2017年陕西省宝鸡中学高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
陕西省宝鸡市高二上学期数学期中考试试卷
陕西省宝鸡市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高二上·徐州期中) 在平面直角坐标系xOy中，过A（﹣1，0），B（1，2）两点直线的倾斜角为________．2. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的面积为________．3. （1分） (2019高二下·上海月考) 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________4. （1分） (2018高二上·西城期末) 经过点且与直线垂直的直线方程为________.5. （1分）(2020·宝山模拟) 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________6. （1分） (2018高二上·遵义月考) 一个半径为6的球内切于一个正方体，则这个正方体的对角线长为________ .7. （1分） (2016高三上·襄阳期中) 若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣4的最小距离为________．8. （1分）下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β ，直线a⊂α ，直线b⊂β ，则直线a∥b.9. （1分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为________ ．10. （1分） (2016高二上·湖北期中) 已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2 ，则此四面体外接球的表面积为________．11. （1分）(2017·长春模拟) 直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为________．12. （1分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 ，则a=________．13. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.14. （1分）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，向量 =（m﹣2，2﹣n）， =（1，1），则和共线的概率为________．二、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2017高二下·运城期末) 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M，N分别为PB，AC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求点B到平面AMN的距离．16. （5分） (2017高二上·唐山期末) 已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．17. （5分）已知：以点C(t R,t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O 为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．18. （10分） (2018高一下·宜宾期末) 如图所示，在四棱锥中，已知底面是矩形，是的中点， .（1）在线段上找一点 ,使得 ,并说明理由；（2）在（1）的条件下，求证 .19. （10分） (2016高二上·苏州期中) 如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2 ， l1交y 轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．20. （15分） (2017高一下·盐城期末) 如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B 两点．（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
2017-2018学年陕西省宝鸡市金台区高二第一学期期中质量检测理科数学试题 解析版
绝密★启用前陕西省宝鸡市金台区2017-2018学年高二第一学期期中质量检测理科数学试题一、单选题1．在数列1,1,2,3,5,8,,21,34,55x 中，等于（ ） A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 【答案】C 【解析】设数列为，∵数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55，∴（≥3），∴5+8=13，故选C ．考点：数列的概念．2．设11a b >>>-，则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．11a b < B ． 2a b > C ． 11a b> D ． 22a b > 【答案】B【解析】对于A ：当12,2a b ==-此时满足a ＞1＞b ＞-1但11a b>故A 错 对于B ： 11a b >>>-时， ()220,1b a b ∈∴> 故B 对；对于C ：当12,2a b ==时此时满足a ＞1＞b ＞-1，但11a b <故C 错； 对于D ：当93,84a b ==时满足a ＞1＞b ＞-1但22a b <故D 错；故选B 3．中，的对边分别为，，且，那么满足条件的( )A ． 有一个解B ． 有两个解C ． 无解D ． 不能确定 【答案】A 【解析】，且根据正弦定理得：，，则这样存在，或，因为所以，即，满足条件只有一个解，故选A.4．函数、的定义域都为，若不等式的解集是，不等式的解集是，全集为，则不等式组的解集是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数的定义域为，不等式的解集为的解集为，不等式的解集为，的解集为不等式组的解集为，故选D.5．数列{}n a满足：()1202,n na a n--=≥11a=，则24a a与的等差中项是（）A．5-B．10-C．5D．10【答案】C【解析】数列{a n}满足：a n-2a n-1=0（n≥2），a1=1，即a n=2a n-1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=1×2n-1=2n-1．则a2与a4的等差中项=242a a+32252+==故选C6．6．如果，那么的最小值为（）A．4 B．C．9 D．18【答案】D【解析】试题分析：因为，，所以，，由均值定理得，，当m=n时，“=”成立，故选D。
数学---陕西省宝鸡市金台区2017届高三上学期期中质量检测试题(理)
陕西省宝鸡市金台区2017届高三上学期期中质量检测试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}3,2,1,2|{--=x A ，}31|{<<-=x x B ，则A B =I ( )A ．)3,2(-B ．)3,1(-C ．}2{D ．}3,2,1{-2. 若复数2i 1-iz =（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i3. 已知双曲线)0(19222>=-a y a x 的渐近线为x y 43±=，则该双曲线的离心率为( ) A ．43 B ．47 C ．45 D ．35 4.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526 D ．19- 5.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则11π()24f 的值为( ) A ．26- B ．23- C ．22-D ．1-6.已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>7.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )A ．81 B ．1 C ．2 D ．4 8.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9. 如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,8(A 为( )A ．451B ．861 C ．1221 D ．167110.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B ．316C ．320 D ．1211.已知C B A ,,是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（,λμ∈∈R R ），则μλ+的取值范围是( ) A ．)1,0( B ．),1(+∞ C ．]2,1( D ．)0,1(-12. 若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为( ) A ．32- B ．23- C ．32 D ．23 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：“2000,||0x x x ∃∈+<R ”，则p ⌝为 .14.已知椭圆1222=+y ax 的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线x y -=的对称点P 仍在椭圆上，则21F PF ∆的周长为 .15.已知ABC ∆中，BCAD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4 于D ，则CDBD 的值为 . 16.在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ， 30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将A B C ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'. （Ⅰ）当2'=D C 时，求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）当BD AC ⊥'时，求三棱锥ABD C -'的高.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数； （Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率.20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：A 、B 、F 三点共线.21. （本小题满分12分）已知函数()e 33x f x x a =-+（e 为自然对数的底数，a ∈R ）.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间与极值； （Ⅱ）求证：当3ln e a >，且0>x 时，e 3132x x a x x>+-.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆的切线、和割线，弦交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共O PA PB PCDBE（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.参考答案一．选择题：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD二．填空题：13.. 2,0x x x ∀∈+≥R 14. 222+15. 6 16. 26π三、解答题所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，……………………6分（II ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ……………………8分 ∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n ……………10分 12)1211(21+=+-=n n n ……………………12分18. 解：（1）当C D '=AB 的中点O ，连,C O DO '，在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1C OD O '==，又C D '=∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥…………………2分又C O AB '⊥ ，AB OD O = ，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ， ……………………4分又C O '⊂ 平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB ． ……………………5分（2）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分 又C D '⊂ 平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '==……………………9分而△BDC '中，BD =1,BC '=∴△BDC '为直角三角形，111122BDC S '=⨯⨯= ……………………10分三棱锥C ABD '-的体积1113326BDC V S AC ''=⨯⨯=⨯= ．112ABD S =⨯ ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由622331=⨯⨯h 解得36=h ．……………………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分 由5.0120.0)5(40.0=⨯+-⨯x ，解得425.x =∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分 （II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. ……… 7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个.………… 10分所以该运动员得1分的概率P =62217=. ……………………… 12分 20.解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm = ，即42(2)2p p =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分（II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx ty x =+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt = 代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t -⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分 直线AF 的斜率为22(1)1AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BF t t t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线. ……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线. ……………………………………12分21. （I ）解: 由f (x )＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －3，x ∈R . ………………………1分令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3， ………………………………2分 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a )．