1.3 动量变化定理和动量守恒
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d f i + ∑ f ij = ∑ p i dt i i , j ( j ≠i )
对质点编号 i 求和
i
∑
质点系动量定理(momentum theorem of particle system)：
dP F外 = dt
在惯性系中系统的总动量对时间的变化率等 于该系统所受的合外力
内力可以改变质点系内各质点的动量， 内力可以改变质点系内各质点的动量，但内 力的矢量和等于零，对系统的总动量没有影响。 力的矢量和等于零 ， 对系统的总动量没有影响 。 例如， 例如，两个物体之间的摩擦力可以改变各个 物体的动量， 但不会改变系统的总动量。 物体的动量 ， 但不会改变系统的总动量 。 炸弹 爆炸时， 爆炸力使弹片获得巨大的动量， 爆炸时 ， 爆炸力使弹片获得巨大的动量 ， 但对 系统的总动量没有影响。 系统的总动量没有影响。 用质点系动量变化定理分析问题时， 用质点系动量变化定理分析问题时，必须保 证质点系所包括的所有质点在运动过程中没有 增减，即保持系统的质量（组成）不变。 增减，即保持系统的质量（组成）不变。否则就 改变了内力的定义。 改变了内力的定义。
【演示实验】逆风行舟 演示实验】
显示动量定理的矢量性
V
v1
f
f横
f纵
∆m
p1
水
f阻
∆p
f横
p2
龙 骨
帆
v2
【思考】在逆风行舟实验中，能否顶风前进？ 思考】 逆风行舟实验中，能否顶风前进？
【例1.11】一辆拉煤车以速率从煤斗下面通过， 】一辆拉煤车以速率从煤斗下面通过， 每秒钟落入车厢中的煤为500kg。若使车厢速率 每秒钟落入车厢中的煤为 。 不变， 应该用多大的牵引力拉车厢（ 不变 ， 应该用多大的牵引力拉车厢 （ 忽略车厢 与轨道之间的摩擦力） 与轨道之间的摩擦力）？ 解
t′
I x = ∫ Fx dt = mυ2 x − mυ1x = p′ − px 0 x I y = ∫ Fy dt = mυ2 y − mυ1 y = p′ − p y 0 y
t0 t0 t′
(c) 动量定理常用于碰撞过程 碰撞过程中，作用力很大，且随时间变化，称为冲力 碰撞过程中，作用力很大，且随时间变化，称为冲力
还有另一类变质量问题是在高速（ 还有另一类变质量问题是在高速（v ∼ c）情况下，这时即 高速 ）情况下， 使没有粘附和抛射，质量也可以改变 使没有粘附和抛射，质量也可以改变— 随速度变化 m = m(v)， ， 这是相对论情形，不在本节讨论之列。 这是相对论情形，不在本节讨论之列。 相对论情形 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。
=
∑m r
i
i i
M
xC =
∑m x
i i
i
M
， yC =
∑m y
i i
i
M
， zC =
∑m z
i
i i
M
dri ∑ m i dt drC vC = = i = dt M
∑m v
i i
i
M
P = M
→ P = Mv C
在任何参考系中， 在任何参考系中，质点系的动量都等于它的 质心的动量。 质心的动量。 2. 质心运动定理(motion theorem of the mass center)
∫
p′ p0
dp = p ′ − p 0
动量定理积分形式 动量定理积分形式： 积分形式：
力对时间的积分（矢量） 冲量 力对时间的积分（矢量）
I = ∫ Fdt
t0
t′
上式变为
I = p ′ − p0
动量定理积分形式 动量定理积分形式
合外力对质点的冲量，等于质点动量的增量 P17例 合外力对质点的冲量，
t2
t1
平均力： 平均力：
p 2 − p1 I = = f = t 2 − t1 t 2 − t 1 t 2 − t1
t1
∫ fdt
f
I
0 t1
t2
t
动量定理微分形式 动量定理微分形式: 微分形式:
时刻， 若 t0时刻，物体动量 p0 t' 时刻，物体动量 p′ 时刻，
Fdt = dp
∫
t′
t0
Fdt =
