高考数学二轮复习 专题6 立体几何
二轮复习专题：立体几何中的翻折与旋转问题
∴又∵C′N 平面 BCC′ ∴C′N //平面 ADD′
题醉了
（3）由前，∵AC⊥平面 ABC′ 同理 A C′⊥平面 ABC， 以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴、AC 为 y 轴、AC′为 z 轴，建立空间直角坐标系
z
设 AB=1，则 B（1,0,0）,C（0, 3 ,0）,C′（0,0, 3 ）
D C
由已知可知 平面 C′BA⊥平面 ABC 又∵ 平面 C′BA∩平面 ABC=AB ∴ AC⊥平面 AB C′
B N
（2） ∵AD//BC， BC 平面 BCC′ AD 平面 BCC′ ∴AD//平面 BCC′ 同理 AD′ 平面 BCC′ 又∵AD∩AD′=A ∴ 平面 ADD′//平面 BCC′
题醉了
【证明】如图①，连接 DE 交 AD 于 O.
E P
AOΒιβλιοθήκη D1A B
O
C
1
D
C B
(2)在等腰∆ABD 中，∵AD=2，AB=BD= 5 ，且 BO⊥AD ∴BO=2 ∴S∆ABD=2∵三棱锥 P-ABD 的体积是 2 .
在四边形 OBCD 中， OB//DC,且 OB=2， DC=1.∴S∆ABD=2 S∆BOD=4S∆ACD
E
A
D
1
A B C
D
C B
①
②
题醉了
【证明】如图①，连接 DE 交 AD 于 O.
高三数学二轮复习专题《立体几何》
高三数学二轮复习专题《立体几何》专题热点透析高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。
近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。
考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。
其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。
热点题型范例 一、平行与垂直的证明例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD 解：（1）连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO . ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴P A // EO而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，所以，P A // 平面EDB （2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD =DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC .而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC .而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥ 又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD .例2．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =，SA SB ==（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．解：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为A CDBCASOESA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =SD sin 452AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．sin 11ED AO ESD SD SD ====∠，所以直线SD 与平面SBC所成的角为． 1.1已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且P A =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点. （Ⅰ）证明：面P AD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 解：（Ⅰ）∵P A ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，∴由三垂线定理得：CD ⊥PD .因而，CD 与面P AD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直，∴CD ⊥面P AD .又CD ⊂面PCD ，∴面P AD ⊥面PCD .（Ⅱ）过点B 作BE //CA ，且BE =CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC =CB =BE =AE =2，又AB =2，所以四边形ACBE 为正方形. 由P A ⊥面ABCD 得∠PEB =90° 在Rt △PEB 中BE =2，PB =5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos 所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN .在Rt △P AB 中，AM =MB ，又AC =CB ，∴△AMC ≌△BMC ，∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角.∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM =MB ，所以CM =AM .在等腰三角形AMC 中，AN ·MC =AC AC CM ⋅-22)2(，5625223=⨯=∴AN . ∴AB =2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-ADCBNM EP二、空间角与距离例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。
高考数学二轮复习专题六 立体几何
