1一元二次方程根的分布【新教材】人教A版高中数学必修第一册PPT课件
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一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
一元二次方程的根的分布PPT教学课件
y
y
y
a
0
cb
x 0 ac
b
x 0a
bx
2020/12/09
3
例（1）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个正根，求m的取值范围；
（2）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个负根，求m的取值范围；
（3）方程x2+(m-3)x+m=0有 一正一负根，求m的取值范围；
（4）方程x2+(m-3)x+m=0有两个
一元二次方程的根的分布Leabharlann 2020/12/091
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/12/09
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/12/09
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
（9）方程x2+(m-3)x+m=0有两根 且仅有一根在(0，2)内，求m的取 值范围；
2020/12/09
根都小于1，求m的取值范围；
2020/12/09
4
1. 抛物线开口方向
一元二次方程的根的分布PPT课件
7
1. 抛物线开口方向
2. 判别式△
3. 对称轴
4. 区间端点值
此类题的是关键是画图象——抛物线
2020/10/13
8
谢谢您的指导
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日 9
根都小于1，求m的取值范围；
2020/10/13
4
1. 抛物线开口方向
2. 判别式△
3. 对称轴
4. 区间端点值
2020/10/13
5
（5）方程x2+(m-3)x+m=0的一根 大于1，另一根小于1，求m的取值 范围；
（6）方程x2+(m-3)x+m=0的一根 小于2，另一根大于4，求m的取值 范围；
一元二次方程的根的分布
2020/10/13
1
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/10/13
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/10/13
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
人教A版高中数学必修第一册课件：一元二次方程的根的分布问题
（5） 一个根大于1，一个根小于1
即 两个根都在（m , n）内 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
{m|0<m≤1}
方程两根都小于m（m=0)
结论
1 方程有两个正根 代数方法
b2 4ac 0
x1
x2
b a
0
x1
•
x2
c a
0
0
方程两根都大于m(m=0)
f
0
2 一元二次不等式的应用
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
（5） 一个根大于1，一个根小于1 b 即 两个根都在（m , n）内 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. 2a 即 两个根都在（m , n）内 解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
k
f (k ) 0
2.3.2 一元二次不等式的应用
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
（1） 两个正根
解：(方法一：常利用韦达定理和判别式来解)
(m 3)2 4m 0
3 m 0
{m|0<m≤1}
m 0
法二：可借助二次函数图象来研究求解(函数法）
解.设f(x)=x +(m-3)x+m则: 2 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
Байду номын сангаас
y
(m 3)2 4m 0
0
3
m
2
2
0
2 x f (0) m 0
4.5.1一元二次方程根的分布(第二课时)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
b 2a 0 0
1
4(m 1)(m 3 m 1 5m 11 0 3m 3 0
2)
0
m 1或m
1 m 3
m
11 5
m 1
2
2 m 11, 5
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (5)若方程一根小于 3,一根大于 1,求m的取值范围.
x1
x2
( x1
x2
)
1
m
2
2m
1
0
x1
x2
2
2m
2
0
m 1或m 2
m 1
m 2,
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向
（2）判别式 b2 4ac
（3）对称轴 （4）端点值
x b 2a
f (m) 的符号。
一元二次方程
的两个根为 x1,x2 (x1x2)
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
x2
0
也可
x1 x2
一元二次方程根的分布问题课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
y
0
2
x
( m 3) 2 4m 0
3 m
2
2
0
m
m 1
2
3
f ( 0) m 0
f ( 2) 3m 2 0
探究新知
2．一元二次方程的根的非零分布——k 分布
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根为 x1，x2，且 x1≤x2.k 为常数．
或
f(p) > 0,
f(p)f(q) < 0
f(q) < 0
x1 <m< n<x2
f ( m) 0
f ( n) 0
x1∈(m，n) ，
x2∈(p，q) 。
探究新知
变式5：关于x的方程 x2+(m-3)x+m=0 ，求满足下列条
件时m的取值范围 .
（8）若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内，
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
( m 3) 2 4 m 0
m<x1 < x2 <n
探究新知
变式3：关于x的方程 x2+(m-3)x+m=0 ，求满足下列条
件时m的取值范围 .
