热点15空间点线面的位置关系(理)2017年高考数学二轮核心考点总动员(附解析) (1)

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点15 空间点线面的位置关系（理）【热点考法】本热点考题形式为选择填空题或解答题，以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体主要考查对线线、线面与面面平行和垂直判定与性质和利用空间向量知识计算异面直线角、线面角、二面等问题，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，难度为中等，分值为12至17分．【热点考向】考向一 空间线面、面面位置关系的判定与性质【解决法宝】对空间点、线、面位置关系的判定与性质，要熟记空间线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理，并以此进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断或将笔作直线，书做平面，利用实验进行判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.例1【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，3】下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α【分析】把笔作直线、书当平面，通过做实验即可作出判定.考向二 空间平行的证明【解决法宝】1.证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明;(5)可以证明两直线的方向向量平行.2.证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行;(3)可以证明直线的方法向量与平面的法向量垂直来证明线面垂直.3.证明面面平行的方法（1）证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.（2）可以证明两平面的方向向量共线即可证明面面平行.若题目中已出现了中点，可考虑在图形中再取中点，构成中位线或构造平行四边形进行证明. 例2【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛，19】（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，G 为ABC ∆的重心，113BE BC =. （1）求证：//GE 平面11ABB A ；（2）若侧面11ABB A ⊥底面ABC ，160A AB BAC ∠=∠=，12AAAB AC ===，求直线1A B 与平面1BGE 所成角θ的正弦值.【分析】(1) 连接CG ，并延长CG ，交AB 于点O ，过G 作//GD AB ，交BC 于点D ，分别连接,DE GD ,只要证明所以平面//GDE 平面11ABB A ，由面面平行的性质可证//GE 平面11ABB A ；(2)由题意先证明侧面11ABB A ⊥底面ABC ，由面面垂直的性质可证1AO ⊥平面ABC ，所以可以O 为原点，分别以1,,OC OB OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面1BGE 的法向量以及直线1A B 的方向向量，由空间向量夹角公式求之即可.【解析】（1）证明：连接CG ，并延长CG ，交AB 于点O ，过G 作//GD AB ，交BC 于点D ，分别连接,DE GD .因为G 是ABC ∆的重心，所以13BD OG BC OC ==.………………1分 又113BE BC =，所以1//DE CC .又据三棱柱111ABC A B C -性质知11//BB CC ，所以1//DE BB .………………2分又因为DE ⊄平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，所以//DE 平面11ABB A .又因为GD DE D =，,GD DE ⊂平面GDE ，所以平面//GDE 平面11ABB A .………………3分又因为GE ⊂平面GDE ，所以//GE 平面11ABB A .………………4分以O 为原点，分别以1,,OC OB OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则1A ，(0,1,0)B ，G ，1B ，1C ，所以1(0,1,A B =，1(GB =-，1(3,0,BC =，(GB =-， 所以11(0,1,)33GE GB BE GB BC =+=+=.………………8分设平面1BGE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则10,0,n GB n GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以20,30.x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令z =(3,1n =-， (10)分所以111cos ,||||n A B n A B n A B <>==-. 所以12sin |cos ,|n A B θ=<>=.即直线1A B 与平面1BGE 所成角θ的正弦值为.……………12分 考向三 空间垂直的证明【解决法宝】要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”或面面垂直的定义．从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行，也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间垂直关系．1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.（4）证明直线的方法向量与平面的法向量共线2. 证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（4）证明两个平面的法向量垂直.3.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.例3【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,19】（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//23CF AE AB CF ==，，.（1）求证：BD ⊥平面ACFE ；（2）当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45时，求AE 的长度.