2016年江苏高考卷文科数学(原题+解析)
江苏高考卷 文科数学 (原题+解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学本卷满分200分,考试时间150分钟.参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=(x i-)2,其中=x i.棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.棱锥的体积V=Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.数学Ⅰ(共160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.2.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是.4.已知一组数据,,,,,则该组数据的方差是.5.函数y=的定义域是.6.下图是一个算法的流程图,则输出的a的值是.7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{a n}是等差数列,S n是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.11.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f=f,则f(5a)的值是.12.已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.13.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.14.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.17.(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.20.(本小题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义S T=++…+.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:S T<a k+1;(3)设C⊆U,D⊆U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.数学Ⅱ(附加题,共40分)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点.求证:∠EDC=∠ABD.B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1=,求矩阵AB.C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.23.(本小题满分10分)(1)求7-4的值;(2)设m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、填空题1.答案{-1,2}解析∵A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},∴A∩B={-1,2}.2.答案 5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.3.答案2解析由-=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2.4.答案解析==,则该组数据的方差s2==.5.答案[-3,1]解析若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.6.答案9解析代值计算,第一次运行后,a=5,b=7,第二次运行后,a=9,b=5,a>b,从而输出的a值为9.7.答案解析先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),……(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对共有30个,故所求概率P==.8.答案20解析设等差数列{a n}的公差为d,则由题设可得解得从而a9=a1+8d=20.解后反思数列的计算求值问题一般应以“基本元素”为主.9.答案7解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.思路分析解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的关键.10.答案解析由已知条件易得B,C,F(c,0),∴=,=,由∠BFC=90°,可得·=0,所以+=0,c2-a2+b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以=,则e==.思路分析圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系.11.答案-解析∵f(x)是周期为2的函数,∴f=f=f,f=f=f,又∵f=f,所以f=f,即-+a=,解得a=,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+=-.思路分析由f(x)的周期为2联想到周期函数的性质f(x+T)=f(x),把f、f进行转化,进而利用f=f求得a的值,最后求f(5a).12.答案解析画出不等式组表示的可行域如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2==,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为.解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.13.答案解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=-=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,=+=+=(-)-(+)=-,因为·=4,所以·=4,则·=·=·--+·=·-(+)=×4-(+)=-1,所以+=,从而·=·=--+·=-(+)+·=-×+×4==.思路分析合理选择“基底”,把相关向量用“基底”表示出来,进而求得向量的数量积.解析∵sin A=2sin Bsin C,∴sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,亦即tan B+tan C=2tan Btan C,∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=,又△ABC为锐角三角形,∴tan A=>0,tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1,∴tan Atan Btan C=·tan B·tan C=,令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan Btan C==2≥2×(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”.方法总结三角求值问题中,角的变换是重点,也是探求解题途径的切入点,把已知条件sinA=2sin Bsin C转化为sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C进而得到tan B+tan C=2tan Btan C,再把tan A用tan B、tan C表示出来,从而将tan Atan Btan C用含tan B、tan C的式子表示出来,这是解题的关键.二、解答题15.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.16.证明(1)在直三棱柱ABC-A 1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.17.解析(1)由PO 1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h.连结O1B1.因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO方法小结(1)注意正四棱锥与正四棱柱底面相同,高的倍数关系.(2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来.再把容积表示成主变量的函数.转化成求函数最值的问题.再考虑用导数求解.18.解析圆M的标准方程为(x-6)+(y-7)=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].19.解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=+-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0.又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.20.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又S T=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)因为T⊆{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=(3k-1)<3k.因此,S T<a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩∁U D,F=D∩∁U C,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.于是S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D,进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,S E<a k+1.于是3l-1=a l≤S F≤S E<a k+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而S F≤a1+a2+…+a l=1+3+…+3l-1=≤=≤,故S E≥2S F+1,所以S C-S C∩D≥2(S D-S C∩D)+1,即S C+S C∩D≥2S D+1.综合①②③得,S解后反思(1)考查等比数列通项公式及等比数列项的求解与计算,通法“基本元素法”依旧适用,只不过是创新背景,语言理解要准确.(2)数列求和与不等式放缩结合,注意放缩适度.(3)间接证明与数列结合,有一定难度..证明在△ADB和△ABC中,因为∠ABC=90°,BD⊥AC,∠A为公共角,所以△ADB∽△ABC,于是∠ABD=∠C.在Rt△BDC中,因为E是BC的中点,所以ED=EC,从而∠EDC=∠C.所以∠EDC=∠ABD.B.解析设B=,则B-1B==,即=,故解得所以B=.因此,AB==.C.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.D.证明因为|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a.22.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ, 于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值范围是.23.解析(1)7-4=7×-4×=0.(2)当n=m时,结论显然成立.当n>m时,(k+1)==(m+1)·=(m+1),k=m+1,m+2,…,n.又因为+=,所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).。
2016年 江苏省 高考数学 试卷及解析
2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．5．（5分）函数y=的定义域是．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．18．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．12．（5分）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．2314．（5分）在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 ．二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）在△ABC 中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB 的长；（2）求cos （A ﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证： （1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q ，使得+=，求实数t的取值范围．419．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T =++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．5B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；6（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．72016年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，8故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣=1的焦距．【解答】解：双曲线﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴双曲线﹣=1的焦距是2．故答案为：2．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：9=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．10【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．11【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，12∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【分析】法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案；法2：由sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，可得cosx=0或sinx=，结合题意，解之即可．【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．13法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0或sinx=，因为x∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，故答案为：7．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象是关键，属于中档题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求．【解答】解：设右焦点F（c ，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，14可得B （﹣a ，），C （a ，），由∠BFC=90°，可得k BF•k CF=﹣1，即有•=﹣1，化简为b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，另解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，可得B （﹣a ，），C （a ，），=（﹣a﹣c ，），=（a﹣c ，），•=0，则c2﹣a2十b2=0，因为b2=a2﹣c2，代入得3c2=2a2，15由e=，可得e2==，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f （﹣）=f （），则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a ，f （）=f（）=|﹣|=，16∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．12．（5分）已知实数x，y 满足，则x2+y2的取值范围是[，13] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小，由得，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==，则z=d2=（）2=，17故z的取值范围是[，13]，故答案为：[，13]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD 上的两个三等分点，．