第10章静电场
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3
对电磁学部分学习的几点说明 1、学好静电场可为学好恒定磁场打下坚实的基础。 2、掌握矢量和微积分知识对学习电磁学有帮助。 3、记住典型模型（分析方法、结论）可大大提高学 习效率.
4
第10章 真空中的静电场
10.1 电荷 库仑定律 10.2 电场 电场强度 10.3 电场强度和电场力的计算 10.4 电场强度通量 真空中静电场的高斯定理 10.5 静电场的环路定理 电势 10.6 等势面 电场强度和电势关系
y
它在o点处产生的场强方向如图,大小为
dE
dq
4 0R2
d 4 0R
由对称性，x方向场强为零。
R
0
x
y
dE y dE sin
E Ey 0 dE sin
sind
4 0 R 0
2 0R
dq
dE x
0
x
dE
dE y
30
dE
x
d E//
dE
E E//
E
4
dq
π
0
r
2
cos
2π 0
R
4
π
1
0r
2
qdl 2πR
x r
qx
4π0(x2 R2)32
qxi
讨论： 1. 环心处 E 0
4 π0(x2 R2)3 2
2. x R
E q
4 π 0x2
点电荷场强
(2)数学表达式
F
1
4π 0
q1q2 r2
er
(3)说明
0 真空电容率(真空介电常数)
0 er
8.851012 (N1m2C2)
是q1指向q2的单位矢量
*适用条件 #真空 #静止 #点电荷
11
2、静电力迭加原理
1)静电力迭加原理：点电荷系
中某一点电荷所受的库仑力等
于该点电荷与其它点电荷间的
统一变量:dq位置变,x、r、都变。
dx sin 4 π0r2
1 x actg dx a csc2 d r2 a2 x2 a2 csc2
Ex
4π 0 a
2
1
cos
d
4π 0 a
sin
2
sin
1
Ey
4π 0 a
i
qL
4 0 (r 2
L2
)
3 2
4
20
讨论:电偶极子中垂线上的场强（P36 10-17）
电偶极子
-q p q
*电偶极子:靠得很近的等量异号点电荷对
l
*电偶极矩：描述电偶极子性质的物理量
p
ql
方向:负电荷指向正电荷。
*电偶极子是电学中的一个重要物理模型.
21
上述例题中 r L
2 sin
1
d
4π 0 a
cos1
cos2
EP Ex2 Ey2
与 x夹角 arctan Ey
Ex
28
29
例.一均匀带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线 密度为 ，如图所示，试求环心 o 处的电场强度。
解：在 处取电荷元 dq dl Rd
31
例:有一半径为R，电荷均匀分布的圆平面，电荷面密度为 .
求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点P处的电场强度.
解 利用上例结论，带电圆平面看
成一个个的带电圆环组成.
R
E
4 0
qx R2 x2
3 2
dq 2 π rdr
o x Px
dE
4
xdq πε0 (x2 r 2 )3
8
二.库仑定律 静电力叠加原理 1.库仑定律
1785年，法国物理学家库仑通过扭秤实验总结出了两 个点电荷之间的相互作用规律。
9
10
2)库仑定律
(1)表述: 在真空中两个静止点电荷之间的作用力大 小与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平 方成反比 ；作用力方向在两个点电荷的连线上，同 号相斥，异号相吸。
2
xrdr
3
20 (x2 r 2 )2
R
E 0
xrdr
2ε0 (x2 r 2 )3 2
(1 x )
2ε0
x2 R2
r
dr
(x2 r 2 )1/2
x
32
E (1 x )
2ε0
x2 R2
(x2 r2 )1/2
讨论:
r xPx
dr
1) x R
欢迎同学们重返 美丽的校园，快乐的课堂
1
大学物理B2
赵水标
677586.
2
几点说明。 1本学期学习内容:电磁学、波动光学。 2学期成绩评定：平时（30%）+期末考试（70%） 平时:作业+讨论+出勤率+提问+抽查…… 作业要求：认真+整洁+按时（一般一星期交一次） 期末考试形式:闭卷. 3、每人准备三个本子（二本作业本，一本上课用）
E q 4 π ε0x2
2) x R
x
R2 1
(R2 x2 ) 12 (1 x2 ) 2
1 1 ( R )2 2x
带电平面视为点电荷.
