江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：7-3坐标系与参数方程(选做部分)
2015年江苏省高考数学试卷及答案(word版本)
数学I试题参考公式：圆柱的体积公式：V_±= Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.圆锥的体积公式：V 0_=^Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高._、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1•已知集合A={1，2, 3}，B={2,4, 5}，则集合AUB 中元素的个数为踿银踿2.已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组1只白球，1只红球，2只黄球•从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜6•已知向量 a = (2，1)，b = (1，-2) •若 ma + nb = (9，-8)( m，n 沂 R )，则m -n 的值为银•7.不等式2x2-x <4的解集为银•9•现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个•若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新12. 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2 - y2 = 1右支上的一个动点.若点P到直线 x - y + 1 = 〇的距离大13. 已知函数/(%)= |lm:|，g(%)= ji^^i _ 2 。
:’ 则方程 |/(>) + |= 1 实根的个数为 ▲.14设向量a k = (cosk仔 .k仔 k仔—,sin — + cos —) (k =0, 1,2, 66612)，则移（a^ak + 1)的值为摇二、解答题:本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分）在AABC 中，已知从= 2，A(：= 3，A =60o.(1) 求BC的长；(2) 求sin2C的值.16. (本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-AAq中，已知AC丄BC, •设的中点为 D，B'nBC^E.求证：（1)DE//平面AA";(2)BC\17. (本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为11, 12,山区边界曲线为C,(3) 是否存在力，d及正整数n，k，使得a『，a2n +k，a n + 2k，a4n + 3k依次构成等比数列？并说明理由.数学I试题参考答案一、 填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.52.63.S56.-37. {x - 1<x<2}(或（-1，2))10. (x - 1)2+y2=211.2〇12. ^二、 解答题本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分.解:⑴由余弦定理知，BC 2=AB2+AC2- 2AB • AC -cosA= 4 + 9 - 2x2x3x+ = 7，所以BC= 7.AB BC4. 75. 68.39. 713.414. 9 3 (2)由正弦定理知，.C- . A，smC sinA因为AB<BC，所以C为锐角AB 2sin60o ^21⑵①由（1)知，y=1〇〇〇(5臆x 臆20)，则点P 的坐标为(t ，1〇〇)〇)，x t设在点P 处的切线1交x ，y 轴分别于A ，B 点，y' = - 2〇〇)〇，x1000 2000 31 3000,贝丨J 1 的万程为 y - -^= - -^(x - t )，由此得 A(y ，0)，B(0,m /,3t 、2一,3000、2 3 12 4x106 rc …故/(0=( 2 ) + ( t 2 ) = 2 t 2+ t4，tE[5,20].当te(5, 10 2)时，g'(t) < 0, g ⑴是减函数；当t E (10 2, 20)时，g '(t ) >0, g ⑴是增函数.从而，当t =10 2时，函数g ⑴有极小值，也是最小值，所以g(t)min = 300, 此时/(t)min = 15 3.答:当t = 10 2时，公路1的长度最短，最短长度为15 3千米.18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆位置关当 a<0时，XE(-¥,0)U(-Z3a, +¥)时,/，(x)>0,X E(0, -Z3a)时,/，(x) <0,所以函数/(x)在(-¥,0), (-23a, + ¥)上单调递增，在(0, - 23a)上单调递减.(2)由⑴知，函数/(x)的两个极值为/(0)= b,/(-23a) = 247a3+b ,则函数/(x)有三个 零点等价于/(0)•/(-23a) = b(247a3+b) <0,从而a> 0,士3〈“〇或<a < 0,0 < b < - 27 a3 ■又 b = c - a,所以当 a >0时，27“3 - a + c >0或当 a <0时，27“3 - a + c <0. 设g(a) =247a3-a +c,因为函数/(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是 (-¥,-3)U(1,3 )胰（2 ,+¥),贝 IJ在（-¥, - 3)上 g(a) < 0,且在（1, 3 )U(3 , + ¥)上 g(a) > 0 均恒成立，从而g(- 3) = c - 1臆0,且g( 2 ) = c - 1逸0,因此 c = l.此时，/(x) = x3+ ax 2+1- a = (x + 1) [x2+ (a - 1)x + 1 - a]，化简得2k[ln(1 +2t) -ln(1+ t)]= n[2ln(1 + t) -ln(1 +2t)]，且 3k[ln(1 +31) -ln(1 + t)] = n[3ln(1 + t) -ln(1 +31)].再将这两式相除，化简得ln( 1 + 31)ln( 1 + 21) + 3ln( 1 + 21)ln( 1 + t) = 4ln( 1 + 31)ln( 1 + t) ( ** ).令g( t) = 4ln(l + 3 t)ln(1 + t) - ln(1 + 31 )ln(1 + 2t) - 3ln(1 + 2t )ln(1 + t)， 则忆（）2 [ (1 +3t)2ln(1 +3t) -3 (1 +2t)2ln(1+2t) +3 (1 + t)2ln(1 + t)]则g(t)=(1 + t)(1 +2t)(1 +3t) .令渍（t)= (1 + 3t)2ln(1 +31) - 3 (1 +2t)2ln(1 + 2t) + 3 (1 + t)2ln(1 + t)，则渍'（t)=6[(1 + 3t)ln(1 + 3t) - 2(1 +2t)ln(1+ 2t) + (1 + t)ln(1+ t)].令渍i(t) =渍'（t)，贝l j 渍1(t)=6 [3ln(1+3t) - 4ln( 1 +2t) +ln(1 + t)].令渍2(t)=渍1(t)，则渍2(t)=(1+ t)(1+122t)(1 +31) >〇*由 g(0)=渍(0)=渍 1(0)=渍 2(0)=0,渍2(t)>0，知渍2(t)，渍1(t)，渍⑴，g(t)在（-了，0)和(0，+ ¥)上均单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程（**)只有唯一解t = 〇,故假设不成立.所以不存在^，d及正整数n，k，使得<，k+数学域（附加题）参考答案21.【选做题】[选修4-1:几何证明选讲]本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推 理论证能力.满分10分.证明：因为AB=AC ，所以蚁ABD =蚁C.又因为蚁C =蚁E ，所以蚁ABD =蚁E,又Z 似E为公共—，可知…AWLB.[选修4-2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考 查运算求解能力.满分10分.解：由已知，得A 琢=-’ 2即x 11x - 1即{尤2+/-_2^0,令:r=1，解得2=1, X = L所以m = (1, 1, 1)是平面PCD的一个法向量.AD • m J3从而 cos〈AD，m业IA寅Im3，3所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为3(2)因为B P=(-1，0,2)，设B Q=ABp= (-A，0,2A) (0臆姿臆1)，又CB= (0，-1，0)，贝IJcQ= CB+B Q= (-A，_1，2A),又D P=(0，一2,2)，1+2A从而 c〇s〈 CQ, DP〉= CQ Dp= .CQDP 10A2+ 2= (k+1) +2+(k +1) - 1+(k +3) - \结论成立；3)若k + l=6t + 2,贝lj k = 6t + 1,此时有f( k + 1)= f( k)+2 = k + 2 ^^^^ + 2= (k+ 1) + 2 + k+ 1+ (k + 1) -2,结论成立；4)若k + 1=6t + 3,贝ij k = 6t + 2,此时有f( k + 1)= f( k) +2= k + 2 + ^^^ + 2=(k+ 1) +2+ (k+ 1) - 1 +结论成立；5)若k + 1=6t + 4,贝lj k = 6t + 3,此时有f( k + 1)= f( k) +2= k+ 2+ k21+3+2= (k+1) + 2+k+1+(k+ 1) -1,结论成立；6)若k + 1=6t + 5,贝ij k = 6t + 4,此时有k k —1f(k + 1)=f(k) + 1=k + 2 + 全 + ^^+ 1=(k +1) + 2 +(k+1)-1+(k+ 3)-2,结论成立.综上所述，结论对满足n逸6的自然数n均成立.。
江苏省2015届高三理科数学二轮专题整合52份
专题一 函数与导数、不等式 ....................................................................................................... 2 专题二 三角函数与平面向量 ....................................................................................................... 26 专题三 数 列................................................................................................................................. 42 专题四 立体几何........................................................................................................................... 53 专题五 解析几何........................................................................................................................... 59 专题六 概率与统计....................................................................................................................... 79 专题七 附加题（选作部分） ....................................................................................................... 83 专题八 数学思想方法................................................................................................................. 109 补偿练 1 集合与简易逻辑 ........................................................................................................ 125 补偿练 2 函数与导数(一) ......................................................................................................... 128 补偿练 3 函数与导数(二) ......................................................................................................... 132 补偿练 4 不等式................................................................................. 135 补偿练 5 三角函数与三角变换 ................................................................................................ 140 补偿练 6 平面向量与解三角形 ................................................................................................ 145 补偿练 7 数 列........................................................................................................................ 150 补偿练 8 立体几何.................................................................................................................... 153 补偿练 9 解析几何.................................................................................................................... 157 补偿练 10 统计与概率.............................................................................................................. 161 补偿练 11 复数、程序框图 ...................................................................................................... 165 规范练(一) 三角问题 ................................................................................................................ 171 规范练(二) 立体几何问题 ........................................................................................................ 174 规范练(三) 解析几何问题 ........................................................................................................ 178 规范练(四) 实际应用问题 ........................................................................................................ 181 规范练(五) 数列问题 ................................................................................................................ 185 规范练(六) 函数与导数问题 .................................................................................................... 189 突破练(一) .................................................................................................................................... 193 突破练(二) .................................................................................................................................... 200 突破练(三) .................................................................................................................................... 206