高考数学二轮复习专题六 立体几何【重点知识回顾】稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意（1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。
实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查（2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2012年高考命题的重点 （4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−线面平行的判定：a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒αααabα线面平行的性质：αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒I b a b 三垂线定理（及逆定理）：PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒αaPO线面垂直：a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒ααIaO α b c面面垂直：a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβI =⊂⇒l l a a aα alβa b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥∥αβαβa a ⇒a bα三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° θαα＝时，∥或0b ob ⊂（）二面角：二面角的平面角，30180αβθθ--<≤l oo（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。
二轮复习之立体几何
（ ） 面距 离．设Ｊ 是平 面Ａ Ｃ的 ９点 ｌ Ｂ
法 向量 ，则点删 平 面Ａ Ｃ的距 离ｄ ＝
（） 线平行 ． １线 若劢 ∥ ， 则
Ａ Ｃ ． Ｂ ？Ｄ
（） 面 平行． ２线
Ｊ 。 两 露ｆ ｌｌ ‘ ， ｌ
（ ，是平面 Ｉ） ｌ 的法 向量 ， 若 上
上＆ Ｊ
（） ６ 线线 成角． ＡＢ 设 与Ｃ Ｄ所成角
大小为 则ｃｓ ｆ ｓ ， ＞． ， ｏ ｃ（ １ ｏ
匿 暖豳
使用空间向量对空
（） 面 成 角．设 Ⅳ与 平 面ＡＢ ７线 Ｃ 所 成 角大 小 为 若ｎ是 平 面Ａ 的法 ， Ｃ
间几 何 问题 进行 运 算 和证 明 ． 键 是 关
破解 思 路 立 体 几 何 中 平 行 和
垂 直 的证 明（ 判 断 ）一方 面可 以利 或 ．
用 平 行 和 垂 直 的 判 定 定 理 或 性 质 定
面 面 垂 直 判 定 定 理 ： 个 平 面 过 一
另 一 个 平 面 的 垂 线 ． 这 两 个 平 面 垂 则
理 进 行 推 理 论 证 ： 一 方 面 可 以 借 助 另
（ ） 线 段Ｂ 上 是 否 存 在 一 点 Ⅱ 在 Ｂ。
，
个 平 面 的 两 条 直 线 平 行 ． ｎ ， Ｌ 即 上 ｂ－
＝ ｑ
Ｄ Ｃ ， Ｄ ｎ Ｃ ＝Ｄｌ ＤＩ ，所 以 平 面
？ｂ ｝．
Ｄ ∥ 平面ＡＩ 因为Ｄ０ｃ平 面 Ｃ Ｂ Ｃ 。 Ｄ ， ４Ｃ 所以Ｄ０ ｌ∥平面Ａ１Ｃ Ｂ
高 考 强 化 了对 立 体 几何 的 “ 化 包 装 ” 呈 现 出 “ 花 美 ， 百 齐放 ， 彩 缤纷 ” 五 的局面 ．本 文 通 过 对 “ 形 色 色 ” 立 形 的 体 几何 题 进 行 分类 解 析 ， 从 而 帮 助 大 家 更 好 地 理 解 和
高三二轮复习立体几何
高三二轮复习教学案——立体几何（1）班级 学号 姓名一、考试内容及要求：二、典型题型1．已知直线a ，b 都在平面M 外，a ，b 在平面M 内的射影分别是直线a 1，b 1，给出下列四个命题： ①b a b a ⊥⇒⊥11②11b a b a ⊥⇒⊥③a 1与b 1相交⇒a ，b 相交④a 1与b 1平行⇒a ，b 平行其中不正确的命题有________个2．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点．给出下面三个结论： ①BC ∥平面PDF ； ②DF ⊥平面PAE ； ③平面PAE ⊥平面ABC ． 其中正确的结论是________．3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是AB 1，BC 1的中点．那么①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论个数有________个·4．将边长为2正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折后A 、B 、C 、D 四点所在的球的体积为___________．5．已知直线a ，b ，平面α，β，γ，则下列条件中能推出α∥β的是___________． ①a ∥α，b ∥β，a ∥b ②a ⊥γ，b ⊥γ，α⊂a ，b ⊂β③a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ④a ⊂α，b ⊂β，a ∥α，b ∥β6．设四棱锥P —ABCD 的底面是边长为2的正方形，△PAB 为正三角形，且与底面垂直，E 是PD 的中点，面BCE 与PA 交于F(如图)· （1）求证：EF ∥AD ；（2）设M ，N 分别为AB ，BC 的中点，求证：面PMD ⊥面PAN ．7．如图．在直三棱柱ABC—A1B1C1中．E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C求证：（1）EF∥平面ABC（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C8．如图，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC=BC，M，N，P，Q分别是AA1，BB1，AB，B1C1的中点．(1)求证：面PCC1⊥面MNQ；(2)求证：PC1∥面MNQ．9．在四面体ABCD中，CB=CD，A D⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点，求证：（1）直线EF∥平面ACD；（2）平面EFC⊥平面BCD高三二轮复习教学案——立体几何（2）班级学号姓名1．给出下面四个命题：①如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；③如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直；④如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．其中正确命题的序号是_____________．2．给出下列命题：①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；③若平面α垂直于平面β，直线l在平面α内，则l⊥β；④若平面α平行于平面β，直线l在平面α内，则l∥β．其中正确命题的个数是________________．3．已知直线m，n和平面α，β满足：α∥β，m⊥α，m⊥n，则n与β之间的位置关系是__________________。