E
2ε0
理想模型:无限大均匀带电平 面的场强公式
方向:垂直带电平面：>0背离平面；<0指向平面.
33
例、设两个无限大平行带电平面，电荷面密度分别为 σ 1=+3σ 和σ 2= -σ ，求A、B、C空间场强分布
电场具有空间叠加性而实物不具有该性质。
15
二、电场强度：描述电场的物理量
1、检验电荷：
(1) 体积足够小. （2）电量足够小。
Q
2、电场强度
试验表明：确定场点
F
/
q比值是
一恒量,只与该点有关，与检验电
荷无关。
q F
（1）定义：
静止的单位正检验电荷在电场中某点所受电场力。
（2）定义式：
E
F
（1）写出任一电荷元产生的场强大小dE，并在图上标 注方向。
（2）判断其它电荷元在该点产生的场强方向，若方向 相同，直接对（1）中得到的dE积分。
（3）若各电荷元在该点产生方向不同，先将（1）中
得到的dE分解（即先写出它的分量形式），再对分量
积分。
直角坐标系中:
dE dq
4 0r 2
dEx , dEy , dEz
qo
qo
qo
Ei
表述:电场中某点的场强等于各
点电荷单独存在时在该点场强的
矢量和。
q2 q3
q4
q1 q0
qn E
17
§10.3 电场强度和电场力的计算
一、点电荷电场中的电场强度
er
方法:场强定义式
+q
F
qq0
4 0r 2
er
E
q
4 o r 2
er
*说明
q0
r
p
q是场源电荷.
er是场源电荷指向场点的 单位矢量
点电荷电场分布具有球对称性.
18
二、点电荷系(电荷离散分布）电场中的电场强度
方法:点电荷场强公式和场强叠 加原理.
q
Ei 4 o r 2 er i
q2 q1 P
E Ei
注意点:运用矢量合成法则。
q3 q4
qn E
19
例、两点电荷+q和-q相距L,求两电荷中垂线上距中心
§10.2 电场 电场强度 一、电场
1.概念的引入 电荷之间的相互作用如何传递？
法拉第在1830年提出:电荷之间的相互作用通过一种 特殊的物质(电场)来传递
电荷
电场
电荷
2、电场： 电荷在其周围产生的一种特殊物质。 场源电荷：产生电场的电荷。
3、静电场:静止的电荷产生的电场。
14
4、电场的特点 1）对位于其中的带电体有力的作用——力学性质. 2）带电体在电场中运动, 电场力要作功——能量性质. 5、对电场是一种特殊物质的说明： （1）电场物质性的表现. 电场具有动量、能量、质量等物质的基本属性 （2）电场是特殊物质性的表现。
27
例. 求长为l、电荷线密度为的均匀带电细棒外，离棒距离是a的
Px点场强（1，2已知）. 解: 建立坐标系O-xy,
任取电荷元
dq dx
2
dE dq
d Ex d E
4 π0r2
dEx dE cos
dx cos 4 π0r2
O
dq
a r
y
P d Ey
矢量分解: dEy dE sin
dE
1
4 0
dq r 2 er
E
dE
Q
Q
dq
4 0r 2
er
dq Q r P
dE
积分区域为场源电荷所在区域
2、说明 1）积分性质取决于带电体的形状
E
Q
dq
4 0r 2
er
线状带电体（电荷分布在一条线上）：线积分。
线分布 dl
5）同号相斥、异号相吸。 6
2.带电本质 1）卢瑟福的物质电结构理论
原子由原子核和核外电子构成, 原子 核带正电,电子带负电且绕着原子核 运动.正常情况下原子呈电中性。
2）带电本质: 物体带电是由于得失电子所致, 中性 物体失去电子带正电, 得到电子带负电.