2015年高考真题江苏卷理科数学(含答案解析)
理科数学2015年高三2015江苏卷理科数学理科数学填空题（本大题共13小题，每小题____分，共____分。
）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为____．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____．3．设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为____．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为____．5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____．6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为____．7．不等式2＜4的解集为____．8．已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为____．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____．10．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____．11．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为____．13．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为____．14．设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为____．简答题（综合题）（本大题共10小题，每小题____分，共____分。
）12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．17.求BC的长；18.求sin2C的值．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：19.DE∥平面AA1C1C；20.BC1⊥AB1．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．21.求a，b的值；22.设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．23.求椭圆的标准方程；24.过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．25.试讨论f（x）的单调性；26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．27.证明：2，2，2，2依次构成等比数列；28.是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；29.是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．选做题。
2015届高考数学(苏教,理科)复习课件：第十五章 坐标系与参数方程第一节 坐标系
数学
第一节
坐 标 系
一般地，不做特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取任意实
数．
3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极 坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：
点M 互化 公式
数学
直角坐标(x，y)
x＝ ρcos θ ρsin θ y ＝
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)
第一节
坐 标 系
1．在将直角坐标化为极坐标求极角 θ 时，易忽视判断 点所在的象限(即角 θ 的终边的位置)．
2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈ Z)表示同一点的坐标．
数学
第一节
坐 标 系
数学
第一节
坐 标 系
2．极坐标系与极坐标
(1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫做 极点，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再 选定一个长度 单位，一个角度 单位(通常取弧度)及其正方向(通 常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标： 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的 距离|OM| 叫做点 M 的极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM叫 做点 M 的极角， 记为 θ.有序数对(ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标， 记为
[试一试]
1．点 P
π 的极坐标为2，－3 ，则点
P 的直角坐标为________．
π 解析：∵ρ＝2，θ＝－ . 3 ∴x＝ρcos y＝ρsin
π θ＝2cos－3＝1，
2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015 年江苏省高考数学试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（2015?江苏）已知会集A={1， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则会集A∪B中元素的个数为 5 ．考并集及其运算．点：专会集．题：分求出 A∪B，再明确元素个数析：解解：会集 A={1 ，2， 3} ， B={2， 4，5} ，则 A∪B={1， 2， 3， 4，5} ；答：因此 A∪B中元素的个数为 5；故答案为： 5点题观察了会集的并集的运算，依照定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题评：2．（ 5 分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考众数、中位数、平均数．点：专概率与统计．题：分直接求解数据的平均数即可．析：解解：数据4， 6，5， 8， 7，6，答：那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点本题观察数据的均值的求法，基本知识的观察．评：3．（ 5 分）（2015?江苏）设复数 z 满足 z2=3+4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为．考复数求模．点：专数系的扩大和复数．题：分直接利用复数的模的求解法规，化简求解即可．析：解解：复数z 满足 z2 =3+4i ，答：可得 |z||z|=|3+4i|==5，∴|z|= ．故答案为：．点本题观察复数的模的求法，注意复数的模的运算法规的应用，观察计算能力．评：4．（ 5 分）（2015?江苏）依照以下列图的伪代码，可知输出的结果S 为7．考伪代码．点：专图表型；算法和程序框图．题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环获取的析：退出循环，输出S 的值为 7．解解：模拟执行程序，可得答：S=1， I=1I ，S 的值，当 I=10时不满足条件I＜8，满足条件I ＜ 8，S=3， I=4满足条件I ＜ 8，S=5， I=7满足条件I ＜ 8，S=7， I=10不满足条件I ＜ 8，退出循环，输出S 的值为7．故答案为： 7．点本题主要观察了循环构造的程序，正确判断退出循环的条件是解题的要点，属于基础评：题．5．（ 5 分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不相同的概率为．考古典概型及其概率计算公式．点：专概率与统计．题：分依照题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．析：解解：依照题意，记白球为A，红球为 B，黄球为12 C、C ，则答：一次取出 2 只球，基本事件为AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2、 C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不相同的是AB、 AC1、 AC2、 BC1、 BC2共 5 种；因此所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题观察了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（2015?江苏）已知向量=（ 2，1）， =（ 1，﹣ 2），若m+n=（9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣3．考平面向量的基本定理及其意义．点：专平面向量及应用．题：分直接利用向量的坐标运算，求解即可．析：解解：向量 =（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m+n=（ 9，﹣ 8）答：可得，解得m=2，n=5，∴m﹣ n=﹣ 3．故答案为：﹣3．点本题观察向量的坐标运算，向量相等条件的应用，观察计算能力．评：7．（ 5 分）（2015?江苏）不等式2＜ 4 的解集为（﹣ 1，2）．考指、对数不等式的解法．点：专函数的性质及应用；不等式的解法及应用．题：分利用指数函数的单调性转变成x2﹣ x＜ 2，求解即可．析：解解；∵ 2＜ 4，答：2∴x﹣ x＜ 2，即 x2﹣ x﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x＜2故答案为：（﹣1， 2）点本题观察了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．评：8．（ 5 分）（2015?江苏）已知tan α=﹣ 2， tan （α +β） =，则 tan β的值为3．考两角和与差的正切函数．点：专三角函数的求值．题：分直接利用两角和的正切函数，求解即可．析：解解： tan α=﹣ 2，tan （α +β） =，答：可知 tan （α +β） ==，即 =，解得 tan β =3．故答案为： 3．点本题观察两角和的正切函数，基本知识的观察．评：9．（ 5 分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成整体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考棱柱、棱锥、棱台的体积．点：专计算题；空间地址关系与距离．题：分由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，析：由前后体积相等列式求得 r ．解解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．答：设新圆锥和圆柱的底面半径为r ，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点本题观察了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．评：10．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（ 1， 0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣ 1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为22．（ x﹣ 1） +y =2考圆的标准方程；圆的切线方程．点：专计算题；直线与圆．题：分求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．析：解解：圆心到直线的距离d==≤，答：∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（22x﹣ 1） +y =2．故答案为：（ x﹣1）2 +y2=2．点本题观察所圆的标准方程，观察点到直线的距离公式，观察学生的计算能力，比较基评：础．11．（ 5 分）（2015?江苏）设数列{a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n =n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考数列的求和；数列递推式．点：专等差数列与等比数列．题：分数列 {a n} 满足a1=1，且a n+1﹣ a n=n+1（ n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂析：解答：项求和”即可得出．解：∵数列 {a n} 满足 a1 =1，且 a n+1﹣ a n=n+1（n∈N*），∴当 n≥2时， a n=（ a n﹣ a n﹣1）+ +（ a2﹣ a1） +a1=+n++2+1=．当 n=1 时，上式也建立，∴a n=．∴=2．∴数列 {} 的前 n 项的和 S n===．∴数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点本题观察了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，评：观察了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线 x2﹣ y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，则实数 c 的最大值为．