1.3 动量变化定理和动量守恒 1.3.1 冲量和质点动量变化定理 1.3.2 质点系动量变化定理 1.3.3 动量守恒定律 *1.3.4 火箭水平推进速度（自学） 火箭水平推进速度（自学） 1.3.5 质心和质心运动定理
1.3.1 冲量和质点动量变化定理 力的时间累积， 冲量 (Impulse) ： 力的时间累积 ， 即力对时间 t2 的积分 I = ∫ fdt , dI = fdt = dp (惯性系) 惯性系) 质点动量变化定理(Momentum Theorem of Particle) ：在 dt 时间内质点所受合 I = P2 − P 1 力的冲量， 力的冲量，等于在这段时间内质点 f 动量的增量。 动量的增量。
α
m1v1
θ
m2 v2
即：m1v1 + m2 v2 + m3v3 = 0
所以这三个动量必处 α 于同一个平面内，且 m 3 v3 第三块的动量必和第 一、二块的合动量大 小相等、方向相反， 如图所示。 因为 v1 和 v2 相互垂直，所以
m1v1
θ
m2 v2
(m3v3 ) = (m1v1 ) + (m2 v2 )
内力总是成对出现，所以质点系中所有内力 内力总是成对出现，所以质点系中所有内力 的矢量和等于零
i, j (i ≠ j )
∑f
ij
= f12 + f 21 + ⋯+ f 23 + f32 + ⋯ = 0
外力 (external force)： 质点系以外的物体或 例如重力场） 场 （ 例如重力场 ） 对 系统内质点的作用力
【例1.14】用质心运动定理重解例 】用质心运动定理重解例1.12 质点系： 解 质点系：子弹和物体 子弹射入物体到停在其中， 子弹射入物体到停在其中 ， 系统水平方向上不受外力， 系统水平方向上不受外力 ， 因 此质心的速度不变。 此质心的速度不变 。 子弹刚停 在物体中时物体的速度， 在物体中时物体的速度 ， 等于 子弹刚入射时系统质心的速度
m代表 时刻落入车厢的煤和车厢的总质量， 代表t时刻落入车厢的煤和车厢的总质量 代表 时刻落入车厢的煤和车厢的总质量， 经过dt时间 质量为dm 的煤落入车厢。 时间， 经过 时间，质量为 的煤落入车厢。 作为质点系， 取 m和dm作为质点系，以保证在 到 t+dt过程 和 作为质点系 以保证在t到 过程 中系统质量不变。 中系统质量不变。 把车厢运行方向设为正方向。 把车厢运行方向设为正方向。
注意
区分外力和 区分外力和内力 外力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量. 动量，但不能改变系统的总动量
说明： I = p ′ − p 0 说明：
(a) 冲量 I 是矢量 F 是恒力时， I = ∫t Fdt = F(t′ − t0 ) 是恒力时，
0
t′
F 是变力时，方向由 I = p′ − p0 决定 是变力时， (b) 动量定理分量式
2 2
2
由于
m1 = m2 = m , m3 = 2m
所以 v3 的大小为
1 1 2 2 2 2 v3 = v1 + v2 = 30 + 30 = 15 2 m/s 2 2
1.3.5 质心和质心运动定理 1. 质心
(center of mass)
定义： 定义：
rC
∑m r = ∑m
i i i
i i
例：篮球 m=1kg ，相对地以 v=6m/s , α=60o 撞在篮板上，撞后α 设碰撞时间∆ 撞在篮板上，撞后α=60o。设碰撞时间∆t=0.01s 求： 篮板受到的平均作用力。 篮板受到的平均作用力。
解：球受力 球受力 解：
Ix Fx = ∆t
α
v2
Y 篮板受平均作用力
X X
α
v1
mv2 x − mv1x = ∆t 2 mv cos α =600 N = ∆t
mv = ( m + M )V m V = v m+M
【例1.13】一个静止的物体炸裂成三块，其中两块 】
具有相等的质量，且以相同速率30 m/s 沿相互垂直 的方向飞开，第三块的质量为前两块的总和，求第 三块的速度。 解：物体的动量原 等于零，根据动量守恒 定律知道，物体分裂为 m3 v3 三块后，这三块碎片的 动量的动量总和仍然等 于零。
P = Mv C →