•=4，•=﹣1，则•的值是【解答】解：∵D是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，18=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，19在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，20令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A ﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A ﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，21∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A ﹣）=cosA +sinA=．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．22【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，23∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？24【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=•m，则仓库的容积V=×（•）2•x+（•）2•4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；故当x=2时，V（x）取最大值；即当PO1=2m时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度25中档．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q ，使得+=，求实数t的取值范围．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．26【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），，∴，①∵点Q在圆M上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25，②将①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，27∴点P（x1，y1）即在圆M上，又在圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25上，从而圆（x﹣6）2+（y﹣7）2=25与圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25有公共点，∴5﹣5≤≤5+5．解得2﹣2≤t，∴实数t的取值范围是[2﹣2，2+2]．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．28【解答】解：函数f（x）=a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m （）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化为：t2﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．实数m的最大值为：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=a x+b x﹣2，g′（x）=a x lna+b x lnb=a x [+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，29因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，a x lnb＞0，则g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，a x lnb＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜log a2时，a x ＞=2，b x＞0，则g（x）＞0，因此x1＜log a2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）≥0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．可得ab=1．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T =++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；30（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）等比数列{a n}中，a4=3a3=9a2，当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，31①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．32【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，则：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．B.【选修4—2：矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B﹣1=，求矩阵AB．【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，33∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，34两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．24．设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，则|2x+y﹣4|＜a成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．35附加题【必做题】25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q 关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l 上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），36即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p ，∴，又PQ的中点在直线l 上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，37∴p ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．（2）对任意m∈N*，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．【解答】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0．证明：（2）对任意m∈N*，①当n=m时，左边=（m+1）=m+1，右边=（m+1）=m+1，等式成立．38②假设n=k（k≥m）时命题成立，即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1），当n=k+1时，左边=（m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+（k+2）=，右边=∵=（m+1）[﹣]=（m+1）×[k+3﹣（k﹣m+1）]=（k+2）=（k+2），∴=（m+1），∴左边=右边，∴n=k+1时，命题也成立，∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．39【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．40。
2016江苏高考数学试题答案解析和解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．那么这组数据的平均数为：3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．|z||z|=|3+4i|==5．故答案为：4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．．故答案为：．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．解：向量，+n=，解得7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．解；∵28．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．，==9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．d=≤时，圆的半径最大为11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．．．=．{={项的和为．故答案为：．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．．故答案为：13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为 ．答=+：++++++．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．﹣2×2×3×BC=sinC==cosC==sin2C=2sinCcosC=2×16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．y=，利用导数，确定单调性，即可求出当y=，得，y=，∴y′=﹣=（（，，则=0t=10，）时，g′（，t=10=15t=10千米．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．=，=3a=，即有椭圆方程为+y，==，，y+﹣，|PC|=，可得=19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．）+b（﹣）（时，时，﹣．）∪（∈（﹣）在（﹣∞，﹣，+∞）上单调递增，在（﹣，）∪（﹣，+∞）时，f′（）时，（﹣，﹣）+b（﹣）（时，时，，，+∞），）∪（））∪（20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．）证明：∵=2，，，依次构成等比数列；，则（﹣＜，﹣，，t≠0）[＞）在（﹣三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC 于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．=2，即，即A=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．ρsin（θ﹣）．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．”“x＜，或即原不等式的解集为{x|x≥x=x≥x≥x≥时，原不等式化为，或【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．，＞≤，结合函数）上的单，∴=，=，得，，得=∴cos＜，=，所成两面角的余弦值为）∵=λ==，则===＜，=，＞≤，即λ=＜，的最大值为）上是减函数，此时直线又∵BP==，∴BQ=BP=26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．=6+2++=6+2++=13==6+2++=13+2+++1=k+2++1= +，结论成立；+2=k+2+++，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立．。
2016年高考江苏卷数学试题解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：1 n样本数据 捲必,L ,X n 的方差S 2-X in i i棱柱的体积V Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高. 棱锥的体积V -Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 为高.3、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合 A 1,2,3,6 , B x| 2 x 3，则 AI B ___________________________【答案】 1,2 ;【解析】由交集的定义可得 AI B 1,2 .1 2i 3 i ,其中i 为虚数单位，则z 的实部是 【答案】5;【解析】由复数乘法可得 z 5 5i ，则则z 的实部是5.2 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 —— 1的焦距是 _____________ 73【答案】2 .10 ; 【解析】c ■. a 2 b 2 .10，因此焦距为 2c 2.10 .4.已知一组数据 4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5，则该组数据的方差是 ________________【答案】0.1 ; 【解析】x5.1 ,s 2 10.42 0.32 020.320.42 0.1 .55. 函数y ■■ 3 2x ______________________ x 2的定义域是 .【答案】 3,1 ;【解析】3 2x x 2 > 0,解得 3< x < 1，因此定义域为 3,1 . 6.如图是一个算法的流程图，则输出 a 的值是 _________________-21 nx ，其中x - x -n i i2.复数z【答案】9;【解析】a,b的变化如下表:a159b975则输出时a 9•7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷现向上的点数之和小于10的概率是_____________ •【答案】5；6【解析】将先后两次点数记为x,y，则共有6 6 36个等可能基本事件，其中点数之和大于等于4,6 , 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5 , 6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为3036 8. 已知a n是等差数列，S n是其前n项和•若a i a2 3 , S5 10，则a9的值是__________ 【答案】20;2【解析】设公差为d，则由题意可得a, a, d 3, 5a1 10d 10 ,解得a1 4 , d 3，则a9 4 8 3 20 .9. 定义在区间0,3 n上的函数y sin 2x的图象与y cosx的图象的交点个数是【答案】7;【解析】画出函数图象草图，共7个交点.2次，则出10有5610.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 笃 % 1 a b 0的右焦点，直线 y -与椭圆交于a b2B,C 两点，且 BFC 90，则该椭圆的离心率是 ___________________ .【答案】 A ；3a 2 c 2 可得—c 3- a 2，贝U e—42a其中a R , 若f5 f 9 则f 5a的值是【答案】2 ；225【解析】由题意得f5f -1—a ,f 目f 丄2 1 1222 2 25 210由f5 f 9 可得 - 1 a 一 , n r 3则a 一，22 2 10 523 2 1 , 22则c 3a -b o ,由b【解析】由题意得F c,0，直线y b 与椭圆方程联立可得B2 朽a b 2 ,2»'3a b 2 ,2由 BFCuuu 90可得BF uuurCFuu u BFlulnCF 11.设f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间x a,1,1 上 f x 2-x51 x 0, 0x1,~2 6 3 I 6则f 5ax 2y 412. 已知实数x,y满足2x y 23x y 34【答案】4,13 ；5【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下9 9x y为可行域内的点到原点距离的平方.可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线2x y 20的距离,B点为x 2y 4 0与3x y 3 0交点，贝U B 2,3 ,则x2 y213.max13. 