看未知数的最高次项的次数
初中数学九年级上册《一元二次方程》知识点
九上数学第21章《一元二次方程》知识点1.一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，∴x a =-。
注意：若b<0，方程无解(2)因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
(3)配方法：用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解(4)公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根：2b x a-±=(240b ac -≥)0∆=⇔方程有两个相等的实根0∆<⇔方程无实根3.韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
初二数学一元一次方程知识点
初二数学一元一次方程知识点一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式，接下来让我们来学习一元一次方程的知识点吧。
一元一次方程通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0)。
一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。
我们将ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0)叫一元一次方程的标准形式。
这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1。
即一元一次方程必须同时满足4个条件：⑴它是等式;⑵分母中不含有未知数;⑶未知数最高次项为1;⑷含未知数的项的系数不为0。
起源“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。
在这本著作中，已经会列一元一次方程。
法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。
在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。
编辑本段详细内容合并同类项⒈依据：乘法分配律⒉把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项;常数计算后合并成一项⒊合并时次数不变，只是系数相加减。
移项⒈依据：等式的性质一⒉含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。
⒊把方程一边某项移到另一边时，一定要变号{例如：移项时将+改为-}。
性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。
等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。
解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立温馨提示：继续为大家带来的是初二数学知识点之一元一次方程，希望大家能够积累运用了。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
2023年中考数学一轮复习满分突破专题11 一元二次方程【题型方法解密】
专题11 一元二次方程【考查题型】【知识要点】知识点一 一元二次方程有关概念一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。
一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
考查题型一 一元二次方程的解题型1．已知关于x 的方程230x mx +=+的一个根为1x =，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．4-C ．3D ．3-题型1-1．（2022年四川省资阳市中考数学真题）若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根，则224a a +的值是___________．题型1-2．（2022年广东省中考数学真题试卷）若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ____________．题型1-3．（2022年江苏省连云港市中考数学真题）若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，则m n +的值是___．易错点总结：知识点二：解一元二次方程（重点） 方法一：直接开平方法概念：形如2()(0)x a b b +=≥的方程两边直接开平方得x a +=x a +=，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】1) 若b >0，方程有两个不相等的实数根；2）若b =0，方程有两个相等的实数根； 3)若b<0，方程无解。
方法二 配方法概念：将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q （q ≥0）的形式； 【注意】：1）当q <0时，方程无解2）如q ≥0时，方程的根是x=-p ±q 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
人教版九年级上册数学——一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
中考第一轮复习第8讲《一元二次方程及应用》专题训练
第8讲 一元二次方程考纲要求命题趋势1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.知识梳理一、一元二次方程的概念1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________． 二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. 4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________． 三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．自主测试1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根2．如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－43．某商品原价200元，连续两次降价a %后售价为148元，下列所列方程正确的是( ) A ．200(1＋a %)2＝148 B ．200(1－a %)2＝148 C ．200(1－2a %)＝148 D ．