椭球被平面截得的截面面积
地球椭球体的基本要素和公式麻辣GIS
地球椭球体的基本要素和公式麻辣GIS 地球椭球体的基本要素分为:长半径a(赤道半径)短半径b(极轴半径)扁率α第一偏心率和第二偏心率e, e’数学公式：α=(a−b)/a=1−b/ae2=(a2−b2)/a2=1−b2/a2e′2=(a2−b2)/b2=a2−b2−1e2=e′2/(1+e′2)e′2=e2/(1−e2)e2≈2α扁率和偏心率反映地球椭球体的扁平程度。
2.子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径法截面设过椭球面上任一点A作法线AL,通过A点法线的平面所截成的截面。
主法截面通过AL两个相互垂直法截面。
含有极值意义的两个主法截面是: 子午圈截面(AE1P1EP) 卯酉圈截面(QAW)如图：计算公式：M=a(1−e2)/(1−e2sin2ϕ)3/2N=a/(1−e2sin2ϕ)1/2上述公式中：a：长半径 e：第一偏心率 ϕ：纬度当椭球体选定后，a,e为常数；M，N随纬度的变化而变化。
当ϕ=00时M0=a(1−e2)N0=a当ϕ=900时M90=a/(1−e2)1/2N90=a/(1−e2)1/23.平均曲率半径和纬圈半径平均曲率半径（R）主法截面曲率半径的几何中数。
R=(M∗N)1/2=a(1−e2)1/2/(1−e2sin2ϕ)纬圈半径（r）r=Ncosϕ=acosϕ/(1−e2sin2ϕ)1/2在赤道上，ϕ=00，r=N=a在两极，ϕ=900，r=04.子午线弧长和纬线弧长子午线弧长:就是椭圆的弧长。
¯¯¯¯¯¯¯¯¯AA′=ds=Mdϕ=a(1−e2)dϕ/(1−e2sin2ϕ)3/2纬线（平行圈）的弧长:由于纬线为圆弧，故可应用圆周弧长的公式。
结论1. 同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增加,例如纬差 10的子午线弧长在赤道为110576米,而在两极为111695米;2. 同经差的纬线弧长则由赤道向两极缩短。
黄之--椭球被平面截得的截面面积
椭球被平面截得的截面面积上海 黄之本文首先得到平面截椭球所得的截面的面积，然后提出一些与此相关的问题.其中一些比较繁杂的运算会省略，因为那将耗费很大篇幅.一，因为容易看到，任何一个平面截椭球，截面必然是椭圆，其在轴截面的投影也是一个椭圆，所以，应该首先得出平面上椭圆的面积的一般公式.设XOY 面上有一条二次曲线为0:22=+++++f ey dx cy bxy ax F ，首先通过平移变换将它的一次项消去.这只需要设0)())(()(:22=+-+--+-g t y c t y s x b s x a F ,展开后进行系数对比，得到：acb bdecd ae f g ac b bd ea t ac b be dc s 4,42,4222222--++=--=--=众所周知，当判别式ac b 42-=∆为负数时F 为椭圆，为0时F 为抛物线，为正数时F 为双曲线(都包括退化情形).(s,t)即是F 的对称中心，当判别式为0时F 所表示的抛物线的中心在无穷远处.这样，就可以把任何一个椭圆化为形如0:22=+++g cy bxy ax E ，下面求E 的面积.首先将它的xy 项消去，即进行旋转变换.易得：将E 绕着原点逆时针旋转θ角后的方程为： 0)cos cos sin sin ()2cos 2sin )(()sin cos sin cos (222222=+++++-++-g y c b a xy b c a x c b a θθθθθθθθθθ 这样，只需让bac -=θ2cot 即可消去交叉项，此时E 变为： 0:22=++g By Ax D其中θθθθθθθθ2222cos cos sin sin ,sin cos sin cosc b a B c b a A ++=+-=(顺便指出，由此可以得到E 有两条对称轴：x k y 2,1=，其中k 为0)(22=--+b k c a bk 的实根.)显然D 的面积为ABg S ||π=，将A ，B 的表达式以及b a c -=θ2cot 代入，最终计算出E 的面积，也就是F 的面积为：04,||22<-=∆∆-=ac b g S π二，下面考虑椭球)0,,(1:222222>=++c b a cz b y a x G 被平面r qy px z H ++=:所截得的截面面积.它们的交线在XOY 面的投影为：1)(:'222222=++++cr qy px b y a x G 即： 0)1(22)1(2)1(:'2222222222222=-+++++++cr y c qr x c pr y c q b xy c pq x c p a GG ’是一个椭圆，由第一段公式，得到将它的一次项消去后的方程常数为：1222222-++=c q b p a r gG ’的判别式为： 222222224c b a c q b p a ++-=∆而且可见G 与H 的位置关系取决于222222'r c q b p a T -++=的正负，当T ’>0时，交于实椭圆，当T ’=0时相切，当T ’<0时相交于虚椭圆. 那么，由一中的公式可以得到投影G ’的面积为：2322222)(''c q b p a abc T S ++=π然后乘以平面H 与XOY 面所成角的余割值，即可得到截面的面积：1'22++=q p S S ，即：232222222)(1'c q b p a q p abc T S ++++=π三，现在将平面的方程改为一般式0:=+++D Cz By Ax K .利用上述的公式得到K 截椭球)0,,(1:222222>=++c b a cz b y a x G 所得截面的面积：23222222222)(C c B b A a C B A abcT S ++++=π其中2222222D C c B b A a T -++=，当T>0时交线为实椭圆，当T=0时平面与椭球相切，当T<0时平面与椭球交于虚椭圆.顺便提一下，此时，平面H 与XOY 面所成角的余弦值为222||CB AC ++,由此容易求出在XOY 面上的投影的面积.【下面将二维的计算结果列出来作对比：直线0=++C By Ax 截椭圆)0,(12222>=+b a by a x 所得的截线段长(弦长)为：222222222222B A B b A a C B b A a ab l ++-+=令22222C B b A a t -+=，当t>0时直线与椭圆交于两个不同实交点，t=0时直线与椭圆相切，当t<0时直线与椭圆交于两个不同的虚交点.】虽然还可以继续计算四维的情形：四维空间中一个三维平面截超椭球所得到的椭球的体积.可是这样的方法显然会使运算量极其庞大！就不继续下去了. 四，下面来简单的应用一下这个截面面积公式： 1， 如果一个平面同时经过椭球)0,,(1:222222>=++c b a cz b y a x G的三个顶点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC 截椭球所得的面积与三角形ABC 的面积之比.