（6）若方程的一个根小于2，另一个根大于4，
f (2) 3m 2 0
f (4) 5m 4 0
4
m m
5
探究新知
2．一元二次方程的根的非零分布——k 分布
人教版必修一：3.1一元二次方程根的分布(共15张PPT)
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 4m 0 3 m 2 0 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
2
2 m m 1 3
2019/1/10
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根
(m 3) 4m 0 3 m 0 m 0
2
m m 9
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况
两个根都在（k1 .k2)内
y
两个根有且仅有 一个在（k1 .k 2 )内
x 1∈(m,n) x ∈ (p,q) 2k1k2x Nhomakorabeak1
k2
m
n p
q
小 结
0 b k2 k1 2a f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
f (2) m 10 0 f (0) m 0 f ( 1 ) 2 m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
y
数学人教A版必修一：《一元二次方程实根分布》课件.
运用信息手段学好数学
岳口高中欢迎你！
2019/7/31
岳口高中 何碧珊
2019/7/31
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数（简
称为“三个二次”）的关系非常密切它，们相互联系，相互
渗透，使得这个“知识网络”的新题层出不穷成，为近几年 高考的一个热点。对这部分内容的学习，首先要明确三者
联系以及二次方程的实根、二次不等式的解集、二次函数
3 m 0
m 0 m 1
m 0
2019/7/31
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的根的分布
例：x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根.
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
0
y
0
k
x1
x2xy源自k x10
x2 x
2019/7/31
例: 已知二次方程mx2 +(2m－1)x－m+2 = 0 的两个根都小于1,求实数m的取值范围。
例: 已知方程x2－(3m + 2)x +2(m+6) = 0的 两个根都大于3,求实数m的取值范围。
2019/7/31
⒊ 两实根在区间(k1, k2 )内
1
0
2019/7/31
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。
[另解]:用图象法,令f (x) 2x2 3x 5m, 则f (x)为开口向上,
对称轴为
x
3 4
的抛物线,它的图象如右图所示:
9 40 m 0
岳口高中欢迎你！
2019/7/31
岳口高中 何碧珊
2019/7/31
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数（简
称为“三个二次”）的关系非常密切它，们相互联系，相互
渗透，使得这个“知识网络”的新题层出不穷成，为近几年 高考的一个热点。对这部分内容的学习，首先要明确三者
联系以及二次方程的实根、二次不等式的解集、二次函数
3 m 0
m 0 m 1
m 0
2019/7/31
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的根的分布
例：x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根.
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
0
y
0
k
x1
x2xy源自k x10
x2 x
2019/7/31
例: 已知二次方程mx2 +(2m－1)x－m+2 = 0 的两个根都小于1,求实数m的取值范围。
例: 已知方程x2－(3m + 2)x +2(m+6) = 0的 两个根都大于3,求实数m的取值范围。
2019/7/31
⒊ 两实根在区间(k1, k2 )内
1
0
2019/7/31
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。
[另解]:用图象法,令f (x) 2x2 3x 5m, 则f (x)为开口向上,
对称轴为
x
3 4
的抛物线,它的图象如右图所示:
9 40 m 0
一元二次方程根的分布课件
一元二次方程根的分布
探索一元二次方程根的分布及其应用。从定义、一般形式、判别式等方面深 入讲解，展示根的分类、分布情况以及结论。
一元二次方程的定义