如图，在△ ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点,uuu nu则BE CE的值是_______________ .【答案】7;8uur【解析】令DFrbr ra WE r2auur uur 「2 则BA CA 9a 2rb2rauur uun iuur uuu由BA CA 4 , BF CF「2 「2 「2 「2 r 2 5 r21 可得9a b 4, a b 1，因此a 5,b 813一80,20,则x0,9y的取值范围是uur uur uuu uurB AC A 4, B F C F45图中B点距离原点最远,uuf由三角形 ABC 为锐角三角形, 则 cosB 0,cosC 0 ,二、解答题：本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明 过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，AC 6, cosB -, C 丄.5 4⑴求AB 的长； ⑵求cos A —的值.6 【答案】⑴5 2 ；2)7 2云.204【解析】⑴Q cosB , B 为三角形的内角5「 ,, uur 因此BEmui r 2CE 4a 14.在锐角三角形 【答案】8； ABC中, si nA 2s in Bsi nC ，则 tan Ata nBta nC 的最小值是【解析】由sin A sin n Asin B C sin BcosC cos Bs in C ， si nA 2sin Bsi nC ，可得 sin BcosC cosBsinC 2sinBsinC （*）, 在（* ）式两侧同时除以 cosBcosC 可得tan B tanC 2ta nBta nC , 又 tan A tan n Ata n B C tan B tan C1 tan BtanC （， tan B tan C 则 tan AtanBtanC1 tan BtanCtan BtanC ，由 tan B tanC 2ta nBta nC 可得 tan Ata nBta nC 22 tan BtanC 1 tan BtanC 'tan A 0,tan B 0,tan C 0 ,由(#)得1 tan Bta nC 0 , 解得t 12t2 2 tan Ata n Bta nC1 t1 1t 2 t21 12 — 1 1 1 由t 1 则 0 g 1t 2tt 2 4t t令tan BtanC t ，由A, B, C 为锐角可得 当且仅当t 2时取到等号，此时tanB 1，因此tanAtanBtanC 最小值为8 , 4tanC 4 , tanBtanC解得tan B 22, tanC22, ta nA 4 （或tan B,ta nC 互换），此时 A,B,C 均为锐角.sinB 3 5 又QA 为三角形的内角-IcosA 1sinA 7 2 •2 2 20 16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱 ABC ABG 中，D,E 分别为AB,BC 的中点，点F 在侧棱BB 上, 且 B 1D AF ， AC 1 A Bi • 求证：⑴直线DE II 平面AGF ；⑵平面B 1DE 平面AGF •【答案】见解析； 【解析】⑴Q D,E 为中点，DE 为 ABC 的中位线DEIIAC又 Q ABC A 1B 1C 1 为棱柱，AC IIAC 1DEIIAC 1，又 Q AG 平面 AGF ，且 DE AC 1FDEII 平面 A 1C 1F ；⑵Q ABC AB 1C 1为直棱柱，AA 1 平面ABQAA| A|C 1，又 Q AC 1 A B|且 AA I A 1B 1 A , AA 1, A B 平面 AA B 1B AC 1 平面 AA B 1B , 又Q DEIIAC 1 ,DE 平面 AARB又Q AF 平面 AA 1B 1B , DE AFsin A7 2 10AB si nC AC sin BAB "2 2 即: AB 5 .2 ;⑵ cos Acos C B sinBsinC cos B cosCcos A” ncos A - 610C 1B 1又Q A i F B i D , DEI B i D D ，且 DE, B i D 平面 B i DE AF 平面 B i DE ，又Q AF AC i F 平面B i DE 平面AGF .i7.（本小题满分I4分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥p A B i C i Di ，下部分的形状是正四棱柱ABCD AB i C i D i （如图所示），并要求正四棱柱的高 O i O 是正四棱锥的高 PO i 的4倍. ⑴若AB 6m , PO i 2m ,则仓库的容积是多少；⑵若正四棱锥的侧棱长为 6m ，当PO i 为多少时，仓库的容积最大?【答案】⑴3i2 m 3 ；⑵2、3m ； 【解析】⑴PO i 2 m ,则00i 8m ,因此，当x 2 3时，V x 取到最大值,即PO i 2 3m 时，仓库的容积最大.1 V P AB i C iD i= -S AB CD PO 13622 3 24 m , VABCD AiBC i D i=S ABCDOO i 62 8 288 m 3 ,3i2 m 3 2361 1 ____________________V P碎才尹翻POi§72 2x2i-72x 32x 324xVABCD A 1B 1C 1 D 1=S ABCD OO i ：：'72_____ 22x 24x 288x 8x 3V x=V P A 1B 1C 1D 1V ABCD A 1B 1C 1D 124x - x 333288x 8x26 x 33 312x 0x6 , V' x 26x 2 3i226 x 2i2 0x6 , 0,2 3 时, V'x 单调递增, 2.3,6 时，V'x 单调递减,C iC18.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x 2 $ 12x 14y 60 0 及其上一点A 2,4 设圆N 与x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线x 6上, 求圆N 的标准方程; 设平行于OA 的直线I 与圆M 相交于B,C 两点，且BC OA ，求直线I 的方程; 设点T t,0满足：存在圆 ULT M 上的两点P 和Q ，使得TA UL T TP 【答案】⑴1⑵y 2x 5或 2x 15⑶ 2 【解析】⑴ 因为 N 在直线6上，设N 6,n 因为与x 轴相切,则圆又圆 N 与圆M 外切，圆M :2 26 x 725 ,^.21,2 uuTQ ，求实数t 的取值范围. I |n 5，解得 n 1 ,即圆N 的标准方程为 x 由题意得OA 2・、5， k OA 212 7 b设l :y2x b ，则圆心M 到直线 I 的距离则 BC 2 后~d^ 255 bBC 2 5，即 2 25 25，解得b 5或b 15，即I : uuu TQ ULT ULT UUUUL TTA TP TQ ，即 TA y ur TP 2x 5 或 y 2x 15 ;--，uuu PQ ，即ur TAULUPQ W 10,解得2 2 21,2 2 21 ， 对于任意t2 2 .21,2 2.21ULT ，欲使TA uuPQ，uir此时TA 10,只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 r~ UL T2 125k4必然与圆交于P 、Q 两点，此时ULT LUT TA PQULT UUT ，即 TA PQ ,因此对于任意t 2 2.21,2 ^.21，均满足题意,综上 t 2 2 . 21,2 2.2119. （本小题满分14分）已知函数 f x a x b x a 0,b 0,a1,b 11⑴设a 2, b -.2①求方程f x 2的根；【答案】⑴①x 0 :②4 :⑵1 ;x【解析】⑴①f x 2x 1 ，由f x 2可得2x 丄2 ,2 2x2 2贝U 2x 2 2x 1 0，即卩 2x 10 ,则 2x 1 , x 0 ;②由题意得22x 丄＞ m 2x 丄 6恒成立，2 2令 t 2x 2.，则由 2x 0可得 t > 2（2x 2- 2 ,22t 44此时t 2 > mt 6恒成立，即 m < —t t -恒成立••• t > 2时t 扌》2 t 44，当且仅当t 2时等号成立，x Iog b 2 时，a x 0, b x b '°9b2x时，h x 0 , a Inb 0,贝U g' x 0；则g x 在，X °递减，X 。
2016年江苏省高考文科数学试题及答案
数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合则________▲________.2.复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y=的定义域是▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲ .8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是▲ .(第10题)11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，其中若，则f（5a）的值是▲ .12. 已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是▲ .13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是▲ .14.在锐角三角形ABC中，若sin A=2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的四倍.(1)若则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
2016届江苏省高考数学试卷 解析版
2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是 ．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是 ．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是 ．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是 ．．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当为多少时，仓库的容积最大？．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值． ．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （；若 ， ， ， ，定义∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证： ﹣ ＜ ．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 江苏）已知集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，则 ﹣ ， ．【分析】根据已知中集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，结合集合交集的定义可得答案．【解答】解：∵集合 ﹣ ， ， ， ， ﹣ ＜ ＜ ，∴ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）复数 （ ）（ ﹣ ），其中 为虚数单位，则 的实部是 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： （ ）（ ﹣ ） ，则 的实部是 ，故答案为： ．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中，双曲线﹣ 的焦距是 ．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线﹣ 的焦距．【解答】解：双曲线﹣ 中， ， ，∴ ，∴双曲线﹣ 的焦距是 ．故答案为： ．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 分）（ 江苏）已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是 ．【分析】先求出数据 ， ， ， ， 的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据 ， ， ， ， 的平均数为：（ ） ，∴该组数据的方差：（ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） ．故答案为： ．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）函数 的定义域是 ﹣ ， ．【分析】根据被开方数不小于 ，构造不等式，解得答案．【解答】解：由 ﹣ ﹣ ≥ 得： ﹣ ≤ ，解得： ∈ ﹣ ， ，故答案为： ﹣ ，【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ， ，当 ， 时，不满足 ＞ ，故 ，当 ， 时，满足 ＞ ，故输出的 值为 ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．．（ 分）（ 江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，则出现向上的点数之和小于 的概率是．【分析】出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 ， ， ， ， ， 个点的正方体玩具）先后抛掷 次，基本事件总数为 × ，出现向上的点数之和小于 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 ，出现向上的点数之和不小于 包含的基本事件有：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 个，∴出现向上的点数之和小于 的概率：﹣ ．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知 是等差数列， 是其前 项和，若 ，则 的值是 ．﹣ ，【分析】利用等差数列的通项公式和前 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的值．是等差数列， 是其前 项和， ﹣ ， ，【解答】解：∵∴，﹣ ， ，解得﹣ × ．∴故答案为： ．【点评】本题考查等差数列的第 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点个数是 ．【分析】画出函数 与 在区间 ， 上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数 与 在区间 ， 上的图象如下：由图可知，共 个交点．故答案为： ．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 与 在区间 ， 上的图象是关键，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 （ ＞ ＞ ）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且∠ ，则该椭圆的离心率是．【分析】设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程求得 ， 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点 （ ， ），将 代入椭圆方程可得 ± ± ，可得 （﹣ ，）， （ ，），﹣ ，由∠ ，可得即有 ﹣ ，化简为 ﹣ ，由 ﹣ ，即有 ，由 ，可得 ，可得 ，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣ ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，其中 ∈ ，若 （﹣） （），则 （ ）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性，结合 （﹣） （），可得 值，进而得到 （ ）的值．【解答】解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数，在区间 ﹣ ， ）上， （ ） ，∴ （﹣） （﹣） ﹣ ，（） （） ﹣ ，∴ ，∴ （ ） （ ） （﹣ ） ﹣ ﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出 值，是解答的关键．．（ 分）（ 江苏）已知实数 ， 满足，则 的取值范围是 ， ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设 ，则 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，由图象知 到原点的距离最大，点 到直线 ： ﹣ 的距离最小，由得，即 （ ， ），此时 ，点 到直线 ： ﹣ 的距离 ，则 （） ，故 的取值范围是 ， ，故答案为： ， ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ﹣ ，则 的值是．