此时平面方程为01=-++czb y a x ，由文中公式得到截面面积： 222222332a c c b b a S ++=π由熟知的结论，这显然就是ABC S S ∆=334π.由此得到该比值,且为定值. 那么能否由当G 为球时的比值推知一切情形也是如此？2， 从椭球外一点P 看去，看到的区域面积(观察者认为这平面，不理会视觉差异，定义为这个区域的实际面积)为固定数值S ，求所有的P 构成的轨迹.首先，要证明，从椭球)0,,(1:222222>=++c b a cz b y a x G 外一点),,(000z y x P 作椭球的切平面，这所有的切点在同一个平面上.设过P 作G 的某一个切面的切点为),,(1111z y x P ，则该切面的方程为：)()()(111111=-∂∂+-∂∂+-∂∂===z z zV y y yV x x xV z z y y x x这里： 1),,(222222-++=cz b y a x z y x V即： 0)(2)(2)(2121121121=-+-+-z z c z y y b y x x a x也就是： 1212121=++czz b y y a x x 而此切面经过P 点，所以有：1201201201=++cz z b y y a x x 这相当于说，所有的切点都满足下面这个方程： 01:202020=-++czz b y y a x x U 它是一个平面，故而所有切点都在一个平面上，且切点确定的平面方程就是U. 那么从),,(000z y x P 看椭球，看到的就是U 截椭球所得到的截面，由文中公式得到：42042042023220220220220220220)(1c z b y a x cz b y a x c z b y a x abc S ++++-++=π 这就是说，这样的P 点的轨迹是曲面：))(1()(424242222222222232222222c z b y a x c z b y a x c b a c z b y a x S ++-++=++π 此问题如果考虑视觉的话，应该会稍微复杂一点，在上述基础上还应乘以某个角的余弦值.另外，在二维上也可以有类似的问题，比如：1， 从椭圆外一点P 看椭圆，总是看到一条长度为定值L 的线段，求所有的P 构成的轨迹. 2， 从椭圆外一点P 看椭圆，看到椭圆的视角总是一个给定大小的角(0度至180度)，求P点的轨迹.。
椭圆面积公式的初等证明
椭圆面积公式的初等证明陕西定边三中 白治清关于椭圆面积公式，现行中学数学教材没有选编，在高等数学中是用微积分的方法证明的，本文用平面祖暅原理的推论证明椭圆面积公式.平面祖暅原理:夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果截得的两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等.平面祖暅原理的推论：夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截，如果截得两条线段的长度之比总是一个常数，那么这两个平面图形的面积之比等于这个常数.下面求长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆面积.如图1，椭圆方程：12222=+by a x ，选半径为a 的圆：222a y x =+为“参照物”.两个直角坐标系的y 轴在一条直线上，单位长度相同.过椭圆长半轴的两个端点作y 轴的两条平行线，椭圆和圆夹在这两条平行线之间.用平行于y 轴的任意直线l 截椭圆和圆，交椭圆于A 1、B 1两点，交圆于A 2、B 2两点.设点A 1的坐标为（11,y x ），因为点 A 1在椭圆上，所以1222121=+b y a x ， 用1x 表示1y ，得 y 1=2121x a ab y -=.点A 2的坐标可设为（21,y x ），因为点A 2在圆上，所以22221a y x =+，用1x 表示2y ，得 y 2=x a 212-.线段A 1B 1与A 2B 2的长度之比由平面祖暅原理的推论得到：椭圆和圆的面积之比等于线段A 1B 1与A 2B 2的长度之比，即ab S S =圆椭圆，所以 S 椭圆 =ab a ab S a b ππ==2圆. 练习题：有一个油罐，其横截面为椭圆，椭圆短半轴与地面垂直，长半轴a=3m ,短半轴b=2m ,罐长5m ,罐内有的深度为1.5m .求油的体积。
上述推证椭圆面积公式的思想方法，观点高、立意新，既有理论性又有实践意义，应当选入高中解析几何教材.对于椭圆来说，面积公式是最重要的，高中生学了椭圆而不知其面积公式真是太遗憾了！小学生就学了圆面积公式，高中生就应该学习椭圆面积公式.这也符合“学有用数学”的理念，能很好的体现解析几何的应用价值，为学生日后学习微积分奠定思想基础，促进学生辩证唯物主义观点和形成，弘扬我们民族文化.参考文献：《两个基本原理的推广及应用》，安徽师范大学《中学数学教学》1998年3期, 白治清y y B A B A =212211。
椭球面的几何特征与测量计算
4
e2
N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
a
3
e 2
12N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
十二 地面观测距离归算至椭球面
W
O
P
X=r
y
QB
y x(1 e2 ) tan B
a
x
cos B
1 e2 sin2 B
E
x
K
N sin B N (1 e2 )sin B e2 N sin B
S
纬度不同，椭球中心到法线与短轴交点之间的距离是不相等的
P
m2
Q1 m1
E
O
n1
n2
既不位于同一平行
圈上，也不位于同
MdB dS cos A rdL dS sin A
A P P2 dB cos A dS dL sin A dS sin A dS
dS P
M
r
N cos B
r N cos B
rdL
O
N P1
rdL N cos BdL
dA
P1T
P1T
90 B
B
P1T N tan( 90 B) N cot B
系数均以米作单位
0.00003m, 0.0003m, R 0.00009m
误差不超过这些舍去项
若将1975年国际椭球的相关参数值代入，还可得到1975年国 际椭球的曲率半径计算式。
五 椭球面上弧长 子午圈弧长公式
M dX dB
X B2 dX B2 MdB
几种主要的椭球公式
§6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。
包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。
椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：dBdS M = 子午圈曲率半径公式为：32)1(W e a M -= 3V c M = 或 2V N M = M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。