考双曲线的简单性质．点：专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x± y=0，c 的最大值为直线x﹣ y+1=0 与直线 x﹣ y=0析：的距离．解解：由题意，双曲线 x2﹣ y2=1 的渐近线方程为 x±y=0，答：因为点 P 到直线 x﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒建立，因此 c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣ y=0 的距离，即．故答案为：．点本题观察双曲线的性质，观察学生的计算能力，比较基础．评：13．（ 5 分）（2015?江苏）已知函数 f （ x） =|lnx| ，g（ x）=，则方程 |f（ x） +g（ x）|=1实根的个数为4．考根的存在性及根的个数判断．点：专综合题；函数的性质及应用．题：分：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x）=﹣ f （ x）± 1，分别作出函数的图象，即可得出析：结论．解解：由 |f（ x） +g（ x） |=1 可得 g（ x） =﹣ f （x）± 1．答：g（ x）与 h（ x）=﹣ f （ x）+1 的图象以下列图，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x）=﹣ f （ x）﹣ 1 的图象以下列图，图象有两个交点；因此方程 |f （ x）+g（ x）|=1 实根的个数为4．故答案为： 4．点本题观察求方程 |f （ x） +g（ x） |=1 实根的个数，观察数形结合的数学思想，观察学评：生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（ 5 分）（2015?江苏）设向量=（ cos ，sin+cos ）（ k=0，1， 2，， 12），则（ a k?a k+1）的值为．考数列的求和．点：专等差数列与等比数列；平面向量及应用．题：分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性析：即可得出．解解： =+答：=++++=++=++，∴（ a k?a k+1）=+++++++ +++++++ +=+0+0=．故答案为： 9．点本题观察了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的评：周期性，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）（2015?江苏）在△ ABC 中，已知A B=2， AC=3，A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C 的值．考余弦定理的应用；二倍角的正弦．点：专解三角形．题：分（ 1）直接利用余弦定理求解即可．析：（ 2）利用正弦定理求出 C的正弦函数值，尔后利用二倍角公式求解即可．解222﹣2AB?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，解：（ 1）由余弦定理可得： BC=AB+AC答：因此 BC=．（2）由正弦定理可得：，则 sinC=== ，∵AB＜ BC，∴C 为锐角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2×=．点本题观察余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解评：题的要点．ABC﹣ A1B1C1中，已知AC⊥BC， BC=CC1，设AB1 16．（ 14 分）（2015?江苏）如图，在直三棱柱的中点为D， B1 C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2） BC1⊥AB1．考直线与平面平行的判断；直线与平面垂直的性质．点：专证明题；空间地址关系与距离．题：分（ 1）依照中位线定理得DE∥AC，即证 DE∥平面 AA1C1C；析：（ 2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面 ABC，即证 AC⊥CC1；再证明 AC⊥平面 BCC1B1，即证 BC1⊥AC；最后证明 BC1⊥平面 B1AC，即可证出 BC1⊥AB1．解证明：（1）依照题意，得；答： E 为 B1C 的中点， D 为 AB1的中点，因此DE∥AC；又因为 DE?平面 AA1C1C， AC? 平面 AA1C1C，因此 DE∥平面 AAC C；11（ 2）因为棱柱ABC﹣ A1B1C1是直三棱柱，因此 CC1⊥平面 ABC，因为 AC? 平面 ABC，因此 AC⊥CC1；又因为 AC⊥BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1B1，BC∩CC1=C，因此 AC⊥平面 BCC1B1；又因为 BC ? 平面平面BCCB ，111因此 BC1⊥AC；因为 BC=CC1，因此矩形BCC1B1是正方形，因此 BC1⊥平面 B1AC；又因为 AB1 ? 平面 B1AC，因此 BC1⊥AB1．点本题观察了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的地址关系，也观察了空间想象评：能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（2015?江苏）某山区外面有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改进山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区界线的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1， l 2，山区界线曲线为 C，计划修建的公路为 l ，以下列图， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N到 l 1， l 2的距离分别为 20 千米和千米，以 l 2，l 1在的直线分别为 x， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 吻合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t ．①请写出公路 l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短求出最短长度．考函数与方程的综合运用．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）由题意知，点 M， N的坐标分别为（ 5， 40），（ 20，），将其分别代入y=，建立方析：程组，即可求 a，b 的值；（ 2）①求出切线 l 的方程，可得A， B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数分析式 f （ t ），并写出其定义域；②设 g（ t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解解：（ 1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（ 5， 40），（20，），答：将其分别代入 y=，得，解得，（2）①由（ 1）y= （5≤x≤20）， P（ t ，），∴y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣ =﹣（ x﹣ t ）设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A， B 点，则 A（， 0）， B（ 0，），∴f （ t ） ==，t ∈[5 ， 20] ；②设 g（ t ） =，则 g′（ t ） =2t ﹣ =0，解得 t=10 ，t ∈（ 5， 10）时， g′（ t ）＜ 0，g（ t ）是减函数； t ∈（ 10， 20）时， g′（ t ）＞ 0，g（ t ）是增函数，进而 t=10 时，函数g（ t ）有极小值也是最小值，∴g（ t ）min=300，∴f （ t ）min=15，答： t=10 时，公路l 的长度最短，最短长度为15 千米．点本题观察利用数学知识解决实责问题，观察导数知识的综合运用，确定函数关系，正评：确求导是要点．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 +=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于A， B 两点，线段AB的垂直均分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线AB的方程．考直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．点：专直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：解答：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得a，c，再由 a，b，c系，可得b，进而获取椭圆方程；（ 2）谈论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可获取所求直线的方程．解：（ 1）由题意可得，e==，且 c+=3，解得 c=1， a=，2则 b=1，即有椭圆方程为+y =1；的关当 AB与 x 轴不垂直，设直线 AB： y=k（ x﹣ 1）， A（ x1， y1）， B（x2，y2），将 AB方程代入椭圆方程可得（ 1+2k2） x2﹣ 4k2x+2（k2﹣ 1） =0，则 x1+x2=， x1x2 =，则 C（，），且 |AB|=?= ，若 k=0，则 AB 的垂直均分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k≠0，故 PC：y+=﹣（ x﹣）， P（﹣ 2，），进而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB| ，可得 =，解得 k=±1，此时 AB的方程为 y=x ﹣ 1 或 y=﹣ x+1．点本题观察椭圆的方程和性质，主要观察椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，评：运用韦达定理和弦长公式，同时观察两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（2015?江苏）已知函数 f （x） =x3+ax2+b（ a，b∈R）．（1）试谈论 f （ x）的单调性；（2）若 b=c﹣ a（实数 c 是与 a 没关的常数），当函数 f （x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），求 c 的值．考利用导数研究函数的单调性；函数零点的判判定理．点：专综合题；导数的综合应用．题：分（ 1）求导数，分类谈论，利用导数的正负，即可得出 f （ x）的单调性；析：（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数 f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0）f （﹣） =b（ +b）＜ 0，进一步转变成 a＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（a） =﹣ a+c，利用条件即可求 c 的值．解解：（ 1）∵ f （ x） =x3+ax2+b，答：2∴f ′（ x） =3x +2ax ，令 f ′（ x） =0，可得 x=0 或﹣．a=0 时， f ′（ x）＞ 0，∴ f （ x）在（﹣∞， +∞）上单调递加；a＞ 0 时， x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（﹣， 0）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞，﹣），（ 0，+∞）上单调递加，在（﹣，0）上单调递减；a＜ 0 时， x∈（﹣∞， 0）∪（﹣， +∞）时， f ′（ x）＞ 0，x∈（ 0，﹣）时， f ′（ x）＜0，∴函数 f （ x）在（﹣∞， 0），（﹣， +∞）上单调递加，在（0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （x）的两个极值为 f （ 0） =b， f （﹣） =+b，则函数f （ x）有三个不相同的零点等价于 f （ 0） f （﹣） =b（+b）＜ 0，∵b=c﹣ a，∴a＞ 0 时，﹣ a+c＞ 0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（ a） =﹣ a+c，∵函数 f （ x）有三个不相同的零点时， a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（， +∞），∴在（﹣∞，﹣3）上， g（ a）＜ 0 且在（ 1，）∪（， +∞）上g（ a）＞ 0 均恒建立，∴g（﹣ 3） =c﹣1≤0，且 g（） =c﹣1≥0，∴c=1，322此时 f （ x） =x +ax +1﹣ a=（ x+1） [x +（ a﹣ 1） x+1﹣ a] ，2∴x+（ a﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴△ =（ a﹣ 1）2﹣ 4（1﹣ a）＞ 0，且（﹣ 1）2﹣（ a﹣ 1） +1﹣a≠0，解得 a∈（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），综上 c=1．点本题观察导数知识的综合运用，观察函数的单调性，观察函数的零点，观察分类谈论评：的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（2015?江苏）设 a1， a2， a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明： 2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；234（2）可否存在 a1， d，使得 a1，a2， a3， a4依次构成等比数列并说明原由；（3）可否存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列并说明原由．考等比关系的确定；等比数列的性质．点：专等差数列与等比数列．题：分（ 1）依照等比数列和等差数列的定义即可证明；析：（ 2）利用反证法，假设存在a1， d 使得 a1， a22， a33， a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，获取结论；（ 3）利用反证法，假设存在n n+k n+2k n+3ka1， d 及正整数 n， k，使得 a1，a2， a3， a4依次n n+2k2（ n+k）n+k n+3k 构成等比数列，获取 a1（ a1+2d）=（ a1+2d），且（a1+d）（ a1+3d） =（ a1+2d）2 （n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理获取ln （ 1+3t ） ln （1+2t） +3ln （ 1+2t ）ln （1+t ） =4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不行立．