高考数学二轮复习专题六立体几何.docx
高考数学二轮复习专题六立体几何【重点知识回顾】稳定中有所创新，由知识立意转为能力立意（1）考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂肓的性质与判定，以及求线面角、二而角等知识都是重点考杏的内容，其屮线线角、线面角、二面角的求解更是重中Z重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。
实行新课程的高考，命题者在求稳的同吋注重创新高考创新，主耍体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查（2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重婆知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体儿何模型中考查线面的关系（3）使用，“向最"仍将会成为高考命题的热点，-•般选择题、填空题重在考杳向最的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具, 利用空间向量的处标和数量积解决直线、平血问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向最的数量积及坐标运算仍是2012年高考命题的重点（4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题立体几何屮平行、垂肓关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线〃线《——> 线〃面 <——> 面〃面判定》线丄线~~线丄而~~而丄而（性质线〃线——线丄面——面〃面线面平行的判定：a〃b, bu 面oc，auana〃面oc线而平行的性质:a〃面a, au 面p, aClp = b =>a//b三垂线定理（及逆定理）:PA丄面a, AO为PO在oc内射影，au面a,则a丄OA => a丄PO； a丄PO=>a丄AO三类角的定义及求法(1) 异面直线所成的角e, o°<o<9o°线面垂直:a 丄b ，a 丄c ，b ，c u a, 血血垂了 ba 丄面a, au 面卩=>卩丄aifljot 丄面仿 ap|[3 = /, aua ，a 丄/=> a 丄[3a 丄面ot ，b 丄面ana 〃b 而a 丄a,而卩丄a a a 〃［3b（2）直线与平面所成的角e, 0°<0<90°6=0° 时，b 〃a 或bua（3）二面角：二面角a-/-p 的平面角0, 0° <0<180°（三垂线左理法：AUa 作或证AB 丄卩于B,作BO 丄棱于O,连AO,则AO 丄棱/, ・•・ZAOB 为所求。
高考数学二轮复习专题六 立体几何
高考数学二轮复习专题六 立体几何【重点知识回顾】稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意（1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。
实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查（2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2019年高考命题的重点 （4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−线面平行的判定：a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒αααabα线面平行的性质：αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒ b a b 三垂线定理（及逆定理）：PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒αaPO线面垂直：a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒ααaO α b c面面垂直：a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ =⊂⇒l l a a aα alβa b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥∥αβαβa a ⇒a bα三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° θαα＝时，∥或0b ob ⊂（）二面角：二面角的平面角，30180αβθθ--<≤l oo（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。
2015届(理科数学)二轮复习课件_专题六_立体几何_第2讲_空间图形的位置关系
)
解析:若存在点 E 使 EF∥BD1,则 BD1∥平面 A1BC1,与 BD1∩平面 A1BC1=B 矛盾,故选项 A 不正确;当 E 为 A1C1 的中点时 EF∥A1B, 又 A1B⊥平面 AB1C1D,即存在点 E 使 EF⊥平面 AB1C1D,即选项 B 不正确;当 E 与 A1 重合时,EF⊥BC1,又 BC1∥AD1,则 EF⊥AD1,即 选项 C 不正确;设正方体的棱长为 a,则 VB1 ACE = VB1 ACC1
模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.
