昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

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数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。

下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。

以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。

以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。

根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。

要求精确到小数点后三位。

解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。

昆明理工大学数学分析历年考研真题(2016-2020)

昆明理工大学数学分析历年考研真题集(2016～2020)本真题集由考途学者倾情汇编，仅供研友学习！真题集内容:2020年昆明理工大学数学分析考研真题2018年昆明理工大学数学分析考研真题2017年昆明理工大学数学分析考研真题2016年昆明理工大学数学分析考研真题2020年昆明理工大学数学分析考研真题考生答题须知1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

1、（15分）设为非空有上界的数集.证明：当且仅当，其中和分别表示的上确界和最大值.2、（15分）求下列极限3、（15分）已知函数在点处连续，计算和.4、（15分）证明函数在点处可微当且仅当函数在点处可导.5、（15分）利用微分中值定理证明：，其中.6、（15分）求幂级数的收敛域与和函数.7、（15分）求曲线在点处的切线方程.8、（15分）证明在点连续且偏导数存在，但在此点不可微.9、（15分）计算曲线积分，其中是由和所围成的闭曲线.10、（15分）设某流体的流速为（为常数），求单位时间内从球面的内部流过球面的流量.2018年昆明理工大学数学分析考研真题一、计算及判断（每小题5分，共20分）1、设函数arctan ()x y f e =，求微分dy ；2、求极限1321lim 242n n n→∞-⋅⋅⋅ ；3、设函数1,77(),711(1)sin ,11x x f x x x x x x ⎧-∞<<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<<+∞-⎩，指出其间断点及类型，并说明理由；4、求函数()arctan f x x =在0x =的左、右导数．二、证明下列各题（每小题5分，共20分）1、用X ε-定义证明lim sin0x xπ→+∞=；2、叙述函数极限0lim ()x f x +→存在的归结原则；3、运用归结原则证明01lim cos x x+→不存在；4、应用拉格朗日中值定理不等式：aab a b b a b -<<-ln ，其中b a <<0．三、（10分）证明：若函数f 在R 连续，且()()xaf x f t dt =⎰，则()0f x ≡．四、（10分）证明：若数列{}n na 收敛，且级数11()n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1nn a ∞=∑收敛．五、计算或证明下列各题（每小题5分，共35分）1、求极限221lim nn i n n i →∞=+∑；2、求导数32x x d dx ⎰；3、证明瑕积分130arctan 1x dx x -⎰发散;4、求极限00lim πα→⎰；5、求函数()2xf x π-=在(0,2)π上的傅里叶展开式；6、计算第一型曲线积分Lyds ⎰，其中L 为单位上半圆周221x y +=；7、计算第一型曲面积分SzdS ⎰⎰，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.六、（10分）证明函数1,()1x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数，，为无理数在]1,0[上有界但不可积．七、（10分）求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,00 ,),(22222233y x y x y x y x y x f 在原点的偏导数)0,0(x f 与)0,0(y f ,并证明),(y x f 在点)0,0(是不可微的．八、（10分）利用适当的坐标变换计算二重积分{}()sin(),(,)0,0Dx y x y dxdy D x y x y x y ππ+-=≤+≤≤-≤⎰⎰．九、（10分）设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程)()()(2y f x f xy f +=在点)1,1(的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数?十、（10分）用高斯公式计算第二型曲面积分22()Syzdydz x z ydzdx xydxdy +++⎰⎰，其中22:4()S y x z =-+，在0x z 面右侧部分内侧.