第1章-质点运动学
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为了描述速 度随时间
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
x
12
z
C
A r
S
r(t)
任何质点运动可看作是沿三个坐标轴方向相互正
交的直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理。
29
以上内容的学习要点是：认真学习用微积分 来处理物理问题的方法。 运动学的两类问题: 求 导
r=xi+yj+zk
积
dr dt
d a dt
分
30
例4-1 质点的位置矢量：
2 2 r (3 2t )i (2t 1) j
4
二. 坐标系 —— 参考系的代表和抽象
常用坐标系：直角坐标系、柱坐标系、球坐标
系和自然坐标系。 1. 直角坐标系 原点建立在参照系上，以三个 z
相互垂直的空间指向为坐标轴，单
位矢量为i, j, k: i j k x
k
o
j
i
y
特点：i, j, k方向不随质点运动的变化发生变化！ 即不随时间变化，为恒矢量。
• 物体任意复杂的运动，原则上总可以分解为几种典型运动的叠加
• 物体参与任意多种的机械运动，总可以通过合成的方法求出其轨迹 • 物体任一方向的矢量运动，不影响其它方向的矢量运动
机械运动
质点平动 刚体转动 简谐振动 简谐波动
7
四. 理想模型
忽略一些次要因素，把实际物理过程看做由少 数主要因素决定的理想过程，这一计算模型称为理
o
B
y
r(t+t)
1.位移是位置矢量 r 在时间t内的增量:
r r2 r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
x 方 向 的 位 移
t1: r1 x1i y1 j z1k t2: r2 x2 i y2 j z2 k
又因 1 、 5 s 前后速度 改变了方向 ( 正负号 ) ，所 以t=1、5s调头了。 t=0时速度 =+15m/s，质点首先
向x轴正方向运动。
22
x=t3–9t2 +15t+1 (2) 质点在0~2s内的位移可表示为 x=x(2)-x(0)=3-1=2m 考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m
5
2. 自然坐标系
相互垂直的单位矢量 和 n 。
在任一时刻，在质点所在处，取两个
m
n
轨道
n 沿轨道法向，指向轨道的凹侧。 建立坐标轴 沿 和 n 方向的正交坐标系，成为自 然坐标系。特点： 和 n大小恒等于1，但它们的方向
是随质点在轨道上运动而改变的。 自然坐标系中，任意矢量A可以表示为： A A n A
d a dt
注意： 的方向和它的极限方向一般不同于速
度 的方向，因而a 的方向与同一时刻 的方向一般
不相一致。
在曲线运动中，加速度的 方向总是指向曲线凹的一边。 (由高数二阶导数知识) a
27
a
d 例：说明 的物理意义。 dt d 表示质点速率随时间的变化率。 dt d d d 判断： ； a a ； a dt dt dt d d 应写为：a ； a dt dt
20
dr 例：说明 的物理意义。 dt
(3)在直角坐标系中,
r xi yj zk
dz j k dt
dr dx dy i dt dt dt
dx dy dz x , y , z dt dt dt
速度的大小：
x y z
2 2
2
速度的方向：
A
x A o
z
C
A r
S
r(t)
B y
r(t+t)
B B
C
只有当t→0时，才有 |Δr | S。
14
3.
