边界；下矩阵边界；半正定矩阵中图分类号：Ｏ１７１㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码：Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８１７３．２０１８．０５．００４０㊀引言Ｒｉｃｃａｔｉ方程在许多控制系统的分析与设计中［１－３］特别是最优控制中［２－３］起着重要作用．在过去的几十年里大量学者对离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程做了比较充分地研究．这些研究包括矩阵的解㊁边界㊁特征值边界㊁迹边界．显然，矩阵的边界是更一般与普遍的，因为它可以用来推导特征值边界㊁迹边界．在许多实际问题中很难得到离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程的精确解，并且现有的文献中很多结果都是在假定离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程存在正定解的情况下得到的．因此，得到ＤＡＲＥ的精确解以及解的边界尤为重要．在本文中，我们给出了离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一个上界和三个下界．然后利用其中一个下界得到了ＤＡＲＥ的迭代解．最后我们给出了一个数值例子来证明上下界的有效性以及迭代法的高效性．Ｒｎˑｍ表示ｎˑｍ阶实矩阵集合．如果Ａ，ＢɪＲｎˑｎ，不等式Ａ＞（⩾）Ｂ是指Ａ－Ｂ是（半）正定矩阵．Ａ的奇异值按非增顺序排列，即当σｉ（Ａ）表示Ａ的第ｉ个奇异值时有σ１（Ａ）⩾σ２（Ａ）⩾ ⩾σｎ（Ａ）．若Ａ还是对称矩阵，则Ａ的特征值也按非增顺序排列，即当λｉ（Ａ）表示Ａ的第ｉ个特征值时有λ１（Ａ）⩾λ２（Ａ）⩾ ⩾λｎ（Ａ）．单位矩阵用Ｉ表示，ＡＴ表示Ａ的转置．考虑离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程（ＤＡＲＥ）：Ｐ＝ＡＴＰＡ－ＡＴＰＢ（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１ＢＴＰＡ＋Ｑ，（１）其中ＡɪＲｎˑｎ，ＢɪＲｎˑｍ，ＱɪＲｎˑｎ，Ｑ是半正定矩阵，Ｐ是离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程（１）的唯一对称正定解．假设（Ａ，Ｂ）能控，（Ａ，Ｃ）能观测．利用Ｓｈｅｒｍａｎ－Ｍｏｒｒｉｓｏｎ－Ｗｏｏｄｂｕｒｙ不等式：（Ｉ＋ＸＹ）－１＝Ｉ－Ｘ（Ｉ＋ＹＸ）－１Ｙ，则（１）可变成：Ｐ＝ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ．（２）接下来我们介绍几个本文需要用到的引理．引理０．１（Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ［２］）㊀对于任意对称矩阵ＡɪＲｎˑｎ，有如下不等式：λ１（Ａ）Ｉ⩾Ａ⩾λｎ（Ａ）Ｉ．引理０．２（Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ［２］）㊀对于任意矩阵Ａ，ＢɪＲｎˑｎ，ＣɪＲｎˑｍ，如果Ａ⩾Ｂ，则ＣＴＡＣ⩾ＣＴＢＣ．引理０．３（Ｋｏｍａｒｏｆｆ［４］）㊀矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤɪＲｎˑｎ，Ｂ，Ｃ＞０，Ｂ⩾Ｃ，Ｄ⩾０，则：ＡＴ（Ｂ－１＋Ｄ）－１Ａ⩾ＡＴ（Ｃ－１＋Ｄ）－１Ａ．㊃２１㊃２０１８年１０月第３９卷第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀湘南学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉａｎｇｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｏｃｔ．，２０１８Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．５当Ｂ＞Ｃ时上述不等式为严格不等式．引理０．４（Ｄａｖｉｅｓｅｔａｌ．［５］）㊀设Ｐ是ＤＡＲＥ（１）的半正定解，如果σ２１（Ａ＋ＢＫ）＜１，则Ｐ有上界：Ｐ£κ（Ａ＋ＢＫ）Ｔ（Ａ＋ＢＫ）＋Ｑ＋ＫＴＫ．其中κʉλ１（Ｑ＋ＫＴＫ）１－σ２１（Ａ＋ＢＫ），矩阵Ｋ满足Ａ＋ＢＫ稳定．注：由证明过程知λ１（Ｐ）£κ．引理０．５（Ｚｈａｎｇｅｔａｌ．［６］）㊀设Ｐ是ＤＡＲＥ（１）的半正定解，则对于任意ｔ＝１，２， ，ｎ，λｔ（Ｐ）⩾ｍａｘｉ＋ｊ＝ｔ＋ｎｍａｘｕ＋ｖ＝ｉ＋ｎσ２ｕ（Ａ）αｖ１＋αｖλ１（ＢＢＴ）＋λｊ（Ｑ），其中αｔ＝σ２ｎ（Ａ）λｎ（Ｑ）１＋λｎ（Ｑ）λ１（ＢＢＴ）＋λｔ（Ｑ）．因此，λｎ（Ｐ）⩾ｍａｘｉ＋ｊ＝２ｎｍａｘｕ＋ｖ＝ｉ＋ｎσ２ｕ（Ａ）αｖ１＋αｖλ１（ＢＢＴ）＋λｊ（Ｑ）ʉα．１㊀主要结果在这一节我们给出ＤＡＲＥ（１）的上下界以及迭代解的证明．定理１．１㊀设Ｐ是ＤＡＲＥ（１）的正定解．若σ２１（Ａ＋ＢＫ）＜１，则Ｐ有上界Ｐ£ＫＴＫ＋κＡＴＢ（Ｉ＋αＢＴＢ）－１／２Ｋ＋κＫＴ（Ｉ＋αＢＴＢ）－１／２ＢＴＡ＋Ｑ＋κＡＴＡ＝Ｐ１，其中κ，α分别由引理０．４，０．５定义，矩阵Ｋ满足Ａ＋ＢＫ稳定．证明：定义半正定矩阵Ｍ１Ｍ１＝［Ｋ＋（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１／２ＢＴＰＡ］Ｔ［Ｋ＋（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１／２ＢＴＰＡ］⩾０，即ＫＴＫ＋ＡＴＰＢ（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１／２Ｋ＋ＫＴ（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１／２ＢＴＰＡ＋ＡＴＰＢ（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１ＢＴＰＡ⩾０，其中Ｍ１ɪＲｎˑｎ，将（１）代入上式并运用引理０．１得Ｐ£Ｑ＋ＡＴＰＡ＋ＫＴＫ＋ＡＴＰＢ（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１／２Ｋ＋ＫＴ（Ｉ＋ＢＴＰＢ）－１／２ＢＴＰＡ㊀£ＫＴＫ＋λ１（Ｐ）ＡＴＢ（Ｉ＋λｎ（Ｐ）ＢＴＢ）－１／２Ｋ＋λ１（Ｐ）ＫＴ（Ｉ＋λｎ（Ｐ）ＢＴＢ）－１／２ＢＴＡ＋Ｑ＋λ１（Ｐ）ＡＴＡ㊀£ＫＴＫ＋κＡＴＢ（Ｉ＋αＢＴＢ）－１／２Ｋ＋κＫＴ（Ｉ＋αＢＴＢ）－１／２ＢＴＡ＋Ｑ＋κＡＴＡ＝Ｐ１．