卯酉圈的曲率半径用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。
因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。
即PT 垂直于Pn 。
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：W a N = Vc N = 6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。
卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。
现在来讨论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。
任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：AB e N A N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=η （7-87）6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。
用定积分的截面法求椭球体的体积
用定积分的截面法求椭球体的体积椭球体是一种和球体相似但不完全对称的几何体，其表面曲面是由一组类圆的截面旋转形成的。
计算其体积的方法有多种，其中用定积分的截面法是一种简单而有效的方法。
一、椭球体及其性质要理解定积分的截面法求椭球体体积的原理，首先需要明确椭球体的基本性质。
椭球体是由一个平面内的椭圆绕其短轴旋转而成的几何体，它在三维空间中的方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中 a, b, c 分别为三个半轴的长度，x, y, z 分别表示椭球体上任意一点的三个坐标值。
通过该方程，我们可以看出椭球体的三个半轴不一定相等，因此它的体积和表面积都不同于球体。
椭球体的表面积和体积公式较为复杂，但使用截面法可以使计算变得简单易行。
二、定积分的截面法求椭球体体积的原理定积分的截面法是一种将几何体分解为无数个薄片，并逐一计算其截面积的方法。
对于椭球体来说，我们可以将其分解为无数个平行于三个坐标轴的椭圆柱体或椭球弧柱体。
由于沿任何一个坐标轴的椭圆切面都是一组类圆的截面，我们可以计算每个截面的面积，再将其相加得到椭球体的体积。
因此，定积分的截面法求椭球体体积的基本思路如下：1. 将椭球体分解为无数个平行于三个坐标轴的椭圆柱体或椭球弧柱体；2. 计算每个截面的面积，可以使用椭圆的面积公式：S = π * a * b；3. 将所有截面的面积相加，即可得到椭球体的体积。
具体计算方法可参考下面的步骤。
三、定积分的截面法求椭球体体积的实例假设我们要求解半径为 2, 3, 4 的椭球体的体积。
按照上面的思路，可以进行以下步骤：1. 将椭球体分为无数个平行于 x, y, z 轴的椭圆柱体。
假设我们要以 x 轴为例，那么每一个椭圆柱体的形状都是一个圆锥形的截面和一个椭圆形的底面构成，如下图所示（图中的截面位置并不一定是均匀分布的）。
2. 计算每个截面的面积。
由于我们需要计算的是椭圆的面积，因此需要先求出每个截面的长半轴 a 和短半轴 b。
求椭球面 上平行于平面 的切平面方程
求椭球面上平行于平面的切平面方程椭球面是三维空间中的一个曲面，其形状类似于一个椭球。
在数学中，椭球面可以用方程表示。
本文将探讨如何求解椭球面上平行于平面的切平面方程。
一、椭球面的方程椭球面的方程可以用以下公式表示：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1其中，a、b、c分别为椭球体沿x、y、z轴的半轴长度。
二、切平面的定义切平面是指与曲面相切且垂直于法线的平面。
在三维空间中，曲面上任意一点都有无数个切平面。
三、求解过给定点的法线向量要求解过给定点的法线向量，需要用到梯度运算。
梯度是一个向量算子，它对标量函数产生一个向量值函数。
对于曲面上任意一点P(x0, y0, z0)，其法线向量可以通过以下公式计算：grad f(P) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)其中，f(x, y, z)为曲面方程。
四、求解切平面方程已知过点P(x0, y0, z0)的切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为平面方程的常数项。
根据法线向量的定义，有：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0将椭球面的方程代入上式，得到：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = (∂f/∂x)(x - x0) + (∂f/∂y)(y - y0) + (∂f/∂z)(z - z0)化简得：Ax + By + Cz = f(x0, y0, z0)即切平面方程为：Ax + By + Cz = (x - x0)² / a² + (y - y0)² / b² + (z - z0)² / c²五、总结本文介绍了如何求解椭球面上平行于平面的切平面方程。
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用黄亦虹;许庆祥【摘要】设E:x2/a2+y2/b2+z2/c2=1为一个椭球面,P:p x + q y + r z=d为一个平面.利用Householder变换,证明了E和P相交当且仅当λ≥| d |,其中λ=√(ap)2 + (bq)2 + (cr)2.当λ＞| d |时用新的方法证明了椭球面E和平面P的交线e一定是椭圆,并且给出了该椭圆的参数方程.利用交线e的参数方程,给出了由e所围成的内部区域的面积公式,进而给出了椭圆的长半轴和短半轴的计算公式.作为应用,又给出了交线e成为一个圆的充要条件.%Let E:x2/a2+y2/b2+z2/c2 =1 be an ellipsoid and P:p x + q y + r z =d be a plane.Based on the Householder transformation,it is shown that the intersection E ∩ P is nonempty if and only if λ ≥ | d|,where λ =√(ap)2 + (bq)2 + (cr)2.When λ ＞ | d|,this paper provides a new proof that the intersection curve e of E and P is always an ellipse,and in this case a new parametric equation of e is derived.Based on the obtained parametric equation of e and Stokes formula,we derive a formula for the area of the region bounded by e,and compute its semi-major axis and semi-minor axis.As an application,we get necessary and sufficient conditions for e to be a circle.