3 电荷的基本性质 1）电荷量子化：任一带电体的电量总是元电荷的整 数倍。
E
Exi
qL
4 0 (r 2
L2 4
3
)2源自文库
i
4
p 0r3 (1
L2 4r 2
3
)2
r L L2 4r2 0
E
4
p 0r3
Ex E+
y
p
X
Er
-q L/2 L/2 q
22
三、带电体(电荷连续分布)电场中的电场强度 1方法:点电荷场强公式和场强叠加原理. 先分割再叠加.(数学语言：先微后积) 将带电体分割成许多电荷元（点电荷），写出任一电 荷元产生的场强，再把所有电荷元产生的场强叠加。
为距离为r处的P点的场强。 解:建立如图坐标系
E+ y
E
4
q 0 (r 2
L2 4
)
方向如图
p E-
r
X
E
q
4 0 (r 2
L2 4
)
方向如图
-q L/2 L/2
q
合场强沿X轴负向 Ex 2E cos
或
E
Exi
qL
4 0 (r 2
L2
)
3 2
4
库仑力 的矢 量和。
F0 F01 F02 F0n
n i 1
F0i
n i 1
1
4π 0
q0qi r02i
rˆ0i
2)注意：静电力叠加必须应用矢量合成法则。
12
思考：长为L均匀带电直线,总电量Q，P点放一点电 荷q,求这两个电荷间的相互作用力。
L
a
Pq
13
Ex dEx , Ey dEy , Ez dEz E
25
例.长为L均匀带电直线,总电量为Q,求：如图所示P点
的电场强度
解:建立如图坐标
L
a
在坐标x处任取电荷元dq
P
dq dx Q dx
L
dq在p点的场强方向 o
dq
dq L
a
dE
x
dE 4 0r 2 Qdx
例.求半径为R,带电量为q的均匀带电细圆环轴线上的电场.
解: 在圆环上取电荷元dq
dq
各dq电荷d元l 在 P2点πqRddEl方向dE不同4,π分dq0布r 2于一
R O
r
r
P
个圆锥面上.
d E dq
dE dE dE// 由对称性可知 E dE 0
5
§10.1 电 荷 库仑定律
一.电荷 电荷守恒定律
1.一些基本概念 1）带电现象：玻璃棒被丝绸摩擦或橡胶 棒被毛皮摩擦后, 对轻微物体具有吸引的 现象. 2）带电体:带有电荷的物体。
3）电量和它的单位:物体所带电荷的多少叫电量. 单位:库仑(C)
4）正电荷和负电荷
丝绸摩擦的玻璃棒所带电荷—正电荷; 毛皮摩擦的橡胶棒所带电荷—负电荷.
q ne n 0,1,2,3 e 1.61019 C
注意：宏观电磁学中忽略电荷的量子化.
7
2）电荷守恒定律 *表述: 在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负 电荷的代数和保持不变。
Qi c
*说明：电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程， 是物理学中普遍的基本定律之一。 3）电荷运动不变性 带电体的带电量与它的运动状态无关。
x
p
dx
4 0LL a x2 各电荷元在p点产生的场强方向相同。
E
L
0
Qdx
40LL a
x2
Q
4 oa(L
a)
方向沿X轴正向
26
讨论
E
Q
L
a
4 oa(L a)
P
1）P点远离带电棒,即a》L.
2)若坐标原点选在其它位置. 3)若P点放置电量为q的点电荷,求q受到电场力是多少？
q
单位: N·C-1
16
(3)说明： *电场强度是矢量。方向为正电荷在该处所受电场力的 方向。
*电场强度由场源电荷性质决定，与检验电荷无关。
*均匀电场：各点场强（大小和方向）都相同的电场。
三、 场强叠加原理：
EFFF1F1F2
..
.
Fn
F2 ... Fn
qo
dq dl -电荷线密度
面状带电体（电荷分布在一个面上）：面积分。
面分布
ds dq ds -电荷面密度
体状带电体（电荷分布在一个立体上）：体积分。
体分布
dV dq dv -电荷体密度
24
2)注意点
矢量积分一定要先转化为标量积分
E
Q
dq
4 0r 2
er
对电磁学部分学习的几点说明 1、学好静电场可为学好恒定磁场打下坚实的基础。 2、掌握矢量和微积分知识对学习电磁学有帮助。 3、记住典型模型（分析方法、结论）可大大提高学 习效率.