200(1－a 2%)＝1484．已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________. 5．解方程：x 2＋3＝3(x ＋1)．考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0解析：由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0；选项D中含有两个未知数．故选C.答案：C方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1 已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是() A．－2 B．2 C．5 D．6考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程x2－4x＋1＝0.分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．解：解法一：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，由此可得x－2＝±3，x1＝2＋3，x2＝2－ 3.解法二：a＝1，b＝－4，c＝1.b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x＝4±122＝2± 3.方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．触类旁通2 解方程：x2＋3x＋1＝0.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4± 2 D．0或8解析：b2－4ac＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，解得m1＝0，m2＝8.故选D.答案：D方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．触类旁通3 已知关于x的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(m≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n2－4mk的判断正确的是()A．n2－4mk＜0 B．n2－4mk＝0C．n2－4mk＞0 D．n2－4mk≥0考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．解：(1)依题意，得b2－4ac≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤1 2.(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.∵k≤12，∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x2＜0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1)．解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.综合①②可知k＝－3.解法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1)．由(1)可知k≤12，∴2(k－1)＜0，即x1＋x2＜0.∴－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.方法总结解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1＋x2，x1x2的形式，然后把x1＋x2，x1x2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a≠0，②b2－4ac≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．触类旁通4 若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是()A．4 B．3 C．－4 D．－3考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从开始五年内保持不变，则该品牌汽车的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意，得 6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25.∵x2＝－2.25＜0，故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：的年产量为12.5万辆．方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100元？1．(河北)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是()A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝52．(江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是()A．1 B．－1 C．14 D．－143．(湖南株洲)已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为()A．b＝－1，c＝2 B．b＝1，c＝－2C．b＝1，c＝2 D．b＝－1，c＝－24．(四川成都)一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是()A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝1215．(贵州铜仁)一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．6．(浙江绍兴)把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是()A．m≠2 B．m≠±2C．m≠ 2 D．m≠± 22．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a＜2 B．a＞2C．a＜2且a≠1 D．a＜－24．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则()A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜05．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是__________．