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(047)001【总页数】7页(P24-30)【关键词】椭球面;平面;参数方程;Householder变换;Stokes公式【作者】黄亦虹;许庆祥【作者单位】上海应用技术大学理学院,上海201418;上海师范大学数理学院,上海200234【正文语种】中文【中图分类】O13;O1721 IntroductionThroughout this paper,,+ and m×n are the sets of t he real numbers,the positive numbers and the m×n real matrices,respectively.The notation n×1 is simplified to n.For any A∈m×n,its transpose is denoted by AT.Let In be the identity matrix of order n.Much attention is paid to the very popular topic of the intersection curve of an ellipsoid and a plane[1-3].Yet,little has been done in the literatures on the application of the Householder transformation and the Stokes formula to this topic,which is the concern of this paper.Let E be an ellipsoid and P be a plane defined respectively by(1)where a,b,c∈+ and p,q,r,d∈ such that p2+q2+r2≠0.It is known that the intersection curve of E and P is always an ellipse,and much effort has been made in the study of the semi-axes of .Yet,due to the complexity of computation,it is somehow difficult to derive explicitformulas for the semi-axes of .The key point of this paper is the usage of the Householder transformation to derive a new parametric equation of ,together with the application of the Stokes formula to find the area |S| of the region bounded by ;see Theorem 2.4 and Corollary 2.5.Another point of this paper is the characterization of the parallel tangent lines of ,which is combined with the obtained formula for |S| to deal with the semi-axes of .As a result,explicit formulas for the semi-major axis and the semi-minor axis of are derived;see Theorem 2.6.As an application,necessary and sufficient conditions are derived under which is a circle.2 The main resultsLet v∈n be nonzero.The Householder matrix Hv as sociated to v is defined byn×n.(2)It is known[4] that HvT=Hv and HvTHv=In,i.e.,Hv is an orthogonal matrix.Due to the following property, the Householder matrix is of special usefulness.Lemma 2.1 Let x,y∈n be such that x≠y and xTx=yTy.ThenHv(x)=y,where v=x-y.(3)Theorem 2.2 Let E and P be given by (1).Then =E∩P≠Ø if and only ifλ≥|d|,where λ is defined by(4)Proof Let λ be defined by (4).Firstly,we consider the case that p2+q2>0. Let w1=(ap,bq,cr)T and w2=(0,0,λ)T.Then clearly,w1≠w2 and w1Tw1=w2Tw2,so by Lemma 2.1 we haveHvw1=w2,where v=w1-w2.(5)Let(6)Then by (1),(5) and (6),we have(7)d(8)It follows from (7) and (8) that(9)This means E∩P is nonempty if and only if λ≥|d|,where λ is defined by (4). Secondly,we consider the case that p=q=0.In this case,we have r≠0.It follows directly from (1) thatthus the conclusion also holds.The following result is well-known,yet its proof presented below is somehow new.Theorem 2.3 Let E,P and λ be given by (1) and (4) respectively such that λ>|d|. Then the intersection curve =E∩P is always an ellipse.Proof It needs only to consider the case that p2+q2>0.Letw3=(p,q,r)T,w4=(0,0,)T,v1=w3-w4 and Hv1 be the Householder matrix defined by (2) which satisfies Hv1w3=w4.Let(x,y,z)T=Hv1(x1,y1,z1)T.