人教版高中数学选修1 双曲线几何性质测试
人教A版高中数学高二版选修1-1练习 双曲线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，所以 b 2a 2＝12.即a 2＝2b 2.答案：B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52， 所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足ca ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ..答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x 7．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，所以 |AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：38．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0 答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6.所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713.B 级 能力提升1．若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的虚线B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析：因为0＜k ＜a 2，所以 a 2－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1，焦点在x 轴上且c 2＝a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2.同理双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1焦点在x 轴上且c 2＝a 2＋b 2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以ca＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k2－2≠0，Δ＝（2k）2－8（k2－2）＞0，－2kk2－2＞0，2k2－2＞0，解得k的取值范围为{}k|－2＜k＜－2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简，得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
人教A版高中数学选修1—1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质(一)达标过关训练
2.3.2双曲线的简单几何性质(一)一、选择题1．(2018·济南模拟)双曲线x24－y25＝1的离心率为()A．355B．32C．53D．23解析：∵a＝2，c2＝4＋5＝9⇒c＝3，∴e＝ca＝32.答案：B2．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A． 2 B．2C．322D．2 2解析：由e＝ca＝2，得c＝2a.又c2＝a2＋b2，∴a＝b.∴双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则点(4,0)到C的渐近线的距离为42＝2 2.答案：D3．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A．43B．53C．94D．3解析：由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||＝2a，又∵|PF1|＋|PF2|＝3b，∴(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2.又∵|PF 1|·|PF 2|＝94ab ， ∴9b 2－4a 2＝9ab ，∴9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －4＝0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0.∵3b a ＋1＞0， ∴3b a －4＝0，∴b a ＝43.则双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. 答案：B4．(2019·银川一中高二期中)已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A ．虚轴长为4B ．焦距为2 5C ．离心率为233D ．渐近线方程为2x ±3y ＝0解析：对于A ，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中b ＝3，虚轴长为6，则A 错误；对于B ，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则c ＝4＋9＝13，则焦距为213，则B 错误；因为a ＝2，c ＝13，所以离心率为132，则C 错误；对于D ，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，则D 正确．故选D ．答案：D5．(2019·安徽省马鞍山市第二中学段考)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝12，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞解析：设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，(m >n )， 由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形． 若|PF 1|＝12，即有m ＝12，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2，即有a 1＝6＋c ，a 2＝6－c ，(c <6)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >12，可得c >3，即有3<c <6. 由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 236－c 2＝136c 2－1，由于1<36c 2<4，则有136c 2－1>13. 则e 1·e 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选B ．答案：B 二、填空题6．(2018·北京卷)若双曲线 x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为 52，则a ＝________. 解析：由双曲线方程x 2a 2－y 24＝1，知c 2＝a 2＋4， 又e ＝c a ＝ c 2a 2＝a 2＋4a 2＝52，∴a 2＝16.又a >0， ∴a ＝4. 答案：47．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为__________________．解析：由椭圆方程x 216＋y 29＝1，知c ＝16－9＝7，离心率e ＝74，所以双曲线的离心率为2×74＝ca ，∴a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝7－4＝3. ∴双曲线方程为x 24－y 23＝1. 答案：x 24－y 23＝18．(2019·龙岩一中高二月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交C 的右支于A 、B 两点，AF 1⊥AB,4|AF 1|＝3|AB |，则C 的离心率为________．解析：可设|AF 1|＝3t ，t >0， 由4|AF 1|＝3|AB |，可得|AB |＝4t ，由双曲线的定义，可得|AF 2|＝|AF 1|－2a ＝3t －2a ， |BF 2|＝|AB |－|AF 2|＝4t －(3t －2a )＝t ＋2a ， 由双曲线的定义，可得|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝t ＋4a ， 在直角三角形ABF 1中，可得|BF 1|＝|AB |2＋|AF 1|2＝5t ＝t ＋4a ，即t ＝a ，在直角三角形AF 1F 2中，可得|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即为9a 2＋a 2＝4c 2，即c ＝102a ， 可得e ＝c a ＝102. 答案：102 三、解答题9．(2019·大庆实验中学高二检测)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2)．若p ，q 有且只有一个为真命题，求m 的取值范围．解：将方程x 22m －y 2m －1＝1改写为x 22m ＋y 21－m＝1，只有当1－m>2m>0，即0<m<13时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于0<m<1 3；因为双曲线y25－x2m＝1的离心率e∈(1,2)，所以m>0，且1<5＋m5<4，解得0<m<15，所以命题q等价于0<m<15. 若p真q假，则m不存在；若p假q真，则13≤m<15.综上可知，m的取值范围为13≤m<15.10．一个椭圆，其中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一个双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．解：当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由2c＝213，得c＝13.设双曲线的方程为x2m2－y2n2＝1，(m>0，n>0)，则m＝a－4.①又∵e双e椭＝73，∴am＝73②.联立①②，解得a＝7，m＝3.∵椭圆和双曲线的半焦距都为13. ∴b2＝a2－c2＝72－13＝36，n2＝c2－m2＝13－32＝4.∴椭圆的方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为x236＋y249＝1，双曲线方程为y29－x24＝1.。
人教A版高中数学选修1-1双曲线的简单几何性质习题Word版含答案 (2)
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课堂10分钟达标练1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )A.2B.2C.4D.4【解析】选C.双曲线标准方程为-=1，故实轴长为4.2.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )A.m>B.m≥1C.m>1D.m>2【解析】选C.双曲线离心率e=>，所以m>1.3.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点坐标是________.【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x，所以m=-3，求得双曲线方程为-=1，从而得到焦点坐标(，0)，(-，0).答案：(，0)，(-，0)4.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线-=1有共同的渐近线，且过点(-3，2).(2)与双曲线-=1有公共焦点，且过点(3，2).【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0)，将点(-3，2)代入得λ=，所以双曲线方程为-=，即-=1.(2)设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).由题意易求c=2.又双曲线过点(3，2)，所以-=1.又因为a2+b2=(2)2，所以a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为-=1.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
人教新课标版数学高二选修1-1练习2-2-2双曲线的简单几何性质(1)