………6分 （II ）证明:待证不等式等价于23e 312x x ax >-+………………………………7分 设23()e 312x g x x ax =-+-，x ∈R ， 于是()e 33x g x x a '=-+，x ∈R .由（I ）及3ln ln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0. ………9分 于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当3ln ln 31ea >=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． ………………10分 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即23e 312xx ax >-+，故e 3132x x a x x >+- ……………………12分 22.解：（I ）连接AB ,P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ………………………………2分又 P A 与圆O 切于点A , PAB AEB ∴∠=∠, ………………………………4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴. ………………………………5分 （II ）因为P A 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PB F A 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ………………………………7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯= ………………………………9分OP ∴===∴四边形PBF A………………………………10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ………………………………2分 2C 的直角坐标方程为3x =；………………………………4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A ,PQ OP ⊥ ,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ== ………………………………6分 代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ== ………………………………8分 所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ长度的最小值为 ………………………………10分24.解：（Ⅰ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分 所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分 （Ⅱ）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1，当且仅当a b =时取等号，① ………………………………7分又2a b +≤ 21≤+∴b a ab 2ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，② ………………………………9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥ ………………………………10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥， 22a b M += ，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分 即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤，下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥ ………………………………10分。
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）一个正四棱锥的正(主)视图如右图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A . ， 8B . ，C . ，D . 8，82. （2分）已知直线l之方程为 x+y+1=0，则直线的倾斜角为（）A . 120°B . 150°C . 60°D . 30°3. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定4. （2分）直线 + =1在y轴上的截距是（）A . |b|B . -b2C . b2D . ±b5. （2分） (2017高三上·襄阳开学考) 已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β．正确命题的个数是（）A . 1B . 3C . 2D . 06. （2分）直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（）A . 重合B . 平行C . 垂直D . 相交但不垂直7. （2分）已知圆的方程为，则圆心坐标为（）A . (0,1)B . (0,-1)C . (1,0)D . (-1,0)8. （2分） (2015高二上·福建期末) 如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A .B .C .D .9. （2分）过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·大庆期中) 已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx﹣y+n=0与nx2+my2=mn 所表示的曲线可能是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·枣庄模拟) 若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（）A . 34πB .C .D . 114π12. （2分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·西城期末) 在中，，， . 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为________.14. （1分） (2016高二上·青海期中) 两平行直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：6x+8y﹣5=0之间的距离为________．15. （1分） (2016高二上·唐山期中) 在y轴上的截距是﹣3，且经过A（2，﹣1），B（6，1）中点的直线方程为________16. （1分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）(2017·福州模拟) 如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．18. （5分） (2017高一下·长春期末) 已知直线l过定点（1.4）,求当直线l在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小时,此直线的方程.19. （5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE20. （15分）如图示，边长为4的正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，M、Q分别是PC，AD的中点．（1）求证：PA∥面BDM（2）求多面体P﹣ABCD的体积（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使面PCN⊥面PQB？若存在，指出N的位置，若不存在，请说明理由．21. （15分） (2017高二上·黑龙江月考) 如图，已知动直线过点，且与圆交于、两点．（1）若直线的斜率为，求的面积；（2）若直线的斜率为，点是圆上任意一点，求的取值范围；（3）是否存在一个定点（不同于点），对于任意不与轴重合的直线，都有平分，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2019高二上·安徽月考) 已知三棱锥中：，，，是的中点，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15、答案：略16-1、三、解答题 (共6题；共55分)18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
【精品】2017学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期中数学试卷和解析
2017学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11B．12C．13D．142．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b3．（5分）在△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a，b，a=5，b=4且∠A=60°（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不确定4．（5分）函数f（x），g（x）的定义域为R，若不等式f（x）≥0的解集为F，不等式g（x）＜0的解集为G，全集为R，则不等式组的解集是（）A．（∁R F）∪G B．∁R（F∩G）C．F∩G D．（∁R F）∩（∁R G）5．（5分）数列{a n}满足：a n﹣2a n﹣1=0（n≥2），a1=1，则a2与a4的等差中项是（）A．﹣5B．﹣10C．5D．106．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4C．9D．187．（5分）若f（x）=x2﹣ax+1有负值，则实数a的取值范围是（）A．a＞2或a＜﹣2B．﹣2＜a＜2C．a≠±2D．1＜a＜38．（5分）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照这样的规律下去，6小时后细胞的存活数为（）A．67B．71C．65D．309．（5分）在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=，则△ABC的面积为（）A．B．16C．或16D．或10．（5分）关于x的不等式的解集为（1，a]∪（2，+∞），则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2]C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）11．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4B．9C．10D．1212．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，若b n=a2n，则数列{b n}的前5项和等于．14．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，a=，c=2，则b=．16．（5分）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨．三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（17分）△ABC的面积为S=，AB=3，AC=5，•＜0．（1）求角A的大小；（2）求边BC．18．（17分）解关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＜0．19．（18分）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．20．（18分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．。
2016-2017年陕西省宝鸡中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定2．（5分）空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则﹣+等于（）A．B．3 C．3 D．23．（5分）当用反证法证明“已知x＞y，证明：x3＞y3”时，假设的内容应是（）A．x3≤y3B．x3＜y3C．x3＞y3D．x3≥y34．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果•=0，那么点M到y轴的距离是（）A．B．C．D．17．（5分）已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D．+18．（5分）若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±2x9．（5分）用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）如图，平面α与平面β相交成锐角θ，平面α内的一个圆在平面β上的射影是离心率为的椭圆，则角θ等于．12．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．13．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+=拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有．14．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：①点E到平面ABC1D1的距离是；②直线BC与平面ABC1D1所成角等于45°；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影的面积最小值为；④BE与CD1所成角的正弦值为．其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共5小题，共50分）15．（8分）在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（1）试证明上述命题；（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．16．（10分）已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB ⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为．求线段AM的长．19．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆上，过F（1，0）点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（3）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．2．（5分）空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则﹣+等于（）A．B．3 C．3 D．2【解答】解：如图，﹣+=﹣（﹣）=﹣=﹣（﹣2）=3，故选：B．3．（5分）当用反证法证明“已知x＞y，证明：x3＞y3”时，假设的内容应是（）A．x3≤y3B．x3＜y3C．x3＞y3D．x3≥y3【解答】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3＞y3”的否定为：“x3≤y3”，故选：A．4．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．5．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形ABCD的边长为，取BD中点O，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1），=（1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），平面CBD的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ，cosθ==．∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．故选：D．6．（5分）已知椭圆+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果•=0，那么点M到y轴的距离是（）A．B．C．D．1【解答】解：设M（x，y），则椭圆+y2=1…①，∵椭圆+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（﹣，0），F2（，0），，∵∴x2+y2=3…②由①②得x2=，x=±，∴点M到y轴的距离为，故选：B．7．（5分）已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D．+1【解答】解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：﹣1=．故选：C．8．（5分）若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由双曲线方程得a2=m，b2=6，c2=m+6，∵双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，∴=e2=4，即，得m+6=4m，3m=6，得m=2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线y=x=y=±x，故选：A．9．（5分）用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：左边的和为，当n=8时，和为，故选：B．10．（5分）已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1【解答】解：由题意，+=1，从而可得，y=；故A（c，），B（c，﹣）；故由△ABF1是锐角三角形知，＜1；故＜1；即e2+2e﹣1＞0；故﹣1＜e＜1；故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）如图，平面α与平面β相交成锐角θ，平面α内的一个圆在平面β上的射影是离心率为的椭圆，则角θ等于30°．【解答】解：由题意可得：平面α上的一个圆在平面β上的射影是一个离心率为的椭圆，也可以说为：β上的一个离心率为的椭圆在α上的射影是一个圆，设圆的半径为r，所以b=r，又因为，并且b2=a2﹣c2，所以a=r．所以cosθ==，所以θ=30°．故答案为：30°12．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．13．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+=拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有=．【解答】解：∵A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，∴AB⊥平面BCD．由已知有：CD上的高AE=，h=AO=，∴h2=，即=．故答案为：=．14．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：①点E到平面ABC1D1的距离是；②直线BC与平面ABC1D1所成角等于45°；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影的面积最小值为；④BE与CD1所成角的正弦值为．其中真命题的编号是②③④（写出所有真命题的编号）．【解答】解：①E∈A1B1，A1B1∥面ABC1D1，∴E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为B1C=．∴①不正确．②BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，∴②正确．③在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为，∴③正确．④BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角，即∠A1BE，A1E=，A1B=2，BE=，cos∠A1BE=．∴sin∠A1BE=．∴④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共50分）15．（8分）在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（1）试证明上述命题；（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解答】解：（1）设正三角形内任意一点P到各边的距离分别为m，n，p，则由等面积可得=，∴m+n+p=a，即边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（2）类比边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，在一个正四面体内任一点到各个面的距离之和是定值a，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a．16．（10分）已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；当n=2时，，，所以f（2）＜g（2）；当n=3时，，，所以f（3）＜g（3）．（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：①当n=1，2，3时，不等式显然成立．②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，即即++…+＜，那么，当n=k+1时，，因为，所以．由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB ⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为．求线段AM的长．【解答】（1）证明：因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1．因为AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点，所以B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B1C+EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E．又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE．（2）解：连结D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x．在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x．在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2﹣2AE•EHcos 135°，得x2=1+x2+x．整理得5x2﹣2 x﹣6=0，解得x=（负值舍去），所以线段AM的长为．19．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆上，过F（1，0）点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（3）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，因此，即可求椭圆M的方程为．（2）由题意，直线l的方程为：y=x﹣1．由得得7x2﹣8x﹣8=0，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|MN|=|x1﹣x2|=．（3）设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），中点M（x'，y'），把y=k（x﹣1）代入椭圆方程，得到方程（4k2+3）x2﹣8k2x﹣8=0，则，，所以MN的中垂线的方程为，令x=0，得，当k＞0时，，则；当k＜0时，，则，当k=0时，显然y0=0综上，y0的取值范围是[﹣，]．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．2B ．6C ．3D ．210．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 ．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△A BC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线3x ﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C 被直线x ﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C 的标准方程； （Ⅱ）设点A （0，3），若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．19．如图，已知抛物线C ：x 2=2py （0＜p ＜4），其上一点M （4，y 0）到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．20．直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选A．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】数形结合；分析法；直线与圆．【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可设双曲线的标准方程为，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求出这条渐近线的斜率，从而得到，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=，再根据c2=a2+b2便可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A ． 【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．10．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M （x 0，2+x 0），求得x 0的取值范围．【解答】解：过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=．∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN=，则∠OMR≥． ∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x 0，2+x 0），|OM|2=x 02+y 02=x 02+（2+x 0）2=2x 02 +4x 0+4，∴2x 02+4x 0+4≤4，解得，﹣2≤x 0≤0．∴x 0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得 右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，运算求得结果． 【解答】解：由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2， 故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，是解题的关键12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求出双曲线C 2的离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，∴C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为，∴C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C 2的离心率： =，故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．【解答】解：∵F 是抛物线y 2=5x 的焦点F （，0），准线方程x=﹣，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF|+|BF|=x 1++x 2+=10，解得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点横坐标为：．∴线段AB 的中点到y 轴的距离是．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ﹣6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y 得y=﹣x+z ，则直线截距最大时，z 也最大．平移直线y=﹣x+z 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大为12，即x+y=12，由，得，即B （6，6），此时B 也在直线y=k 上，∴k=6，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小，由，即，即A （﹣12，6）， 此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 （﹣，0）∪（0，） ．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m 的值，数形结合求出实数m 的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m 2=，m=±．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，可得右焦点，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程，求得P 的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：椭圆16x 2+25y 2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F 2（3，0），由P 在x 轴上方，且直线PF 2的斜率为，可得P 的横坐标小于3，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3）， 代入椭圆方程可得，27x 2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P 的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF 1F 2的面积为•|F 1F 2|•y P =3•=8． 故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；（2）设直线l 的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．【解答】解：（1）∵， ∴边AB 上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C （5，4），∴直线的方程为：y ﹣4=﹣2（x ﹣5），即2x+y ﹣14=0．（2）设直线l 的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l 的方程为：．∴直线l 过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．（Ⅱ）利用方程组，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，利用，求解即可．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p ＜4，所以p=2，y 0=4．所以抛物线标准方程为x 2=4y ．（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l 的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，显然△=16k 2+16＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k①，x 1x 2=﹣4②又，所以，即x 2=﹣2x 1③由①②③消去x 1，x 2，得，由题意，故直线l 的方程为． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．20．直线l 过点M （2，1），且与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积的值．【考点】椭圆的简单性质． 【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；（Ⅱ）求得直线FM 的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，所以，即，所以l 方程为：x+y ﹣3=0．（Ⅱ）因为F （﹣2，0），M （2，1），所以l 斜率，所以l 方程为：x ﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y 2﹣8y ﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，，x 1x 2=（4y 1﹣2）（4y 2﹣2）=16y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4，所以=x 1x 2+y 1y 2=17y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4=．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．如图，直线y=kx+b 与椭圆=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（I ）求在k=0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（Ⅰ）设出点A ，B 的坐标利用椭圆的方程求得A ，B 的横坐标，进而利用弦长公式和b ，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB 的长度的表达式，利用O 到直线AB 的距离建立方程求得b 和k 的关系式，求得k ．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为（x 2，b ），由，解得，所以=≤b 2+1﹣b 2=1．当且仅当时，S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k 2﹣b 2+1，=．②设O 到AB 的距离为d ，则，又因为，所以b 2=k 2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．已知动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点P （﹣2，1），动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ，PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m ，代入y 2=4x ，利用韦达定理，结合k PA +k PB =2k PG ，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设Q （x ，y ），根据题意得，…整理得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ．…（Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为x=ny+m （n≠0且n ∈R ），则G （m ，0）．…将x=m+ny 代入y 2=4x ，整理得y 2﹣4ny ﹣4m=0．由题意得△=16n 2+16m ＞0，即n 2+m ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m ，，，，由题意得k PA +k PB =2k PG ，即k PA +k PB ﹣2k PG =0，所以，… 即…把y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m 代入上式，整理得（m ﹣2）n=（m+2）（2﹣m ），…又因为n ∈R ，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
陕西省高二上学期期中数学试卷(理科)
陕西省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A . l与C相交B . l与C相切C . l与C相离D . 以上三个选项均有可能2. （2分）若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若,则3. （2分） (2017高一上·长春期末) 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2，PA=3，AD=6，PA⊥底面ABCD，E是PD上的动点．若CE∥平面PAB，则三棱锥C﹣ABE的体积为（）A .B .C .D .4. （2分）设直线l过点（﹣3，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A . ±B . ±C . ±D . ±5. （2分）(2012·陕西理) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2012·天津理) 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A . [1﹣，1+ ]B . （﹣∞，1﹣]∪[1+ ，+∞）C . [2﹣2 ，2+2 ]D . （﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）7. （2分） (2016高一下·吉林期中) 下列说法正确的是（）A . 梯形可以确定一个平面B . 圆心和圆上两点可以确定一个平面C . 两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线D . 若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线8. （2分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A . πB . πC . πD . π9. （2分） (2017高二上·黄山期末) 如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）A .B .C .D . -10. （2分）三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A . 24πB . 18πC . 10πD . 6π11. （2分） (2020高一上·北海期末) 已知直线被圆截得的弦长为，则（）A . ±1B .C .D .12. （2分）一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C：(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是（）A . 4B . 5C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高一上·珠海期末) 圆C：x2+y2=1关于直线l：x+y=1对称的圆的标准方程为________14. （1分） (2020高一下·常熟期中) 已知点为圆外一点，若圆C上存在一点Q，使得，则正数A的取值范围是________．15. （1分）已知圆C：x2+y2=4，过点A（2，3）作C的切线，切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________16. （2分） (2020高二上·诸暨期末) 已知直线，圆的方程为：，则直线恒过定点________；若直线与圆相较于，两点，则弦长度的最小值 ________；三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二下·徐汇月考) 如图所示，平面，正方形的边长为2，，设为线段中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．18. （15分） (2016高二上·自贡期中) 如图，菱形ABCD的边长为2，△BCD为正三角形，现将△BCD沿BD 向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′= ，连接CC′，E为CC′的中点．文科：（1）求证：AC′∥平面BDE；（2）求证：CC′⊥平面BDE；（3）求三棱锥C′﹣BCD的体积．19. （5分）如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足=，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．20. （5分）在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点．（1）求证：CD∥平面AEF；（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．21. （10分） (2015高一上·福建期末) 如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1．（1）求证：AE⊥PB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．22. （10分） (2017高二上·武清期中) 已知直线l1：（2a﹣1）x+y﹣4=0，l2：2x+（a+1）y+2=0，a∈R，l1∥l2 ．（1）求a的值；（2）若圆C与l1、l2均相切，且与l1相切的切点为P（2a，2a），求圆C的方程．。
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷(理科)
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·怀化期末) 下列有关命题的说法正确的是（）A . 若命题：，，则命题：，B . “ ”的一个必要不充分条件是“ ”C . 若，则D . ，是两个平面，，是两条直线，如果，，，那么2. （2分）已知集合M={x|x＞x2}，N={y|y=，x∈M}，则M∩N=（）A . {x|0＜x＜}B . {x|＜x＜1}C . {x|0＜x＜1}D . {x|1＜x＜2}3. （2分） (2020高二上·娄底开学考) 若是等差数列的前项和，其首项，，，则使成立的最大自然数是（）A . 198B . 199C . 200D . 2014. （2分） (2019高三上·广东月考) 在中，，，，则（）A .B . 或C . 或D .5. （2分）已知等比数列中，公比，且，，则=（）A . 2B . 3或6C . 6D . 36. （2分） (2016高一上·陆川期中) “10a＞10b”是“lga＞lgb”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）在等差数列中，，前n项和为，且，则（）A . -2012B . 2012C . -2013D . 20138. （2分）已知实数x,y满足，则目标函数的最大值为（）A . 6B . 5C .D . -39. （2分）(2018·百色模拟) 若直线：被圆截得的弦长为4，则当取最小值时直线的斜率为（）A . 2B .C .D .10. （2分） (2018高二上·泰安月考) 若数列的前项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·上海期中) 若△ 的三个内角满足，则△（）A . 一定是钝角三角形B . 一定是锐角三角形C . 一定是直角三角形D . 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形12. （2分）(2017·宝清模拟) 设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ，△AnBnCn的面积为Sn ， n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ，，，则（）A . {Sn}为递减数列B . {Sn}为递增数列C . {S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D . {S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分）(2012·陕西理) 设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为________．14. （1分） (2016高一下·高淳期末) 已知2x+2y=6，则2x+y的最大值是________．15. （1分）某日中午12时整，甲船自A处以l6km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日l2时30分时两船之间的距离是________ km．16. （1分） (2019高二上·吉林月考) 数列满足，则________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2020高二上·汕尾期末) 已知命题表示双曲线，命题表示椭圆．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围．（2）判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）．18. （10分） (2016高三上·石嘴山期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an= +2（n﹣1）（n∈N*）．（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；（2）设数列的前n项和为Tn ，证明：．19. （10分） (2015高三上·大庆期末) 在△ABC中，．（1）求tanA；（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．20. （5分）已知二次函数y=f（x），当x=2时，函数f（x）取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间（1，4）上无最小值，求实数k的取值范围．21. （10分）(2018·遵义模拟) 已知a，b，c为正数，且．（1）求函数的最小值；（2）若，求的最小值．22. （5分）已知正项数列{an}，若前n项和Sn满足8Sn=an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项，（1）求数列{an}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题. (共4题；共4分)考点：解析：答案：14-1、考点：解析：考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
陕西省宝鸡市金台区17学年高二数学上学期期中质量检测试题