(10)Thend=w3T(x,y,x)T=w3T Hv1(x1,y1,z1)T=w4T(x1,y1,z1)T=z1.Therefore,(11)It follows from (1),(10) and (11) that(12)where A=Hv1THv1 is positive definite.Let A be partitioned as A=,whereA1∈2×2 is positive definite since A is.Then from (12) we get(x1,y1)A1+λ1 x1+λ2 y1+λ3=0 for some λi∈,i=1,2,3,which represents an ellipse in x1y1- plane since A1 is positive definite.This observation together with (11) yields the fact that in the x1y1z1- coordinate system,the equation of the intersection curve represents an ellipse.The conclusion then follows from (10) since Hv1 is an orthogonalmatrix.Theorem 2.4 Let E,P and λ be given by (1) and (4) such that λ>|d|.Then a parametric equation of the intersection curve =E∩P can be given fort∈[0,2π] as follows:(13)Proof We only consider the case that p2+q2>0.By (2) and (5) we obtain(14)Furthermore,by (8) and (9) we get(15)Eq.(13) then follows from (6),(14) and (15).An application of Theorem 2.4 is as follows.Corollary 2.5 Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1).Then the area |S| of the region S bounded by can be formulated by(16)where λ is defined by (4).Proof Let (cos α,cos β,cos γ) denote the unit normal vector of the plane P,where(17)We may use the Stokes formula to get|S|=± ○ z cos βdx+x cos γdy+y cos αdz,(18)where ± is chosen to ensure that the right side of (18) is non-negative.Note thatsin tdt=cos tdt=sin t cos tdt=0,(19)sin2tdt=cos2tdt=π.(20)Therefore,by (13),(4),(19) and (20) we obtain○(21)○(22)○(23)Formula (16) then follows from (17)-(18) and (21)-(23).Consider the calculation of I=○ x2ds,where is the intersection curve of the sphere x2+y2+z2=R2 (R>0) and the plane x+y+z=0.In view of the symmetry,a solution can be carried out simply asObviously,the method employed above only works for the symmetric case.As shown by Example 2.1 below,the parametric equation (13) is a useful tool to deal with the non-symmetric case.Example 2.1 Evaluate I=○ x2ds,where is the intersection curve of the sphere x2+y2+z2=R2 (R>0) and the plane px+qy+rz=d.Solution We follow the notations as in the proof of Theorem 2.2.Sincea=b=c=R,Eq.(6) turns out to be(x,y,z)T=Hv (x1,y1,z1)T,which is combined with (15) to getIn view of the first equation of (13) and (19)-(20),we haveI=○(24)and μ is given by(25)Note that(26)so we may combine (24)-(26) to conclude thatI=○where λ is given by (24).Now,we turn to study the semi-axes of the ellipse given by (13).LetP(t)=(x(t),y(t),z(t)) be a point in .Then we havewhere λ is given by (4).Suppose that P(t1) and P(t2) are two different points in such that the tangent lines at these two points are parallel,thenthere exists a constant μ such that x′(t2)=μx′(t1),y′(t2)=μy′(t1) and z′(t2)=μ z′(t1);or more precisely,It follo ws from (27) and (29),(28) and (29) that sin t2=μ sin t1 and cos t2=μ cos t1.Therefore,1=sin2t2+cos2t2=μ2 (sin2t1+cos2t1)=μ2,hence μ=-1 since P(t1)≠P(t2),and thus P(t2)=P(t1+π).The observation above indicates that(30)where max,min denote the semi-major axis and the semi-minor axisof ,respectively,and(31)where g(t) is given by(32)as cos2t=,sin2t= and sin t cos t=,where(33)By (4) we have[(λ(cr-λ)+(ap)2)2+(abpq)2]=λ2(cr-λ)2+2(ap)2λ(cr-λ)+a2p2[(ap)2+(bq)2]=λ2(cr-λ)2+2(ap)2λ(cr-λ)+a2p2[λ2-(cr)2]=(cr-λ)2[λ2-(ap)2].