【分析】由已知可得 ， ﹣ ， ， ﹣ ， ， ﹣ ，结合已知求出 ， ，可得答案．【解答】解：∵ 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点，∴ ， ﹣ ，， ﹣ ，∴ ﹣ ﹣ ，﹣ ，∴ ， ，又∵ ， ﹣ ，∴ ﹣ ，故答案为：【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）在锐角三角形 中，若 ，则的最小值是 ．【分析】结合三角形关系和式子 可推出，进而得到 ，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由 （ ﹣ ） （ ） ，，可得 ，由三角形 为锐角三角形，则 ＞ ， ＞ ，在 式两侧同时除以 可得 ，又 ﹣ （ ﹣ ） ﹣ （ ） ﹣ ，则 ﹣ ，由 可得 ﹣，令 ，由 ， ， 为锐角可得 ＞ ， ＞ ， ＞ ，由 式得 ﹣ ＜ ，解得 ＞ ，﹣ ﹣，（） ﹣，由 ＞ 得，﹣≤＜ ，因此 的最小值为 ，当且仅当 时取到等号，此时 ， ，解得 ， ﹣， ，（或 ， 互换），此时 ， ， 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．二、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 江苏）在△ 中， ， ， ．（ ）求 的长；（ ）求 （ ﹣）的值．【分析】（ ）利用正弦定理，即可求 的长；（ ）求出 、 ，利用两角差的余弦公式求 （ ﹣）的值．【解答】解：（ ）∵△ 中， ，∴ ，∵，∴ ；（ ） ﹣ （ ） ﹣ ﹣．∵ 为三角形的内角，∴ ，∴ （ ﹣） ．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图，在直三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧棱 上，且 ⊥ ， ⊥ ．求证：；（ ）直线 ∥平面⊥平面 ．（ ）平面【分析】（ ）通过证明 ∥ ，进而 ∥ ，据此可得直线 ∥平面 ； （ ）通过证明 ⊥ 结合题目已知条件 ⊥ ，进而可得平面 ⊥平面 ．【解答】解：（ ）∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 为△ 的中位线， ∴ ∥ ，∵ ﹣ 为棱柱， ∴ ∥ ， ∴ ∥ ，∵ ⊂平面 ，且 ⊄平面 ， ∴ ∥ ；（ ）∵ ﹣ 为直棱柱， ∴ ⊥平面 ， ∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，且 ， 、 ⊂平面 ， ∴ ⊥平面 ， ∵ ∥ ，，∴ ⊥平面⊂平面 ，又∵，∴ ⊥⊥ ， ，且 、 ⊂平面 ，又∵⊥平面 ，∴⊂平面 ，又∵⊥平面 ．∴平面【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．．（ 分）（ 江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部，下部的形状是正四棱柱 ﹣ （如图所示），的形状是正四棱锥 ﹣是正四棱锥的高 的 倍．并要求正四棱柱的高，则仓库的容积是多少？（ ）若 ，为多少时，仓库的容积最大？（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，则当是正四棱锥的高 的 倍，可得 时，【分析】（ ）由正四棱柱的高，进而可得仓库的容积；，则 ， ， ，（ ）设代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值．，正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 倍．【解答】解：（ ）∵，∴∴仓库的容积 × × × ，（ ）若正四棱锥的侧棱长为 ，，设， ， ，则则仓库的容积 ×（ ） （ ），（ ＜ ＜ ），∴ ﹣ ，（ ＜ ＜ ），当 ＜ ＜ 时， ＞ ， （ ）单调递增；当 ＜ ＜ 时， ＜ ， （ ）单调递减；故当 时， （ ）取最大值；时，仓库的容积最大．即当【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． ．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ： ﹣ ﹣ 及其上一点 （ ， ）．（ ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；（ ）设平行于 的直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求直线 的方程；（ ）设点 （ ， ）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围．【分析】（ ）设 （ ， ），则圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，从而得到 ﹣ ，由此能求出圆 的标准方程．，设 ： ，则圆心 到直线 的距离：（ ）由题意得 ，，由此能求出直线 的方程．（ ） ，即 ，又 ≤ ，得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数 的取值范围．【解答】解：（ ）∵ 在直线 上，∴设 （ ， ），∵圆 与 轴相切，∴圆 为：（ ﹣ ） （ ﹣ ） ， ＞ ，又圆 与圆 外切，圆 ： ﹣ ﹣ ，即圆 ：（（ ﹣ ） （ ﹣ ） ，∴ ﹣ ，解得 ，∴圆 的标准方程为（ ﹣ ） （ ﹣ ） ．，设 ： ，（ ）由题意得 ，则圆心 到直线 的距离： ，则 ， ，即，解得 或 ﹣ ，∴直线 的方程为： 或 ﹣ ．（ ） ，即，即 ，，又 ≤ ，即≤ ，解得 ∈ ﹣ ， ，对于任意 ∈ ﹣ ， ，欲使，此时， ≤ ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于 、 两点，此时 ，即，因此实数 的取值范围为 ∈ ﹣ ， ，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ．求方程 （ ） 的根；若对于任意 ∈ ，不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，求实数 的最大值；（ ）若 ＜ ＜ ， ＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，求 的值．【分析】（ ） 利用方程，直接求解即可． 列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．（ ）求出 （ ） （ ）﹣ ﹣ ，求出函数的导数，构造函数 （ ），求出 （ ）的最小值为： （ ）．同理 若 （ ）＜ ， （ ）至少有两个）＞ ，利用函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点，推零点，与条件矛盾． 若 （出 （） ，然后求解 ．【解答】解：函数 （ ） （ ＞ ， ＞ ， ≠ ， ≠ ）．（ ）设 ， ． 方程 （ ） ；即：，可得 ．不等式 （ ）≥ （ ）﹣ 恒成立，即≥ （）﹣ 恒成立．令， ≥ ．不等式化为： ﹣ ≥ 在 ≥ 时，恒成立．可得：△≤ 或即： ﹣ ≤ 或 ≤ ， ∴ ∈（﹣ ， ． 实数 的最大值为： ．（ ） （ ） （ ）﹣ ﹣ ， （ ），＜ ＜ ， ＞ 可得，令 （ ），则 （ ）是递增函数，而， ＜ ， ＞ ，因此，时， （ ） ，因此 ∈（﹣ ， ）时， （ ）＜ ， ＞ ，则 （ ）＜ ． ∈（ ， ）时， （ ）＞ ， ＞ ，则 （ ）＞ ，则 （ ）在（﹣ ， ）递减，（ ， ）递增，因此 （ ）的最小值为： （ ）． 若 （ ）＜ ， ＜ 时， ＞， ＞ ，则 （ ）＞ ，因此 ＜ ，且 ＜ 时， （ ）＞ ，因此 （ ）在（ ， ）有零点， 则 （ ）至少有两个零点，与条件矛盾．若 （ ）＞ ，函数 （ ） （ ）﹣ 有且只有 个零点， （ ）的最小值为 （ ），可得 （ ） ，由 （ ） ﹣ ， 因此 ，因此，﹣，即 ， （ ），则 ．可得 ．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．．（ 分）（ 江苏）记 ， ， ， ，对数列 （ ∈ ）和 的子集 ，若 ∅，定义 ；若 ， ， ， ，定义．例如： ， ， 时， ．现设 （ ∈ ）是公比为 的等比数列，且当 ， 时， ．（ ）求数列 的通项公式；（ ）对任意正整数 （ ≤ ≤ ），若 ⊆ ， ， ， ，求证： ＜ ； （ ）设 ⊆ ， ⊆ ， ≥ ，求证： ≥ ．【分析】（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ，计算可得 ，进而可得 的值，由等比数列通项公式即可得答案；（ ）根据题意，由 的定义，分析可得 ≤﹣，由等比数列的前 项和公式计算可得证明；（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，进而分析可以将原命题转化为证明 ≥ ，分 种情况进行讨论： 、若 ∅， 、若 ≠∅，可以证明得到 ≥ ，即可得证明．【解答】解：（ ）当 ， 时， ， 因此 ，从而 ，故﹣，（ ） ≤ ﹣＜ ，（ ）设 ∁ （ ）， ∁ （ ），则 ∅，分析可得 ， ，则 ﹣ ﹣ ， 因此原命题的等价于证明 ≥ ， 由条件 ≥ ，可得 ≥ ， 、若 ∅，则 ，故 ≥ ，、若 ≠∅，由 ≥ 可得 ≠∅，设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ， 若 ≥ ，则其与 ＜ ≤ ≤ 相矛盾， 因为 ∅，所以 ≠ ，则 ≥ ，≤ ﹣≤，即 ≥，综上所述， ≥ ， 故 ≥ ．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．附加题【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．【选修 几何证明选讲】．（ 分）（ 江苏）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ ， 为垂足， 为 的中点，求证：∠ ∠ ．【分析】依题意，知∠ ，∠ ∠ ，利用∠ ∠ ∠ ∠，可得∠ ∠ ，从而可证得结论．【解答】解：由 ⊥ 可得∠ ，因为 为 的中点，所以 ，则：∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，由∠ ，可得∠ ∠ ，因此∠ ∠ ，而∠ ∠ ，所以，∠ ∠ ．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠ ∠ ∠ ∠ ，证得∠ ∠ 是关键，属于中档题．【选修 ：矩阵与变换】．（ 分）（ 江苏）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵 ﹣，求矩阵 ．【分析】依题意，利用矩阵变换求得 （ ﹣ ）﹣ ，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．【解答】解：∵ ﹣ ，∴ （ ﹣ ）﹣ ，又 ，∴ ．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．【选修 ：坐标系与参数方程】．（ 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），椭圆 的参数方程为（ 为参数），设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长．【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．【解答】解：由，由 得，代入 并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴ ．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．．（ 江苏）设 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，求证：﹣ ＜ ．【分析】运用绝对值不等式的性质： ≤ ，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由 ＞ ， ﹣ ＜， ﹣ ＜，可得 ﹣ （ ﹣ ） （ ﹣ ）≤ ﹣ ﹣ ＜ ，则 ﹣ ＜ 成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．附加题【必做题】．（ 分）（ 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ：﹣ ﹣ ，抛物线 ： （ ＞ ）．（ ）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；（ ）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ．求证：线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；求 的取值范围．【分析】（ ）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（ ）： 设点 （ ， ）， （ ， ），通过抛物线方程，求解 ，通过 ， 关于直线 对称，点的 ﹣ ，推出， 的中点在直线 上，推出 ﹣，即可证明线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）；利用线段 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．推出，得到关于﹣ ，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 的范围．【解答】解：（ ）∵ ： ﹣ ﹣ ，∴ 与 轴的交点坐标（ ， ）， 即抛物线的焦点坐标（ ， ）． ∴，∴抛物线 ： ．（ ）证明： 设点 （ ， ）， （ ， ），则：，即：，，又∵ ， 关于直线 对称，∴ ﹣ ，即 ﹣ ，∴，又 的中点在直线 上，∴ ﹣ ，∴线段 的中点坐标为（ ﹣ ，﹣ ）； 因为 中点坐标（ ﹣ ，﹣ ）．∴，即∴，即关于 ﹣ ，有两个不相等的实数根，∴△＞ ，（ ） ﹣ （ ﹣ ）＞ ，∴ ∈．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．．（ 分）（ 江苏）（ ）求 ﹣ 的值；（ ）设 ， ∈ ， ≥ ，求证：（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【分析】（ ）由已知直接利用组合公式能求出 的值．（ ）对任意 ∈ ，当 时，验证等式成立；再假设 （ ≥ ）时命题成立，推导出当 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．【解答】解：（ ）﹣ ×× ﹣ × ．证明：（ ）对任意 ∈ ，当 时，左边 （ ） ，右边 （ ） ，等式成立．假设 （ ≥ ）时命题成立，即（ ） （ ） （ ） （ ） （ ），当 时，左边 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ），右边∵（ ） ﹣（ ）× ﹣（ ﹣ ）（ ）（ ），∴ （ ），∴左边 右边，∴ 时，命题也成立，∴ ， ∈ ， ≥ ，（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） ．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．剑影实验学校名师高中部 高一化学第二次月考试卷。