dv C dP =M dt dt
→ F外 = Ma C
一个质点系的质心的运动， 一个质点系的质心的运动，相当于一个质点 的运动，该质点的质量等于质点系的质量， 的运动 ， 该质点的质量等于质点系的质量 ， 所 受的力是作用于质点系的合外力， 受的力是作用于质点系的合外力 ， 内力不影响 质心的运动。 质心的运动。
= 00 = ∆t Iy
mv1
mv2
Fy =
F = 600i ( N )
I
I mv2 − mv1 F= = = 600i ( N ) ∆t ∆t
1.3.2 质点系动量变化定理 质点系： 质点系：由若干个相 互作用质点组成的系统 内力(internal force) ： 根据牛顿第三定律
f ij + f ji = 0
3ห้องสมุดไป่ตู้
用这一牵引力拉车厢，车厢的速率不变。 用这一牵引力拉车厢，车厢的速率不变。
1.3.3 动量守恒定律(Low of conservation of momentum) 在惯性系中当质点系不受外力作用， 在惯性系中当质点系不受外力作用，或所受 合外力等于零时，该质点系的动量保持不变。 合外力等于零时，该质点系的动量保持不变。 dP = 0, P = 常矢量 dt 即质点系的动量的大小和方向都保持不变。 即质点系的动量的大小和方向都保持不变。 只要合外力沿某一方向的分量为零， 只要合外力沿某一方向的分量为零，则在该 方向上质点系的动量就守恒。 方向上质点系的动量就守恒。 如果外力<<内力，且过程经历时间很短， 如果外力 内力，且过程经历时间很短，外 内力 力引起系统总动量变化<<内力引起各质点动量 力引起系统总动量变化 内力引起各质点动量 变化，可认为系统动量守恒。 变化，可认为系统动量守恒。 例如：碰撞、 例如：碰撞、爆炸
守恒定律的意义：只要满足动量守恒条件， 守恒定律的意义：只要满足动量守恒条件， 不必知道过程的细节就可以断定， 不必知道过程的细节就可以断定 ， 系统在任意 时刻的动量一定等于系统的初始动量。 时刻的动量一定等于系统的初始动量。 动量守恒定律是自然界中普遍适用的规律之 其应用范围远远超出牛顿力学。 一，其应用范围远远超出牛顿力学。 实验表明：对于不受外界影响的粒子系统所 实验表明： 经历的任意过程， 经历的任意过程 ， 包括不能用牛顿力学描述的 过程， 例如高能粒子碰撞， 裂变和衰变等， 过程 ， 例如高能粒子碰撞 ， 裂变和衰变等 ， 都 遵守动量守恒定律。 遵守动量守恒定律。
mv + M × 0 m = v V = m+M m+M
*§1.3.4
火箭飞行原理-火箭飞行原理 变质量问题
神州” “神州”号飞船升空
变质量问题（低速， 变质量问题（低速，v << c）有两类： ）
▲粘附 ▲抛射
— 主体的质量增加（如滚雪球） 主体的质量增加（如滚雪球） — 主体的质量减少（如火箭发射） 主体的质量减少（如火箭发射）
F外 = ∑ f i = f1 + f 2 + ⋯
i
质点系的动量： 质点系的动量：质点系内所有质点的动量的 矢量和 P = ∑ p i = ∑ mi v i
i i
F外～ P 关系？ 关系？
在惯性系中对第i个质点列牛顿第二定律 在惯性系中对第 个质点列牛顿第二定律
dp i f i + ∑ f ij = dt j ( j ≠i )
的子弹以速度v沿水平方 【 例 1.12】 质量为 的子弹以速度 沿水平方 】 质量为m的子弹以速度 向射入用细绳悬挂的质量为M的物体 的物体， 向射入用细绳悬挂的质量为 的物体 ， 并留在 物体中。 物体中 。 设子弹从射入物体到停在其中所经时 间极短，求子弹刚停在物体中时物体的速度。 间极短，求子弹刚停在物体中时物体的速度。 质点系： 解 质点系：子弹和物体 子弹从射入物体到停在其中， 物 子弹从射入物体到停在其中 ， 体仍处于原平衡位置。 体仍处于原平衡位置 。 水平方向上 系统不受外力，动量守恒 系统不受外力，
系统 t 时刻动量：mv + dm ⋅ 0 = 时刻动量： (t+dt) 时刻动量： ( m + dm)v 时刻动量： dt 时间内系统动量增量： 时间内系统动量增量：
mv
dP = ( m + dm)v − mv = vdm