2.2.2一、选择题1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( )A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝1[答案] C[解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.2．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1D.x 224－y 212＝1[答案] B[解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)， ∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.3．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线[答案] C[解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0. ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43xD ．y ＝±34x[答案] D[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±24xD ．y ＝±3x[答案] B [解析] 如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ，∴OA OF ＝AB FC ＝13， ∴a c ＝13，∴ba ＝22， 故渐近线方程为：y ＝±22x .8．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A. 3 B ．3 C ．4D ．2[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.二、填空题12．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________. [答案] 62[解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.13．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．[答案] y 2254－x 2394＝1[解析] 椭圆x 29＋y 225＝1中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85， ∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52， ∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394， ∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.三、解答题16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为 d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ)又A 在双曲线上，则 14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ) 联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4. 故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.17．如下图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．[解析] 设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin60°＝2c ·32＝3c .又由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以a ＝3－12c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.。
人教A版数学高二选修1-1检测 2-2-2 双曲线的简单几何性质
04 课后课时精练时间：40分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14 答案 A解析 双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m .由题意，得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2．过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3 答案 D解析 由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.4．过原点作直线，与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．4条 答案 A解析 设l 的方程为y ＝kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有0条．5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA 、PB 的斜率k PA 、k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49 B.12C.23 D ．与P 点位置有关答案 A解析 设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，P (x ，y )， ∴k PA ·k PB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 29－1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209－1x 2－x 20＝49(x 2－x 20)x 2－x 20＝49.故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形答案 D解析 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a，椭圆的离心率e 2＝ m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则1e 21＋3e 22＝________.答案 4解析 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π3，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，该式可变形为a 21c 2＋3a 22c 2＝4，∴1e 21＋3e 22＝4.9．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．答案 x 24－y 25＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 三、解答题(每小题10分，共30分)10．已知双曲线E 与双曲线x 22－y 2＝1共渐近线，且过点(2，－2)，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程．解 由题意，设E 的方程为x 22－y 2＝t (t ≠0)．∵点(2，－2)在E 上，∴222－(－2)21＝t ，∴t ＝－2，∴双曲线E 的标准方程为y 22－x 24＝1，又双曲线M 与E 为共轭双曲线，则双曲线M 的标准方程为x 24－y 22＝1.11．求两条渐近线为x ±2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解 设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．联立方程组得：⎩⎨⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得，3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ， 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0.那么：|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫82－4×36＋λ3 ＝8(12－λ)3＝833. 解得：λ＝4，所以，所求双曲线方程是：x 24－y 2＝1.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)、B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解 (1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y－b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32，又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23－y 2＝1消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.(*)依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k3k 2－1， x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12， 当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件．故直线m 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。
人教新课标版数学高二- 数学选修1—1练习第二章 双曲线的简单几何性质(一)
2.2.2 双曲线的简单几何性质(一)一、基础过关1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 22.双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( ) A.y ＝±3xB.y ＝±13xC.y ＝±3xD.y ＝±33x 3.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( ) A.2 3 B.2 C. 3 D.14.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A.－14B.－4C.4D.14 5.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.33 6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 二、能力提升 7.已知双曲线C ：x 24－y 2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________. 8.已知圆C 过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________.9.如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为________.10.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2). 11.已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.12.求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值. 三、探究与拓展13.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0).若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c，求该双曲线的离心率的取值范围.答案1.C2.C3.A4.A5.B6.A7.(4，＋∞) 8.1639.3＋1 10.解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ (λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14， 所以双曲线方程为x 29－y 216＝14， 即4x 29－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0). 由题意易求c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. 11.解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，b a ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1. ②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 12.证明 设P (x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx ＋ay ＝0和bx －ay ＝0，可得P 到bx ＋ay ＝0的距离d 1＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b2， P 到bx －ay ＝0的距离d 2＝|bx 0－ay 0|a 2＋b2. ∴d 1d 2＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2·|bx 0－ay 0|a 2＋b2 ＝|b 2x 20－a 2y 20|a 2＋b2. 又P 在双曲线上，∴x 20a 2－y 20b2＝1， 即b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，∴d 1d 2＝a 2b 2a 2＋b 2. 故P 到两条渐近线的距离之积为定值.13.解 如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由题意及正弦定理得n m ＝a c， ∴n ＝a cm . 又m －n ＝2a ，∴m －a c m ＝2a ， 即⎝⎛⎭⎫1－a c m ＝2a ，∴m ＝2ac c －a.又m>c＋a，∴2ac>c＋a，c－a即c2－2ac－a2<0，∴e2－2e－1<0，∴1－2<e<1＋ 2. 又e>1，∴1<e<1＋ 2.。
人教新课标版数学高二选修1-1练习2-2-2双曲线的简单几何性质(2)