r 和 r的区别
z
C
A
r
S
r 代表位移的大小
r(t)
o x
B y
r 代表径向距离的增量
r(t+t)
一般情况下， r 和 r 不相等．
只有在 r (t ) 和 r (t t )方向相同的情况下，二者 才相等．
x
o
y
y
B
位置矢量特征：相对性—参考系；瞬时性—时刻 t；矢量性
10
二. 运动方程
运动方程：位置矢量的时间函数
x x(t ), y y (t ),
质点所经的空间各点联成的曲线的方程，称为轨 道方程。 例：x=6cos2t y=6sin2t
n
沿轨道切向，指向质点运动方向；
6
三. 运动叠加原理与机械运动分类
运动叠加原理
A. 同时参与多个矢量运动的物体，将按矢量合成法则运动 B. 物体的任意矢量运动，总可按平行四边形法则分解为多方向矢量运动 C. 物体同时参与多个矢量运动，其任意分矢量运动互相独立
机械运动的分类
运动叠加原理对运动描述的启示
dr (2) =r 大小的导数 + r 方向的导数 dt
19
r dr lim t0 t dt
S dS lim = t0 t dt
dr 表示质点径向距离随时间的变化率。 dt dr dr dr ; 判断： ; dt dt dt dr dr 应写为： dt dt
A
C
而平均速率为：
即使如图中直线运动，平
均速度和平均速率也不同:
B
AC t
AB BC t
17
质点的(瞬时)速度:
r dr lim t0 t dt
质点的(瞬时)速率:
S dS lim = t0 t dt
这表明，质点在t时刻的速度等于位置矢量r 对时
8
§1-2 位置矢量 运动方程 轨道方程 一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量
从坐标原点o指向P点的有向线段op=r 位置矢 量，简称位矢或矢径。 z 由图可知:
r oA AB BP
r
P(x,y,z)
r=xi+yj+zk
i、j、k 单位矢量。 x
A
z
C B
9
x
o
S dS lim = t0 t dt
28
r=x(t)i+y(t)j+z(t)k
=x(t)i+y(t)j+z(t)k
a=ax(t)i+ay(t)j+az(t)k
得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐 标系中的正交分解式。 表明：任何一个曲线运动都可分解为沿x,y, z 方 向的直线运动，每个方向上的运动是相互独立的。
想物理模型，该研究方法称为模型化方法。
质点模型：当物体的线度、形状对其运动状态的影响可忽略，用一个集中 了物体所有质量的数学点来代表物体的运动状态，该点称质点 刚体模型：当物体的形变对其运动状态的影响可忽略不计时，将物体看作 为一个不发生形变的几何体 谐振子模型：当物体收受合外力可近似为F=-kx 时，称该物体的运动为简 谐振动 ……
x=Rcos t ， y=Rsin t
克拉底鲁：“人不能同一次踏进同一条河流”
3
一. 运动的绝对性和相对性
1. 运动的绝对性
运动是普遍的、绝对的；没有运动就没有世界；
绝对不动的物质是不存在的。这就是运动的绝对性。
2. 运动的相对性 同一物体的运动，以不同参照物观察，会得出
不同结果，这就是运动的相对性。
定量描述物体的运动需在参考物上建立坐标系。
k
加速度a在三个坐标轴上的分量分别为：
d y d 2 y d z d 2 z d x d 2 x ax 2 ,a y 2 ,az 2 dt dt dt dt dt dt
(2) 加速度a 的大小:
2 2 2 a a a x a y az
26
加速度a 的方向是：当t→0时，速度增量 的 极限方向。
y 方 向 的 位 移
r r (t t ) r (t )
z 方 向 的 位 移
13
2. 位移和路程是两不同的概念 位移代表位置变化，是矢量， 图中有向线段AB，大小是| r ， 即割线AB的长度。 路程表示路径长度，标量， 大小是曲线弧 AB 的长度 S 。一 般情况下，S和 r 并不相等。 位移=AC，路程=AB+BC，
间的一阶导数; 而速率等于路程S 对时间的一阶导数。
18
r dr lim t0 t dt
(1) 速率=速度的大小
S dS lim = t0 t dt
S lim lim = = t 0 t0 t t
r
(当t 0 , r s )
间的二阶导数。
(1) 在直角坐标系中，加速度的表示式为:
d y d d x d z a i j dt dt dt dt d 2x d2y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
k
25
d y d d x d z a i j dt dt dt dt d 2x d2y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
思考：求平均速率!!
S t
说明：求解平均速率，先应判断物体运动方向是 否有改变，即判断速度方向是否有改变。
23
§1-4 加速度
一. 加速度定义
如图所示, 设时刻t质点位于A点，速度为(t), 经时间t运动到B点，速度为(t+t)，则在时间t
内质点速度的增量为:
(t t ) (t )
质点作什么样的运动？ 解: x =3+2t2,
dr 4ti 4tj dt d a 4i 4 j dt
y =2t2-1， y =x-4 直线
质点作匀加速直线运动。
31
例4-2 已知某一粒子在oxy平面内运动，其矢径 为：r=Rcos t i+Rsin t j，(R、为正值常量) (1) 试分析该粒子的运动情况； (2) 时间t=/ 2/内的位移和路程。 解: (1) 由矢径的表达式可知:
15
二. 速度、速率
定义: 单位时间内的位移平均速度。
r t
单位时间内的路程—平均速率
z
C
A
S
r(t)
o
r
B y
S t
r(t+t)
x
16
例如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，则 平均速度为：
r 0 t
S 2R t t
y x z cos , cos , cos
21
例3-1
一质点沿x轴运动，运动方程为x=t3–9t2
+15t+1。 求：(1) 哪些时刻质点调头了？质点首先向 哪个方向运动? (2) 质点在0~2s内的位移和路程。
解：质点做直线运动时，调头的条件是什么？
调头的必要条件是速度为零，即 dx =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0 dt 可得：t=1、5s
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
x
12
z
C
A r
S
r(t)
任何质点运动可看作是沿三个坐标轴方向相互正
交的直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理。
29
以上内容的学习要点是：认真学习用微积分 来处理物理问题的方法。 运动学的两类问题: 求 导
r=xi+yj+zk
积
dr dt
d a dt
分
30
例4-1 质点的位置矢量：
2 2 r (3 2t )i (2t 1) j
4
二. 坐标系 —— 参考系的代表和抽象
常用坐标系：直角坐标系、柱坐标系、球坐标
系和自然坐标系。 1. 直角坐标系 原点建立在参照系上，以三个 z
相互垂直的空间指向为坐标轴，单
位矢量为i, j, k: i j k x
k
o
j
i
y
特点：i, j, k方向不随质点运动的变化发生变化！ 即不随时间变化，为恒矢量。
• 物体任意复杂的运动，原则上总可以分解为几种典型运动的叠加
• 物体参与任意多种的机械运动，总可以通过合成的方法求出其轨迹 • 物体任一方向的矢量运动，不影响其它方向的矢量运动
机械运动
质点平动 刚体转动 简谐振动 简谐波动
7
四. 理想模型
忽略一些次要因素，把实际物理过程看做由少 数主要因素决定的理想过程，这一计算模型称为理
o
B
y
r(t+t)
1.位移是位置矢量 r 在时间t内的增量:
r r2 r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
x 方 向 的 位 移
t1: r1 x1i y1 j z1k t2: r2 x2 i y2 j z2 k
又因 1 、 5 s 前后速度 改变了方向 ( 正负号 ) ，所 以t=1、5s调头了。 t=0时速度 =+15m/s，质点首先
向x轴正方向运动。
22
x=t3–9t2 +15t+1 (2) 质点在0~2s内的位移可表示为 x=x(2)-x(0)=3-1=2m 考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m
5
2. 自然坐标系
相互垂直的单位矢量 和 n 。
在任一时刻，在质点所在处，取两个
m
n
轨道
n 沿轨道法向，指向轨道的凹侧。 建立坐标轴 沿 和 n 方向的正交坐标系，成为自 然坐标系。特点： 和 n大小恒等于1，但它们的方向
是随质点在轨道上运动而改变的。 自然坐标系中，任意矢量A可以表示为： A A n A
d a dt
注意： 的方向和它的极限方向一般不同于速
度 的方向，因而a 的方向与同一时刻 的方向一般
不相一致。
在曲线运动中，加速度的 方向总是指向曲线凹的一边。 (由高数二阶导数知识) a
27
a
d 例：说明 的物理意义。 dt d 表示质点速率随时间的变化率。 dt d d d 判断： ； a a ； a dt dt dt d d 应写为：a ； a dt dt
20
dr 例：说明 的物理意义。 dt
(3)在直角坐标系中,
r xi yj zk
dz j k dt
dr dx dy i dt dt dt
dx dy dz x , y , z dt dt dt
速度的大小：
x y z
2 2
2
速度的方向：
A
x A o
z
C
A r
S
r(t)
B y
r(t+t)
B B
C
只有当t→0时，才有 |Δr | S。
14
3.
r 和 r的区别
z
C
A
r
S
r 代表位移的大小
r(t)
o x
B y
r 代表径向距离的增量
r(t+t)
一般情况下， r 和 r 不相等．
只有在 r (t ) 和 r (t t )方向相同的情况下，二者 才相等．
x
o
y
y
B
位置矢量特征：相对性—参考系；瞬时性—时刻 t；矢量性
10
二. 运动方程
运动方程：位置矢量的时间函数
x x(t ), y y (t ),
质点所经的空间各点联成的曲线的方程，称为轨 道方程。 例：x=6cos2t y=6sin2t
n
沿轨道切向，指向质点运动方向；
6
三. 运动叠加原理与机械运动分类
运动叠加原理
A. 同时参与多个矢量运动的物体，将按矢量合成法则运动 B. 物体的任意矢量运动，总可按平行四边形法则分解为多方向矢量运动 C. 物体同时参与多个矢量运动，其任意分矢量运动互相独立
机械运动的分类
运动叠加原理对运动描述的启示
dr (2) =r 大小的导数 + r 方向的导数 dt
19