陕西省宝鸡市金台区2016-2017学年高二数学上学期期中质量检测试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列 ,55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ C ）A ．11B ． 12C ．13D ．14【解析】由数列的特点可知从第三项起，每一项等于其前两项之和，所以x 等于132.设11->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是（ B ） A. b a 11< B.2b a > C. ba 11> D.b a 22> 【解析】因为11->>>b a ，所以1,12><a b 因为，所以2b a >恒成立3.在ABC ∆中，B A ∠∠,的对边分别为b a ,， 60,4,5=∠==A b a 且（ A ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不确定 【解析】由正弦定理的Bsin 4235=，所以 60sin 23532sin =<=B ,所以当B 为锐角时符合题意，当角B 为钝角时不符题意，所以三角形有一解4.函数)(),(x g x f 的定义域为R ，若不等式0)(≥x f 的解集为F,不等式0)(<x g 的解集为G,全集为R,则不等式组{0)(0)(<≥x f x g 的解集是（ D ） A ．G F C R )( B ．)(G F C R C ． G F D ．)()(G C F C R R【解析】不等式0)(≥x f 的解集为F,不等式0)(<x g 的解集为G ，所以0)(<x f 的解集为F C R ，0)(≥x g 的解集为G C R ，所以不等式组{0)(0)(<≥x f x g 的解集为)()(G C F C R R 5.数列n a {}满足：),2(021≥=--n a a n n 11=a ，则42a a 与的等差中项是（ C ）A ．5-B ．10-C ．5D ．10【解析】因为数列n a {}满足：),2(021≥=--n a a n n 所以n a {}为等比数列，2=q ，又11=a ，所以8,242==a a ，42a a 与的等差中项是5242=+a a 6.如果4log log 33=+n m ，那么n m +的最小值是（ D ）A ．4B ．34C ．9D ．18【解析】因为4l o g l o g 33=+n m ，所以81=mn ，由基本不等式得18922=⨯=≥+mn n m7.若1)(2+-=ax x x f 有负值，则a 的取值范围是（ A ）A ．22-<>a a 或B ．22<<-aC ．≠a 2±D ．31<<a【解析】因为1)(2+-=ax x x f 有负值，所以对应方程012=+-ax x 有两个不等的实根，所以△>0，解得22-<>a a 或8.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个， 按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是（ B ） A ．33个 B ．65个 C ．66个 D ．129个【解析】由此规律可知存活个数n a 与时间n 的关系为12+=n n a ，所以651266=+=a9.ABC ∆中，已知38,8,30===b a A ，则ABC S ∆等于（ C ）A ．332B ．16C ．316332或D ．16332或 【解析】由正弦定理得B sin 3828=,所以23sin =B ,所以 12060==B B 或,当 60=B 时，90=C ,此时ABC S ∆=33238821=⨯⨯，当 120=B ，8==a c ，所以ABC S ∆=316120sin 83821=⨯⨯⨯ 10.关于x 的不等式0232≥+--x x a x 的解集是（1，a ,] （2，∞+），则a 的取值范围是（ C ）A ．)1,(-∞B ． ),2(+∞C ．（1,2）D ．]2,1[ 【解析】因为不等式0232≥+--x x a x 的解集是（1，a ,] （2，∞+），所以a 的取值范围是（1,2） 11.若变量y x ,满足⎩⎨⎧≤+≥≤-2932y x x y x ，则22y x +的最大值是（ B ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．15【解析】画出可行域可知22y x Z +=最优解为)1,3(-，所以10)(max 22=+y x12.ABC ∆中，A tan 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，B tan 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（ A ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 以上都不对【解析】设等差数列为n a {}，由于4,473=-=a a ，所以公差2，即02tan >=A ，所以A 为锐角，设等比数列为{}n b ，由于9,3163==b b ，所以公比为3，即03tan >=B ，所以B 为锐角，又因为01tan tan 1tan tan )tan(tan >=-+-=+-=B A B A B A C ,所以C 也为锐角，所以三角形为锐角三角形第二部分（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列n a {}中，15,632==a a ，若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于 ；【解析】因为等差数列n a {}中，15,632==a a ，所以n a n 3=，又因为n n a b 2=，所以{}n b 为等差数列，所以30,610521====a b a b ，所以数列{}n b 的前5项和等于902)(551=+b b 14.若不等式798<+x 和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则b a +＝ ；【解析】因为不等式798<+x 解集为{⎭⎬⎫-<<-412x x ，此解集对应的一元二次不等式为02942<++x x ，即02942>---x x 而不等式798<+x 和不等式022>-+bx ax 的解集相同，所以9,4-=-=b a ，即13-=+b a15.ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若2,5,32cos ===c a A ，则=b ； 【解析】由余弦定理的A bc c b a cos 2222-+=,所以b b 38452-+=，解得=b 3 16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为次万元4，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=x .【解析】由题意可知总运费为4400⨯x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为x x41600+，由基本不等式得x x 41600+取最小值时，x x 41600=，所以20=x三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分17分)ABC ∆的面积为4315=S ，0,5,3<∙==→→AC AB AC AB （1）求角A 的大小 （2）求边BC【解】因为 ABC ∆的面积为4315=S ，所以4315sin 5321=⨯⨯⨯A ,所以23sin =A ， 又因为0<∙→→AC AB ，所以角A 为钝角，所以32π=A (2)由余弦定理可知=2BC 49)21(532259cos 222=-⨯⨯⨯-+=⨯⨯-+A AC AB AC AB ,所以7=BC 18.(本小题满分17分) 解关于x 的不等式0)1)(1(<--x ax【解】当0=a 时，原不等式可变为0)1(<--x ，解得1>x ；所以原不等式的解集为{}1>x x ；当0<a 时，原不等式对应方程两根分别为1,121==x ax ，所以原不等式的解集为{}11><x a x x 或；当0>a 时，原不等式对应方程两根分别为1,121==x a x ，若10<<a ，则原不等式的解集为{⎭⎬⎫<<a x x 11，若1=a ，则原不等式的解集为φ，若1>a ，则原不等式的解集为{}11<<x a x 。
陕西省宝鸡中学高二上学期月考(一)数学理试卷 Word版含解析
2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）月考数学试卷（理科）（1）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的逆命题是（）A．“若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3”B．“若a2+b2+c2＜3，则a+b+c≠3”C．“若a2+b2+c2≥3，则a+b+c≠3”D．“若a2+b2+c2＜3，则a+b+c=3”2．已知命题P：∀x1，x2∈R，（x2﹣x1）≥0，则￢P是（）A．∃x1，x2∈R使（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R 使（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R 使（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R 使（x2﹣x1）＜03．“sin（α+β）=sinα+sinβ”是“α=0，β=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要4．在区间上随机取一个数x，使得|x+1|+|x﹣1|≤3成立的概率为（）A．B．C．D．5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A．B．C．D．6．在函数①y=cos|2x|；②y=sin（2x+）；③y=|cosx|；④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①②③④ C．②④ D．①④7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，则直线A1C与平面A1BC1所成的角的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°8．在三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是三角形ABC的重心，则=（）A．++ B．++C．++ D．++9．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.2510．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足•=0，•=0，•=0，M为BC的中点，则△AMD是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定11．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*均有S n＞0D．若对任意n∈N*均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．利用计算机产生0～1之间的随机数a，则事件“3a﹣1≤0”发生的概率为．14．如图：已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，过顶点A1作底面ABC的垂线，若垂足为BC的中点，则异面直线AB与CC1成的角的余弦值为．15．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中的真命题是．（用命题编号作答）16．设对任意的实数x∈，不等式x2+ax﹣3a＜0总成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．18．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A2C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．19．（10分）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（1）求证：B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1大小的余弦值；（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．（10分）命题p：函数f（x）=且|f（x）|≥ax．q：函数g（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，g（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），且∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x）恒成立．（1）若p且q为真命题，求a的取值范围；（2）若p或q为真命题，求a的取值范围．2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）月考数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的逆命题是（）A．“若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3”B．“若a2+b2+c2＜3，则a+b+c≠3”C．“若a2+b2+c2≥3，则a+b+c≠3”D．“若a2+b2+c2＜3，则a+b+c=3”【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出逆命题即可．【解答】解：命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的逆命题是：“若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3”．故选：A【点评】本题考查了命题与它的逆命题的应用问题，是基础题目．2．已知命题P：∀x1，x2∈R，（x2﹣x1）≥0，则￢P是（）A．∃x1，x2∈R使（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R 使（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R 使（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R 使（x2﹣x1）＜0【考点】全称命题；命题的否定．【专题】探究型．【分析】原命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题判断即可．【解答】解：命题P：为全称命题，所以全称命题的否定是特称命题，所以￢P：∃x1，x2∈R 使（x2﹣x1）＜0．故选C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题．3．“sin（α+β）=sinα+sinβ”是“α=0，β=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：由sin（α+β）=sinα+sinβ，推不出α=0，β=0，比如α=，β=﹣，不是充分条件；若α=0，β=0，则sin（α+β）=sinα+sinβ，是必要条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的定义，是一道基础题．4．在区间上随机取一个数x，使得|x+1|+|x﹣1|≤3成立的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出|x+1|+|x﹣1|≤3成立的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在区间上随机取一个数x，则﹣2≤x≤2，当﹣2≤x≤﹣1时，不等式|x+1|+|x﹣1|≤3等价为﹣（x+1）﹣（x﹣1）≤3，即﹣2x≤3成立，此时﹣≤x≤﹣1，当﹣1＜x＜1时，不等式|x+1|+|x﹣1|≤3等价为（x+1）﹣（x﹣1）≤3，即2≤3，此时﹣1＜x＜1，当1≤x≤2时，不等式|x+1|+|x﹣1|≤3等价为（x+1）+（x﹣1）≤3，即2x≤3，此时1≤x ≤成立，综上﹣≤x≤，则由几何概型的概率公式可得使得||x+1|+|x﹣1|≤3成立的概率为，故选B．【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据不等式的解法求出对应的解集是解决本题的关键．5．（2011•安徽）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A．B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．6．在函数①y=cos|2x|；②y=sin（2x+）；③y=|cosx|；④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①②③④ C．②④ D．①④【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】在①中，y=cos|2x|的最小正周期为π；在②中，y=sin（2x+）的最小正周期为=π；在③中，y=|cosx|的最小正周期为π；在④中，y=tan（2x﹣）的最小正周期为．