7．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.32[答案] C[解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1， ∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2. 9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P 引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则·的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2 [答案] A[解析] 特值法：当点P 在双曲线的一个顶点时，·＝a 2.10．(2010·浙江理，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C[解析] 如图：由条件|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c又知|PF 2|＝|F 1F 2|，知A 为PF 1中点，由a 2＋b 2＝c 2，有|PF 1|＝4b 由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则4b －2c ＝2a∴2b ＝c ＋a ，又有c 2＝a 2＋b 2，(2b －a )2＝a 2＋b 2， ∴4b 2－4ab ＋a 2＝a 2＋b 23b 2＝4ab ，∴b a ＝43，∴渐近线方程：y ＝±43x .故选C.11．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．[答案] －12<b <0[解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.14．(2009·全国Ⅱ文，8改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±36x ＝±22x ， ∴2x ±2y ＝0，由题意，得r ＝326＝ 3. 15．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)．18．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．(1)渐近线方程为x ＋2y ＝0及x －2y ＝0； (2)点A (5,0)到双曲线上动点P 的距离的最小值为 6.[解析] 假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为y ＝±12x ，所以由条件(1)，设双曲线方程为x 24b 2－y 2b 2＝1，设动点P 的坐标为(x ，y )，则|AP |＝(x －5)2＋y 2＝54(x －4)2＋5－b 2，由条件(2)，若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，|AP |最小＝5－b 2＝6，b 2＝－1，这不可能，无解；若2b >4，则当x＝2b 时，|AP |最小＝|2b －5|＝6，解得b ＝5＋62⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－62<2，应舍去，此时存在双曲线方程为x 2(5＋6)2－y 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋622＝1.(2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1(x ∈R )，所以|AP |＝54(x －4)2＋a 2＋5， 因为x ∈R ，所以当x ＝4时，|AP |最小＝a 2＋5＝ 6. 所以a 2＝1，此时存在双曲线方程为y 2－x 24＝1.。
人教版高二数学选修1-1双曲线的几何性质练习题及答案
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）1．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条准线l 与一条渐近线F 是与l 相应的焦点，则|PF|等于（ ）交于P 点，F 是与l 相应的焦点，则|PF|等于（ ）A ．aB ．bC ．2aD ．2b2．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3，O 为AB 的中点，则|PO|的最小值为（ ）A ．1B ．23 C ．2 D ．4 3．双曲线12222=-by a x 的离心率为1e ，双曲线12222-=-b y a x 的离心率为则21e e +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．22D ．44．已知双曲线12222=-by a x 的焦点为1F 、2F ，弦AB 过1F 且在若||2||||22AB BF AF =+，双曲线的一支上，则|AB|等于（ ）A ．2aB ．3aC ．4aD ．不能确定5．椭圆和双曲线有相同的中心和准线，椭圆的焦点1F 、2F 三等分以双曲线点1F '、2F '为端点的线段，则双曲线的离心率e ′与椭圆的离心率e 的比值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．36．已知两点)45,1(M ，)45,4(--N ，给出下列曲线方程 ①4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④二、填空题7．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有_________条。
8．设1F 、2F 是双曲线222a y x =-的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹方程是__________。
高二人教版数学选修1-1练习：2.2.2双曲线的简单几何性质 Word版含答案
►基础梳理1． 双曲线的几何性质.2.双曲线的有关几何元素．求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、渐近线方程时，要先将方程化成双曲线的标准形式，然后求a 、b ，即可得到所求．3．双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ，一般情况下，先求a 、b ，再写方程．两者容易混淆，可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了．(1) 若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程，设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．(2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． ,►自测自评1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是(C) A.32B ．2 C.52 D.54解析：∵a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴e ＝52. 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是y ＝±32x ． 解析：a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x . 3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1．1．(·茂名一模)已知双曲线x 2m －y 25＝1(m >0)的右焦点F (3，0)，则此双曲线的离心率为(C ) A ．6 B.322C.32D.34 2．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线C 的方程为(B )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－x 24＝1 3．以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________． 答案：x 24－y 212＝1 4．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程． 解析：设所求双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)． 将点(23，－3)代入，得λ＝－14， ∴双曲线方程为y 294－x 24＝1. 5．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率． 分析：只知渐近线方程，并不知焦点在哪个轴上，因此应分情况解答．解析：设具有渐近线y ＝±34x 的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，即x 216λ－y 29λ＝1. λ＞0，焦点在x 轴上，a 2＝16λ，b 2＝9λ，c 2＝a 2＋b 2＝25λ，∴e 2＝c 2a 2＝2516，e ＝54. λ＜0，焦点在y 轴上，a 2＝9λ，b 2＝16λ，c 2＝a 2＋b 2＝25λ，∴e 2＝c 2a 2＝259，e ＝53.1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为(C ) A ．2 B. 3 C. 2 D.322．(·茂名二模)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为(B )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则双曲线的离心率e 的值为(A ) A.52 B.62 C. 2 D ．24．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(B ) A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝c a＝2，故选B. 5．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝(C )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：由已知得，b 2＝2，c ＝2，点P 为(3，±1)，左、右焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，结合向量的乘法，易知选C.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为(D )A ．2B ．3 C.43 D.53解析：依题意，得2×2b ＝2a ＋2c ，即2b ＝a ＋c ，两边平方得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，将b 2＝c 2－a 2代入化简得，3c 2－2ac －5a 2＝0.即3e 2－2e －5＝0，解得e ＝ 53. 7．双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．解析：由题意知a ＝2，当焦点在x 轴上时，有b a＝2 ∴b ＝4，双曲线方程为x 24－y 216＝1； 当焦点在y 轴上时，有a b＝2 ∵b ＝1，双曲线方程为y 24－x 2＝1. 答案：x 24－y 216＝1或y 24－x 2＝1 8．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为________． 解析：∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线， ∴k ＋4<0，k <－4.∴a 2＝9，b 2＝－(k ＋4)．∴c 2＝a 2＋b 2＝5－k .∴c a ＝5－k 3＝2. ∵5－k ＝36，k ＝－31.答案：－319．过点P (－3，0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝________．解析：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∴x 2116－y 219＝1，x 2216－y 229＝1.两式相减得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）16－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0， 即k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝9（x 1＋x 2）16（y 1＋y 2）. ∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，∴k 1·k 2＝916.答案：91610．F 1、F 2为双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．解析：双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0，5)， ∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.①∵|PF 1|－|PF 2|＝±2，∴|PF 1|2－2|PF 2|·|PF 1|＋|PF 2|2＝4.②①－②得2|PF 1|·|PF 2|＝16，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4. 答案：411．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x . 解析：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1，或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32，且a ＝3，∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32，且a ＝3，b ＝2. ∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1. 12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . (1)求双曲线离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值． 解析：(1)∵曲线C 与l 相交于两个不同的点A 、B ，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1有两个不同的实数解， ∴(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2（1－a 2）>0'解得0<a <2且a ≠1.∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2>1＋12＝32，∴e >62且e ≠ 2. (2)由题意知：P (0，1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由P A →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， ∴x 1＝512x 2，由①可知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1·x 2＝2a 21－a 2， 以上两式相联消去x 1、x 2可得－2a 21－a2＝28960， 由a >0，知a ＝1713.►体验高考1．(·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个交点在直线l 上，则双曲线的方程为(A )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b 2＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝20. 故双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 2．