一元二次方程是指具有形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知 数。
一元二次方程根的判别式
判别式D = b^2 - 4ac能告诉我们根的性质，D > 0时有实数根，D = 0时有重根， D < 0时有复数根。
根的分类：实数根和复数根
一元二次方程的根可以分为实数根和复数根。实数根为可以在数轴上表示的 数值，而复数根由实部和虚部构成。
ห้องสมุดไป่ตู้
实数根的分布情况
1
重根
2
当判别式D = 0时，方程有一个重根，即根
复数根的图形表示
复数根无法在数轴上表示，但可以在复平面上表示。复数根以点的形式出现在复平面内，分 布无特定规律。
结论和应用
通过对一元二次方程根的分类和分布情况的探索，我们能更好地理解方程的 性质，并应用于实际问题的求解和分析中。
在数轴上重叠成一个点。
3
两个不同的实数根
当判别式D > 0时，方程有两个不同的实数 根，即根在数轴上分布着形成一个开口向 上的抛物线图形。
无实数根
当判别式D < 0时，方程没有实数根，根在 复数值范围内，无法在数轴上表示。
复数根的分布情况
复数根的共轭关系
一元二次方程的复数根始终成对出现，一个根为a+bi，另一个根为a-bi，其中a和b为实数，i 为虚数单位。
探索一元二次方程根的分布及其应用。从定义、一般形式、判别式等方面深 入讲解，展示根的分类、分布情况以及结论。
一元二次方程的定义
一元二次方程是指具有形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知 数。
一元二次方程根的判别式
判别式D = b^2 - 4ac能告诉我们根的性质，D > 0时有实数根，D = 0时有重根， D < 0时有复数根。
根的分类：实数根和复数根
一元二次方程的根可以分为实数根和复数根。实数根为可以在数轴上表示的 数值，而复数根由实部和虚部构成。
ห้องสมุดไป่ตู้
实数根的分布情况
1
重根
2
当判别式D = 0时，方程有一个重根，即根
复数根的图形表示
复数根无法在数轴上表示，但可以在复平面上表示。复数根以点的形式出现在复平面内，分 布无特定规律。
结论和应用
通过对一元二次方程根的分类和分布情况的探索，我们能更好地理解方程的 性质，并应用于实际问题的求解和分析中。
在数轴上重叠成一个点。
3
两个不同的实数根
当判别式D > 0时，方程有两个不同的实数 根，即根在数轴上分布着形成一个开口向 上的抛物线图形。
无实数根
当判别式D < 0时，方程没有实数根，根在 复数值范围内，无法在数轴上表示。
复数根的分布情况
复数根的共轭关系
一元二次方程的复数根始终成对出现，一个根为a+bi，另一个根为a-bi，其中a和b为实数，i 为虚数单位。
人教A版数学必修一一元二次实根分布问题(3)(共16张PPT)
ห้องสมุดไป่ตู้
(6) 若两根中只有一根在(， )之间，则有
①f ( ) f ( ) 0； ②f ( ) 0； (要验证) ③f ( ) 0 (要验证)
二、例题(1)
1. 设A {( x，y ) | x mx y 2 0}，
2
B {( x，y ) | y x 1， 0 x 2}， 若 A B ，求实数m的取值范围.
x3 4.已知函数f ( x ) log a 的定义域为 m，n， x3 值域为 log a a( m 1) log a a( n 1)， ，且函数 f ( x )在 m，n 上为减函数， (1) 求证：m 3； (2) 求a的取值范围.
三、例题(2)
(5) 若两根中只有一根在(， )之间，则有 ①f ( ) f ( ) 0； ②f ( ) 0； (要验证) ③f ( ) 0 (要验证)
x
对于含字母的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的实数根分布问题，有如下结论： 2 设f ( x ) ax bx c(a 0) a f ( ) 0
b (1)若两根都小于实数， 则有 ； 2a 0 a f ( ) 0 b (2)若两根都大于实数， 则有 ； 2a 0
(3)若一根小于，另一根大于， 则有a f ( ) 0；
a f ( ) 0 a f ( ) 0 (4)若两根在(， )之间， 则有 b 2a 0 a f ( ) 0 (5) 若一根小于，另一根大于 ，则有 a f ( ) 0
常将二次项系数变成正数
对于含字母的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0) 的实数根分布问题，有如下结论： y 令f(x)= ax2+bx+c(a>0)
(6) 若两根中只有一根在(， )之间，则有
①f ( ) f ( ) 0； ②f ( ) 0； (要验证) ③f ( ) 0 (要验证)
二、例题(1)
1. 设A {( x，y ) | x mx y 2 0}，
2
B {( x，y ) | y x 1， 0 x 2}， 若 A B ，求实数m的取值范围.
x3 4.已知函数f ( x ) log a 的定义域为 m，n， x3 值域为 log a a( m 1) log a a( n 1)， ，且函数 f ( x )在 m，n 上为减函数， (1) 求证：m 3； (2) 求a的取值范围.