按质点系动量变化定理
dP dm F= =v dt dt
= 3 × 500 = 1.5 × 10 N
对质点编号 i 求和
i
∑
质点系动量定理(momentum theorem of particle system)：
dP F外 = dt
在惯性系中系统的总动量对时间的变化率等 于该系统所受的合外力
内力可以改变质点系内各质点的动量， 内力可以改变质点系内各质点的动量，但内 力的矢量和等于零，对系统的总动量没有影响。 力的矢量和等于零 ， 对系统的总动量没有影响 。 例如， 例如，两个物体之间的摩擦力可以改变各个 物体的动量， 但不会改变系统的总动量。 物体的动量 ， 但不会改变系统的总动量 。 炸弹 爆炸时， 爆炸力使弹片获得巨大的动量， 爆炸时 ， 爆炸力使弹片获得巨大的动量 ， 但对 系统的总动量没有影响。 系统的总动量没有影响。 用质点系动量变化定理分析问题时， 用质点系动量变化定理分析问题时，必须保 证质点系所包括的所有质点在运动过程中没有 增减，即保持系统的质量（组成）不变。 增减，即保持系统的质量（组成）不变。否则就 改变了内力的定义。 改变了内力的定义。
【演示实验】逆风行舟 演示实验】
显示动量定理的矢量性
V
v1
f
f横
f纵
∆m
p1
水
f阻
∆p
f横
p2
龙 骨
帆
v2
【思考】在逆风行舟实验中，能否顶风前进？ 思考】 逆风行舟实验中，能否顶风前进？
【例1.11】一辆拉煤车以速率从煤斗下面通过， 】一辆拉煤车以速率从煤斗下面通过， 每秒钟落入车厢中的煤为500kg。若使车厢速率 每秒钟落入车厢中的煤为 。 不变， 应该用多大的牵引力拉车厢（ 不变 ， 应该用多大的牵引力拉车厢 （ 忽略车厢 与轨道之间的摩擦力） 与轨道之间的摩擦力）？ 解
t′
I x = ∫ Fx dt = mυ2 x − mυ1x = p′ − px 0 x I y = ∫ Fy dt = mυ2 y − mυ1 y = p′ − p y 0 y
t0 t0 t′
(c) 动量定理常用于碰撞过程 碰撞过程中，作用力很大，且随时间变化，称为冲力 碰撞过程中，作用力很大，且随时间变化，称为冲力
还有另一类变质量问题是在高速（ 还有另一类变质量问题是在高速（v ∼ c）情况下，这时即 高速 ）情况下， 使没有粘附和抛射，质量也可以改变 使没有粘附和抛射，质量也可以改变— 随速度变化 m = m(v)， ， 这是相对论情形，不在本节讨论之列。 这是相对论情形，不在本节讨论之列。 相对论情形 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。
=
∑m r
i
i i
M
xC =
∑m x
i i
i
M
， yC =
∑m y
i i
i
M
， zC =
∑m z
i
i i
M
dri ∑ m i dt drC vC = = i = dt M
∑m v
i i
i
M
P = M
→ P = Mv C
在任何参考系中， 在任何参考系中，质点系的动量都等于它的 质心的动量。 质心的动量。 2. 质心运动定理(motion theorem of the mass center)
∫
p′ p0
dp = p ′ − p 0
动量定理积分形式 动量定理积分形式： 积分形式：
力对时间的积分（矢量） 冲量 力对时间的积分（矢量）
I = ∫ Fdt
t0
t′
上式变为
I = p ′ − p0
动量定理积分形式 动量定理积分形式
合外力对质点的冲量，等于质点动量的增量 P17例 合外力对质点的冲量，
t2
t1
平均力： 平均力：
p 2 − p1 I = = f = t 2 − t1 t 2 − t 1 t 2 − t1
t1
∫ fdt
f
I
0 t1
t2
t
动量定理微分形式 动量定理微分形式: 微分形式:
时刻， 若 t0时刻，物体动量 p0 t' 时刻，物体动量 p′ 时刻，
Fdt = dp
∫
t′
t0
Fdt =
1.3 动量变化定理和动量守恒 1.3.1 冲量和质点动量变化定理 1.3.2 质点系动量变化定理 1.3.3 动量守恒定律 *1.3.4 火箭水平推进速度（自学） 火箭水平推进速度（自学） 1.3.5 质心和质心运动定理