(·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为(D )A. 2B.15 C ．4 D.17解析：根据已知条件，知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，所以4a 2＝b 2－3ab ，所以b ＝4a ，双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝17，选择D. 3．(·全国大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于(C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a .∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 不妨取y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，∵焦点F (c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为 3. ∴bc a 2＋b 2＝3，∴bc c ＝3，∴b ＝ 3. ∵c ＝2a ，∴c 2－a 2＝b 2，∴4a 2－a 2＝3，a ＝1，c ＝2. 4．(·四川卷)双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________． 解析：因为双曲线的方程为x 24－y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1， 所以c ＝5，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝52. 答案：525．(·北京卷)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________，渐近线方程为________．解析：设C ：y 24－x 2＝λ(λ≠0) 过(2，2)，则224－22＝λ 1－4＝λ，λ＝－3∴C ：y 24－x 2＝－3 即x 23－y 212＝1 易得渐近线：x 3±y 23＝0 即y ＝±2x .6．(·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝(D) A ．2 B.62 C.52D ．1 解析：由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.。
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业16 双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意． 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2 3B.2C. 3D.1答案 A解析 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝2 3.故选A.3．求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解 把方程化为标准形式为x 212－y 222＝1，由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2. 顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)． 离心率e ＝c a＝5，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .知识点二求双曲线的离心率 4.下列方程表示的曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 答案 B解析 ∵e ＝c a，c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.故b 2a 2＝12，观察各曲线方程得B 项系数符合，应选B. 5．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c .∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2·c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2. 知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由右焦点为F (3,0)可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c2＝a 2＋b 2知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2答案 C解析 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2 D.3 答案 B解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2·2b ＝2a ＋2c ，即b ＝a ＋c2.又b 2＝c 2－a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2－a 2，所以3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0，注意到e >1，得e ＝53. 故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A.y ＝±54xB.y ＝±45xC.y ＝±43xD.y ＝±34x答案 D解析 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c a ＝53，所以a 2＋b 2a 2＝259，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，即双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选D. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3答案 B解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y2＝b 4a 2，所以|AB |＝2·b 2a＝2·2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 23＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值X 围是[3＋23，＋∞)．二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案 x 2－y 2＝8解析 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，则c 2＝2a 2＝16，解得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值X 围是________．答案 (1，2]解析 将圆的方程配方，得(x －2)2＋y 2＝2.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，所以|2b ±0|a 2＋b 2≤ 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以c 2≤2a 2，即e ≤2，所以离心率的取值X 围为(1，2]．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解 (1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a 2－232b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y 24＝1.解法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－329－23216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7×13a ＝3×13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。
人教A版高中数学选修1-1课时跟踪检测(10) 双曲线的简单几何性质
课时跟踪检测（十） 双曲线的简单几何性质层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1, 所以a 2＝4,a ＝2,从而2a ＝4,故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为( )A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1 C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1 解析：选D 由题意知,所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ＝52－32＝16,所以双曲线方程为x 2－y 2＝16,即x 216－y 216＝1. 3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1,则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2,＋∞)B ．(2,2)C ．(1,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. 即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a ＞1,∴0＜1a2＜1, ∴1＜1＋1a2＜2,∴1＜e ＜ 2. 4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36 解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1, a 2＝64,c 2＝64－16＝48,∴焦点为(0,43),(0,－43),离心率e ＝32, 则双曲线的焦点在y 轴上,c′＝43,e′＝23, 从而a′＝6,b′2＝12,故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36. 5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±35x B ．y ＝±53x C ．y ＝±34x D ．y ＝±43x 解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1,知b 2＝1,c 2＝a 2＋1, ∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,∴2a ＋2c ＝4b ＝4,∴2a ＋2a 2＋1＝4,解得a ＝34. ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x. 6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0,b>0)上,C 的焦距为4,则它的离心率为________． 解析：由题意知4a 2－9b2＝1,c 2＝a 2＋b 2＝4,解得a ＝1, 所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的一个焦点为F(25,0),且离心率为e ＝52,则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标,知c ＝25,由e ＝c a ＝52,可得a ＝4, 所以b ＝c 2－a 2＝2,则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y ＝±12x,则该双曲线的标准方程为________． 解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x, ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4,3),∴λ＝16－4×(3)2＝4,∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2),而3<2, ∴点(4,3)在渐近线y ＝12x 的下方, 在y ＝－12x 的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在x 轴上,故可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝1 9．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线,且过点M(3,－2)； (2)过点(2,0),与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等； (3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点,离心率为32. 解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)． 由点M(3,－2)在双曲线上得44－93＝λ,得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时,可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0), 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116, 故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1； 当所求双曲线的焦点在y 轴上时,可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0), 将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)． 综上可知,所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. (3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0),(3,0),即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)． 