(2)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语 言以及图形语言的相互转换,是解决此类问题的关键.
热点训练1: (2014温州市八校联考)如图所示,正三角形 ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED
绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:
第2讲
空间图形的位置关系
高考导航
热点透析
高考导航
高考体验
研真题
明备考
1.(2014高考广东卷,理7)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定 正确的是( D (A)l1⊥l4 (B)l1∥l4 (C)l1与l4既不垂直也不平行 )
解析:作 AE⊥BD 于 E,若 AC⊥BD, 则 CE⊥BD 显然不成立,即选项 A 不正确. 在翻折过程中,当平面 BCA⊥平面 BCD 时,CD⊥平面 ABC, AB⊥CD,所以选项 B 正确;选项 D 不正确; 在翻折过程中,若 AD⊥BC,BC⊥CD, 则 BC⊥平面 ADC,BC⊥AC,应有 AB>BC,与 AB=1,BC= 2 矛盾, 所以选项 C 不正确.故选 B.
高考数学第二轮复习 立体几何教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体考纲指要：立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。
考点扫描：1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。
2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。
3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。
4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。
考题先知：例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。
请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。
解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。
证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距离，利用体积的“割补法”知：PDF O PEFO PDE O DEF P V V V V ----++==r S r S r S PDF PEF PDE ⋅+⋅+⋅313131BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++==r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅3131313131，从而21表表S S V V ABC DEF DEF P =--。
例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6==AC AB ，13-=BC ，以∠BAC 为例。
2015届(理科数学)二轮复习课件_专题六_立体几何_第1讲_空间几何体
1 1 3 故体积等于 × ×3×1×2=1(cm ). 3 2
cm3.
答案:1
感悟备考
从近几年的考情分析来看:
三视图是每年的必考内容,一般以选择题的形式出现,一
是考查相关的识图,由三视图想象直观图,二是以三视图 为载体,考查体积的计算等,均属低中档题. 预计2015年仍以选择题形式考查三视图的识图问题以及 简单几何体体积的计算,另外,由直观图判断三视图以及
坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为 投影面,则得到的正视图可以为( )
解析:(1)由于俯视图是两个圆.所以排除选项A、B、C, 故选D. (2)在空间直角坐标系中,设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为 1,A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),O(D)(0,0,0),若以zOx 平面为投影面,即从右向左看的正视图为正方形ADD1A1,其 中A1D、BC1分别为虚线、实线.
值为() 2
(C)1
解析:(1)由几何体的三视图得直观图如图,
1 2 1 则体积为[1×2+ ]×2=7(cm ).
3
2
故选 D.
(2)该几何体为四棱锥,高为 x,
1 3 底面面积为 ×(1+2)×1= , 2 2 x 3 1 于是 · = ,x=1. 3 2 2
故选A.
热点二 由三视图求空间几何体的体积及表面积 【例2】 (1)(2014温州一模)已知某几何体的三视图(单
位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(
)
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：六 立体几何
解析：由三视图可知，此几何体是长方体被一个截面截去一 个角后所得的，如图所示．
易知长方体的长、宽、高分别为4,2,3，则长方体的体积为
24，截掉的三棱锥的体积为
1 3
×4×3＝4，所以此几何体的体积为
24－4＝20.故选B.
答案：B
纠错技巧 本题中，由三视图还原空间几何体时容易出错．首先，要熟 悉简单几何体的三种视图，要特别注意视图中虚线与实线的区 别，抓住这一点是识图、画图的关键；其次，要善于由三视图想 象出简单几何体的形状．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的 棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的
外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半
径为 126a(正四面体高
36a的14)，外接球的半径为
46a(正四面体高
6 3
a的34)．
[易错剖析] 易错点1 随意推广平面几何中的结论 【突破点】 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不 一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂 直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不 成立．
2.空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行：
a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b，
α∥β α∩γ＝a⇒a∥b， β∩γ＝b
aa∥ ∥bc⇒c∥b.
a⊥α b⊥α
⇒a∥b，
(2)线面平行： a∥α.
