2018学年上海市建平中学高三(上)9月月考数学试卷 解析版

2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学试卷一、填空题
1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为．
2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．
4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为．
5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=．
6．（3分）设，则=．7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的
投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=．
9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．10．（3分）集合，若B⊆A，
则实数a的取值范围是．
11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．
12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．
二、选择题
13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．
14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2
B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥α
C．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥α
D．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2
15．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）
A．数列{a n}中一定存在一项为0
B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja j
C．数列{a n}一定是等差数列
D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．
16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：
①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；
②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；
③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；
④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．
上述结论正确的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
三、解答题
17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．
（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，满足S4=5S2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．
19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．
已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．
（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）
（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．
21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．
（1）用列举法表示集合C；
（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．
（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．
2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为1．
【分析】利用（x+a）5二项式展开式的通项公式写出展开式中含x2的系数和x3的系数，
列方程求出a的值．
=•x5﹣r•a r，
【解答】解：（x+a）5的二项式展开式中，通项公式为T r
+1
∴含x2的系数为•a3，x3的系数为•a2，
由题意知•a3=•a2，
即10a3=10a2，
解得a=1或a=0；
∴非零实数a的值为1．
故答案为：1．
2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．【分析】从袋中任取2个球，基本事件总数n=，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，由此能求出所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率．
【解答】解：袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n==105，
所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，
∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p==．
故答案为：．
3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．
【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，
∴=，即==e2﹣1=，
则e2=，则e=，
设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，
∵若点（4，2）在C上，
∴λ==8﹣4=4，
即双曲线方程为﹣y2=4，
即，
故答案为：
4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为{0}∪（，+∞）．
【分析】利用分类讨论的思想①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根，故△＜0，进一步求出结果．
【解答】解：集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则：①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．
②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根．
故△＜0，
即1﹣4a＜0
解得：a．
综合①②得：，
故答案为：{0}∪（，+∞）
5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=4，或﹣1．
【分析】由x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，得x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，进而得到答案．
【解答】解：∵x∈C，且x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，
故x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，
当x=1时，=4，
当x4+x3+x2+x+1=0时，==﹣1，
故=4，或﹣1
故答案为：4，或﹣1．
6．（3分）设，则=1+．【分析】由已知求出|z n|，再由无穷递缩等比数列所有项和的求解方法求解．【解答】解：∵，
∴=，
则
==．
故答案为：1+．
7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．【分析】设出z=a+bi（a，b∈R），则由，得z在复平面内对应点的轨迹，再由|z﹣1﹣i|的几何意义求解．
【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），
则由，得a2+b2+2a≤0，
即（a+1）2+b2≤1．
复数z在复平面内对应点的轨迹如图：
∴复数|z﹣1﹣i|的最大值为|PC|+1=．
故答案为：．
8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的
投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为
AB，则|AB|=3．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，
而R′Q′=RQ，
由得Q（﹣1，1）
由即R（2，﹣2），
则|AB|=|QR|==3，
故答案为：3．
9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．【分析】满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C逐一验证选项即可．
【解答】解：满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C．
对于①，cosA=cos90°=0，显然不成立．
对于②，可取满足题意．
对于③，经验证不满足．
故答案为：②．
10．（3分）集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是{a|1＜a} ．
【分析】根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【解答】解：集合，
化简集合A={x|x2﹣5x+4≤0}=[1，4]．
∵B⊆A，
当B=∅时，则4（a﹣2）2﹣4a＜0，可得：1＜a＜4．
当B≠∅时，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x+a≤0有解．
则4（a﹣2）2﹣4a≥0，f（1）≥0，f（4）≥0，，
可得：3＜a
综上可得：实数a的取值范围是{a|1＜a}．
故答案为：{a|1＜a≤}．
11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．
【分析】由三角形的面积公式，S
△ABC
=2S△MBC，则S△MBC=，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；
方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，
∴A到BC的距离=点A到BC的距离的一半，
∴S
△ABC =2S
△MBC
，而△ABC的面积1，则△MBC的面积S
△MBC
=，
S△MBC=丨MB丨×丨MC丨sin∠BMC=，
∴丨MB丨×丨MC丨=．
∴•=丨MB丨×丨MC丨cos∠BMC=．
由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC，
显然，BM、CM都是正数，
∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨×丨CM丨，
∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．．
∴•+2≥+2×﹣2×=，
方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，
∴cos∠BMC=时，取得最小值为，
•+2的最小值是，
方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，
则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，
•+2的最小值是，
故答案为：．
12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上
单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，]∪{} ．
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．
【解答】解：函数f（x）=（a＞0且α≠1）
在R上单调递减，
则：；
解得，≤a≤．
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，
则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，
解得a=或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[，]∪{}，
故答案为：[，]∪{}．
二、选择题
13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．
【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【解答】解：ab（a﹣b）＜0
⇔a2b﹣ab2＜0
⇔a2b＜ab2
⇔
⇔＜
故选：D．
14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2
B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥α
C．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥α