【解答】解：在①中，y=cos|2x|的最小正周期为π，故①正确；在②中，y=sin（2x+）的最小正周期为=π，故②正确；在③中，y=|cosx|的最小正周期为π，故③正确；在④中，y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故④错误．∴最小正周期为π的函数是①②③．故选：A．【点评】本题考查三角函数的最小正周期的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，则直线A1C与平面A1BC1所成的角的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；空间角．【分析】由已知证得平面A1BC1⊥平面BB1C1C，连接B1C交BC1于O，则CO⊥BC1，可得CO⊥平面A1BC1．即∠CA1O为直线A1C与平面A1BC1所成的角．然后求解直角三角形得答案．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥A1C1，又，∠ACB=90°，∴A1C1⊥B1C1，则A1C1⊥平面BB1C1C，又A1C1⊂平面A1BC1，∴平面A1BC1⊥平面BB1C1C，连接B1C交BC1于O，则CO⊥BC1，∴CO⊥平面A1BC1．∴∠CA1O为直线A1C与平面A1BC1所成的角．设AC=BC=AA1=a，则，CO=，在Rt△A1OC中，sin，∴直线A1C与平面A1BC1所成的角的大小为30°．故选：A．【点评】本题考查直线与平面所称的角，关键是找出线面角，是中档题．8．在三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是三角形ABC的重心，则=（）A．++B．++C．++D．++【考点】向量在几何中的应用．【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由重心的性质得出==﹣2，再利用=即可得出答案．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴=，∴=，又，，∴=﹣2，∴==﹣2，∴3=，即=．故选D．【点评】本题考查了平面向量的几何运算，三角形重心的性质，属于中档题．9．（2012•高密市模拟）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：据此估计，这三天中至少有两天下雨的概率近似为（）A．0.4 B．0.35 C．0.3 D．0.25【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共7组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：191、271、932、812、393，113，134共7组随机数，∴所求概率为0.35．故选B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．10．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足•=0，•=0，•=0，M为BC的中点，则△AMD是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】可画出图形，根据条件得出，从而可进行数量积的运算求出，进而得出，从而判断出△AMD的形状．【解答】解：如图，根据条件：==0；∴；∴△AMD为直角三角形．故选C．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件．11．（2016秋•徐汇区校级期中）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*均有S n＞0D．若对任意n∈N*均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，利用二次函数的单调性与数列的单调性即可得出．【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，故错误．选项D，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2015•天津校级模拟）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式变形为•＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x＜＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．【解答】解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，•＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．利用计算机产生0～1之间的随机数a，则事件“3a﹣1≤0”发生的概率为．【考点】几何概型．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】求满足事件“3a﹣1＜0”发生的a的范围，利用数集的长度比求概率．【解答】解：由3a﹣1＜0得：a＜，数集（0，）的长度为﹣0=，数集（0，1）的长度为1﹣0=1，∴事件“3a﹣1＜0”发生的概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，利用数集的长度比可求随机事件发生的概率．14．（2012•徐汇区二模）如图：已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，过顶点A1作底面ABC的垂线，若垂足为BC的中点，则异面直线AB与CC1成的角的余弦值为．【考点】余弦定理；异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】确定∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角，再在△∠A1AB中，利用余弦定理即可求解．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，则∵AA1∥CC1，∴∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=由余弦定理，得cos∠A1AB==故答案为：【点评】本题考查线线角，考查余弦定理的运用，解题的关键是确定线线角．15．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中的真命题是p1，p2．（用命题编号作答）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；转化法；简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，根据线性规划的应用结合特称命题和全称命题的定义和性质对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出不等式组表示的区域：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D所有的部分都在x+2y=﹣2的上方，故p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；故p1正确，p2错误，区域D有一部分在x+2y=3的下方，故p3：∃（x，y）∈D，x+2y≤3正确，区域D全部在x+2y=﹣1的上方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误．综上所述p1，p2正确，故答案为：p1，p2【点评】本题考查命题的真假判断与应用，利用线性规划的应用，结合数形结合是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．16．设对任意的实数x∈，不等式x2+ax﹣3a＜0总成立，则实数a的取值范围是（，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】构造函数令f（x）=x2+ax﹣3a，依题意可得，解之即可求得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=x2+ax﹣3a，∵对任意的实数x∈，不等式x2+ax﹣3a＜0总成立，∴，即，解得：a，故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，构造函数f（x）=x2+ax﹣3a，依题意可得是解决问题的关键，考查等价转化思想与函数与方程思想，也可分离参数a，利用对勾函数的性质解决，属于中档题．三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2012•山东）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（Ⅱ）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，所以概率为．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及列举法的应用，解题的关键是正确列举，分析得到事件的情况数目．18．（10分）（2013•西安一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A2C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知得DE⊥平面A1CD，A1C⊥DE，由此能证明A1C⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CM与平面A1BE所成角．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE，∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE．（2）解：以C为原点，CB为y轴，CA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0），=（0，3，﹣2），=（﹣2，﹣1，0），设平面A1BE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣1，得=（﹣1，2，），M（﹣1，0，），，cosθ===，∴CM与平面A1BE所成角为45°．【点评】本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．19．（10分）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（1）求证：B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1大小的余弦值；（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【考点】点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）以A为原点，以AD为x轴，以AA1为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能证明B1C1⊥CE．（2）分另求出平面B1CE的法向量和平面CEC1的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．（3）设点M（a，b，c），由点M在线段C1E上，知，λ＞0，根据直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，利用向量法能求出线段AM的长．【解答】（1）证明：以A为原点，以AD为x轴，以AA1为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点，∴B1（0，2，2），C1（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，﹣1），∴=0，∴B1C1⊥CE．（2）解：设平面B1CE的法向量=（x，y，z），∵=（1，﹣2，﹣1），=（﹣1，1，﹣1），∴，取x=3，得=（3，2，﹣1），设平面CEC1的法向量，∵，，∴，取x1=1，得=（1，0，﹣1）．设二面角B1﹣CE﹣C1的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值为．（3）解：设点M（a，b，c），∵点M在线段C1E上，∴，λ＞0，∴（a，b﹣1，c）=λ（1，1，1）=（λ，λ，λ），∴a=λ，b=λ+1，c=λ，∴M（λ，λ+1，λ），∴=（λ，λ+1，λ），∵直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，平面ADD1A1的法向量，∴cos＜＞==，解得，或（舍），∴=（），∴||==．∴线段AM的长为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（10分）命题p：函数f（x）=且|f（x）|≥ax．q：函数g（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，g（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），且∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x）恒成立．（1）若p且q为真命题，求a的取值范围；（2）若p或q为真命题，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】分别求出命题p，q为真时，a的取值范围，（1）若p且q为真命题，则两个取值范围的交集即为答案；（2）若p或q为真命题，则两个取值范围的并集即为答案；【解答】解：∵函数f（x）=，∴y=|f（x）|=，∴y′=，由y=|f（x）|和y=ax的图象均过原点，故命题p为真，即|f（x）|≥ax恒成立时，仅须y′|x=0=﹣2≤a≤0，即a∈，∵当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．∴当0≤x≤a2时，f（x）=（a2﹣x+2a2﹣x﹣3a2）=﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；当x＞2a2时，f（x）=x﹣3a2．画出其图象．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．若命题q为真，即∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），即6a2≤1，解得：a∈．（1）若p且q为真命题，则a∈；（2）若p或q为真命题，则∈．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，恒成立问题，难度较大，属于难题．。
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷(理科)