【分析】(1)由菱形的性质可知BD AC ⊥，由AE ⊥平面ABCD 可得BD AE ∴⊥，由此可证BD ⊥平面ACFE ；（2）以O 为原点，以,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量及向量OF ，由直线FO 与平面BED 所成角的大小为45，利用向量公式可求出AE 的长度.【解析】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥.………………（1分）AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，…………（2分）BD AE ∴⊥，………………（3分）又AC ⊂平面ACFE ，AE ⊂平面ACFE ，AC AE A =，………………（4分） BD ∴⊥平面ACFE .………………（5分）（2）以O 为原点，以,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.………………（6分）则()()(),0,,1,0,3B D F -.设AE a =，则()1,0,E a ，()()()1,0,3,0,23,0,1,OF DB EB a ∴=-==--，………………（7分） 设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n DB n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩………………（8分）即0x az ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩令1z =，得(),0,1n a =-，………………（9分）()cos ,10n OFn OF n OF ⋅∴==10分） 直线FO 与平面BED 所成角的大小为45︒，=11分） 解得2a =或12a =-（舍），2AE ∴=.………………（12分） 考向四 折叠问题【解决法宝】(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形例4【湖南永州市2017届高三第一次模拟，18】（本小题满分12分）如图1，在45A ∠=︒的平行四边形ABCD 中，DO 垂直平分AB ，且2AB =，现将ADO △沿DO 折起（如图2），使AC =（Ⅰ）求证：直线AO ⊥平面OBCD ；（Ⅱ）求平面AOD 与平面ABC 所成的角（锐角）的余弦值．【分析】（Ⅰ）由图1折起成图2后，CD OD ⊥，AO OD ⊥，又2226OA OC AC +==，所以AO ⊥平面OBCD ；（Ⅱ）分别为OD OB OA ，，为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求平面ABC 的一个法向量为()1111n =-，，，平面AOD 的一个法向量为()2010n OB ==，，，可得平面AOD 与平面ABC.（Ⅱ）以O 为坐标原点，分别为OD OB OA ，，为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则()001A ，，，()010B ，，，()120C ，，， ()011AB =-，，，()121AC =-，，设平面ABC 的一个法向量为()1n x y z =，，，由1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：020y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取1y z ==，则1x =-，即()1111n =-，，，…………………………………………8分 又OB ⊥平面AOD ，所以，平面AOD 的一个法向量为()2010n OB ==，，，……………………………9分 设平面AOD 与平面ABC 所成的角（锐角）为θ，则1212cos 3n n n n θ⋅== (11)分所以，平面AOD 与平面ABC ．…………………………12分考向五 异面直线角的问题【解决法宝】求解两异面直线所成的角时，往往经历“作（平行线）——证（平行）——算（解三角形）”的过程，其中作平行线是关键，一般借助平面几何中中位线，平行四边形、平行线分线段成比例定理推论等知识解决，也可以利用空间向量计算两条异面直线的方向向量的夹角来计算，注意向量夹角与异面直线角的关系.例5 【2017届上海市长宁区高三数学教学质量检测试】如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π．若M 是BC 的中点，求：（1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的余弦值．【分析】（1）欲求三棱锥P-ABC 的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，所以底面积可用212a ⨯来计算，其中a 是正三角形的边长，又因为PA ⊥底面ABC ，所以三棱锥的高就是PA 长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M 为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出ABC ∆ 的中位线，就可平移BC ，把异面直线所成角转化为平面角，再放入PMN ∆ 中，求出角即可．【解析】（2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM101515213151cos =-+=∠PMN异面直线PM 与AC .考向六 线面角问题【解决法宝】在求解线面角时，有两种思路，思路1，几何法，根据线面角的定义，先在图中有没有线面角，若没有，作出线面角，证明是线面角，再通过解三角形解出来；思路2，向量法，求出线面夹角问题中已知直线的方向向量m 和平面法向量n ，设线面角为θ，则直线方向向量m 在平面法向量n 方向上的投影的长度|∙|m n |n |与直线方向向量m 的模之|m |比||∙|m n |m |n |就是线面夹角的正弦值，即sin θ=||∙|m n |m |n |. 例6【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，19】（本小题满分12分）如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．【分析】（（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得//AB DE ，从而有//AB 平面PDE ．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.【解析】（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ． 又因为AB ⊄平面PDE ，所以//AB 平面PDE ．