(3)面面平行： αγ∥∥ββ⇒α∥γ.
a∥b b⊂α ⇒a∥α， a⊄α
α∥β a⊂β
⇒a∥α，
4．用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是 直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l 的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面 角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)． 提醒 在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线
高三第二轮专题复习资料：立体几何题型与方法(文科)
专题二：立体几何题型与方法（文科）一、 考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（4）证共面问题一般用落入法或重合法。
（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。
（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（5）两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）] b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
专题六 立体几何 第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系——2024届高考数学二轮复习
的值为( )
A. 11
6
√B. 11 6
C. 1
2
D. 1
3
设 D(x, y, z) ,则 AD (x 1, y 1, z 2), AB (2, 1, 3), DB (1 x, y, 1 z) . AD 2DB ,
x 1 2(1 x),
x
1 3
,
y
z
1 2
2 y, 2
2z.
y
z
1, 3 0,
D
1 3
,
1 3
,0
, CD
1 3
,
,
1
.
CD
AB,CD
AB
2
1 3
3(1
)
0,
11 6
.故选
B.
（二）核心知识整合
考点 2：向量法求线线角、线面角、面面角 1.向量法求空间角 （1）异面直线所成的角：设 a，b 分别为异面直线 a，b 的方向向量，
则两异面直线所成的角满足 cos ＝ | a b | ．
则 B(0,0,0) ， A(1,0,1) ，C(0,1,1) ，N(1,1,0) ，因此 BA (1, 0,1) ，BC (0,1,1) ，BN (1,1,0) .设平面 ABC
的一个法向量为
n
(
x,
y,
z)
，则
n
BA
x
z
0,
令
x
1，得
n
(1,1,
1)
.易知三棱锥
S
ABC
的外
n BC y z 0
√A.-1
B.1
C.2
D.3
a c ，a c 2x 4 2 0 ，解得 x 1，又 b//c ， 1 y 1 ，
高三数学第二轮重点复习内容
高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
2022年高考数学二轮复习专题六 空间几何体、表面积与体积
一、单项选择题
1．(2021·全国乙卷)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为 B1D1 的中点，则直线 PB 与 AD1
所成的角为( )
A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
【命题意图】本题以正方体 ABCD-A1B1C1D1 为命题载体，考查异面直线所成角的求 法．
很显然，若点 P 与 D 或 D1 重合，均满足题意，所以选项 C 错误． D 选项，当 μ＝21 时，分别取线段 BB1，CC1 中点为 M，N，可知点 P 在线段 MN(包 括端点)上运动．
此时，有且只有点 P 与 N 点重合时，满足题意，所以选项 D 正确．
由图可知，线段 B1C1∥平面 A1BC，即线段 B1C1 上各点到平面 A1BC 的距离均相等， △A1BC 的面积是定值，所以三棱锥 P-A1BC 的体积为定值，所以选项 B 正确．
C 选项，当 λ＝12 时，分别取线段 BC，B1C1 中点为 D，D1，可知点 P 在线段 DD1(包 括端点)上运动．
点，则下列说法正确的是( )
A．DE 与 CC1 为异面直线
B．DE
与平面
BCC1B1 所成角的正切值为
2 4
C．过 D，C，E 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等
D．线段 DE 在底面 ABCD 的射影长为 2
【解析】选 ABC.由图可知：DE 与 CC1 为异面直线，所以 A 正确；
因为平面 BCC1B1∥平面 ADD1A1，所以 DE 与平面 BCC1B1 所成角即 DE 与平面 ADD1A1 所成角，连接 A1D，显然，∠A1DE 是 DE 与平面 ADD1A1 所成角．在直角三角形 EA1D
高考数学二轮复习专题立体几何(理)
视图所表示Leabharlann 立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
7.空间平行与垂直关系的论证.
