椭圆的几何性质[优质PPT]

A2 X
三、椭圆的对称性
在
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
之中，说明：
y
椭圆关于（X ）轴对称；
椭圆关于（ Y）轴对称；
o
x
椭圆关于（ 圆点 ）点对称；
中心：椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：
(0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2 e c a
例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离
心率、焦点和顶点坐标 解：把已知方程化成标准方程
x2 y2 1
52 42
这里， a 5, b 4, c 25 16 3
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
复习思考
• 椭圆的定义、标准方程是什么？
平面上到两个定点的
距离的和（2a）等于
定长（大于|F1F2 |）
标准方程为
的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆
的焦点。
两焦点之间的距离叫 做焦距（2C）。
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
y
即 x a和 y b B2
说明：椭圆位于直线
x=±a和y=±b所围成的 A1 矩形之中。
F1
O F2 A2 X B1
二、椭圆的顶点
在
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ 0 ，±b），
离心率 e c 3 0.6 a5
焦点坐标分别是
F1(3,0), F2 (3,0)
四个顶点坐标是
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
课堂练习
（1）、说出下列椭圆的范围、对称性、顶点坐标 离心率？
（Ⅰ） x2 4 y2 4 （Ⅱ）4 x2 y2 16
（2）、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴 都对称的是（ ） A、x2=4y B、x2+2xy+y=0 C、x2-4y2=x D、9x2+ > 0，所以1 >e >0
[2]离心率对椭圆形状的影响：
o
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小（？），椭 圆就越扁（？）
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大（？），椭 圆就越圆（？）
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆 方程变为（？）
[1]椭圆标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？
[3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
[4]对称轴与长轴、短轴是什么关系？
[5]2a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？ [6]关于离心率讲了几点？
标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
（ a ,0 ）,(0, b)
( c,0)
（ b ,0 ）,(0, a)
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点（ ±a， 0）
*顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y B2( 0，b )
a
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
A1
( -a，0 )
F1
和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
O F2
B1
( -b，0 )
( a，0 )
回顾
请写出：基本量之间、基本点之
间、基本线之间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间的关系）