(34)Similarly,we have[(abpq)2+(λ(cr-λ)+(bq)2)2]=(cr-λ)2[λ2-(bq)2].(35)We may combine (4) with (33)-(35) to conclude thatA=[(ap)2(b2+c2)+(bq)2(c2+a2)+(cr)2(a2+b2)].(36)Theorem 2.6 Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1), and max and min be the semi-major axis and the semi-minor axis of .Thenwhere λ and A are defined by (4) and (36).Proof It follows from (30)-(32) that(37)(38)which means that the area |S| of the region S bounded by is equal toThe above equation together with (16) yieldsB2+C2=A2-λ2 (abc)2(p2+q2+r2).The conclusion then follows by substituting the above expression forB2+C2 into (37) and (38).A direct application of the preceding theorem is as follows.Corollary 2.7 Suppose that a>b>c>0.Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1),and =(cos α,cos β,cos γ) be the unit normal vector of P with cos α,cos β and cos γ given by (17).Then is a circle if and only if either ‖ or ‖,whereProof Let λ and A be defined by (4) and (36).By direct computation,we haveθ4A2-4λ2 (abc)2(p2+q2+r2)=[(cr)2(a2-b2)-(ap)2(b2-c2)]2+(bq)4(a2-c2)2 +2(abpq)2(a2-c2)(b2-c2)+2(bcqr)2(a2-c2)(a2-b2).Since a>b>c,by Theorem 2.6 we know that is a circle if and only ifθ=0.Equivalently, is a circle if and only if⟺The result stated below follows immediately from the proof of Corollary 2.7.Corollary 2.8 Suppose that a,b,c∈+ such that a=b≠c.Let be the intersection curve of the ellipsoid E and the plane P given by (1).Then is a circle if and only if p=q=0.References:[1] Abramson N,Boman J,Bonnevier B.Plane intersections of rotational elliposids [J].American Mathematical Monthly,2005,113:336-339.[2] Ferguson C C.Intersections of ellipsoids and planes of arbitrary orientation and position [J].Mathematical Geology,1979,11:329-336. [3] Klein P P.On the ellipsoid and plane intersection equation [J].AppliedMathematics,2012,11:1634-1640.[4] Leon S J.Linear Algebra with Applications (Eighth Edition)[M].Beijing:Pearson Education Asia Limited and China Machine Press,2011.。
(背诵)椭球和圆锥知识点归纳总结
(背诵)椭球和圆锥知识点归纳总结椭球和圆锥知识点归纳总结
椭球知识点
椭球是一个三维空间内的曲面，其定义可以基于焦点和半长轴、半短轴的长度来描述。
以下是关于椭球的一些知识点：
- 椭球的特点：椭球是一个闭合曲面，其形状类似于椭圆在三
维空间中的展开。
- 椭球的方程：椭球可以通过方程来表示，其中包括椭球的中
心点坐标和半长轴、半短轴的长度。
- 椭球的焦点和准线：椭球上的每个点与两个焦点之间的距离
之和是一个常数，这个常数被称为椭球的焦距。
准线是通过两个焦
点的连线。
- 椭球的截面：将椭球和平面相交得到的曲线称为椭球的截面。
截面可以是椭圆、圆、双曲线或者直线。
- 椭球的体积和表面积：可以通过一定的公式计算椭球的体积
和表面积。
圆锥知识点
圆锥是一个三维空间内的几何体，其形状类似于一个封闭底面
为圆的锥体。
以下是关于圆锥的一些知识点：
- 圆锥的特点：圆锥是一个封闭几何体，其底面为圆形，顶点
在底面之上。
- 圆锥的方程：圆锥可以通过方程来表示，其中包括圆锥的底
面半径和高度。
- 圆锥的直母线和斜母线：圆锥的直母线是连接圆锥顶点和底
面圆心的直线。
斜母线是连接圆锥顶点和底面上任意一点的直线。
- 圆锥的截面：将圆锥和平面相交得到的曲线称为圆锥的截面。
截面可以是圆、椭圆、双曲线、直线或者一点。
- 圆锥的体积和表面积：可以通过一定的公式计算圆锥的体积
和表面积。
以上是关于椭球和圆锥的一些基本知识点的归纳总结。
更详细
的内容和公式推导可以参考相关教材和资料。
曲面积分椭球体面积
曲面积分椭球体面积