高三数学二轮复习 立体几何新题型的解题技巧6 新人教A版
立体几何知识点总结精华考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。
2021届高考数学二轮复习立体几何知识汇总
线线角（异面直线所成角）
线面角（斜线与平面所成角）
面面角（二面角的平面角）
在空间任意取一点，过该点分 别作两异面直线的平行线所成的 锐角或直角称为两异面直线所成 的角．
设 l 和α分别表示直线与平面． ①若 l∥α或 l⊂α，则称直线 l 和平面 α所成的角为 0°； ②若 l⊥α，则称 l 与α所成的角为 90 °； ③若 l 是α的斜线，则 l 与 l 在α内的射 影所成的锐角为 l 与α所成的角．
线线垂直 线线平行
, l, a , a l a
面面垂直 线面垂直
……
定义
特殊情况
范围
线线角 把两异面直线平移到相交时两相交直线所成的角。
两直线平行时角为 0 所成角为 90 时称两直线垂直
空间 角 线面角 平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角。
线面平行或线在平面内时线面角为 0 线面垂直时线面角为 90
(如 H)，过 P 或 H 作二面角棱的垂线，垂足必为同一个点（记作 O ）， POH 即为二面角的平面角，然后求解.
关键和难点：探求线面垂直关系，确定垂足 H 的位置.
通过“平移”所涉及的直线或平面，将所求角转化为更容易求解的角，或它的“等角”、“补交”、“余角”. 通过平面的“法线”、“垂面”，也可将线面角、面面角进行转化.
,
a
b
P
//
线面平行 面面平行
m ,n a m,a n
,
m
n
P
a
线线垂直 线面垂直
l ,l 线面垂直 面来自垂直性质定理a ∥ ，a ， b a ∥b 线面平行 线线平行
// , a, b a // b 面面平行 线线平行
a b
a
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2012届高考数学二轮复习专题六 立体几何【重点知识回顾】稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意（1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。
实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查（2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是2012年高考命题的重点 （4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−线面平行的判定：a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒αααabα线面平行的性质：αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒ b a b 三垂线定理（及逆定理）：PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒αaPO线面垂直：a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒ααaO α b c面面垂直：a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβ =⊂⇒l l a a aα alβa b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥∥αβαβa a ⇒a bα三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°o b⊂0bθαα＝时，∥或l o o--<≤αβθθ（）二面角：二面角的平面角，30180（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB 为所求。
）三类角的求法：①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：（1）点C到面AB1C1的距离为___________；（2）点B到面ACB1的距离为____________；（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；（5）点B 到直线A 1C 1的距离为_____________。
D CAC 111你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE ∆∆∆∆，，和 它们各包含哪些元素？S C h C h 正棱锥侧·（——底面周长，为斜高）=12''V 锥底面积×高=13球有哪些性质？（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122r R d =-（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。
为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（），球球444323S R V R ==ππ（5）球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
【典型例题】1， 空间几何体及三视图例1．用一些棱长为1cm 的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 7 cm 3．图1（俯视图） 图2（主视图）例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体A CDEF -的体积为 ▲ ．38例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有▲ 个．5 例5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是2420+2cm 。