8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．参考答案导学必备知识自主测试1．B因为根的判别式b2－4ac＝4＋4＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．2．C把x＝2代入方程，得c＝4.3．B降价a%一次售价为200(1－a%)元，降价a%两次售价为200(1－a%)(1－a%)元，即200(1－a%)2元．4．32因为a＝2，b＝－3，所以x1＋x2＝－ba＝32.5．解：原方程可化为x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3.探究考点方法触类旁通1．B把3代入原方程得c＝6，解原方程得另一个根是2. 触类旁通2．解：∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0.∴x＝－3±52.∴x1＝－3＋52，x2＝－3－52.触类旁通3．D因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式n2－4mk≥0.触类旁通4．B因为a＝1，c＝3，所以x1x2＝ca＝3.触类旁通5．解：(1)2x50－x(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．品鉴经典考题1．A原方程变为x2＋4x＋4－4＋1＝0，所以(x＋2)2＝3.2．B因为方程有两个相等的实数根，则22－4(－a)＝0，所以a＝－1.3．D b＝x1＋x2＝1－2＝－1，c＝x1x2＝－2.4．C因为每次提价的百分率都是x，则两次提价后价格是原价的(1＋x)2，所以列方程为100(1＋x)2＝121.5．3或－1解方程：x2－2x＋1＝4，∴(x－1)2＝4，x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1.6．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，则(40－2x)2＝484，即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，即y＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，y最大＝800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，从而有2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm.此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.研习预测试题1．D由题意知，m2－2≠0，得m≠± 2.2．C因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.3．C因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式(－2)2－4(a－1)＞0，且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.4．A因为方程两根为负，所以两根之和为负，即－p＜0，所以p＞0；两根之积为正，即q＞0.5．±7因为把x＝2代入原方程得a2＝7，所以a＝±7.6．2因为a＝1，ca＝x1x2＝2，所以c＝2.7．－65因为a＋b＝6，ab＝－5，所以1a ＋1b＝a＋bab＝6－5＝－65.8．解：提取公因式，得(x－2)(x＋1)＝0，解得x1＝2，x2＝－1. 9．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2.解方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．∵14 400＜15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．。
《等式》方程
标准型、去分母型、去括号型、移 项型、合并同类项型、系数化为1型 等。
一元一次方程的解法
01
02
03
步骤
去分母、去括号、移项、 合并同类项、系数化为1 。
解法
通过对方程进行变形，使 方程的形式变成ax=b或 ax±bx=c的形式，再求解 x的值。
注意事项
注意运算顺序和符号，以 及方程的解是否符合题意 。
例如
在机械设计中，多元方程可以用于计算物体 的重心和压力中心。
例如
在经济学中，多元方程可以用于预测通货膨 胀率和失业率的关系。
06
偏微分方程
偏微分方程的定义
偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的方程，通 常用于描述物理、工程和其他学科中的问题。
偏微分方程可以根据不同的分类方法进行分类，如根 据未知函数的个数、方程的形式等。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法包括分离变量法、变量代换法、格林函 数法等，这些方法的使用取决于方程的具体形式和性质。
对于一些简单的偏微分方程，可以通过直接求解得到精确 解，但对于复杂的偏微分方程，通常需要使用数值方法进 行近似求解。
偏微分方程的应用
偏微分方程在物理、工程、经济和其他学科中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、薛定谔方程等。
用于计算机科学、经济学等领域。
05
多元方程
多元方程的定义
定义
多元方程是指包含两个或更多未知数的等式。
例如
x + y = 10是一个二元方程，因为它有两个未知数x和y。
多元方程的解法
代数法
通过替换、化简等技术，将多元方程 转化为一元方程进行求解。
例如
对于方程`x + y = 10`，可以通过减 去y，得到`x = 10 - y`，然后代入求 解y。
数学二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在数学中，二次函数最高次必须为二次。
数学二次函数知识点总结，希望可以帮助到大家，一起来看看下文。
数学二次函数知识点总结一1二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a 牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
高次方程解法[整理版]
![高次方程解法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2e1172442323968011ca300a6c30c225901f07c.png)
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
2020秋人教版九年级数学上册作业课件21.1 一元二次方程
特殊形式