椭球体是许多几何图形中最经常使用的结构之一，它也被称为球形，它体现了美丽、协调、和谐的原则。
因此，计算椭球体的表面积变得十分必要。
椭球体的表面积可以由“Gauss-Bonnet定理”来求解，它是多边形的表面四边形积分的非常著名的定理。
这个定理中定义的“局部表面积”已经完全分解至曲率和曲率的交界地带的差值。
由于椭球体的表面曲率会随着空间位置而发生变化，可以用局部表面积的概念来计算椭球体的表面积。
Gauss-Bonnet定理需要一定数量的单元积分来计算椭球体表面积，并将其分解至每个曲率类型。
然后，对于每一个单元，椭球体的表面积可以通过振动或者曲率变化等方式来应用Gauss-Bonnet定理来计算出具体的表面积。
由于表面积的计算涉及到曲率变换和曲率分解，因此，此处的计算通常会依赖于椭球体的曲率与平面的曲率的交叉拐角的计算，这部分的计算过程十分繁琐，但却非常重要。
因此，计算椭球体表面积的时候需要理解椭球体的几何结构，此外，对椭球体的曲率的分解也是十分重要的，所以，在计算椭球体表面积时，我们必须掌握Gauss-Bonnet定理，并使用数学中反复出现的复杂积分等方法。
椭球被平面截得的截面面积
椭球被平面截得的截面面积
椭球由球心和轴所确定，其几何形状可以用一个公式表达：
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
$$
其中$a$, $b$, $c$分别表示椭球的长，中，短轴长。
椭球被平面截得的截面，一般是圆形，其截面面积可以用弧长公式来计算：
$$
S = \pi r^2
$$
其中$r$为截面的半径，可以由椭球的表达式求得：
$$
r =
\sqrt{\frac{2\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)a^2b^2 }{a^2+b^2}}
$$
由此可得，椭球被平面截得的截面面积为：
$$
S_1= \pi
\left(\dfrac{2\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)a^2b^ 2}{a^2+b^2}\right)^2
$$
另外，对于法向量为$(0,0,1)$的平面，截面面积可以由椭球的表达式简化为：
$$
S_2 = \pi c^2 \left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right) $$
从而，椭球被平面截得的截面面积就可以由上述公式计算出来，且至少为$300$ 个平方米。
椭球面截面的面积公式
椭球面截面的面积公式椭球面截面的面积公式椭球是一个经典的几何图形，其形状介于球和圆柱之间。
与球体有所不同的是，椭球体的截面并不是圆形，而是椭圆形。
而当我们关注椭球面的截面时，一个有趣的问题就是，如何计算椭球面截面的面积呢？在数学中，椭球面截面的面积公式可以通过一些复杂而优雅的数学推导得到。
下面，我们将根据不同的椭球面截面形状，逐个推导相应的面积公式。
1. 圆截面的面积公式当椭球被一个平面截得的截面形状是圆形时，其面积可以通过以下公式计算：S = π * a * b其中，S表示截面的面积，a和b分别表示椭球的半长轴和半短轴长度。
2. 椭圆截面的面积公式当椭球被一个平面截得的截面形状是椭圆形时，其面积公式需要根据椭圆的长轴和短轴长度进行计算。
假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则截面的面积可以计算为：S = π * a * b同样地，公式中S表示截面的面积，a和b分别表示椭球的半长轴和半短轴长度。
3. 平行于某个坐标轴的截面的面积公式当椭球被一个平面截得的截面平行于椭球的坐标轴时，可以简化计算。
例如，当截面平行于x轴时，公式可以表示为：S = π * a * h其中，S表示截面的面积，a表示椭球的半长轴长度，h表示截面的高度。
同样地，当截面平行于y轴或z轴时，公式也类似。
通过以上的推导和公式，我们可以得出不同椭球面截面的面积计算方法。
利用这些公式，我们可以在实际问题中灵活应用，例如在建筑设计、天文学、机械设计等领域中，对椭球面截面进行面积计算。
总结：椭球面截面的面积公式是一个有趣而又实用的数学问题。
通过对不同形状的截面进行推导，我们可以得到相应的面积计算公式。
对于研究和应用椭球面的人来说，这些公式能够为他们提供便利和方便，使他们能更好地理解和应用椭球面的特性。
椭球体表面积公式
椭球体表面积公式
椭球体：让生活更有趣的几何形体
椭球体是几何中常见的一种形状，它是一种由三轴组成的双曲线
形状，又称为卵形。
十分可爱，而且具有符号性的存在，让这个世界
变的更加好玩儿。
对于椭球体最常见的定义是：它是一种具有三维空
间的实体，其形状为由两个一致曲面所组成的实体，曲面称为椭球面，椭球半径由两个正交轴线之积决定。
当然，它也可以有不同的体积大小，形状和体积相关。
在我们的生活中，往往会发现许多椭球体，比如气球、足球等，
这些东西在节日里是必不可少的玩具，而且还可以用作装饰，我们节
日的祝福以及生活中的焦点，当然它们的形状也非常的可爱。
并且，
在科学中，椭球体也有重要的意义，比如用于定义引力场、太阳系的
模型。
而今，椭球体已经成为一种必须考虑的几何形体，它的几何关
系引起了极大的兴趣。
椭球体表面积计算是一个复杂的计算问题，它包含了复杂的几何
计算，需要用到两个定义参数，即椭球体的长轴a、短轴b，根据这两
个参数，椭球表面积的计算公式为：S=4πa^2+4π(a^2-b^2)^1/2。
通
过这一方程，就可以计算出椭球的表面积，在物理和数学中，该公式
很有用。
椭球体有着特殊的形状特征和几何特征，在此基础上，开发出了
椭球体表面积计算公式，使得在物理和数学中使用起来非常方便，而
且可以更加自然的包含椭球体的特性，给它以巧妙的一笔。
虽然有着
复杂的数学背景，但是通过对公式的运用，我们能够更加深入的了解
椭球体，特别是在几何形体里，椭球体的形状可以让生活更有趣，相信大家都能够喜欢上椭球体的迷人之处。
图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及使用规定
图幅理论面积与图斑椭球面积计算公式及要求一、 图幅理论面积计算公式⎢⎣⎡-+---⨯∆=m12m 12m 122cos5(25Csin cos3(23Bsin cos (21Asin 603604P B B B B B B B B B L πb ）））⎥⎦⎤-+--m 12m 12cos9(29Esin cos7(27Dsin B B B B B B ）） （1）式中：a —椭球长半轴(单位：米)，α—椭球扁率，b —椭球短半轴(单位：米)。
е²﹦(a ²﹣b ²)/a ²。
A ﹦1﹢（3/6）е²﹢（30/80）е4﹢（35/112）е6﹢（630/2304）е8。
B ﹦ （1/6）е²﹢（15/80）е4﹢（21/112）е6﹢（420/2304）е8。
C ﹦ （3/80）е4﹢ （7/112）е6﹢（180/2304）е8。
D ﹦ （1/112）е6﹢ （45/2304）е8。
E ﹦ （5/2304）е8。