三、例题(2)
(5) 若两根中只有一根在(， )之间，则有 ①f ( ) f ( ) 0； ②f ( ) 0； (要验证) ③f ( ) 0 (要验证)
x
对于含字母的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的实数根分布问题，有如下结论： 2 设f ( x ) ax bx c(a 0) a f ( ) 0
b (1)若两根都小于实数， 则有 ； 2a 0 a f ( ) 0 b (2)若两根都大于实数， 则有 ； 2a 0
(3)若一根小于，另一根大于， 则有a f ( ) 0；
a f ( ) 0 a f ( ) 0 (4)若两根在(， )之间， 则有 b 2a 0 a f ( ) 0 (5) 若一根小于，另一根大于 ，则有 a f ( ) 0
常将二次项系数变成正数
对于含字母的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0) 的实数根分布问题，有如下结论： y 令f(x)= ax2+bx+c(a>0)
人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件-3一元二次方程的根的分布问题
y
f(0)>0
-
m-3 2
>0
0
x
Δ=(m-3)2-4m≥0
{m|0<m≤1}
结论
1 方程有两个正根 代数方法
b2 4ac 0
x1
x2
b a
0
x1
•
x2
c a
0
0
方程两根都大于m(m=0)
f
(m)
0
几何方法
b
m
2a
人教A版高中数学必修第一册PPT全文 课件：. 3一元 二次方 程的根 的分布 问题【 完美课 件】
(
1 2
)
6m 4
5
0
2
人教A版高中数学必修第一册PPT全文 课件：. 3一元 二次方 程的根 的分布 问题【 完美课 件】 人教A版高中数学必修第一册PPT全文 课件：. 3一元 二次方 程的根 的分布 问题【 完美课 件】
0
4.方程两根都大于m (x1 m) • (x2 m) 0
b
m
2a
人教A版高中数学必修第一册PPT全文 课件：. 3一元 二次方 程的根 的分布 问题【 完美课 件】
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
1
（4） 两个根都大于 2
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m
(m 3)2 4m 0
y
b 2a
3
m 2
1 2
m
（6） 两个根都在（0 , 2）内
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
y
(m 3)2 4m 0
0
3
m
一元二次方程根的分布 课件吉林省白山市抚松县第一中学高一数学人教A版(2019)必修第一册
或
0 f (m) 0
af (m) 0 af (n) 0
f (n) 0
m
b 2a
n
f (n) 0
m
b 2a
n
m
b
n
2a
例：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
9、两根有且仅有一个在（0，2）
解：设 f x x2 (k 3)x k，则
f x ax2 bx ca 0
9两个根在区间m,n外，即x1 m, x2 n
a 0
f
m
0
f
n
0
或
a 0
f
m
0
f
n
0
af (m)
af
(n)
0 0
例：已知方程x2 (k 3)x k 0 求满足下列条件的k的范围？
8、两根介于0，2之间
解：设 f x x2 (k 3)x k，则
k 0
0 k 1
(k 3) 0
设一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
的两个实根为 x1, x2 且 x1 x2 0
f x ax2 bx ca 0
b
0
1 x1 0, x2 0
2a af (0) 0
。
b2 4ac 0
x1
x2
b a
0
x1
x2
c a
0
0
b 2a
2
2 3
k
1
f (0) 0
0
f (2) 0
x1
2
x2
设一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
的两个实根为 x1, x2 且 x1 x2
f x ax2 bx ca 0
数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共27张ppt)
∴ 抛物线 = − + + 与轴的两个交点坐标分别为（ − ，）与 ( , )
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
4、小结：二次函数 = + + ( ≠ )与一元二次方程 + + = ( ≠ )的
关系
令 = ,利用整体思想则可将二次
函数转化为一元二次方程
(1)从几何的角度：对于抛物线 = + +
(2)从代数的角度：对于一元二次方程 +
出它的图像？
解：∵ 已知 = − + +
∴ = −( − ) +15
二次函数 = + + ( ≠ )的配方
①化二次项系数为1：用含未知数的项除以二次项
即可得到括号里面的项，常数项照搬
= − − + ( ) −( ) + 15
（或只有一个实数根）
C.当 ∆< 时，原一元二次方程没有实数根
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
2、请各位同学分别用公式法或十字相乘法求解下列一元二次方程：
（2） − + =
解法一（公式法）：
解法二（完全平方公式法）：
∵ 已知 − + =
∵ 已知 − + =
∴ 原一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为
=
∴ =
−
−±
−
= , =
=
+
−(−)±
×
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解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
（1）方程两根都大于k（k为常数）
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
（2）方程两根都小于k（k为常数）
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件 1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
为常数）
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(5)令f (x)=x2 2mx m 2,
若方程一根小于
3,一根大于
1, 则
f f
(3) (1)
0 0
(3)2 (1)2
6m 2m
m m
2 2
5m 11 m 3 0
0
m
11 5
m 3
m 3 m的取值范围是(3, ).