因为e ＝c a ＝32,所以a ＝2,则b 2＝c 2－a 2＝5, 故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1. 法二：因为椭圆焦点在x 轴上,所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)． 因为e ＝32,所以λ－1625－λ＝94－1,解得λ＝21. 故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1. 10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c,直线l 过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l 的距离为34c,求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1,即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b·0＋a·0－ab|a 2＋b2＝34c, 所以ab ＝34c 2,两边平方,得a 2b 2＝316c 4.又b 2＝c 2－a 2,所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4,两边同时除以a 4,得3e 4－16e 2＋16＝0,解得e 2＝4或e 2＝43. 又b>a,所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2,则e ＝2. 于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y ＝－x,则双曲线的方程为( ) A ．y 2－x 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24 解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0),因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦点为(0,±43),所以λ<0,且－2λ＝(43)2,得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,－2),则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52 解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0,b>0)． 由题意,知过点(4,－2)的渐近线方程为y ＝－b ax, 所以－2＝－b a×4,即a ＝2b. 设b ＝k(k>0),则a ＝2k,c ＝5k,所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A,B 两点,且AB 的中点为N(－12,－15),则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0,b>0), 由题意知c ＝3,a 2＋b 2＝9,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2, 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1, 所以4b 2＝5a 2,代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4,b 2＝5,所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 4．已知A,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A. 5B ．2 C. 3 D. 2 解析：选D 不妨取点M 在第一象限,如图所示,设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0,b>0), 则|BM|＝|AB|＝2a,∠MBx ＝180°－120°＝60°,∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上,∴4a 2a 2－3a 2b2＝1,a ＝b, ∴c ＝2a,e ＝c a＝ 2.故选D. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e 的取值范围是___________．解析：由题意,知b a ≥3,则b 2a2≥3,所以c 2－a 2≥3a 2, 即c 2≥4a 2,所以e 2＝c 2a 2≥4,所以e≥2. 答案：[2,＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y ＝±43x.不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5),代入双曲线方程整理,得x 2－(x －5)2＝9, 解得x ＝175,y ＝－3215,所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF||y B |＝12(c －a)·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0,b>0)的一个焦点是F 2(2,0),离心率e ＝2. (1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M,N,线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2,e ＝2,所以a ＝1,b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m,点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*) 设MN 的中点为(x 0,y 0),则x 0＝x 1＋x 22＝m 2,y 0＝x 0＋m ＝3m 2, 所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2,即x ＋y －2m ＝0, 与坐标轴的交点分别为(0,2m),(2m,0),可得12|2m|·|2m|＝4,得m 2＝2,m ＝±2,此时(*)的判别式Δ>0, 故直线l 的方程为y ＝x± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A,B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 的面积是2,求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y,得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ① 由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点,得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2>0，解得－2<k<2且k≠±1. 即k 的取值范围为(－2,－1)∪(－1,1)∪(1,2)．(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由方程①,得x 1＋x 2＝－2k 1－k2,x 1x 2＝－21－k 2. 因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D(0,－1),则当x 1x 2<0时,S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时,S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知,|x 1－x 2|＝22,所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k1－k 22＋81－k 2＝8,解得k ＝0或k ＝±62.由(1),可知－2<k<2且k≠±1,故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
人教A版高中数学选修1-1 专题2-2-2双曲线的简单几何性
2.1.5 双曲线的简单几何性质（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )．A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14【答案】D【解析】解答：由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为22=11x y m--，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A.2.双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点是（0，3），则k 的值是( ) A.-1B.1C.【答案】D【解析】解答：由题知双曲线焦点在y 轴上，且c=3,双曲线方程可化为22811,9,y x k k k k-=∴--=--∴k=-1.，故选A. 3．双曲线22+14x y k=的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是( )．A. －12<k <-1B.0<k <12C. －12<k <0D.k <－12或0< k 【答案】C【解析】解答：双曲线方程可变为2214x y k-=-，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e＝c a =，又∵e ∈(1，2)，则<2，解得－12<k <0.故选C. 4．已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x【答案】C【解析】解答：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a ＋c ，右焦点到渐近线by x a=±距离为b ，所以有：a ＋c ＝2b ，由430x y ±=得43y x =±，取a ＝3，b ＝4，则c ＝5，满足a ＋c ＝2b ．5．与椭圆C ：2211612y x +=共焦点且过点(1，的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－23y ＝1B ．y 2－2x 2＝1C. 22122y x -=D. 23y －x 2＝1【答案】C【解析】解答：椭圆2211612y x +=的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为()22100y xm n m n -=>>，，则111,4,m nm n ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得m ＝n ＝2，故选C. 6双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A.52 B.54 C. 552 D.554 【答案】C【解析】解答：双曲线的右顶点为(20)，,渐近线方程为20x y -=,则顶点到渐近线的距离为=故选C 二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．双曲线2212y x -=的离心率为.【解析】由双曲线方程可知221,2,1,a b a c ==∴==∴8．如果双曲线()222200x y a b a b-=>>，0y -=平行，则双曲线的离心率为_____． 【答案】2e =【解析】由题意知b a =，所以离心率2ce a== 9.若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是.【答案】)+∞【解析】由正方形的对称性可知，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x,x ）(,)x x ，所以双曲线的渐近线的斜率1,b k a =>，离心率.e => 10．过原点的直线与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于,M N 两点，P 是双曲线上异于M ，N 的一点，若直线MP 与直线NP 的斜率都存在且乘积为54，则双曲线的离心率为. 【答案】32【解析】由双曲线的对称性知，可设()()0011,,,P x y M x y ，则()11,N x y --，由54P M P Nk k ⋅=，得0101010154y y y y x x x x -+⋅=-+，即()2222010154y y x x -=-，即222200115544x y x y -=-．又因为()()0011,,,P x y M x y 均在双曲线上，所以2200221x y a b-=，2211221x y a b -=，所以2254b a =，所以双曲线的离心率为32c e a ===． 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11．已知与双曲线221.169x y －＝共焦点的双曲线过点2P (－，－，求该双曲线的标准方程？【答案】221.24y x －＝【解析】已知双曲线221.169x y －＝据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为22221(00)x y a b a b>>－＝，．依题意， c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为2222x y 125a a－＝，－∵点P(在双曲线上，2221.a ∴－ 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或2125.4a ＝又当21254a ＝时，b 2＝25－a 2＝1252525044<－＝－，不合题意,舍去，故a 2=1,b 2=24.∴所求双曲线的标准方程为221.24y x －＝12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>4．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点()0,1，倾斜角为45︒的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．【答案】（1）2214y x -=（2）43 【解析】(1)依题意可得22224,,ca b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1,2,a b c ===∴双曲线的标准方程为2214y x -=．(2)直线l 的方程为1y x =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，由221,44,y x x y =+⎧⎨-=⎩可得23250x x --=，由韦达定理可得1223x x +=，1253x x =-，则3AB ===原点到直线l 的距离为2d =，于是11422323OAB S AB d ∆=⋅⋅=⨯=， ∴△OAB 的面积为43. 13．设A 、B 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为（1）求双曲线的方程； （2）已知直线2y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使【答案】（1）221123x y -=（2）()4,t D = 【解析】（1）由实轴长为得，渐近线方程为y x =，即0b x ±=，=2222,3c b a b =+∴=，∴双曲线的方程为221123x y -=. （2）设()()()112200,,,,,M x y N x y D x y ，则120120,x x tx y y ty +=+=，由212222,38401123y x x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩)1212412y y x x ∴+=+-=，∴003x y =，又22001123x y -=，所以()04,,43,x t D t y ⎧=⎪∴=∴=⎨=⎪⎩.。