因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDE FG =，所以//AB FG ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以,PA AE PA AB ⊥⊥，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()()()()1,0,0,2,1,0,0,0,2,0,1,1B C P F ，()1,1,0BC =． 设平面ABF 的法向量为(),y,z n x =，则00n AB n AF ⎧=⎨=⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩， 令1z =，则1y =-，所以()0,1,1n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin cos ,2n BCn BC n BC α===， 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考向七 二面角问题 【解决法宝】对求二面角l αβ--的大小问题，思路1，几何法，先在几何图形中找一找有没有一个角的顶点在二面角的棱上，两边分别在两个半平面内与棱垂直，若有则该角是二面角的平面角，若没有需要作，用垂线法或垂面法或三垂线法作二面角，然后证明所找（作）的角是二面角的平面角，再通过解三角形求出该角；若坐标系容易建立，也可以用向量法计算二面角的大小，即先求出平面α、β的法向量m 、n ，再求出m 、n 的夹角，在α内取一点A ，在β内取一点B ，设二面角l αβ--大小为θ，若AB ∙n 与AB ∙m 同号，则θ=m,n ，若AB ∙n 与AB ∙m 异号，则θ=π-m,n ，注意二面角大小与法向量夹角的关系. 例7【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,19】如图，已知四边形ABCD 和BCGE 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG 且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCGE ，222BC CD CE AD BG =====．（1）求证：//AG 平面BDE ；（2）求平面BDE 和平面ADE 所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）由题意可证,,CD CB CD CE CB CE ⊥⊥⊥，所以以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线AG 的方向向量(2,1,1)AG =-与平面BDE 的法向量m ，由0AG n ⋅=证之即可；（2）求出平面ADE 的法向量n ，由(1)知BDE 的法向量为(1,1,1)m =，由向量公式可求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面BCEG ，平面ABCD 平面BCEG BC =，CE BC ⊥，CE ⊂平面BCEG ，∴EC ⊥平面ABCD ，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,2,0)B ，(2,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,1,0)A ，(0,2,1)G ，设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，(0,2,2)EB =-，(2,0,2)ED =-，∴220,220,m EB y z m ED x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1x =，得(1,1,1)n =，∵(2,1,1)AG =-，∴0AG n ⋅=，∴AG n ⊥，∵AG ⊄平面BDE ，∴//AG 平面BDE ．（2）设平面ADE 的法向量(,,)n a b c =，(0,1,0)DA =，(2,0,2)DE =-，则0,220,n DA b n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取1x =，得(1,0,1)n =，由（1）得平面BDE 的法向量为(1,1,1)n =，设平面BDE 和平面ADE 所成锐二面角的平面角为θ，则||cos ||||2m n mn θ⋅===⋅⋅． ∴平面BDE 和平面ADE 【热点集训】1. 【四川巴中市2017届“零诊”，8】设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若//m α，//m β，则//αβ； ②若//m α，//m n ，则//n α；③若m α⊥，//m β，则βα⊥；④若m α⊥，//αβ，则β⊥m .其中所有正确命题的序号是（ ）A ．③④B ．②④C ．①②D ．①③【答案】A.【解析】根据线面平行的性质可知①②错误，根据线面垂直的性质可知③④正确，故选A. 2.【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α【答案】C3.【江西南昌市2017届摸底考试，12】如图，在四面体ABCD 中，已知AB AC ⊥，BD AC ⊥，那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．ABC ∆内部【答案】A【解析】由AB AC ⊥，BD AC ⊥，可得AC ABD ⊥平面，即ABC ABD ⊥平面平面，因此D 在面ABC 内的射影H 必在ABC 平面与ABD 平面的交线AB 上，选A.4.【贵州省贵阳市第一中学2017届高考适应性月考卷(一)】设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若,//m αβα⊥，则m β⊥；②若,m αβα⊥⊥，则//m β；③若,m m n α⊥⊥，则//n α；④若,n n αβ⊥⊥，则//βα.其中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】5. 【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，9】在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，点M 是侧面11ABB A 内的一点，若MC 与平面ABC 所成的角为30︒，MC 与平面11ACC A 所成的角也为30︒，则MC 与平面11BCC B 所成的角正弦值为（ ）A ．12B D 【答案】B【解析】以MC 为对角线作长方体，设MC 与平面11BCC B 所成的角为α，则222sin sin 30sin 301α+︒+︒=，故sin α=.选B. 6. 【2017届浙江省效实中学上学期期中考试】,αβ是两个平面，l 是直线，给出以下四个命题：①若,,//l l ααββ⊥⊥则，②若//,//,//l l ααββ则，③,//,l l ααββ⊥⊥则， ④//,,l l ααββ⊥⊥则，其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个【答案】A【解析】7.