第五章 刚体的转动

第五章 大学物理辅导 刚体的转动

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～ 第五章

刚体的转动

一、教材系统的安排与教学目的 1、教材的安排

本章从观察一些刚体定轴转动的现象开始，说明物体具有保持原有运动状态的特性—

转动惯性。转动惯性的大小由转动惯量来量度。改变刚体的转动状态，需要外力矩；进而讲授力矩的瞬时作用规律—转动定律，力矩对空间积累作用规律—动能定理，力矩对时间的积累作用规律—角动量定理，以及角动量守恒定律和它们对的应用

2、教学目的：使学生理解力矩、转动惯量、冲量矩、角动量等概念，掌握力矩的规律，并学会运用它们说明、解释一些现象，分析、解决一些有关的问题。 二、教学要求 1、理解力矩的概念，明确刚体具有转动惯性。牢固掌握转动定律并能熟练地运用。 2、明确转动惯量的物理意义，会计算简单情况下物体的转动惯量。

3、掌握刚体定轴转动的动能定理，并会运用。

4、理解角动量和冲量矩的概念，掌握并会运用角动量定理和角动量守恒定律 三、内容提要

1、力矩

定义：力

F 与力的作用线，到转轴的垂直距离的乘积

公式

M r F M Fr =⨯⇒=⎡⎣⎢大小方向：按右手螺旋法则判断：sin α

物理意义：表明了改变刚体转动状态的效果 2、转动定律

公式

M J =β

J 为转动惯量，

β为角加速度

意义：为刚体定轴转动中的基本定律，与平动中的牛顿第二定律相当。

说明：

M 为刚体所受的合外力矩，在定轴转动中它只有正负之分。 3、转动惯量 定义：

J m r i i

=⇒∑()∆2

即对于质点系转动惯量大小等于刚体上各质点的质量与各质

点到转轴的距离平方的乘积之和。

如果刚体上各质点是连续分布的，则有

J r dm dm dl dm ds dm dv =⇒=⋅⇒=⋅⇒=⋅⇒⎡⎣⎢⎢⎢⎰2

λσρ质量为线分布

质量为面分布质量为体分布

物理意义：是刚体转动惯性大小的量度，与平动中的质量相当。 应掌握的几种转动惯量公式：

杆对其中心轴： J ml =112

2

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～ 杆对其一端： J m l =13

2

均匀圆盘：

J ml =

12

2

4、转动动能：E J k =

⇒12

2

ω

与平动中的动能相当，是描写刚体转动状态的物理量。

5、刚体定轴转动的动能定理

公式：W J J =

-

1

21

2

2

02

ω

ω

意义：表明力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

6、角动量与冲量矩

（1）角动量：J

ω，是描写刚体转动运动量大小的物理量，是描写刚体转动状态的物理量。它是一个矢量，其方向为角速度的方向，与平动中的动量相当。它是一个状态量。

（2）冲量矩：

M dt ⎰

，是描写力矩对时间积累作用的物理量，也是一个矢量，其大小

为M dt ⎰，方向为力矩的方向，它与平动中的冲量相当。它是一个过程量。 7、角动量定理和角动量守恒定律

（1）角动量定理：

M t J J M M dt J J M t t ∆=-⇒=-⇒⎡⎣⎢⎢⎰ωωωω0000

：：为恒力矩

为变力矩

其意义表明冲量矩等于角动量的增量

（2）角动量守恒定律：J J 1122

ωω=

适用条件：合外力矩为零，即

M =0

意义：自然界的基本定律之一，表明了空间转动不变性，即物理规律不会由于坐标系的旋转而发生变化。 四、解题步骤

1、确定研究对象，进行受力分析，求出合外力矩；

2、再考虑研究对象的特点，有无角加速度，选定转动正方向；

3、可首选转动定律来解答习题，次选转动中的动能定理；

4、当涉及角动量与冲量矩时，则应选用角动量定理或角动量守恒定律来解答习题；

5、说明，解决刚体动力学问题，力的分析仍是关键所在。若一系统中既有做平动的物体，又有绕定轴转动的物体时，应注意（1）对系统中的平动物体应逐个分析力，并列出与每个物体相对应的牛顿第二定律方程；（2）对转动物体，也应在分析力的基础上求出对固定轴的合外力矩，然后列出转动方程；（3）由角量与线量的关系，找出平动与转动之间的联系，即；a r v r t ==βω,。

五、典型例题

例1、一辆汽车以16.67m ·s -1的速度行驶，其车轮直径为0.76m 。（1）求车轮绕轴转动的角速度；（2）如果使车轮在30转内匀减速地停下来，问角加速度多大？（3）在刹车期间

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～ 汽车前进了多远？

解：（1）由v r =⋅ω，可得ω==

⨯=-v r s

21667076

4391

...

（2）βωωω=

-=0

0∆t

,，∆t =30转×每转一周所需时间，

但每转一周所需时间=220381667

0143ππr v

=

⨯=...秒

所以β=

-⨯=--439

300143

10232

...s

（3）汽车前进的距离：s r m =⨯=302716π.

例2、质量为0.50kg ，长为0.40m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求（1）在开始转动时角加速度；（2）下落到铅直位置时的动能；（3）下落到铅直位置时的角速度。

解：（1）如图5-1所示，水平位置时棒所受的力矩为重力乘以力臂（等于棒长的一半） 由转动定律M J =β得： β=

=

==-M J

m g

l

m l g l s 213

3236822

.

（2）在棒下落过程中，仅有重力作用，故机械能守恒： 122050980200982

J mg l ω==⨯⨯=....焦耳 （3）

ω=

=

=

=-m gl J

m gl m l

g l

s

1338572

2

.

例3、密度为σ的均匀矩形板，求通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为112

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σah a b ()+。其中a 为矩形板的长，b 为矩形板的宽。 解：由转动惯量的定义J r dm =

⋅⎰2

，

可知，关键在于确定质量元dm 等于什么。由于质量是平面分布，可取三维直角坐标系，如图5-2所示。在XOY 平面上任取一面元ds ，它的面积ds=dx ·dy ，而质量元dm ds dxdy =⋅=σσ。 则质量元dm 对Z 轴的转动惯量

dJ r dm =⋅2

，r 为质元到原点O 的距

离（原点O 为平板的中心点）所以整个平板对OZ 轴的转动惯量为

图5-1

图