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第10章 真空中的静电场
10.1 电荷 库仑定律 10.2 电场 电场强度 10.3 电场强度和电场力的计算 10.4 电场强度通量 真空中静电场的高斯定理 10.5 静电场的环路定理 电势 10.6 等势面 电场强度和电势关系
y
它在o点处产生的场强方向如图,大小为
dE
dq
4 0R2
d 4 0R
由对称性，x方向场强为零。
R
0
x
y
dE y dE sin
E Ey 0 dE sin
sind
4 0 R 0
2 0R
dq
dE x
0
x
dE
dE y
30
dE
x
d E//
dE
E E//
E
4
dq
π
0
r
2
cos
2π 0
R
4
π
1
0r
2
qdl 2πR
x r
qx
4π0(x2 R2)32
qxi
讨论： 1. 环心处 E 0
4 π0(x2 R2)3 2
2. x R
E q
4 π 0x2
点电荷场强
(2)数学表达式
F
1
4π 0
q1q2 r2
er
(3)说明
0 真空电容率(真空介电常数)
0 er
8.851012 (N1m2C2)
是q1指向q2的单位矢量
*适用条件 #真空 #静止 #点电荷
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2、静电力迭加原理
1)静电力迭加原理：点电荷系
中某一点电荷所受的库仑力等
于该点电荷与其它点电荷间的
统一变量:dq位置变,x、r、都变。
dx sin 4 π0r2
1 x actg dx a csc2 d r2 a2 x2 a2 csc2
Ex
4π 0 a
2
1
cos
d
4π 0 a
sin
2
sin
1
Ey
4π 0 a
i
qL
4 0 (r 2
L2
)
3 2
4
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讨论:电偶极子中垂线上的场强（P36 10-17）
电偶极子
-q p q
*电偶极子:靠得很近的等量异号点电荷对
l
*电偶极矩：描述电偶极子性质的物理量
p
ql
方向:负电荷指向正电荷。
*电偶极子是电学中的一个重要物理模型.
21
上述例题中 r L
2 sin
1
d
4π 0 a
cos1
cos2
EP Ex2 Ey2
与 x夹角 arctan Ey
Ex
28
29
例.一均匀带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线 密度为 ，如图所示，试求环心 o 处的电场强度。
解：在 处取电荷元 dq dl Rd
31
例:有一半径为R，电荷均匀分布的圆平面，电荷面密度为 .
求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点P处的电场强度.
解 利用上例结论，带电圆平面看
成一个个的带电圆环组成.
R
E
4 0
qx R2 x2
3 2
dq 2 π rdr
o x Px
dE
4
xdq πε0 (x2 r 2 )3
8
二.库仑定律 静电力叠加原理 1.库仑定律
1785年，法国物理学家库仑通过扭秤实验总结出了两 个点电荷之间的相互作用规律。
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2)库仑定律
(1)表述: 在真空中两个静止点电荷之间的作用力大 小与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平 方成反比 ；作用力方向在两个点电荷的连线上，同 号相斥，异号相吸。
2
xrdr
3
20 (x2 r 2 )2
R
E 0
xrdr
2ε0 (x2 r 2 )3 2
(1 x )
2ε0
x2 R2
r
dr
(x2 r 2 )1/2
x
32
E (1 x )
2ε0
x2 R2
(x2 r2 )1/2
讨论:
r xPx
dr
1) x R
欢迎同学们重返 美丽的校园，快乐的课堂
1
大学物理B2
赵水标
677586.
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几点说明。 1本学期学习内容:电磁学、波动光学。 2学期成绩评定：平时（30%）+期末考试（70%） 平时:作业+讨论+出勤率+提问+抽查…… 作业要求：认真+整洁+按时（一般一星期交一次） 期末考试形式:闭卷. 3、每人准备三个本子（二本作业本，一本上课用）
E q 4 π ε0x2
2) x R
x
R2 1
(R2 x2 ) 12 (1 x2 ) 2
1 1 ( R )2 2x
带电平面视为点电荷.