十一、（5分）请举例说明：在有理数集内，单调有界定理一般都不成立.2017年昆明理工大学数学分析考研真题一、计算下列各题（每小题6分，共30分）1、设函数sin ()x y f e =，求微分dy ；2、求极限22011lim()sin x x x→-；3、求函数()arctan f x x =在0x =的左、右导数；4、指出函数||sin )(x xx f =的间断点，并说明其类型;5、求不定积分二、证明下列各题（每小题7分，共28分）1、用N ε-定义证明0n →∞-=；2、应用柯西收敛准则，证明数列2sin1sin 2sin 222n n na =+++ 收敛；3、设f 是定义在R 上的函数，且对任何12,x x R ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，若(0)1f '=，证明：对任何x R ∈，有()()f x f x '=；4、应用凹凸性证明不等式：()lnln ln ,,02x yx y x x y y x y ++≤+>.三、计算下列各题：（5分×3=15分）1、求无穷积分2x xe dx +∞-⎰的值；2、将函数1()1f x x =+展成1x -的幂级数；3、求函数22222(,)()x y f x y x y x y =+-在点(0,0)的重极限和累次极限.四、（10分）证明狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 0,1)(在]1,0[上有界但不可积.五、计算或证明下列各题：（6分×5=30分）1、设f 为连续可微函数，求()()xad x t f t dt dx '-⎰；2、求函数u xyz =在点(5,1,2)A 的梯度以及沿着从该点到点(9,4,14)B 的方向AB上的方向导数；3、、计算第二型曲线积分Lydx ⎰，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；4、0sin x e xdx α+∞-⎰在00[,](0)a a +∞>上一致收敛；5、221SdS x y+⎰⎰，其中S 是柱面222x y R +=被平面0,z z H ==所截取的部分；六、（10分）证明：函数2222222,0(,)0,0x yx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)点连续且偏导数存在，但不可微.七、（10分）求表面积一定而体积最大的长方体.八、（10分）用高斯公式计算曲面积分22()Syzdydz x z ydzdx xydxdy +++⎰⎰，其中22:4()S y x z =-+，在xoz 面右侧部分外侧.九、（7分）用定义证明1()f x x=在(0,1)内不一致连续.2016年昆明理工大学数学分析考研真题一、（20分）求下列极限（每小题4分，共20分）(1)sin(!)lim;1n n n →∞+(2)lim ;n →∞⎛⎫⋅⋅⋅+(3)22001limsin();tan x e x t dt x →⎰(4)x (5)0ln(1arcsin )limarcsin x x x→+二、（20分）求下列导数或微分（每小题5分，共20分）(1)设25(5)(4)(4),(2)(4)x x y x x x +-=>++求;dy dx (2)已知(),x f x x =求();df x (3)设(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩求2.t dydx π=(4)设(,),x yu f y z=且f 具有连续的偏导数，求.du 三、（8分）求下列积分（每小题4分，共8分）(1)1;⎰(2)21.1dx x +∞-∞+⎰四、（40分）按要求计算下列曲线积分、曲面积分和重积分（每小题8分，共40分）(1)计算第一型曲线积分(),Lx y ds +⎰其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形.(2)利用格林公式计算第二型曲线积分(sin )(cos 1),x x ABe y y dx e y dy -+-⎰其中AB 为由(,0)a 到(0,0)经过圆22x y ax +=上半部分的路线.(3)用变量变换求二重积分,x y x yDedxdy -+⎰⎰其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围成的区域.(4)计算第一型曲面积分,SxyzdS ⎰⎰其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.(5)利用高斯公式计算第二型曲面积分222Sx dydz y dzdx z dxdy++⎰⎰Ò其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧.五、（10分）按要求完成下列各题（每小题5分，共10分）(1)设1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,.证明函数项级数31()n D x n∞=∑在),(+∞-∞上一致收敛；(2)用间接方法求非初等函数20()xt F x e dt -=⎰在0=x 处的幂级数展开式.六、（10分）求2()f x x x =+在x ππ-<<上的傅里叶级数，并应用它推出2211.6n n π∞==∑七、（8分）叙述函数()f x 在区间I 上无界的定义，并应用它证明31()f x x=在区间(0,1)上无界.八、（8分）用定义证明22lim(610) 2.x x x →-+=九、（9分）按柯西准则叙述极限lim n n a →∞存在的充要条件，并应用它证明222111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+存在.十、（9分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，证明存在(0,1),ξ∈使得11(1)2((0)().24f f f f ξ''-+=十一、（8分）证明函数z =在点(0,0)连续但偏导数不存在.。