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知正三角形ABC的顶点A，B在抛物线y2=4x上，另一个顶点C（4，0），则这样的正三角形有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A . 50B . 40C . 25D . 203. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”．③“若x= ，则tanx=1，”的逆命题为真命题；④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．A . 1B . 24. （2分） (2017高一下·上饶期中) 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（﹣1，3），若点C满足=α +β ，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）A . 3x+2y﹣11=0B . （x﹣1）2+（y﹣2）2=5C . 2x﹣y=0D . x+2y﹣5=05. （2分）变量x与变量y有如下对应关系x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0则其线性回归直线必过定点（）A . （3，5）B . （4，5）C . （5，6）D . （6，6）6. （2分）(2016·黄山模拟) 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A . 2B . 37. （2分）设连接双曲线与的四个顶点组成的四边形的面积为，连接其四个焦点组成的四边形的面积为，则的最大值是（）A .B .C . 1D . 28. （2分） (2018高二上·锦州期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不是充分条件也不是必要条件9. （2分） (2017高一上·西安期末) 给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（）A . 0B . 1C . 210. （2分）若椭圆和椭圆的焦点相同且.给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②；③ ；④.其中，所有正确结论的序号是（）A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③11. （2分）从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，则这两个数字的和为偶数的概率为（）A . 0.2B . 0.4C . 0.6D . 0.812. （2分） (2017高二上·长沙月考) 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是________14. （1分）掷一枚骰子，出现点数是奇数的概率是________．15. （1分） (2018高二下·海安月考) 设有1个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为6cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．16. （1分） (2017高二上·廊坊期末) 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二下·丹阳期中) 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的槪率为，购买C种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的槪率分布和数学期望．18. （10分）(2018·益阳模拟) 已知抛物线的方程为，过点（为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为， .（1）过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；（2）设直线，的斜率分别为， .求证：为定值.19. （10分）小明和电脑进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和电脑的4局比赛的得分统计如表：小明5768电脑69510（1）求小明和电脑在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差s12，s22；（2）从小明和电脑的4局比赛得分中随机各选取1个分数，并将其得分分别记为m，n，求|m﹣n|＞2的概率．20. （10分） (2017高二下·赣州期末) 设命题p：实数x满足|x﹣1|＞a其中a＞0；命题q：实数x满足＜1（1）若命题p中a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21. （10分）(2018·淮南模拟) 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过 .（1）求椭圆的方程；（2）直线交椭圆与两点，若，求证： .22. （10分）(2016·兰州模拟) 已知椭圆C的焦点坐标是F1（﹣1，0）、F2（1，0），过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|=3．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点P（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M，N，试判断：在x轴上是否存在点A （m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷(理科)
陕西省宝鸡市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 下列判断错误的是（）A . “ ”是“ ”的充分不必要条件B . 命题“ ”的否定是“ ”C . 若为假命题，则均为假命题D . 是的充分不必要条件2. （2分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，其直观图如图丙，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A . a，bB . a，dC . c，bD . c，d3. （2分） (2016高二上·佛山期中) 如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A . 8cmB . 6cmC . 2（1+ ）cmD . 2（1+ ）cm4. （2分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A . 一个圆台、两个圆锥B . 一个圆柱、两个圆锥C . 两个圆台、一个圆柱D . 两个圆柱、一个圆台5. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的体积为（）A . 8πB .C .D . π6. （2分）若直线a不平行于平面α ，则下列结论成立的是（）A . α内的所有直线均与a异面B . α内不存在与a平行的直线C . α内的直线均与a相交D . 直线a与平面α有公共点7. （2分） (2017高二上·苏州月考) 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定正确的是（）A . AC⊥BDB . AC∥截面PQMNC . AC = BDD . 异面直线PM与BD所成的角为8. （2分） (2016高二上·淮南期中) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为（）A .B . 2C .D .9. （2分） (2016高一下·黄冈期末) 下列命题中，真命题的是（）A . 已知f（x）=sin2x+ ，则f（x）的最小值是2B . 已知数列{an}的通项公式为an=n+ ，则{an}的最小项为2C . 已知实数x，y满足x+y=2，则xy的最大值是1D . 已知实数x，y满足xy=1，则x+y的最小值是210. （2分）如图所示，则这个几何体的体积等于（）A . 4B . 6C . 8D . 1211. （2分）(2018·东北三省模拟) 已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在底面ABCD内，且P到棱AD的距离与到面对角线BC1的距离相等，则点P的轨迹是（）A . 线段B . 椭圆的一部分C . 双曲线的一部分D . 抛物线的一部分二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·武邑期中) 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是________（写出所有正确结论的序号）14. （1分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2 ，体积分别为V1、V2 ，若它们的的侧面积相等且S1︰S2＝9︰4，则V1︰V2＝________.15. （1分） (2019高三上·新疆月考) 如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAB垂直于底面ABC，△ABC与△PAB 都是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为________.16. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 在三棱锥中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点分别是棱的中点，且，则 ________．三、解答题 (共5题；共30分)17. （5分）(2017·长春模拟) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥底面ABCD，E 为B1D的中点．（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角D﹣AE﹣C为60°，AA1=AB=1，求三棱锥C﹣AED的体积．18. （5分）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；19. （5分）如图所示，ABFC﹣A1B1F1C1为正四棱柱，D为BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，BC1⊥AB1 ，BC1⊥A1C．求证：（Ⅰ）平面A1BD1∥平面AC1D；（Ⅱ）BC1⊥B1D．20. （5分） (2019高三上·上海期中) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC， ADC= PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.21. （10分）如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中,四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1 ， D，E的平面交CD 1于F。
陕西省宝鸡市高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版
陕西省宝鸡市高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A 版高二数学理试题说明：1.本试题分Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷和答案要按照A 、B 卷的要求涂到答题卡上，第Ⅰ卷不交；2全卷共三大题20个小题，满分130分，100分钟完卷。
第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请选出正确答案） 1.以下结论正确的是（ ）A ．一个程序的算法步骤是可逆的B ．一个算法是可以无止境地运算下去的C ．完成一件事情的算法有且只有一种D ．设计算法要本着简单方便的原则2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。
公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个，调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②。
则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法 C ．系统抽样法，分层抽样法 D ．简单随机抽样法，分层抽样法3. 现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则所抽到的个体编号可能是（ ）A ．5，10，15，20，25，30B ．2，14，26，28，42，56C ．5，8，31，36，48，54D ．3，13，23，33，43，534. 从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中袋中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个红球，至少有一个绿球B ．恰有一个红球，恰有两个绿球C ．至少有一个红球，都是红球D ．至少有一个红球，都是绿球 5. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如右示，则该样本的中位数、众数、极差分别是 A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,536. 下列概率模型中，古典概型的个数为（ ） (1)从区间1,10内任取一个数，求取到1的概率；(2)从1，2，3， ，10中任取一个整数，求取到1的概率；(3)向一个正方形ABCD 内任意投一点P ，求点P 刚好与点A 重合的概率； (4)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．给出四个命题：①未位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实599488877744330055511112220987654321数0,>x x ；④对于任意实数12,+x x 是奇数．下列说法正确的是 ( )A. 四个命题都是真命题B. ①②是全称命题C. ②③是特称命题D.四个命题中有两个假命题8．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ． 349. 设11,x y ，22,x y ，…，,n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点,通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点,x y 10. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x z ax by 0,0a b 的是最大值为12，则ba 32+的最小值为（ ）A.256 B. 83C. 113D. 4 第Ⅱ卷（共80分）（参考公式式:x b y a x x y y x x xn x y x n y x b i ni i i ni i ni i i ni -=---=--=∑∑∑∑====,)())((2112211）二、填空题: （本题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答卷纸中相应位置的横线上.）11．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是82，则xy 的值为 12. 若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 命题.yxL13. 已知实数a 满足下列两个条件：①关于x 的方程0132=++x ax 有解；②代数式)3(log 2+a 有意义。
陕西省宝鸡市高二上学期数学期中试试卷