人教B版选修(1-1)《双曲线的几何性质》同步测试
选修1-1 2.2.1双曲线的几何性质一、选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 [答案] A[解析] ∵e ＝ca＝2，由c ＝4得a ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝12.因为焦点在x 轴上，所以双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14[答案] A[解析] 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14.故选A.3．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3D ．2 2[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又两渐近线互相垂直，∴a ＝b ，c＝a 2＋b 2＝2a ，∴e ＝ca＝ 2.4．双曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y [答案] B[解析] 双曲线x 2－y 2＝－3可化为y 23－x 23＝1，∴a ＝3，b ＝3，顶点坐标为(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)， ∴它的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .5．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x[答案] D[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34， ∴它的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .6．双曲线4x 2＋my 2＝4m 的虚轴长是( ) A ．2m B ．－2m C ．2mD ．2－m[答案] D[解析] 双曲线4x 2＋my 2＝4m 可化为：x 2m ＋y 24＝1，∴m <0，∴a 2＝4，b 2＝－m ，b ＝－m ，2b ＝2－m . 7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2b 2－y 2a 2＝1具有( )A ．相同的焦点B ．相同的虚轴长C ．相同的渐近线D ．相同的实轴长[答案] A[解析] ∵c 2＝a 2＋b 2，∴c ＝a 2＋b 2， ∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2b 2－y 2a2＝1有相同的焦点．8．方程x 2＋(k －1)y 2＝k ＋1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．k <－1 B ．k >1C ．－1<k <1D ．k <－1或k >1[答案] C[解析] 方程x 2＋(k －1)y 2＝k ＋1，可化为x 2k ＋1＋y 2k ＋1k －1＝1，∵双曲线的焦点在x 轴上，∴k ＋1>0且k ＋1k －1<0，∴－1<k <1.9．(2018·四川文，8)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质． 由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0) ＝－1＋y 20＝0，故选C.10．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4D ．2[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)， 渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.二、填空题11．双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程是________．[答案] y ＝±2x[解析] 由题意知a ＝2，b ＝22，∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线为y ＝±2x .12．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.[答案]62[解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 13．双曲线的中心在原点，离心率e ＝3，焦距为6，则双曲线方程为__________．[答案] x 2－y 28＝1或y 2－x 28＝1 [解析] ∵焦距为6，∴c ＝3，由e ＝3得a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝8.由于焦点不确定在x 轴或y 轴，所以双曲线方程为x 2－y 28＝1或y 2－x 28＝1. 14．(2018·安徽)已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1的离心率为3，则n ＝________.[答案] 4[解析] ①当⎩⎪⎨⎪⎧n >012－n >0时，则有12n ＝(3)2，∴n ＝4.经验证，符合题意．②当⎩⎪⎨⎪⎧n <012－n <0时无解．三、解答题15．求一条渐近线方程是3x ＋4y ＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程． [解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为 3x ＋4y ＝0，∴设双曲线的方程为x 216－y 29＝λ，由题意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝1625.∴所求的双曲线方程为x 225625－y 214425＝1.16．求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．[解析] 双曲线方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，焦点坐标为(29，0)．(－29，0)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，离心率为e ＝c a ＝295，渐近线方程为y ＝±25x .17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．[解析] (1)因为e ＝2，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)易知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，所以，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2.(3)在△F 1MF 2中，底|F 1F 2|＝43，F 1F 2上的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12|F 1F 2|·|m |＝6.18．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2， 双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)．。
人教A版高中数学选修一双曲线几何性质测试.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双曲线几何性质测试班级____________姓名______________1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为______________2．如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为____________3．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为_____________4．已知双曲线2214x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为____________________5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为__________________7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ．8．双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．9．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．10．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 ．11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ．12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线162y -92x =1的通径的长是_______________14.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= . 15．已知双曲线2221()4x y b b *-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若21212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．16．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，，8MB =，且AD B C ≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．17.试求以椭圆1692x +1442y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y=1的渐近线相切的圆方程.1. 221(3)169x y y -+=-≤2. 53或543. (1)(1)--+，，∞∞4. 120k -<<5. 34x y =±6. 2214x y -=7.1cos α8. 2 9. 7 10. 2213y x -+=11.m a - 12.a - 13. 92 14. 215-15。
人教新课标版数学高二- 数学选修1—1练习第二章 双曲线的简单几何性质(二)