D．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；
如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；
如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．
故选：D．
15．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）
A．数列{a n}中一定存在一项为0
B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja j
C．数列{a n}一定是等差数列
D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．
【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，由于a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0），可得a3﹣a4=a4，即a3=2a4，以此类推可得：a2=3a4，a1=4a4．分析选项即可判断出结论．
【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一
项，∴a i﹣a i=0，
∴当a5=0时，
则a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0）．
必有a3﹣a4=a4，即a3=2a4，
而a2﹣a3=a3或a4，
若a2﹣a3=a3，则a2﹣a4=3a4，而3a4≠a3，a4，a5，舍去；
若a2﹣a3=a4∈{a n}，此时a2=3a4，
同理可得a1=4a4．
可得数列{a n}为：4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）；
据此分析选项：易得A、B、C正确；
对于D、集合A={x|x=a i+a j，1≤i≤j≤5}={8a4，7a4，6a4，5a4，4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）}中共有9个元素，D错误；
故选：D．
16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：
①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；
②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；
③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；
④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．
上述结论正确的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】通过函数的基本性质﹣﹣奇偶性和单调性，对选项进行逐一验证即可【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R）是奇函数，
∴任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立，故①正确；
令m=，|f（x）|=，可解得，x=1或x=﹣1，故②正确；
当x≥0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在[0，+∞）单调递增当x＜0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在（﹣∞，0）单调递增，
故函数在R上单调递增，对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
故③错误；
由③中分析可得：f'（x）∈（0，1]，故对任意k∈（1，+∞），
函数y=f（x）的图象与y=kx只有原点一个交点，
即函数g（x）=f（x）﹣kx有一个零点，故④错误．
故选：B．
三、解答题
17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．
（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．
（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，证明HG⊥AM，推出AM⊥平面EFGH．通过计算求出AM=4．AF，设直线AF与平面α所成角为θ，求解即可．
解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．
【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（6分），第2小题满分8分）解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，
，…（2分）
，…（4分）
所以，．…（6分）
（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，由题意，HG⊥平面ABB1A1，故HG⊥AM，
所以AM⊥平面EFGH．…（2分）
=10，）
因为，，所以S
△AEH
因为EH=5，所以AM=4．…（4分）
又，…（6分）
设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）
所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）
解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），…（2分）故，，…（3分）
设平面α一个法向量为，则即
所以可取．…（5分）
设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）
所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）
18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，
满足S4=5S2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．
【分析】（1）公比q∈N*，q≠1，由S4=5S2．可得=，解得
q．
（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，利用等差数列的求和公式可得数列{b n}的前n项和T n=log a2，对a分类讨论，利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）公比q∈N*，q≠1，∵S4=5S2．∴=，解得q=2．
∴a n==2n﹣5．
（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，
∴数列{b n}的前n项和T n=log a2=log a2，
a＞1时，（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．
0＜a＜1时，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．
19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．
已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．
（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）
（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
【分析】（1）利用正弦定理，即可求解；
（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，求出Q 的轨迹方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）
由正弦定理，得：
所以…（4分）
所以
所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为25.7°的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功…（6分）
（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，
设Q（x，y）（y≥0）…（8分）
由题意，知AQ=2EQ，所以
所以（x﹣3）2+y2=36（y≥0）…（11分）
即点Q的轨迹是以（3，0）为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分
所以当AD≥6米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲…（14分）20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，
求证：直线DE恒过一个定点．
【分析】（1）利用AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，A点坐标为（﹣a，0），得a，求出b，然后求解椭圆方程．
（2）求出AP的方程x﹣y+1=0，通过Q是椭圆M上的点，故可设
，然后利用三角形的面积求解最大值即可．
（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，求出D、E坐标，得到直线DE的方程，利用直线系得到定点坐标．
（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时
与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可
设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，利用韦达定理结合斜率关系推出DE的方程为x=ty﹣2，推出直线DE过定点（﹣2，0）．
【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，
又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a=1，…（2分）
因为椭圆M过P点，故，可得，
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（2）AP的方程为，即x﹣y+1=0，
由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）
所以…（8分）=
当，即时，S
取最大值．
△APQ
的最大值为．…（10分）
故S
△APQ
（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，可得
，，
又x A=﹣1，故，，…（12分）
同理可得，，又k1k2=1且k1≠k2，可得且k1≠±1，
所以，，，
直线DE的方程为，…（14分）
令y=0，可得．
故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）
（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，
此时与题设矛盾．
若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，
可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1=0，可得，…（12分）又，
可得，…（14分）
故，
可得s=﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s=﹣2．
所以DE的方程为x=ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．
（1）用列举法表示集合C；
（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．
（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．
【分析】（1）先求出集合A，B，进而可得集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}（2）C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，进而可得答案；
（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．去除满足P⊊Q和Q⊊P的元素个数，可得答案．
【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，
集合B={x|lg（x2+x+8）=1}={﹣2，1}，
集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}={﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2}．
（2）n∈N*时，对C的任一元素a，因为C共有6个元素，
故含有元素a的子集为25个，
故C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，
故S（C1）+S（C2）+…+S（C n）=（﹣4﹣2﹣1+0+1+2）•25=﹣128；
（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．
若P⊊Q，并设Q中含有k（1≤k≤n，k∈N•）个元素，则满足P⊊Q的有序
集合对（P，Q）有=36﹣26个．
同理，满足Q⊊P的有序集合对（P，Q）有36﹣26个．
故满足条件的有序集合对（P，Q）的个数为n（P，Q）=26（26﹣1）﹣2（36﹣
26）=2702．。