解解：（ 1）证明：∵ ==2 d，（ n=1， 2， 3，）是同一个常数，答：∴2， 2， 2， 2 依次构成等比数列；（2）令 a1 +d=a，则 a1， a2， a3， a4分别为 a﹣d， a， a+d， a+2d（a＞ d， a＞﹣ 2d，d≠0）假设存在 a1， d 使得 a1， a22，a33， a44 依次构成等比数列，43624则 a =（ a﹣d）（ a+d），且（ a+d） =a （ a+2d），令 t= ，则 1=（ 1﹣ t ）（ 1+t ）3，且（ 1+t ）6 =（1+2t ）4，（﹣＜ t ＜ 1，t≠0），化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ * ）式，2t （ t+1 ） +2（ t+1 ）﹣ 2=t +3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然 t= ﹣不是上面方程的解，矛盾，因此假设不行立，因此不存在a1， d，使得 a1， a2 2， a33， a44依次构成等比数列．（3）假设存在 a1， d 及正整数 n， k，使得 a1n， a2n+k， a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则 a1n（a1+2d）n+2k=（ a1+2d）2（n+k），且（ a1+d）n+k（ a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以 =a12（n+k）， a12（n+2k），并令 t= ，（ t ＞， t ≠0），n+2k 2（ n+k） n+k n+3k 2（ n+2k）则（ 1+2t ） =（ 1+t ），且（ 1+t ）（ 1+3t ） =（ 1+2t ），将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （ 1+2t ） =2（ n+k） ln （ 1+t ），且（ n+k） ln （ 1+t ） +（ n+3k） ln （1+3t ） =2（ n+2k）ln （ 1+2t ），化简得， 2k[ln （1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ] ，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln（1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ）令 g（ t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ）ln （ 1+2t ）+3ln （1+2t ）ln （ 1+t ），则g′（ t ）=[ （ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ）+3（1+t ）2 ln （ 1+t ）] ，令φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2ln （ 1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则φ′（ t ） =6[ （ 1+3t ）ln （1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3（1+t ）ln （1+t ）] ，令φ 1（t）=φ′（t），则φ 1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（ t ）=φ1′（ t ），则φ2′（ t ） =＞0，由 g（ 0）=φ（ 0）=φ1（ 0）=φ2（ 0） =0，φ2′（ t ）＞ 0，知 g（ t ），φ（ t ），φ1（ t ），φ2（ t ）在（﹣， 0）和（ 0，+∞）上均单调，故 g（ t ）只有唯一的零点t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解t=0 ，故假设不行立，n n+k n+2k n+3k因此不存在a1， d 及正整数n，k，使得 a1， a2，a3，a4依次构成等比数列．点本题主要观察等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，观察代数评：推理、转变与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1 ：几何证明选讲】21．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在△ ABC 中， AB=AC，△ ABC的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC于点 D．求证：△ ABD∽△ AEB．考相似三角形的判断．点：专推理和证明．题：分直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．析：解答：点证明：∵ AB=AC，∴∠ ABD=∠C，又∵∠ C=∠E，∴∠ ABD=∠E，又∠ BAE可知：△ ABD∽△ AEB．本题观察圆的基本性质与相似三角形等基础知识，观察逻辑推理能力．是公共角，评：【选修 4-2 ：矩阵与变换】22．（ 10 分）（2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 =是矩阵的属于特色值﹣ 2 的一个特色向量，求矩阵 A 以及它的另一个特色值．考 特色值与特色向量的计算．点：专 矩阵和变换．题：分 利用 A=﹣ 2，可得 A=，经过令矩阵 A 的特色多项式为 0 即得结论．析：解解：由已知，可得A=﹣ 2，即 ==，答： 则，即，∴矩阵 A=，进而矩阵 A 的特色多项式 f （λ） =（λ +2）（λ﹣ 1），∴矩阵 A 的另一个特色值为1．点 本题观察求矩阵及其特色值，注意解题方法的积累，属于中档题．评：【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】23．（2015?江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ρ 2+2ρsi n （θ﹣）﹣ 4=0，求圆 C 的半径． 考 简单曲线的极坐标方程．点：专 计算题；坐标系和参数方程．题：分 先依照 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．析：解解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin （θ﹣）﹣ 4=0，可得 ρ2﹣ 2ρcos θ +2ρ sin θ﹣答： 4=0，化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0，化为标准方程为（22x ﹣ 1） +（ y+1） =6，圆的半径 r= ．点本题主要观察把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关评： 键是利用公式 x=ρ cos θ， y=ρ sin θ，比较基础，[ 选修 4-5 ：不等式选讲】24．（2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2．考 绝对值不等式的解法． 点： 专 不等式．题：分思路 1（公式法）：利用|f （ x ）| ≥g （ x ）? f （x ）≥ g （ x ），或 f （ x ）≤﹣ g （ x ）；析：思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“ x≥”“ x＜”进行谈论求解．解解法 1：x+|2x+3| ≥2变形为 |2x+3| ≥2﹣ x，答：得 2x+3≥2﹣ x，或 2x+3≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+（ 2x+3）≥ 2，即 x≥，因此 x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3）≥ 2，即 x≤﹣ 5，因此 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为 {x|x ≥，或 x≤﹣ 5} ．点本题观察了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常有的方法，无论用哪评：种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f （x）| ≥g（ x） ? f （x）≥ g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（ x）； |f （ x）| ≤g（ x）? ﹣ g（ x）≤ f （ x）≤ g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ ABC=∠BAD=，PA=AD=2， AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q是线段 BP上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．点：专空间地址关系与距离；空间角．题：分以 A 为坐标原点，以AB、AD、 AP所在直线分别为x、y、 z 轴建系 A﹣ xyz ．析：（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；2（2）利用换元法可得 cos ＜，＞≤，结合函数 y=cosx 在（ 0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB、 AD、AP所在直线分别为x、 y、 z 轴建系 A﹣ xyz 如图，由题可知B（ 1，0， 0）， C（ 1， 1，0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）．（ 1）∵ AD⊥平面 PAB，∴ =（ 0， 2， 0），是平面PAB的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（ 0， 2，﹣ 2），设平面 PCD的法向量为 =（x， y， z），由，得，取 y=1，得 =（ 1，1， 1），∴cos＜，＞ ==，∴平面 PAB与平面 PCD所成两面角的余弦值为；（ 2）∵ =（﹣ 1，0， 2），设 =λ =（﹣λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又 =（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣λ，﹣ 1， 2λ），又 =（ 0，﹣ 2， 2），进而 cos ＜，＞ ==，设 1+2λ =t ，t ∈[1 ， 3] ，则 cos 2＜，＞ ==≤，当且仅当 t= ，即λ =时， |cos ＜，＞ | 的最大值为，DP所成角获取最小值．因为 y=cosx 在（ 0，）上是减函数，此时直线 CQ与又∵ BP==，∴ BQ=BP=．点本题观察求二面角的三角函数值，观察用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的评：积累，属于中档题．*26．（ 10 分）（2015?江苏）已知会集 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，，n）（n∈N），设S n={（ a，b） |a 整除 b 或整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f （n）表示会集 S n所含元素的个数．（1）写出 f （ 6）的值；（2）当 n≥6时，写出 f （ n）的表达式，并用数学归纳法证明．考数学归纳法．点：专综合题；点列、递归数列与数学归纳法．题：分（ 1） f （ 6） =6+2++=13；析：（ 2）依照数学归纳法的证明步骤，分类谈论，即可证明结论．解解：（ 1） f （ 6）=6+2++=13；答：（ 2）当 n≥6时， f （ n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6 时， f （ 6）=6+2++=13，结论建立；②假设 n=k（k≥6）时，结论建立，那么 n=k+1 时， S k+1在 S k的基础上新增加的元素在（ 1，k+1），（2， k+1），（ 3， k+1）中产生，分以下状况谈论：1）若 k+1=6t ，则 k=6（ t ﹣ 1）+5，此时有 f （ k+1）=f （k）+3=（ k+1）+2++，结论建立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +1=k+2+++1=（ k+1） +2++，结论建立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f （ k+1） =f （ k） +2=k+2+++2=（ k+1） +2++，结论建立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均建立．点本题观察数学归纳法，观察学生分析解决问题的能力，正确归纳是要点．评：。
2015年江苏省高考数学试卷解析
2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共计 分）．（ 分）（ ❿江苏）已知集合✌， ， ❝， ， ， ❝，则集合✌✉中元素的个数为．．（ 分）（ ❿江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ， ，那么这组数据的平均数为．．（ 分）（ ❿江苏）设复数 满足 ♓（♓是虚数单位），则 的模为．．（ 分）（ ❿江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 为．．（ 分）（ ❿江苏）袋中有形状、大小都相同的 只球，其中 只白球、 只红球、 只黄球，从中一次随机摸出 只球，则这 只球颜色不同的概率为．．（ 分）（ ❿江苏）已知向量 （ ， ）， （ ，﹣ ），若❍ ⏹ （ ，﹣ ）（❍，⏹ ），则❍﹣⏹的值为．．（ 分）（ ❿江苏）不等式 ＜ 的解集为．．（ 分）（ ❿江苏）已知♦♋⏹↑﹣ ，♦♋⏹（↑↓） ，则♦♋⏹↓的值为．．（ 分）（ ❿江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 ，高为 的圆锥和底面半径为 ，高为 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中，以点（ ， ）为圆心且与直线❍⌧﹣⍓﹣ ❍﹣ （❍ ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．．（ 分）（ ❿江苏）设数列 ♋⏹❝满足♋ ，且♋⏹ ﹣♋⏹ ⏹（⏹ ☠✉），则数列 ❝的前 项的和为．．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中， 为双曲线⌧ ﹣⍓ 右支上的一个动点，若点 到直线⌧﹣⍓的距离大于♍恒成立，则实数♍的最大值为．．（ 分）（ ❿江苏）已知函数♐（⌧） ●⏹⌧，♑（⌧） ，则方程 ♐（⌧） ♑（⌧） 实根的个数为．．（ 分）（ ❿江苏）设向量 （♍☐♦，♦♓⏹ ♍☐♦）（ ， ， ，⑤， ），则（♋ ❿♋ ）的值为．二、解答题（本大题共 小题，共计 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（ 分）（ ❿江苏）在 ✌中，已知✌，✌，✌．（ ）求 的长；（ ）求♦♓⏹的值．．（ 分）（ ❿江苏）如图，在直三棱柱✌﹣✌ 中，已知✌， ，设✌ 的中点为 ， ✆ ☜．求证：（ ） ☜平面✌✌ ；（ ） ✌ ．．（ 分）（ ❿江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为● ，● ，山区边界曲线为 ，计划修建的公路为●，如图所示， ，☠为 的两个端点，测得点 到● ，● 的距离分别为 千米和 千米，点☠到● ，● 的距离分别为 千米和 千米，以● ，● 在的直线分别为⌧，⍓轴，建立平面直角坐标系⌧⍓，假设曲线 符合函数⍓（其中♋，♌为常数）模型．（ ）求♋，♌的值；（ ）设公路●与曲线 相切于 点， 的横坐标为♦．♊请写出公路●长度的函数解析式♐（♦），并写出其定义域；♋当♦为何值时，公路●的长度最短？求出最短长度．．（ 分）（ ❿江苏）如图，在平面直角坐标系⌧⍓中，已知椭圆 （♋＞♌＞ ）的离心率为，且右焦点☞到左准线●的距离为 ．