例 6.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积主视图俯视图左视图俯视图左视图为π6125例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是12+4 2.平行与垂直例8.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． ⑴求证：11B D AE ⊥；⑵求证：//AC 平面1B DE ；⑶求三棱锥1B ADE -的体积证明：连结BD ，则BD //11B D ， ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥． 又C =AC CE ，∴BD ⊥面ACE ．∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥， ∴11B D AE ⊥．⑵证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE1B F ，∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ，又//BC AD ，∴//EF AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF CF C =，1B E ED E =， ∴平面//ACF 面1B DE ． 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE 例9.多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //。
（1）求证：BCD AE 面//； （2）求证：BCD BED 面面⊥ 证明：（1）∵CD AE //BCD AE 面⊄∴BCD AE 面//（2）令BC 中点为N ，BD 中点为M ，连结MN 、EN ∵MN 是BCD ∆的中位线∴CD MN //ABCDE又∵CD AE // ∴MN AE //∴ABC MN 面⊥ ∴AN MN ⊥ ∵ABC ∆为正∆∴BC AN ⊥ ∴BCD AN 面⊥又∵1==MN AE ，MN AE //∴四边形ANME 为平行四边形∴BCD EN 面⊥∴BCD BED 面面⊥例10．如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证： ⑴ PC ∥平面QBD ； ⑵ 平面QBD ⊥平面PAC .解：证：设 ⋂AC BD=0,连OQ ⑴ ∵ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点，又Q 为PA 中点。
∴OQ ∥PC又⊄PC 平面QBD ,⊂OQ 平面QBD ∴PC ∥平面QBD⑵ ∵ABCD 为菱形， ∴⊥BD AC ,又∵⊥PA 平面ABCD ， ⊂BD 平面ABCD ∴⊥PA BD 又 PA AC D ⋂= ∴BD P ⊥平面AC 又⊂BD 平面QBD ∴P ⊥平面QBD 平面AC 3.距离与角例11．已知D B C ∆∆和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，0120=∠=∠D B C C B A ，求：⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．⑴如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角ABCDEMNBACDP Q O由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45° ⑵∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°⑶过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD—C 的平面角的补角 设BC =a ,则由题设知，AH =DH =2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ARH =HRAH=2 故二面角A —BD —C 的余弦值的大小为55-【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。
几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。
斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。
因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 θ为直线与平面α所成的角，ϕ为直线的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπϕ-=2或θπϕ+=2（如图）cos ∠DBP=22∴∠DBP=45°, 即PB 与平面BCD 所成角为45°． ⑵.过B 作BE ⊥CD 于E ，连结PE ，PD ⊥平面BCD 得PD ⊥BE ，∴BE ⊥平面PCD ，∴∠BPE 为BP 与平面PCD 所成的角,在Rt △BEP 中，BE=22a, BP=2a,∴∠BPE=30° 即BP 与平面PCD 所成角为30°例12.在四棱锥P-ABCD 中，已知ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB=a ，BC=2a ，求二面角B-PC-D 的大小解析1.定义法 过D 作DE ⊥PC 于E ，过E 作EF ⊥PC 于F ，连接FD ，由二面角的平面角的定义可知DEF ∠是所求二面角B-PC-D 的平面角。
求解二面角B-PC-D 的大小只需解△DEF 即可【解法一】过D 作DE ⊥PC 于E ，过E 作EF ⊥PC 于F ，连接FD ，由二面角的平面角的定义可知DEF ∠是所求二面角B-PC-D 的平面角在四棱锥P-ABCD 中， PA ⊥平面ABCD 且ABCD 为矩形，∵AD ⊥DC ∴PD ⊥DC ∵PA=a ，AD=BC=2a ，∴PD=a 5,PC=a 6,DE=630a PC DC PD =∙,CE=662aCP CD =同理在Rt △PBC 中，a BC PB EC EF EC EF BC PB 63=∙==，在Rt △EFC 中,FC=a 21, 在Rt △DFC 中,DF=a 25,在△DEF 中由余弦定理cos DEF ∠=5102222-=∙-+ED EF DF ED EF 所求二面角B-PC-D 的余弦值为510-解析2.垂面法 易证面PAB ⊥面PBC ，过A 作AM ⊥BP 于M ，显然AM ⊥面PBC ，从而有AM ⊥PC ，同法可得AN ⊥PC ，再由AM 与AN 相交与A 得PC ⊥面AMN 。