2.2.2 双曲线的简单几何性质(二)一、基础过关1.过双曲线x 2－y 2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，则AB 的长为( )A.2B.4C.8D.4 22.过双曲线的一个顶点A 作直线l ，若l 与双曲线只有一个公共点，则这样的直线l 有几条( )A.0B.1C.3D.43.已知椭圆x 29＋y 25＝1和双曲线x 2m 2－y 23＝1(m >0)有相同的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( )A.3x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.x ±3y ＝04.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距为c ，若原点到直线bx ＋ay ＝ab 的距离为c 2，则双曲线的离心率e 等于( ) A. 2B.2C.2 2D.4 5.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，且双曲线的右顶点A 满足MA ⊥NA ，则双曲线的离心率等于________.6.已知点(x ，y )在双曲线4x 2－y 2＝16上，则y 2＋8x 的最小值为________.7.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________.二、能力提升8.设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点.若P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( ) A.2 5 B. 5 C.210 D.109.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( )A.a 2＝132B.a 2＝13C.b 2＝12D.b 2＝2 10.已知双曲线方程x 2－y 22＝1，过点A (0,1)作直线l 交双曲线于P 1、P 2的不同两点，若线段P 1P 2的中点在直线x ＝12上，求l 的斜率k 的值. 11.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的一个焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15).求双曲线E 的方程.三、探究与拓展12.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.答案1.B2.C3.C4.A5.26.－167.(1,3]8.C9.C10.解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2kx －3＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k 2≠0，Δ＝4k 2－4(2－k 2)(－3)＝－8k 2＋24>0. 解得－3<k <3，且k ≠±2.∵P 1P 2的中点在直线x ＝12上. ∴12(x 1＋x 2)＝－k k 2－2＝12， ∴k ＝－1±3.∵－3<k <3，且k ≠±2.∴k ＝－1＋ 3.11.解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2. 又直线AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 12.解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0①，依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0，解得k 的取值范围为{k |－2<k <－2}.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2，② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0，③把②式及c ＝62代入③式， 化简得5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65D ∈/(－2，－2)(舍去). 可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.。
人教课标版高中数学选修1-1典型例题：双曲线的简单几何性质
2.2.2双曲线的简单几何性质【例1】双曲线14522=-y x 的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______.【例2】求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过A （23，-3）点的双曲线方程及离心率.参考例1：【分析】利用双曲线的简单几何性质进行填空.【解】25 4 F 1（-3，0），F 2（3，0） 553 y =±552x 【点拨】分清楚双曲线的焦点所在的轴，以免写错焦点坐标和渐近线方程.例2：【分析】可以通过求出参数a,b,c 来确定双曲线方程，但过程繁琐，计算复杂，寻求一种更简单的方法求解.【解】解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：y =±43x （1）设所求双曲线方程为12222=-by a x ∵43=a b ,∴b =43a ① ∵A (23,-3)在双曲线上 ∴191222=-b a ② 由①-②，得方程组无解（2）设双曲线方程为12222=-by a x ∵43=a b ,∴b =43a ③ ∵A (23,-3)在双曲线上 ∴112922=-ba ④ 由③④得a 2=49,b 2=4 ∴所求双曲线方程为144922=-y x 且离心率e =35 解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 λ=-91622y x (λ≠0) ∵点A （23，-3）在双曲线上∴λ=41991612=- ∴所求双曲线方程为4191622-=-y x 即144922=-y x 【点拨】（1）很显然，解法二优于解法一.（2）不难证明与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为λ=-91622y x (λ≠0). 一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程λ=-2222b y a x (λ≠0)求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数λ.。
人教新课标版数学高二-数学选修1-1专项训练 双曲线的简单几何性质
1．双曲线2x 2－y 2＝8的离心率是( )A. 3B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：选A.∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1， ∴a 2＝4，b 2＝8，∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴e 2＝c 2a 2＝3，∴e ＝ 3.故选A. 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1 解析：选A.双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)，(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x ，由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3. 3．已知设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)与x 212－y 227＝1有相同的渐近线方程，则a 的值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.由双曲线方程可知渐近线为y ＝±3a x ＝±32x ，故a ＝2. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4D.14 解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A. 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.y 24－x 24＝1 B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选A.2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c ，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)，∴(a －b )2＝0，即a ＝b .∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1. 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上． 答案：(±7，0)7．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 解析：∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.答案：－12<b <0 8．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1的焦点相同，则a ＝________. 解析：由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 答案：62 9．求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．解：椭圆的焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，即为双曲线的顶点．∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上， ∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A 1(－4,0)，A 2(4,0)，所以c ＝4，a ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝3.故所求双曲线的方程为x 27－y 29＝1. 实轴长为2a ＝27，虚轴长为2b ＝6，离心率e ＝c a ＝477，渐近线方程为y ＝±377x . 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，原点到过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线的距离为32，求此双曲线的方程． 解：∵e ＝233，∴c a ＝233， ∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.① 又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∵d ＝ab a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 由①②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝1， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.1．斜率为2的直线l 与双曲线x 23－y 22＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋2103 B ．y ＝2x －2103 C ．y ＝2x ±2103D ．以上都不对 解析：选C.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，代入双曲线方程中得：10x 2＋12mx ＋3m 2＋6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6m 5，x 1·x 2＝3m 2＋610. ∵|AB |＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，∴5·(－6m 5)2－4×3m 2＋610＝4， 解得m ＝±2103， ∴直线l 的方程为y ＝2x ±2103. 2．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A (3,0)，右焦点为F (5,0)(由于两渐近线关于x 轴对称，因此设与任何一条渐近线平行的直线均可)，一条渐近线为y ＝－43x ， 则BF 所在直线为y ＝－43(x －5)， 由⎩⎨⎧ y ＝－43(x －5)x 29－y 216＝1，得B (175，3215)， ∴S △AFB ＝12 ·|AF |·|y B |＝3215.答案：32153．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧ a 2c ＝33c a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1， x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ， y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.4．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值． 解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，由题设条件知|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝4，化简得L的方程为x24－y2＝1.(2)过M，F的直线l方程为y＝－2(x－5)，将其代入L的方程得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝655，x2＝14515，故l与L交点为T1(655，－255)．因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||<|MF|＝2，若P不在直线MF上，在△MFP中有||MP|－|FP||<|MF|＝2.故||MP|－|FP||只在T1点取得最大值2.。