定理１．２㊀设Ｐ是ＤＡＲＥ（２）的正定解．若σ２１（Ａ＋ＢＫ）＜１，则Ｐ有下界Ｐ⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）Ｔ（１／κＩ＋ＢＢＴ）－１／２Ａ－ＡＴ（１／κＩ＋ＢＢＴ）－１／２ＢＫ＝Ｐ２，其中κ由引理０．４定义，矩阵Ｋ满足Ａ＋ＢＫ稳定．证明：定义半正定矩阵Ｍ２为Ｍ２＝［ＢＫ＋（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１／２Ａ］Ｔ［ＢＫ＋（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１／２Ａ］⩾０，即（ＢＫ）Ｔ（ＢＫ）＋（ＢＫ）Ｔ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１／２Ａ＋ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１／２ＢＫ＋ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ⩾０，其中Ｍ２ɪＲｎˑｎ，将（２）代入上式并运用引理０．１得Ｐ⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）Ｔ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１／２Ａ－ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１／２ＢＫ㊀⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）Ｔ（１／λ１（Ｐ）Ｉ＋ＢＢＴ）－１／２Ａ－ＡＴ（１／λ１（Ｐ）Ｉ＋ＢＢＴ）－１／２ＢＫ㊀⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）Ｔ（１／κＩ＋ＢＢＴ）－１／２Ａ－ＡＴ（１／κＩ＋ＢＢＴ）－１／２ＢＫ＝Ｐ２．定理１．３㊀设Ｐ是ＤＡＲＥ（２）的正定解．则Ｐ有下界Ｐ⩾Ｑ－１／α（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＡ－ＡＴＢＫ，其中α由引理０．５定义，矩阵Ｋ满足Ａ＋ＢＫ稳定．㊃３１㊃张争争，等：离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程解的上下界估计湘南学院学报（自然科学版）㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０１８年１０月（第３９卷）第５期证明：定义半正定矩阵Ｍ３为Ｍ３＝［ＢＫ＋（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ］Ｔ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）［ＢＫ＋（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ］⩾０，即（ＢＫ）ＴＰ－１ＢＫ＋（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ＋（ＢＫ）ＴＡ＋ＡＴＢＫ＋ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ⩾０，其中Ｍ３ɪＲｎˑｎ，将（２）代入上式并运用引理０．１得Ｐ⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＰ－１ＢＫ－（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＡ－ＡＴＢＫ㊀⩾Ｑ－１／λｎ（Ｐ）（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＡ－ＡＴＢＫ㊀⩾Ｑ－１／α（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＡ－ＡＴＢＫ＝Ｐ３．定理１．４㊀设Ｐ是ＤＡＲＥ（２）的正定解．若σ２１（Ａ＋ＢＫ）＜１，则Ｐ有下界Ｐ⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－κ（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－κ（ＢＫ）ＴＡ－κＡＴＢＫ＝Ｐ４，其中κ由引理０．４定义，矩阵Ｋ满足Ａ＋ＢＫ稳定．证明：定义半正定矩阵Ｍ４为Ｍ４＝［ＢＫ＋（Ｉ＋Ｐ１／２ＢＢＴＰ１／２）－１Ｐ１／２Ａ］Ｔ（Ｉ＋Ｐ１／２ＢＢＴＰ１／２）［ＢＫ＋（Ｉ＋Ｐ１／２ＢＢＴＰ１／２）－１Ｐ１／２Ａ］⩾０，即（ＢＫ）ＴＢＫ＋（ＢＫ）ＴＰ１／２ＢＢＴＰ１／２ＢＫ＋（ＢＫ）ＴＰ１／２Ａ＋ＡＴＰ１／２ＢＫ＋ＡＴＰ１／２（Ｉ＋Ｐ１／２ＢＢＴＰ１／２）－１Ｐ１／２Ａ⩾０，其中Ｍ４ɪＲｎˑｎ，将（２）代入上式并运用引理０．１和ＡＴＰ１／２（Ｉ＋Ｐ１／２ＢＢＴＰ１／２）－１Ｐ１／２Ａ＝ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ得Ｐ⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＰ１／２ＢＢＴＰ１／２ＢＫ－（ＢＫ）ＴＰ１／２Ａ－ＡＴＰ１／２ＢＫ㊀⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－λ１（Ｐ）（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－λ１（Ｐ）（ＢＫ）ＴＡ－λ１（Ｐ）ＡＴＢＫ㊀⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－κ（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－κ（ＢＫ）ＴＡ－κＡＴＢＫ＝Ｐ４．定理１．５㊀设Ｐ是ＤＡＲＥ（２）的正定解．若σ２１（Ａ＋ＢＫ）＜１，则有Ｐ＝ｌｉｍｊң¥Ｓｊ，其中Ｓ０＝Ｐ４，Ｓｊ＝ＡＴ（Ｓ－１ｊ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ，ｊ＝１，２， ．