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，11】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4,,,PA AB E F H ==分别是棱,,PB BC PD 的中点，则过,F,H E 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C .【解析】由过,F,H E 的平面交直线CD 于N 点，可得N 点为CD 的中点，即CN=2；由过,F,H E 的平面交直线PA 于Ｍ点，可得Ｍ为ＰＡ的四等分点，所以ＰＭ＝１，所以过,F,H E 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面为五边形MEFNH ，所以其面积等于三角形MEH 和矩形EFNH 即,643222,632221=⨯==⨯⨯=∆∆EFNH MEH S S 所以所求的面积为故应选C .8. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，4】如图，在空间四边形ABCD （A ，B ，C ，D 不共面）中，一个平面与边AB BC CD DA ，，，分别交于E ，F ，G ，H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）A.若::AE BE CF BF =，则AC 平面EFGHB.若E ，F ，G ，H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形D. 若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形【答案】C9.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，10】如图，在三棱锥A BCD -中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，AB BD =，23CBA CBD π∠=∠=，则直线AD 与平面BCD 所角的大小是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】B【解析】如图，在平面ABC 内，过A 作AH BC ⊥，垂足为H ，连接DH ，则AH ⊥平面DBC ，AD 在平面DBC 内的身影为DH ，所以ADH ∠即为直线AD 与平面BCD 所成的角．由题设知60AB BD ABH DBH HB HB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以AHB DHB ∆≅∆，所以90AHB DHB ∠=∠=︒，即DH BH ⊥，所以45ADH ∠=︒，即直线AD 与平面BCD 所成角的大小为4π，故选B ．10.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，10】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．23-B ．23C ．D 【答案】B11. 【贵州遵义市2017届高三第一次联考，16】已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N ，若该球的表面积为64π，圆M 的面积为4π，则圆N 的半径为__________．【解析】设球心O ，半径为R ，则26444R R ππ=⇒=;设圆M 半径为r ，则242r r ππ=⇒=，因此OM ==906030OMN ∠=-=，所以ON =,因此圆N 12.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考，15】有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为_____________． 【答案】14【解析】过B 作BE 平行CD ，过D 作DE 平行CB,两直线交于E 点，设AB 的中点为F ，连接AE ，AF ，DF ，则ABE ∠为异面直线AB 和CD 所成角的补角，设等边三角形边长为1，因为ABC ∆与△BCD 都为正三角形，所以AF ⊥BC ，FD ⊥BC ，AF=DF=23，因为面ABC ⊥面BCD ，所以⊥AF 面BCD ，ED ⊥FD ，所以AF ⊥FD ，AF ⊥DE ，因为AF ∩FD=F ，所以DE ⊥面AFD ，所以ED ⊥AD ，所以AD ==,所以21022=+=DE AD AE ，由余弦定理得1cos 4ABE ∠=-，所以异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为1413.【2017届山东省高密市12月检测】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是_________.【解析】取AB 得中点F ,连接,1F B 过点F 作,BD FG ⊥垂直为G ,连接G B 1,在正方体1111ABCD A B C D -中，⊥1BB 平面ABCD ,又⊂FG 平面ABCD ，所以FG BB ⊥1，又因为⊂⋂⊥BD BB BD BD FG ,,1平面11B BDD ,⊂1BB 平面11B BDD ,所以⊥FG 平面11B BDD所以G FB 1∠为F B 1与平面11B BDD 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，10102542sin ,25,4211==∠∴==∴FO B F B FG ,因为F B AE 1//,直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是101014.【2015届内蒙古巴彦淖尔市第一中学上期高10月考】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面P AD.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】 (1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD.（2）连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .15.