1.3.1 冲量和质点动量变化定理 力的时间累积， 冲量 (Impulse) ： 力的时间累积 ， 即力对时间 t2 的积分 I = ∫ fdt , dI = fdt = dp (惯性系) 惯性系) 质点动量变化定理(Momentum Theorem of Particle) ：在 dt 时间内质点所受合 I = P2 − P 1 力的冲量， 力的冲量，等于在这段时间内质点 f 动量的增量。 动量的增量。
α
m1v1
θ
m2 v2
即：m1v1 + m2 v2 + m3v3 = 0
所以这三个动量必处 α 于同一个平面内，且 m 3 v3 第三块的动量必和第 一、二块的合动量大 小相等、方向相反， 如图所示。 因为 v1 和 v2 相互垂直，所以
m1v1
θ
m2 v2
(m3v3 ) = (m1v1 ) + (m2 v2 )
内力总是成对出现，所以质点系中所有内力 内力总是成对出现，所以质点系中所有内力 的矢量和等于零
i, j (i ≠ j )
∑f
ij
= f12 + f 21 + ⋯+ f 23 + f32 + ⋯ = 0
外力 (external force)： 质点系以外的物体或 例如重力场） 场 （ 例如重力场 ） 对 系统内质点的作用力
【例1.14】用质心运动定理重解例 】用质心运动定理重解例1.12 质点系： 解 质点系：子弹和物体 子弹射入物体到停在其中， 子弹射入物体到停在其中 ， 系统水平方向上不受外力， 系统水平方向上不受外力 ， 因 此质心的速度不变。 此质心的速度不变 。 子弹刚停 在物体中时物体的速度， 在物体中时物体的速度 ， 等于 子弹刚入射时系统质心的速度
m代表 时刻落入车厢的煤和车厢的总质量， 代表t时刻落入车厢的煤和车厢的总质量 代表 时刻落入车厢的煤和车厢的总质量， 经过dt时间 质量为dm 的煤落入车厢。 时间， 经过 时间，质量为 的煤落入车厢。 作为质点系， 取 m和dm作为质点系，以保证在 到 t+dt过程 和 作为质点系 以保证在t到 过程 中系统质量不变。 中系统质量不变。 把车厢运行方向设为正方向。 把车厢运行方向设为正方向。
注意
区分外力和 区分外力和内力 外力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量. 动量，但不能改变系统的总动量
说明： I = p ′ − p 0 说明：
(a) 冲量 I 是矢量 F 是恒力时， I = ∫t Fdt = F(t′ − t0 ) 是恒力时，
0
t′
F 是变力时，方向由 I = p′ − p0 决定 是变力时， (b) 动量定理分量式
2 2
2
由于
m1 = m2 = m , m3 = 2m
所以 v3 的大小为
1 1 2 2 2 2 v3 = v1 + v2 = 30 + 30 = 15 2 m/s 2 2
1.3.5 质心和质心运动定理 1. 质心
(center of mass)
定义： 定义：
rC
∑m r = ∑m
i i i
i i
例：篮球 m=1kg ，相对地以 v=6m/s , α=60o 撞在篮板上，撞后α 设碰撞时间∆ 撞在篮板上，撞后α=60o。设碰撞时间∆t=0.01s 求： 篮板受到的平均作用力。 篮板受到的平均作用力。
解：球受力 球受力 解：
Ix Fx = ∆t
α
v2
Y 篮板受平均作用力
X X
α
v1
mv2 x − mv1x = ∆t 2 mv cos α =600 N = ∆t
mv = ( m + M )V m V = v m+M
【例1.13】一个静止的物体炸裂成三块，其中两块 】
具有相等的质量，且以相同速率30 m/s 沿相互垂直 的方向飞开，第三块的质量为前两块的总和，求第 三块的速度。 解：物体的动量原 等于零，根据动量守恒 定律知道，物体分裂为 m3 v3 三块后，这三块碎片的 动量的动量总和仍然等 于零。
P = Mv C →
dv C dP =M dt dt
→ F外 = Ma C