证明：首先证明Ｓ１⩾Ｓ０．运用引理０．１和０．２，得Ｓ１＝ＡＴ（Ｓ０－１＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ＝ＡＴＳ１／２０（Ｉ＋Ｓ０１／２ＢＢＴＳ０１／２）－１Ｓ１／２０Ａ＋Ｑ㊀＝［ＢＫ＋（Ｉ＋Ｓ０１／２ＢＢＴＳ０１／２）－１Ｓ０１／２Ａ］Ｔ（Ｉ＋Ｓ１／２０ＢＢＴＳ１／２０）［ＢＫ＋（Ｉ＋Ｓ０１／２ＢＢＴＳ０１／２）－１Ｓ１／２０Ａ］㊀－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＳ１／２０ＢＢＴＳ１／２０ＢＫ－（ＢＫ）ＴＳ１／２０Ａ－ＡＴＳ１／２０ＢＫ＋Ｑ㊀⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＳ１／２０ＢＢＴＳ１／２０ＢＫ－（ＢＫ）ＴＳ１／２０Ａ－ＡＴＳ１／２０ＢＫ㊀＝Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＰ１／２４ＢＢＴＰ１／２４ＢＫ－（ＢＫ）ＴＰ１／２４Ａ－ＡＴＰ１／２４ＢＫ㊀⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－（ＢＫ）ＴＰ１／２ＢＢＴＰ１／２ＢＫ－（ＢＫ）ＴＰ１／２Ａ－ＡＴＰ１／２ＢＫ㊀㊀⩾Ｑ－（ＢＫ）ＴＢＫ－κ（ＢＫ）ＴＢＢＴＢＫ－κ（ＢＫ）ＴＡ－κＡＴＢＫ＝Ｐ４＝Ｓ０．再证明Ｓ１£Ｐ，由于Ｐ４£Ｐ，再由引理０．３得Ｓ１＝ＡＴ（Ｐ－１４＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ£ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ＝Ｐ．现在假设Ｓｊ⩾Ｓｊ－１，Ｓｊ£Ｐ成立，运用引理０．３可得Ｓｊ＋１＝ＡＴ（Ｓ－１ｊ＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ⩾ＡＴ（Ｓ－１ｊ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ＝Ｓｊ．Ｓｊ＋１＝ＡＴ（Ｓ－１ｊ＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ£ＡＴ（Ｐ－１＋ＢＢＴ）－１Ａ＋Ｑ＝Ｐ．因此，我们证明了Ｓｊ＋１⩾Ｓｊ ⩾Ｓ１⩾Ｓ０，Ｓｊ£Ｐ，ｊ＝０，１， ，由文献［７］中正算子的单调收敛性定理知当ｊң¥时，ＳｊңＰ．２㊀数值例子在这一节，我们证明所给结果的有效性．例１㊀考虑ＤＡＲＥ，㊃４１㊃Ａ＝１．１００．１０éëêêùûúú，Ｂ＝２０éëêêùûúú，Ｃ＝３１１４éëêêùûúú．取Ａ＋ＢＫ的特征值为－０．０００１，－０．０００１，再运用文献［８］中的极点配置法求得Ｋ＝［－０．５５０１０］．由定理１．１，１．２，１．３，１．４求得Ｐ１＝５．５５８１１４éëêêùûúú，Ｐ２＝２．９６９２１１４éëêêùûúú，Ｐ３＝０．０７０５１１４éëêêùûúú，Ｐ４＝－１５．９６６６１１４éëêêùûúú．显然所求Ｐ１是Ｐ的上界，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４是Ｐ的下界．再由定理１．５中的迭代公式可得Ｓ０＝－１５．９６６６１１４éëêêùûúú，Ｓ１＝３．３４４４１１４éëêêùûúú，Ｓｊ＝３．３３４１１４éëêêùûúú，ｊ⩾２．３㊀结论本文给出了离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程解的一个上界和三个下界．然后利用其中一个下界得到了ＤＡＲＥ的迭代解．最后我们给出了一个数值例子来证明上下界的有效性以及迭代法的高效性．参考文献：［１］刘文秀，郭伟．基于Ｒｉｃｃａｔｉ方程和ＬＭＩ算法的Ｈ¥控制器的设计与实现［Ｊ］．计算机测量与控制，２０１７（０２）：７４－７６．［２］ＢＥＲＮＳＴＥＩＮＤＳ．ＭａｔｒｉｘＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ｔｈｅｏｒｙ，ＦａｃｔｓａｎｄＦｏｒｍｕｌａｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏＬｉｎｅａｒＳｙｓｔｅｍｓＴｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ：Ｐｒｉｎ⁃ｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２００５．［３］ＫＯＪＩＭＡ，Ｃ，ＴＡＫＡＢＡ，Ｋ，ＫＡＮＥＫＯ，Ｏ，ｅｔａｌ．Ａｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅ－ｔｉｍｅａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｑｕａｄｒａｔｉｃｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｍｓ［Ｊ］．ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａＡｐｐｌ，２００６，４１６：１０６０－１０８２．［４］ＫＯＭＡＲＯＦＦＮ．ＩｔｅｒａｔｉｖｅｍａｔｒｉｘｂｏｕｎｄｓａｎｄｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓＡｕｔｏｍ．Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９４，３９：１６７６－１６７８．［５］ＤＡＶＩＥＳＲ，ＳＨＩＰ，ＷｉｌｔｓｈｉｒｅＲ．ＮｅｗｕｐｐｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｂｏｕｎｄｓｏｆｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｍａｔｒｉｘｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕ⁃ｔａｔｉｏｎａｌ＆ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００８，２１３（２）：３０７－３１５．［６］ＺＨＡＮＧＪ，ＬＩＵＪＺ，ＺＨＡＹＬ．ＴｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｂｏｕｎｄｓｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｍａＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＣｏｎｔｒｏｌ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，２０１６，２７８７（３）：７４．［７］ＫＡＮＴＯＲＯＶＩＣＨＬＹａｎｄＡＫＩＬＯＶＧＰ．ＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＡｎａｌｙｓｉｓｉｎＮｏｒｍｅｄＳｐａｃｅｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｍａｃｍｉｌｌａｎ，１９６４．［８］ＯＧＡＴＡＫ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ－ｔｉｍｅＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍｓ（ｓｅｃｏｎｄｅｄ．）［Ｍ］．ＥｎｇｌｅｗｏｏｄＣｌｉｆｆｓＰｒｅｎｔｉｃｅ－ＨａｌｌＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＩｎｃ：ＮＪ，１９９５．ＵｐｐｅｒａｎｄＬｏｗｅｒＭａｔｒｉｘＢｏｕｎｄｓｏｆｔｈｅＳｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅＤｉｓｃｒｅｔｅＡｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉＥｑｕａｔｉｏｎＺＨＡＮＧＺｈｅｎｇｚｈｅｎｇ，ＺＨＡＮＧＪｕａｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＸｉａｎｇｔａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｎｇｔａｎ４１１１０５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｕｎｄｅｒｔｈｅａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃ⁃ｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ（ＤＡＲＥ），ｗｅｕｓｅｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘｐａｉｒ（Ａ，Ｂ）ｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｐｏｓｉｔｉｖｅｓｅｍｉ－ｄｅｆｉｎｉｔｅｍａｔｒｉｘａｎｄｇｅｔａｎｕｐｐｅｒａｎｄｔｈｒｅｅｌｏｗｅｒｍａｔｒｉｘｂｏｕｎｄｓｆｏｒｔｈｉｓｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ，ａｎｉｔｅｒａｔｉｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＤＡＲＥｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｇｉｖｅａｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｄｅｒｉｖｅｄｒｅｓｕｌｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｃｒｅｔｅａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ；ｕｐｐｅｒｍａｔｒｉｘｂｏｕｎｄ；ｌｏｗｅｒｍａｔｒｉｘｂｏｕｎｄ；ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｅｍｉ－ｄｅｆｉｎｉｔｅｍａｔｒｉｘ㊃５１㊃张争争，等：离散代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程解的上下界估计。
数论中的数域与数论函数
数论中的数域与数论函数数论作为数学的一个重要分支，探讨了整数的性质和结构。
在数论的研究过程中，涉及到了许多与数域相关的概念和数论函数。
本文将介绍数论中的数域以及常见的数论函数，并探讨它们在数论中的应用。
一、数域1.1 整数域整数域是最基本的数域，用符号Z表示。
整数域包括正整数、负整数和0，利用整数域可以进行基本的加减乘除运算，并且满足加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配率等性质。
1.2 有理数域有理数域是由所有可以表示为两个整数比的数构成，表示为符号Q。
有理数域包括整数域以及所有形如a/b（其中a、b为整数，b≠0）的数。
在有理数域上，可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足分数的加、减、乘、除的运算规则。
1.3 实数域实数域用符号R表示，包括有理数和无理数。
实数域上可以进行基本运算，并且满足实数域的完备性，即实数域上的每个非空有上界的子集都有最小上界。
1.4 复数域复数域用符号C表示，由实数域R上的有序对（a,b）构成，其中a 和b都是实数。
复数域上可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足复数域的代数封闭性，即复数域上的任何多项式方程都有根。
二、数论函数2.1 除法函数除法函数指的是整除函数和求余函数。
整除函数d(x,y)表示x能否被y整除，如果能整除，则d(x,y)=1，否则d(x,y)=0。
求余函数r(x,y)表示x除以y的余数。
2.2 最大公因数函数最大公因数函数指的是求两个或多个整数的最大公因数的函数。
常用的求最大公因数的算法有辗转相除法、质因数分解法等。
最大公因数函数常用符号表示为gcd(x,y)，表示x和y的最大公因数。
2.3 最小公倍数函数最小公倍数函数指的是求两个或多个整数的最小公倍数的函数。
常用的求最小公倍数的算法有质因数分解法、辗转相除法等。
最小公倍数函数常用符号表示为lcm(x,y)，表示x和y的最小公倍数。
2.4 欧拉函数欧拉函数用符号φ(n)表示，表示小于等于n的正整数中与n互质的个数。
数论函数d(n)和σ(n)的部分和渐近估计式的推广