【河北唐山市2017届高三年级期末,19】（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PB PC PD ==.P（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若2PA =，求二面角A PD B -- 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2（2）如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (3，－1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(－3，3，0)，设平面PBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，－3x ＋3y ＝0，取平面PBD 的法向量m ＝(3，1，1)， …9分取平面P AD 的法向量n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝155， 所以二面角A -PD -B 的余弦值是155． …12分16. 【广东省汕头市2017届高三上学期期末，18】（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）30︒．【解析】（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ， 从而6,6==EC AC FC PC ，因为PCA FCE ECACFC PC ∠=∠=,，所以FCE ∆∽PCA ∆， 90=∠=∠PAC FEC ，由此知EF PC ⊥，PC 与平面BED 内两条相交直线EF BD ,都垂直，所以⊥PC 平面BED .解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =， 设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅BE n PC n ， 即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==， 所以)2,2,1(b-=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-b b ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =>=<DP n ， 所以 60,>=<DP n ．因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为 30.17. 【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），19】（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，AB CD ∥，2AB CD =，90BAD ∠=︒，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点.PE DCA（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角A DE C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）（2）因为AB CD ∥，PA CD ⊥，所以PA AB ⊥，又AB AD ⊥，PA AD A =，所以AB ⊥平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ， 所以CPD ∠为PC 与平面PAD 所成的角，即45CPD ∠=︒，从而CD AD =.……………………6分以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，不妨设2AD =，则()0 0 0A ，，，()4 0 0B ，，，(0 1 P ，，()0 2 0D ，，，12 2E ⎛ ⎝⎭，.……7分所以12 2AE ⎛= ⎝⎭，，()0 2 0AD =，，. 设平面ADE 的法向量为() n x y z =，，，则00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即120220x y y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，解得0x z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 令4z =-，得()3 0 4n =-，，.……………………9分由（1）可知PA ⊥平面CDE ，所以(0 1 AP =，为平面CDE 的一个法向量.…………10分所以cos 2AP n AP n AP n⋅<>===⨯，.所以二面角A DE C --的余弦值为……………………12分 18. 【四川巴中市2017届“零诊”，19】 (本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点.（1）求证：//1B A 平面1ADC ；（2）若AC AB ⊥，1==AC AB ，21=AA ，求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2【解析】（1）如图，连接C A 1，交1AC 于点E ，则点E 是C A 1和1AC 的中点，连接DE ，则B A DE 1//， ∵⊂DE 平面1ADC ，⊄B A 1平面1ADC ，∴//1B A 平面1ADC ；（2）如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)0,21,21(D ，则)0,21,21(=AD ，)2,1,0(1=AC ， 设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AC ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0202121z y y x ， 取1=z ，得2-=y ，2=x ，得)1,2,2(-=， 易得平面1ABA 的法向量为)0,1,0(=，故32||||,cos -=>=<n m n m ， 故平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值为35)32(12=--.19.【四川省2016年普通高考适应性测试，19】（本小题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将 AED DCF △，△分别沿DE ，DF 折起，使 A C ，两点重合于P .（Ⅰ）求证：平面PBD BFDE ⊥平面； （Ⅱ）求二面角P DE F --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）23【解析】（Ⅰ）证明：连接EF 交BD 于O ，连接OP .在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点，所以 BE BF DE DF ==，， 所以DEB DFB △≌△，所以在等腰DEF △中，O 是EF 的中点，且EF OD ⊥， 因此在等腰PEF △中，EF OP ⊥， 从而EF OPD ⊥平面， 又EF BFDE ⊂平面， 所以平面BFDE OPD ⊥平面，即平面PBD BFDE ⊥平面.