r dr lim t0 t dt
S dS lim = t0 t dt
dr 表示质点径向距离随时间的变化率。 dt dr dr dr ; 判断： ; dt dt dt dr dr 应写为： dt dt
A
C
而平均速率为：
即使如图中直线运动，平
均速度和平均速率也不同:
B
AC t
AB BC t
17
质点的(瞬时)速度:
r dr lim t0 t dt
质点的(瞬时)速率:
S dS lim = t0 t dt
这表明，质点在t时刻的速度等于位置矢量r 对时
8
§1-2 位置矢量 运动方程 轨道方程 一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量
从坐标原点o指向P点的有向线段op=r 位置矢 量，简称位矢或矢径。 z 由图可知:
r oA AB BP
r
P(x,y,z)
r=xi+yj+zk
i、j、k 单位矢量。 x
A
z
C B
9
x
o
S dS lim = t0 t dt
28
r=x(t)i+y(t)j+z(t)k
=x(t)i+y(t)j+z(t)k
a=ax(t)i+ay(t)j+az(t)k
得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐 标系中的正交分解式。 表明：任何一个曲线运动都可分解为沿x,y, z 方 向的直线运动，每个方向上的运动是相互独立的。
想物理模型，该研究方法称为模型化方法。
质点模型：当物体的线度、形状对其运动状态的影响可忽略，用一个集中 了物体所有质量的数学点来代表物体的运动状态，该点称质点 刚体模型：当物体的形变对其运动状态的影响可忽略不计时，将物体看作 为一个不发生形变的几何体 谐振子模型：当物体收受合外力可近似为F=-kx 时，称该物体的运动为简 谐振动 ……
x=Rcos t ， y=Rsin t
克拉底鲁：“人不能同一次踏进同一条河流”
3
一. 运动的绝对性和相对性
1. 运动的绝对性
运动是普遍的、绝对的；没有运动就没有世界；
绝对不动的物质是不存在的。这就是运动的绝对性。
2. 运动的相对性 同一物体的运动，以不同参照物观察，会得出
不同结果，这就是运动的相对性。
定量描述物体的运动需在参考物上建立坐标系。
k
加速度a在三个坐标轴上的分量分别为：
d y d 2 y d z d 2 z d x d 2 x ax 2 ,a y 2 ,az 2 dt dt dt dt dt dt
(2) 加速度a 的大小:
2 2 2 a a a x a y az
26
加速度a 的方向是：当t→0时，速度增量 的 极限方向。
y 方 向 的 位 移
r r (t t ) r (t )
z 方 向 的 位 移
13
2. 位移和路程是两不同的概念 位移代表位置变化，是矢量， 图中有向线段AB，大小是| r ， 即割线AB的长度。 路程表示路径长度，标量， 大小是曲线弧 AB 的长度 S 。一 般情况下，S和 r 并不相等。 位移=AC，路程=AB+BC，
间的一阶导数; 而速率等于路程S 对时间的一阶导数。
18
r dr lim t0 t dt
(1) 速率=速度的大小
S dS lim = t0 t dt
S lim lim = = t 0 t0 t t
r
(当t 0 , r s )
间的二阶导数。
(1) 在直角坐标系中，加速度的表示式为:
d y d d x d z a i j dt dt dt dt d 2x d2y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
k
25
d y d d x d z a i j dt dt dt dt d 2x d2y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
思考：求平均速率!!
S t
说明：求解平均速率，先应判断物体运动方向是 否有改变，即判断速度方向是否有改变。
23
§1-4 加速度
一. 加速度定义
如图所示, 设时刻t质点位于A点，速度为(t), 经时间t运动到B点，速度为(t+t)，则在时间t
内质点速度的增量为:
(t t ) (t )
质点作什么样的运动？ 解: x =3+2t2,
dr 4ti 4tj dt d a 4i 4 j dt
y =2t2-1， y =x-4 直线
质点作匀加速直线运动。
31
例4-2 已知某一粒子在oxy平面内运动，其矢径 为：r=Rcos t i+Rsin t j，(R、为正值常量) (1) 试分析该粒子的运动情况； (2) 时间t=/ 2/内的位移和路程。 解: (1) 由矢径的表达式可知:
15
二. 速度、速率
定义: 单位时间内的位移平均速度。
r t
单位时间内的路程—平均速率
z
C
A
S
r(t)
o
r
B y
S t
r(t+t)
x
16
例如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，则 平均速度为：
r 0 t
S 2R t t
y x z cos , cos , cos
21
例3-1
一质点沿x轴运动，运动方程为x=t3–9t2
+15t+1。 求：(1) 哪些时刻质点调头了？质点首先向 哪个方向运动? (2) 质点在0~2s内的位移和路程。
解：质点做直线运动时，调头的条件是什么？
调头的必要条件是速度为零，即 dx =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0 dt 可得：t=1、5s