数论函数d(n)和σ(n)的部分和渐近估计式的推广
计算数论上的函数d(n)和σ(n)及其部分和渐近估计式的推广可以定义为解决
数论问题的应电手段，它也给出了很多研究领域的引用，为我们提供了更多的依据，从而可以发现一些历史上不断发展和积累下来的重要发现，对于数学研究有很大的影响。
d(n)函数和σ (n)函数是大多数数论问题的重要分析工具，它们的定义分别是：n的d(n)函数为n的正要数的个数，也就是小于等于n的分解因子的个数与
σ(n)函数即n的分解中所有因子的乘积之和，是一种联合函数，放大了各分解因子之间的积累联系，是数论研究的重要手段。
此外，还有一种渐近估计式，即在计算d(n)函数和σ(n)函数部分和时，可以
把这些函数渐近估计式拓展成其估计值的梯形和抛物线。
以此，不仅能够用抛物线及梯形等几何体的计算性质来求解计算数论问题，而且同时也使参与计算的数字除简单的加减乘除外，还具备有更为广阔的平面集合和空间诉求及特性。
总之，应用计算数论上引入的函数d(n)和σ(n)及其部分和渐近估计式的拓展，可以为数学研究提供更多的视角，使数学的发展更深入更宽广，进而为学术的普及和进步带来积极的影响和指导。
认识上界与下界
认识上界与下界在许多领域，人们常常需要确定某个数值的上界和下界。
上界和下界可以帮助我们更好地理解和应用这个数值，从而提高分析和决策的准确性。
本文将介绍上界与下界的概念以及它们在不同领域中的应用。
一、什么是上界与下界上界（Upper Bound）和下界（Lower Bound）是数学中用于限定某个数值范围的概念。
具体来说，上界是指某个数值的最大限制，而下界则是指某个数值的最小限制。
上界与下界可以是特定的数值，也可以是某个集合或范围。
在实际应用中，上界与下界常常用来表示问题的边界条件，或者对某个变量或参数的限制。
通过确定上界与下界，我们可以更加精确地分析和解决问题，避免出现无法接受的数值或结果。
二、上界与下界的应用1. 数学和计算机科学领域在数学和计算机科学领域中，上界与下界的概念非常常见。
例如，在算法分析中，我们常常需要确定某个算法的时间复杂度的上界和下界。
这可以帮助我们评估算法的效率，并选择合适的算法解决特定问题。
另一个例子是在数值优化中，我们常常需要确定目标函数的上界和下界。
通过限制目标函数的取值范围，我们可以更好地进行优化和求解，从而得到更好的结果。
2. 统计学与概率论在统计学与概率论中，上界与下界的应用也非常广泛。
例如，在置信区间估计中，我们常常需要确定某个参数的上界和下界。
这可以帮助我们获得参数的一个范围区间，并评估估计结果的可靠性。
另一个例子是在假设检验中，我们常常需要确定某个统计量的上界和下界。
通过确定统计量的范围，我们可以判断某个假设的可接受性，并作出相应的决策。
3. 工程领域与设计在工程领域与设计中，上界与下界的应用也非常重要。
例如，在材料力学中，我们常常需要确定某个材料的强度上界和下界。
这可以帮助我们设计和选择合适的材料，以满足工程要求并确保结构的安全性。
另一个例子是在产品设计中，我们常常需要确定某个产品的尺寸或性能的上界和下界。
通过确定产品的限制条件，我们可以制定合理的设计方案，并满足用户需求。
古典概率类型知识点总结
古典概率类型知识点总结一、概率空间概率空间是指由一个样本空间和一个概率度量构成的。
样本空间（Ω）是一个元素的集合，每个元素称作样本点。
概率度量P是样本空间上的一个映射，其值域是[0,1]，且满足以下三个性质：1. 非负性：对于样本空间中的每个事件A，P(A) ≥ 02. 规范性：P(Ω) = 13. 可列可加性：若事件A1,A2,...是不相容的，则P(A1 ∪ A2 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + ...二、事件及概率函数在概率空间中，事件是指样本空间的一个子集。
概率函数P是定义在样本空间上的，对于每个事件A，它满足以下性质：1. 非负性：对于任意事件A，P(A) ≥ 02. 规范性：P(Ω) = 13. 可列可加性：若事件A1,A2,...是不相容的，则P(A1 ∪ A2 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + ...根据这些性质，我们可以计算事件发生的概率。
三、概率的性质在概率的计算过程中，有一些特性是非常重要的，例如：1. 若事件A包含在事件B中，则P(A) ≤ P(B)2. 对于任意事件A，有P(Ω - A) = 1 - P(A)3. 互补事件：对于任意事件A，有P(A) + P(A的补集) = 14. 事件的并、交以及差：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)，P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)四、条件概率条件概率是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率满足以下性质：1. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)2. 若事件A和B独立，则P(A|B) = P(A)五、独立事件事件A和B独立是指事件A的发生不受事件B的影响，反之亦然。
事件A和B独立的充分必要条件是P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
当A和B不独立时，我们可以使用条件概率来进行概率的计算。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它将条件概率P(A|B)和P(B|A)联系了起来。
有上界的函数
有上界的函数在数学中，一个有上界的函数是指函数值可以被某个常数所限制的函数。
这个常数被称为函数的“上界”。
举例来说，假设有一个函数f(x)，当x无限增大时，其值趋近于无穷大。
但如果这个函数的值被某个常数C所限制，那么我们就可以说这个函数有上界C。
也就是说，对于所有的x，f(x)<=C。
在数学中，有上界的函数有着很多用途。
最常见的用途就是通过上界来计算一个函数在给定区间内的最大值。
我们可以找到一个上界C，证明函数f(x)<=C，然后利用这个上界来计算出函数在区间内的最大值。
这种方法通常被称为“上界法”。
另一个常见的用途是在分析算法的时间复杂度时。
有些算法的时间复杂度是由一个有上界的函数来描述的。
这个上界函数可以帮助我们确定算法的运行时间最坏情况下的上限，从而使我们能够更好地了解算法的性能特征。