①ax2＋bx＝0；②ax2＋c＝0； ③ax2＝0，其中a均不为0.
一元二次方程的 使方程左右两边__相__等____的未
根(解)
知数的值.
刻画实际问题中 分析题意→找等量关系→设未
的数量关系 知数→列方程
例1 若方程(m－1)x|m|＋1＋2x－7＝0是关于x的一 元二次方程，则m的值为_－__1_____．
2020秋季学期 数学·九年级上
知识要点 一元二次方程的有关概念
一元二次方程 定义
一般形式
内容
只含有____一____个未知数(一元 )，并且未知数的最高次数是 ____2____(二次)的整式方程. ax2＋bx＋c＝0(a____≠____0)， 其中二次项是___a_x_2___，一次 项是____b_x___，常数项是 ____c____，二次项系数为a，一 次项系数为b.
2
－ 3 －1
6
详细答案 点击题序
1．下列方程是一元二次方程的是
(D)
A．3x2＋ 1 ＝0
B．2x－3y＋1＝0
x
C．(x－3)(x－2)＝x2 D．(3x－1)(3x＋1)＝3
2．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一
个解，则m的值是(Fra bibliotek)A．－3 B．3 C．0 D．0或3
3．方程2x2－1＝ 3x的二次项系数是____2____， 一次项系数是_____3___，常数项是___－__1___． 4．将一元二次方程(x＋1)(x－3)＝3x＋4化为一 般形式可得______x_2_－__5_x－__7_＝__0______． 5．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋|m|－1 ＝0有一个根为0，则m的值是___－__1___．
一元二次方程的概念(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(原卷版)
一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。
3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
考点☀梳理考点1：一元二次方程的概念必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
解题指导：① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
② 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 题型1 判断一元二次方程例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．()2224x x -+=B ．2220x x ++=C ．2130x x+-= D ．21xy +=例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．()222322x x x -=-C ．3270x x -+=D ．()2240x --=练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．210x y --=C ．2210x x += D ．()()121x x -+=题型2 利用一元二次方程的概念求参数例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程．例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程2(2)310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．练习1．（2022·全国·九年级）已知方程||2(4)810m m x x -+++=是一元二次方程，求m 的值．练习2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）关于x 的方程2232mx x x mx -=-+是一元二次方程，m 应满足什么条件？练习3．（2020·全国·九年级专题练习）当m 取何值时，方程1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程．考点2：一元二次方程的一般式必备知识点：一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
整式方程 知识讲解
整式方程 知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5．学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注 ：①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+3. 二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根，x =； 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.要点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：)0(024≠=++a c bx ax3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
九年级数学上册知识点总结
九年级数学上册知识点总结• 1.一元二次方程:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次).•一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)•二次项：ax2•二次项系数：a•一次项：bx•一次项系数:b•常数项：c• 2.一元二次方程的根：一元二次方程的解类型相同点未知数最高次数例子一元一次方程都是整式11ax+c=0 一元二次方程12ax 2+bx+c=0 二元一次方程21ax+by+c=0•一元二次方程的解法：• 1.配方法• 2.公式法• 3.因式分解法1.解一元二次方程（降次）的方法：1.1配方法配方原理：完全平方公式x 2=a a≥0 x =±a步骤:化一般形式二次项系数化为1等号两边同时加（b2)2左边写成（x+b 2)2的形式.2;2)()(222222b a b ab a b a ab ab −+=+−=++完全平方公式：.22p n mx p x p p n mx x ±=+±===+或那么可得的形式，或如果方程能化成）（(2)x 2＋2 x ＋5=0(3)x 2-6x-7=0例2 解下列方程:(1)x 2＋6x+9=15第21章一元二次方程• 3.2公式法•步骤：Δ≤0，无实数根化成一般形式判别式Δ=b 2-4acΔ≥0, 两实根x=−b±b 2−4ac 2aΔ=0时，两实根相等20ax bx c ++=(a≠0)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：242b b acx a−±−∴=3、代入求根公式:2、求出的值，24b ac −1、把方程化成一般形式，并写出的值。