一个质点系的质心的运动， 一个质点系的质心的运动，相当于一个质点 的运动，该质点的质量等于质点系的质量， 的运动 ， 该质点的质量等于质点系的质量 ， 所 受的力是作用于质点系的合外力， 受的力是作用于质点系的合外力 ， 内力不影响 质心的运动。 质心的运动。
= 00 = ∆t Iy
mv1
mv2
Fy =
F = 600i ( N )
I
I mv2 − mv1 F= = = 600i ( N ) ∆t ∆t
1.3.2 质点系动量变化定理 质点系： 质点系：由若干个相 互作用质点组成的系统 内力(internal force) ： 根据牛顿第三定律
f ij + f ji = 0
3ห้องสมุดไป่ตู้
用这一牵引力拉车厢，车厢的速率不变。 用这一牵引力拉车厢，车厢的速率不变。
1.3.3 动量守恒定律(Low of conservation of momentum) 在惯性系中当质点系不受外力作用， 在惯性系中当质点系不受外力作用，或所受 合外力等于零时，该质点系的动量保持不变。 合外力等于零时，该质点系的动量保持不变。 dP = 0, P = 常矢量 dt 即质点系的动量的大小和方向都保持不变。 即质点系的动量的大小和方向都保持不变。 只要合外力沿某一方向的分量为零， 只要合外力沿某一方向的分量为零，则在该 方向上质点系的动量就守恒。 方向上质点系的动量就守恒。 如果外力<<内力，且过程经历时间很短， 如果外力 内力，且过程经历时间很短，外 内力 力引起系统总动量变化<<内力引起各质点动量 力引起系统总动量变化 内力引起各质点动量 变化，可认为系统动量守恒。 变化，可认为系统动量守恒。 例如：碰撞、 例如：碰撞、爆炸
守恒定律的意义：只要满足动量守恒条件， 守恒定律的意义：只要满足动量守恒条件， 不必知道过程的细节就可以断定， 不必知道过程的细节就可以断定 ， 系统在任意 时刻的动量一定等于系统的初始动量。 时刻的动量一定等于系统的初始动量。 动量守恒定律是自然界中普遍适用的规律之 其应用范围远远超出牛顿力学。 一，其应用范围远远超出牛顿力学。 实验表明：对于不受外界影响的粒子系统所 实验表明： 经历的任意过程， 经历的任意过程 ， 包括不能用牛顿力学描述的 过程， 例如高能粒子碰撞， 裂变和衰变等， 过程 ， 例如高能粒子碰撞 ， 裂变和衰变等 ， 都 遵守动量守恒定律。 遵守动量守恒定律。
mv + M × 0 m = v V = m+M m+M
*§1.3.4
火箭飞行原理-火箭飞行原理 变质量问题
神州” “神州”号飞船升空
变质量问题（低速， 变质量问题（低速，v << c）有两类： ）
▲粘附 ▲抛射
— 主体的质量增加（如滚雪球） 主体的质量增加（如滚雪球） — 主体的质量减少（如火箭发射） 主体的质量减少（如火箭发射）
F外 = ∑ f i = f1 + f 2 + ⋯
i
质点系的动量： 质点系的动量：质点系内所有质点的动量的 矢量和 P = ∑ p i = ∑ mi v i
i i
F外～ P 关系？ 关系？
在惯性系中对第i个质点列牛顿第二定律 在惯性系中对第 个质点列牛顿第二定律
dp i f i + ∑ f ij = dt j ( j ≠i )
的子弹以速度v沿水平方 【 例 1.12】 质量为 的子弹以速度 沿水平方 】 质量为m的子弹以速度 向射入用细绳悬挂的质量为M的物体 的物体， 向射入用细绳悬挂的质量为 的物体 ， 并留在 物体中。 物体中 。 设子弹从射入物体到停在其中所经时 间极短，求子弹刚停在物体中时物体的速度。 间极短，求子弹刚停在物体中时物体的速度。 质点系： 解 质点系：子弹和物体 子弹从射入物体到停在其中， 物 子弹从射入物体到停在其中 ， 体仍处于原平衡位置。 体仍处于原平衡位置 。 水平方向上 系统不受外力，动量守恒 系统不受外力，
系统 t 时刻动量：mv + dm ⋅ 0 = 时刻动量： (t+dt) 时刻动量： ( m + dm)v 时刻动量： dt 时间内系统动量增量： 时间内系统动量增量：
mv
dP = ( m + dm)v − mv = vdm
按质点系动量变化定理
dP dm F= =v dt dt
= 3 × 500 = 1.5 × 10 N