（ ）求椭圆的标准方程；（ ）过☞的直线与椭圆交于✌， 两点，线段✌的垂直平分线分别交直线●和✌于点 ， ，若 ✌，求直线✌的方程．．（ 分）（ ❿江苏）已知函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌（♋，♌ ）．（ ）试讨论♐（⌧）的单调性；（ ）若♌♍﹣♋（实数♍是与♋无关的常数），当函数♐（⌧）有三个不同的零点时，♋的取值范围恰好是（﹣ ，﹣ ）✉（ ，）✉（， ），求♍的值．．（ 分）（ ❿江苏）设♋ ，♋ ，♋ ．♋ 是各项为正数且公差为♎（♎♊）的等差数列．（ ）证明： ， ， ， 依次构成等比数列；（ ）是否存在♋ ，♎，使得♋ ，♋ ，♋ ，♋ 依次构成等比数列？并说明理由；（ ）是否存在♋ ，♎及正整数⏹， ，使得♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹ 依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 ：几何证明选讲】．（ 分）（ ❿江苏）如图，在 ✌中，✌✌， ✌的外接圆 的弦✌☜交 于点 ．求证： ✌✌☜．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ ❿江苏）已知⌧，⍓ ，向量 是矩阵的属于特征值﹣ 的一个特征向量，求矩阵✌以及它的另一个特征值．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ ❿江苏）已知圆 的极坐标方程为⇧ ⇧♦♓⏹（→﹣）﹣ ，求圆 的半径．☯选修 ：不等式选讲】．（ ❿江苏）解不等式⌧⌧♏．【必做题】每题 分，共计 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 分）（ ❿江苏）如图，在四棱锥 ﹣✌中，已知 ✌平面✌，且四边形✌为直角梯形， ✌ ✌， ✌✌，✌．（ ）求平面 ✌与平面 所成二面角的余弦值；（ ）点✈是线段 上的动点，当直线 ✈与 所成的角最小时，求线段 ✈的长．．（ 分）（ ❿江苏）已知集合✠， ， ❝，✡⏹ ， ， ，⑤，⏹）（⏹ ☠✉），设 ⏹ （♋，♌） ♋整除♌或整除♋，♋ ✠， ✡⏹❝，令♐（⏹）表示集合 ⏹所含元素的个数．（ ）写出♐（ ）的值；（ ）当⏹♏时，写出♐（⏹）的表达式，并用数学归纳法证明．年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共计 分）．（ 分）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出✌✉，再明确元素个数解答：解：集合✌， ， ❝， ， ， ❝，则✌✉， ， ， ， ❝；所以✌✉中元素的个数为 ；故答案为：点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 ．（ 分）考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据 ， ， ， ， ， ，那么这组数据的平均数为： ．故答案为： ．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．．（ 分）考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数 满足 ♓，可得 ♓ ，．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． ．（ 分）考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的✋， 的值，当✋时不满足条件✋＜ ，退出循环，输出 的值为 ．解答：解：模拟执行程序，可得，✋满足条件✋＜ ， ，✋满足条件✋＜ ， ，✋满足条件✋＜ ， ，✋不满足条件✋＜ ，退出循环，输出 的值为 ．故答案为： ．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．．（ 分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为✌，红球为 ，黄球为 、 ，则一次取出 只球，基本事件为✌、✌ 、✌ 、 、 、 共 种，其中 只球的颜色不同的是✌、✌ 、✌ 、 、 共 种；所以所求的概率是 ．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．．（ 分）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量 （ ， ）， （ ，﹣ ），若❍ ⏹ （ ，﹣ ）可得，解得❍，⏹，❍﹣⏹﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．．（ 分）考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为⌧ ﹣⌧＜ ，求解即可．解答：解； ＜ ，⌧ ﹣⌧＜ ，即⌧ ﹣⌧﹣ ＜ ，解得：﹣ ＜⌧＜故答案为：（﹣ ， ）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．．（ 分）考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：♦♋⏹↑﹣ ，♦♋⏹（↑↓） ，可知♦♋⏹（↑↓） ，即 ，解得♦♋⏹↓．故答案为： ．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．．（ 分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径❒，求出体积，由前后体积相等列式求得❒．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为❒，则新圆锥和圆柱的体积和为：．，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．．（ 分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离♎的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离♎ ♎，❍时，圆的半径最大为，所求圆的标准方程为（⌧﹣ ） ⍓ ．故答案为：（⌧﹣ ） ⍓ ．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 分）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列 ♋⏹❝满足♋ ，且♋⏹ ﹣♋⏹ ⏹（⏹ ☠✉），利用❽累加求和❾可得♋⏹ ．再利用❽裂项求和❾即可得出．解答：解： 数列 ♋⏹❝满足♋ ，且♋⏹ ﹣♋⏹ ⏹（⏹ ☠✉），当⏹♏时，♋⏹ （♋⏹﹣♋⏹﹣ ） ⑤（♋ ﹣♋ ） ♋ ⏹⑤．当⏹时，上式也成立，♋⏹ ．．数列 ❝的前⏹项的和 ⏹．数列 ❝的前 项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的❽累加求和❾方法、❽裂项求和❾方法、等差数列的前⏹项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．（ 分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程为⌧⍓，♍的最大值为直线⌧﹣⍓与直线⌧﹣⍓的距离．解答：解：由题意，双曲线⌧ ﹣⍓ 的渐近线方程为⌧⍓，因为点 到直线⌧﹣⍓的距离大于♍恒成立，所以♍的最大值为直线⌧﹣⍓与直线⌧﹣⍓的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 分）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由 ♐（⌧） ♑（⌧） 可得♑（⌧） ﹣♐（⌧） ，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由 ♐（⌧） ♑（⌧） 可得♑（⌧） ﹣♐（⌧） ．♑（⌧）与♒（⌧） ﹣♐（⌧） 的图象如图所示，图象有两个交点；♑（⌧）与⇧（⌧） ﹣♐（⌧）﹣ 的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程 ♐（⌧） ♑（⌧） 实根的个数为 ．故答案为： ．点评：本题考查求方程 ♐（⌧） ♑（⌧） 实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．（ 分）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：，（♋ ❿♋ ）⑤⑤．故答案为： ．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 小题，共计 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（ 分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（ ）直接利用余弦定理求解即可．（ ）利用正弦定理求出 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（ ）由余弦定理可得： ✌ ✌ ﹣ ✌❿✌♍☐♦✌﹣ ，所以 ．（ ）由正弦定理可得：，则♦♓⏹ ，✌＜ ， 为锐角，则♍☐♦ ．因此♦♓⏹♦♓⏹♍☐♦ ．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．．（ 分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（ ）根据中位线定理得 ☜✌，即证 ☜平面✌✌ ；（ ）先由直三棱柱得出 平面✌，即证✌ ；再证明✌平面 ，即证 ✌；最后证明 平面 ✌，即可证出 ✌ ．解答：证明：（ ）根据题意，得；☜为 的中点， 为✌ 的中点，所以 ☜✌；又因为 ☜④平面✌✌ ，✌②平面✌✌ ，所以 ☜平面✌✌ ；（ ）因为棱柱✌﹣✌ 是直三棱柱，所以 平面✌，因为✌②平面✌，所以✌ ；又因为✌， ②平面 ，②平面 ，✆ ，所以✌平面 ；又因为 ②平面平面 ，所以 ✌；因为 ，所以矩形 是正方形，所以 平面 ✌；又因为✌ ②平面 ✌，所以 ✌ ．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．．（ 分）考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（ ）由题意知，点 ，☠的坐标分别为（ ， ），（ ， ），将其分别代入⍓，建立方程组，即可求♋，♌的值；（ ）♊求出切线●的方程，可得✌， 的坐标，即可写出公路●长度的函数解析式♐（♦），并写出其定义域；♋设♑（♦） ，利用导数，确定单调性，即可求出当♦为何值时，公路●的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（ ）由题意知，点 ，☠的坐标分别为（ ， ），（ ， ），将其分别代入⍓，得，解得，（ ）♊由（ ）⍓（ ♎⌧♎）， （♦，），⍓﹣，切线●的方程为⍓﹣ ﹣（⌧﹣♦）设在点 处的切线●交⌧，⍓轴分别于✌， 点，则✌（， ）， （ ，）， ♐（♦） ，♦ ☯， ；♋设♑（♦） ，则♑（♦） ♦﹣ ，解得♦，♦ （ ， ）时，♑（♦）＜ ，♑（♦）是减函数；♦ （ ， ）时，♑（♦）＞ ，♑（♦）是增函数，从而♦时，函数♑（♦）有极小值也是最小值，♑（♦）❍♓⏹ ，♐（♦）❍♓⏹ ，答：♦时，公路●的长度最短，最短长度为 千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．．（ 分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）运用离心率公式和准线方程，可得♋，♍的方程，解得♋，♍，再由♋，♌，♍的关系，可得♌，进而得到椭圆方程；（ ）讨论直线✌的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（ ）由题意可得，♏ ，且♍ ，解得♍，♋，则♌，即有椭圆方程为 ⍓ ；（ ）当✌⌧轴，✌， ，不合题意；当✌与⌧轴不垂直，设直线✌：⍓（⌧﹣ ），✌（⌧ ，⍓ ）， （⌧ ，⍓ ），将✌方程代入椭圆方程可得（ ）⌧ ﹣ ⌧（ ﹣ ） ，则⌧ ⌧ ，⌧ ⌧ ，则 （，），且✌❿ ，若 ，则✌的垂直平分线为⍓轴，与左准线平行，不合题意；则 ♊，故 ：⍓ ﹣（⌧﹣）， （﹣ ，），从而 ，由 ✌，可得 ，解得 ，此时✌的方程为⍓⌧﹣ 或⍓﹣⌧．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．．（ 分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（ ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出♐（⌧）的单调性；（ ）由（ ）知，函数♐（⌧）的两个极值为♐（ ） ♌，♐（﹣） ♌，则函数♐（⌧）有三个不同的零点等价于♐（ ）♐（﹣） ♌（ ♌）＜ ，进一步转化为♋＞ 时，﹣♋♍＞ 或♋＜ 时，﹣♋♍＜ ．设♑（♋） ﹣♋♍，利用条件即可求♍的值．解答：解：（ ） ♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌，♐（⌧） ⌧ ♋⌧，令♐（⌧） ，可得⌧或﹣．♋时，♐（⌧）＞ ， ♐（⌧）在（﹣ ， ）上单调递增；♋＞ 时，⌧ （﹣ ，﹣）✉（ ， ）时，♐（⌧）＞ ，⌧ （﹣， ）时，♐（⌧）＜ ，函数♐（⌧）在（﹣ ，﹣），（ ， ）上单调递增，在（﹣， ）上单调递减；♋＜ 时，⌧ （﹣ ， ）✉（﹣， ）时，♐（⌧）＞ ，⌧ （ ，﹣）时，♐（⌧）＜ ，函数♐（⌧）在（﹣ ， ），（﹣， ）上单调递增，在（ ，﹣）上单调递减；（ ）由（ ）知，函数♐（⌧）的两个极值为♐（ ） ♌，♐（﹣） ♌，则函数♐（⌧）有三个不同的零点等价于♐（ ）♐（﹣） ♌（ ♌）＜ ， ♌♍﹣♋，♋＞ 时，﹣♋♍＞ 或♋＜ 时，﹣♋♍＜ ．设♑（♋） ﹣♋♍，函数♐（⌧）有三个不同的零点时，♋的取值范围恰好是（﹣ ，﹣ ）✉（ ，）✉（， ），在（﹣ ，﹣ ）上，♑（♋）＜ 且在（ ，）✉（， ）上♑（♋）＞ 均恒成立，♑（﹣ ） ♍﹣ ♎，且♑（） ♍﹣ ♏，♍，此时♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ﹣♋（⌧）☯⌧ （♋﹣ ）⌧﹣♋，函数有三个零点，⌧ （♋﹣ ）⌧﹣♋有两个异于﹣ 的不等实根，（♋﹣ ） ﹣ （ ﹣♋）＞ ，且（﹣ ） ﹣（♋﹣ ） ﹣♋♊，解得♋ （﹣ ，﹣ ）✉（ ，）✉（， ），综上♍．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．．（ 分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（ ）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（ ）利用反证法，假设存在♋ ，♎使得♋ ，♋ ，♋ ，♋ 依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（ ）利用反证法，假设存在♋ ，♎及正整数⏹， ，使得♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹ 依次构成等比数列，得到♋ ⏹（♋ ♎）⏹ （♋ ♎） （⏹），且（♋ ♎）⏹（♋♎）⏹ （♋ ♎） （⏹），利用等式以及对数的性质化简整理得到●⏹（ ♦）●⏹（ ♦） ●⏹（ ♦）●⏹（ ♦） ●⏹（ ♦）●⏹（ ♦），（✉✉），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（ ）证明： ♎，（⏹， ， ，）是同一个常数， ， ， ， 依次构成等比数列；（ ）令♋ ♎♋，则♋ ，♋ ，♋ ，♋ 分别为♋﹣♎，♋，♋♎，♋♎（♋＞♎，♋＞﹣ ♎，♎♊）假设存在♋ ，♎使得♋ ，♋ ，♋ ，♋ 依次构成等比数列，则♋ （♋﹣♎）（♋♎） ，且（♋♎） ♋ （♋♎） ，令♦，则 （ ﹣♦）（ ♦） ，且（ ♦） （ ♦） ，（﹣＜♦＜ ，♦♊），化简得♦ ♦ ﹣ （✉），且♦ ♦，将♦ ♦代入（✉）式，♦（♦） （♦）﹣ ♦ ♦♦♦♦，则♦﹣，显然♦﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在♋ ，♎，使得♋ ，♋ ，♋ ，♋ 依次构成等比数列．