陕西省宝鸡市高二上学期数学期中试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·重庆期中) 已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（）A .B . 3C . ﹣3D .2. （2分）表示一个圆，则的取值范围是（）A . ≤2B .C .D . ≤3. （2分）若直线（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k为（）A . -3B .C .D . -64. （2分）设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A .B .C .D . 或5. （2分） (2018高二上·大连期末) 设椭圆与函数的图象相交于A,B两点，点P 为椭圆C上异于A,B的动点，若直线PA的斜率取值范围是，则直线PB的斜率取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二下·铜陵期中) 抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A .B .C . （﹣2，0）D . （0，﹣2）7. （2分） (2016高三上·兰州期中) 椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1 ， F2 ，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则离心率是（）A .B . -1C .D .8. （2分）在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是（）A .B . k<0或C .D . 或9. （2分）(2017·合肥模拟) 锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A . （5，6]B . （3，5）C . （3，6]D . [5，6]10. （2分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·抚顺期中) 椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（）．A . ，，B . ，，C . ，，D . ，，12. （2分） (2017高二上·集宁月考) 直线与椭圆相交于A,B两点,椭圆上的点P 使△ABP的面积等于12,这样的点P共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·贵阳月考) 若圆与双曲线：的渐近线相切，则双曲线的渐近线方程是________．14. （1分）已知直线的参数方程为，点是曲线上的任一点，则点到直线距离的最小值为________.15. （1分）从双曲线x2﹣y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为________16. （1分）(2020·普陀模拟) 设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于________. 三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）(2017·石家庄模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）= ．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB= ，求△OAB的面积最大值．18. （10分） (2017·江西模拟) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．19. （5分） (2018高二下·龙岩期中) 已知椭圆的离心率为 ,且过点 .（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）已知点 ,过点的直线交椭圆于两点,直线的斜率分别为 ,求证:为定值.20. （10分） (2016高二上·绍兴期末) 已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当切线PA的长度为2 时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段AB长度的最小值．21. （10分）(2017·揭阳模拟) 如图，已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|=3，且△ABC的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ= = ，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．22. （10分）(2018·中原模拟) 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若点是点在轴上的垂足，延长交椭圆于，求证：三点共线．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
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2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定2．（5分）空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则﹣+等于（）A．B．3 C．3 D．23．（5分）当用反证法证明“已知x＞y，证明：x3＞y3”时，假设的内容应是（）A．x3≤y3B．x3＜y3C．x3＞y3D．x3≥y34．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果•=0，那么点M到y轴的距离是（）A．B．C．D．17．（5分）已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D．+18．（5分）若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±2x9．（5分）用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）如图，平面α与平面β相交成锐角θ，平面α内的一个圆在平面β上的射影是离心率为的椭圆，则角θ等于．12．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．13．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+=拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有．14．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：①点E到平面ABC1D1的距离是；②直线BC与平面ABC1D1所成角等于45°；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影的面积最小值为；④BE与CD1所成角的正弦值为．其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共5小题，共50分）15．（8分）在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（1）试证明上述命题；（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．16．（10分）已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB ⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为．求线段AM的长．19．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆上，过F（1，0）点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（3）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．2016-2017学年陕西省宝鸡中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．2．（5分）空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则﹣+等于（）A．B．3 C．3 D．2【解答】解：如图，﹣+=﹣（﹣）=﹣=﹣（﹣2）=3，故选：B．3．（5分）当用反证法证明“已知x＞y，证明：x3＞y3”时，假设的内容应是（）A．x3≤y3B．x3＜y3C．x3＞y3D．x3≥y3【解答】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3＞y3”的否定为：“x3≤y3”，故选：A．4．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．5．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形ABCD的边长为，取BD中点O，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1），=（1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），平面CBD的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ，cosθ==．∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．故选：D．6．（5分）已知椭圆+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果•=0，那么点M到y轴的距离是（）A．B．C．D．1【解答】解：设M（x，y），则椭圆+y2=1…①，∵椭圆+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（﹣，0），F2（，0），，∵∴x2+y2=3…②由①②得x2=，x=±，∴点M到y轴的距离为，故选：B．7．（5分）已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A．2 B．C．﹣1 D．+1【解答】解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：﹣1=．故选：C．8．（5分）若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由双曲线方程得a2=m，b2=6，c2=m+6，∵双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，∴=e2=4，即，得m+6=4m，3m=6，得m=2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线y=x=y=±x，故选：A．9．（5分）用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：左边的和为，当n=8时，和为，故选：B．10．（5分）已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1【解答】解：由题意，+=1，从而可得，y=；故A（c，），B（c，﹣）；故由△ABF1是锐角三角形知，＜1；故＜1；即e2+2e﹣1＞0；故﹣1＜e＜1；故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）如图，平面α与平面β相交成锐角θ，平面α内的一个圆在平面β上的射影是离心率为的椭圆，则角θ等于30°．【解答】解：由题意可得：平面α上的一个圆在平面β上的射影是一个离心率为的椭圆，也可以说为：β上的一个离心率为的椭圆在α上的射影是一个圆，设圆的半径为r，所以b=r，又因为，并且b2=a2﹣c2，所以a=r．所以cosθ==，所以θ=30°．故答案为：30°12．（5分）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．13．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+=拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有=．【解答】解：∵A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，∴AB⊥平面BCD．由已知有：CD上的高AE=，h=AO=，∴h2=，即=．故答案为：=．14．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：①点E到平面ABC1D1的距离是；②直线BC与平面ABC1D1所成角等于45°；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影的面积最小值为；④BE与CD1所成角的正弦值为．其中真命题的编号是②③④（写出所有真命题的编号）．【解答】解：①E∈A1B1，A1B1∥面ABC1D1，∴E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为B1C=．∴①不正确．②BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，∴②正确．③在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为，∴③正确．④BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角，即∠A1BE，A1E=，A1B=2，BE=，cos∠A1BE=．∴sin∠A1BE=．∴④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共50分）15．（8分）在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（1）试证明上述命题；（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解答】解：（1）设正三角形内任意一点P到各边的距离分别为m，n，p，则由等面积可得=，∴m+n+p=a，即边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a．（2）类比边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，在一个正四面体内任一点到各个面的距离之和是定值a，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a．16．（10分）已知f（n）=1++++…+，g（n）=﹣，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；当n=2时，，，所以f（2）＜g（2）；当n=3时，，，所以f（3）＜g（3）．（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：①当n=1，2，3时，不等式显然成立．②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，即即++…+＜，那么，当n=k+1时，，因为，所以．由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB ⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为．求线段AM的长．【解答】（1）证明：因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1．因为AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点，所以B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B1C+EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E．又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE．（2）解：连结D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连结AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x．在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x．在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2﹣2AE•EHcos 135°，得x2=1+x2+x．整理得5x2﹣2 x﹣6=0，解得x=（负值舍去），所以线段AM的长为．19．已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆上，过F（1，0）点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（3）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，因此，即可求椭圆M的方程为．（2）由题意，直线l的方程为：y=x﹣1．由得得7x2﹣8x﹣8=0，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|MN|=|x1﹣x2|=．（3）设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），中点M（x'，y'），把y=k（x﹣1）代入椭圆方程，得到方程（4k2+3）x2﹣8k2x﹣8=0，则，，所以MN的中垂线的方程为，令x=0，得，当k＞0时，，则；当k＜0时，，则，当k=0时，显然y0=0综上，y0的取值范围是[﹣，]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。