高等数学函数极限无穷小连续性

函数、极限、无穷小、连续性

专题一：求函数表达式

1.（90）设函数11,

()1

0,x f x x ≤⎧=⎨

>⎩则[]()f f x = 1

2.（92）设函数2

2

()0x x f x x x x

≤⎧=⎨>+⎩则()f x -=22

00

x x x

x x <⎧-⎨≥⎩

3.（92）设2

2

2(1)ln 2

x f x x -=-且()()ln f x x ϕ=则()x dx ϕ=⎰2ln 1x x c +-+

4．（97）设()20

2

0x

x g x x x -≤⎧=⎨

+>⎩，()2

0x x f x x x

<⎧=⎨≥-⎩则(())g f x =2

020

2x x x x <⎧+⎨≥+⎩，

5.（01）设()11

1

x f x x ⎧≤⎪=⎨

>⎪⎩ 则()(){}

f f f x = 1

专题二：求数列极限

1.（03）设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞

→∞

→∞

===∞，则必有：

A n n a b <对任意n 成立

B n n b c <对任意n 成立

C 极限lim n n n a c →∞

⋅不存在 D 极限lim n n n b c →∞

⋅不存在

2.（98）设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞

⋅=则下列断言正确的是：

A 若n x 发散，则n y 必发散

B 若n x 无界，则n y 必有界

C 若n x 有界，则n y 必为无穷

D 若

1

n

x 为无穷小，则n y 必为无穷小 3.（99）对任意给定的()0,1ε∈，总存在正整数N ，当n>N 时，恒有2n x a ε-≤，是数列{}n x 收敛于a 的 充分必要 条件。

4.（93）当0x →，变量211

sin x x

是：

A 无穷小

B 无穷大

C 有界的，但是不是无穷小

D 无界的，但不是无穷大

5.（98）求2sin sin sin 2lim 1112n n n n

n n n π

πππ→∞⎡⎤

⎢⎥+++=⎢⎥+⎢⎥+

+⎣

⎦

6.（96）设1110,1,2)n x x n +===，试证数列{}n x 极限存在，并求之。答案：3

7.（94）计算2lim tan 4n n n π→∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭4e

8.（95）2

22

12lim 12n n n n n n

n n n →∞⎛

⎫

+++

⎪++++++⎝

⎭=1

2

9.（02）1lim

1cos

n n →∞++=π 10．（04）lim ln 1n n →∞

+ ⎪⎝⎭

21

2ln xdx ⎰ 11.（99）设()f x 是区间[0,)+∞上单调递减且非负的连续函数，()1

1

()n

n

n k a f k

f x dx ==-∑⎰ （n=1，

2……），试证：{}n a 极限存在

12.（02）设103x <<，1n x +=（n=1，2……） 证明{}n x 存在极限并求之。答案：3

2

专题三：求函数的极限 1.（91）1

1

1lim 1x

x x

e

x e +

→-=-+ （考点0x

x e x +∞→+∞⎧→⎨→-∞

⎩）

2.（92

）当1x →时，函数

1

2111

x x e x ---的极限： A 2 B 0 C ∞ D 不存在但不为∞

3.（93）)

lim x x

x →-∞

= -50 .

4.（97

）lim

x = 1 .

(x =- （x<0）)

5. (06) 21

lim

2x x x →+-

=6

-

6.（00）1402sin lim 1x x x

e x x e →⎛⎫+ ⎪

+ ⎪ ⎪+⎝⎭

=1 7.（92

）0

lim x x →⎛⎫

=1

（直接洛必达或等价无穷小替换后再洛必达1

1~x n

（0x →）

） 8.（94）0

11limcot (

)sin x x x x →-=16

9.（97）()()2

013sin cos lim 1cos ln 1x x x x x x →⎛⎫+ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭=32 10.（98

）0

x →1

4

- 11.（99）201

1lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝

⎭=13 12.（89）0

lim cot 2x x x →=

1

2

13.（95

）0

lim x +

→=12

14.（96）31lim sin ln 1sin ln 1x x x x →∞

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2

15.（04）30

12cos lim

(()1)3x x x x →+-=16

- 16.（91）()20

sin lim

1x

x x x x e →--=1

6

17.（92

）01lim cos x x e x

→-=0