……………………………………6分 （Ⅱ）方法一：在正方形ABCD 中，连接AF ，交DE 于G ，设正方形ABCD 的边长为2， 由于点E 是AB 中点，点F 是BC 中点， 所以Rt Rt DAE ABF △≌△， 于是ADE FAB ∠=∠，从而90ADG DAG EAG DAG ∠+∠=∠+∠=︒， 所以AF DE ⊥，于是，在翻折后的几何体中，PGF ∠为二面角P DE F --的平面角， 在正方形ABCD中，解得AG =GF =， 所以，在PGF △中，PG AG ==，GF =1PF =， 由余弦定理得2222cos 23PG GF PF PGF PG GF +-∠==⋅，所以，二面角P DE F --的余弦值为23.………………………………12分方法二：由题知 PE PF PD ，，两两互相垂直，故以P 为原点，向量 PF PE PD ，，方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.设正方形边长为2，则()0 0 0P ，，，()0 1 0E ，，，()1 0 0F ，，，()0 0 2D ，，. 所以()1 1 0EF =-，，，()0 1 2ED =-，，. 设() x y z =m ，，为平面EFD 的一个法向量， 由EF ED ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m 得020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得11 1 2⎛⎫= ⎪⎝⎭m ，，，又由题知()1 0 0=n ，，是平面PED 的一个法向量， 所以2cos 3⋅<>==⋅m n m n m n ，.所以，二面角P DE F --的余弦值为23.………………………………12分20.【广东2017届高三上学期阶段测评（一），20】（本小题满分12分） 如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AC PC ==，求二面角A PC B --的余弦值.【答案】【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PC =， ∴PO AC ⊥， 又AB CB =， ∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥，∴PO ABC ⊥平面，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.又 2PA PC AC PC ===，，ABC △为正三角形，∴(()()0 0 0 0 1 0 0P B C -，，，，，，，()()0 3 3 1 0PB BC =-=-，，，，，.设() n x y z =，，为平面PBC 的法向量，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴0x =--=⎪⎩，∴z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =-，则)1 1n =--，，为平面PBC 的一个法向量，又()0 0OB =，为平面PAC 的一个法向量，∴cos n OB <=，则二面角A PC B -=……………………………………12分 21.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评，20】（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中， 1 AB AD a ==，，PA ABCD ⊥平面，且1PA =， E F ，分别为 AD PA ，中点，在BC 上有且只有一个点Q ，使得PQ QD ⊥.（1）求证：平面BEF PDQ ∥平面； （2）求二面角E BF Q --的余弦值.【答案】 【解析】（1）方法一：以A 点为原点，分别以 AB AD AP ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则()()()()0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1A B D a P ，，，，，，，，，，，， 设()1 0Q x ，，，则()1 1PQ x =-，，，()1 0DQ a x =--，，，…………………………2分若PQ QD ⊥，则()10PQ QD x a x ⋅=-+-=， 即2210 4x ax a -+=∆=-，，∴0 2 1a x ∆===，，.………………………………………………4分 ∴()()1 1 0 1 1 0Q QD -，，，，，， 又E 是AD 中点，∴()0 1 0E ，，，()1 1 0BE =-，，，∴QD BE =，∴BE DQ ∥， 又BE PDQ ⊄平面，DQ PDQ ⊂平面，∴BE PDQ ∥平面， 又F 是PA 中点，∴EF PD ∥，∵EF PDQ ⊄平面，PD PDQ ⊂平面，∴EF PDQ ∥平面， ∵BEEF E =， BE EF PDQ ⊂，平面，∴平面BEF PDQ ∥平面.……………………6分方法二：（几何法）题意转化为矩形ABCD 中只需AQ 垂直于QD 的点Q 只有一个，则以AD 为直径的圆与线段BC 相切，易得2BC =，Q 是线段BC 的中点，由BE QD ∥，EF DP ∥，易得两平面平行.………6分22. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，20】（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线AF ⊥平面ABCD ，//,2,21EF AB AD AB AF EF ====，点P 在棱DF 上.（1）求证：AD BF ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （3）若13FP FD =，求二面角D AP C --的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）15；（3）3.（3）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面ADF 的一个法向量()11,0,0n =，由13FP FD =为知P 为FD 的三等分点且此时220,,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.在平面APC 中，()220,,,1,2,033AP AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以平面APC 的一个法向量()22,1,1n =--.所以1212126cos ,3n n n n n n ==，又因为二面角D AP C --的大小为锐角，所以该二面角的余12分。