a b 、、c 4、写出方程的解：12x x 、特别注意:当时无解240b ac −<例1 解方程：27180x x −−=解：1292x x ==−242b b ac x a−±−=1718a b c ==−=−22474118121b ac −=−−⨯⨯=（）（）>0方程有两个不等的实数根242b b acx a−±−∴=211712121)7(±=⨯±−−=2022/4/23用公式法解下列方程：（1）2x 2-9x+8=0;（2）9x 2+6x+1=0;（3）16x 2+8x=3.• 3.3因式分解法：先进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法•注意三个公式的使用：•a2+b2+2ab=（a+b)2•a2+b2-2ab = (a-b)2•a2-b2=(a+b)(a-b)•3.3因式分解法•x2-3x=x（x-3）•y2-36=y2-62= （y+6）×（y-6）•x2-4x+4=（x-2）2•因式分解法解一元二次方程的一般步骤：• 1.通过移项将方程右边化为0；• 2.将方程左边分解成两个一次因式的乘积；• 3.令每个因式为0，得到两个一元一次方程；• 4.分别求出两个方程的解，就得到一元二次方程的解.第21章一元二次方程•4.根与系数的关系（韦达定理）：x 1+x 2=－b a x 1∙x 2=c a •5.实际问题：(21.3节，19页）•5.1传染问题：•5.2增长（降低）率问题：• 5.3矩形（其他图形）面积问题：•5.1 传染问题•例题1：有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?•分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人•开始有一人患了流感, 第一轮的传染源•第一轮:他传染了x人,第一轮后共有x+1 人患了流感.•第一轮后共有x+1 人患了流感. 第二轮的传染源•第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,•第二轮后共有1+x+x(x+1)=(x+1)2 人患了流感.•1+x+x(x+1)=121 x=10;x=-1如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？解：设每天平均一个人传染了x 人。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
一元二次方程知识点总结及例题
知识点总结：一元二次方程知识框架1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
方程最难的知识点总结
方程最难的知识点总结一、代数方程的基本概念和性质1. 代数方程的定义代数方程是一种数学关系式，其中含有一个或多个未知数，且通过数学运算得出解的一种等式。
方程是用来表示未知数之间的关系，通常用字母表示未知数。
代数方程是高中代数学的基础，而方程的解是代数方程学习中的重点。
2. 代数方程的形式代数方程的形式可以是一次方程、二次方程、三次方程等等，不同形式的方程有不同的解法。
一次方程是最简单的形式，二次方程是高中经常接触到的形式。
在解决代数方程的问题时，首先需要确定方程的形式，然后选择合适的解法进行求解。
3. 代数方程的性质代数方程有许多性质，如可解性、唯一性、解的性质等等。
对于一个方程，我们需要清楚地了解它的性质，才能选择合适的解法进行求解。
在一些特殊情况下，解的性质对于问题的解决起着非常重要的作用。
二、一次方程的解法与应用1. 一次方程的解法一次方程是代数方程中最简单的形式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一。
解一次方程的方法有几何法、代数法、图形法等。
在解一次方程的时候，我们需要根据具体的情况选择合适的解法进行求解。
2. 一次方程的应用一次方程的应用非常广泛，如物理、化学、经济等领域都有着大量的应用。
在实际问题中，我们经常可以遇到一些简单的线性关系，通过建立一次方程可以解决这些问题。
因此，掌握一次方程的解法和应用对于我们解决实际问题非常重要。
三、二次方程的解法与应用1. 二次方程的解法二次方程是代数方程中比较常见的一种形式，它的一般形式为ax² + bx + c = 0。
解二次方程通常有配方法、公式法、因式分解法等。
在解二次方程时，我们需要注意方程的系数以及判别式的符号，以避免产生错误。
2. 二次方程的应用二次方程在实际问题中也有很多应用，如抛物线问题、开口朝下的池子的水位问题等等。
通过建立二次方程，我们可以解决这些问题，从而应用二次函数的概念，分析问题的解。
因此，掌握二次方程的解法和应用对我们的数学学习和实际问题解决也具有非常重要的意义。
人教版初中数学二元一次方程组高频考点例题解析
人教版初中数学二元一次方程组高频考点例题解析单选题1、下列方程中属于三元一次方程的是（）A．π+x+y=6B．xy+y+z=7C．x+2y−3z=9D．3x+2y−4z=4x+2y−2z答案：C解析：根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且最高项的次数是1的整式方程，由此进行判断．A选项：只有2个未知数，故不是三元一次方程；B选项：最高项的次数为2，故不是三元一次方程；C选项：x+2y−3z=9，是三元一次方程；D选项：化简后2有2个未知数，故不是三元一次方程；故选：C.小提示：考查了三元一次方程的定义，判断一个方程是不是三元一次方程需要注意以下几点：①方程中含有三个未知数，与对应；②方程中所含三个未知数的项的次数都是1，与“一次”对应；③等号两边的代数式都是整式；④判断一个方程是不是三元次方程，先要对这个方程进行整理；⑤三元一次方程都能整理成ax+by+cz=k (a≠0,b≠0c≠0)的形式.2、如果二元一次方程组{x+y=ax−y=4a的解是二元一次方程3x−5y−30=0的一个解，那么a的值是（）．A．3B．2C．7D．6答案：B解析：利用如下所示的②×4-①，可得4x−4y−x−y=16a−a即3x−5y=15a，再由3x−5y−30=0进行求解即可．解：{x+y=a①x−y=4a②由②×4-①，可得4x−4y−x−y=16a−a即3x−5y=15a，∵二元一次方程组{x+y=ax−y=4a的解是二元一次方程3x−5y−30=0的一个解，∴3x−5y−30=0即3x−5y=30，∴15a=30，∴a=2，故选B．小提示：本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键在于能够利用整体代入的思想进行求解．3、一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（）A．容易题和中档题共60道B．难题比容易题多20道C．