E
2ε0
理想模型:无限大均匀带电平 面的场强公式
方向:垂直带电平面：>0背离平面；<0指向平面.
33
例、设两个无限大平行带电平面，电荷面密度分别为 σ 1=+3σ 和σ 2= -σ ，求A、B、C空间场强分布
电场具有空间叠加性而实物不具有该性质。
15
二、电场强度：描述电场的物理量
1、检验电荷：
(1) 体积足够小. （2）电量足够小。
Q
2、电场强度
试验表明：确定场点
F
/
q比值是
一恒量,只与该点有关，与检验电
荷无关。
q F
（1）定义：
静止的单位正检验电荷在电场中某点所受电场力。
（2）定义式：
E
F
（1）写出任一电荷元产生的场强大小dE，并在图上标 注方向。
（2）判断其它电荷元在该点产生的场强方向，若方向 相同，直接对（1）中得到的dE积分。
（3）若各电荷元在该点产生方向不同，先将（1）中
得到的dE分解（即先写出它的分量形式），再对分量
积分。
直角坐标系中:
dE dq
4 0r 2
dEx , dEy , dEz
qo
qo
qo
Ei
表述:电场中某点的场强等于各
点电荷单独存在时在该点场强的
矢量和。
q2 q3
q4
q1 q0
qn E
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§10.3 电场强度和电场力的计算
一、点电荷电场中的电场强度
er
方法:场强定义式
+q
F
qq0
4 0r 2
er
E
q
4 o r 2
er
*说明
q0
r
p
q是场源电荷.
er是场源电荷指向场点的 单位矢量
点电荷电场分布具有球对称性.
18
二、点电荷系(电荷离散分布）电场中的电场强度
方法:点电荷场强公式和场强叠 加原理.
q
Ei 4 o r 2 er i
q2 q1 P
E Ei
注意点:运用矢量合成法则。
q3 q4
qn E
19
例、两点电荷+q和-q相距L,求两电荷中垂线上距中心
§10.2 电场 电场强度 一、电场
1.概念的引入 电荷之间的相互作用如何传递？
法拉第在1830年提出:电荷之间的相互作用通过一种 特殊的物质(电场)来传递
电荷
电场
电荷
2、电场： 电荷在其周围产生的一种特殊物质。 场源电荷：产生电场的电荷。
3、静电场:静止的电荷产生的电场。
14
4、电场的特点 1）对位于其中的带电体有力的作用——力学性质. 2）带电体在电场中运动, 电场力要作功——能量性质. 5、对电场是一种特殊物质的说明： （1）电场物质性的表现. 电场具有动量、能量、质量等物质的基本属性 （2）电场是特殊物质性的表现。
27
例. 求长为l、电荷线密度为的均匀带电细棒外，离棒距离是a的
Px点场强（1，2已知）. 解: 建立坐标系O-xy,
任取电荷元
dq dx
2
dE dq
d Ex d E
4 π0r2
dEx dE cos
dx cos 4 π0r2
O
dq
a r
y
P d Ey
矢量分解: dEy dE sin
dE
1
4 0
dq r 2 er
E
dE
Q
Q
dq
4 0r 2
er
dq Q r P
dE
积分区域为场源电荷所在区域
2、说明 1）积分性质取决于带电体的形状
E
Q
dq
4 0r 2
er
线状带电体（电荷分布在一条线上）：线积分。
线分布 dl
5）同号相斥、异号相吸。 6
2.带电本质 1）卢瑟福的物质电结构理论
原子由原子核和核外电子构成, 原子 核带正电,电子带负电且绕着原子核 运动.正常情况下原子呈电中性。
2）带电本质: 物体带电是由于得失电子所致, 中性 物体失去电子带正电, 得到电子带负电.