数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一．填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。

2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。

b) 二分法是一种______法则。

c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。

3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。

b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。

c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。

试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。

b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。

2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。

b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。

c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。

3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。

b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。

c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。

答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。

它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。

b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。

迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。

数值分析试题及答案..(优选)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---()12x L x -=-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

数值分析期末考试题及答案

数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。

答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。

它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。

2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。

例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。

答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。

2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。

昆明理工大学考研试题数学分析(2012-2016年)

（2）用上、下确界的定义验证所得两个结果中的一个.
二、（10 分）叙述函数极限 lim f (x) 的归结原则，并运用它证明 lim cos x 不存在.
x
x
三、（15
分）设
f
(x)
x2,
x 3,
ax b, x 3,
试确定 a,b 的值，使 f 在 x 3 处可导.
四、（15 分）求下列极限
证明：（1） F ( x) 2 ；（2）方程 F ( x) 0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个根.(15 分)
4、求幂级数 nx n1
n1
的收敛区间及和函数，并利用所得的结果求级数
n1
n 2n1
的和.（15 分）
5、已知函数
f
( x,
y)
x2 (1
x2 ) x2
y2 (1 y2
（3） f (x, y) 在点 (0, 0) 可微.（15 分）
Ñ 9、计算曲线积分 (x y )ds, 其中 L 为由方程 y x2 与 y x 所围成的闭曲线.（15 分）
L
10、利用高斯公式计算曲面积分
2x3dydz 2 y3dzdx 3(z2 1)dxdy,
其中是曲面 z 1 x2 y2 (z 0) 的上侧.（15 分）
ln(1 x 3 )
2、设
f
(x)
, x2 1 sin 2x, 2
x0 ，求 f ( x) ，并讨论 f ( x) 的连续性.（15 分）
x0
x
x
3、设 f ( x) 在区间[a, b]上连续，且 f ( x) 0 ， F ( x) f (t )dt
dt
， x [a, b].
a

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章非线性方程求根主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算；牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

数值分析题库

一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 51021-⨯，则该数是（） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2．设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21)，则1-A 的主特征值是（）A11λ B nλ1 C1λ或n λ D 11λ或nλ13．设有迭代公式→→+→+=fxB x k k )()1(。

若||B|| > 1，则该迭代公式（）A 必收敛B 必发散C 可能收敛也可能发散4．常微分方程的数值方法，求出的结果是（）A 解函数B 近似解函数C 解函数值D 近似解函数值 5．反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（） A 追赶法 B LU 分解法C 雅可比迭代法D 高斯—塞德尔迭代法二．填空题（每小题4分，共20分）1．设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+02132432132132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为⎪⎩⎪⎨⎧2．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111112101A ，则=∞A3．设1)0(,2'2=+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y4．设1)(+=ax x f ,2)(x x g =。

若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a =5．设T x )1,2,2(--=→，若有平面旋转阵P ，使P →x 的第3个分量为0，则P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 三．计算题（每小题10分，共50分）1．求27的近似值。

若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2．设42)(x x x f -=,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。

3．设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。

(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

昆明理工大学数值分析考试题（07）一．填空（每空3分，共30分）1．设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有位有效数字。

2．若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。

3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。

4．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是。

5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为。

6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范围应为。

7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是。

（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。

）二．推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。

（12分）（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。

请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。

（8分）（三）利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。

（8分）（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。

（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+⎰。

（10分）（六）对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１）用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。

昆明理工数值分析试卷答案A20131222

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）（A卷）一、填空题（每空2分，共40分）1．要使的相对误差不超过，应取 4 位有效数字。

2．设在上的最佳二次逼近多项式为，最佳平方逼近二次多项式为。

3．求积公式至少具有_ 3 次代数精度。

4．解线性方程组的SOR迭代法收敛，则松弛因子有，设建立迭代公式，写出逐次超松弛迭代法。

5．，其条件数39205 ，39601 。

6．设，计算向量的范数，= 6，，= 3。

7．求方程根的牛顿迭代格式是，其收敛阶= 2。

弦截法迭代格式是，其收敛阶= 1.618。

8．是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a= 0 ，b= -2 ，c= 3 。

9．对矩阵作LU分解，其，。

二、计算题（每题10分，共50分）1．求出一个次数不高于4次的插值多项式，使它满足，，并写出余项表达式（要有推导过程）。

解：由题意知，以为三次重根，所以可设，由插值条件得所以得，故，设由反复用罗尔定理得在(0,1)上存在，使即，则，所以，余项为。

2．给定积分（1）利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间[0,1]应分成多少等分才能使其截断误差不超过；（2）取同样的求积结点，改用复合Simpson公式计算时，截断误差是多少？解：由于，所以故（1）对复合梯形公式，有为了使截断误差不超过，只须18n2≥1000，解得n≥7.5。

故用复合梯形公式计算时，取8等分即可。

（2）将区间[0，1]8等分，改用复合Simpson 公式，由于h = 1/4=0.25，由于=1/3686400≈2.7127×10 –73. 设，，用表示解线性方程组的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。

解：雅可比迭代法，则雅可比迭代法的充分必要条件是。

高斯-塞德尔迭代法，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是。

4. 已知如下实验数据, 用最小二乘法求形如的经验公式。

19 25 31 38 4419.0 32.3 49.0 73.3 97.8解：设，则数据表变为361 625 961 1444 193619.0 32.3 49.0 73.3 97.8则由方程，即解得，所以经验公式为5. 用梯形公式解初值问题取步长h = 0.1, 计算到。