高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211ni i s x xn ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．【答案】{}1,2-【解析】由交集的定义可得{}1,2AB =-．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． （2）【2016年江苏，2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______．【答案】210【解析】2210c a b =+=，因此焦距为2210c =．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1【解析】 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5）【2016年江苏，5，5分】函数232y x x =--的定义域是_______． 【答案】[]3,1-【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9【解析】,a b 的变化如下表：a 1 5 9b 9 7 5 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．（8）【2016年江苏，8，5分】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是_______． 【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间[]0,3π上的图象是关键，属于中档题．（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是________．【解析】由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得 0BF CF ⋅=，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得 223142c a =，则c e a ==． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．（11）【2016年江苏，11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________．【答案】25-【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．（12）【2016年江苏，12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的取值范围是________．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方． 可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离， d ==，则()22min 45x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． （13）【2016年江苏，13，5分】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ⋅=-，22BF CF a b ⋅=-， 224BE CE a b ⋅=-，由4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513,88a b ==，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-=．【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是_______． 【答案】8【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*），由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>， 在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B CB C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222tan tan tan 111t A B C t t t =-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2016年江苏，15，14分】在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3sin 5B ∴=，sinC sin AB ACB =，635=，即：AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，cos A ∴=又A为三角形的内角，sin A ∴，π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，FEC BAC 1B 1A 1点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证： （1）直线//DE 平面11A C F ； （2）平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄，//DE ∴平面11A C F ．（2）111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥，且1111AA A B A =，111,AA A B ⊂平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ⊂平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥，又11A F B D ⊥，1DE B D D =，且1,DE B D ⊂平面1B DE ，1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂，∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． （17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==， 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ． （2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ，则14m OO x =，11A O =，11A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1m PO =时，仓库的容积最大．【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． （18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．解：（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=．（2）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l的距离d =，则BC ==BC ==解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-．（3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =-10PQ ≤，1A10，解得2t⎡∈-+⎣，对于任意2t⎡∈-+⎣，欲使TA PQ=，此时10TA≤，只需要作直线TA2TAP Q、两点，此时TA PQ=，即TAPQ=，因此对于任意2t⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t⎡∈-+⎣．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1x xf x a b a b a b=+>>≠≠．（1）设2a=，12b=．①求方程()2f x=的根；②若对于任意x∈R，不等式()()26f x mf x-≥恒成立，求实数m的最大值；（2）若01a<<，1b>，函数()()2g x f x=-有且只有1个零点，求ab的值．解：（1）①()122xxf x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x=可得1222xx+=，则()222210x x-⨯+=，即()2210x-=，则21x=，0x=．②由题意得221122622x xx xm⎛⎫++-⎪⎝⎭≥恒成立，令122xxt=+，则由20x>可得2t=≥，此时226t mt--≥恒成立，即244tm tt t+=+≤恒成立∵2t≥时44tt+=≥，当且仅当2t=时等号成立，因此实数m的最大值为4．（2）()()22x xg x f x a b=-=+-，()ln'ln ln lnlnxx x xa bg x a a b b a bb a⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a<<，1b>可得1ba>，令()lnlnxb ah xa b⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()h x递增，而ln0,ln0a b<>，因此lnloglnbaaxb⎛⎫=-⎪⎝⎭时()00h x=，因此()0,x x∈-∞时，()0h x<，ln0xa b>，则()'0g x<；(),x x∈+∞时，()0h x>，ln0xa b>，则()'0g x>；则()g x在()0,x-∞递减，(),x+∞递增，因此()g x最小值为()0g x，① 若()00g x<，log2ax<时，log22axa a>=，0xb>，则()0g x>；x>log b2时，0xa>，log22bxb b>=，则()0g x>；因此1log2ax<且10x x<时，()10g x>，因此()g x在()10,x x有零点，2log2bx>且20x x>时，()20g x>，因此()g x在()02,x x有零点，则()g x至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x≥，由函数()g x有且只有1个零点，()g x最小值为()0g x，可得()00g x=，由()00020g a b=+-=，因此x=，因此lnlog0lnbaab⎛⎫-=⎪⎝⎭，即ln1lnab-=，即ln ln0a b+=，因此()ln0ab=，则1ab=．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．（20）【2016年江苏，20，16分】记{}1,2,,100U=．对数列{}n a（*n∈N）和U的子集T，若T=∅，定义0TS=；若{}12,,,kT t t t=，定义12kT t t tS a a a=+++．例如：{}1,3,66T=时，1366TS a a a=++．现设{}n a（*n∈N）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T=时，30TS=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C CDD S S S +≥．解：（1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=． （2）2112131133332k k kT k k S a a a a -+-++=++++=<=≤（3）设()C A C D =，()D B C D =，A B =∅，C A C D S S S =+，D B C DS S S =+， 22C CDD A B S S S S S +-=-，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =∅，所以l m ≠，所以1l m +≥，211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．数学Ⅱ【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2016年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．解：由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠， 由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键，属于中档题．（21-B ）【2016年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ．解：()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． （21-C ）【2016年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的 参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．解：直线l 0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，ECB A联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB =． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．（21-D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．解：由13a x -<可得2223a x -<，22422233a a x y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．解：（1）:20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22p∴=，28y x ∴=． （2）① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-，即122y y p +=-，122y y p +∴=-，又PQ 中点一定在直线l 上，12122222x x y y p ++∴=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ② 中点坐标为()2,p p --，122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩，12212244y y p y y p p +=-⎧∴⎨=-⎩， 即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． （23）【2016年江苏，23，10分】（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．解：（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=．（2）对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立， ② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+，当1n k =+时，左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m mm m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++()()2211C 2C m mk k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+，而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++⎡⎤+++-+=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()12!1!13122C 2!1!!1!m k k k m k k m k k m k m m k m +++=+⨯+--+=+=+⎡⎤⎣⎦+-+-+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++又由111C CCkk k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++， 所以，左边=右边．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．。
2016年高考江苏卷数学试题(解析版)
10. 如图，在平面直角坐标系
xOy 中， F 是椭圆
x a
2 2
y b
2 2
1(a＞ b＞ 0) 的右焦点，直线
y
b 2
与椭圆交于 B , C 两点，且
BFC
90 , 则该椭圆的离心率是
x xOy 中，双曲线 7
2
a
2
b 、共轭为 a bi .
2
3. 在平面直角坐标系 【答案】
y 3
2
1 的焦距是 ________ ▲ _______ _.
2 10
考点：双曲线性质 【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，
明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键： 实轴长为 2 a ，虚轴长为
2 2
x 2 a
2 2
2
y 2 b
2
1(a
0, b y
0) 揭示焦点在 x 轴， b a x ，离心率为
2b ，焦距为 2 c
2 a
b ，渐近线方程为
c a
a
b
a
4.7,4.8,5.1,5.4,5.5 ，则该组数据的方差是 ________ ▲ _______ _.
4. 已知一组数据 【答案】 0.1 【解析】
{ 1,2,3,6}, B
1,2
B
{ 1,2,3,6}
{x| 2
x
3} { 1,2}
数较小 .一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题 的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解 2. 复数 z 【答案】 5 【解析】 试题分析： z 考点：复数概念 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题 则 运 算 ， 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 .首先对于复数的四 规 思 路 ， 如 (1 2i)(3 i), 其中 i 为虚数单位，则 .