（ ）假设存在♋ ，♎及正整数⏹， ，使得♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹ 依次构成等比数列，则♋ ⏹（♋ ♎）⏹ （♋ ♎） （⏹），且（♋ ♎）⏹（♋ ♎）⏹ （♋ ♎） （⏹），分别在两个等式的两边同除以 ♋ （⏹），♋ （⏹），并令♦，（♦＞，♦♊），则（ ♦）⏹ （ ♦） （⏹），且（ ♦）⏹（ ♦）⏹ （ ♦） （⏹），将上述两个等式取对数，得（⏹）●⏹（ ♦） （⏹）●⏹（ ♦），且（⏹）●⏹（ ♦） （⏹）●⏹（ ♦） （⏹）●⏹（ ♦），化简得， ☯●⏹（ ♦）﹣●⏹（ ♦） ⏹☯●⏹（ ♦）﹣●⏹（ ♦） ，且 ☯●⏹（ ♦）﹣●⏹（ ♦） ⏹☯●⏹（ ♦）﹣●⏹（ ♦） ，再将这两式相除，化简得，●⏹（ ♦）●⏹（ ♦） ●⏹（ ♦）●⏹（ ♦） ●⏹（ ♦）●⏹（ ♦），（✉✉）令♑（♦） ●⏹（ ♦）●⏹（ ♦）﹣●⏹（ ♦）●⏹（ ♦） ●⏹（ ♦）●⏹（ ♦），则♑（♦） ☯（ ♦） ●⏹（ ♦）﹣ （ ♦）●⏹（ ♦） （ ♦） ●⏹（ ♦） ，令⇧（♦） （ ♦） ●⏹（ ♦）﹣ （ ♦） ●⏹（ ♦） （ ♦） ●⏹（ ♦），则⇧（♦） ☯（ ♦）●⏹（ ♦）﹣ （ ♦）●⏹（ ♦） （ ♦）●⏹（ ♦） ，令⇧ （♦） ⇧（♦），则⇧ （♦） ☯●⏹（ ♦）﹣ ●⏹（ ♦） ●⏹（ ♦） ，令⇧ （♦） ⇧ （♦），则⇧ （♦） ＞ ，由♑（ ） ⇧（ ） ⇧ （ ） ⇧ （ ） ，⇧ （♦）＞ ，知♑（♦），⇧（♦），⇧ （♦），⇧ （♦）在（﹣， ）和（ ， ）上均单调，故♑（♦）只有唯一的零点♦，即方程（✉✉）只有唯一解♦，故假设不成立，所以不存在♋ ，♎及正整数⏹， ，使得♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹，♋ ⏹ 依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 ：几何证明选讲】．（ 分）考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明： ✌✌， ✌ ，又 ☜， ✌ ☜，又 ✌☜是公共角，可知： ✌✌☜．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用✌ ﹣ ，可得✌，通过令矩阵✌的特征多项式为 即得结论．解答：解：由已知，可得✌ ﹣ ，即 ，则，即，矩阵✌，从而矩阵✌的特征多项式♐（↖） （↖）（↖﹣ ），矩阵✌的另一个特征值为 ．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ ❿江苏）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据⌧⇧♍☐♦→，⍓⇧♦♓⏹→，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为⇧ ⇧♦♓⏹（→﹣）﹣ ，可得⇧ ﹣ ⇧♍☐♦→⇧♦♓⏹→﹣ ，化为直角坐标方程为⌧ ⍓ ﹣ ⌧⍓﹣ ，化为标准方程为（⌧﹣ ） （⍓） ，圆的半径❒．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式⌧⇧♍☐♦→，⍓⇧♦♓⏹→，比较基础，☯选修 ：不等式选讲】．（ ❿江苏）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路 （公式法）：利用 ♐（⌧） ♏♑（⌧） ♐（⌧）♏♑（⌧），或♐（⌧）♎﹣♑（⌧）；思路 （零点分段法）：对⌧的值分❽⌧♏❾❽⌧＜❾进行讨论求解．解答：解法 ：⌧⌧♏变形为 ⌧♏﹣⌧，得 ⌧♏﹣⌧，或 ⌧♏﹣（ ﹣⌧），即⌧♏，或⌧♎﹣ ，即原不等式的解集为 ⌧⌧♏，或⌧♎﹣ ❝．解法 ：令 ⌧，得⌧．♊当⌧♏时，原不等式化为⌧（ ⌧）♏，即⌧♏，所以⌧♏；♋⌧＜时，原不等式化为⌧﹣（ ⌧）♏，即⌧♎﹣ ，所以⌧♎﹣ ．综上，原不等式的解集为 ⌧⌧♏，或⌧♎﹣ ❝．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： ♐（⌧） ♏♑（⌧） ♐（⌧）♏♑（⌧），或♐（⌧）♎﹣♑（⌧）；♐（⌧） ♎♑（⌧） ﹣♑（⌧）♎♐（⌧）♎♑（⌧）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题 分，共计 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以✌为坐标原点，以✌、✌、✌所在直线分别为⌧、⍓、 轴建系✌﹣⌧⍓．（ ）所求值即为平面 ✌的一个法向量与平面 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（ ）利用换元法可得♍☐♦ ＜，＞♎，结合函数⍓♍☐♦⌧在（ ，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以✌为坐标原点，以✌、✌、✌所在直线分别为⌧、⍓、 轴建系✌﹣⌧⍓如图，由题可知 （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）．（ ） ✌平面 ✌， （ ， ， ），是平面 ✌的一个法向量， （ ， ，﹣ ）， （ ， ，﹣ ），设平面 的法向量为 （⌧，⍓， ），由，得，取⍓，得 （ ， ， ），♍☐♦＜，＞ ，平面 ✌与平面 所成两面角的余弦值为；（ ） （﹣ ， ， ），设 ↖ （﹣↖， ， ↖）（ ♎↖♎），又 （ ，﹣ ， ），则 （﹣↖，﹣ ， ↖），又 （ ，﹣ ， ），从而♍☐♦＜，＞ ，设 ↖♦，♦ ☯， ，则♍☐♦ ＜，＞ ♎，当且仅当♦，即↖时， ♍☐♦＜，＞ 的最大值为，因为⍓♍☐♦⌧在（ ，）上是减函数，此时直线 ✈与 所成角取得最小值．又 ， ✈ ．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．．（ 分）考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（ ）♐（ ） ；（ ）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（ ）♐（ ） ；（ ）当⏹♏时，♐（⏹） ．下面用数学归纳法证明：♊⏹时，♐（ ） ，结论成立；♋假设⏹（ ♏）时，结论成立，那么⏹时， 在 的基础上新增加的元素在（ ， ），（ ， ），（ ， ）中产生，分以下情形讨论： ）若 ♦，则 （♦﹣ ） ，此时有♐（ ） ♐（ ） （ ） ，结论成立；）若 ♦，则 ♦，此时有♐（ ） ♐（ ） （ ） ，结论成立；）若 ♦，则 ♦，此时有♐（ ） ♐（ ） （ ） ，结论成立；）若 ♦，则 ♦，此时有♐（ ） ♐（ ） （ ） ，结论成立；）若 ♦，则 ♦，此时有♐（ ） ♐（ ） （ ） ，结论成立；）若 ♦，则 ♦，此时有♐（ ） ♐（ ） （ ） ，结论成立．综上所述，结论对满足⏹♏的自然数⏹均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
2015年江苏高考数学试题及答案
（第4题图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．圆锥的体积公式：V 圆柱＝13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为 ▲ ． 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ． 3．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5．袋中有形状､大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值 为 ▲ ．7．不等式2x 2－x＜4的解集为 ▲ ．8．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 ▲ ．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2､高为8的圆柱各一个．若将 它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新 的底面半径为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．11．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n}的前10项和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ▲ ．13．已知函数f (x )＝|l n x |，g (x )＝⎩⎨⎧ 0 ，0＜x ≤1，|x 2－4|－2， x ＞1．，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为 ▲ ．14．设向量a k ＝(cos k π6，sin k π6＋cos k π6)(k ＝0，1，2，… ，12)，则∑11k ＝0(a k ·a k ＋1)的值为 ▲ ．（第16题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°． （1）求BC 的长； ` （2）求sin2C 的值．16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1．设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E ． 求证：（1）DE //平面AA 1C 1C ； （2）BC 1⊥AB 1．17．(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连 接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ， 计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 千米和40千米，点N 到l 1，l 2，的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2，所在的直线分别为 x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短?求出最短长度．MNl 2l 1xy O C Pl（第17题图）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平 分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ， 求直线AB 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．（1）试讨论f (x )的单调性；（2）若b ＝c －a (实数c 是与a 无关常数)，当函数f (x )有三个不同零点时，a 的取值 范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．20．(本小题满分16分)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列． （1）证明:2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次成等比数列；（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n ＋k ，a 3n＋2k，a 4n＋3k依次成等比数列?并说明理由．（第18题图）A（第21—A 图）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A ､B ､C ､D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：△ABD ∽△AE B ．B ．[选修4－2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎡⎦⎤ 1 －1是矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤x 1y 0的属性特征值－2的一个特征向量，矩 阵A 以及它的另一个特征值．PA BCDQ (第22题）C ．[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径．D ．[选修4－5:不等式选讲] (本小题满分10分)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2．P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1．（1）求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23．已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，···，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b ，或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素个数． （1）写出f (6)的值；（2）当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．。
2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件：专题7 第2讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
高考专题辅导与测试·数学
创新方案系列丛书
x＝1＋cos α， (2)①由 消去 α， y＝sin α，
得点 P 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(y≥0)， 又由 ρ＝ 9 ，得 ρ ＝ ， π sin θ＋cos θ 2sinθ＋4 9
y tan θ＝ x
x≠0
.
高考专题辅导与测试·数学
创新方案系列丛书
2．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ
2 －θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acos θ；
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线， 交 l 于点 A， 求|PA|的最大值与最小值．
高考专题辅导与测试·数学
创新方案系列丛书
x＝2cos θ， 解：(1)曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝3sin θ
可得 a＝ 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r＝1， 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ 2 <1， 2 所以直线 l 与圆 C 相交．
所以 ρsin θ＋ρcos θ＝9. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x＋y＝9. ②因为半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的圆心(1,0)到直线 x＋y＝9 的距 离为 4 2，所以|PQ|min＝4 2－1.