难题比中档题多10道D．中档题比容易题多15道答案：B解析：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，根据“三种题型共100道，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用方程①×2-方程②，可求出c-a=20，即难题比容易题多20题，此题得解．解：设容易题有a 题，中档题有b 题，难题有c 题，依题意，得：{a +b +c =100①3a +2b +c =3×60② ①×2-②，得：c-a=20，∴难题比容易题多20题．故选：B ．小提示：本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．4、若方程组{3x +y =1+3a x +3y =1−a的解满足x +y ＝0，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．0D ．无法确定答案：A解析：解：方程组两方程相加得：4（x+y ）=2+2a ，即x+y=12（1+a ）， 由x+y=0，得到12（1+a ）=0，解得：a=-1．故选：A ．5、以方程组{x +y =2x −y =1的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．解：解方程组{x +y =2x −y =1， 得{x =1.5y =0.5， ∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．小提示：本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，解题的关键是熟练掌握上述基础知识．6、用代入消元法解方程组{3x +4y =2①2x −y =5②使得代入后化简比较容易的变形是( ) A ．由①得x =2−4y 3B ．由①得y =2−3x 4C ．由②得x =y+52D ．由②得y ＝2x －5答案：D解析： 根据代入消元法解二元一次方程组的步骤可知变形②更简单.解：观察方程①②可知，②中y 的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将②变形为y ＝2x －5③，再把③代入①即可求出方程组的解.故选D.小提示：本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法解方程组时化简系数较简单的方程是解题的关键.7、春节将至，某超市准备用价格分别是36元/kg和20元/kg的两种糖果混合成100kg的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元/kg．若设需要36元/kg的糖果x kg，20元/kg的糖果y kg，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（）A．{x+y=10036x+20y=28B．{x+y=10036x+20y=28×100C．{x+y=10028x+28y=100×(36+20)D．{x+y=10020x+36y=28×100答案：B解析：由题意得等量关系：两种糖果混合成100kg的什锦糖；36元/kg的糖果x kg的费用＋20元/kg的糖果y kg的费用＝100kg×28，即可得出方程组．解：设需要36元/kg的糖果x kg，20元/kg的糖果y kg，由题意得：{x+y=10036x+20y=28×100故选：B．小提示：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．8、若单项式2x2y a+b与-13x a-b y4是同类项，则a，b的值分别为( )A．a＝3，b＝1 B．a＝-3，b＝1C．a＝3，b＝-1D．a＝-3，b＝-1答案：A解析：试题分析：∵单项式2x2y a+b与−13x a−b y4是同类项，∴{a−b=2a+b=4，解得：a=3，b=1，故选A．考点：1．解二元一次方程组；2．同类项．填空题9、(黄石中考)一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A ，B 两种型号，单个盒子的容量和价格如表所示，现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A 型号盒子正做促销互动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，则购买盒子所需要最少费用为_______元．答案：29解析：设购买A 种型号盒子x 个,购买盒子所需要费用为y 元,则购买B 种盒子的个数为15−2x 3个,①当0≤x <3时,y =5x +15−2x3×6=x +30,∵k =1>0,∴y 随x 的增大而增大,∴当x =0时,y 有最小值,最小值为30元,②当3≤x 时,y =5x +15−2x3×6-4=26+x ,∵k =1>0,∴y 随x 的增大而增大,∴当x =3时,y 有最小值,最小值为29元,综合①②可得,购买盒子所需要最少费用为29元,故答案为29.10、已知三元一次方程组{x +y =3y +z =4x +z =5，则x +y +z =________．答案：6解析：方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z 的值．解：{x +y =3y +z =4x +z =5 ①②③，①+②+③，得2x +2y +2z ＝12，∴x +y +z ＝6，故答案为:6．小提示：此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．11、一般地．含有______个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是____次的_____方程叫二元一次方程． 答案： 两 一 整式解析：根据二元一次方程的定义直接可得答案.解：一般地．含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是一次的整式方程叫二元一次方程．所以答案是：两，一，整式.小提示：本题考查的是二元一次方程的定义，掌握定义是解题的关键.12、某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的587，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为______．答案：5:7##57解析：设去年甲、乙、丙三种水果的种植面积分别为：5x,3x,2x, 设去年甲、乙、丙三种水果的平均亩产量分别为：6a,3a,5a, 设今年的种植面积分别为：m,n,f, 再根据题中相等关系列方程：9a·m 3.6a·n =3①，3.6a·n 5a·f =65②，求解：m =1.2n,f =0.6n, 再利用丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的587，列方程5a ·f −5a ·2x =587(9a ·m+3.6a·n+5a·f),求解x=15n,从而可得答案.