3 电荷的基本性质 1）电荷量子化：任一带电体的电量总是元电荷的整 数倍。
E
Exi
qL
4 0 (r 2
L2 4
3
)2源自文库
i
4
p 0r3 (1
L2 4r 2
3
)2
r L L2 4r2 0
E
4
p 0r3
Ex E+
y
p
X
Er
-q L/2 L/2 q
22
三、带电体(电荷连续分布)电场中的电场强度 1方法:点电荷场强公式和场强叠加原理. 先分割再叠加.(数学语言：先微后积) 将带电体分割成许多电荷元（点电荷），写出任一电 荷元产生的场强，再把所有电荷元产生的场强叠加。
为距离为r处的P点的场强。 解:建立如图坐标系
E+ y
E
4
q 0 (r 2
L2 4
)
方向如图
p E-
r
X
E
q
4 0 (r 2
L2 4
)
方向如图
-q L/2 L/2
q
合场强沿X轴负向 Ex 2E cos
或
E
Exi
qL
4 0 (r 2
L2
)
3 2
4
库仑力 的矢 量和。
F0 F01 F02 F0n
n i 1
F0i
n i 1
1
4π 0
q0qi r02i
rˆ0i
2)注意：静电力叠加必须应用矢量合成法则。
12
思考：长为L均匀带电直线,总电量Q，P点放一点电 荷q,求这两个电荷间的相互作用力。
L
a
Pq
13
Ex dEx , Ey dEy , Ez dEz E
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例.长为L均匀带电直线,总电量为Q,求：如图所示P点
的电场强度
解:建立如图坐标
L
a
在坐标x处任取电荷元dq
P
dq dx Q dx
L
dq在p点的场强方向 o
dq
dq L
a
dE
x
dE 4 0r 2 Qdx
例.求半径为R,带电量为q的均匀带电细圆环轴线上的电场.
解: 在圆环上取电荷元dq
dq
各dq电荷d元l 在 P2点πqRddEl方向dE不同4,π分dq0布r 2于一
R O
r
r
P
个圆锥面上.
d E dq
dE dE dE// 由对称性可知 E dE 0
5
§10.1 电 荷 库仑定律
一.电荷 电荷守恒定律
1.一些基本概念 1）带电现象：玻璃棒被丝绸摩擦或橡胶 棒被毛皮摩擦后, 对轻微物体具有吸引的 现象. 2）带电体:带有电荷的物体。
3）电量和它的单位:物体所带电荷的多少叫电量. 单位:库仑(C)
4）正电荷和负电荷
丝绸摩擦的玻璃棒所带电荷—正电荷; 毛皮摩擦的橡胶棒所带电荷—负电荷.
q ne n 0,1,2,3 e 1.61019 C
注意：宏观电磁学中忽略电荷的量子化.
7
2）电荷守恒定律 *表述: 在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负 电荷的代数和保持不变。
Qi c
*说明：电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程， 是物理学中普遍的基本定律之一。 3）电荷运动不变性 带电体的带电量与它的运动状态无关。
x
p
dx
4 0LL a x2 各电荷元在p点产生的场强方向相同。
E
L
0
Qdx
40LL a
x2
Q
4 oa(L
a)
方向沿X轴正向
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讨论
E
Q
L
a
4 oa(L a)
P
1）P点远离带电棒,即a》L.
2)若坐标原点选在其它位置. 3)若P点放置电量为q的点电荷,求q受到电场力是多少？
q
单位: N·C-1
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(3)说明： *电场强度是矢量。方向为正电荷在该处所受电场力的 方向。
*电场强度由场源电荷性质决定，与检验电荷无关。
*均匀电场：各点场强（大小和方向）都相同的电场。
三、 场强叠加原理：
EFFF1F1F2
..
.
Fn
F2 ... Fn
qo
dq dl -电荷线密度
面状带电体（电荷分布在一个面上）：面积分。
面分布
ds dq ds -电荷面密度
体状带电体（电荷分布在一个立体上）：体积分。
体分布
dV dq dv -电荷体密度
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2)注意点
矢量积分一定要先转化为标量积分
E
Q
dq
4 0r 2
er