2015年高考数学试题——坐标系与参数方程
2015年高考数学试题——坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为【答案】2． 【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -= (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。
2015年高考理科数学江苏卷-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学Ⅰ【解析】{12A B=，，【提示】求出A BU，再明确元素个数集合并集及其运算】6】1(46x=+【提示】直接求解数据的平均数即可．平均数的计算．】（【解析】从中随机一次摸出】(2ma nb m n +=+【提示】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【考点】平面向量的坐标运算．】224xx-<【提示】利用指数函数的单调性转化为解不等式．】tan tan(β=31(2)7=-，【提示】直接利用两角和的正切函数，求解即可．两角和与差的正切公式．】221196ππ54+π28=33V 221196ππ8π433r r +=，解得r =等列式求得r ．】圆心到切线】1n n a a +-(1)1232n n n +==++++=1121n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭1111111202121223310111111⎛⎫⎛⎫-+-+-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【提示】数列{}n a 满足1()n n *+∈Ν，利用“累加求和”可得(1)2n n n a +=．再利用“裂0021x y -+又00)()x y +=00211x y ++的最小值为22c ∴【提示】双曲线2x -】πcos 6k ⎛⎝，π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos sin sin cos cos cos6666666666k k k k k k k k k +++++++++ π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos cos cos sin sin cos 666666666k k k k k k k k k +++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π(1)cos 66k +1111100π(1)π)cos cos 66k k k k k k a +==+=+∑∑π(1)πππcos 33sin 6636k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭以63=，1)3k k a +∴=【提示】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．cos 4AB AC A =+2sin 6021sin 7AB A BC ==317=-=cos 2C C =⨯（Ⅰ）直接利用余弦定理求解即可．2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34.27a 又b =2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭设22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n kn k a d a d a d +++++=+，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++，多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．【考点】等比数列的判定，等差数列、等比数列的性质，等差、等比数列的性质．数学Ⅱ(附加题){}AB AD AP ，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．，所以AD 是平面的一个法向量，(0,2,0)AD =因为(1,1,PC =，(0,2,PD =0PC =m ，0PD =m ，即20y z -=(1,1,1)=m 是平面PCD 33AD AD AD <>==，mm m ，33． （Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2BQ BP λλ==-，又(0,1,0)CB =-则(,CQ CB BQ λ=+=-，又(0,DP =-110CQ DPCQ DP CQ DP <>==，2,CQ DP <>=,CQ DP <>的最大值为所成角取得最小值，又因为BP =的一个法向量与平面9,10CQ DP <>≤。
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 坐标系与参数方程
坐标系与参数方程1．(2014·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上【解析】 因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y ＝－2x 上，故选B . 【答案】 B2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 ∵2ρcos 2θ＝sin θ，∴2ρ2cos 2 θ＝ρsin θ即2x 2＝y ， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒x ＝1，y ＝2，∴交点坐标为(1,2)． 【答案】 (1,2)3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离等于________．【解析】 将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12sin θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 14．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝8 2.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．极坐标方程①该考向主要考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及会写出简单图形的极坐标方程．②根据新课标省份的出题特点，既可以命制选择、填空题，难度为容易题；又可以命制解答题，难度中等．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．参数方程及应用①此考向主要考查参数方程与普通方程之间的互化能力，考查学生对基础公式及方法的理解和应用．②各地都有自己的命题特点，总的趋势为以填空题形式出现时，综合力度较小；以解答题形式出现时，常常把极坐标方程与参数方程融合在一起考查，难度一般不大，填空题5分左右，解答题10分左右．3．极坐标方程与参数方程的综合应用①此考向主要考查极坐标与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)，突出考查转化和化归的思想及能力．②主要以解答题的形式体现，难度中等.极坐标方程【例1】 (1)(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．(2)(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 (1)直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，可化为直角坐标方程x ＋y ＝2＋2，由圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，得圆C 的圆心的直角坐标系(1,1)，所以圆心C (1，1)到直线l 的距离d ＝|1＋1－2－2|2＝1，又因为圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2.(2)在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 (1)2 (2)B【规律方法】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便．2．在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x 代换其中的ρcos θ、y 代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以写成ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝x 2＋y 2.[创新预测] 1．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(2)(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 (1)利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.(2)将极坐标转化为直角坐标求解．极坐标系中点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 (1)ρ＝2cos θ (2)1参数方程及应用【例2】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【规律方法】 将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.[创新预测]2．(1)(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．(2)(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 (1)利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)将参数方程化为普通方程后求解．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) (2)3极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ，(0≤y ≤1)．C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．【规律方法】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程．但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破．2．在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答．[创新预测]3．(2014·福建厦门质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4. (2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0.设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2，解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离d ＝|－22－4－－2＝2＋2，即点P 到直线l 距离的最大值2＋ 2.。
2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-江苏(精校版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 中元素的个数为______.2.已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位)，则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_______.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .6.已知向量()()2,1,1,2a b ==- .若()()9,8,ma nb m n R +=-∈，则m n -的值为 .7.不等式224x x-<的解集为 .8.已知()1tan 2,tan 7ααβ=-+=，则tan β的值为 . 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，以点()0,1为圆心且与直线()20mx y m m R --=∈相切的所有园中，半径最大的圆的标准方程为 .11.设数列{}n a 满足11a =，且()*11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点.若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 .11823Pr int S I WhileI S S I I End While S←←<←+←+13.已知函数()ln f x x =，()20,01,42,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=实根的个数为 .14.设向量()c o s,s i n c o s 0,1,2,,12666k k k k a k πππ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则()1110k k k a a +=⋅∑的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在ABC V 中，已知2,3,60AB AC A ===o. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为11,D B C BC E = . 求证：(1)11//DE AAC C 平面； (2)11BC AB ⊥.17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型. (1)求,a b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.17.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A B 、两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程.19.(本小题满分16分)已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. (1)试讨论)(x f 的单调性；(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关的常数)，当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.20. (本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为()0d d ≠的等差数列. (1)证明：31242,2,2,2aaaa依次构成等比数列；(2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由.附加题、、、四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，21.【选做题】本题包括A B C D若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤..A [选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆O e 的弦AE 交BC 于点D . 求证：ABD ∆:AEB ∆.B [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值..C [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径..D [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)解不等式|23|2x x ++≥.A（第21—A 题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长.23.(本小题满分10分)已知集合*{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈，设{(,)|,,}n n S a b a b a a X b Y =∈∈整除或整除，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.(1)写出(6)f 的值；(2)当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试答案（江苏理）1.答案：5解析：集合{}1,2,3,4,5A B = ，故A B 有5个元素. 2.答案：6解析：由平均数公式可得这组数据的平均数为46587666+++++=.3.解析：设复数,,z a bi a b R =+∈,则222234,,z a b abi i a b R =-+=+∈，则223,,24a b a b R ab ⎧-=∈⎨=⎩，解得2112a b b a ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，则()2z i =±+，故z =. 4.答案：7解析：该伪代码运行3次，故输出的S 为7. 5.答案：56解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56. 6.答案：3-解析：由向量()()2,1,1,2a b ==- ，得()()2,29,8m a n b m n m n +=+-=-，则2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-. 7.答案：()1,2- 解析：不等式2224212x xx x x -<⇔-<⇔-<<，故原不等式的解集为()1,2-.8.答案：3解析：()()()12tan tan 7tan tan 321tan tan 17αβαβαβααβα++-=+-===⎡⎤⎣⎦++-. 9.解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高位8的圆柱的总体积为221196542833πππ⨯⨯+⨯⨯=.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则22212819648333r r r ππππ⨯⨯+⨯⨯==，解得r =10.答案：()2212x y -+=解析：因为直线()210mx y m m R ---=∈恒过点()2,1-，所以当点()2,1-为切点时，半径最大，此时半径r =()2212x y -+=.11.答案：2011解析：有11a =，且()11n n a a n n N *+-=+∈得，()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+=，则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和1011111120212122310111111S ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.答案：2解析：直线10x y -+=与双曲线221x y -=的一条渐近线0x y -=平行，这两条平行线之间的距离为2，又P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则2c ≤，即实数c 的最大值为2. 13.答案：4解析：当01x <≤时，()()ln ,0f x x g x =-=，此时方程()()1f x g x +=即为ln 1x =或ln 1x =-，故x e =或1x e =，此时1x e=符合题意，方程有1个实根.当12x <<时，()()22ln ,422f x x g x x x ==--=-，方程()()1f x g x +=即为2ln 21x x +-=或2ln 21x x +-=-，即2l n 10x x +-=或2ln 30x x +-=，令2l n 1y x x =+-，则0y '<，函数2ln 1y x x =+-在()1,2x ∈上单调递减，且()10y =，所以当12x <<时，方程2ln 10x x +-=无解；同理，函数2ln 3y x x =+-在()1,2x ∈上单调递减，且()()120,2ln210y y =>=-<，所以当12x <<时，方程2ln 30x x +-=有1个实根.当2x ≥时，()()22ln ,426f x x g x x x ==--=-，方程()()1f x g x +=即为22ln 70ln 50x x x x +-=+-=或，令2l n 7y x x =+-，则120y x x'=+>，函数2ln 7y x x =+-在[)2,x ∈+∞上单调递增，且()2ln230y =-<，()3ln320y =+>，所以当2x ≥时，方程2ln 70x x +-=有1个实根；同理方程2ln 50x x +-=在2x ≥时有1个实根.故方程()()1f x g x +=实根个数为4. 14.答案： 解析：由题意可得()06121,1a a a ==-=，17a a ==-⎝⎭，2811,22a a ⎛+==- ⎝⎭ ，()390,1a a ==-，511122a a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以016712a a a a ⋅=⋅=+ ，12781a a a a ⋅=⋅=，238912a a a a ⋅=⋅=，3491012a a a a ⋅=⋅=-，4510111a a a a ⋅=⋅=-+，56111212a a a a ⋅=⋅=-+故()1110k k k a a +=⋅=∑15.解析：(1)由余弦定理知,22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC =(2)由正弦定理知，sin sin AB BC C A =，所以sin sin 7AB C A BC =⋅== ． 因为AB BC <，所以C为锐角，则cos C ==．因此sin 22sin cos 2777C C C =⋅=⨯=. 16.解析：证明：(1)由题意知，E 为1B C 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此//DE AC ．又因为DE ⊄平面11AA C C ，AC ⊂平面11AA C C ， 所以//DE 平面11AA C C ．(2)因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥．又因为AC BC ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C = ， 所以AC ⊥平面11BCC B ．又因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1B C AC ⊥．因为1BC CC =，所以矩形11BCC B 是正方形，因此11BC B C ⊥．因为AC ，1B C ⊂平面1B AC ，1AC B C C = ，所以1BC ⊥平面1B AC ． 又因为1AB ⊂平面1B AC ，所以11BC AB ⊥．17.解析：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得1000a b =⎧⎨=⎩．(2)①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，230000,B t ⎛⎫⎪⎝⎭．故()f t ==[]5,20t ∈．②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为18.