2016年高考文科数学江苏卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差 ,其中11ni i x x n ==∑.棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 是高.棱锥的体积13V Sh =,其中S 是棱锥的底面积,h 是高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-,{|23}B x x =-＜＜,则AB = .2.复数z (12i)(3i)=+-,其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .3.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22173x y -=的焦距是 .4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 5.函数232y x x =--的定义域是 .6.如图是一个算法的流程图,则输出的a 的值是 .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .8.已知{}n a 是等差数列,S n 是其前n 项和.若2123a a +=-,5S =10,则9a 的值是 . 9.定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 .10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点,直线2b y =与椭圆交于B ,C 两点,且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 .11.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1)-上,,10,()2,01,5x a x f x x x +-⎧⎪=⎨-⎪⎩≤＜≤＜其中a ∈R .若59()()22f f -=,则(5)f a 的值是 .12.已知实数x ,y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥，≥，≤，则22x y +的取值范围是 .13.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,A 4B CA =,1BF CF =-,则BE CE 的值是 .14.在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的最小值是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在ABC △中,6AC =,4cos 5B =,π4C =. （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求πcos()6A -的值.姓名________________ 准考证号_____________---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页,均为非选择题（第1题～第20题,共20题）.本卷满分为160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.数学试卷 第4页（共42页） 数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）16.（本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱1B B 上,且11B D A F ⊥,1111AC A B ⊥. 求证:（Ⅰ）直线DE平面11AC F ；（Ⅱ）平面1B DE ⊥平面11AC F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示）,并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（Ⅰ）若6m AB =,12m PO =,则仓库的容积是多少?（Ⅱ）若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当1PO 为多少时,仓库的容积最大?18.（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :221214x y x y +--+600=及其上一点(2,4)A .（Ⅰ）设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线6x =上,求圆N 的标准方程； （Ⅱ）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点,且BC OA =,求直线l 的方程； （Ⅲ）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA TP TQ +=,求实数t 的取 值范围.19.（本小题满分16分）已知函数()=(0,0,1,1)x xf x a b a >b a b +>≠≠.（Ⅰ）设2a =,12b =. ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ,不等式(2)()6f x mf x -≥恒成立,求实数m 的最大值； （Ⅱ）若01a <<，1b >,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值.20.（本小题满分16分）记{1,2,,100}U =….对数列*{}()n a n ∈N 和U 的子集T ,若T =∅,定义0T S =；若12{,,,}k T t t t =…,定义12+k T t t t S a a a =++….假如:={1,3,66}T 时,1366+T S a a a =+.现设*{}()n a n ∈N 是公比为3的等比数列,且当={2,4}T 时,=30T S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数(1100)k k ≤≤,若{1,2,,}T k ⊆…,求证：1T k S a +<； （Ⅲ）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥求证:2C C D D S S S +≥.A B=-{1,2}-{1,2,3,6}+，则55i3/ 14数学试卷第10页（共42页）数学试卷第11页（共42页）数学试卷第12页（共42页）5 / 14得0BF CF =，BF c ⎛=+ ⎝，CF c ⎛=- ⎝2212c a =，则2e 3c a ==【提示】设右焦点(,0)F c ，代入椭圆方程求得数学试卷 第16页（共42页）数学试卷 第17页（共42页） 数学试卷 第18页（共42页）8令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，A B =∅，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b =-，22BF CF a b =-，224BE CE a b =-，由4BA CA =，1BF CF =-可得2294a b -=，221a b -=-，因此258a =，2138b =，因此22451374888BE CE a b ⨯=-=-=． 【提示】结合已知求出258a =，2138b =，可得答案．【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的性质及其运算律．14.【答案】8sin π)sin()A B C -=+=*7 / 14（Ⅰ）4cos 5B =sinC sin AB =32526AB∴=52AB =（Ⅱ）cos cos A ∴=又A 为三角形的内角31cos 22A +（Ⅰ）利用正弦定理，即可求、sin A ，利用两角差的余弦公式求（Ⅰ）证明：,D E 为中点，又11ABC A B C -为棱柱，，又11AC ⊂平面11A C 11A C F ；（Ⅱ）111ABC A B C -为直棱柱，11AC ⊥，又11AC A B ⊥且1111AA A B A =⊥平面11AA B B ，又B DE ⊥平面AA 又1A F ⊂平面11AA B B ，∴ 又11A F B D ⊥，1DEB D D =1,DE B D ⊂1A F ⊥平面DE ，又11A F AC F ⊂平面1B DE 11C F ．【提示】（Ⅰ）通过证明//DE AC ，进而（Ⅱ）通过证明1A F 结合题目已知条件【考点】平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定．数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页） 数学试卷 第24页（共42页）113ABCD PO =⨯216ABCD OO =⨯1111312A B C D =，仓库的容积为236mx -，2236m x -311224m 33ABCD PO x x =⨯-1(72ABCD OO =111ABCD A B C D V -231226(x =-时，()0V x '<，2236m x -轴相切，则圆N |||5n n =+，5+或215y x =-；TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即||||TA PQ =，||(TA t =-||10PQ ≤，即22410+≤），解得[2221,2221]t ∈-+，对于任意[2221,2t ∈-+，欲使TA PQ =，此时9 / 14||10TA ≤，只需要作直线2||4TA ，必然与圆交于时||||TA PQ =，即TA PQ =，因此对于任意[2221,22t ∈-+21,2221]+【提示】（Ⅰ）设(6,)N n ，则圆l 的方程．TA TP TQ +=，即||(TA t =-||10PQ ≤，221,2221]+，欲使TA PQ =，只需要作直线TA 的平行线，2||TA ，由此能求出实数t 的取值范围．【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系．1x⎛⎫，由()f x 44t t=，当且仅当2x a b =+ln ln xab ⎫+⎪，则数学试卷 第28页（共42页）数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）213113332k k k a --+=++++=<()CC D =，()DB CD =，则A B =∅，C D，CD S ，22CDD A B S S S -=-，因此原题就等价于证明A S ≥C D S S ≥可知A B S S ≥．=∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．中最大元素为l AB =∅，所以21123113332m m m a a --+++=++++=<综上所述，2A B S S ≥，因此2C C DD S S S +≥．【提示】（Ⅰ）根据题意，由T S 的定义，分析可得S211333k k a -+=++++，由等比数列的前)(()CDC D B C D ==，，则A B =∅，进而分析可以将原命题转化为证明种情况进行讨论：①、若B =∅，②、若B ≠∅，可以证明得到2A B S S ≥，即可得证明．【考点】数列的应用，集合的包含关系判断及应用，等比数列的通项公式，数列与不等式的综合．数学Ⅱ数学试卷 第34页（共42页） （Ⅰ）:l x y --即抛物线的焦点为(2,0)，∴11,)y ，(Q ，即212y p ⎧=⎪⎪⎨又P Q ，关于直线12y y +=-又PQ 中点一定在直线线段PQ 上的中点坐标为②中点坐标为112y x x ⎧⎪⎨+=⎪1m k kC -+++11(m m m k C m kC +-++++231)m k C ++，而23(1)m m ++-+2)!⎤(1)m +++11)m n C ++++12111111221121m m m m m m m n m m n m m n C C C C C C C ++++++++++++++==+++=+++，数学试卷 第40页（共42页）（Ⅱ）对任意m *∈N ，当n m =时，验证等式成立；再假设()n k k m =≥时命题成立，推导出当1n k =+时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明21212(1)(2)(3)(1)(1)m m mm m m m m m k k k m C m C m C kC k C m C +++-++++++++++=+【考点】组合及组合数公式．。
2016年江苏高考卷-文科数学-(原题+解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学本卷满分200分,考试时间150分钟.参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=1n∑i=1n(x i-x)2,其中x=1n∑i=1nx i.棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.棱锥的体积V=13Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.数学Ⅰ(共160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.2.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x 27-y23=1的焦距是.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.5.函数y=√3-2x-x2的定义域是.6.下图是一个算法的流程图,则输出的a的值是.7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{a n}是等差数列,S n是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.11.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x +a,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,其中a∈R.若f (-52)=f (92),则f(5a)的值是 .12.已知实数x,y 满足{x -2y +4≥0,2x +y -2≥0,3x -y -3≤0,则x 2+y 2的取值范围是 .13.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .14.在锐角三角形ABC 中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C 的最小值是 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别为AB,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D⊥A 1F,A 1C 1⊥A 1B 1.求证:(1)直线DE∥平面A 1C 1F; (2)平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.17.(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB=6 m,PO 1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=12.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.20.(本小题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义S T=a t1+a t2+…+a tk.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:S T<a k+1;(3)设C⊆U,D⊆U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.数学Ⅱ(附加题,共40分)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D 为垂足,E 是BC 的中点. 求证:∠EDC=∠ABD.B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=[1 20-2],矩阵B 的逆矩阵B -1=[1 -120 2],求矩阵AB.C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+12t,y =√32t (t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cosθ,y =2sinθ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长.D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分) 设a>0,|x-1|<a 3,|y-2|<a 3,求证:|2x+y-4|<a.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y 2=2px(p>0). (1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程;(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p); ②求p 的取值范围.23.(本小题满分10分)(1)求7C 63-4C 74的值;(2)设m,n∈N *,n≥m,求证:(m+1)C m m +(m+2)C m+1m +(m+3)C m+2m +…+n C n -1m +(n+1)C n m=(m+1)C n+2m+2.2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、填空题1.答案 {-1,2}解析 ∵A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3}, ∴A∩B={-1,2}. 2.答案 5解析 (1+2i)(3-i)=3+5i-2i 2=5+5i,所以z 的实部为5.3.答案 2√10解析 由x 27-y 23=1,得a 2=7,b 2=3,所以c 2=10,c=√10,所以2c=2√10. 4.答案 0.1 解析 x =4.7+4.8+5.1+5.4+5.55=5.1,则该组数据的方差 s 2=(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)25=0.1.5.答案 [-3,1]解析 若函数有意义,则3-2x-x 2≥0,即x 2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1. 6.答案 9解析 代值计算,第一次运行后,a=5,b=7,第二次运行后,a=9,b=5,a>b,从而输出的a 值为9. 7.答案 56解析 先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), ……(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对共有30个,故所求概率P=3036=56.8.答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d,则由题设可得{a 1+(a 1+d)2=-3,5a 1+5×42d =10,解得{d =3,a 1=-4, 从而a 9=a 1+8d=20.解后反思 数列的计算求值问题一般应以“基本元素”为主.9.答案 7解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x 与y=cos x 在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.象是解题的关键. 10.答案√63解析 由已知条件易得B (-√32a,b 2),C (√32a,b2),F(c,0),∴BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +√32a,-b 2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -√32a,-b 2), 由∠BFC=90°,可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以(c -√32a)(c +√32a)+(-b 2)2=0,c 2-34a 2+14b 2=0, 即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0,亦即3c 2=2a 2, 所以c 2a 2=23,则e=c a =√63.系.11.