例2：（1）关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0有两实根， 一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的范围.
b 2a 0 0
1
4(m 1)(m 3 m 1 5m 11 0 3m 3 0
2)
0
m 1或m
1 m 3
m
11 5
m 1
2
2 m 11, 5
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (5)若方程一根小于 3,一根大于 1,求m的取值范围.
可用韦达定理表达式来书写条件
0 x1 x2
0
x1 x2
0
也可
f (x)
x1
x2
0
x
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
可用韦达定理表达式来书写： ac<0
也可
f (x)
x1 0
x2
x
f(0)<0
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若方程两根都小于1, 则
b 2a
1
f (1) 0
m
4(m 1
1)(m
2)
0
m m
1或m 1
2
m 2,
3m 3 0
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围;
0
4m2 4(m 2) 0
1、当x为全体实数时的根
（1）当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
（2）当 b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根
（3）当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在某个区间 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
(3)(法1)由题意 (x1 1)(x2 1) 0
x1x2
(
x1
x2
)
1
0
(x1 1) (x2 1) 0
x1
x2
2
0
4(m 1)(m 2) 0 m 1或m 2
m 1
m 1
2m 2 0
m 1
无解,
综上可知, m的取值范围是空集.
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
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k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
k1
2
k2
k1
k2
或
f (k2 ) 0 k1 k2
2
b 2a
k2
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(3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
0
若方程两根都大于1,
则
b 2a
1
f (1) 0
4m2 4(m m 1
2)
4(m
1)(m
2)
0
m m
1或m 1
2 无解,
12 2m m 2 0
Hale Waihona Puke m 1综上可知, m的取值范围是空集.
为常数）
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (1)若方程一根大于1,另一根小于1, 求m的取值范围; (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围; (3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围; (4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围; (5)若方程一根小于 3,一根大于 1, 求m的取值范围.
1或m 2 11 5 3 2 1 1
m
11 5
,
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
由题意
0 3 f (3) f (1)
实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向
（2）判别式 b2 4ac
（3）对称轴 （4）端点值
x b 2a
f (m) 的符号。
一元二次方程
的两个根为 x1,x2 (x1x2)
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
x2
0
也可
x1 x2
0
f (x)
x1
x2
0
x
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4.5.1 一元二次方程根 的分布
函数的零点定义：
对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点的求法
函数y=f(x)有零点
代数法
图象法
2020/12/27
实根分布问题
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
(4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
(4)(法1)由题意
0
(( (
x1 x1 x1
3)( x2 3) ( 1)( x2
3) 0 x2 3) 1) 0
0
(x1 1) (x2 1) 0
m
m m m m
x1
x2
( x1
x2
)
1
m
2
2m
1
0
x1
x2
2
2m
2
0
m 1或m 2
m 1
m 2,
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
0
由题意知f (1) 12 2m m 2 0, 解得m 1,
m的取值范围是(, 1).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
(2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
0 (2)(法1)由题意 (x1 1)(x2 1) 0
(x1 1) (x2 1) 0
4m2 4(m 2) 4(m 1)(m 2) 0
为常数）
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为常数）
1一元二次方程根的分布【新教材】人 教A版 高中数 学必修 第一册P PT课件
0
k1
f (k1 ) f (k2 ) 0
解：(1)(法1)由题意知
0 (x1 1)(
x2
1)
0
4m2 4(m 2) 4(m 1)(m 2) 0
x1x2 (x1 x2 ) 1 0
m 1或m 2 m 1
m 1
m的取值范围是(-, 1).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (1)若方程一根大于1, 另一根小于1, 求m的取值范围; (法2)令f (x) x2 2mx m 2,
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
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（1）方程两根都大于k（k为常数）
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（2）方程两根都小于k（k为常数）
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为常数）
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(5)令f (x)=x2 2mx m 2,
若方程一根小于
3,一根大于
1, 则
f f
(3) (1)
0 0
(3)2 (1)2
6m 2m
m m
2 2
5m 11 m 3 0
0
m
11 5
m 3
m 3 m的取值范围是(3, ).