解析：(1)由题意，得2c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)当AB x ⊥轴时，AB =，又3CP =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则1,2x=，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k AB k+==+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线PC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()2223112k PC k k +=+．因为2PC AB =，所以(())222223111212k k k k k ++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．19.解析：(1)()232f x x ax '=+，令()0f x '=，解得10x =，223a x =-． 当0a =时，因为()230f x x '=>（0x ≠），所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 时，()0f x '>，2,03a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．(2)由(1)知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而34027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩． 又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此1c =． 此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠，解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上1c =．20.解析：(1)证明：因为()112221,2,32n n n na a a d a n ++-===是同一个常数，所以31242,2,2,2aa a a 依次构成等比数列．(2)令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为,,,2a d a a d a d -++, (a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列， 则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d aa d +=+．令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列． (3)假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k na a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a+，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++． 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦． 令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．21.解析：.A [选修4—1：几何证明选讲]证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠． 又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠， 又BAE ∠为公共角，可知ABD ∆∽AEB ∆．.B [选修4—2：矩阵与变换]解：由已知，得2A αα=-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦．从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．.C [选修4—4：坐标系与参数方程]解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ．圆C的极坐标方程为240ρθθ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=， 即()()22116x y -++=，所以圆C．.D [选修4—5：不等式选讲]解：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-． 综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．22.解析：以{},,AB AD AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．（1）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD是平面PAB 的一个法向量，()0,2,0AD = ．因为()1,1,2PC =- ，()0,2,2PD =- ．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则C 0m ⋅P = ，0m PD ⋅=，即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．令1y =，解得1z =，1x =．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量．从而cos ,3AD m AD m AD m⋅==，所以平面PAB 与平面PCD所成二面角的余弦值为3． （2）因为()1,0,2BP =- ，设()(),0,201BQ BP λλλλ==-≤≤， 又()0,1,0CB =- ，则()CQ ,1,2CB BQ λλ=+=-- ，又()0,2,2DP =-，从而cos ,CQ DP CQ DP CQ DP ⋅==设12t λ+=，[]1,3t ∈，则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t ==≤-+⎛⎫-+⎪⎝⎭．当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP．因为cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP =255BQ BP ==． 23.解析：（1）()613f =．（2）当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．。
2015年江苏高考数学试卷(含附加题)
（2）当 时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明。
【答案】．
【解析】
【答案】
【解析】
13．已知函数 ， ，则方程 实根的个数为。
【答案】
【解析】
14．设向量 ，则 的值为。
【答案】.
【解析】
二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为AB=2，AC=3，A=60o
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A＝{1，2，3 }，B＝{2，4，5 }，则A∪B中元素的个数．
【答案】
【解析】
2．已知一组数据4、6、5、8、7、6，那么这组数的平均数为．
【答案】
【解析】
3．若复数 z 满足z2=3+4i (i是虚数单位)，则复数z 的模_________________
【答案】
【解析】
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为___________
s←1
I←1
WhileI<8
s←s＋2
I←I+3
End While
Print s
【答案】
【解析】
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随
机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率是▲．
A．（几何证明选讲选做题）
A、（本小题满分10分）
如图，在 中， ， 的外接圆圆O的弦 交 于点D
求证：
【答案】
【解析】
B．（矩阵与变换选做题）（本小题满分10分）
15年高考真题——理科数学(江苏卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏）卷一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为 。
2．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为 。
3．设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为 。
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 。
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 。
6．已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=- ，其中,m n R ∈，则n m -的值为 。
7．不等式224x x -<的解集为 。
8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 。
9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10．在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线()210mx y m m R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11．数列{}n a 满足11=a ，且()11n n a a n n N ++-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13．已知函数()|ln |f x x =，()()()2001|4|21x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()()||1f x g x +=实根的个数为 。
14．设向量()cos ,sin cos 0,1,2,,12666k k k k a k πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，则()1110k k k a a +=⋅∑ 的值为 。
2015高考理科数学(人教版通用)二轮专题整合：补偿练8
补偿练8立体几何(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()．A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台解析根据俯视图与侧视图，可得几何体为三棱柱．答案 C2．关于直线a，b，l及平面α，β，下列命题中正确的是()．A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β解析在选项A中，a，b有可能不平行；在选项B中，b可能在平面α内；在选项C中，缺少a与b相交的条件，故不正确．由此可知选D.答案 D3．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③解析过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.答案 A4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则()．A．若m⊥n，α⊥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n解析对于D，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D是正确的，而A，B，C均可以举出反例说明不成立．答案 D5．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则()．A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a∥b，a⊥α，则b⊥αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β解析对于A选项，两直线有可能异面或相交；对于B选项，两平面有可能相交；对于D选项，直线a有可能在平面β内，故选C.答案 C6.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()．A．15＋3 3B．9 3C．30＋6 3D．18 3解析 图中所示的三视图对应的直观图是一个侧放的四棱柱，该四棱柱四个侧面都是矩形，上、下两个底面是平行四边形，其表面积为2×3×3＋2×3×2＋2×3×3＝30＋6 3. 答案 C7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )．A ．1 440B ．1 200C ．960D ．720解析 由三视图可知，该几何体是由长方体削掉一个三棱锥得到的，所以其体积为8×9×20－13×12×8×9×20＝1 200. 答案 B8．如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( )．A ．a 3B ．a 32 C.a 33D ．a 34解析 根据三视图还原出原几何体，易知该几何体的体积V ＝2×13×34a 2×32a ＝a 34.9．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )．A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β解析 依题意，A ，B ，C 均不能得出α⊥β.对于D ，由l ∥m ，m ⊥β，得l ⊥β，又l ⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D. 答案 D10．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )．A ．8＋π3 B ．8＋2π3 C ．8＋8π3 D ．8＋16π3解析 依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3.11．已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为 ( )．A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π解析 依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π. 答案 C12.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC ＝O ，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 作平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为( )．A. 2 B ．62 C.233D ．1解析 连接B 1D 1，AN ，则N 在B 1D 1上．设MN ＝x ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中可求得sin ∠B 1D 1O ＝26，则在Rt △D 1MN 中，D 1N ＝MN sin ∠B 1D 1O ＝62x .又由正方体的性质知∠AD 1N ＝π3，于是在△AD 1N 中，由余弦定理， 得|AN |＝(2)2＋(62x )2－2×2×62x cos π3＝126x 2－43x ＋8＝126(x －33)2＋6，所以当x ＝33时，|AN |取得最小值62.答案 B二、填空题13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线DD 1异面； ④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) 解析 AM 与C 1C 异面，故①错；AM 与BN 异面，故②错；③，④正确． 答案 ③④14.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．解析 依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1，高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3. 答案 8－2π315．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为________．解析 由三视图知几何体为组合体，上面为三棱锥，下面为直三棱柱，公用底面为等腰直角三角形且腰长为2，三棱锥和三棱柱的高都为2，则体积V ＝2×12×2×2＋13×2×12×2×2＝163. 答案 16316．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为_____． 解析 S 菱形ABCD ＝4sin 60°＝23，S △EBC ＝32，V P －EBC ＝13×2×32＝33. 答案 33。
【步步高】江苏专用高考数学二轮复习 专题七第3讲坐标系与参数方程课件 理 苏教
解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0)，(21，－ 23)．
(2)C1 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为
x＝12sin2α y＝－21sin αcos α
(α 为参数)．
P 点轨迹的普通方程为(x－41)2＋y2＝116.
若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，
则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 M(b，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0 几个特殊位置的圆的极坐标方程
故 P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．
规律方法总结
1．极坐标方程与普通方程互化核心公式：xy＝＝ρρcsions
θ θ
，
ρ2＝x2＋y2
tan
θ＝xy
.
2．过点 A(ρ0，θ0) 倾斜角为 α 的直线方程为 ρ＝ ρ0ssiinn((θθ－0－α)α).特别地，①过点 A(a,0)，(a>0)，垂直于极
(2)当 t＝π2时，P(－4,4)．由于 Q 为 C2 上的动点，
因此 Q(8cos θ，3sin θ)，
故 M－2＋4cos θ，2＋32sin θ， 直线 C3 的方程为：x－2y－7＝0，故点 M 到 C3 的距离
为
d＝
5 5 |4cos
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3讲 坐标系与参数方程
1．(2014·全国新课标卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标． 解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t
(t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， tan t ＝3，t ＝π
3.
故D 的直角坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32.
2．(2011·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)的
右焦点，且与直线⎩⎨⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
解 由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的方程为y ＝1
2(x －4)，即x －2y －4＝0.
3．(2010·江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
解 将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，
直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |
32＋42
＝1，
解得a ＝－8或a ＝2，
故a 的值为－8或2.
4．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t ，
∴⎩⎨⎧
5cos t ＝x －4，5sin t ＝y －5，∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，
即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，
解方程组⎩⎨⎧ (x －4)2＋(y －5)2
＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝0，
y ＝2.
∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)． ∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π2. 5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝2 2.
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t 3＋a ，y ＝b 2
t 3
＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．
解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
解⎩⎨⎧ x 2＋(y －2)2
＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧
x 2＝2，
y 2＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，
由参数方程可得y ＝b 2x －ab
2＋1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＝1，－ab
2＋1＝2，
解得⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝2.
6．已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧
x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)．
(1)化C 1、C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧
x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．
解 (1)C 1：(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，C 2：x 264＋y 2
9＝1.
C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π
2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2＋4cos θ，2＋32sin θ.
C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离
d ＝5
5|4cos θ－3sin θ－13|.
4
5，sin θ＝－3
5时，d取得最小值
85
5.
从而当cos θ＝。