人教新课标版数学高二选修1-1限时练 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质一、选择题1．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1 2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.533．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－25．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x6.设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若AB ＝－3AF ，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C. 5D.343二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 8．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．9．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________. 10．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．三、解答题11．根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52； (3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．12．已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由．13．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)． (1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长． (2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．参考答案1．A [由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为 y ＝±2x ，故选A.]2．D [由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3b a＝4， 即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2，∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.] 3．D [设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4.]4．A [∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2， ∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意．]5．C [设F 1(－c,0)，M (0，y 0)，因为M 为PF 1中点，且PF 1倾斜角为30°，则P ⎝⎛⎭⎫c ，233c ，将其代入双曲线方程得c 2a 2－43c 2b 2＝1， 又有c 2＝a 2＋b 2，整理得3⎝⎛⎭⎫b a 4－4⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2或⎝⎛⎭⎫b a 2＝－23(舍去)． 故所求渐近线方程为y ＝±2x .]6.D [设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x得B (ac a －b ，－bc a －b )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝b a x 得A (ac a ＋b ，bc a ＋b )，AB ＝(2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2)， AF ＝(bc a ＋b ，－bc a ＋b)， 由AB ＝－3AF ，得(2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2)＝－3(bc a ＋b ，－bc a ＋b)， 则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b，即b ＝53a ， 则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343，故选D.] 7.x 24－y 2＝1 解析 由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 8．12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y 66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为 (－2,26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.9. 3解析 由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3. 10．2＋ 3解析 把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1，得y ＝±3b . 不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)，∴kF 2P ＝3b c －2a. 由题意，得3b c －2a ＝b a. ∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝c a＝2＋ 3.11．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵e ＝2，∴c 2a 2＝2，即a 2＝b 2. ① 又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1， ② 由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1， ④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)．综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1. (2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5， ∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)．因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. (3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14， 即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1. 12．解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， 即(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)2·y 1－y 2x 1－x 2＝0， 又过P (1,1)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 所以k AB ＝2，所以l 方程为y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－4×2×3＜0，故直线l 与双曲线没有交点，即直线l 不存在．13．解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0. 设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23， 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， 所以e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．。
人教版数学选修1-1《双曲线练习 》测试
双曲线练习一、 选择题（每题3分共30分） 1 23456789101、双曲线2213y x -=的渐进线方程为A 、3y x =±B 、13y x =± C 、3y x =± D 、33y x =±2、如果双曲线经过点()6,3P ，渐进线方程为3x y =±，则此双曲线方程为A 、221183x y -=B 、22191x y -=C 、221819x y -=D 、221369x y -=3、已知方程22121x y k k +=--的图像是双曲线，那么k 的取值范围是 A 、1k < B 、2k > C 、12k k <>或 D 、12k <<4、双曲线22221x y a b-=的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率是A 、2B 、3C 、2D 、325、点P 是以12F F 、为焦点的双曲线221256x y -=的一点，且1PF =12，则2PF =A 、2B 、22C 、4或22D 、2或226、双曲线2213y x -=的渐进线中，斜率较小的一条渐进线的倾斜角是A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒7、如果双曲线2212x y m +=的离心率等于2，则实数m 等于A 、-6B 、-14C 、-4D 、-88、已知双曲线2213y x -=的两个焦点分别是12F F 、，点P 为双曲线上的一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积等于A 、0.5B 、1C 、3D 、69、已知方程22sin sin 2x y θθ+=表示焦点在y 轴上的双曲线，则点()cos ,sin P θθ在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限10、椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率为32，则双曲线22221x y a b -=的离心率为 A 、52 B 、54C 、32D 、54二、填空题（每题4分共20分）221x y -=22221x y a b-= 11、双曲线22143x y -=d 的实轴长为 ，虚轴长为 ，焦点坐标 ，顶点坐标 ，离心率为 ，渐进线方程为 。
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双曲线几何性质测试
班级____________姓名______________
1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为______________
2．如果双曲线的渐近线方程为3
4
y x =±，则离心率为____________
3．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为_____________
4．已知双曲线22
14x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为____________________
5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线22
22123x y m n
-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为
_____
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，
和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为__________________
7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，其离心率为 ．
8．双曲线22
221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．
9．设P 是双曲线22
219
x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别
是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．
10．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 ．
11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22
1(0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点12F F ，，
点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ．
12．P 是双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为
2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．
13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线16
2y -9
2
x =1
的通径的长是_______________
14.双曲线16x 2-9y 2
=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .
15．已知双曲线22
21()4x y b b *-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若
2
1212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．
16．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，，8MB =，且AD BC ≤，90AMB ∠=°，
能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．
17.
试求以椭圆1692x +144
2y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162
y
=1的渐近线相切的圆方
程.
1. 221(3)169x y y -+=-≤
2. 53或54
3. (1)(1)--+U ，，∞∞
4. 120k -<<
5. 3x y =±
6. 2
214
x y -=
7.1cos α
8. 2 9. 7 10. 22
13y x -+=
11.m a - 12.a - 13. 92 14. 21
5
-
15。
解 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，半焦距为c ．由题设知，双曲线实半轴长
a=2，且c 2=4+b 2，于是|r 1-r 2|=4，但r 2＜4，故r 1＞r 2．所以
因为|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2，故
因为0＜r 2＜4，则0＜(4+r 2)r 2＜32，所以
又b ∈N ，所以b=1．
16．解题思路：大田ABCD 中的点分成三类：第一类沿MA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一 样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，设P 为界线所在曲线上的 一点，则满足｜PA ｜+｜AM ｜=｜PB ｜+｜BM ｜,于是｜PA ｜-｜PB ｜=｜MB ｜-｜MA ｜=2.可知M 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支 其方程可求得为
2
2
124
y x -=在矩形中的一段.
17. 解：由椭圆1692
x +144
2y =1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线
92x -162y =1的渐近线相切，即圆心到直线y=±3
4x 的距离为圆的半径.∴
r=5
354⨯-⨯±=4 于是圆的方程为(x-5)2+y 2
=16.。