例2：（1）关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0有两实根， 一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的范围.
b 2a 0 0
1
4(m 1)(m 3 m 1 5m 11 0 3m 3 0
2)
0
m 1或m
1 m 3
m
11 5
m 1
2
2 m 11, 5
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (5)若方程一根小于 3,一根大于 1,求m的取值范围.
可用韦达定理表达式来书写条件
0 x1 x2
0
x1 x2
0
也可
f (x)
x1
x2
0
x
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可用韦达定理表达式来书写： ac<0
也可
f (x)
x1 0
x2
x
f(0)<0
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若方程两根都小于1, 则
b 2a
1
f (1) 0
m
4(m 1
1)(m
2)
0
m m
1或m 1
2
m 2,
3m 3 0
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围;
0
4m2 4(m 2) 0
1、当x为全体实数时的根
（1）当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
（2）当 b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根
（3）当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在某个区间 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
(3)(法1)由题意 (x1 1)(x2 1) 0
x1x2
(
x1
x2
)
1
0
(x1 1) (x2 1) 0
x1
x2
2
0
4(m 1)(m 2) 0 m 1或m 2
m 1
m 1
2m 2 0
m 1
无解,
综上可知, m的取值范围是空集.
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
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k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
k1
2
k2
k1
k2
或
f (k2 ) 0 k1 k2
2
b 2a
k2
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(3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
0
若方程两根都大于1,
则
b 2a
1
f (1) 0
4m2 4(m m 1
2)
4(m
1)(m
2)
0
m m
1或m 1
2 无解,
12 2m m 2 0
Hale Waihona Puke m 1综上可知, m的取值范围是空集.
为常数）
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1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (1)若方程一根大于1,另一根小于1, 求m的取值范围; (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围; (3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围; (4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围; (5)若方程一根小于 3,一根大于 1, 求m的取值范围.
1或m 2 11 5 3 2 1 1
m
11 5
,
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
由题意
0 3 f (3) f (1)
实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向
（2）判别式 b2 4ac
（3）对称轴 （4）端点值
x b 2a
f (m) 的符号。
一元二次方程
的两个根为 x1,x2 (x1x2)
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
x2
0
也可
x1 x2
0
f (x)
x1
x2
0
x
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4.5.1 一元二次方程根 的分布
函数的零点定义：
对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点的求法
函数y=f(x)有零点
代数法
图象法
2020/12/27
实根分布问题
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
(4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
(4)(法1)由题意
0
(( (
x1 x1 x1
3)( x2 3) ( 1)( x2
3) 0 x2 3) 1) 0
0
(x1 1) (x2 1) 0
m
m m m m
x1
x2
( x1
x2
)
1
m
2
2m
1
0
x1
x2
2
2m
2
0
m 1或m 2
m 1
m 2,
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
0
由题意知f (1) 12 2m m 2 0, 解得m 1,
m的取值范围是(, 1).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
(2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
0 (2)(法1)由题意 (x1 1)(x2 1) 0
(x1 1) (x2 1) 0
4m2 4(m 2) 4(m 1)(m 2) 0
为常数）
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为常数）
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0
k1
f (k1 ) f (k2 ) 0
解：(1)(法1)由题意知
0 (x1 1)(
x2
1)
0
4m2 4(m 2) 4(m 1)(m 2) 0
x1x2 (x1 x2 ) 1 0
m 1或m 2 m 1
m 1
m的取值范围是(-, 1).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (1)若方程一根大于1, 另一根小于1, 求m的取值范围; (法2)令f (x) x2 2mx m 2,