同时，有上界的函数还可以用来定义“渐近上界”。
渐近上界是指一种特殊的上界，它可以被用来描述一个函数在无限接近某个值时的行为。
具体来说，一个函数g(x)是函数f(x)的渐近上界，当且仅当对于所有的x，f(x)<=g(x)。
最后，我们还可以将有上界的函数与有下界的函数结合起来，得到“有界函数”。
有界函数是指函数既有上界，又有下界，也就是说，存在常数L和U，使得对于所有的x，L<=f(x)<=U。
总之，有上界的函数在数学中是一个非常常见的概念，它有着广泛的应用，无论是在分析算法的时间复杂度，还是在计算一个函数在给定区间内的最大值时。
同时，我们还可以将有上界的函数与有下界的函数结合起来，得到有界函数，这也是数学中非常重要的一个概念。
函数上下界
函数上下界函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，我们常常需要了解函数的上下界，以便更好地理解函数的性质和应用。
本文将从不同类型的函数出发，探讨函数的上下界。
一、初等函数初等函数是指可以用有限次加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数和三角函数等基本运算和函数组合得到的函数。
常见的初等函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的上下界可以通过函数的性质和导数的符号来确定。
以多项式函数为例，对于一个n次多项式函数f(x)，当x趋近于正无穷或负无穷时，f(x)的值也趋近于正无穷或负无穷。
因此，多项式函数的上下界可以通过其导数的符号来确定。
当f'(x)>0时，f(x)在x处取得最小值；当f'(x)<0时，f(x)在x处取得最大值。
这样，我们就可以通过求导来确定多项式函数的上下界。
二、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数的上下界可以通过函数的周期性和单调性来确定。
以正弦函数为例，正弦函数的周期为2π，因此，当x趋近于正无穷或负无穷时，正弦函数的值会在[-1,1]之间循环。
同时，正弦函数在[0,π/2]上单调递增，在[π/2,π]上单调递减，在[π,3π/2]上单调递增，在[3π/2,2π]上单调递减。
因此，我们可以通过正弦函数的周期性和单调性来确定其上下界。
三、指数函数和对数函数指数函数和对数函数是指以指数为自变量的函数和以对数为自变量的函数。
这些函数的上下界可以通过函数的性质和导数的符号来确定。
以指数函数为例，指数函数的图像呈现出逐渐上升的趋势，因此，指数函数的上界为正无穷，下界为0。
同时，指数函数的导数也是指数函数本身，因此，指数函数在任意一点处的导数都大于0，即指数函数在任意一点处单调递增。
因此，我们可以通过指数函数的性质和导数的符号来确定其上下界。
四、无界函数无界函数是指在某些自变量范围内，函数的值可以趋近于正无穷或负无穷。
阶的估计基础
阶的估计基础一、引言在数学领域中，阶（Order）是一种对函数或算法复杂度的估计基础。
阶的估计是为了描述一个函数或算法在输入规模增长时的行为特性。
在本文中，我们将深入探讨阶的估计基础的概念、原理和应用。
二、概念解析2.1 阶的定义阶指的是一个函数在无穷远点处的增长速度。
在数学中，通常用大O符号来表示阶。
例如，如果一个函数f(n)的阶为O(g(n))，意味着存在一个正常数C和一个正整数N，对于所有大于N的n，f(n)的值都小于等于C * g(n)。
2.2 大O符号的使用大O符号在算法复杂度分析中广泛应用。
它可以帮助我们估计算法的增长速度，并比较不同算法之间的效率。
一些常见的大O符号包括： - O(1)：常数阶，表示算法的执行时间不受输入规模的影响。
- O(log n)：对数阶，表示算法的执行时间随输入规模的增长呈对数增长。
- O(n)：线性阶，表示算法的执行时间与输入规模成线性关系。
- O(n^2)：平方阶，表示算法的执行时间与输入规模的平方成正比。
- O(2^n)：指数阶，表示算法的执行时间与输入规模成指数关系。
- O(n!)：阶乘阶，表示算法的执行时间与输入规模的阶乘成正比。
三、阶的估计原理3.1 渐进分析阶的估计基于渐进分析原理，即通过研究算法在输入规模趋近于无穷时的行为，来估计算法的增长特性。
在渐进分析中，我们主要关注算法的最坏情况复杂度，即算法在所有可能输入中最慢的情况下所需的时间或空间。
3.2 时间复杂度和空间复杂度阶的估计包括时间复杂度和空间复杂度两个维度。
时间复杂度描述了算法所需的计算时间随输入规模增长的趋势，而空间复杂度描述了算法所需的存储空间随输入规模增长的趋势。
四、阶的估计应用4.1 算法分析阶的估计在算法分析中起到至关重要的作用。
通过对算法的阶进行估计，我们可以选择最适合特定问题的算法。
例如，在排序算法中，快速排序的时间复杂度为O(n log n)，而冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，因此在大规模数据排序时，我们可以选择快速排序算法来提高效率。
【精品】数学名词
数学名词边差长乘除底点度分高勾股行和弧环集加减积角解宽棱列面秒幂模球式势商体项象线弦腰圆十位个位几何子集大圆小圆元素下标下凸下凹百位千位万位分子分母中点约分加数减数数位通分除数商数奇数偶数质数合数算式进率因式因数单价数量约数正数负数整数分数倒数乘方开方底数指数平方立方数轴原点同号异号余数除式商式余式整式系数次数速度距离时间方程等式左边右边变号相等解集分式实数根式对数真数底数首数尾数坐标横轴纵轴函数常显变量截距正弦余弦正切余切正割余割坡度坡比频数频率集合数集点集空集原象交集并集差集映射对角数列等式基数正角负角零角弧度密位函数端点全集补集值域周期相位初相首项通项公比公差复数虚数实数实部虚部实轴虚轴向量辐角排列组合通项概率直线公理定义概念射线线段顶点始边终边圆角平角锐角纯角直角余角补角垂线垂足斜线斜足命题定理条件题设结论证明内角外角推论斜边曲线弧线周长对边距离矩形菱形邻边梯形面积比例合比等比分比垂心重心内心外心旁心射影圆心半径直径定点定长圆弧优弧劣弧等圆等弧弓形相离相切切点切线相交割线外离外切内切内径外径中心弧长扇形轨迹误差视图交点椭圆焦点焦距长袖短轴准线法线移轴转轴斜率夹角曲线参数摆线基圆极轴极角平面棱柱底面侧面侧棱楔体球缺棱锥斜高棱台圆柱圆锥圆台母线球面球体体积环体环面球冠极限导数微分微商驻点拐点积分切面面角极值有解无解单根重根同解增根失根特解通解上限下限上界下界有界无界区间区域邻域内点边界端点收敛发散曲率全等相似被减数被除数假分数真分数带分数