解：∵去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，设去年甲、乙、丙三种水果的种植面积分别为：5x,3x,2x,∵去年甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5，设去年甲、乙、丙三种水果的平均亩产量分别为：6a,3a,5a,则今年甲品种水果的平均亩产量为：6a×(1+50%)=9a,乙品种水果的平均亩产量为：3a(1+20%)=3.6a,丙品种的平均亩产量为5a,设今年的种植面积分别为：m,n,f,∵甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，∴9a·m3.6a·n =3①，3.6a·n5a·f=65②，解得：m=1.2n,f=0.6n,又丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的587，∴5a·f−5a·2x=587(9a·m+3.6a·n+5a·f),∴87×5a·0.6n−87×5a·2x=45a×1.2n+18an+15an,解得：x=15n,所以三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为：10x m+n+f =2n1.2n+n+0.6n=57.所以答案是：5:7.小提示：本题考查的是三元一次方程组的应用，设出合适的未知数与参数，确定相等关系，建立方程组，寻求未知量之间的关系是解本题的关键.13、方程2x −3y =5,xy =3,x +3y =3,3x −y +2z =0,x 2+y =6中是二元一次方程的有___个．答案：1解析：二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1．解：符合二元一次方程的定义的方程只有2x −3y ＝5； xy ＝3，x 2＋y ＝6的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义；x ＋3y ＝1不是整式方程，不符合二元一次方程的定义；3x −y ＋2z ＝0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义；由上可知是二元一次方程的有1个．所以答案是：1．小提示：主要考查二元一次方程的概念．要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．解答题14、我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．答案：1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛．解析：直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，则{5x +y =3x +5y =2， 解得：{x =1324y =724， 答：1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛． 小提示：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．15、小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？答案：120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔．解析：设钢笔每支a 元，练习本b 元，中性笔c 元．利用题中已知条件列方程组{3a +b +2c =13①2a +4b +3c =17② ，由此可以求得(a +b +c )的值，所以通过比较20(a +b +c )与120的大小可以作出判断．设钢笔每支a 元，练习本b 元，中性笔c 元，则{3a +b +2c =13①2a +4b +3c =17②， ①+②得，5a +5b +5c =30所以，20a +20b +20c =4×30=120（元），即120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性．。
高中数学必修二方程组知识点
高中数学必修二方程组知识点方程组属于高中数学中的重要概念与思想，那么学生在必修二课本中需要学习哪些关于方程组的知识点呢?下面是店铺给大家带来的高中数学必修二方程组知识点，希望对你有帮助。
高中数学必修二一元一次方程知识点一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。
注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。
一元一次方程标准形式:只含有一个未知数(即“元”)，并且未知数的最高次数为1(即“次”)的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax+b=0(a，b为常数，x为未知数，且a≠0)。
其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。
未知数一般设为x，y，z。
一元一次方程的分类：1、总量等于各分量之和。
将未知数放在等号左边，常数放在右边。
如：x+2x+3x=62、等式两边都含未知数。
如：302x+400=400x，40x+20=60x.方程特点:(1)方程为整式方程。
(2)方程有且只含有一个未知数。
(3)方程中未知数的最高次数是1。
一元一次方程判断方法:通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。
要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax+b=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元一次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
一元一次方程必须同时满足4个条件：⑴它是等式;⑵分母中不含有未知数;⑶未知数最高次项为1;⑷含未知数的项的系数不为0。
高中数学必修二二元一次方程组知识点二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
数学二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在数学中，二次函数最高次必须为二次。
数学二次函数知识点总结，希望可以帮助到大家，一起来看看下文。
数学二次函数知识点总结一1二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a 牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。