答案 -25解析 ∵f(x)是周期为2的函数,∴f (-52)=f (-2-12)=f (-12),f (92)=f (4+12)=f (12),又∵f (-52)=f (92),所以f (-12)=f (12),即-12+a=110,解得a=35,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+35=-25.12.答案 [45,13]解析 画出不等式组{x -2y +4≥0,2x +y -2≥0,3x -y -3≤0表示的可行域如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x 2+y 2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x 2+y 2)max =22+32=13,(x 2+y 2)min =d 2=(√)2=45,其中d 表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x 2+y 2的取值范围为[45,13]. “距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键. 13.答案 78解析 由已知可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , CF⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4, 则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=59×4-29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=-1, 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=292, 从而BE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-536AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-536AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2636AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-536(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)+2636AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-536×292+2636×4=6372=78.解析 ∵sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, ∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C) =-tanB+tanC 1-tanBtanC =tanB+tanC 1-tanBtanC,又△ABC 为锐角三角形,∴tan A=tanB+tanCtanBtanC -1>0,tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1, ∴tan Atan Btan C=tanB+tanC tanBtanC -1·tan B·tan C=2(tanBtanC)2tanBtanC -1,令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan Btan C=2(t+1)2t=2(t +1t +2)≥2×(2+2)=8,当且仅当t=1t ,即tan Btan C=2时,取“=”. ∴tan Atan Btan C 的最小值为8.15.解析(1)因为cos B=45,0<B<π,所以sin B=√1-cos2B=√1-(45)2=35.由正弦定理知ACsinB =ABsinC,所以AB=AC·sinCsinB=6×√2235=5√2.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos(B+π4)=-cos Bcos π4+sin B·sinπ4,又cos B=45,sin B=35,故cos A=-45×√22+35×√22=-√210.因为0<A<π,所以sin A=√1-cos2A=7√210.因此,cos(A-π6)=cos Acosπ6+sin Asinπ6=-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.16.证明(1)在直三棱柱ABC-A 1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.17.解析(1)由PO 1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13·A1B12·PO1=13×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V 柱=AB 2·O 1O=62×8=288(m 3).所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).(2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m),则0<h<6,O 1O=4h.连结O 1B 1.因为在Rt△PO 1B 1中,O 1B 12+P O 12=P B 12,所以(√2a2)2+h 2=36,即a 2=2(36-h 2). 于是仓库的容积V=V 柱+V 锥=a 2·4h+13a 2·h=133a 2h=263(36h-h 3),0<h<6,从而V'=263(36-3h 2)=26(12-h 2).令V'=0,得h=2√3或h=-2√3(舍). 当0<h<2√3时,V'>0,V 是单调增函数; 当2√3<h<6时,V'<0,V 是单调减函数. 故h=2√3时,V 取得极大值,也是最大值. 因此,当PO 1=2√3 m 时,仓库的容积最大.量的函数.转化成求函数最值的问题.再考虑用导数求解.18.解析 圆M 的标准方程为(x-6)+(y-7)=25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因为直线l∥OA,所以直线l 的斜率为4-02-0=2. 设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 d=√=√.因为BC=OA=√22+42=2√5, 而MC 2=d 2+(BC 2)2,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).因为A(2,4),T(t,0),TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{x 2=x 1+2-t,y 2=y 1+4.①因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤√[(t 2+(3-7)2 解得2-2√21≤t≤2+2√21.因此,实数t 的取值范围是[2-2√21,2+2√21]. 19.解析 (1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x+1=0,所以(2x -1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=(f(x))2-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R 恒成立,且f(x)>0, 所以m≤(f(x))2+4f(x)对于x∈R 恒成立.而(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2√f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4,所以m≤4,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b xln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0, 所以g'(x)=0有唯一解x 0=lo g b a(-lna lnb).令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b xln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x∈(-∞,x 0)时,g'(x)<g'(x 0)=0;当x∈(x 0,+∞)时,g'(x)>g'(x 0)=0. 因而函数g(x)在(-∞,x 0)上是单调减函数,在(x 0,+∞)上是单调增函数. 下证x 0=0.若x 0<0,则x 0<x02<0,于是g (x02)<g(0)=0.又g(log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g(x)在以x02和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0.又x02<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在x02和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.20.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又S T=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)因为T⊆{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.因此,S T<a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩∁U D,F=D∩∁U C,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.于是S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D,进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,S E<a k+1.于是3l-1=a l≤S F≤S E<a k+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而S F≤a1+a2+…+a l=1+3+…+3l-1=3l-12≤3k-1-12=a k-12≤S E-12,故S E≥2S F+1,所以S C-S C∩D≥2(S D-S C∩D)+1,即S C+S C∩D≥2S D+1.综合①②③得,S C+S C∩D≥2S D.因为∠ABC=90°,BD⊥AC,∠A为公共角,所以△ADB∽△ABC,于是∠ABD=∠C.在Rt△BDC中,因为E是BC的中点,所以ED=EC,从而∠EDC=∠C.所以∠EDC=∠ABD.B.解析设B=[ac bd ],则B -1B=[1 -120 2][a cbd]=[1001],即[a -12c 2cb -12d 2d]=[1001],故{ a -12c =1,b -12d =0,2c =0,2d =1,解得{ a =1,b =14,c =0,d =12,所以B=[1 14012]. 因此,AB=[10 2-2][1 14012]=[1 540 -1]. C.解析 椭圆C 的普通方程为x 2+y24=1. 将直线l 的参数方程{x =1+12t,y =√32t代入x 2+y24=1,得 (1+12t)2+(√32t )24=1,即7t 2+16t=0,解得t 1=0,t 2=-167.所以AB=|t 1-t 2|=167.D.证明 因为|x-1|<a3,|y-2|<a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x -1|+|y-2|<2×a 3+a3=a. 22.解析 (1)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为(p2,0),由点(p 2,0)在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),线段PQ 的中点M(x 0,y 0).因为点P 和Q 关于直线l 对称,所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b. ①由{y 2=2px,y =-x +b 消去x 得y 2+2py-2pb=0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点,所以y 1≠y 2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0. 方程(*)的两根为y 1,2=-p±√p 2+2pb ,从而y 0=y 1+y 22=-p.因为M(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=2-p. 因此,线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p). ②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b 上, 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<43.因此,p 的取值范围是(0,43).23.解析 (1)7C 63-4C 74=7×6×5×43×2×1-4×7×6×5×44×3×2×1=0.(2)当n=m 时,结论显然成立.当n>m 时,(k+1)C k m =(k+1)·k!m!·(k -m)!=(m+1)·(k+1)!(m+1)!·[(k+1)-(m+1)]!=(m+1)C k+1m+1,k=m+1,m+2,…,n.又因为C k+1m+1+C k+1m+2=C k+2m+2,所以(k+1)C k m =(m+1)(C k+2m+2-C k+1m+2),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)C m m +(m+2)C m+1m +(m+3)C m+2m +…+(n+1)C n m=(m+1)C m m +[(m+2)C m+1m +(m+3)C m+2m +…+(n+1)C n m]=(m+1)C m+2m+2+(m+1)[(C m+3m+2-C m+2m+2)+(C m+4m+2-C m+3m+2)+…+(C n+2m+2-C n+1m+2)]=(m+1)C n+2m+2.（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。
2016年江苏省高考文科数学试题与答案
数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：V圆锥13Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.集合A{1,2,3,6},B{x|2x3},那么AB=________▲________.2.复数z(12i)(3i),其中i为虚数单位，那么z的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22xy731的焦距是________▲________.4.一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，那么该组数据的方差是________▲________.5.函数y=3-2x-x2的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，那么输出的a的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子〔一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具〕先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.{a n}是等差数列，S n是其前n项和.假设a1+a22=-3， S5=10，那么a9的值是▲.9.定义在区间[0,3π上]的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22xy221(a＞b＞0)的右焦点，直线abby与椭圆交于B，2C两点，且BFC90,那么该椭圆的离心率是▲.(第10题)xa,1x0,11.设f〔x〕是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1)上，f(x)25 x,0x1, 其中a R.假设59f()f()，那么f〔5a〕的值是▲.22x2y4012.实数x，y满足2xy20 ，那么x 2+y2的取值X围是▲.2+y2的取值X围是▲.3xy3013.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BCCA4，BFCF1，那么BECE的值是▲.14.在锐角三角形ABC中，假设sinA=2sinBsinC，那么tanAtanBtanC的最小值是▲.二、解答题〔本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕15.〔本小题总分值14分〕在△ABC中，AC=6，4πcosB=，C=.54〔1〕求AB的长；〔2〕求πcos(A-)的值.616.(本小题总分值14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B 上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：〔1〕直线DE∥平面A1C1F；〔2〕平面B1DE⊥平面A1C1F.17.〔本小题总分值14分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下局部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如下图)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍.(1)假设AB6m,PO12m,那么仓库的容积是多少？(2)假设正四棱锥的侧棱长为6m,那么当PO1为多少时，仓库的容积最大？18.〔本小题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为圆心的圆M: 221214600xyxy及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T〔t,0〕满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TATPTQ,,XX数t的取值X围。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(卷)数学本卷满分200分,考试时间150分钟.参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=1n∑i=1n(x i-x)2,其中x=1n∑i=1nx i.棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.棱锥的体积V=13Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.数学Ⅰ(共160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B= .2.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x 27-y23=1的焦距是.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.5.函数y=2的定义域是.6.下图是一个算法的流程图,则输出的a的值是.7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{a n}是等差数列,S n是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.11.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x +a,-1≤x <0,|25-x|,0≤x <1,其中a ∈R .若f (-52)=f (92),则f(5a)的值是 .12.已知实数x,y 满足{x -2y +4≥0,2x +y -2≥0,3x -y -3≤0,则x 2+y 2的取值围是 .13.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .14.