质因数小数点多位数百分数单名数复名数统计表统计图比例尺循环节近似数准确数圆周率百分位十分位千分位万分位自然数正整数负整数有理数无理数相反数绝对值正分数连分数近似数弦切角曲率圆负分数有理数正方向负方向正因数负因数正约数运算律交换律结合律分配律最大数最小数逆运算奇次幂偶次幂平方表立方表平方数立方数被除式代数式平方和平方差立方和立方差单项式多项式二项式三项式常数项一次项二次项同类项填空题选择题判断题证明题未知数大于号小于号等于号恒等号不等号公分母不等式方程组代入法加减法公因式有理式繁分式换元法平方根立方式根指数小数点无理数公式法判别式零指数对数式幂指数对数表横坐标纵坐标自变量因变量函数值解析法解析式列表法图象法指点法截距式正弦表余弦表正切表余切表平均数有限集描述法列举法图示法真子集欧拉图非空集逆映射自反性对称性传递性可数集可数势维恩图反函数幂函数角度制弧度制密位制定义城函数值开区间闭区间增函数减函数单调性奇函数偶函数奇偶性五点法公因子对逆性比较法综合法分析法最大值最小值递推式归纳法复平面纯虚数零向量长方体正方体正方形相交线延长线中垂线对预角同位角内错角无限极长方形平行线真命题假命题三角形内角和辅助线直角边全等形对应边对应角原命题逆命解原定理逆定理对称点对称轴多边形对角线四边形五边形三角形否命题中位线相似形比例尺内分点外分点平面图同心圆内切圆外接圆弦心距圆心角圆周角弓形角内对角连心线公切线公共弦中心角圆周长圆面积反证法主视图俯视图二视图三视图虚实线左视图离心率双曲线渐近线抛物线倾斜角点斜式斜截式两点式一般式参变数渐开线旋轮线极坐标公垂线斜线段半平面二面角斜棱柱直棱柱正梭柱直观图正棱锥上底面下底面多面体旋转体旋转面旋转轴拟柱体圆柱面圆锥面多面角变化率左极限右极限隐函数显函数导函数左导教右导数极大值极小值极大点极小点极值点原函数积分号被积式定积分无穷小无穷大混合运算乘法口诀循环小数无限小数有限小数简易方程四舍五人单位长度加法法则减法法则乘法法则除法法则数量关系升幂排列降幂排列分解因式完全平方完全立方同解方程连续整数连续奇数连续偶数同题原理最简方程最简分式字母系数公式变形公式方程整式方程二次方根三次方根被开方数平方根表立方根表二次根式几次方根求根公式韦达定理高次方程分式方程有理方程无理方程微分方程分数指数同次根式异次根式最简根式同类根式换底公式反对数表坐标平面坐标原点比例系数一次函数二次函数三角函数正弦定理余弦定理样本方差集合相交等价集合可数集合对应法则指数函数对数函数自然对数指数方程对数方程单值对应单调区间单调函数诱导公式周期函数周期交换振幅变换相位变换正弦曲线余弦曲线正切曲线余切曲线倍角公式半角公式积化和差和差化积三角方程线性方程主对角线副对角钱零多项式余数定理因式定理通项公式有穷数列无穷数列等比数列总和符号特殊数列不定方程系数矩阵增广炬阵初等变换虚数单位共轭复数共轭虚数辐角主值三角形式代数形式加法原理乘法原理几何图形平面图形等量代换度量单位角平分线互为余角互为补角同旁内角平行公理性质定理判定定理斜三角形对应顶点尺规作图基本作图互逆命题互逆定理凸多边形平行线段逆否命题对称中心等腰梯形等分线段比例线段勾股定理黑金分割比例外项比例内项比例中项比例定理相似系数位似图形位似中心内公切线外公切线正多边形扇形面积互否命题互逆命题等价命题尺寸注法标准方程平移公式旋转公式有向线段定比分点有向直线经验公式有心曲线无心曲线参数方程普通方程极坐标系等速螺线异面直线直二面角凸多面体祖恒原理体积单位球面距离凸多面角直三角面正多面体欧拉定理连续函数复合函数中间变量瞬间速度瞬时功率二阶导数近似计算辅助函数不定积分被积函数积分变量积分常数凑微分法相对误差绝对误差带余除法微分方程初等变换立体几何平面几何解析几何初等函数等差数列常用对数四舍五入法纯循环小数一次二项式二次三项式最大公约数最小公倍数代入消元法加减消元法平方差公式立方差公式立方和公式提公因式法分组分解法十字相乘法最简公分母算数平方根完全平方数几次算数根因式分解法双二次方程负整数指数科学记数法有序实数对两点间距离解析表达式正比例函数反比例函数三角函数表样本标准差样本分布表总体平均数样本平均数集合不相交基本恒等式最小正周期两角和公式两角差公式反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角线性方程组二阶行列式三阶行列式四阶行列式对角线法则系数行列式代数余子式降阶展开法绝对不等式条件不等式矛盾不等式克莱姆法则算术平均数几何平均数一元多项武乘法单调性加法单调性最小正周期零次多项式待定系数法辗转相除法二项式定法二项展开式二项式系数数学归纳法同解不等式垂直平分线互为邻补角等腰三角形等边三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形全等三角形边角边公理角边角公理边边边定理轴对称图形第四比例项外角平分线相似多边形内接四边形相似三角形内接三角形内接多边形内接五边形外切三角形外切多边形共轭双曲线斜二测画法三垂线定理平行六面体直接积分法换元积分法第二积分法分部积分法混循环小数第一积分法同类二次根偏微分方程一元一次方程一元二次方程完全平方公式最简二次根式直接开平方法半开半闭区间万能置换公式绝对值不等式实系数多项式复系数多项式整系数多项式不等边三角形中心对称图形基本初等函数基本积分公式分部积分公式二元一次方程三元一次方程一元一次不等式一元二次不等式二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组平面直角坐标系等腰直角三角形二元一次不等式二元线性方程组三元线性方程组四元线性方程组多项式恒等定律一元一次不等式组三元一次不定方程三元齐次线性方程组。
可测函数的几个等价定义
可测函数的几个等价定义可测函数是测度论中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。
在测度论中，可测函数有多种等价定义，下面将介绍几个比较常见的等价定义。
1.点态收敛定义：设(X,Σ,μ)是一个测度空间，f:X→R是一个函数。
若对于任意的实数a，有{x∈X，f(x)>a}是一个测度零集，即μ(({x∈X，f(x)>a})=0，则称函数f是可测函数。
2.关于原像的限制条件定义：设(X,Σ,μ)是一个测度空间，f:X→R是一个函数。
若对于任意的实数a，有{x∈X，f(x)>a}=f^{-1}((a,+∞))∈Σ，即{x∈X，f(x)>a}是可测集合，则称函数f是可测函数。
3. 关于原像的全面条件定义：设(X, Σ, μ)是一个测度空间，f: X → R是一个函数。