ΔL —图幅东西图廓的经差（单位：分）。
(B 2﹣B 1)—图幅南北图廓的纬差（单位：弧度），Bm ﹦（B 1﹢B 2）/2。
二、椭球面上任意梯形面积计算公式⎢⎣⎡-+---∆=m12m 12m 122cos5(25Csin cos3(23Bsin cos (21Asin 2S B B B B B B B B B L b ）））⎥⎦⎤-+--m 12m 12cos9(29Esin cos7(27Dsin B B B B B B ）） （2）其中：A,B,C,D,E 为常数，按下式计算: е²﹦(a ²﹣b ²)/a ²A ﹦1﹢（3/6）е²﹢（30/80）е4﹢（35/112）е6﹢（630/2304）е8B ﹦ （1/6）е²﹢（15/80）е4﹢（21/112）е6﹢（420/2304）е8C ﹦ （3/80）е4﹢ （7/112）е6﹢（180/2304）е8D ﹦ （1/112）е6﹢（45/2304）е8E ﹦ （5/2304）е8式中：a —椭球长半轴(单位：米)，b —椭球短半轴(单位：米)；ΔL —图块经差(单位：弧度)； (B 2﹣B 1)—图块纬差(单位：弧度) Bm ﹦（B 1﹢B 2）/2。
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直线Ａｘ＋ ＋Ｃ＝０截椭圆 ＋告＝１ ａ，ｂ＞０）所得
： ＋ ＋ 一 １：０．
的截 线 段 长 （弦 长 ）为 ：ｚ＝２—ａ—ｂ ，／ａ ２Ａ ２＋ ｂ ２Ｂ ｚ－ Ｃ２ — ＿
令 ｔ＝ａ２Ａ ＋ｂＥＢ 一Ｃ２，当 ｔ＞０时直线 与椭 圆交 于两 个不 同实交 点 ，当 ｔ＝０时 直线 与椭 圆相切 ，当 ｔ＜０时 直 线与椭 圆交于两个不 同的虚交点．
交于虚椭 圆． 此 时 ，平 面 与 ｘＯｙ 面 所 成 角 的 余 弦 值 为
也就是 ：Ｘ， ｌＸ＋ ＋Ｚ ｌＺ：１
．
ａ
Ｏ
ｃ
√ —
兰ｕ ＿
，由此容易求出在 ｘＯｙ面上的投影的面积．
Ａ ＋ ＋ Ｃ
而此切面经过 Ｐ点 ，所 以有 ： ＋ ＋ ：１．
下面将二维 的计算结果列 出来作对 比 ：
Ｇ 是一个椭 圆，由第一 段公式 ，得 到将它 的一次 项消
２
去后的方程常数为 ：ｇ
０ 口 十 ０
一
，
十 Ｃ
变换 易得 ：将 Ｅ绕着原点逆时针旋转 ０角后的方程为 ： （ｎ ＣＯＳ ０一ｂｓｉｎＯｃｏｓＯ＋Ｃ ｓｉｎ。０） ＋（（０一Ｃ）ｓｉｎ２０＋
ｂｃｏｓ２０）ｘｙ＋（口ｓｉｎ ０＋ｂｓｉｎＯｃｏｓＯ＋ｃ ｃｏｓ ０）Ｙ ＋ｇ＝０
显然 Ｄ的面积 为 Ｓ：盯』 ． 将 Ａ，Ｂ的表达 式 以及
￣／ＡＢ
一 、 因为容易 看到 ，任何 一个 平 面截椭 球 ，截 面 必然 ｃｏｔ２０＝ 代入 ，最终计算 出Ｅ的面积 ，也就是 Ｆ的面积为 ： 是椭 圆，其在轴 截面 的投影 也是 一个 椭 圆，所 以 ，应该 首
先得 出平面上椭 圆的面积的一般公 式． 设 ｘＯｙ面上有一条二次 曲线为 Ｆ：似 ＋ｂｘｙ＋ｃ ＋
那其 中 Ａ＝０ ＣＯＳ ０一ｂｓｉｎＯｃｏｓＯ＋ｃ ｓｉｎ ０，Ｂ：口ｓｉｎ ０＋
ｂｓｉｎＯｃｏｓＯ ＋ｃ ｃｏｓ
Ｓ， 耵 一
一
一 ．
ｆａ２ｐ。＋ｂ２ｑ ＋ｃ。）。 『
（顺便指 出，由此 可 以得到 Ｅ有 两条 对称 轴 ：Ｙ＝ｋ
然后乘 以平面 日与 ０ｙ面所成角的余割值 ，即可得到截
利用上 述 的公式 得 到 Ｋ截 椭 球 Ｇ：ｘ ＋ ＋ ＝１
０
Ｄ
Ｃ
（８，６，ｃ＞０）所得截面 的面积 ：Ｓ：竹—ａ—ｂｃＴｖｉＡ２ ＋Ｂ￣ ＋ Ｃ２
—
—
—
—
—
（０ Ａ ＋６ ＋Ｃ２Ｃ ）
其 中 Ｔ＝ａ２Ａ ＋ｂ２Ｂ ＋Ｃ２Ｃ 一Ｄ ，当 Ｔ＞０时交线 为实
椭圆 ，当 Ｔ＝０时平 面与椭球相切 ，当 Ｔ＜０时平 面与椭 球
２ｄｅ—ｂｅ ２ｅⅡ 一ｂｄ
０ｅ２＋ｃｄ 一 ｂｄｅ
—ｂｚ－—４ａｃ
，ｇ ｌ，＋— ＿ ＿‘
众所周知 ，当判别式 △＝ｂ 一４ａｃ为负数时 Ｆ为椭 圆 ，
平面 Ｈ： ＝ｐｘ＋ ＋ｒ所 截得 的截 面面积．它们 的交线 在
０ｙ面的投影 为 ：Ｇｔ：＿３＿２『
＋ ＋
：ｌ，
即：Ｇ，：（ ＋ ） ：＋ ＋（丢＋ ）ｙｚ＋ ＋
为 ０时 Ｆ为抛物线 ，为正数 时 Ｆ为双 曲线 （都包 括退化情 ２ ￣ｆｒｙ＋（ 一１）＝０．
形 ）．（ｓ，ｔ）即是 Ｆ的对称 中心 ，当判 别式为 ０时 Ｆ所 表示
的抛物线 的中心在无穷远处．
这样，就可以把任何一个椭圆化为形如 Ｅ： ＋ｂｘｙ＋ｃｙ２ ＋ｇ＝０，下面求 Ｅ的面积 首先将它的 项消去，即进行旋转
＝
数理化 解题研究
２０１８年第２５期总第４１０期
椭 球被 平面截得 的截面面积
黄 之
（上海智 启教 育培训 有 限公 司 ２０００００）
摘 要 ：给 出平面上任 意椭圆的面积公 式，并求 出椭球 面被任一平面截得 的截 面的面积 ，然后作 了一点简
单 的应 用．
关 键 词 ：二 次 曲线 ；椭球 面 ；截 面 ；面积 ；切 面
外一点 Ｐ（ 。，Ｙ。， 。）作椭 球 的切 平面 ，这 所有 的切点在 同 一 个 平 面 上．
设 过 Ｐ作 Ｇ的某一个切面 的切点 为 Ｐ （ 。，Ｙ。，ｚ ），则 该切 面的方程 为 ：
Ｌ 一 ＋ ，ｃｙ—ｙ。，＋ Ｌ ｃ ＝ｏ．
这里：ｖ（ｘ，Ｙ， ）＝ ＋告＋ 一１，
即 ： ２ｘ１（Ｘ－Ｘ１）＋ （ｙ ）＋２ ｚ１（ Ｚ－Ｚ１）：０，
中图分类号 ：Ｇ６３２
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１００８－０３３３（２０１８）２５—００３８—０２
本文首先 得到平 面截 椭球所 得 的截 面 的面积 ，然后 提 出一些与此 相关 的问题．其 中一些 比较繁 杂 的运算 会 省略 ，因为那将耗费很大篇幅．
其 ， 中 ｋ为 ６ ＋２（０一ｃ） 一ｂ＝０的实根．）
虽然还 可以继 续计 算 四维 的情 形 ：四维 空 间 中一个 三维平 面截 超椭 球所 得 到 的椭 球 的体 积．可 是这 样 的方 法显然会使 运算 量极其庞大 ！
这样，只需让ｃｏｔ２０＝与 即可消去交叉项，此时Ｅ变 Ｏ
Ｇ，的判别式为：△＝一４ 去 ．
而且可见 Ｇ与 日 的位置关 系取决 于 Ｔ ＝ａ：ｐ ＋６。ｑ ＋Ｃ 一ｒ 的正 负 ，当 Ｔ ＞０时交于实 椭 圆，当 Ｔ ＝０时相 切 ，当 Ｔ ＜０时相交于虚椭 圆．
为 ：Ｄ：Ａｘ ＋ ＋ｇ：０
＋ｅｙ＋Ｉ厂＝０，首先 通过平 移变换 将 它 的一 次项 消去．这只
ｓ：２１Ｔ
，△ ：ｂ 一４ｎｃ＜０．
√ 一
二、下面考虑椭球Ｇ： ＋告 ＋ ＝１（。，ｂ，ｃ＞０）被
需 要 设 Ｆ：０（ 一５） ＋ｂ（ —ｓ）（Ｙ—ｔ）＋ｃ（Ｙ—ｔ） ＋ｇ＝０，
展 开后进行 系数对 比，得到 ：
收稿 日期 ：２０１８—０３—２５
作者简介 ：黄之 （１９８７．４一），男，广 西桂林人 ，本科 ，从事复 变函数论与无 穷级数研 究
一
３８ —
２０１８年第２５期总第４１０期
数理化 解题研究
鳓 ＝
面的面积：Ｓ：Ｓ， 而 ，即：Ｓ：１Ｔ
．
（ａ２ｐ ＋６ ｇ ＋ｃ ）丁
三、现在将平面的方程改为一般式 Ｋ：Ａｘ＋Ｂｙ＋ ＋Ｄ＝Ｑ