在锐角三角形ABC 中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C 的最小值是 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别为AB,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D ⊥A 1F,A 1C 1⊥A 1B 1.求证:(1)直线DE ∥平面A 1C 1F; (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.17.(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB=6 m,PO 1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,数t 的取值围.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=12.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.20.(本小题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义S T=a t1+a t2+…+a tk.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:S T<a k+1;(3)设C⊆U,D⊆U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.数学Ⅱ(附加题,共40分)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC,D 为垂足,E 是BC 的中点. 求证:∠EDC=∠ABD.B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A =[1 20-2],矩阵B 的逆矩阵B -1=[1 -120 2],求矩阵AB .C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =1+1t,y =√32t(t 为参数),椭圆C 的参数方程为{x =cosθ,y =2sinθ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB 的长.D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分) 设a>0,|x-1|<a 3,|y-2|<a 3,求证:|2x+y-4|<a.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y 2=2px(p>0). (1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程;(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p); ②求p 的取值围.23.(本小题满分10分)(1)求7C 63-4C 74的值; (2)设m,n ∈N *,n ≥m,求证:(m+1)C m m +(m+2)C m+1m +(m+3)C m+2m +…+n C n -1m +(n+1)C n m =(m+1)C n+2m+2.2016年普通高等学校招生全国统一考试(卷)一、填空题 1.答案 {-1,2}解析 ∵A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3}, ∴A ∩B={-1,2}. 2.答案 5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.3.答案2√10解析由x27-y23=1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c=√10,所以2c=2√10.4.答案0.1解析x=4.7+4.8+5.1+5.4+5.55=5.1,则该组数据的方差s2=(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)25=0.1.5.答案[-3,1]解析若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.6.答案9解析代值计算,第一次运行后,a=5,b=7,第二次运行后,a=9,b=5,a>b,从而输出的a值为9.7.答案56解析先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),……(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对共有30个,故所求概率P=3036=5 6 .8.答案20解析设等差数列{a n}的公差为d,则由题设可得{a1+(a1+d)2=-3,5a1+5×42d=10,解得{d=3,a1=-4,从而a9=a1+8d=20.9.答案 7解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x 与y=cos x 在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.10.答案√63解析 由已知条件易得B (-√32a,b 2),C (√32a,b2), F(c,0),∴BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +√32a,-b 2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -√32a,-b 2), 由∠BFC=90°,可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以(c -√32a)(c +√32a)+(-b 2)2=0,c 2-34a 2+14b 2=0,即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0,亦即3c 2=2a 2, 所以c 2a2=23,则e=c a=√63.11.答案 -25解析 ∵f(x)是周期为2的函数,∴f (-52)=f (-2-12)=f (-12),f (92)=f (4+12)=f (12),又∵f (-52)=f (92),所以f (-12)=f (12),即-12+a=110,解得a=35,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+35=-25.12.答案 [45,13]解析 画出不等式组{x -2y +4≥0,2x +y -2≥0,3x -y -3≤0表示的可行域如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x 2+y 2表示可行域的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x 2+y 2)max =22+32=13,(x 2+y 2)min =d 2=(√)2=45,其中d 表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x 2+y 2的取值围为[45,13].13.答案 78解析 由已知可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-16(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4, 则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13AB⃗⃗⃗⃗⃗ -23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -29(AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=59×4-29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=-1, 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=292,从而BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-536AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-536AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2636AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-536(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)+2636AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-536×292+2636×4=6372=78.14.答案 8解析 ∵sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C,∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C) =-tanB+tanC 1-tanBtanC =tanB+tanC1-tanBtanC , 又△ABC 为锐角三角形, ∴tan A=tanB+tanC tanBtanC -1>0,tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1,∴tan Atan Btan C=tanB+tanCtanBtanC -1·tan B ·tan C=2(tanBtanC)2tanBtanC -1,令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan Btan C=2(t+1)2t=2(t +1t +2)≥2×(2+2)=8,当且仅当t=1t ,即tan Btan C=2时,取“=”.∴tan Atan Btan C 的最小值为8.二、解答题15.解析(1)因为cos B=45,0<B<π,所以sin B=√1-cos2B=√1-(45)2=35.由正弦定理知ACsinB =ABsinC,所以AB=AC·sinCsinB=6×√2235=5√2.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos(B+π4)=-cos Bcosπ4+sin B·sinπ4,又cos B=45,sin B=35,故cos A=-45×√22+35×√22=-√210.因为0<A<π,所以sin A=2A=7√210.因此,cos(A-π6)=cos Acosπ6+sin Asinπ6=-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.16.证明(1)在直三棱柱ABC-A 1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.17.解析(1)由PO 1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13·A1B12·PO1=13×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h.连结O1B1.因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 12+P O 12=P B 12,所以(√2a2)2+h 2=36,即a 2=2(36-h 2). 于是仓库的容积V=V 柱+V 锥=a 2·4h+13a 2·h=133a 2h=263(36h-h 3),0<h<6,从而V'=263(36-3h 2)=26(12-h 2). 令V'=0,得h=2√3或h=-2√3(舍). 当0<h<2√3时,V'>0,V 是单调增函数; 当2√3<h<6时,V'<0,V 是单调减函数. 故h=2√3时,V 取得极大值,也是最大值. 因此,当PO 1=2√3 m 时,仓库的容积最大.18.解析 圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4-02-0=2.设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 d=√=√.因为BC=OA=√22+42=2√5, 而MC 2=d 2+(BC 2)2, 所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).因为A(2,4),T(t,0),TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{x 2=x 1+2-t,y 2=y 1+4.①因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤√[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-2√21≤t ≤2+2√21.因此,实数t 的取值围是[2-2√21,2+2√21]. 19.解析 (1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x +2-x.①方程f(x)=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x+1=0,所以(2x -1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=(f(x))2-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x ∈R 恒成立,且f(x)>0, 所以m ≤(f(x))2+4f(x)对于x ∈R 恒成立.而(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2√f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4,所以m ≤4,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b xln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0, 所以g'(x)=0有唯一解x 0=lo g b a(-lna lnb).令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a xln a+b xln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x ∈R ,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g'(x)<g'(x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x)>g'(x 0)=0. 因而函数g(x)在(-∞,x 0)上是单调减函数,在(x 0,+∞)上是单调增函数. 下证x 0=0.若x 0<0,则x 0<x02<0,于是g (x02)<g(0)=0.又g(log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g(x)在以x02和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0.又x02<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在x02和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-lnalnb=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.20.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又S T=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)因为T⊆{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.因此,S T<a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩∁U D,F=D∩∁U C,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.于是S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D,进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,S E<a k+1.于是3l-1=a l≤S F≤S E<a k+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而S F≤a1+a2+…+a l=1+3+…+3l-1=3l-12≤3k-1-12=a k-12≤S E-12,故S E≥2S F+1,所以S C-S C∩D≥2(S D-S C∩D)+1,即S C+S C∩D≥2S D+1.综合①②③得,S C+S C∩D≥2S D.21.A.证明在△ADB和△ABC中,因为∠ABC=90°,BD⊥AC,∠A为公共角,所以△ADB∽△ABC,于是∠ABD=∠C.在Rt △BDC 中,因为E 是BC 的中点, 所以ED=EC,从而∠EDC=∠C. 所以∠EDC=∠ABD.B.解析 设B=[a c bd],则B -1B =[1 -120 2][a cbd]=[10 01],即[a -12c 2cb -12d 2d]=[1001],故{ a -12c =1,b -12d =0,2c =0,2d =1,解得{ a =1,b =14,c =0,d =12,所以B =[1 14012]. 因此,AB =[10 2-2][1 14012]=[1 540 -1]. C.解析 椭圆C 的普通方程为x 2+y24=1. 将直线l 的参数方程{x =1+12t,y =√32t 代入x 2+y24=1,得 (1+12t)2+(√32t )24=1,即7t 2+16t=0,解得t 1=0,t 2=-167.所以AB=|t 1-t 2|=167.D.证明 因为|x-1|<a3,|y-2|<a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×a 3+a3=a.22.解析 (1)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为(p2,0), 由点(p 2,0)在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),线段PQ 的中点M(x 0,y 0).因为点P 和Q 关于直线l 对称,所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b. ①由{y 2=2px,y =-x +b 消去x 得y 2+2py-2pb=0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点,所以y 1≠y 2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0. 方程(*)的两根为y 1,2=-p±√p 2+2pb ,从而y 0=y 1+y 22=-p.因为M(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=2-p. 因此,线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p). ②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b 上, 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<43.因此,p 的取值围是(0,43).23.解析 (1)7C 63-4C 74=7×6×5×43×2×1-4×7×6×5×44×3×2×1=0.(2)当n=m 时,结论显然成立.当n>m 时,(k+1)C k m =(k+1)·k!m!·(k -m)!=(m+1)·(k+1)!(m+1)!·[(k+1)-(m+1)]!=(m+1)C k+1m+1,k=m+1,m+2,…,n.又因为C k+1m+1+C k+1m+2=C k+2m+2,所以(k+1)C k m =(m+1)(C k+2m+2-C k+1m+2),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)C m m +(m+2)C m+1m +(m+3)C m+2m +…+(n+1)C n m=(m+1)C m m +[(m+2)C m+1m +(m+3)C m+2m +…+(n+1)C n m]=(m+1)C m+2m+2+(m+1)[(C m+3m+2-C m+2m+2)+(C m+4m+2-C m+3m+2)+…+(C n+2m+2-C n+1m+2)]=(m+1)C n+2m+2.。