若对于任意的Borel集合B，有f^{-1}(B) ∈ Σ，即函数f的原像集合对任意的Borel集合都属于测度空间的可测集族Σ，则称函数f是可测函数。
4.极限函数的逼近定义：设(X,Σ,μ)是一个测度空间，f:X→R是一个函数。
若存在一个可测函数序列{f_n}，对于任意的x∈X，当n趋向于无穷大时，有f_n(x)→f(x)，则称函数f是可测函数。
该定义相对简单直观，但需要注意在这里可测函数序列的收敛是逐点收敛。
5.紧集的逼近定义：设(X,Σ,μ)是一个测度空间，f:X→R是一个函数。
若存在一个可测函数序列{f_n}，对于任意的实数M>0，有μ({x∈X，，f(x)，>M})<1/n，同时对于任意的紧集K，有f_n，_K到f，_K的一致收敛，则称函数f是可测函数。
该定义强调了函数在紧集上的逼近，相对于之前的定义更加严格。
以上是可测函数的几个等价定义，每个定义从不同的角度描述了可测函数的性质，使得我们可以在实际问题中选择合适的定义来进行处理。
可测函数是测度论中的基本对象，对于测度论的研究和应用具有重要意义。
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定
第 ５期
＝
理 吴莉等： 一类约数和函数的上界估计
令
７９ ｌ
＝
４ ｏ ／ —ｏ ８ —ｌｇ１ｇ ） ｌｇ－ ｌｇ ｒ —ｏ （ ｒ — ｏ ３ｏ ， ｏ ８ ｏ （ ｇ ） ， ｌｇ． ｇ 一ｌｇ１ ｒ ＞０ 一ｌ ｏ
故ｆ（） （ｒｏ ｒ ， ｋ ＞ｆ ８ ｌｇ ） 所以引理 １ 得证．
自然
版
ｓｅ ｐ．２ ０ ０１
一｜ １ 。
．
文 章编 号：０ ３２４ （０００ －７ ８ ３ １０．８３２ １）５０ ｌ－ ０
一
类约数和函数 的上界估计
吴莉，杨仕椿
（ 阿坝 师范高等专科学校数 学系，四川汶川 ６ ３ ０ ） ２ ０ ０
摘 要： 正整数 ｋ设ｏ ｋ 是ｋ 对于 ， － ） 的不同 之和． 初等数论方法 利用等幂 （ 约数 运用 ， 和的Ｂｒ ｕｉ ｅ ｏｌ展开式， ｎ ｌ 得到了 关
３ 口Ｕ
当
刀
（） ２当 ４ 时， ４ 有 （） ｎ ６ 有 有 ３当 ＞ ４ 时，
寸
０
玎
２／ Ｚ ＋１ ｎ４＿ｌ Ｆ ２ ５
２ １ ２ １ ２
６
ｌ １
２
∑ ∑ （ 当 ８ 时， ４ ） ６ 有
，Ｌ
＝ｋ＜ ＋ 。ｕ＋ Ｏ ７厶 一 、 ６ 右 ｉ 专 吉 ｆ ） 言 ３‘ （
∑ 尼 ＜１２？１－０． （） ／（＋） １ ，， ９ ／
ｋ０ ＝
（） ４
证明
在定理 中令 ， ，则 ｎ＝ｌ， ． ＝２ Ｏ １ 于是
１１
Ｃ ＝ Ｚｋｌ ｋ ４６５… Ｄ ：１ ＝３ ， ｌ ４ ｇ ＝ ２ ． ， ｌ ∑七 ４ ６ １ ｏ ５８ 。 １ ５
由 于∑
ｋ＝０
Ｄ
Ｉ Ｉ
３ 主要结果及证明
∑ 七
Ｈ
则
（ ｃ １ ｒ ｋ ２ 尼 ） ＋ ＋ ， Ｆ
ｋ ｌ ＝
（ １＋ 。 ＋ ） ， ～一 ．
（） ３
， ｌ厶 ＝Ｏ ＼ ｋ
／
证 明 由引理 １ 引理 ２以及 （） 和 ２可得 ，
∑ （）Ｚ２ ｌｋ ２ 七ｏ 七 ｋｏ ｒ ｇ ｇ 芝 Ｉｋ
（ １ ）
中常数 ｃ 的最佳值问题． 在文献【】 乐茂华证明了常数 ｃ ５中， 的最佳值 ｃ ＝１ ． ０ 本文推广了文献【 的结论， ４ 】 对于 ，２ 运ｊ初等数论方法， 乏， ｛ ＝ ｊ 利用等幂和的 Ｂ ｒｏｌ ｅ ｕ ｉ展开式， ｎ ｌ 得到了关于
ｃｋ的 式∑ａｋ） 较 精确的 估计 ｒ）和 （ （ 的 为 上界 ．
ｏｋ＝ － ｒ） ∑ｄ （
约数和函数 ｏ ｋ 是一类重要的数论函数， －） （ 有许多关￣ｏ ｋ 的问题和课题， －） （ 例如， 历史上著名的完全数问题与
该函数有关【 ． Ｈ１ 最近． Ｂ ｎｚ 和 ＪＳ ｎｏ Ｍ． ｅｃｅ ． ｄｄｒ提出如下问 ，： 确定不等式 】
∑ 尼） ７１， ＜ ｌ， Ｎ， （ ≤ 胛（＋） ０ ｃ ，？ ， 。 ∈
（１则（ 得 ＝尼＜，ｚ。 ９ ） 由） ，０ 。去（１ ・ ＋ ， ３ ） ，） 。 可 （ 叶 ＋ ０ ｚ
７０ ２
西南民族大学学报 ・ 自然科学版
征
日
第 ３ 卷 ６
月
因此推论 １ 得证 ．显然 ， 推论 １ 中的（） 比文 献［】 ４式 ４中的主 要结果要 强一些 推 论 ２ （） 崆 ２ １当 ６时， ５ｋ ＜ ／ ＋ （ ， ／ ５ ｌ ｌ
引理 ２ 当 ｋ 时，ｃ ｋ ＜２ ｌｇ ＞３ ｒ ） ｋｏ （ ｋ． 证明 见文 献 ［】 ３的引理 ３ ． 引理 ３ 当 ＞ 时， ？ｌ 有
＝
｝、 ：
ｔ ＋ １ｊ ０ ， ｔ ＝ ＼
Ｊ
，
‰ ∑
，
（）
其 中 ， Ｂ ｒｏ ｌ 数 ． 为 ｅｎ ｕｌ ｉ 证明 见文献 ［］ 引理 １ ６的 ．
于（ 尼 的 （， ） ） 和式 － （ 七） 的上界的 估计・
＝Ｉ
关键词 ：约数和函数； 上界；等幂和； ｅｎ ｕｌ数 Ｂ ｒｏ ｌ ｉ
中 图分 类 号 ： ５ ． Ｏｌ６２ 文 献标 识 码 ： Ａ
１ 引言
设 Ⅳ是全体正整数的集合， 对于正整数 设 ｏ ｋ 是 ｋ －） （ 的约数之和， 即
２ 一些 引理
引理 ｌ 如果 ，２ 且 尼＞８ 。 ，则 ｌｇ尼＜ ｋ 耋， ＝ ｌｇｒ 。
．
证明 令 （） ： ｋ ｌｇ 则 ’ ） 。 ， （ ＝１
—
一
可得． 因此， 尼＞８ ｇ． ’ ） ， 当 ｒ。 ，时， （ ＞ｏ 即 （） ｌ 尼 为
ｋ
增 函数 ， 是 于
ｒｏ 厂 尼一 （ １ ， （） ｆ ８ 。 ． — ｇｒ ｒ ｇ ）： ８ ｌ
—
—
—
ｌｇ８ ｉｇ ） ｏ（ 。 ｒ．
收 稿 日期 ：２ １．７２ ０ ００ －０
作者简介 ：吴莉 （ ８ ． 女， １ ２） ９ ， 四川崇州人， 阿坝师范高等专科学校数学系讲师， 主要从事代数及数论研究 基金项 目：Ｉ）ｌ Ｌ￣ ｔ 省科技厅应用基础研究项 ［（０ ９Ｙ ０ ， １ ￣２ ０Ｊ ０ ９ ） 阿坝师专校级科研基金资助项 （ Ｓ Ｏ１） １ Ａ Ｃｌ・６．
第 ３ 卷第 ５ ６ 期
报 学 Ｊｕ ｎ Ｊ ｆＳ ｕ ｈ ｅｓ 南 ｉ ｅｒｓｉｙ ｆ ｒＮａ ｉ ｎａ ｉｉ Ｎ ａ ｕ ａｉ ｃｅ ｃ ｄｉｉｎ ｔｏ ｌｔ ｓ ｏ ｒ ａ Ｊ ｏ ｏ ｔ ｗ ｔ Ｕｎ ｖ ｔ ｏ ｅ ｔ ｒ ｉｎ ｅ Ｅ ｔ Ｓ ｏ
西
’
民族 大 学学
＝
２ ｋ ｏ ｒ ｌｇｋ＋２ ｒ
一 ． 一 ｒ
ｋ ｏ ｌｇｋ
一
＝
２ ｋ ｏ ｒ ｌ ｇｋ＋
－
ｋ
— 一
一
＝
２ ｇ＋￣ｋ Ｚｋ ｌ ｋ （］ ∑ｋ ｏ － － ）
＿ Ｃ ＋ １ ｒ ， ＋ ｌ
所 以定理 得证 ． 由定理可 得 以下推 论． 推论 １ 若 １，则 ２